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Bloque tem´ atico: N´ umeros y operaciones

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´ EN PROGRAMA DE ESPECIALIZACION ´ MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVEL ´ ´ SECUNDARIA DE EDUCACION BASICA REGULAR

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Bloque tem´ atico: N´ umeros y operaciones Jefe de Proyecto Coordinadora acad´ emica Equipo de especialistas

: Enrique C´ arpena Vel´ asquez : Magali Ch´ avez Taboada : Leonardo Valdivia Vel´ asquez Andr´ es Figueroa Alvarado Margarita Tejada Romero

´ EN MATEMATICA-NIVEL ´ PROGRAMA DE ESPECIALIZACION DE EDUCACION SECUNDARIA 2012- 2014 I CICLO Universidad Nacional “Pedro Ru´ız Gallo” Facultad de Ciencias Hist´ orico Sociales Educaci´ on Direcci´ on: Av. Juan XXIII 391 - Lambayeque Tel´ efono (51)(74)-283146 Correo Electr´ onico: webmaster@unprg.edu.pe. P´ agina Web: www.unprg.edu.pe. c Reproducci´ on: Derechos reservados conforme a ley. Se proh´ıbe la reproducci´ on parcial o total del texto sin autorizaci´ on del MED.

Agosto 2012

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Presentaci´on ´ El presente m´odulo denominado NUMERO Y OPERACIONES, forma parte del componente disciplinar del ´area de matem´atica con enfoque interdisciplinar, y tiene por objetivo justificar formalmente la construcci´on axiom´atica de los conjuntos num´ericos, comprobar y contextualizar sus propiedades . El m´odulo consta de tres unidades distribuidas en 14 sesiones. La primera unidad hace un tratamiento de la noci´on de estructura algebraica, concretamente la noci´on de grupo ,anillo y cuerpo.Se parte de una situaci´on concreta, la simetr´ıa de un objeto o de un sistema f´ısico en general.Luego, se presenta axiom´aticamente el sistema de los n´ umeros naturales, y n´ umeros enteros. En la segunda unidad se extienden las propiedades de los enteros y se construye el espacio de los numeros racionales y paralelamente se muestran sus aplicaciones inmediatas.Finalmente la tercera unidad tiene como objetivo el estudio del espacio de los n´ umeros reales se detalla su construcci´on te´orica a partir de axiomas previamente definidos. Cada unidad se inicia con una situaci´on problem´atica contextualizada que nos permitir´a generar un espacio de reflexi´on individual y colectiva, motivando a buscar una soluci´on emp´ırica y l´ogica que necesita de una demostraci´on matem´atica, cre´andose as´ı la necesidad de investigar sobre los sistemas num´ericos para su organizaci´on cient´ıfica, ´esta u ´ ltima debe hacer posible generar situaciones problem´aticas similares como una generalizaci´on del modelo creado. En la ultima parte del presente trabajo, se incluye un ap´endice donde encontraremos las definiciones y propiedades mas relevantes de : Algebra proposicional, Teor´ıa de conjuntos, Funciones y los m´etodos de demostraci´on.

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´Indice general Presentaci´ on

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Introducci´ on

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1. Noci´ on de estructura algebraica. El sistema de los n´ umeros naturales 1.1. Sesi´on 1: Estructuras Algebraicas,definici´on de grupo. . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sesi´on 2: Definici´on de anillo, cuerpo. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sesi´on 3: El Sistema de los N´ umeros Naturales N: definici´on axiom´atica de N . 1.3.1. Definici´on Axiom´atica de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sesi´on 4: Sustracci´on y divisi´on en N. Aplicaciones del principio del buen orden 1.4.1. Sustracci´on y Divisi´on en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11) . . . . . . . . 1.5. Sesi´on 5: Potenciaci´on y Radicaci´on. Divisibilidad: definiciones y teoremas . . 1.5.1. Potenciaci´on y Radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Sistema de Numeraci´on Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Divisibilidad: Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Sesi´on 6: N´ umeros primos, m´aximo com´ un divisor, m´ınimo com´ un m´ ultiplo . . 1.6.1. N´ umeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. M´aximo Com´ un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. M´ınimo com´ un M´ ultiplo (M.C.M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. El sistema de los n´ umeros enteros y racionales. Su construcci´ on y sus aplicaciones 2.1. Sesi´on 7: Definici´on axiom´atica de Z. Orden en Z. Sustracci´on en Z . . . . . . 2.1.1. Definici´on axiom´atica de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 2.1.3. Orden en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Sustracci´on en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sesi´on 8: Valor absoluto. Divisi´on, potenciaci´on y radicaci´on en Z. Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

9 12 19 24 24 33 33 35 43 43 45 46 58 58 60 64

73 74 75 76 80 83 87 87


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2.2.2. Divisi´on, potenciaci´on y radicaci´on en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Sesi´on 9: Definici´on Axiom´atica de Q. Sustracci´on, divisi´on, potenciaci´on y orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Definici´on Axiom´atica de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 2.3.3. Sustracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Potenciaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Numeros reales como cocientes de numeros enteros . . . . . . . . . . . 2.3.7. Orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.8. Consecuencias importantes del teorema 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.9. Radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Sesi´on 10: Representaci´on decimal de un n´ umero racional. Aplicaciones de las razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Representaci´on decimal de un n´ umero racional . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Calculo de la generatriz de una expresi´on decimal . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Expresiones Decimales Infinitas y N´ umeros “Irracionales” . . . . . . . 2.4.4. Aplicaciones de las propiedades de los N´ umeros Racionales . . . . . . . 2.4.5. Aplicaciones de las razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . 3. N´ umeros Reales. Su construcci´ on y aplicaciones 3.1. Sesi´on 11: Definici´on axiom´atica de R. Orden en R. Radicaci´on . . . . . . . . . 3.1.1. Definici´on axiom´atica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Definici´on Axiom´atica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 3.1.4. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Subconjuntos notables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sesi´on 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuerpo ordenado completo . . . . 3.2.1. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. El Sistema de los N´ umeros Reales Extendido . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Sesi´on 13: Representaci´on decimal de los n´ umeros reales. Valor absoluto. . . . 3.3.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Sesi´on 14: Proporcionalidad. Inter´es simple. Inter´es compuesto. Modelos financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Inter´es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Inter´es compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Composici´on del inter´es en forma continua . . . . . . . . . . . . . . . . 5

88 89 110 110 111 115 116 117 118 119 120 124 130 130 132 134 137 140 152 153 155 156 157 160 164 171 174 175 178 181 181 208 209 210 212


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A. L´ ogica, Conjuntos y Funciones A.1. Introducci´on a la L´ogica proposicional . . . A.1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . A.1.2. Equivalencias L´ogicas Importantes . A.1.3. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . A.2. M´etodos de demostraci´on . . . . . . . . . . . A.2.1. Tipos de demostraci´on . . . . . . . . A.3. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Relaciones de igualdad, pertenencia e A.3.3. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . A.4.1. Uni´on de conjuntos . . . . . . . . . . A.4.2. Intersecci´on de conjuntos . . . . . . . A.4.3. Diferencia de conjuntos . . . . . . . . A.4.4. Complemento de un conjunto . . . . A.5. Nociones de relaci´on y funci´on . . . . . . . . A.5.1. Par ordenado y producto cartesiano . A.5.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . A.5.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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217 217 217 219 221 222 222 224 224 224 226 229 229 230 231 232 233 233 234 234


Introducci´on El hombre es mortal por sus temores e inmortal por su deseos. ´goras Pita Casi todos estamos familiarizados con el uso de los n´ umeros naturales, enteros, racionales, irracionales y finalmente, los n´ umeros reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntos de n´ umeros. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mismo de resolver problemas aritm´eticos (que tiene que ver con loa n´ umeros), que bien pueden verse como problemas algebraicos. Para comenzar a ver que la necesidad llev´o al hombre a construir formas de contar (sistemas num´ericos, en t´erminos m´as formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar frutas para su familia. Sabe que su familia est´a formada por su pareja y su cr´ıa (hijo, en palabras m´as civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las frutas y los miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (incluy´endose ´el) le corresponder´a una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas, una para cada uno de ellos. N´otese que no fue el colector de frutas quien dijo ”tres”, puesto que ´el todav´ıa no conoc´ıa lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo, todav´ıa el lenguaje estaba basado en se˜ nas). Lo importante que se quiere hacer notar es que ya hab´ıa, probablemente de manera innata, la noci´on de cantidad en el ser humano. Seguramente este hecho le sugiri´o a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar, digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y alg´ un otro objeto, por ejemplo piedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van reproduciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendr´a que coleccionar una buena cantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseer´a. De aqu´ı surge la necesidad de crear otra forma de contar que sea m´as c´omoda. A alguien se le ocurri´o hacer nudos a un mecate, a otra persona se le ocurri´o contar con los dedos de las manos y los pies. A alguien m´as se le ocurri´o contar las divisiones que tenemos en los dedos me˜ nique, anular, medio e ´ındice (tres en cada dedo, lo que hace un total de doce divisiones, encontr´andonos con las docenas y, que si vemos en la otra mano cinco dedos, vemos que podemos contar as´ı hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y as´ı, poco a poco el hombre fue creando formas cada vez m´as c´omodas de contar. 7


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Los Griegos usaron un sistema de numeraci´on decimal (Al decir decimal nos referimos al hecho de que se cuenta de diez en diez). Para cada n´ umero asignaron un s´ımbolo. El n´ umero uno estaba representado por 1, el dos por II , el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por V, el seis por VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. Tambi´en asignaron s´ımbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M. Con estos s´ımbolos pod´ıan formar n´ umeros bastante grandes, para lo cual establecieron ciertas reglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras, ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemos veinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre los aztecas, el n´ umero veinte se dec´ıa Tzontle (en N´ahuatl). Tambi´en, de manera descriptiva a un buen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para hacer c´alculos. N´otese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeraci´on es m´as dif´ıcil que en el sistema de numeraci´on que usamos actualmente. Evidentemente la multiplicaci´on es a´ un m´as dif´ıcil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posici´on que tiene cada s´ımbolo para asignarles alg´ un valor, es decir no son posicionales. En el cap´ıtulo 7 nos encargaremos de estudiar c´omo formar n´ umeros en distintos sistemas de numeraci´on y de averiguar la forma de realizar operaciones con estos n´ umeros. Adem´as de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades num´ericas. Por ejemplo, supongamos que un fil´osofo griego le pregunta a su disc´ıpulo: ”¿Cu´anto es cinco menos cinco?”. Si consideramos que para entonces ellos todav´ıa no conoc´ıan el cero, entonces el disc´ıpulo debi´o haber respondido ”... pues cinco menos cinco no es nada”. Para esa misma ´epoca, consideremos a un matem´atico maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que entonces ya conoc´ıan el cero pueden responder: C ¸ inco menos cinco es cero.”Parece que no hay diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, dar interpretaciones con s´ımbolos a los fen´omenos que vemos), es el gran paso que se dio en la invenci´on del cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como ”¿Qu´e n´ umero debo sumar a 5 para obtener cero?”, lo cual dio origen a los n´ umeros negativos. De una forma similar surgieron seguramente tambi´en los n´ umeros racionales, por ejemplo, imaginemos que alguien se pregunt´o: ”¿Por qu´e n´ umero debo multiplicar al n´ umero dos para obtener como resultado el n´ umero uno?”. Evidentemente, el n´ umero buscado no es ni natural, ni entero, sino racional (El n´ umero buscado es 1/2). En el presente trabajo veremos la construcci´on y fundamentaci´on desde un punto de vista axiom´atico la naturaleza estos conjuntos de numeros.

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Unidad 1 Noci´on de estructura algebraica. El sistema de los n´ umeros naturales Objetivos 1. Identificar una estructura algebraica mediante la simetr´ıa de un objeto geom´etrico. 2. Ejemplificar en una realidad concreta las propiedades de los grupos y anillos. 3. Definir las propiedades de un grupo, anillo, cuerpo. 4. Mostrar la construcci´on axiom´atica del sistema algebraico de los n´ umeros naturales. 5. Demostrar y ejemplificar las propiedades del sistema de los n´ umeros naturales. Contextualizando: Simetr´ıas de las mol´ eculas El uso de la teor´ıa de grupos por los qu´ımicos para determinar las propiedades de las mol´eculas es un procedimiento bien establecido. Desde el punto de vista matem´atico la mayor parte de los grupos que aparecen que pueden aparecer como grupos de simetr´ıas de mol´eculas aisladas son muy sencillos, con excepci´ on hecha del grupo alternante A5 . En 1985 una familia de mol´eculas fue descubierta por los investigadores H. Kroto de Inglatera y R. S. Smalley y R. Curl de EUA mientras realizaban trabajos de astrof´ısica tratando de encontrar nuevas mol´eculas de carbon. Las mol´eculas que encontraron son arreglos tridimensionales de ´atomos de carbono (desde 24 a´tomos hasta miles de ellos) y les dieron el nombre de fulerenos en honor al arquitecto Buckminster Fuller, quien construyo domos geod´esicos con el mismo tipo de estructura. Por su descubrimiento recibieron el premio nobel de Qu´ımica de 1996. La figura de abajo muestra la representaci´ on matem´ atica de la mol´ecula del agua. En ella observamos que esta mol´ecula est´a modelada por un tri´ angulo equil´ atero. Los sistemas f´ısicos, 9


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como por ejemplo las mol´eculas para su estudio adecuado deben ser representados de tal manera que se puedan rescatar y en cierta forma manipular sus propiedades intr´ınsecas, por ejemplo sus propiedades de simetr´ıa. El universo de las mol´eculas esta clasificado de acuerdo a la simetr´ıa de estas (movimientos que dejan invariante al objeto mediante rotaciones y reflexiones), la mol´eculas planas mas sim´etricas est´ an modelas por los pol´ıgonos regulares y las mol´eculas tridimensionales por los cinco poliedros regulares, esta clasificaci´ on es necesaria pues, por ejemplo tanto en qu´ımica como en f´ısica lo que se requiere es predecir el comportamiento de estas al combinarlas. En el universo existen conjuntos que al operar sus elementos siempre cumplen determinadas propiedades , como por ejemplo el conjunto de las simetr´ıas de una mol´ecula . A los conjuntos dotados de una operaci´ on y con ciertas propiedades se les 1 dar´a el nombre de Grupo.

B

A

C

Rotaciones 3

ρ

1

0

1

3

1

2

ρ

ρ

2

1

2

2

2

3

3

1

Reflexiones 3

1

1

3

2

1

3

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Algebra en todas partes. Jose De la Pe˜ na

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En forma matricial las rotaciones y las reflexiones, est´ an determinadas por: ! ! 1 2 3 1 2 3 ρ0 = , µ1 = 1 2 3 1 3 2 ρ1 =

ρ2 =

! 1 2 3 , 2 3 1 ! 1 2 3 , 3 1 2

!

µ2 =

1 2 3 3 2 1

µ3 =

1 2 3 2 1 3

1 2 3 3 1 2

!

=

1 2 3 2 3 1

!

= ρ0

1 2 3 2 1 3

!

=

1 2 3 3 2 1

!

= µ2

!

Se operan de la siguiente forma: ρ1 ◦ ρ2 =

1 2 3 2 3 1

!

ρ1 ◦ µ3 =

1 2 3 3 1 2

!

Todas las operaciones posibles se muestran en la siguiente tabla: ◦ ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ3 µ1 µ2

ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ2 µ3 µ1

µ1 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ1 ρ2

µ2 µ2 µ3 µ1 ρ2 ρ0 ρ1

µ3 µ3 µ1 µ2 ρ1 ρ2 ρ0

El conjunto de las simetr´ıas observadas en general en un objeto, de alguna forma se pueden operar entre ellas. Esta noci´on de un conjunto y una operaci´ on en el, y que cumplen ciertas propiedades, se le llamara grupo.

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´ DESARROLLO TEMATICO

Penetran en un pais de maravillas. So˜ nando mientras pasan los dias, So˜ nando mientras mueren los est´ıos Alicia a trav´ es del espejo, LEWIS CARROLL

1.1.

Sesi´ on 1: Estructuras Algebraicas,definici´ on de grupo.

´ n: Los cristales Mosaicos de la naturaleza Contextualizacio Los cristales han ejercido una fascinaci´on especial en los hombres. Las excavaciones hechas por investigadores en algunas cuevas en China muestran que el hombre de Pekin coleccionaba cristales de cuarzo hace 40000 a˜ nos. Los cristales se distinguen por sus colores, sus brillos, pero sobre todo por sus formas. Cuando se observa un cristal bruto, su apariencia se distingue claramente de una roca vulgar. Sus caras son pr´acticamente planas, su cuerpo presenta grandes simetr´ıas. La pirita viene en cubos, la fluorita y los diamantes en forma de octaedro ¿ Por que? La forma de un cristal esta determinada por los componentes mas peque˜ nos, ´atomos y mol´eculas, que lo integran. En el espacio, los ´atomos que forman los cristales se unen como piezas de rompecabezas. Pero hay pocas piezas de rompecabezas que puedan utilizarse: en el diamante, todas las piezas del rompecabezas son ´atomos de carbono; en la sal, hay ´atomos de cloro y de sodio. A mediados del siglo pasado, algunos cient´ıficos pensaron que el comportamiento f´ısico de los diferentes cristales deber´ıa estar determinado por su estructura geom´etrica, por sus simetrias. Los intentos por estudiar los cristales de esta forma fueron iniciados por Weiss en 1804 y Hessel en 1830. Bravais redescubrio los resultados de Hessel en 1848 y obtuvo la clasificaci´on de los grupos cristalogr´aficos puntuales, es decir, ls simetrias cristalinas con respecto a un punto fijo. Finalmente, la clasificaci´on de los grupos cristalogr´aficos fue obtenida por el qu´ımico ruso Fedorov en 1885, (existen 32 grupos cristalogr´aficos clasificados respecto a tres tipos de simetr´ıas:rotacional, axial y traslacional ). Pero no fue sino hasta 1913 que Laue,usando el m´etodo de difracci´on por rayos X, pudo describir la estructura de los cristales y demostr´o que estaban formados por arreglos de ´atomos como un rompecabezas.2 Definici´ on 1.1. Sea G un conjunto no vac´ıo donde est´a definida una operaci´on interna 2

Algebra en todas partes. Jose De la Pe˜ na

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denotada por ∗ : G×G → G (x, y) 7→ x ∗ y Decimos que el par (G, ∗) es un grupo si se cumplen las siguientes propiedades: G1 ) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ,

∀a, b, c ∈ G

G2 ) ∃ e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a ,

∀a ∈ G

G3 ) ∀a ∈ G, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e Si en un grupo (G, ∗) se verifica la propiedad: G4 ) a ∗ b = b ∗ a , ∀a, b ∈ G decimos que el grupo (G, ∗) es un grupo abeliano. Ejemplo 1.1. Sea S un conjunto no vac´ıo B(S) = {f : S → S/f es biyecci´on} entonces, (B(S), ◦), donde ◦ es la composici´on de funciones, es un grupo. Ejemplo 1.2. Si R∗ = R − {0} y · es el producto usual de n´ umeros reales, (R∗ , ·) es un grupo. Ejemplo 1.3. Si C∗ = C − {0}, C, los n´ umeros complejos y · es el producto usual de n´ umeros ∗ complejos, (C , ·) es un grupo. Ejemplo 1.4. Si Z es el conjunto de los n´ umeros enteros y + es la adici´on usual (Z, +) es un grupo Ejemplo 1.5. Sea G = (−1, 1) = {x ∈ R, −1 < x < 1}, y definamos en G la operaci´on * como sigue: ◦ :G×G → G (a, b) 7→ a ◦ b =

a+b b+a = =b◦a 1 + ab ba + 1

en donde las operaciones usuales que aparecen entre a ◦ b y b ◦ a son las usuales en R, entonces (G, ◦) es un grupo, pues para todo a, b ∈ G, a ◦ b ∈ G, es f´acil verificar este hecho, lo dejamos a cargo del lector. 1. Para todo a, b, c ∈ G, (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) 2. 0 ∈ G y a · 0 =

a+0 1+0a

3. Dado a ∈ G, existe b = −a ∈ G, tal que a ◦ (−a) = (−a) ◦ a = 13

a + (−a) = 0. 1 + (−a)a


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El lector puede verificar estos hechos. Ejemplo 1.6. Sea M2 (R) el conjunto de todas las matrices de orden 2 cuyos elementos son n´ umeros reales, en el cual se define la operaci´on ! ! ! a b e f a+e b+f + = c d g h c+g d+h para todo par de matrices

! a b , c d

e f g h

!

de M2 (R). Puede probarse f´acilmente que ! a b (M2 (R), +) es un grupo abeliano. Si a la matriz A = ∈ M2 (R) le asociamos la c d aplicaci´on lineal TA : R2 → R2 dada por !        a b x x x ax + by TA =A = = y y y cx + dy c d se tiene que el conjunto M2 (R) est´a en correspondencia biyectiva con el conjunto de las aplicaciones lineales de R2 en R2 ; adem´as           x x x x x TA+B = (A + B) =A +B = (TA + TB ) y y y y y Debido a esta igualdad se obtiene que el conjunto de las aplicaciones lineales de R2 en R2 con la operaci´on + es un grupo abeliano. Con respecto a la multiplicaci´on de matrices el conjunto M2 (R) no es un grupo; el inverso de una matriz A = M2 (R) s´olo est´a definido si su determinante es distinto de cero, es decir det A 6= 0. Esto nos lleva a considerar el subconjunto de M2 R formado por las matrices A tales que det A 6= 0, al cual denominamos GL2 (R). Ejemplo 1.7. Sea el conjunto Z4 = {0, 1, 2, 3}. Definimos ⊕ : Z4 × Z4 → Z4 (a, b) 7→ a ⊕ b = resto (a + b)/4 Para verificar si ⊕ cumple con las condiciones de grupo elaboramos al siguiente tabla ⊕ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

14

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2


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1) Cerradura: a, b ∈ Z4 entonces a ⊕ b ∈ Z4 . Por ejemplo 2 ∈ Z4

2 ∈ Z4

y 1 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 1 = 3 ∈ Z4

y 3 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 3 = 1 ∈ Z4

2) Asociativa: a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c , Por ejemplo

∀a, b, c ∈ Z4 .

(1 ⊕ 2) ⊕ 3 = 1 ⊕ (2 ⊕ 3) 3⊕3 = 1⊕1 2 = 2

3) Elemento neutro: ∃ e ∈ Z4 tal que a ⊕ e = e ⊕ a = a , Por ejemplo

∀a ∈ Z4 .

0⊕2 = 2⊕0= 2

3⊕0 = 0⊕3= 3 4) Elemento inverso: ∀a ∈, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e. Por ejemplo El inverso de 1 es 3; pues 1 ⊕ 3 = 0 El inverso de 2 es 2; pues 2 ⊕ 2 = 0 Ejemplo 1.8 (Un ejemplo de grupo cociente). Se tiene que (R, +), es un grupo aditivo definamos en R una relaci´on de equivalencia de la manera siguiente: ∼: R × R → R

(x, y) → x ∼ y

Definimos la siguiente relaci´on sobre R: ∀ x, y ∈ R, x ∼ y ↔ x − y ∈ Z o equivalente x ∼ y ↔ x = y + n, n ∈ Z, afirmamos que “ ∼ ” es una relaci´on de equivalencia, por el teorema de la partici´on toda relaci´on de equivalencia particiona de manera natural al conjunto en clases de equivalencia disjuntas dos a dos de tal manera que la union cubre todo el conjunto. Coleccionamos estas clases de equivalencias en R = {[x]/x ∈ R}, donde [x] = {y ∈ R/y ∼ x} ∼ o tambi´en [x] = {x + n/n ∈ Z} R Dotamos a ∼ de estructura de grupo. Definimos la siguiente operaci´on: + :

R ∼

R R × ∼ → ∼ ([x] , [y]) → T ([x], [y]) = [x] + [y] = [x + y]

R Luego ( ∼ , +) tiene estructura de grupo.

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Ejemplo 1.9. Considere el conjunto S ′ = {z ∈ C/kzk = 1}, donde S ′ representa la circunferencia unitaria en el plano complejo, ahora definiremos una operaci´on en este conjunto de la siguiente manera · : S′ × S′ → S′ (z, w) → ·(z, w) = zw donde “ · ” es la multiplicaci´on usual de n´ umeros complejos veamos que propiedades cumple ′ “ · ” en S . i) Cerradura ∀z ∈ S ′ , ∀w ∈ S ′ se debe cumplir que zw ∈ S ′ Como zw ∈ S ′ , y adem´as: kzk = 1 y kwk = 1 como kzk = 1 ∧ kwk = 1 → kzk · kwk = 1 · 1 = 1 · · · · · · (α) pero kz · wk = 1 · · · · · · (β) Entonces de (α) y (β) se tiene que, kz · wk = 1, esto implica que z · w ∈ S ′ ii) Asociativa: ∀z, w, r ∈ S ′ se cumple que z(w · r) = (z · w)r Como z, w, r ∈ S ′ ⇒ z, w, r ∈ C y tenemos que la multiplicaci´on de n´ umeros complejos es asociativa: z(w · r) = (z · w)r iii) Existencia del Elemento Neutro ∀ z ∈ S ′ , ∃! e ∈ S ′ tal que z · e = e · z = z tomando la ecuaci´on z · e = z · · · · · · (γ) p z ∈ S ′ , ⇒ z ∈ C es decir de la forma z = x + iy, donde x, y ∈ R, kzk = x2 + y 2 = 1, luego x2 + y 2 = 1. Como e ∈ S ′ ⇒ e ∈ C, es decir de la forma e = e1 + ie2 donde p e1 , e2 ∈ R, kek = e21 + e22 = 1, luego e21 + e22 = 1 luego reemplazamos en (γ), se tiene: (x + iy)(e1 + ie2 ) = (x + iy)

(xe1 − ye2 ) + (xe2 + ye1 )i = x + yi xe1 − ye2 = x ye1 + xe2 = y Aplicando la regla de crammer para determinar e1 , e2 : luego e tiene la forma e = 1+0i = 1 iv) Elemento inverso Para cada z ∈ S ′ , ∃!w ∈ S ′ /z · w = 1 + 0i se tiene que z · w ∈ S ′ , es decir z, w ∈ C, z = x + iy 16

w = w1 + iw2


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tenemos z·w = 1

(x + iy)(w1 + iw2 ) = 1 ( xw1 − yw2 = 1 yw1 + xw2 = 0 Aplicando la regla de crammer para hallar w1 y w2

1 −y

0 x

w1 =

x −y

y x

w1 = x

,

x 1

y 0

w2 =

x −y

y x

w2 = −y

luego: w = x − iy. Por lo tanto (S ′ , ·) tiene estructura de grupo

Actividades 1. Sobre el conjunto E = {0, 1, 2, 3, 4} se define una operaci´on a trav´es de la tabla de abajo. Compruebe que dicha operaci´on satisface todas las propiedades de los grupos a excepci´on de uno ⋆ 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 0 4 2 3 2 2 3 0 4 1 3 3 4 1 0 2 4 4 2 3 1 0 2. Analice la estructura algebraica que resulta de dotar al conjunto N con cada una de las siguientes operaciones: a) m ⊕ n = m´ax{m, n} b) m  n = m

c) m ⊚ n = m.c.d(m, n) 3. Justificar que el conjunto de los n´ umeros enteros con la operaci´on suma “ + ” tiene estructura de grupo abeliano. 4. Considere los siguientes conjuntos a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R 17


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b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real c) P = Conjunto de los polinomios Defina sobre estos conjuntos una operaci´on binaria interna (suma) y justificar que tienen estructura de grupos. 5. Construya el grupo de simetr´ıas de los siguientes pol´ıgonos regulares: hex´agono, pent´agono, hept´agono.

Evariste Galois (1811 – 1832): Creador de la Teor´ıa de Grupos y Anillos “Los elegidos de los dioses mueren j´ovenes”

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1.2.

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Sesi´ on 2: Definici´ on de anillo, cuerpo. Ejemplos

Contextualizando:Estructuras Algebraicas y Sistemas informaticos Al concepto de anillo se llego al observar la semejanza de los comportamientos de los numeros enteros y de los polinomios desde el punto de vista de la divisibilidad, uno de los problemas matem´aticos cl´asicos. Por lo que respecta al concepto de cuerpo (traducci´on de alem´an Korper), tambi´en llamado cuerpo (del ingl´es Field), se obtuvo por abstracci´on, como el de grupo, a partir de las estructuras algebraicas que iban surgiendo en el estudio de la resubilidad por radicales de las ecuaciones algebraicas. Los cuerpos finitos, en particular, son la base para la teor´ıa de codificaci´on, disciplina en la que se utilizan anillos de polinomios y espacios vectoriales. En las ciencias de la computaci´on, un programa inform´atico viene hacer un conjunto de proposiciones encadenas de una forma l´ogica. El universo de las proposiciones l´ogicas, asociadas con los operadores conjunci´on, disyunci´on, negaci´on, condicional, adem´as de la noci´on de cero en este caso una falsedad y del 1 como una verdad, obedece a las leyes de una estructura algebraica llamada Algebra de Boole. Esta estructura ayuda a resolver problemas de optimizaci´on, como por ejemplo simplificar programas extensos y reducirlos a otros mas simples. Muchas de las propiedades en este espacio simula lo que sucede en los anillos y en los cuerpos. Definici´ on 1.2. Sea A un conjunto no vac´ıo y dos operaciones binarias definidas en G denotadas por ⊕ : A × A −→ A ; ⊙ : A × A −→ A (x, y) 7−→ x ⊕ y (x, y) 7−→ x ⊙ y Decimos que la terna (A, ⊕, ·) tiene estructura de anillo si satisface las siguientes propiedades (A1 ) (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)

∀ a, b, c ∈ A

(A2 ) ∃ 0 ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0

∀a∈A

(A3 ) ∀ a ∈ A ∃ b ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0 (A4 ) a ⊕ b = b ⊕ a

∀ a, b ∈ A

(A5 ) (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c) ∀ a, b, c ∈ A (A6 ) a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a · c) ;

(a ⊕ b) ⊙ c = (a ⊙ c) ⊕ (b ⊙ c)

1. Si un anillo (A, ⊕, ⊙) satisface la propiedad: (A7 ) ∃ 1 ∈ A, 1 6= 0 tal que a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a ∀a∈A decimos que (A, ⊕, ⊙) es un anillo con unidad 1. 19

∀ a, b, c ∈ A


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2. Si un anillo (A, ⊕, ⊙) satisface la propiedad: (A8 ) a ⊙ b = b ⊙ a ∀ a, b ∈ A decimos que (A, ⊕, ⊙) es un anillo conmutativo. 3. Si un anillo (A, ⊕, ⊙) satisface la propiedad: (A9 ) a, b ∈ A, a ⊙ b = 0 =⇒ a = 0 ´o b = 0 decimos que (A, ⊕, ⊙) es un anillo sin divisores de cero. 4. Si (A, ⊕, ⊙) es un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, decimos que (A, ⊕, ⊙) es un dominio de integridad. 5. Si (A, ⊕, ⊙) es un dominio de integridad que satisface la propiedad: (A10 ) ∀ a ∈ A, a 6= 0, ∃ b ∈ A tal que a ⊙ b = b ⊙ a = 1 decimos que (A, ⊕, ⊙) es un Cuerpo. Ejemplo 1.10. (Z, +, ·) es un ejemplo de un anillo conmutativo con unidad. (R, +, ·), (C, +, ·) son ejemplos de cuerpos. √ √ Ejemplo 1.11. Z y Z[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Z} son ejemplos de dominios de integridad que son cuerpos. √ Ejemplo 1.12. Q, Q[ 2] y Zp con p primo son todos ejemplos de cuerpos. √ √ Ejemplo 1.13. Z[ p] = {a + b p : a, b ∈ Z} son dominios de integridad que no son cuerpos.

√ √ Ejemplo 1.14. Q[ p] = {a + b p : a, b ∈ Q} son ejemplos de cuerpo (p primo).

Ejemplo 1.15. Sea A = F (R) = {f : R −→ R/f es funci´on}. Definiendo las siguientes operaciones + : A × A −→ A donde (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀ x ∈ R (f, g) 7−→ f + g ⊙ : A × A −→ A donde (f · g)(x) = f (x) · g(x) ∀ x ∈ R (f, g) 7−→ f ⊙ g se tiene que (A, +, ·) es un anillo. Ejemplo 1.16. Sean K = R2 = R × R = {(x1 , x2 )|x1 ∈ R, x2 ∈ R}. Consideremos las siguientes operaciones: + : R2 × R2 −→ R2 · : R × R2 −→ R2 definidas por: (x1 , x2 ) + (y1 , y2) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) 20

(1.1)


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α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 )

(1.2)

Verifiquemos que (R2 , +, ·) tiene estructura de anillo. Sean (x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ) en R2 y α, β ∈ R se tiene: A1 ) (x1 , x2 ) + [(y1 , y2 ) + (z1 , z2 )] = [(x1 , x2 ) + (y1 , y2 )] + (z1 , z2 ). En efecto: (x1 , x2 ) + [(y1 , y2 ) + (z1 , z2 )] = (x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 ) = (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 )) = ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 ) = [(x1 , x2 ) + (y1 , y2 )] + (z1 , z2 ) ∴

por (1.1) por (1.1) por asociatividad de la suma en R por (1.1) por (1.1)

(x1 , x2 ) + [(y1 , y2 ) + (z1 , z2 )] = [(x1 , x2 ) + (y1 , y2)] + (z1 , z2 )

A2 ) (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (y1 , y2 ) + (x1 , x2 ) En efecto: (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) = (y1 + x1 , y2 + x2 ) = (y1 , y2) + (x1 , x2 ) ∴

por (1.1) por conmutatividad de la suma en R por (1.1)

(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (y1 , y2) + (x1 , x2 )

A3 ) Existe (0, 0) ∈ R2 tal que: (x1 , x2 ) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1 , x2 ) A4 ) Existe (−x1 , −x2 ) ∈ R2 tal que: (x1 , x2 ) + (−x1 , −x2 ) = (x1 + (−x1 ), x2 + (−x2 )) = (0, 0) A5 ) α(β(x1 , x2 )) = (αβ)(x1 , x2 ) En efecto: α(β(x1 , x2 )) = α(βx1 , βx2 ) = (α(βx1 ), α(βx2 )) = ((αβ)x1 , (αβ)x2 ) = (αβ)(x1 , x2 ) α(β(x1 , x2 )) = (αβ)(x1 , x2 )

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por (1.2) por (1.2) por asociatividad del producto en R por (1.2)


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A6 ) α[(x1 , x2 ) + (y1 , y2 )] = α(x1 , x2 ) + α(y1 , y2 ) En efecto: α[(x1 , x2 ) + (y1 , y2)] = α(x1 + y1 , x2 + y2 ) = (α(x1 + y1 ), α(x2 + y2 )) = (αx1 + αy1 , αx2 + αy2 ) = (αx1 , αx2 ) + (αy1 , αy2) = α(x1 , x2 ) + α(y1 , y2 ) ∴

por (1.1) por (1.2) por distributibidad del producto con respecto a la suma en R por (1.2) por (1.2)

α[(x1 , x2 ) + (y1 , y2]) = α(x1 , x2 ) + α(y1, y2 )

A7 ) (α + β)(x1 , x2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) En efecto: (α + β)(x1 , x2 ) = ((α + β)x1 , (α + β)x2 ) = (αx1 + βx1 , αx2 + βx2 ) = (αx1 , αx2 ) + (βx1 , βx2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) ∴

por (1.2) por distributividad del producto respecto a la suma en R por (1.1) por (1.2)

(α + β)(x1 , x2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 )

A8 ) 1(x1 , x2 ) = (1 · x1 , 1 · x2 ) = (x1 , x2 ) Generalizando el ejemplo anterior Ejemplo 1.17. Consideremos el conjunto Rn de todas las n−uplas de n´ umeros reales, es decir: K = Rn = R × R × · · · × R = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n} Se demuestra que Rn es un cuerpo con las siguientes operaciones + :

Rn × Rn −→ Rn (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) −→ (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )

y · :

R × Rn −→ Rn (α, x1 , x2 , . . . , xn ) −→ α(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 , . . . , αxn )

la demostraci´on es an´aloga a la del ejemplo anterior.

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Ejemplo 1.18. En R2 se definen la suma como en el ejemplo 1.16 y el producto escalar como sigue · : R × R2 −→ R2 (α, (x1 , x2 )) −→ α(x1 , x2 ) = (αx1 , x2 ) Este producto verifica los axiomas A5 , A6 y A8 , pero no verifica A7 . En efecto: Si α, β ∈ R y (x1 , x2 ) ∈ R2 se tiene (α + β)(x1 , x2 ) = ((α + β)x1 , x2 ) = (αx1 + βx1 , x2 ) por otra parte, α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) = (αx1 , x2 ) + (βx1 , x2 ) = (αx1 + βx1 , 2x2 ) Luego (α + β)(x1 , x2 ) = α(x1 , x2 ) + β(x1 , x2 ) si y s´olo si

x2 = 0

Este hecho permite afirmar que R2 , con estas operaciones, no es un cuerpo.

Actividades 1. Estudie las propiedades de la estructura algebraica (N, ⊕, △) donde m ⊕ n = 3m + 2 y m△n = 4nm. ¿Tiene estructura de anillo?, ¿tiene estructura de cuerpo? 2. Si (G, +) es un grupo conmutativo con elemento neutro 0, y se define una segunda operaci´on x△y = 0 cualesquiera que sean x e y en G, ¿qu´e estructura tiene (G, +, △)? 3. Respecto a la pregunta anterior. Se pide lo mismo cuando la operaci´on sobre G es x  y = y. 4. Considere los siguientes conjuntos

a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real c) P = conjunto de los polinomios Defina sobre estos conjuntos operaciones binarias internas (suma y producto) y justificar cuales de ellas tienen estructura de anillo o de cuerpo. 5. Justificar que los conjuntos num´ericos R, Q y C tienen estructura de cuerpo

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1.3.

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Sesi´ on 3: El Sistema de los N´ umeros Naturales N: definici´ on axiom´ atica de N Dios hizo los n´ umeros naturales, lo dem´as es creaci´on de los hombres. Giuseppe Peano ´meros naturales Contextualizando: Los nu

En las sociedades prehistoricas cazadores y recolectores se plantean ya, que aunque sea a peque˜ na escala, la necesidad de responder a la pregunta ¿Cuantos hay? o ¿Cuantos son? Tambi´en aparece la necesidad de establecer un orden de actuaci´on ¿que se hace primero? ¿que interviene en segundo lugar?,etc. A partir de esas necesidades sociales de cuantificar la diversificaci´on de sus actividades el hombre tuvo la necesidad de crear s´ımbolos y procesos num´ericos en las que se desarrollan diferentes t´ecnicas de recuento que han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza predominantemente una t´ecnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios de otras varias t´ecnicas. Cada colecci´on de “Objetos num´ericos”vamos a llamarla “sistema numeral.o sistema de representaci´on num´erica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa diciendo que representan el mismo numero. Des este modo los numeros son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc; se dice que son “objetos ideales.o abstractos. Los primeros registros del uso de la notaci´on posicional los encontramos en babilonia a fines de 2500 a.c. Existen diversas maneras de introducir formalmente el sistema de los n´ umeros naturales. Giussepe Peano introdujo este sistema usando el m´etodo axiom´atico, consider´o tres conceptos primitivos: cero, uno y sucesor y cinco axiomas, a partir de los cuales desarroll´o toda la teor´ıa del n´ umero natural. En cambio, George Cantor defini´o el sistema de los n´ umeros naturales a partir de la teor´ıa de conjuntos finitos, utilizando una adecuada relaci´on de equivalencia denominada equipotencia y el teorema de la partici´on que afirma que toda relaci´on de equivalencia definida sobre un conjunto C determina una partici´on de C.

1.3.1.

Definici´ on Axiom´ atica de N

Por razones did´acticas se definir´a el Sistema de los N´ umeros Naturales, utilizando un conjunto de axiomas “superabundante” el cual se ir´a ampliando progresivamente, agregando nuevos axiomas y usando el lenguaje de las funciones que permitir´a definir, sucesivamente, conjuntos m´as “grandes” a los cuales se llamar´an: Sistema de N´ umeros Enteros Z, Sistema de N´ umeros Racionales Q y Sistema de N´ umeros Reales R. Los axiomas que se agregan para “ampliar”los 24


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sistemas permitir´an, desde el punto de vista aritm´etico, “generalizar”las operaciones de sustracci´on, divisi´on y radicaci´on, y, desde el punto de vista algebraico, resolver ecuaciones cada vez m´as complicadas. El Sistema de los N´ umeros Naturales es un conjunto, denotado por N, provisto de dos operaciones internas: adici´ on y multiplicaci´ on. La adici´on es una operaci´on interna en N, que asocia a cada par de numeros naturales (a, b) ∈ N × N un u ´ nico numero natural llamado suma de a y b y que se denota por a + b ∈ N. Simb´olicamente: + : N × N → N, tal que (a, b) → a + b Los n´ umeros naturales a y b reciben el nombre de sumandos. La multiplicaci´on es una operaci´on interna en N, que asocia a cada par de numeros naturales (a, b) ∈ N × N un u ´ nico n´ umero natural llamado producto de a y b y que se denota a · b ∈ N o simplemente ab. Simb´olicamente: · : N × N → N, tal que (a, b) → a · b Los numeros a y b reciben el nombre de factores. La adici´on y la multiplicaci´on satisfacen los siguientes axiomas: ´ AXIOMAS ADICION Conmutatividad N1) a + b = b + a ∀ a, b ∈ N Asociatividad N2) (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ N Existencia N3) Existe un u ´ nico n´ umero del Elemento natural llamado cero Neutro denotado por 0, tal que: a + 0 = a ∀a ∈ N Ley de Cancelaci´on Distributividad

N5) N6) N7)

N4) Si a + c = b + c ⇒ a = b N8) ∀ a, b, c ∈ N N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ N

´ MULTIPLICACION a · b = b · a ∀ a, b ∈ N (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ N Existe un u ´ nico n´ umero natural llamado uno denotado por 1, 1 6= 0 tal que: a · 1 = a ∀a ∈ N Si a · c = b · c ⇒ a = b ∀ a, b, c ∈ N

Definici´ on 1.3. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que a es menor que b, y se denota a < b si, y solo si, existe un numero natural c 6= 0 tal que a + c = b . Simb´olicamente: a < b ⇔ ∃ c ∈ N, c 6= 0/a + c = b La relaci´on menor satisface los siguientes axiomas: Tricotom´ıa Buen Orden

N10) Para todo a, b ∈ N se cumple una y s´olo una de las siguientes posibilidades: a < b; a = b; b < a. N11) Todo subconjunto no vac´ıo A ⊂ N posee un elemento m´ınimo m ∈ A; es decir, m < a ∨ m = a ∀ a ∈ A. 25


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Observaciones: 1. Los axiomas de la conmutatividad y asociatividad permiten sumar tres o m´as n´ umeros con facilidad, asociando los sumandos y modificando el orden seg´ un convenga. Ejemplo: 20 + 35 + 60 = (20 + 35) + 60 = 55 + 60 = 115 20 + 35 + 60 = 20 + (35 + 60) = 20 + 95 = 115 O m´as generalmente a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) 2. Como a(b + c) = ab + ac, aplicando la propiedad sim´etrica de la igualdad se sigue que ab + ac = a(b + c), que es conocida en el ´algebra elemental como factorizaci´on. Por ejemplo: Factor com´ un: 3a + 3ab + 6ac = 3a(1 + b + 2c) Agrupar t´erminos semejantes: 2a + 3b + 5a + 10b = (2 + 5)a + (3 + 10)b = 7a + 13b 3. Aplicando la propiedad conmutativa de la adici´on y multiplicaci´on en las igualdades a + c = b + c y ac = bc, las propiedades de cancelaci´on pueden escribirse tambi´en: c+a=c+b ⇒ a=b

y

ca = cb ∧ c 6= 0 ⇒ a = b

Nota Importante: Cuando se define un Sistema Num´erico como un conjunto provisto de ciertas operaciones, queda t´acitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos y todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en ´el; en particular, la relaci´ on de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, sim´etrica y transitiva. A continuaci´on, se enuncia algunas propiedades importantes de la adici´on y multiplicaci´on, que se pueden demostrar usando los axiomas, las propiedades de la igualdad, el axioma de Sustituci´on y otras propiedades anteriormente mencionadas. Teorema 1.1. Dado los n´ umeros naturales a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades: a) Si a = b ⇒ a + c = b + c ∧ c + a = c + b b) Si a = b ⇒ a · c = b · c c) Si a = b y c = d ⇒ a + c = b + d d) Si a = b y c = d ⇒ a · c = b · d 26


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Demostraci´on. 1. [a)]a + c = a + c por la propiedad reflexiva de la igualdad; luego como a = b por hip´otesis aplicando el axioma de sustituci´on (reemplazando a por b en el segundo miembro de la igualdad), resulta a + c = b + c. Aplicando la propiedad conmutativa de la igualdad, se tiene que c + a = c + b. c) Por lo que se acaba de demostrar, si a = b y c = d entonces a + c = b + c y b + c = b + d, luego aplicando la propiedad transitiva de la igualdad resulta a + c = b + d. Las propiedades b) y d) se demuestran de manera an´aloga.

Observaciones: Estas propiedades se enuncian en algunos textos, como sigue: “Si a ambos miembros de una igualdad se suma o multiplica un mismo n´ umero, la igualdad no var´ıa”, y “si se suman o multiplican miembro a miembro los t´erminos de dos igualdades, la igualdad se mantiene”, etc. A continuaci´on, y a modo de ejemplo, se demostrar´a el teorema que establece que el producto de cualquier n´ umero natural por cero es cero; no s´olo por su importancia en s´ı mismo, sino porque su demostraci´on es una bella ilustraci´on del uso ingenioso de los axiomas y propiedades anteriormente enunciadas. Observe que esta propiedad no es un axioma de los n´ umeros naturales y por lo tanto debe ser demostrada. Teorema 1.2. Para todo a ∈ N se tiene que a,0 = 0. Demostraci´on. De: a · 0 + a · 0 = a(0 + 0) (propiedad distributiva) resulta a · 0 + a · 0 = a · 0 (propiedad del elemento neutro) pero a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 (propiedad del elemento neutro) luego, cancelando a · 0 se tiene a · 0 = 0. Teorema 1.3. Si a y b son n´ umeros naturales, ab = 0 si, y s´ olo si, a = 0 ´ o b = 0.

Demostraci´on. Para todo numero natural a, se tiene: a = 0 o a 6= 0. Si a = 0, el teorema ya esta demostrado. Si a 6= 0, como ab = 0 y a · 0 = 0, por la propiedad transitiva, ab = a · 0, luego, aplicando la 27


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propiedad de cancelaci´on (pues a 6= 0), se tiene b = 0. Por lo tanto, si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. Rec´ıprocamente, si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0, por el teorema anterior (1.2). Corolario 1.1. ∀ a, b ∈ N, a 6= 0 y a 6= 0 si, y s´olo si, ab 6= 0 Definici´ on 1.4. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que b es mayor que a, y se denota b > a si, y solo si, a es menor que b. Simb´olicamente: b>a ⇔ a<b An´alogamente se dice que: “a es menor o igual que b” y se denota a ≤ b si, y s´olo si, a < b o a = b. Simb´olicamente: a≤b ⇔ a<b ∧ a=b “a es mayor o igual que b” y se denota a ≥ b si, y s´olo si, a > b o a = b. Simb´olicamente: a≥b ⇔ a>b ∧ a=b Observaci´ on: La negaci´on de a < b se denota por a ≮ b y significa que a ≥ b en virtud del axioma de tricotom´ıa Teorema 1.4. a) Para todo n´ umero natural a 6= 0, se tiene que 0 < a. En particular 0 < 1 b) Si a > 0, entonces a + b > b, ∀ b ∈ N Demostraci´on. a) Por la propiedad del elemento neutro, 0 + a = a, luego existe a ∈ N y a 6= 0 (hip´otesis), tal que 0 + a = a, de donde aplicando la definici´on de la relaci´on menor, se tiene que 0 < a. Como consecuencia de esta afirmaci´on se sigue que todo numero natural a es mayor o igual que cero; es decir a ≥ 0. b) Como a 6= 0, por definici´on de la relaci´on menor ∀ b ∈ N a+b = b+a, implica que a+b > b.

Corolario 1.2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y a · b > 0 28


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Demostraci´on. Por hip´otesis, a > 0, luego, por tricotom´ıa, a 6= 0. Supongamos que a + b = 0 entonces, como a 6= 0 se tendr´ıa b < 0 lo que contradice el teorema (1.4 a). As´ı a + b 6= 0 y por lo tanto a + b > 0. Como a · b es un numero natural, entonces a · b > 0 ´o a · b = 0. Si fuera a · b = 0, como tambi´en 0 = 0 · b (teorema 1.2), por transitividad se tendr´ıa que a · b = 0 · b y siendo b 6= 0 (por hip´otesis), aplicando la propiedad de cancelaci´on resultar´ıa a = 0, lo cual es imposible pues a > 0 (por hip´otesis). Es decir, la afirmaci´on a · b = 0 es falsa y por tanto a · b > 0. Como consecuencia de este teorema, se tiene la siguiente igualdad de conjuntos: {a ∈ N/a 6= 0} = {a ∈ N/a > 0} Esta igualdad indica que el conjunto formado por todos los n´ umeros naturales diferentes de cero es igual al conjunto de todos los n´ umeros naturales mayores que cero. Tal conjunto se + denotar´a por N y se llamar´a el “conjunto de los n´ umeros naturales positivos”. As´ı, N+ = {a ∈ N/a > 0} = N − {0} o N = N+ ∪ {0}

Teorema 1.5. Dado los n´ umeros naturales a, b, c, se cumplen las siguientes propiedades: a) Si a < b ∧ b < c ⇒ a < c

(Transitividad)

b) Si a < b ⇒ a + c < b + c

(Monoton´ıa)

c) Si a < b ∧ c > 0 ⇒ ac < bc d) Si a + c < b + c ⇒ a < b

(Monoton´ıa) (Cancelaci´ on)

e) Si a · c < b · c ∧ c > 0 ⇒ a < b

(Cancelaci´ on)

Demostraci´on. a) Por definici´on, si a < b y b < c, existen d > 0 y e > 0 tales que a + d = b y b + e = c. Luego (a + d) + e = b + e (Teorema 1.1(a)), pero b + e = c, entonces por sustituci´on y la propiedad asociativa se tiene a + (d + e) = c. Como d > 0 y e > 0, entonces d + e > 0, (Teorema 1.4(b)), luego se sigue de la definici´on de la relaci´on menor que a < c. b) Si a < b, por definici´on existe d ∈ N+ tal que a + d = b luego (a + d) + c = b + c (Teorema 1.1(a)) 29


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o sea (a + c) + d = b + c (propiedad asociativa y conmutativa) lo q implica que a + c < b + c (definici´on de la relaci´on menor) c) Si a < b, existe d ∈ N+ tal que a + d = b luego (a + d) · c = b · c (Teorema 1.1(a)) (a · c + d) · c = b · c (propiedad distributiva) Como d · c > 0,

pues d > 0 y c > 0 (Teorema 1.4(b))

Si sigue que a · c < b · c (definici´on de la relaci´on menor) d) Si a + c < b + c, entonces existe d ∈ N+ tal que (a + c) + d = b + c (definici´on de <) o sea (a + d) + c = b + c prop. asociativa y conmutativa luego a + d = b (axiomas de cancelaci´on) Como d > 0 se sigue que a < b (definici´on de <)

Teorema 1.6. Dado el n´ umero natural a, siempre existe un n´ umero natural n tal que n > a.

Demostraci´on. En efecto, basta considerar n = a + 1 pues como 1 > 0, se sigue que n = a + 1 > a + 0 = a, por la propiedad de monoton´ıa y elemento neutro, lo cual implica que n > a. Definici´ on 1.5. A continuaci´on se introduce nuevos s´ımbolos para representar otros n´ umeros naturales distintos de 0 y 1. As´ı se define:

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2 3 4 5 6 7 8 9 10

= = = = = = = = =

1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9+1

.

que que que que que que que que que

se se se se se se se se se

lee lee lee lee lee lee lee lee lee

“dos” “tres” “cuatro” “cinco” “seis” “siete” “ocho” “nueve” “diez”

Y as´ı, 2 ∈ N, 3 ∈ N, 4 ∈ N, 5 ∈ N, 6 ∈ N, . . . , etc. y se pueden calcular sumas y productos sencillos, demostrando que los resultados se obtienen usando las definiciones y axiomas, como por ejemplo: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5 3 · 2 = 3 · (1 + 1) = 3 · +3 · 1 = 3 + (2 + 1) = (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6 Adem´as 1<2 2<3

pues existe 1 ∈ N+ tal que 1 + 1 = 2 pues existe 1 ∈ N+ tal que 2 + 1 = 3

En general, se prueba que a < a + 1 para todo a ∈ N luego: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ··· Posteriormente, se demuestra que no existe un numero natural entre 0 y 1 y en general, no existe numero natural entre a y a + 1, con a ∈ N. Observaci´ on: Algunos autores no consideran al cero como n´ umero natural y definen los n´ umeros naturales a partir del 1. Matem´aticamente este hecho no constituye ning´ un problema ya que se demuestra que estas dos formas de definir N son equivalentes. Nosotros, como hacen la gran mayor´ıa de matem´aticos, entre ellos Peano, el primero que dio una definici´on axiom´atica del conjunto de los N´ umeros Naturales, se ha considerado al cero como n´ umero natural, entre otras cosas por las siguientes razones: - Considerar un elemento neutro para la adici´on en N. - Considerar en el sistema de numeraci´on decimal la cifra natural 0 de manera que se pueda escribir en N, 405 = 4 × 102 + 0 × 10 + 5, como un polinomio en “variable”x = 10, con coeficientes en N. 31


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- Al usar en el criterio de divisibilidad en N, por ejemplo un numero es divisible por 5 si la cifra de las unidades es m´ ultiplo de 5, es decir 0 ´o 5, vistos como n´ umeros naturales, etc. Si no se considera al 0 como numero natural entonces se extiende N al conjunto N ∪ {0}, extendiendo tambi´en sus operaciones.

Actividades 1. Escriba los modelos l´ogicos de las proposiciones dadas en esta sesi´on. 2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes 3. Un estudiante se encuentra frente a una fuente de agua y se le proporcionan dos envases ´ debe conseguir, haciendo uso solamente no graduados de 3 y 5 galones de capacidad. El de dichos galones, medir exactamente cuatro galones de agua. a) ¿C´omo resolver la tarea encomendada? b) ¿C´omo se resolver´ıa el problema si los recipientes fueran de 5 galones y 11 galones? c) ¿Cu´al es el m´ınimo volumen que se puede lograr si se dispone de 2 recipientes, uno de 4 galones y el otro de 6 galones de capacidad? 4. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido una p´erdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a raz´on de 1200 por mes. ¿Despu´es de cu´anto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado? 5. El ministro de Econom´ıa de cierto pa´ıs ha decidido que en ese pa´ıs deben usarse u ´ nicamente monedas de valores 4 y 7 Lunas, siendo una Luna su unidad monetaria. ¿Qu´e valores, en n´ umeros naturales, no se pueden pagar exactamente con estas monedas? Por ejemplo, no se puede pagar exactamente 6 Lunas, pero si se puede pagar 38 Lunas con seis monedas de 4 y dos monedas de 7. Para investigar: Encontrar todos los n´ umeros naturales x, y, z mayores que cero, tales que 1 + 2x 3 y = z 2

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1.4.

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Sesi´ on 4: Sustracci´ on y divisi´ on en N. Aplicaciones del principio del buen orden El n´ umero es el origen de todas las cosas ´n Plato Contextualizando: Programa de baloncesto

Milagros dirige un programa de baloncesto en Lambayeque. El primer d´ıa de la temporada se presentaron 60 j´ovenes y fueron clasificados por nivel de edad y por su preferencia en la posici´on de juego como se muestra en la siguiente tabla:

Secundaria (J) Edad Preparatoria (S) Universidad (C) Totales

Guardia (G) 9 12 5 26

Posici´ on Delantero (F) Centro (N) 6 4 5 9 8 2 19 15

Totales 19 26 15 60

utilizando el conjunto de etiquetas (letras) en la tabla, encuentre el n´ umero de jugadores que est´an en la edad de preparatoria y que juegan en la posici´ on de centro.

1.4.1.

Sustracci´ on y Divisi´ on en N

Definici´ on 1.6. Dado los n´ umeros naturales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota a − b, al n´ umero natural c, si existe, tal que a = b + c. Es decir, a−b =c ⇔ a= b+c Ejemplo 1.19. a) 3-2=1 puesto que existe 1 ∈ N tal que 3=2+1 b) Como 7=4+3 resulta 7-4=3 o tambi´en, 7-3=4. c) En cambio, la diferencia 2-3 no existe en N puesto que no hay n´ umero natural x tal que 2 = 3 + x. d) M´as generalmente, se probar´a en el siguiente teorema que la ecuaci´on x + a = b tiene soluci´on si a ≤ b.

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Teorema 1.7. Dado los n´ umeros naturales a y b, se cumplen las siguientes propiedades: a) Si a ≥ b, entonces existe a − b b) Si a < b, entonces no existe a − b Demostraci´on. a) Si a ≥ b entonces a > b o a = b (definici´on de ≥) Si a > b entonces, existe c ∈ N tal que a = b + c (definici´on de >). Si a = b entonces, existe c = 0 ∈ N tal que a = b + c (propiedad del elemento neutro). Luego, si a ≥ b existe c ∈ N tal que a = b + c, es decir, por definici´on, existe a − b. b) Sea a < b y se suponga que exista a − b, entonces por definici´on de diferencia, existe c ∈ N tal que a = b + c. Si c = 0, entonces a = b, lo cual es imposible por hip´otesis; y, si c > 0, por definici´on de la relaci´on mayor se tiene que a > b, hecho que tambi´en contradice a la hip´otesis. Por lo tanto no existe c ∈ ∈ N tal que a = b + c; es decir, no existe a − b.

Teorema 1.8. Sea a, b, c, m ∈ N, y a − b = c, entonces se cumplen las siguientes propiedades, siempre que cada diferencia exista en N: a) (a + m) − b = c + m

d) a − (b − m) = c + m

b) (a − m) − b = c − m

e) (a + m) − (b + m) = c

c) a − (b + m) = c − m

f ) (a − m) − (b − m)

Demostraci´on. a) Si a−b = c, por definici´on de diferencia, a = b+c, luego a+m = (b+c)+m (teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, a+m = b+(c+m). En consecuencia, aplicando la definici´on de diferencia se tiene (a + m) − b = c + m. b) Sea d = c − m, entonces, por definici´on de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b (teorema 1.1), y por las propiedades asociativa y conmutativa, se tiene que (d + b) + m = b + c. Por otra parte como a − b = c, por definici´on de diferencia, a = b + c y aplicando la propiedad transitiva, a = (d + b) + m. Entonces, aplicando la definici´on de diferencia se tiene a − m = d + b, y, nuevamente, por la misma definici´on, (a − m) − b = d y por axioma de sustituci´on, (a − m) − b = c − m.

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c) Sea d = c − m, entonces, por definici´on de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b (teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, se tiene que d + (b + m) = c + b. Por otra parte, como a − b = c, por definici´on de diferencia, a = b + c y aplicando la propiedad transitiva, a = d + (b + m). Entonces, aplicando la definici´on de diferencia se tiene que a − (b + m) = d y por axioma de sustituci´on, a − (b + m) = c − m. La prueba de d), e) y f) se deja como ejercicio.

Definici´ on 1.7. Dado los numeros naturales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a por b, y se denota ab , al numero naturales c, si existe, tal que a = b · c. Es decir ab = c ⇔ a = bc Ejemplo 1.20.

1. 4224/6 = 704, pues 4224 = 704 × 6

2. Rec´ıprocamente, 8 × 12 = 96, implica que, 96/8 = 12 3. Pero, no existe el cociente 58/3 puesto que no existe n ∈ N tal que 58 = 3n Observaciones: 1)

a 0

no existe por definici´on

2) Si 0 < a < b, no existe el cociente ab , pues a = bc ≥ b 3) Sea f la funci´on que asigna a cada par de n´ umeros naturales su diferencia, si existe, y sea g la funci´on que asigna a cada par de n´ umeros naturales su cociente, si ´este existe en N. Ninguna de estas funciones satisface la definici´on de operaci´on en N, pues no se aplican sobre todo N × N, de ese modo formalmente la sustracci´on y divisi´on no son operaciones binarias en N.

1.4.2.

Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11)

Teorema 1.9. No existe n´ umero natural n, tal que 0 < n < 1

Demostraci´on. Sea A = {n ∈ N/0 < n < 1}, bastar´a probar que A = φ Se supone que A = φ; luego, como A es un subconjunto no vac´ıo de N, por el axioma del buen orden, A posee un elemento m´ınimo m; as´ı 0 < m < 1. Entonces, multiplicando por m, tenemos 0 < mm < m < 1, lo que indica que existe un numero mm ∈ A, menor que el m´ınimo, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, A = φ.

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Teorema 1.10 (Principio de Inducci´on Matem´atica). Sea A un subconjunto de N, tal que: i) 0 ∈ A ii) h ∈ A, implica h + 1 ∈ A Entonces, A=N

Demostraci´on. Bastar´a probar que CA = N − A = φ Se supone que CA 6= φ, entonces, por el axioma del buen orden, CA posee un m´ınimo, ll´amenle m. Como m ∈ CA ⇒ m 6∈ A, por ello m 6= 0 (recuerda que por hip´otesis (I), 0 ∈ A) Es decir, m > 0 ⇒ m ≥ 1. Luego existe m − 1 y adem´as m − 1 < m, entonces m − 1 6∈ CA. Entonces m − 1 ∈ A que, por hip´otesis (II), implica que m = (m − 1) + 1 ∈ A, lo cual contradice el hecho de que m ∈ CA. Por lo tanto, CA = φ y as´ı, A = N Ya se ha visto que no siempre es posible la division de dos numeros naturales; sin embargo, tenemos el siguiente resultado Teorema 1.11 (Algoritmo de la Divisi´on de Euclides). Si a, b ∈ N con b 6= 0 existen n´ umeros naturales r y q, u ´nicos, tales que a = bq + r,

con

0≤r<b

a b r q

Demostraci´on. Este teorema tiene dos partes: Existencia y Unicidad. a) Primero se ve la existencia. Con a y b fijos, se define H como el conjunto de todos los numeros naturales de la forma: a − nb, con n ∈ N. Es decir, H = {d ∈ N/d = a − nb, n ∈ N} o sea H = {a, a − b, a − 2b, a − 3b, . . .} ⊂ N

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Claramente, H es no vac´ıo, pues a ∈ H. Por el axioma del Buen Orden, en H existe un elemento m´ınimo al que se llamar´a r; luego, tambi´en existe un n´ umero natural q tal que a − bq = r ≥ 0. As´ı se ha encontrado dos n´ umeros naturales q y r, que satisfacen: y 0≤r

a = bq + r,

Falta demostrar que r < b. Si se tuviera r ≥ b, resultar´ıa r − b ≥ 0 ⇒ (a − bq) − b ≥ 0 ⇒ a − b(q + 1) ∈ H Pero a − b(q + 1) = (a − bq) − b < a − bq = r y esto significa que H tiene un elemento menor que el m´ınimo, lo cual es absurdo. Entonces r < b. Con esto se tiene a = bq + r y 0 ≤ r < b b) Ahora se ve la unicidad. Se supone que existen otros n´ umeros naturales q ′ y r ′ tales que: a = bq ′ + r ′

y 0 ≤ r′ < b

(1.3)

Entonces bq + r = bq ′ + r ′ De donde r = b(q ′ − q) + r

y r ′ = b(q − q ′ ) + r

Luego: Si q < q′ → q′ − q ≥ 1

r = b(q ′ − q) + r ′ ≥ b + r ′ ≥ b,

q > q′ → q′ − q ≥ 1

r = b(q ′ − q) + r ≥ b + r ≥ b,

y si En ambos casos se llega a contradecir el hecho de que r y r ′ < b Entonces q = q ′ .Luego de 1.4, r = r ′

Ejemplo 1.21. a) Dados los n´ umeros 47 y 8, existen los n´ umeros 5 y 7 tales que 47 = 5 × 8 + 7,

0≤7<8

b) Dados los n´ umeros 6688 y 111, se tienen los n´ umeros 60 y 8 tales que 6668 = 60 × 111 + 8 37

(1.4)


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c) Dados los n´ umeros 3003 y 231, existen los n´ umeros 13 y 0, naturales, tales que 3003 = 231 × 13 + 0 En la expresi´on a = bq + r con 0 ≤ r < b, el n´ umero a recibe el nombre de dividendo; b recibe el nombre de divisor; r el nombre de resto o residuo y q, el nombre de cociente por defecto (o simplemente cociente). Si el residuo r es cero diremos que la divisi´ on es exacta. Ejemplo 1.22. a) Dados los numeros 129 y 15 en N, existen 8 ∈ N y 9 ∈ N tales que 129 = 15 × 8 + 9,

0 ≤ 9 < 15 (divisi´on inexacta)

b) Dados los numeros 180 y 36 en N, existen 5 ∈ N y 0 ∈ N, tales que 180 = 36 × 5 + 0 (division exacta) c) To˜ no, Yola y F´elix son amigos. El s´abado fueron a comprar pasajes para ir a un congreso de matem´atica. To˜ no no llevaba dinero, entonces, entre Yola y F´elix le hicieron un pr´estamo y pagaron los tres pasajes. Yola puso 64 soles y F´elix 68 soles. ¿Cu´anto debe devolverle To˜ no a Yola? ¿Y cu´anto a F´elix? Soluci´ on: Los tres pasajes cuestan (64+68)=132 soles. Cada uno de ellos cuesta 132/3=44 soles. Entonces, Yola prest´o a To˜ no (64 − 44) = 20 soles y

F´elix prest´o a To˜ no (68 − 44) = 24 soles Luego, To˜ no debe devolver 20 soles a Yola y 24 soles a F´elix.

Problemas Resueltos Problema 1.1 (*). La comisi´on directiva de una sociedad secreta esta formada por cuatro personas. Para admitir nuevos socios se rigen los siguientes criterios: - Votan solamente los 4 integrantes de la directiva, pudi´endolo hacer de tres formas:a favor, en contra o absteni´endose. - Cada aspirante debe obtener por lo menos dos votos a favor y ninguno en contra En la ultimo reunion de la directiva, se consideran 8 solicitudes de ingreso. Del total de votos emitidos, resultaron 23 votos a favor, 2 votos en contra y 7 abstenciones. ¿Cual es la mayor y cual es la menor cantidad de solicitudes que pudieron ser aceptadas en esta ocasi´on? 38


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Soluci´ on. Sean A, B, C, D, E, F, G y H los ocho aspirantes. Como hay votos en contra, al menos un aspirante sera admitido. En efecto, la mayor cantidad de aspirantes admitidos es 7 cuando solo un aspirante es rechazado. Los votos recibidos por cada aspirante para este caso pueden ser los siguientes: Aspirante A B C D E F G H Total

Votos a favor 3 3 3 3 3 3 3 2 23

Votos en contra 2 2

Abstenciones 1 1 1 1 1 1 1 7

Situaci´on final Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Rechazado

De otro lado, como solo hay dos votos en contra, 6 aspirantes que no reciben votos en contra. Estos seis aspirantes recibir´an 23 − 6 = 17 votos a favor (pues los otros dos aspirantes reciben, en conjunto un m´aximo de 6 votos a favor). Para ser rechazado. alguno de estos seis aspirantes, debe recibir al menos tres votos de abstenci´on. Pero como solo hay 7 votos de abstenci´on, entonces a lo mas pueden ser rechazados dos de estos seis aspirantes. Esto significa que la menos cuatro de estos seis postulantes que no reciben votos en contra ser´a aceptado. En efecto, 4 es la menor cantidad de aspirantes aceptados y la tabla siguiente muestra cuales podr´an ser los votos recibidos por cada aspirante para obtener este m´ınimo: Aspirante A B C D E F G H Total

Votos a favor 4 4 4 4 1 1 2 3 23

Votos en contra 1 1 2

Abstenciones 3 3 1 7

Situaci´on final Aceptado Aceptado Aceptado Aceptado Rechazado Rechazado Rechazado Rechazado

Problema 1.2 (*). Rodolfo y Gabriela tiene 9 fichas enumeradas del 1 al 9 y se entretienen con el siguiente juego: Sacan alternadamente 3 fichas cada uno, con las siguientes reglas:

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 Comienza el juego Rodolfo, eligiendo una ficha y en los turnos siguientes debe tomar, cada vez, una ficha tres unidades menos que la ultima que saco Gabriela  Gabriela, a su vez, elige la primera ficha y en los turnos siguientes debe tomar, cada vez, una ficha 2 unidades menos que la ultima que ella misma sac´o  Gana el que obtiene el numero al sumas sus tres fichas.  Si el juego no se puede completar, hay empate. Si los dos juegan sin equivocarse ¿Como debe jugar Rodolfo para asegurar no perder? Soluci´ on. Sea R la primera ficha que saca Rodolfo y G la primera ficha que saca Gabriela. Si el juego terminara, las fichas de Rodolfo y Gabriela secar´ıan ser´ıan las siguientes: Numero de jugada Primera Segunda Tercera

Rodolfo R G-3 G-5

Gabriela G G-2 G-4

Si Rodolfo comienza sacando la ficha R = 9, Gabriela puede sacar la ficha G = 8 y el juego se desarrollar´a de la siguiente manera: Numero de jugada Primera Segunda Tercera

Rodolfo 9 5 3

Gabriela 8 6 4

Gabriela ganar´ıa pues 8 + 6 + 4 > 9 + 5 + 3 Si rodolfo saca una ficha R < 9. Gabriela puede sacar la ficha R + 1 y, si el juego termina, se desarrollar´ıa de la siguiente manera: Numero de jugada Primera Segunda Tercera

Rodolfo R R-2 R-4

Gabriela R+1 R-1 R-3

Nuevamente Gabriela ganar´ıa, pues (R+1)+(R+1)+(R−3) = 3R−3 > RR+(R−2)+(R−4). En consecuencia, Rodolfo, para no perder, intentar´ıa que el juego no termine. Eso lo que puede conseguir si elige R = 4. Analizaremos, en este caso, cual puede ser la primera ficha que Gabriela saque:  Si Gabriela comienza con G = 9, el juego terminar´a pues como ya fue sacada la ficha 4, Rodolfo no podr´a sacar su tercera ficha G − 5 = 9 − 5 = 4, pues esta ficha ya fue retirada por Rodolfo en su primera jugada. 40


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 Si G = 8, el juego no terminar´a pues Gabriela no podr´a sacar su tercera ficha G − 4 = 8 − 4 = 4, pues Rodolfo ya sac´o esta ficha en la primera jugada.  Si G = 7, el juego no terminar´a pues Rodolfo deber´ıa sacar en su segunda jugada la ficha G − 3 = 7 − 3 = 4, que ya la saco ´el mismo en su jugada anterior.  Si G = 6, el juego no terminar´a pues Gabriela deber´ıa retirar en su segunda jugada la ficha G − 2 = 6 − 2 = 4, que ya fue retirada por Rodolfo en su primera jugada.  Si G ≤ 5, el juego no terminar´a, pues no existir´ıa una ficha con el numero G − 5 que es la que corresponde a Rodolfo para su tercera jugada. As´ı, queda probado que si Rodolfo comienza retirando la ficha R = 4, ´el garantiza que el juego no terminar´a y, por tanto, se esta asegurando de no perder. Problema 1.3 (*). Tenemos 105 monedas, entre las cuales sabemos que hay tres falsas. Las monedas autenticas pesan todas lo mismo y su peso es mayor que el de las falsas, que tambi´en pesan todas lo mismo. Indicar de que manera se pueden seleccionar 26 monedas autenticas realizando s´olo dos pesadas en un balanza de dos platos. Soluci´ on. Para la primera pesada, ubicamos 52 monedas en cada platillo. Si los platillos se equilibran significa que en cada platillo hay exactamente un moneda falsa. Si un platillo tiene sube y otro baja, el que baja (el mas pesado) tiene menos moneda falsas que el otro platillo. Por lo tanto, el platillo m´as pesado tiene a lo mas una moneda. Es decir, con la primera pesada podemos seleccionar 52 monedas de las cuales a lo mas una de ellas es falsa. Tenemos 52 monedas seleccionadas en la primera pesada. Colocamos 26 monedas en cada platillo. Si los platillos se equilibran, no hay monedas falsas en ninguno de los dos platillos. En caso contrario, el platillo que sube ( el que pesa menos) contiene una moneda falsa, mientras que el platillo que baja no contiene monedas falsas. En cualquier de los casos, hemos encontrado un platillo con 26 monedas verdaderas.

Actividades 1. Escriba los modelos l´ogicos de las proposiciones dadas en esta sesi´on. 2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes 3. Detalle la demostraci´on del Teorema 1.9. 4. Para investigar: En la ciudad de “Camorra”hay 1000 habitantes. Dos cualesquiera de ellos o son amigos o son enemigos. Cada d´ıa, a lo sumo uno de los habitantes se pelea con todos sus amigos y simult´aneamente, se hace amigo de todos los enemigos; adem´as de esto, en cualquier conjunto de tres habitantes, los tres se hacen amigos entre s´ı. Demostrar que en un cierto n´ umero 41


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de d´ıas, todos los habitantes son amigos. ¿Cu´al es el menor n´ umero de d´ıas suficiente para ellos?. 5. Por inducci´on matem´atica demostrar que: a. 1 + 2 + 3 + · · · + n =

n(n+1) 2

b. 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 c. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = d. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n(n+1)(2n+1) 6 h i2 n(n+1) 2

6. Ilustrar con ejemplos concretos el algoritmo de Euclides.

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1.5.

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Sesi´ on 5: Potenciaci´ on y Radicaci´ on. Divisibilidad: definiciones y teoremas ¿ Has tra´ıdo ante mi a un hombre que no sabe contra sus dedos? Del libro de los muertos

´mero en potencias cu ´bicas Contextualizando: Descomponiendo un nu Cierta vez un matem´atico llamado H. Hardy al visitar a su amigo Ramanuj´ an, que estaba enfermo en un hospital, le dijo: “Vine en el taxi 1729, el n´ umero me pareci´ o muy banal y espero que no sea de mal ag¨ uero. Al contrario, contesto Ramanuj´ an el n´ umero es muy interesante, es el menor n´ umero que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas: 1729 = 13 + 123 = 93 + 103 Debemos saber que Ramanuj´an al responder instant´ aneamente no lo hizo por arte de magia, sino como trabajaba constantemente con los n´ umeros ya sab´ıa de los cubos perfectos de memoria; s´olo tuvo que percatarse que dos de ellos sumasen 1729.

1.5.1.

Potenciaci´ on y Radicaci´ on

Definici´ on 1.8. Sean a y n dos n´ umeros naturales, la potencia an , est´a dada por: 1) a0 ,

a 6= 0

2) an = a · an−1 , para n ≥ 1 As´ı:

Para n ≥ 2,

a1 a2 a3 a5

= = = =

a · a0 = a · 1 = a a·a a·a·a a·a·a·a·a

(2 factores) (3 factores) (5 factores)

an = a · a · a · · · a (n factores)

En la expresi´on an , el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente. Observaci´ on: Se llama potenciaci´on a la aplicaci´on que hace corresponder a cada par de numeros naturales (a, n) 6= (0, 0) la potencia an . Note que (a, n) 6= (0, 0) no excluye las posibilidades (a, 0), con a 6= 0 ni (0, n) con n 6= 0, casos en los cuales existen respectivamente las potencias a0 = 1 y 0n = 0. 43


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Teorema 1.12 (propiedades de la potencia). Dado los n´ umeros naturales a, b y m, n, se cumplen las siguientes propiedades de la potencia: 1. (a · b)n = an · bn

3. (am )n = am·n

2. am · an = am+n

4. a < b ⇔ an < bn

Demostraci´on. La definici´on formal de la potencia an y la demostraci´on de sus propiedades (teorema 1.12) se efect´ uan usando inducci´ on matem´ atica. A manera de ejemplo probemos la afirmaci´on a): a)

(i) Sean n = 1, entonces (a · b)n = (a · b) = a1 · b1 = an · bn (ii) Supongamos ahora q la propiedad es verdadera para n = h ≥ 1; es decir, (a · b)h = ah · bh

(Hip´otesis inductiva)

Probaremos la validez de esta afirmaci´on para n = h + 1. En efecto: (a · b)h+1 = = = =

(a · b) · (a · b)h (a · b) · ah · bh (a · ah ) · (b · bh ) ah+1 · bh+1

Por definici´on de potencia (II) Por Hip´otesis Inductiva Asociado y conmutado Por definici´on de potencia (II)

Por lo tanto, (a · b)n = an · bn Definici´ on 1.9. Sean a y n n´ umeros naturales, n ≥ 1. Se llama ra´ız n-´ esima de a y se denota √ n n a, al n´ umero natural b, si existe, tal que b = a. √ Simb´olicamente n a = b ⇔ bn = a √ En la expresi´on n a; diremos que n es el ´ındice del radical, y a es el radicando. Teorema 1.13. Dados a, b ∈ N y n ≥ 1, se tiene: √ √ √ √ √ √ a) Si n a y n b existen, entonces existe n ab y adem´ as n ab = n a · n b √ √ √ √ b) Si n a existe, entonces existe n am y n am = ( n a)m p√ p√ p√ √ √ c) Si n m a existe, entonces existen mn a y m n a y mn a = m n a √ √ m d) Si 0 < a < b y existe m a y b

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Demostraci´on. La prueba se deja como ejercicio.

1.5.2.

Sistema de Numeraci´ on Decimal

En el Sistema Decimal se emplean diez s´ımbolos, conocidos como d´ıgitos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que fueron introducidos en la definici´on 1.5; para representar a todos los n´ umeros naturales. Por eso se llama tambi´en sistema de base 10. Teorema 1.14. Si m es un n´ umero natural diferente de cero, entonces m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0 donde ai ∈ N, an 6= 0 y 0 ≤ a < 10, para todo i = 0, 1, 2, 3, . . . , n. Esta expresi´on se llama expresi´on decimal de m y se denota por: m = an an−1 · · · a2 a1 a, de donde m es un n´ umero natural de n + 1 cifras: a0 , a1 , a2 , . . . , an Demostraci´on. (Por inducci´on sobre m) I) Si m = 1, la expresi´on decimal es m = a = a0 , donde 0 ≤ a0 = 1 < 10 II) Si m > 1, supongamos inductivamente que la tesis del teorema es verdadera para todo n´ umero natural menor que m, probaremos que lo es tambi´en para m. Por el algoritmo de la divisi´on: Existen r, q, u ´ nicos, tales que m = 10q + r con 0 ≤ r < 10. Pero q < m, entonces el teorema es v´alido para q, es decir q = at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0 ,

con a ≤ ai < 10

Luego, m = 10(at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0 ) + r = at 10t+1 + at−1 10t + · · · + a2 103 + a1 102 + a0 10 + r

que es una expresi´on polin´omica en base 10, equivalente al n´ umero m. La unicidad resulta de la unicidad del resto de la divisi´on por 10.

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Demostraci´on. En la expresi´on decimal de m m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a1 × 10 + a0 = an an−1 · · · a2 a1 a0 cada cifra tiene una denominaci´on, la cual es: a0 se llama cifra de las unidades (100 = 1: una unidad) a1 cifra de las decenas (101 = 10: una decena) a2 cifra de las centenas (102 = 100. una centena) a3 cifra de las unidades de millar (103 = 1000: un millar o una unidad de millar) a4 cifra de las decenas de millar (104 ) a5 cifra de las centenas de millar (105 ) a6 cifra de las unidades de mill´on (106 ), etc.

1.5.3.

Divisibilidad: Definiciones y Teoremas

Definici´ on 1.10. Sean a y b dos numeros naturales con b 6= 0. Diremos que a es divisible por b si existe un numero natural n tal que a = bn. Si a es divisible por b, diremos que b es divisor de a o que b divide a a y lo denotaremos ba. En caso contrario, escribiremos b|a Sean a, b ∈ N, diremos que a es m´ ultiplo de b o b es subm´ ultiplo de a si, y solo si existe k ∈ N tal que a = bk Ejemplo 1.23. a) 189 es divisible por 21, pues 189 = 21 × 9 b) 3a5 es divisible por 5, pues 3a5 = 3a0 + 5 = (3a × 2 + 1) × 5 Observaciones:

1) Como a = a · 1, para todo a ∈ N; entonces, todo numero natural es m´ ultiplo de 1, o 1 es divisor de todo numero natural. 2) Como 0 = b · 0, para todo b ∈ N; el cero es m´ ultiplo de todo numero natural y todo n´ umero natural diferente de cero divide al cero.

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En lo que sigue tendremos presente que si a 6= 0 entonces a > 0. A continuaci´on, presentamos las propiedades mas importantes de la divisibilidad que pueden ser demostradas usando la definici´on de divisibilidad, el axioma de sustituci´on y las propiedades de la adici´on y multiplicaci´on de los numeros naturales. Teorema 1.15. Sean a, b y c n´ umeros naturales. Se cumplen las siguientes propiedades: 1) a/a para todo a 6= 0 (Reflexiva) 2) Si a|b y b|c, entonces a/c

(Transitiva)

3) Si a|b, entonces a|bc para todo natural c 4) Si a|b, entonces ac|bc, ∀ c 6= 0 5) Si ab|c, entonces a|c y b|c. 6) Si a|b y a/c, entonces a|(b + c). Mas generalmente: Si a/bi (i = 1, 2, . . . , n), entonces a/(m1 b1 + m2 b2 + · · · + mn bn ) ∀ mi ∈ N 7) Si a|(b + c) y a|b, entonces a|c 8) Si a|b, a|c y b > c, entonces a|(b − c). Demostraci´on.

1. Sea a 6= 0. Como a = a · 1 entonces a/a.

2. Si a|b y b|c, por definici´on existen n´ umeros naturales m y n tales que b = am y c = bn. Luego, c = (am)n = a(mn). De ah´ı que a|c. 3. a/b ⇒ b = ka, k ∈ N

⇒ bc = a(kc), en particular ∀ c 6= 0 ⇒ a/bc

4. Si a|b, existe m ∈ N tal que b = am. Entonces bc = cam, de donde ac|bc, c > 0 5. Como a|ab y ab|c entonces, por transitividad, a|c. Similarmente, b|ab y por hip´otesis ab|c, entonces b|c

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6. Si a|b y a|c, por definici´on existen n´ umeros naturales m y n tales que b = ma y c = na. O sea b + c = ma + na, es decir b + c = (m + n)a. Luego, por definici´on de divisor, resulta que a|(b + c). Del mismo modo y utilizando c) se demuestra el caso general. 7. y h) se demuestran f´acilmente utilizando f).

Ejemplo 1.24. a) Si 3|m y 3|n, entonces 3|(5m + 7n) b) Si a = 7b + c, entonces 7|a si y solo si 7|c. A continuaci´on presentamos un teorema de donde se deducen de manera natural, los criterios de divisibilidad por 2, por 5 y por 10. Teorema 1.16. Sea m un n´ umero natural, entonces existe un n´ umero natural b tal que m = 10b + a0 donde a0 es la cifra de las unidades de la representaci´ on decimal de m. Es un n´ umero natural b. decir, si m = an an−1 · · · a2 a1 a0 , entonces m = 10b + a0 , para alg´ Los n´ umeros an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 se llaman cifras del n´ umero natural m.

Demostraci´on. Sea m un n´ umero natural, m = an an−1 · · · a2 a1 a0 Aplicando el algoritmo de la divisi´on, seg´ un el teorema 1.14, su descomposici´on en potencias de 10 es: m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 101 O sea m = 10(an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · · + a2 × 101 + a1 ) + a0 Si ponemos b = (an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · · + a2 × 101 + a1 ), b es un n´ umero natural y se tiene que m = 10b + a0 . Daremos algunos criterios que nos permitan determinar si un n´ umero natural dado es o no divisible por otro, sin realizar la operaci´on de la divisi´on. Corolario 1.3 (Divisibilidad por 2). Un n´ umero natural es divisible por 2 si, y s´olo si, la cifra de las unidades es un n´ umero par.

Demostraci´on. Sea m un n´ umero natural, entonces seg´ un el teorema 1.16, existe un n´ umero natural b tal que m = 10b + a0 . 48


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(⇒) Luego, si m es divisible por 2, como 10b = 2(5b) es divisible por 2, debe ser a0 divisible por 2, seg´ un el teorema 1.15(g). (⇐) Rec´ıprocamente, si a0 es divisible por 2, entonces m = 10b + a0 es divisible por 2, por el teorema 1.15(f), con lo que termina la demostraci´on.

Observaci´ on: Del corolario 1.3, podemos concluir que un n´ umero es par si, y s´olo si, la cifra de unidades es par. Corolario 1.4 (Divisibilidad por 5). Un n´ umero natural es divisible por 5 si, y s´olo si, la cifra de las unidades es cero o cinco.

Demostraci´on. Sea m un numero natural, por el teorema 1.16, m = 10b + a0 para alg´ un natural b. (⇒) Luego, si m es divisible por 5, y 10b = 5 × 2b es divisible por 5, se sigue que a0 es divisible por 5, seg´ un el teorema 1.15(g). Luego ∃ k ∈ N/5k = a0 y como a ≤ a0 < 10, reemplazando se tiene 0 ≤ 5k < 10 De donde se sigue que 0 ≤ k < 2, lo que implica que k = 0 ∧ k = 1 y en consecuencia a0 = 0 ∧ a0 = 5 (⇐) Rec´ıprocamente, si a0 es divisible por 5, entonces m debe ser divisible por 5 (por el teorema 1.15(f)).

Observaci´ on: Es claro que 17658 no es divisible por 5, pues evidentemente la cifra de unidades no es 5 ni cero, pero es posible determinar el resto de dividir 17658 por 5, sin efectuar la divisi´on: 17658 = 17655 + 3 = 5k + 3,

con 0 ≤ r = 3 ≤ 5

Luego seg´ un el algoritmo de la divisi´on, el resto es 3. En el caso del n´ umero 2000015926, ´este es un n´ umero natural de la forma 5n + 1 ´o 5m + 6, donde el resto de dividir (sin efectuar la divisi´on), tal n´ umero por 5, es igual a 1. Corolario 1.5 (Divisibilidad por 10). Un n´ umero natural es divisible por 10 si, y s´olo si, la cifra de unidades es cero.

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La prueba se deja como ejercicio. Teorema 1.17. Para todo n´ umero natural n = c1 cr−1 · · · c2 c1 c0 , existe un n´ umero natural k, tal que n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) Demostraci´on. Sea el n´ umero n, el cual descomponemos en unidades, decenas, centenas, millares, etc.; o sea: n = c0 + 10c1 + 102 c2 + 103 c3 + 104 c4 + · · · + 10r cr donde r es un n´ umero natural. Por otra parte se tiene que: c0 10c1 102 c2 10r cr

= = = =

c0 (9 + 1)c1 = 9k1 + c1 (99 + 1)c2 = 9k2 + c2 (99 . . . 9 + 1)cr = 9kr + cr

Sumando miembro a miembro y aplicando la distributiva: n = 9(k0 + k1 + k2 + · · · + kr ) + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) luego existe el n´ umero natural k = (k0 + k1 + k2 + · · · + kr ), tal que: n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr )

Corolario 1.6 (Divisibilidad por 3). Un n´ umero natural es divisible por 3 si, y s´olo si, la suma de sus cifras es m´ ultiplo de 3.

Demostraci´on. Sea n un n´ umero natural, por el teorema 1.17, n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr )

n = 3(3k) + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) Entonces n es divisible por 3 si, y s´olo si, la suma de sus cifras (c0 + c1 + c2 + · · · + cr ) es divisible por 3. Observaci´ on: El n´ umero natural 18458 no es divisible por 3, pues 1+8+4+5+8=26 no es m´ ultiplo de 3. Pero es importante notar que si la suma hubiera resultado 24 en lugar de 26, tendr´ıamos un n´ umero 50


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divisible por 3, entonces si restamos esa diferencia de 2 unidades al n´ umero 18458, tendremos el mayor m´ ultiplo de 3, menor que 18458, es decir, usando este criterio de divisibilidad por 3, 18458 = 3k + 2,

k natural

obteniendo (sin dividir), que el resto de la divisi´on de 18458 por 3 es 2. (El mismo que deja la suma de cifras, al aplicarle el criterio de divisibilidad por 3) Corolario 1.7 (Divisibilidad por 9). Un n´ umero natural es divisible por 9 si, y s´olo si, la suma de las cifras es m´ ultiplo de 9.

Demostraci´on. An´alogo al caso de divisibilidad por 3, se deja como ejercicio. Teorema 1.18 (Divisibilidad por 11). Por comodidad consideremos un n´ umero de cuatro cifras pero el teorema vale en general Un n´ umero natural abcd es divisible por 11, si la diferencia, que exista, entre las sumas de las cifras de lugar impar, contando de derecha a izquierda, y las de lugar par, es divisible por 11.

Demostraci´on. Sea el n´ umero n, que descomponemos as´ı: n = d + 10c + 102 b + 103 a Por otra parte d = d 10c = (11 − 1)c = 11k1 − c

102 b = (99 + 1)b = 11k2 + b

103 a = (1001 − 1)a = 11k3 − a Sumando y simplificando: n = 11(k1 + k2 + k3 ) + [(b + d) − (a + c)] O bien n = 11(k1 + k2 + k3 ) − [(a + c) − (b + d)] Entonces n es divisible por 11 si y solo si la diferencia [(b + d) − (a + c)] o [(a + c) − (b + d)], seg´ un la diferencia que exista en N, es m´ ultiplo de 11. De manera an´aloga se puede extender esta idea a n´ umeros de m´as cifras. 51


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Problemas Resueltos Problema 1.4. ¿Qu´e sucede con un n´ umero de cinco cifras, si a su primera cifra se le aumenta en dos, a la segunda se le disminuye en cinco, a la tercera se le disminuye en cuatro, a la cuarta se le aumenta en uno y a la quinta se le disminuye en tres? Soluci´ on. Sea N el n´ umero de cinco cifras. De los datos tenemos: “A la primera se le aumenta en dos”: es decir la cifra que ocupa las decenas de millar se aumenta en 2. Luego tenemos que nos queda: N + 2 decenas de millar. Razonando en forma an´aloga, tenemos: N + 2 decenas de millar – 5 millares – 4 centenas + 1 decena – 3 unidades = N + 20 000 unidades – 5 000 unidades - 400 unidades + 10 unidades – 3 unidades = N + 14 607 unidades. Luego, el n´ umero aumenta en 14 607 unidades. Problema 1.5. Se tiene un n´ umero de 6 cifras que comienza a la izquierda con 2. si se hace pasar la cifra 2, del sexto orden se encuentra, al primer orden se obtendr´a un nuevo n´ umero que ser´ıa el triple del original. El n´ umero primitivo es: Soluci´ on. Sea N el n´ umero original, del enunciado: “Pasar la cifra 2 del sexto orden al primer orden”. Lo que en primer lugar es “eliminar”dicha cifra 2, mediante: N − 2 × 105

Para pasarla al primer orden hacemos: [N − 2 × 105 ] × 10 + 2 Finalmente nos queda: [N − 2 × 105 ] × 10 + 2 = 3N 10N − 2 × 106 + 2 = 3N

7N = 2 × 106 − 2 1 999 998 N = = 285 714 7 Problema 1.6. Existen 6 n´ umeros de dos cifras cada uno, formado por las diferentes combinaciones de u ´ nicamente 3 cifras distintas entre s´ı. ¿Cu´antas veces es la suma de dichos 6 n´ umeros, a la suma de las mencionadas 3 cifras? Soluci´ on. Sean a, b y c las tres cifras distintas. Los 6 n´ umeros de dos cifras cada uno que se pueden formar son: ab, ba, ac, ca, bc, cb Ahora del enunciado ab + ba + ac + ca + bc + cb = 10a + b + 10b + a + 10a + c + 10c + a + 10b + c + 10c + b = 22(a + b + c) Es 22 veces la suma de las mencionadas 3 cifras. 52


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Problema 1.7. Se desea repartir S/.1 000 000 entre cierto n´ umero de personas, de tal modo lo que les corresponda sea S/.1,00; S/.7,00; S/.49,00; S/.343,00; etc y que sea m´as de seis personas que reciban la misma suma. Determinar cu´antos fueron los beneficiados. Soluci´ on. Del enunciado: Un n´ umero “a” de personas recibir´a S/.1 Un n´ umero “b” de personas recibir´a S/.7 Un n´ umero “c” de personas recibir´a S/.72 Un n´ umero “d” de personas recibir´a S/.73 y as´ı sucesivamente, tal que a, b, c, etc. sean menores que 7. Observamos que para que ocurra esto, que es suficiente con pasar: S/.1 000 000 a base 7 y cada coeficiente x de 7k ser´a el n´ umero de personas que reciben la cantidad 7k . As´ı: 1 000 000 = 11333311(7) = 1 × 77 + 1 × 76 + 3 × 75 + 3 × 74 + 3 × 73 + 3 × 72 + 1 × 7 + 1 El n´ umero de beneficiados es: 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 16. Problema 1.8. ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? Soluci´ on. Sean U = conjunto de todos los n´ umeros de tres cifras, entonces n(U) = 900 [n(u) = n´ umero de elementos del conjunto] A = conjunto con por lo menos una cifra par/A ⊂ U B = conjunto con por lo menos una cifra impar/B ⊂ U Nos piden n(A ∩ B) =? Por teor´ıa de conjuntos: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)c = U, donde: (A ∩ B) ∩ (A ∩ B)c = ∅ Luego: n(A ∩ B) + n(A ∩ B)c = n(U)

(1)

n(A ∩ B) = 900 − n(A ∩ B)c

(2)

entonces Pero (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Donde: 53


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Ac = conjunto con ninguna cifra par/Ac ⊂ U B c = conjunto con ninguna cifra impar/B c ⊂ U umero de cifras cualesquiera. Sea abc un n´ c Para A : La cifra a puede tomar 5 valores (que son 1, 3, 5, 7 y 9) Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una Luego el conjunto Ac tiene 5 × 5 × 5 = 125 elementos. Es decir n(Ac ) = 125

(3)

Para B c : La cifra a puede tomar 4 valores (que son 2, 4, 6, 8 y 9) Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una (0, 2, 4, 6, 8) Luego el conjunto B c tiene: 4 × 5 × 5 = 100 Es decir: n(B c ) = 100

(4)

(3) y (4) en (2): n(A ∩ B)c = n(Ac ∪ B c ) = n(Ac ) + n(B c ), n(A ∩ B)c = 125 + 100 = 225

(5)

(ya que Ac ∩ B c = ∅) (5) en (1): n(A ∩ B) = 900 − 225 = 675 Problema 1.9. ¿Cu´al es el menor n´ umero natural N, tal que rest´andole una unidad a su primera cifra de la izquierda “a” y aument´andole una unidad se obtenga el producto de (a+2) por el n´ umero N despu´es de suprimir la cifra “a”?. Dar como respuesta la suma de cifras de dicho n´ umero N. Soluci´ on. Supongamos que el n´ umero N tiene n cifras. Del enunciado: (N − 1 × 10n−1 ) + 1 = (a + 2)[N − a × 10n−1]

N − 10n−1 + 1 = (a + 2)N − a(a + 2) × 10n−1

[(a + 2) − 1]N = a(a + 2) × 10n−1 − 10n−1 + 1 = [a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1 [a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1 N = a+1 54

(1)


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De (1) observamos que el numerador es un n´ umero (que termina en uno), luego para que exista N tenemos que a + 1 debe ser impar, m´as a´ un debe ser 3 ´o 7 ´o 9. Es decir a = 2; 6; 8 Si a = 2 en (1) (n−1) cifras

z }| { 700 . . . 01 7 × 10n−1 + 1 N= = 3 3 Donde tenemos que para ning´ un valor de n, N es entero. Si a = 6 en (1): (n−1) cifras

efectuando la divisi´on

z }| { 4700 . . . 01 47 × 10n−1 + 1 N= = 3 3 4 7 0 0 ... 0 1 7 5 0 671 1 0 3 ...

Del esquema observamos que conviene “bajar” un cero m´as, y despu´es “bajar”la unidad. Nos queda: 470 001 67 143 N= = La suma de las cifras es: 6 + 7 + 1 + 4 + 3 = 21. Problema 1.10. El guardi´an de un pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo, cada 5 metros y en la direcci´on Norte un total de 27 ´arboles y adem´as puede sacar agua del pozo cada vez que para el riego de un s´olo ´arbol. ¿Cu´anto tiene que andar diariamente para regar los 27 ´arboles y regresar al pozo? Soluci´ on. Se observa que para regar un ´arbol y regresar al pozo, el guardi´an recorre el doble de la distancia que hay del pozo al ´arbol respectivo. As´ı, para el primer ´arbol recorre 10 m; para el segundo ´arbol recorre 20 m y as´ı sucesivamente. LA distancia recorrida es: 10 + 20 + 30 + · · · = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + · ·· + 27 × 10  27(27 + 1) = 10[1 + 2 + 3 + · · · + 27] = 10 2 = 10[27 × 14] = 3 780 Problema 1.11. Se debe almacenar 610 postes cil´ındricos en un espacio abierto disponible sin paredes, que s´olo permite poner horizontalmente 40 postes, formando as´ı un lecho horizontal de 40 postes. Formado el primer lecho en el suelo, cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse. Se pregunta, ¿cu´antos lechos deben armarse?. Soluci´ on. Del enunciado: 55


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1. El primer lecho est´a formado con 40 postes 2. El segundo lecho est´a formado con 39 postes 3. El u ´ ltimo lecho est´a formado por “u” postes Como el total de postes es 610, tenemos que: [1 + 2 + 3 + · · · + (u − 1) + u + (u + 1) + · · · + 39 + 40]−

−[1 + 2 + 3 + · · · + (u − 1)] = 610 (40)(41) (u − 1)(u) − = 610 2 2 u(u − 1) = 420 u = 21

Ahora como el primer lecho tiene 40 postes y el u ´ ltimo tiene 21, el total ser´a de 20. Problema 1.12. Se desea empapelar las paredes de una sala rectangular de 15 m de largo, 5 m de ancho y 6 m de altura. La sala tiene 4 ventanas de 1, 5 m por 2 m. ¿Cu´antas piezas de papel colomural de 10 m por 80 cm c/u, deber´an comprarse? Soluci´ on. Graficamos la sala rectangular

La superficie a empapelar es: SE = [2(5 × 6) + 2(15 × 5)] − 4(1,5 × 2) = 198 m2 En cada pieza entera entra una superficie de Sp = 10(0,80) = 8 m2 El total de las piezas a comprarse es 198/8 = 24,75; lo que por aproximaci´on son 25 piezas.

Actividades 1. La suma de algunos naturales es igual a 12. ¿Cu´al es el m´aximo valor que puede tomar el producto de dichos numeros? Por ejemplo: 7 + 5 = 12 ⇒ 7 × 5 = 35. 56


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2. Demostrar que: a) Si a < b y c < d, entonces a + c < a + d; a · c < b · d b) 2a · b ≥ a2 + b2 c) 0 < a < b ⇒ a2 < b2 , a3 < b3 3. Adela es una vendedora de f´osforos, vendi´o la cuarta parte del n´ umero de cajitas de f´osforos que ten´ıa a 20 c´entimos cada cajita y la novena parte a 18 c´entimos cada una. Si por las dos ventas obtuvo en total entre S/. 7 y S/. 14, ¿cu´antas cajitas de f´osforos como m´aximo ten´ıa ella inicialmente? Rpta. 180 4. Hallar todos los n´ umeros naturales n tales que 100 < n < 300, y sean divisibles por 4, pero no por 3. Rpta. 33

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1.6.

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Sesi´ on 6: N´ umeros primos, m´ aximo com´ un divisor, m´ınimo com´ un m´ ultiplo Para Tales... la cuestion primaria no era que sabemos, sino como lo sabemos. ´ teles Aristo ´meros Contextualizando: Propiedades interesantes de los nu

El libro “The penguin Dictionary of Carious Numbers (1986)”, de David Weills, es uno de los libros m´as notables dentro de la teor´ıa de n´ umeros. este libro contiene n´ umeros fascinantes y sus propiedades, algunos de los cuales se aprecian aqu´ı. Los n´ umeros 113, 199 y 337 con los u ´nicos tres n´ umeros de tres d´ıgitos que son primos y que cualquier combinaci´on de sus d´ıgitos es un n´ umero primo. Determine la suma de los cubos de los d´ıgitos de 136: 13 + 33 + 63 = 244. Repite el proceso con los d´ıgitos de 244: 23 + 43 + 43 = 136. Estamos de regreso en donde empezamos. El n´ umero 635 318 657, es el m´as peque˜ no que puede expresarse de dos formas distintas, como la suma de dos cuartas potencias: 635 318 657= 594 + 1584 = 1334 + 1344 . El n´ umero 24 678 050 tiene una propiedad interesante: 24 678 050= 28 + 48 + 68 + 78 + 88 + 0 8 + 58 + 08 . El n´ umero 3 435 tiene esta propiedad: 3 435= 33 + 44 + 33 + 55 .

1.6.1.

N´ umeros Primos

Como sabemos, un numero entero positivo se llama primo si y solo si es divisible por 1 y por si mismo. Los numeros primos gozan de gran popularidad en las matematicas desde el tiempo de los griegos cl´asicos. El estudio de la distribuci´on y propiedades de los numeros primos forma una de las partes mas bellas y profundas de las matem´aticas: La teor´ıa de los numeros. Definici´ on 1.11. Sea p un n´ umero natural, p > 1, decimos que p es un n´ umero primo si, y s´olo si, sus u ´ nicos divisores son 1 y p. Ejemplo 1.25. a) 7 es primo, pues no tiene m´as divisores que 1 y el mismo 7. b) 12 no es primo, pues tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

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c) Los 25 primeros n´ umeros primos son: 2 13 31 53 73

3 17 37 59 79

5 19 41 61 83

7 23 43 67 89

11 29 47 71 97

Observaci´ on: 1) El n´ umero 2 es el u ´ nico n´ umero par que es primo. 2) Los u ´ nicos n´ umeros primos consecutivos son 2 y 3. 3) Todos los n´ umeros primos, mayores o iguales que 5, tienen la forma 6k ± 1. 4) A los pares de primos de la forma 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, etc. se les llama primos gemelos. Un resultado fundamental nos dice que los numeros primos pueden verse como ladrillos constructores de los demas numeros . En efecto, tenemos el siguente resultado, conocido como el: Teorema 1.19. “Teorema Fundamental de la Aritm´ etica” Todo n´ umero natural n > 1, se puede expresar como producto de un n´ umero finito de n´ umeros primos, en forma u ´nica, salvo el orden de sus factores.

Conocemos muchos numeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... ¿hasta donde podemos seguir? Uno de los primeros resultados matem´aticos de la antig¨ uedad de los que se tiene noticia es la demostraci´on por Euclides de la existencia de infinitos numeros primos. Esta demostraci´on es todav´ıa una muestra de la elegancia que puede tener un argumento matem´atico. Teorema 1.20. Existen infinitos n´ umeros primos.

Demostraci´on. Aqu´ı seguiremos la demostraci´on de Euclides. Supongamos que s´olo existe un n´ umero finito de primos, digamos p1 , p2 , p3 , . . . , pn . Con estos primos construimos el n´ umero N = 1 + p1 × p2 × p3 × · · · × pn . Como N > 1, N es primo o es un producto de primos. Pero N no es primo, pues N > pk para todo k = 1, 2, . . . , n, esto quiere decir que N es mayor que todos los primos que hemos supuesto que existen y por tanto N no puede ser primo. Sin embargo, N tampoco es producto de primos, pues ninguno de los pk divide a N (si alguno de los pk dividiera a N, pongamos p1 |N, tendr´ıamos que p1|N y p1 |p1 ×p2 ×p3 ×· · ·×pn , y de ah´ı que p1 |(N −p1 ×p2 ×p3 ×· · ·×pn ), es decir p1 |1, lo cual es un absurdo ya que p1 > 1). Este hecho contradice el teorema anterior 59


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y por ello nuestra suposici´on de que s´olo existe un n´ umero finito de primos no es cierta; por tanto, existen infinitos n´ umeros primos. Observaci´ on: 1) Encontrar todos los n´ umeros primos menores que un n´ umero natural dado, n, resulta muy complicado para valores de n muy grande. Una t´ecnica razonable para n relativamente peque˜ no, es la llamada Criba de Erat´ ostenes, que consiste en escribir todos los n´ umeros de 2 hasta n, y luego ir tachando todos los m´ ultiplos de 2 a excepci´on del n´ umero 2, pues tales n´ umeros pares no son primos, luego tachar de los restantes eliminando todos los n´ umeros m´ ultiplos de 3, excepto 3, por ser n´ umeros compuestos, se repite el proceso con los m´ ultiplos de 5, excepto el 5, luego los m´ ultiplos de 7, excepto el 7, etc. − 17  33   50   66   82   98   112   125   138 

2  18   34   51  67 83  99  113  126  139

3 19  35   52   68   84   100   114  127  140 

4  20   36  53  69   85  101  115   128   141 

5  21  37  54   70   86   102   116   129   142 

6  22   38   55  71  87  103  117   130   143 

7 23  39   56   72   88   105   118  131  144 

8  24   40   58  73 89  106   119   132   145 

9  25  41  57   74   90  107  120   133   146 

 10   26   42 

59  75   91   108   121   134   147 

11  27   44   60   76   92  109  122   135   148 

 12   28   45 

61  77   93   110   123   136  149

13 29  46   62   78   94   111   124  137  150 

     14 15 16   31   30 32     47  48 49      63 64 65     79  80 81    97 95 96 

En esta tabla los n´ umeros que no fueron tachados son primos. 2) Sea a ∈ N, a 6= 0, por el teorema 1.18, a es divisible por alg´ un numero primo. Un criterio para determinar si el numero a es primo, es verificar si alg´ un numero primo entre 2 y b, donde b es el mayor numero natural tal que b2 ≤ a, es un divisor de a. Si ninguno de estos primos divide al numero a, entonces a es primo. En general este es un teorema (Criterio de Eratostenes): √ Si todo p primo tal que p ≤ n no divide a n, entonces n es primo. Por ejemplo sea a = 217 tiene ra´ız cuadrada entre 14 y 15. Consideremos todos los numeros primos entre 2 y 14: 2, 3, 5, 7, 11 y 13, usando los criterios vemos que no es divisible por 2, 3, ni 5, pero si por 7, luego 217 no es primo. En cambio para el numero 313, cuya ra´ız esta entre 17 y 18, consideramos los n´ umeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. Comprobamos que ninguno de ellos divide a 313, luego 313 es un n´ umero primo.

1.6.2.

M´ aximo Com´ un Divisor

Definici´ on 1.12. Un n´ umero d que divide a dos n´ umeros naturales a y b, se llama divisor com´ un de a y b. Por ejemplo, 1 es un divisor com´ un de todo par de n´ umeros naturales a y 60


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b. Definici´ on 1.13. Dados a, b en N, diferentes de cero, y sea d 6= 0 en N, decimos que d es el m´aximo com´ un divisor (MCD) de a y b si y solo si: 1. d|a y d|b 2. Si d′ |a y d′ |b ⇒ d′ |d El m´aximo com´ un divisor (MCD) de a y b es denotado por MCD(a, b) o simplemente < a, b >. Si < a, b >= 1 diremos que a y b son coprimos o primos entre s´ı. Dados dos n´ umeros naturales, se demuestra que el MCD existe y es u ´ nico. La demostraci´on de esta propiedad en Z se da en el siguiente cap´ıtulo. A continuaci´on enunciamos algunos teoremas importantes. Teorema 1.21. El MCD posee las siguientes propiedades: (a) ha, bi = hb, ai

(ley conmutativa)

(b) ha, hb, cii = hha, bi , ci (ley asociativa) (c) hac, bci = c ha, bi

(ley distributiva)

(d) ha, 1i = h1, ai = 1 (e) ha, 0i = h0, ai = |a|, para todo a 6= 0 Nota En virtud de la propiedad asociativa del MCD : ha, hb, cii = hha, bi , ci, podemos tambi´en escribir MCD(a, b, c) ´o ha, b, ci. Ejemplo 1.26. a) h80, 72i = 8 b) h420000, 264000i = 1000 × h420, 264i = 1000 × 12 = 12000 c) Sea n ∈ N, n 6= 31, entonces (217n, 308n2) = n × (217, 308n) = n × 7 × h31, 44ni = 7 × n × 1 = 7n Observaci´ on: a) Para obtener el m´aximo com´ un divisor es necesario conocer los n´ umeros primos, y las propiedades de los n´ umeros primos relativos. b) La propiedad (c) del teorema 1.20: hac, bci = c · ha, bi, es la que justifica la validez de la llamada regla pr´actica para calcular el MCD. 61


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Teorema 1.22. Si un n´ umero primo p no divide a n, entonces el u ´nico divisor com´ un de p y n es la unidad.

Demostraci´on. Sea d = hp, ni. Entonces d|p, luego o d = 1 o d = p. Pero d|n, luego d 6= p pues p no divide a n. Entonces d = 1. Teorema 1.23. Si un primo p divide a ab, entonces p|a o p|b. En general, si un primo p divide a un producto a1 a2 . . . an , entonces p divide, por lo menos, a uno de los factores. Observaci´ on: Tal como se dijo, cuando a divide a b, lo denotamos con a|b; que tambi´en significa: “a es factor de b”, “a es divisor de b”, “b es m´ ultiplo de a”. En el caso de que “a no divide a b”lo denotaremos por a/b. Teorema 1.24. Sean a, b n´ umeros naturales, no nulos. a) Si a|b y b|a entonces a = b b) Si a es m´ ultiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores b; en particular, ha, bi = b. c) Si a = bq + r entonces el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores comunes de b y r. En particular ha, bi = hb, ri. Para hallar el ha, bi as´ı como para deducir sus propiedades principales, se emplea el Teorema 1.25. [calculo del M.C.D mediante divisiones sucesivas] Dados los n´ umeros naturales a, b, b > 0, si: a = bq1 + r1 0 < r1 < b b = r1 q2 + r2 0 < r2 < r1 r1 = r2 q3 + r3 0 < r3 < r2 rn−2 = rn−1 qn + rn 0 < rn < rn−1 rn−1 = rn qn+1 + rn+1 , este proceso es finito y finaliza cuando se obtiene rn+1 = 0. Luego resulta rn = ha, bi

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Aplicando el teorema 1.24(c), vemos que: (a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = (r2 , r3 ) = · · · = (rn−1 , rn ) = rn As´ı, se obtienen los siguientes resultados: 1. El conjunto de los divisores comunes de los n´ umeros a y b coincide con el conjunto de los divisores de su m´aximo com´ un divisor. 2. Este m´aximo com´ un divisor es igual a rn , es decir, es igual al u ´ ltimo resto del algoritmo de Euclides, distinto de cero. Teorema 1.26.

1. ham, bmi = ha, bi m, para todo m, n´ umero natural.

2. Si d = ha, bi y a = dα, b = dβ, entonces hα, βi = 1 3. Sea p primo, hq, pi = 1 si y s´olo si p no divide a q hq, pi = p si y s´olo si p|q 4. Si p es primo y p|ab ⇒ p|a o p|b 5. Si ha, bi = 1 ∧ a|bc ⇒ a|c 6. Si ha, bi = 1 ∧ ha, ci = 1 ⇒ ha, bci = 1 Este teorema tiene m´ ultiples aplicaciones, como por ejemplo en el c´alculo del n´ umero, de la suma y del producto de los divisores de un n´ umero dado. Propiedades an´alogas a las de este teorema est´an demostradas en el cap´ıtulo 3. Un n´ umero arbitrario n, por el Teorema Fundamental de la Aritm´etica, puede descomponerse como producto de sus factores primos: n = aα · bβ · · · cγ Los divisores de n seg´ un los t´erminos del desarrollo son: a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , aα : (α + 1) divisores b0 , b1 , b2 , b3 , . . . bβ : (β + 1) divisores ... c0 , c1 , c2 , c3 , . . . cγ : (γ + 1) divisores Luego el numero total de divisores de n es: (α + 1)(β + 1) . . . (γ + 1) Ejemplo 1.27. Tres varillas met´alicas que miden 5, 25m, 7, 35m y 8, 40m ser´an cortadas en trozos de igual longitud. Si la longitud de cada trozo es la m´axima posible, ¿cu´antos trozos se tendr´an? 63


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Soluci´ on: Sea L la longitud de cada trozo. L divide a 525, 735 y 840. Adem´as L es el m´aximo posible, entonces L = MCD(525, 735, 840) = 105 Luego, el n´ umero total de trozos que se obtendr´an es n=

525 735 840 + + = 20 105 105 105

Ejemplo 1.28. Un campesino desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rectangular de 384m de largo y 216m de ancho. Si en cada v´ertice de las parcelas plantar´a un ´arbol, ¿cu´al ser´a el m´ınimo n´ umero de ´arboles que emplear´a? Soluci´ on: Sea L la longitud del lado de las parcelas cuadradas. L divide a 384 y 216. Adem´as, para que el n´ umero de ´arboles sea el menor posible, la distancia L entre ellos debe ser la m´axima. Entonces L = MCD(216, 384) = 24 Luego, n´ umero de parcelas =

216 384 × = 9 × 16 = 144 24 24

y n´ umero de ´arboles = 10 × 17 = 170

1.6.3.

M´ınimo com´ un M´ ultiplo (M.C.M)

Todo n´ umero natural que es un m´ ultiplo de todos los n´ umeros dados se llama m´ ultiplo com´ un de los mismos. El menor m´ ultiplo com´ un positivo se llama M´ınimo Com´ un M´ ultiplo. Formalmente, definimos el m´ınimo com´ un m´ ultiplo como sigue: Definici´ on 1.14. Dados a, b ∈ N, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo (MCM) de a y b si, y solo si, i) a|m b|m ii) Si a|m′ y b|m′ , entonces m|m′ Notaci´on: m = [a, b] = MCM(a, b) A continuaci´on presentaremos algunos resultados, sin demostraci´on.

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Teorema 1.27. 1. El conjunto de los m´ ultiplos comunes de dos n´ umeros coinciden con el conjunto de los m´ ultiplos de su m´ınimo com´ un m´ ultiplo. 2. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos n´ umeros, es igual al producto de dichos n´ umeros, dividido por su m´aximo com´ un divisor [a, b] · ha, bi En particular, si ha, bi = 1 ⇒ [a, b] = ab As´ı por ejemplo, h12, 11i = (12)(11) = 132 3. [a, b] = [b, a]

(propiedad conmutativa)

4. [a, [b, c]] = [[a, b], c] (propiedad asociativa) En virtud de esta propiedad d), podemos escribir simplemente el MCM(a, b, c) ´ o [a, b, c] = [[a, b], c].

Ejemplo 1.29. En un almac´en hay 1908 barras de jab´on todas con las mismas dimensiones 24cm × 16cm × 8cm. ¿Cu´al es el m´aximo n´ umero de cajas c´ ubicas que se necesitar´an para empaquetarlas? Si todas deben estar completamente llenas? Soluci´ on: Sea L la longitud del lado de la caja c´ ubica. Como las cajas deben estar completamente llenas, los jabones deben estar exactamente contenidos en las cajas, es decir L debe ser un m´ ultiplo de 24, 16 y 8. Pero adem´as se quiere el mayor n´ umero de cajas y para ello el volumen de las mismas debe ser el m´ınimo posible, en consecuencia, L debe ser el menor posible. As´ı L = M.C.M(24, 16, 8) = 48 Luego, en cada caja habr´a

y se necesitar´an

48 48 48 × × = 36 jabones 24 16 8 1908 = 53 cajas 36

Problemas Resueltos Problema 1.13 (*). Veronica, Ana y Gabriela situadas en una ronda se divierten con el siguiente juego; una de ellas elige un numero y lo dice en voz alta; la que esta a su izquierda lo 65


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divide entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta; la que esta a su izquierda divide este ultimo numero entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta y as´ı sucesivamente. Ganar´a aquella que deba decir en voz alta el numero 1, momento en que el juego finaliza. Ana eligi´o un numero mayor que 50 y menor que 100 gano. Veronica eligi´o el siguiente del que eligi´o Ana y Veronica tambi´en gano. Dar todos los numeros que pudo elegir Ana. Soluci´ on. A medida que se desarrolla el juego, el numero inicial elegido va perdiendo uno de sus factores primos cada vez que una persona dice el n´ umero que le toca. De esta manera, considerando que la cantidad de jugadoras es 3, para que a la persona que elige el n´ umero inicial n le toque decir el n´ umero 1− y de esta manera ganar−n debe tener una cantidad de factores primos m´ ultiplo de tres Sea f (k) la cantidad de factores primos que tiene el n´ umero k. El mayor valor de f (k) cuando 50 < k < 100 ocurre cuando k tiene todos sus factores iguales a 2. Luego, k = 26 = 64 es el numero que tiene mas factores primos, en este caso, f (64) = 6. Tambi´en para 96 = 25 · 3 se cumple que f (96) = 6. Los otros valores de n que permiten que una persona que elige este numero pueda ganar, deben satisfacer. f (n) = 3 Esto significa que n = p · q · r, donde p ≤ q ≤ r son numeros primos. Si el menor factor primo de n fuera mayor o igual que 5, entonces n ≥ 5 · 5 · 5 = 125, lo cual no es admisible. Por lo tanto, p = 2 ´o 3. Si p = 2, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son las siguientes: {2, 2, 13}, {2, 2, 17}, {2, 2, 19}, {2, 2, 23}, {2, 3, 11}, {2, 3, 13}, {2, 5, 7}, {2, 7, 7} Los valores de n en estos casos 8 casos son 52, 68, 76, 92, 66, 78, 70, 98 Si p = 3, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son: {3, 3, 7}, {3, 3, 11}, {3, 5, 5} y los correspondientes valores de n son: 63, 99, 75 De este modo, los posibles valores de n son: 52, 63, 64, 66, 68, 70, 75, 76, 78, 92, 96, 98, 99 66


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Como Ana y Veronica ganaron comenzando sus juegos con dos n´ umeros consecutivos, estos pueden ser, respectivamente, 63 y 64; 75 y 76; 98 y 99 Problema 1.14. Un objeto tiene por precio el n´ umero de divisores de 3×2a ×5b y un segundo objeto tiene por precio el numero de divisores de 3×2a+3 ×5b . Si se sabe que el segundo cuesta un 50 % mas que el primero y que un tercer objeto, que tiene por valor el mismo numero de divisores 2a × 5b−2 , cuesta un 60 % menos que el primero. ¿Cu´anto cuesta el tercer objeto? Soluci´ on. Sean P1 · P2 y P3 los precios del primer, segundo y tercer objeto Luego: P1 = 2(a + 1)(b + 1), P2 = 2(a + 4)(b + 1), P3 = (a + 1)(b − 1) Adem´as: P2 = P1 + 50 %P1 = 1,5P1 = 32 P1 Luego: 2(a + 4)(b + 1) = 32 · 2(a + 1)(b + 1) entonces a = 5 Tambi´en: P3 = P1 − 60 %P1 = 0,4P1 = 52 P1 Luego: (a + 1)(b − 1) = 25 · (a + 1)b + 1 entonces b = 9 Entonces P3 = (a + 1)(b − 1) = 6 × 8 = 48. Problema 1.15. los divisores primos de un entero positivo A son 2 y 3, el n´ umero de divisores de su ra´ız cuadrada es 12 y el n´ umero de divisores de su cuadrado es 117. ¿Cu´antos de tales A existen? √ Soluci´ on. Tenemos A = 2m × 3n entonces A = 2m/2 × 3n/2 m  n  +1 + 1 = 12 (1) 2 2 Tambi´en A2 = 22m × 32n el n´ umero de sus divisores es

(2m + 1)(2n + 1) = 117 De (1) n=

48 m+2

En (2): (2m + 1)(30 − m) = 39(m + 2) ⇒ m2 + 10m − 24 = 0 ⇒ (m − 6)(m − 4) = 0 ⇒ m1 = 6, m2 = 4 Luego: Si m1 = 6 ⇒ n1 = 4; m2 = 4 ⇒ n2 = 6 Entonces: A1 = 26 × 34 o A2 = 24 × 36 y existe 2 valores para A

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(2)


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Problema 1.16. ¿Cu´antos enteros de tres cifras hay, cuyo cuadrado dividido por 31 da por resto 16? Soluci´ on. Sea N el n´ umero tal que 100 ≤ N ≤ 1000

(1)

Entonces: 0

N 2 = 31 + 16 0

N 2 − 16 = 31 0

(N − 4)(N + 4) = 31

N − 4 = 31k ∨ N + 4 = 31k

donde k es un n´ umero entero positivo. Si N − 4 = 31k entonces N = 31k + 4. En (1): 100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000 96 ≤ 31k ≤ 996 3,09 ≤ k ≤ 32, 12 entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32 Luego k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, con lo cual hay 29 n´ umeros de tres cifras de la forma 31k + 4. Si N + 4 = 31k entonces N = 31k − 4. En (1): 100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000 96 ≤ 31k ≤ 996 3,35 ≤ k ≤ 32, 12 entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32 Con lo cual k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, en cuyo caso hay 29 n´ umeros de tres cifras de la forma 31k − 4. De ambos casos se observa que hay 29 + 29 = 58 n´ umeros enteros de tres cifras. Problema 1.17. Se tiene una determinada cantidad de dinero, la cual esta formada por un grupo de monedas de 1 sol, un grupo de monedas de 5 soles, y por uno de billetes de 10 soles, Esta cantidad de dinero se reparte entre una cantidad de 5 personas del modo mas equitativo posible, sin cambiar ninguna moneda o billete por otras monedas de menos valor. Suponiendo que cada uno recibi´o 12 monedas de un sol, 13 monedas de 5 soles y 14 billetes de 10 soles. ¿Calcular la suma de las cifras de la cantidad de dinero a repartir, sabiendo que esta cantidad es multiplo de 80? 68


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Soluci´ on. Si cada persona recibi´o de un sol, entonces entre las 5 personas se reparti´o 60 monedas de un sol. Como la repartici´on fue del modo mas equitativo posible, entones como m´ınimo se dispon´ıa de 60 monedas de un sol y m´aximo 64 monedas de un sol. De igual modo m´ınimo se tiene 325 soles y como m´aximo 345 soles en monedas de 5 soles. En forma an´aloga se tiene como m´ınimo 700 soles y como m´aximo 740 soles en billetes de 10 soles. Luego la cantidad de dinero a repartir tiene como valor m´ınimo: 60 + 325 + 700 = 1085 soles y como m´aximo 64 + 345 + 740 = 1149 soles. Adem´as se sabe que esta cantidad es m´ ultiplo de 80, luego la cantidad buscada es: 80 × 14 = 1120 soles La suma de las cifras es: 1 + 1 + 2 + 0 = 4 Problema 1.18. El n´ umero de alumnos que se encuentran en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la especialidad de ciencias. ¿Cu´al es la suma de los alumnos que usan anteojos de la especialidad de ciencias?. Soluci´ on. Sea N el n´ umero total de alumnos, entonces 100 < N < 240 Si los 72 de N usan anteojos y los y 13 a la vez. Luego:

5 13

(1)

de N son de ciencias; entonces N debe ser m´ ultiplo de 7

0

0

N = M.C.M.(7, 13) = 91

N = 91k, k ∈ Z

(2)

(2) en (1): 100 < 91k < 240 En (2), N = 91 × 2 = 182 La suma pedida ser´a 27 (182) +

5 (182) 13

1, 09 < k < 2, 68

k=2

= 52 + 70 = 122

Problema 1.19. El n´ umero de pisos de un edificio est´a comprendido entre 100 y 130. A dicho n´ umero le falta una unidad para ser m´ ultiplo de 3; le falta 6 para ser m´ ultiplo de 8 y le sobran 2 para ser m´ ultiplo de 10. ¿Cu´al es el n´ umero de pisos?. Soluci´ on. Sea N el n´ umero de pisos del edificio. Luego 100 < N < 130 69

(31)


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si al n´ umero de pisos de N lo disminuimos en 2, entonces resulta ser m´ ultiplo de 3; 8 y 10 a la vez. Luego: 0

0

N − 2 = M.C.M.(3; 8; 10) = 120

0

N = 120 + 2

(2)

De (1) y (2) N = 122. Problema 1.20. El n´ umero de alumnos de un colegio esta comprendido entre 500 y 1000. Si salen de paseo en grupos de 3 personas forman un numero exacta de grupos, los mismo sucede si se salen en grupos de 5. El colegio esta conformado por secciones del mismo numero de alumnos. El n´ umero de secciones es igual al n´ umero de alumnos por secci´on, ¿cu´antos alumnos tiene el colegio? Soluci´ on. Sea N el n´ umero de alumnos, entonces 500 < N < 1000 Adem´as

0

((1))

0

0

N = 3, N = 5 ⇒ N = 15

((2))

Tambi´en si m es el numero de alumnos por secci´on (y el numero de secciones igual a m), entonces: N = m2 ((3)) De (2) y (3) N = 15k = m2 . En (1) 500 < 15k = m2 1000 ⇒ k = 15 × 4 ⇒ N = m2 = 15k = 15(15 × 4) = 900 Problema 1.21. Un tornero cuenta con tornillos que ha fabricado, por decenas por docenas, y de quince en quince y siempre le resultan 9 sobrantes. Sabiendo que a raz´on de 10 soles por tornillo obtiene un ingreso de mas de 5000 y menos de 6000 soles, hallar el numero de tornillos fabricados Soluci´ on. Sea N el n´ umero de tornillos. Entonces: 5000 < 10N < 6000 ⇒ 500 < N < 600

((1))

El n´ umero de tornillos disminuido en 9 es un m´ ultiplo com´ un de 10, 12 y 15. Es decir: 0

0

0

N − 9 = M.C.M(10; 12; 15) = 60 ⇒ 60 + 9

((2))

De (1) y (2), N = 540 + 9 = 549 Problema 1.22. Sean A y B dos n´ umeros enteros cuyo m´aximo com´ un divisor es 12 y la diferencia de sus cuadrados es 20880. Hallar A − B 70


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Soluci´ on. Sea A > B y k el M.C.D. de ellos. Luego k = 12. Como A = kp ; B = kq , donde p ∧ q son primos entre s´ı, entonces: A2 − B 2 = 20880

k 2 (p2 − q 2 ) = 20880 20880 p2 − q 2 = k2 20880 p2 − q 2 = 144 p2 − q 2 = 145

(p + q)(p − q) = 145

(p + q)(p − q) = 29 × 5 De donde: p + q = 29 × p − q = 5. Luego: p = 17; q = 12 Por lo tanto: A = 12 × 17 = 204 y B = 12 × 12 = 144 Luego: A − B = 204 − 144 = 60 Problema 1.23. La suma de los n´ umeros a y b es 651; el cociente entre su M.C.M. y M.C.D. es 108, luego a − b es: Soluci´ on. Sea a > b, M el M.C.M. y k el M.C.D. de ellos. Como a = kp; b = kq; donde p ∧ q son primos entre s´ı, entonces: a + b = 651 ⇒ k(p + q) = 651

((1))

De

M kpq = 108 ⇒ = 108 ⇒ pq = 22 × 33 = 4 × 27 k k Como p ∧ q son primos entre s´ı, de (2) tenemos: p = 27 ∧ q = 4

Luego en (1); k(31) = 651 ⇒ k = 21 Entonces: a = 21 × 27 = 567; b = 21 × 4 = 84 y a − b = 567 − 84 = 483

Actividades 1. Escribir los modelos l´ogicos de las proposiciones dadas en esta sesion 2. Demuestre por inducci´on que (a + b)n = ka + bn ∀ a, b, n ∈ N, para alg´ un k ∈ N. un k ∈ N. 3. Demuestre que abcd = 7k + 6a + 2b + 3c + d para alg´ 71

((2))


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4. Demuestre que si d = MCD(a, b), entonces a = dα y b = dβ, donde α y β son primos entre si. 5. Edgar desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rectangular de 408 metros por 216 metros. Si en cada v´ertice de cada parcela plantar´a un ´arbol, ¿cu´al ser´a el m´ınimo n´ umero de ´arboles que emplear´a? Rpta. 180 6. Se tiene 1872 barras de jab´on cuyas dimensiones son 24, 16 y 8 cm. respectivamente. ¿Cu´antas cajas c´ ubicas como m´aximo se necesitan para empaquetarlas, si todas deben estar completamente llenas? Rpta. 52 7. En un evento art´ıstico, por concepto de entradas se ha recaudado en 3 d´ıas S/. 5670, S/. 4998 y S/. 5628 respectivamente. ¿Cu´antas personas han asistido en los 3 d´ıas, sabiendo que el precio de la entrada ha sido el mismo y ´esta comprendi´o entre S/. 15 y S/. 40? Rpta. 776 8. Para que un paquete con arroz que pesa m´as de 6600g. complete un peso de 9 kg., se puede utilizar un n´ umero de pesas de 30g de 50g ´o de 80g, para lo cual cuenta con una balanza de 2 platillos. ¿Cu´al es el peso exacto del paquete con arroz? Rpta. 7,8 kg. 9. En una compa˜ n´ıa militar prestan servicios 250 hombres y cierto n´ umero de ellos se enfermaron. Si con el resto se forman grupos de 8, 10 y 12 hombres, siempre sobran 5 y si se forman grupos de 7 hombres no sobra ninguno. ¿Cu´antos militares se enfermaron? Rpta. 5 10. Se dispone un terreno de forma rectangular de 540m por 120m el cual se quiere dividir exactamente en parcelas cuadradas de igual ´area. Si se desea obtener entre 400 y 500 parcelas, hallar la suma de las cifras del lado (en metros) de cada parcela. Rpta. 3

72


Unidad 2 El sistema de los n´ umeros enteros y racionales. Su construcci´on y sus aplicaciones Objetivos 1. Definir axiom´aticamente el sistema algebraico de los n´ umeros enteros. 2. Mostrar la construcci´on axiom´atica del sistema algebraico de los n´ umeros enteros. 3. Probar las propiedades de los n´ umeros enteros. 4. Definir axiom´aticamente el sistema algebraico de los n´ umeros racionales. 5. Mostrar la construcci´on axiom´atica del sistema algebraico de los n´ umeros racionales. ´ digos Contextualizando: Descifrando co En el mundo actual, la informaci´on es un recurso valioso. todas las compa˜ n´ıas privadas y los gobiernos deben guardan cierto tipo de informaci´ on es secreto. Los c´ odigos se utilizan para comunicar de manera segura informaci´ on clasificada que debe decodificarse antes para que pueda entenderse. Es esencia; que ul c´ odigo sea f´ acil de utilizar, pero muy dif´ıcil de violar. Uno de los c´ odigos m´as ampliamente utilizados en la industria, conocido como c´ odigo RSA se desarroll´o en 1977. El c´odigo RSA empieza por cambiar el mensaje que ha codificarse por un n´ umero grande M. Despu´es de que se construye M, se transforma en un n´ umero diferente k C mediante la f´ormula C = M ( m´od N) cuyos n´ umeros k y N los conoce cualquiera. Por lo regular, N contiene m´as de 100 d´ıgitos. La u ´nica forma conocida de decodificar C en M es escribir primero N como producto de dos n´ umeros u ´nicos p y q, llamados n´ umeros primos. Aunque es f´acil factorizar un n´ umero de dos d´ıgitos, como N = 21 en 3 × 7, hab´ıa sido imposible hasta hace poco factorizar un n´ umero de 120 d´ıgitos. Como consecuencia, los mensajes 73


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codificados de esta manera han sido ininteligibles para quienes desconocen los valores de p y de q. En 1977, Ronald Rivest del MIT (Massachusets Institute of Technologic), desafi´ o a los investigadores a que decodificaran un mensaje que utilizaba el c´ odigo RSA, el cual ten´ıa una N con 129 d´ıgitos. Se hab´ıa estimado, sin conocimiento alguno de p y q se llevar´ıa aproximadamente 20 000 a˜ nos descifrar este mensaje. Sin embargo con ayuda de la teor´ıa de los n´ umeros, a 600 matem´aticos de 25 pa´ıses diferentes les tom´ o solo 17 a˜ nos factorizar N en n´ umeros primos de 64 y 65 d´ıgitos. El mensaje decodificado dec´ıa: “las palabras m´ agicas son fastidiosas osifrada”. Como muchos c´odigos industriales de hoy en d´ıa utilizan de 130 a 140 d´ıgitos para N, podr´ıa ser apropiado aumentar el tama˜ no de N antes de que se violen los c´ odigos importantes. En esta unidad, estudiaremos el espacio donde es posible este tipo de soluciones.



´ DESARROLLO TEMATICO

El olvido de las matem´aticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo. Roger Bacon

2.1.

Sesi´ on 7: Definici´ on axiom´ atica de Z. Orden en Z. Sustracci´ on en Z Contextualizando: Construyendo el conjunto Z

En el Sistema de los N´ umeros Naturales, la suma y el producto de dos n´ umeros naturales siempre existen y son n´ umeros naturales. En cambio, la diferencia y el cociente de dos n´ umeros naturales no siempre existen, por ejemplo 2 − 3 ´ o 23 no son n´ umeros naturales, puesto que no existen n´ umeros naturales u y v tales que: 2 = 3 + u y 2 = 3 · v. En t´erminos algebraicos, en N no es posible resolver ecuaciones como las siguientes: x + 3 = 2 ´ o 3x = 2. Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los N´ umeros Naturales, a un nuevo conjunto que “lo contenga en el cual la suma, la diferencia y el producto de dos elementos de este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto ser´ a el de los N´ umeros Enteros. Una manera formal de introducir el conjunto de los n´ umeros enteros Z es a partir de N. Se define en N × N una adecuada relaci´on, de equivalencia, la cual determina una partici´on de N × N, o sea el conjunto cociente al cual se le llama Z. Luego, se definen las operaciones de adici´on y multiplicaci´on en Z, obteni´endose el sistema de los n´ umeros enteros Z. Como el caso del Sistema de los n´ umeros naturales N se introducir´ a, por razones did´acticas, el Sistema de N´ umeros Enteros Z usando el m´etodo axiom´ atico. 2

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2.1.1.

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Definici´ on axiom´ atica de Z

El Sistema de los N´ umeros Enteros es un conjunto, denotado por Z, provisto de dos operaciones internas llamadas adici´ on y multiplicaci´ on. • La Adici´ on es una operaci´on interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros (a, b) ∈ Z × Z un u ´ nico numero entero llamado suma de a y b, denotado por a + b. Simb´olicamente: + : Z × Z,

tal que (a, b) → a + b

Los n´ umeros enteros a y b reciben el nombre de sumandos. • La Multiplicaci´ on es una operaci´on interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros (a, b) ∈ Z × Z un u ´ nico numero entero llamado producto de a y b, denotado por a · b o simplemente ab. Simb´olicamente: · : Z × Z → Z,

tal que (a, b) → a · b

Los n´ umeros a y b reciben el nombre de factores. La adici´on y la multiplicaci´on satisfacen los siguientes diez axiomas: AXIOMAS Conmutatividad

E1)

Asociatividad

E2)

Elemento Neutro

E3)

Elemento Opuesto

E4)

´ ADICION a + b = b + a ∀ a, b ∈ Z (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ Z Existe un u ´ nico n´ umero entero llamado cero denotado por 0, tal que: a + 0 = a ∀a ∈ Z

E6) E7)

Para todo a ∈ Z existe un u ´ nico b ∈ Z, llamado opuesto de a y denotado por −a tal que: a+b = 0 O sea, a + (−a) = 0

Cancelaci´on

Distributividad

E5)

E8)

E9)

a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ Z 75

´ MULTIPLICACION a · b = b · a ∀ a, b ∈ Z (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ N Existe un u ´ nico n´ umero entero llamado uno denotado por 1, tal que: a · 1 = a ∀a ∈ Z

Si a · c = b · c ∧ c 6= 0 entonces a = b ∀ a, b, c ∈ N


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Nota: Cuando se define un Sistema Num´erico como un conjunto provisto de ciertas operaciones, queda t´acitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos y todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en ´el; en particular, la relaci´on de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, sim´etrica y transitiva.

2.1.2.

Consecuencias importantes de los axiomas anteriores

Teorema 2.1. Si a, b y c son n´ umeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades: Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.

Corolario 2.1. a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d b) a = b ∧ c = d ⇒ a · c = b · d Las demostraciones son an´alogas a las realizadas en N. Teorema 2.2. Si a y b son n´ umeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades: a) a · 0 = 0 b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 Las demostraciones son an´alogas a las realizadas en N.

Corolario 2.2. Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0 A continuaci´on, mencionamos las propiedades m´as importantes del opuesto de un n´ umero entero

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Teorema 2.3. Si a y b son n´ umeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades: a) −(−a) = a, para todo a ∈ Z b) −(a + b) = (−a) + (−b) c) (−1)a = −a d) a(−b) = (−a)b = −(ab) e) (−a)(−b) = ab

Demostraci´on. 1. Como (−a) es el opuesto de a y −(−a) es el opuesto de (−a), se tiene: a + (−a) = 0

y

(−a) + a = 0

luego, por la unicidad del opuesto, resulta a = −(−a) 2. El opuesto de a + b es −(a + b). Por otra parte (a + b) + {(−a) + (−b)} = = = =

a + (b + (−a)) + (−b) a + ((−a) + b) + (−b) (a + (−a)) + (b + (−b)) 0+0 = 0

(asociativa) (conmutativa) (asociativa) (elemento opuesto y neutro)

Por lo tanto (−a) + (−b) es tambi´en el opuesto de a + b y como el opuesto es u ´ nico se concluye que −(a + b) = (−a) + (−b). 3. a + (−1)a = a · 1 + a(−1) = a(1 + (−1)) = a·0 = 0

(elemento neutro y conmutativa) (distributiva) (opuesto y teorema 2.2)

As´ı, (−1)a es el opuesto de a, luego como el opuesto debe ser u ´ nico, se tiene que (−1)a = −a. 4. a(−b) = = = =

a((−1)b) (a(−1))b ((−1)a)b (−a)b

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(parte (c)) (asociativa) (conmutativa) (parte (c))


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Adem´as, (−a)b = ((−1)a)b = (−1)(ab) = −(ab)

(parte (c)) (asociativa) (parte (c))

Por lo tanto a(−b) = (−a)b = −(ab) 5. (−a)(−b) = (−a)((−1)b) = ((−1)(−a)b) = (−(−a)b) = ab

(parte (c)) (asociativa y conmutativa) (parte (c) y, luego, parte (a))

Por lo tanto (−a)(−b) = ab

Teorema 2.4. [Cancelaci´on en la Adici´ on] Si a, b y c son n´ umeros enteros, se tiene que: a+c=b+c

implica

a=b

Demostraci´on. Si a + c = b + c entonces (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c), de donde se sigue que a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)), o sea a + 0 = b + 0, lo que implica a = b. A continuaci´on, se presenta el u ´ ltimo axioma del Sistema de los N´ umeros Enteros: Teorema 2.5. Si se denota por 0N , 0Z , 1N y 1Z a los elementos neutros de la adici´on y multiplicaci´on de N y Z respectivamente; se tiene: 1. f (0N ) = 0Z 2. f (1N ) = 1Z

Demostraci´on. a) f (0N ) = f (0N + 0N ) = f (0N ) + f (0N ). Como f (0N ) = f (0N ) + 0Z resulta que f (0N )+0Z = f (0N )+f (0N ), luego aplicando la cancelaci´on (teorema 2.4) resulta f (0N ) = 0Z b) f (1N ) = f (1N ·1N ). Como en Z f (1N ) = f (1N ) · · · (1N )1Z resulta que f (1N )·1Z = f (1N )·f (1N ), luego aplicando la cancelaci´on (teorema 2.4) resulta f (1N ) = 1Z Si definimos 2 Z = 1Z + 1Z entonces f (2Z) = f (1Z + 1Z ) = f (1Z ) + f (1Z ) = 1Z + 1Z = 2Z 78


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Como 1 6= 2 en N y f : N → Z es inyectiva, se tiene, f (1) 6= f (2) y en consecuencia, 1Z 6= 2Z . As´ı tenemos, en general, numeros enteros diferentes: 0Z , 1Z , 2Z , f (3), f (4), . . . A continuaci´on estableceremos las propiedades de f (Z) = {f (n)/n ∈ N} Teorema 2.6. 1. Para todo a, b ∈ f (N), se tiene que: a + b ∈ f (N) 2. Para todo a, b ∈ f (N), se tiene que: a · b ∈ f (N) Demostraci´on. i) Para todo a, b ∈ f (N), existen m, n ∈ N tales que a = f (m) y b = f (n), luego a + b = f (m) + f (n) = f (m + n) ∈ f (N) pues m + n ∈ N, y por lo tanto, a + b ∈ f (N). ii) Para todo a, b ∈ f (N), existen m, n ∈ N, tales que a = f (m) y b = f (n), luego a · b = f (m) · f (n) = f (m · n) ∈ f (N), pues m · n ∈ N. En virtud del teorema anterior, como f (N) ⊂ Z, las operaciones internas de adici´on y multiplicaci´on del conjunto de los numeros enteros Z, restringidas a f (N) ⊂ Z, inducen las mismas operaciones internas en f (N) y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante Teorema 2.7. El conjunto f (N) = {f (n)/n ∈ N}, provisto de las operaciones internas de adici´on y multiplicaci´on + : f (N) × f (N) → f (N) · : f (N) × f (N) → f (N)

tal que tal que

(a, b) → a + b

(a, b) → a · b

inducidas por las operaciones de Z verifican N1 − N11. Demostraci´on. La verificaci´on de los axiomas N1−N9 es inmediata. N10 y N11 se demuestran en el Teorema 2.8 y el Teorema 2.10, respectivamente. Si consideramos las siguientes notaciones: + + + Z+ 0 = f (N) = {f (n)/n ∈ N} y Z = f (N ) = {f (n)/n ∈ N }

Podemos demostrar el siguiente

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Teorema 2.8. [Ley de Triconotom´ıa] Para todo a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades: a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ −a ∈ Z+ Demostraci´on. i) Si a = 0 por el teorema 2.5, a = f (0N ). Supongamos que a ∈ Z+ , entonces existe n ∈ N+ tal que f (n) = a, luego f (n) = f (0N ) lo cual implica que n = 0N pues f es inyectiva, es decir, 0N ∈ N+ , lo que es una contradicci´on, por lo tanto 0 6∈ Z+ , esto es a 6∈ Z+ . Y como −0 = 0, entonces −0 6∈ Z+ ; es decir −a 6∈ Z+ ii) Si a 6= 0, por el axioma E10(iv) existe n ∈ N tal que a = f (n) o −a = f (n). Adem´as, n ∈ N+ pues de lo contrario si n = 0N , a = 0. As´ı f (n) ∈ f (Z+ ) = Z+ , luego a ∈ Z+ o −a ∈ Z+ . Supongamos que a ∈ Z+ y −a ∈ Z+ , entonces existen m, n ∈ N+ tales que a = f (m) y −a = f (n), luego f (m + n) = f (m) + f (n) = a + (−a) = 0 = f (0N ) Y como f es inyectiva, m + n = 0N , entonces 0N∼ lo cual es una contradicci´on. En consecuencia, si a 6= 0 se cumple una y solo una de las dos posibilidades: a ∈ Z+

2.1.3.

´o

− a ∈ Z+

Orden en Z

Definici´ on 2.1. Sean a y b dos numeros enteros. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si, y solo si, existe c ∈ Z+ tal que a + c = b. Simb´olicamente: a < b ⇔ ∃c ∈ Z+ /a + c = b Se dice que b es mayor que a, y se denota b > a si, y solo si, a < b Simb´olicamente: b>a ⇔ a<b Observaciones: Como consecuencia de estas definiciones se tiene: Si c ∈ Z+ , entonces c > 0 pues existe c ∈ Z+ tal que 0 + c = c. 80


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Si c ∈ Z− , entonces c < 0 pues existe −c ∈ Z+ tal que c + (−c) = 0. Luego por la ley de tricotom´ıa si a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades: a>0

a=0

a<0

Luego, si a < b entonces a > b o a = b, este hecho permite definir las relaciones: a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b que se lee “a es menor o igual que b”, y a ≥ b ⇔ a > b ∨ a = b que se lee “a es mayor o igual que b”. La negaci´on de a < b es a ≥ b. Teorema 2.9. Sean a = f (m), b = f (n) ∈ Z+ 0 , entonces m < n si, y solo si, a < b Demostraci´on. (⇒) Si m < n en N, existe k ∈ N+ tal que m + k = n, luego f (n) = f (m + k) = f (m) + f (k) y como f (k) ∈ Z+ , por definici´on f (m) < f (n), es decir, a < b. (⇐) Si a < b, existe c ∈ Z+ tal que a + c = b. Como c = f (k), existe k ∈ N+ tal que c = f (k) entonces f (m + k) = f (m) + f (k) = a + c = b = f (n) y como f es inyectiva, m + k = n con k ∈ N+ , por lo tanto m < n. As´ı, para todo m, n ∈ N, m < n ⇔ f (m) < f (n) y en consecuencia, como 0 < 1 < 2 < 3 < · · · < n < · · · entonces 0Z < 1Z < 2Z < f (3) < · · · < f (n) < · · · en Z Por otro parte, no existe numero entero a tal que 0Z < a < 1Z . En efecto, si tal numero existiera, seria positivo, esto es a ∈ Z+ = f (N+ ) y existe n ∈ N tal que a = f (n), luego 0Z = f (0) < f (n) < f (1) = 1. y por el teorema 2.5-2, se tiene que 0 < n < 1 con n ∈ N+ lo cual es una contradicci´on con el Principio del Buen Orden en N (Axioma N11). Este importante principio lo formulamos en Z mediante el siguiente Teorema 2.10. [Principio del Buen Orden en Z] Todo subconjunto no vac´ıo de Z+ 0 posee elemento m´ınimo. 1 Demostraci´on. Sea B un subconjunto de Z+ 0 , B 6= φ entonces A = f (B) = {x ∈ N/f (x) ∈ B} es un subconjunto de N y A 6= ∅ pues f : N → Z+ 0 es subyectiva, luego por el axioma del Buen Orden en N, A posee elemento m´ınimo al cual lo designamos por m ∈ A. Probaremos ahora que f (m) es m´ınimo de B. Para todo b ∈⊂ f (N) existe n ∈ A tal que f (n) = b y como m es m´ınimo de A se tiene que m ≤ n, luego f (m) ≤ f (n) = b. As´ı, para todo b ∈ B, se tiene que f (m) ≤ b, por lo tanto f (m) es el m´ınimo de B.

Nota Importante: La funci´on f : N → f (N) cumple las siguientes propiedades: 81


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1) f : N → f (N) es una biyecci´on 2) f (m + n) = f (m) + f (n) y f (mn) = f (m)f (n) La propiedad 1 del teorema anterior, desde el punto de vista de la teor´ıa de conjuntos nos permite identificar f con f (N) y escribir simb´olicamente N ∼ = f (N), as´ı como identificar sus elementos y escribir tambi´en 0N ≡ f (0N ) = 0Z ,

1N = 1Z , . . . , nN ≡ f (nN ) = nZ

La propiedad 2, nos permite identificar desde el punto de vista algebraico a N con f (N). En los cursos avanzados de algebra, se dice que f : N → f (N) es un isomorfismo algebraico. + + ∼ Finalmente, si consideramos las siguientes notaciones Z+ 0 = f (N) y Z = f (N ), podemos + identificar Z+ ı como tambi´en llamar a los numeros naturales, 0 con f (N) y Z0 con f (N), as´ numeros enteros naturales y a los numeros naturales positivos, enteros positivos. Observaci´ on: El conjunto Z+ on y multiplicaci´on 0 = f (N) provisto las operaciones de adici´ de n´ umeros enteros (teorema 2.5(c) y 2.5(d)) satisface todos los axiomas de N (teorema 2.5-1, 2.5-2 y 2.5-3). As´ı queda establecido que Z+ un el teorema 2.5-1, ∀ a ∈ Z, si a ∈ 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} Seg´ + Z ∪ {0} entonces −a ∈ Z . Si definimos Z− = {a ∈ Z/ − a ∈ Z+ } al conjunto de los opuestos de los elementos de Z− , esto es, Z− = {−1, −2, −3, −4, . . .} llamado tambi´en conjunto de los numeros enteros negativos, entonces ∀ a ∈ Z, se tiene por la Ley de Tricotom´ıa que: a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ a ∈ Z As´ı, Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z− luego Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} . Como para todo a ∈ Z+ se tiene −(a + 1) < −a pues existe 1 ∈ Z+ tal que −(a + 1) + 1 = [(−a) + (−1)] + 1 = (−a) + [(−1) + 1] = (−a) + 0 = −a Se tiene finalmente que: · · · < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < · · · Se pueden “identificar”los n´ umeros enteros con ciertos puntos de la recta geom´etrica R. Al n´ umero entero cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta “unidad de medida.a los n´ umeros enteros positivos y a los negativos se les asigna puntos a la derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura: De esta manera, se establece una aplicaci´on α : Z → R que hace corresponder a cada numero entero un punto de la recta geom´etrica. 82


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2.1.4.

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Sustracci´ on en Z

Definici´ on 2.2. Dados los numeros enteros a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota a − b, al numero entero c tal que a = b + c. Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c. Los n´ umeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente Teorema 2.11. Dados los n´ umeros enteros a y b, la diferencia a − b siempre existe y es u ´nica.

Demostraci´on. Dados los numeros enteros a y b, sea c = a + (−b), entonces c ∈ Z y b + c = b + (a + (−b)) = b + ((−b) + a) (axioma de sustituci´on y conmutativa) = (b + (−b)) + a = 0 + a = a (prop asociativa, del opuesto y elemento neutro) Luego a = b + c y aplicando la definici´on de diferencia, a − b = c. Es importante recordar la igualdad a − b = a + (−b) El teorema anterior nos permite decir que la aplicaci´on “-”que asocia a cada par de n´ umeros enteros (a, b), su diferencia a − b. − : Z × Z tal que (a, b) → a − b es una operaci´on interna que recibe el nombre de Sustracci´ on. Observaci´ on: La ecuaci´on x+a = b: Una gran variedad de problemas y situaciones cotidianas se plantean algebraicamente con ecuaciones de la forma x+a=b y para su esclarecimiento se requiere de la soluci´on de dicha ecuaci´on. Pero, ¿es siempre posible resolver esta ecuaci´on?, la soluci´on depende de cual sea el sistema de n´ umeros en que estamos resolviendo el problema. Por ejemplo, la ecuaci´on x+5=3 no tiene soluci´on si nuestro universo es el conjunto de los n´ umeros naturales. En cambio tenemos el siguiente resultado. Teorema 2.12. Sean a y b numeros enteros, entonces x+a=b

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x= b−a


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Demostraci´on. x+a = b x + a + (−a) = b + (−a) (teorema 2.2.a) x + (a + (−a)) = b − a (asociatividad)

x + 0 = b − a prop. del opuesto

x = b − a (elemento neutro)

Es claro, entonces, que la soluci´on de la ecuaci´on x + a = b no siempre es posible resolverla en N, pues no siempre se puede restar dos n´ umeros naturales a menos que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo. Este teorema es muy importante y facilita el c´alculo, pues las operaciones con n´ umeros enteros se reducen simplemente a operar con n´ umeros naturales, sumas, restas y productos en N, como se ilustrar´a mediante las siguientes Reglas pr´acticas para la suma, resta y el producto de n´ umeros enteros.

Ejemplo 2.1. a) Si a y b son n´ umeros enteros tales que a + b + a · b = 364, determina el valor de a + b. Dar todas las soluciones. Soluci´ on: Como a + b + a · b = 365

1 + a + b + a · b = 365

(a + 1)(b + 1) = 365

Al descomponer 365 en factores primos se obtiene 365=5.73. Entonces, analizando los factores, las soluciones son: i. a + 1 = 1, b + 1 = 365. En este caso a = 0, b = 364. Por lo tanto, a + b = 364. ii. a + 1 = 365, b + 1 = 1. En este caso a = 364, b = 0. Por lo tanto, a + b = 364. iii. a + 1 = 5, b + 1 = 73. En este caso a = 4, b = 72. Por lo tanto, a + b = 76. iv. a + 1 = 73, b + 1 = 5. En este caso a = 72, b = 4. Por lo tanto, a + b = 76. v. a + 1 = −1, b + 1 = −365. En este caso a = −2, b = −366 . Por lo tanto, a + b = −368. 84


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vi. a + 1 = −365, b + 1 = −1. En este caso a = −366, b = −2. Por lo tanto, a + b = −368. vii. a + 1 = −5, b + 1 = −73. En este caso a = −6, b = −74. Por lo tanto, a + b = −80. viii. a + 1 = −73, b + 1 = −5. En este caso a = −74, b = −6. Por lo tanto, a + b = −80. Luego (a + b) puede tomar los valores: 364,76,-80,-368.

Actividades 1. Escriba los modelos l´ogicos de las proposiciones dadas en esta sesi´on. 2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes 3. Detalle la demostraci´on del Teorema 2.10. 4. Si Luis tuviera S/.17 menos, tendr´ıa S/.18. Si Mario tuviera S/.15 m´as, tendr´ıa S/.38. Si Juan tuviera S/.5 menos, tendr´ıa S/.10 m´as que Luis y Mario juntos. Si Dar´ıo tuviera S/.18 menos, tendr´ıa S/.9 m´as que la diferencia entre la suma de lo que tienen Mario y Juan y lo que tiene Luis. ¿Cu´anto tienen en total los cuatro? 5. Un capataz contrata un obrero ofreci´endole S/.70 por cada d´ıa que trabaje y S/.40 por cada d´ıa que, por alguna raz´on justificada, no pueda trabajar. Al cabo de 35 d´ıas el obrero ha recibido S/.2 000. ¿Cu´antos d´ıas trabaj´o y cuantos no trabaj´o? 6. Un peque˜ no ganadero decide vender sus vacas; si las vende a S/.2900 cada una tendr´ıa una p´erdida total de S/.2000. Si las vende a S/.3500 cada una tendr´ıa entonces una ganancia de S/.2800. ¿Cu´antas son las vacas que desea vender? 7. Ciento cinco litros de agua deben ser llenados en dep´ositos de 11 y 4 litros. ¿Cu´antos son de 11 litros si en total se usan 21 dep´ositos? 8. Un barril contiene 69 litros de cierto l´ıquido. Si este l´ıquido debe ser envasado en 27 botellas, unas de 2 litros y otras de 3 litros. ¿Cu´antas botellas de 2 litros se va a necesitar? 9. Hace 2 a˜ nos cada habitante de una urbanizaci´on recib´ıa 300 litros de agua por d´ıa. Actualmente el n´ umero de habitantes aument´o en 180 teniendo que recibir cada habitante 6 litros menos. ¿Cu´antos habitantes tiene actualmente dicha urbanizaci´on? 10. La due˜ na de una cadena de tiendas de ventas de ropa, tiene la siguiente informaci´on acerca de sus ganancias (cantidades positivas) o p´erdidas (cantidades negativas) mensuales, durante el a˜ no 2002: 85


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MESES DEL ˜ 2002 ANO ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SETIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

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Tienda 1

Tienda 2

Tienda 3

Tienda 4

Tienda 5

+S/.1573 -S/.715 +S/.617 +S/.615 -S/.318 +S/.916 +S/.715 -S/.1607 +S/.1810 -S/.468 +S/.2315 +S/.7517

-S/.713 +S/.1812 -S/.615 +S/.819 +S/.768 -S/.105 +S/.614 +S/.813 -S/.504 +S/,617 +S/.908 +S/.6313

+S/.618 -S/.116 -S/.67 -S/.129 -S/.430 -S/.437 -S/.508 +S/.101 -S/.406 -S/.507 +S/.213 +S/.102

+S/.846 +S/.1714 -S/.84 +S/.647 +S/.259 +S/.817 -S/.511 +S/.604 -S/.508 -S/.119 +S/.205 +S/.763

-S/.324 S/.1804 -S/.10 -S/.48 -S/.701 -S/.820 -S/.613 -S/.781 -S/.659 -S/.808 -S/.101 -S/.86

a) ¿Cu´al o cu´ales de las 5 tiendas deber´ıan ser cerradas por sus p´erdidas? b) ¿Cu´al de las 5 tiendas tuvo la mayor ganancia anual? ¿Cu´al fue esta ganancia? c) ¿Tuvo la due˜ na ganancia o p´erdida durante el mes de Setiembre en todas sus tiendas? d ) ¿Cu´al de los 12 meses fue el m´as dif´ıcil? ¿Cu´anto perdi´o? o ¿Cu´anto fue lo que gan´o?

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2.2.

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Sesi´ on 8: Valor absoluto. Divisi´ on, potenciaci´ on y radicaci´ on en Z. Divisibilidad en Z Fermat, el verdadero inventor del calculo diferencial Laplace ´ n entre montan ˜as y depresiones Contextualizando: Comparacio

Las dos tablas muestran las alturas de ciertas monta˜ nas en la profundidad de determinadas depresiones, utilice la informaci´on dada para encontrar las respuestas a las preguntas formuladas

Monta˜ na Foraker Wilson Monte Pikes

Altura (en pies) 17 400 14 246 14 110

Depresi´ on Filipinas Caim´ an Java

Profundidad en pies (como un n´ umero negativo) -32 995 -24 721 -23 376

¿Cu´al es la diferencia entre la altura del Monte Foraker y la profundidad de la fosa de las Filipinas? ¿Qu´e tanto m´as profunda es la fosa del Caiman que la fosa de Java?

2.2.1.

Valor absoluto

Definici´ on 2.3. Dado el n´ umero entero a, se llama valor absoluto de a y se denota con |a|, al n´ umero entero: |a| = a,

|a| = −a,

si a ≥ 0 y si a < 0

De la definici´on se prueba inmediatamente que |a| ≥ 0, para todo entero a. Teorema 2.13.

1. |a| = 0 ⇔ a = 0

2. | − a| = |a| 3. a ≤ |a| y −a ≤ |a| 4. |a + b| ≤ |a| + |b| 5. |ab| = |a||b|

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Demostraci´on. a) (⇒) Supongamos que a 6= 0 Si a > 0, entonces |a| = a 6= 0. Si a < 0, entonces |a| = −a 6= 0. Por lo tanto a 6= 0 implica |a| = 6 0; es decir, |a| = 0 ⇒ a = 0. (⇐) Si a = 0, entonces, de la definici´on, se sigue inmediatamente que |a| = 0. 1. Sea a ∈ Z Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, as´ı a ≤ |a| y −a ≤ |a|. Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto a ≤ 0 ≤ −a = |a|,

as´ı a ≤ |a| y y − a ≤ |a|

c) Sea a ∈ Z. Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, as´ı a ≤ |a| y −a ≤ |a|. Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto a ≤ 0 ≤ a = |a|,

as´ı a ≤ |a| y − a ≤ |a|

d) a ≤ |a|, −a ≤ |a| b ≤ |b|, −b ≤ |b|, entonces a + b ≤ |a| + |b| y − (a + b) = (−a) + (−b) ≤ |a| + |b| por lo tanto, seg´ un la definici´on, |a + b| ≤ |a| + |b|. La demostraci´on de (b) y (e) son similares a las anteriores, basta analizar los distintos casos para a, b ∈ R

2.2.2.

Divisi´ on, potenciaci´ on y radicaci´ on en Z

Definici´ on 2.4. Dados los numeros enteros a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b, y se denota a/b, al numero entero c, si existe, tal que a = b · c . Es decir, ab = c ⇔ a = b · c Por ejemplo: (−24)/3 = −8 pues −24 = (−8) × 3 . Rec´ıprocamente, (−7) × (−9) = 63, entonces 63/(−7) = −9 o tambi´en, 63/(−9) = −7 Haciendo una ligera modificaci´on al Teorema 1.11 del Cap. 2, se prueba como en N, el siguiente Teorema 2.14. [Algoritmo de la Divisi´ on de Euclides] Sean a, b ∈ Z, con b > 0, entonces, existen numeros enteros r y q, u ´nicos, tales que a = bq + r,

con 0 ≤ r < b

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Ejemplo 2.2. a) Sean los n´ umeros enteros -86 y 11, existen los n´ umeros -8 y 2 tales que −86 = 11(−8) + 2 (divisi´on inexacta) b) Sean los n´ umeros enteros -84 y 12, existen los n´ umeros -7 y 0 tales que −84 = 12(−7) + 0 (divisi´on exacta) Definici´ on 2.5. Sean a y n dos n´ umeros enteros, n no negativo, la potencia an , esta dada por: i) a0 = 1, a 6= 0 ii) an = a · an−1 , para n ≥ 1 En la expresi´on an ; el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente. Ejemplo 2.3. ¿Cu´antos n´ umeros enteros “a” cumplen que 7 < a2 < 39? Soluci´ on. Los n´ umeros enteros positivos a que cumplen dicha condici´on son 3,4,5,6, cuyos cuadrados son 9,16,25 y 36. Pero como (−a)2 = a2 , entonces tambi´en cumplen la condici´on -3, -4, -5 y -6. En total son ocho n´ umeros. Definici´ on 2.6. Sean a ≥ 0 y n numeros enteros, n ≥ 1. Se llama ra´ız n−´ esima de a y se √ n n denota a , al numero entero positivo b, si existe, tal que b = a. Simb´olicamente: √ n a = b ⇔ bn = a √ En la expresi´on n a, diremos que n es el ´ındice del radical, y que a es el radicando o expresi´on subradical. Teorema 2.15. Si a, b ∈ Z y n ≥ 1, se tiene: √ √ √ √ √ √ a) Si n a y n b existen, entonces existe n ab y adem´ as n ab = n a · n b √ √ √ √ b) Si n a existe, entonces existe n am y n am = ( n a)m p√ p√ p√ p√ √ c) Si n m a existe, entonces existen mn a y m n a = n m a = m n a

2.2.3.

Divisibilidad en Z

La divisibilidad en Z, se presenta de manera an´aloga a la desarrollada en N, pero a diferencia de N, las justificaciones de las afirmaciones en Z se hacen m´as sencillas, debido a que ya no tenemos la restricci´on de que la diferencia de dos n´ umeros enteros no est´e definida. Al final de esta sesi´on, daremos los resultados mas importante de la teor´ıa de Congruencias que tambi´en se utilizan para llegar a los criterios de divisibilidad. 89


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Definici´ on 2.7. Sean a y b dos numeros enteros con a 6= 0. Diremos que a divide a b, y denotaremos a|b, si existe un numero entero n tal que b = an. En caso contrario, escribiremos a|b, a no divide a b. Si a divide a b, diremos tambi´en que b es m´ ultiplo de a. Teorema 2.16. Sean a, b y c n´ umeros enteros. Se cumplen las siguientes propiedades: a) a|a para todo a 6= 0 (Reflexiva) b) Si a|b y b|c, entonces a|c (Transitiva) c) Si a|b, entonces a|bc para todo n´ umero entero c d) Si a|b, entonces ac|bc, ∀ c 6= 0 e) Si ab|c, entonces a|c y b|c. f ) Si a|bi (i = 1, 2, . . . , n) , entonces a|(m1 b1 + m2 b2 + · · · + mn bn ), ∀ mi ∈ Z g) Si a|(b + c) y a|b, entonces a|c

Demostraci´on. La demostraci´on es an´aloga a la del Teorema 2.13 en N Lema 2.1. Sean a, b numeros enteros, el conjunto J = {ax + by/ x, y ∈ Z}, goza de las siguientes propiedades: 1. Si m, n ∈ J, entonces m + n ∈ J, m − n ∈ J 2. Si k ∈ Z y m ∈ J, entonces km ∈ J. Demostraci´on. - Si ambos a y b son ceros, entonces J = {0}, y claramente se cumplen (a) y (b). - Si alguno de los numeros a, b es cero. Supongamos, sin perdida de generalidad, que b = 0, entonces J = {ax/x ∈ Z}, es el conjunto de m´ ultiplos enteros de a y por la parte (f ) del teorema 2.10, la suma y diferencia de m´ ultiplos de a es m´ ultiplo de a y por la parte (c) del mismo teorema, si a|m, entonces a|km, para todo k ∈ Z, cumpli´endose as´ı (a) y (b). - Sean a y b enteros diferentes de cero. Si m, n ∈ J, entonces m = ax1 + by1 , n = ax2 + by2 , donde x1 , y1 , x2 , y2 ∈ Z ⇒ m + n = a(x1 + x2 ) + b(y1 + y2 ) ∈ J, pues (x1 + x2 ), (y1 + y2 ) ∈ Z, y

⇒ m − n = a(x1 − x2 ) + b(y1 − y2 ) ∈ J, pues (x1 − x2 ), (y1 − y2 ) ∈ Z 90


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- Si k ∈ Z y m ∈ J, entonces m = ax + by, con x, y ∈ Z. Luego, km = k(ax + by) = a(kx) + b(ky) ∈ J, pues kx, ky ∈ Z Observaci´ on: Sean a, b n´ umeros enteros, a las expresiones de la forma ax + by, siendo x, y n´ umeros enteros, se les llama combinaci´ on lineal de a y b. Teorema 2.17. Sean a, b n´ umeros enteros, al menos uno de ellos diferente de cero, existe un n´ umero entero positivo d, tal que: i) d|a y d|b ii) Si d′ |a y d′ |b, entonces d′ |d

Demostraci´on. Sean J = {ax + by/x, y ∈ Z} y J + = J ∩ Z+ . J + es no vac´ıo pues 0 6= a2 + b2 ∈ J + , luego por el principio del Buen Orden, el conjunto J + posee un elemento m´ınimo, llam´emosle d ∈ J + , es decir, d es positivo y d = ax0 + by0 , para alg´ un x0 , y0 ∈ Z Probaremos ahora que d divide a todo elemento de J: Sea m ∈ J, por el algoritmo de la division en Z, existen numeros enteros r, q tales que m = dq + r, 0 ≤ r < d. Si r 6= 0, entonces r = m + (−q)d, y como d, m ∈ J, por el Lema, r ∈ J y como r es positivo, entonces r ∈ J + lo que es una contradicci´on con la minimalidad de d. Luego r = 0 y en consecuencia, m = dq. Como a, b son elementos de J, tenemos que: i) d|a y d|b Adem´as, sea d′ un numero entero positivo, si d′ |a y d′ |b, por el Lema, d′ |(ax0 + by0 ), entonces d′ |d. La unicidad, resulta de la observaci´on siguiente: Si d0 es tambi´en el M.C.D de a y b, entonces d0 Πd y dΠd0 . Esto solo ocurre si d = ±d0 . Pero como estos numeros ambos son positivos, debe ser d = d0 .

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Corolario 2.3. El m´aximo com´ un divisor de dos numeros enteros a y b, es la menor combinaci´on lineal positiva de a y b. Es decir, MCD(a, b) = m´ın[{ax + by/x, y ∈ Z} ∩ Z+ ] Observaci´ on: Sean a, b n´ umeros enteros, no nulos. a) A diferencia de N, en Z, si a|b y b|a, esto no implica que a = b, es decir, la relaci´on divide no es una relaci´on antisim´etrica, pues puede ocurrir tambi´en que sea a = −b. b) Si a es m´ ultiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores b; en particular el m´aximo de los divisores: < a, b >= b. Si a es m´ ultiplo de b, en Z, no implica que a sea mayor que b. Definici´ on 2.8. Dado dos n´ umeros enteros a y b, se dice que a y b, son coprimos (o primos relativos o primos entre s´ı), si el m´aximo com´ un divisor de ellos es 1. Teorema 2.18. Sean a, b ∈ Z, a y b, coprimos, si, y solo si, existen numeros enteros m y n tales que ma + nb = 1.

Demostraci´on. Si a y b, son primos entre s´ı, entonces MCD(a, b) = 1, luego por el teorema 2.12, existen enteros m y n tales que 1 = MCD(a, b) = ma + nb. Rec´ıprocamente, si ma + nb = 1, se tiene que 1 es combinaci´on lineal de a y b, y es la m´ınima combinaci´on positiva ya que 1 es el menor entero positivo, luego MCD(a, b) = 1, por el corolario ??, por lo tanto a y b son coprimos. El teorema anterior constituye una nueva definici´on de n´ umeros coprimos. Teorema 2.19. Si d|ab y < d, a >= 1, entonces d|b.

Demostraci´on. Si < d, a >= 1, existen enteros m y n tales que md + na = 1, luego multiplicando por b ambos miembros, aplicando propiedades en Z, resulta: (bm)d + n(ab) = b. Como d|d y d|ab, entonces d|((bm)d + n(ab)) = b, por el teorema 2.10. Teorema 2.20. Si < a, b >= 1, a|m y b|m, entonces ab|m.

Demostraci´on. Si a|m, existe un entero k tal que ak = m, por otra parte, como b|m = ak y dado que b y a son coprimos resulta b|k por el teorema 2.14, lo que implica la existencia de un n´ umero entero q tal que bq = k, de donde (ab)q = ak = m, es decir ab|m. 92


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Teorema 2.21. Si d y a son coprimos y d y b son tambi´en coprimos entonces d y ab son coprimos. Simb´olicamente: Si < d, a >= 1 y < d, b >= 1, entonces < d, ab >= 1.

Demostraci´on. Si s y a son coprimos, existen enteros m1 , n1 , tales que m1 d+n1 a = 1 (teorema 2.10). An´alogamente si d y b son coprimos, existen enteros m2 y n2 tales que m2 d + n2 b = 1, multiplicando miembro a miembro resulta (m1 m2 d + m1 n2 b + n1 m2 a)d + (n1 n2 )ab = 1, lo que implica d y ab son coprimos (teorema 2.13) Definici´ on 2.9. Sea p un numero entero, p 6= 0, p 6= ±1, p es primo si, y si solo si, p admite como u ´ nicos divisores a los numeros enteros ±1 y ±p. As´ı, son n´ umeros primos ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, . . . , etc.; es decir, p es primo en N si, y s´olo si, ±p es primo en Z. Teorema 2.22. Si p es un n´ umero primo y a un entero cualquiera, entonces < p, a >= 1 o bien p|a.

Demostraci´on. Supongamos p y a no sean coprimos, probaremos que p|a. En efecto si p y a no son coprimos, existe un entero m 6= ±1 tal que m|p y m|a, pero como p es primo, por definici´on m|p implica m = ±p, luego p|a. Teorema 2.23. Si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.

Demostraci´on. Si p/a, se cumple que p y a son coprimos, seg´ un el teorema 2.17, luego existen enteros m y n tales que mp + na = 1. Multiplicando por b ambos miembros resulta (bm)p + n(ab) = b, pero como p|bmp y p|n(ab), por definici´on e hip´otesis, luego se concluye que p|b, por el teorema 2.10. Teorema 2.24. Si a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces existe un numero primo p > 1 tal que p|a.

Demostraci´on. Si a es primo el teorema est´a demostrado pues basta tomar p = a. Si a no es primo, consideremos el conjunto D de todos los divisores positivos de a mayores que 1. D no es vac´ıo pues, si a > 0, a ∈ D, y si a < 0, entonces a ∈ D, luego por el principio de 93


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la buena orden D posee un elemento m´ınimo: d, d > 1. Probaremos que d es primo: si no lo fuera, por definici´on de primo existir´ıa d′ > 1, d′ 6= d tal que d′ |d, de donde resultar´ıa d′ |a y d ya no ser´ıa el m´ınimo de D, lo que es una contradicci´on. Sea a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, si a no es primo diremos que es un numero compuesto. Y seg´ un el teorema que acabamos de demostrar, para todo numero compuesto existe un numero primo que lo divide. Este hecho nos permite probar parte del siguiente Teorema 2.25. Si a es un n´ umero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces se puede expresar como el producto de n´ umeros primos positivos distintos: a = ±pe11 · pe22 · · · pei i ,

ei ≥ 1, i = 1, 2, . . . , r

Tal descomposici´on es u ´nica salvo el orden de los factores.

Definici´ on 2.10. Dados a, b ∈ Z, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo (MCM) de a y b si, y solo si, i) a|m b|m ii) Si a|m′ y b|m′ entonces m|m′ Notaci´ on: m = [a, b] = MCM(a, b) Teorema 2.26. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos n´ umeros es igual al producto de dichos n´ umeros, dividido por su m´aximo com´ un divisor; es decir, [a, b] · ha, bi = ab Demostraci´on. Sea d = (a, b), existen α, β ∈ Z coprimos tales que a = dα, b = dβ y adem´as [a, b] = dαβ, entonces (a, b)[a, b] = d(dαβ) = (dα)(dβ) = ab.

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CONGRUENCIAS Si m es un entero positivo, decimos que dos numeros enteros a, b son congruentes modulo m si existe un k ∈ Z talque a − b = km. Usaremos la notaci´on a ≡ b(m) para indicar que a y b son congruentes modulo m. Si no lo son diremos que son incongruentes y escribiremos a 6≡ b(m). As´ı, por ejemplo 28 ≡ 3(5) ya que 28 − 3 = 5,5, 121 ≡ 0(11) ya que 121 = 11,11. Pero 28 6≡ 4(5) ya que 28 − 4 = 24, no es m´ ultiplo de 5. El lenguaje de las congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente en la vida diaria. La esfera de un reloj funciona con congruencias modulo 12, los cuentakil´ometros de autos los hace modulo 100,000 y los meses se representan modulo 12 Proposici´ on 2.1. La relaci´on de congruencia m´ odulo m en Z es de equivalencia y divide a Z en clases de equivalencia de manera que dos diferentes de ellas son disjuntas.

Demostraci´on. La relaci´on de congruencia es reflexiva ya que para todo a ∈ Z, a − a = 0 = 0 · m; es tambi´en sim´etrica ya que si a − b = km, b − a = (−k)m; finalmente es transitiva, ya que si a − b = km y b − c = sm, tenemos que a − c = (a − b) + (b − c) = km + sm = (k + s)m. Aunque ya sabemos que es cierto, demostraremos que dos clases de equivalencia diferentes son disjuntas: basta probar que si dos de ellas no tienen intersecci´on vac´ıa son iguales. Sean [a] y [b] dos clases de equivalencia m´odulo m tales que [a] ∩ [b] 6= ∅. Tomando c ∈ [a] ∩ [b], tenemos que c ≡ a (m) y c ≡ b (m). por la definici´on de congruencia c − a = km y c − b = sm con k y s n´ umeros enteros . Por tanto, a − b = (c − b) − (c − a) = (s − k)m, de donde se deduce que a ≡ b (m). Por tanto, si x ∈ [a], x ≡ a (m) y como esta relaci´on es transitiva x ≡ b (m); as´ı pues, x ∈ [b]. La otra inclusi´on se demuestra de manera similar. Ejemplo 2.4. Las clases de equivalencia en Z m´odulo 3 son [0], [1], [2]. Cada una de estas clases de equivalencia contiene los siguientes elementos: [0] = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . . }

[1] = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . . }

[2] = {. . . , −4, −1, 2, 5, 8, . . . }

Un conjunto cualquiera de m representantes, tomados cada uno de una clase, se denomina un sistema completo de restos m´odulo m; por ejemplo, {0, 1, 2, . . . , m − 1} es un tal sistema. Tambi´en {m, m + 1, . . . , 2m − 1} es uno de ellos. Otros sistemas pueden obtenerse mediante el siguiente resultado: Proposici´ on 2.2. Sean a y m n´ umeros enteros tales que a y m son primos entre s´ı y m es positivo. Si r1 , . . . , rm es un sistema completo de restos m´ odulo m, ar1 , . . . , arm es otro sistema completo de restos m´odulo m.

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Demostraci´on. Basta comprobar que si i 6= j, ari 6≡ arj (m). Si tuvi´eramos ari ≡ arj (m), entonces m|ari − arj = a(ri − rj ); puesto que (a, m) = 1, ning´ un factor primo de m divide a a, esto es, todos los factores primos de m dividen a ri − rj . Por tanto, m|(ri − rj ), lo que implica ri ≡ rj (m), en contradicci´on con que r1 , . . . , rm ser´a un sistema completo de restos m´odulo 5. Teorema 2.27. Sea m entero positivo y a, a′ , b, b′ ∈ Z. 1. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′ (m) 2. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que ab ≡ a′ b′ (m) Demostraci´on. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′ (m), de la definici´on de congruencia se deduce que existen n´ umeros enteros r y s tales que a − a′ = rm y b − b′ = sm. Por tanto, (a + b) − (a′ + b′ ) = (a − a′ ) + (b − b′ ) = (r + s)m. De aqu´ı se deduce que a + b ≡ a′ + b′ . En las mismas condiciones, ab − a′ b′ = ab − a′ b + a′ b − a′ b′ = (a − a′ )b + a′ (b′ − b) = rbm + sa′ m = (rs + sa′ )m De aqu´ı se deduce que ab ≡ a′ b′ (m) Teorema 2.28. 1. Si m es un entero positivo y [a], [b] ∈ Zm se pueden definir las operaciones de suma y multiplicaci´on en Zm mediante [a] + [b] = [a + b],

[a][b] = [ab]

2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan mediante la propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y la clase [1] lo es para el producto. 3. Todo elemento [a] ∈ Zm tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m − a], y si m es primo, todo [a] ∈ Zm con [a] = 6 [0] tiene inverso multiplicativo y es u ´nico. Demostraci´on. Hay que comenzar comprobando que las operaciones est´an bien definidas. Esto lo asegura el Teorema 2.27 ya que si [a′ ] = [a] y [b′ ] = [b], a′ + b′ ≡ a + b (m) y por que a′ b′ ≡ ab(m); por tanto [a′ b′ ] = [ab]. 96


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La demostraci´on de la propiedad (b) se deja para el lector. Para demostrar la primera parte (c) basta observar que [a] + [(m − a)] = [a + m − a] = [m] = [0] y por tanto el opuesto de [a] es la clase [m − a]. Si [a] ∈ Zm el algoritmo de la divisi´on nos permite escribir a de la forma a = cm + r con 0 ≤ r < m; por tanto [a] = [r]. Adem´as, si [a] 6= [0] se tiene que 0 < r < m. Si m es primo (m, r) = 1. Existen n´ umeros enteros u y v tales que 1 = um + vr. Por tanto [1] = [um + vr] = [vr] = [v][a] de donde se deduce que [v] es un inverso de [a]. Para demostrar la unicidad consideraremos que existen dos inversos [x] e [y] de [a]; es decir [x][r] = [1]

e

[y][r] = [1],

ya que [a] = [r]. Restando ambas igualdades, se obtiene [(x − y)][r] = [0] o equivalentemente (x − y)r ≡ 0 (m). As´ı pues m divide a (x − y)r, y como m es primo con r, mha de dividir a x − y. Por tanto (x − y) ≡ 0 (m) y se deduce que [x] = [y] en Zm Proposici´ on 2.3. Un n´ umero entero es divisible entre 9 si y s´ olo si la suma de sus cifras es divisible entre 9.

Demostraci´on. Sea x dicho n´ umero y x0 , x1 , . . . , xn sus cifras decimales, esto es x = x0 + x1 10 + x2 102 + · · · + xn 10n Claramente 1 ≡ 1 (9) y 10 ≡ 1 (9), con lo que 102 ≡ 12 ≡ 1 (9) y en general 10k ≡ 1 (9); entonces x0 + x1 10 + · · · + xn 10n ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9) debido al teorema 2.27. Esto es, x ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9). En particular, 9|x si y s´olo si x ≡ 0 (9) sea un divisor de x0 + x1 + · · · + xn . Proposici´ on 2.4. Un n´ umero entero es divisible entre 3 si y s´ olo si la suma de sus cifras es divisible entre 3.

Demostraci´on. Dado que 1 ≡ 1 (3) y 10 ≡ 1 (3), 102 ≡ 12 ≡ 1 (3) y, en general, 10k ≡ 1 (3), el resultado se deduce con un razonamiento similar al usado en la demostraci´on de la proposici´on anterior. 97


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Teorema 2.29 (El peque˜ no teorema de Fermat). Sea p un n´ umero primo y a un n´ umero p−1 natural tal que p no divide a a. Entonces a ≡ 1 (p). Demostraci´on. Puesto que p no divide a a y p es primo se tiene que (a, p) = 1 y por tanto el conjunto {0, a · 1, a · 2, . . . , a · (p − 1)} es un sistema completo de restos m´odulo p (v´ease proposici´on 2.2). Por tanto, para cada i tal que 1 ≤ i ≤ p − 1, i es congruente con alg´ un j · a, 1 ≤ j ≤ p − 1. As´ı pues 1 · 2 · · · (p − 1) ≡ a(a · 2) · · · a · (p − 1) (p) esto es, p|a(a · 2) · · · a · (p − 1) − 1 · 2 · · · (p − 1) = (ap−1 − 1) · 1 · 2 · · · (p − 1) Como p no divide a 1 · 2 · · · (p − 1), p divide a ap−1 − 1 y por tanto ap−1 − 1 ≡ 0 (p), que era lo que quer´ıamos demostrar. Proposici´ on 2.5. Sea a ≡ b(m1 ), a ≡ b(m2 ), . . . , a ≡ b(mk ), donde a y b son n´ umeros enteros y m1 , m2 , . . . , mk son enteros positivos. Entonces a ≡ b ([m1 , m2 , . . . , mk ]) donde [m1 , m2 , . . . , mk ] es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de m1 , m2 , . . . , mk .

Demostraci´on. De la hip´otesis se deduce que m1 |(a − b), m2 |(a − b), . . . y mk |(a − b). Por tanto a−b es un m´ ultiplo com´ un a todos los m1 , m2 , . . . , mk . a−b es un m´ ultiplo de [m1 , m2 , . . . , mk ], que era lo que quer´ıamos demostrar. Corolario 2.4. Sea a ≡ b(m1 ), a ≡ b(m2 ), . . . , a ≡ b(mk ), donde a y b son n´ umeros enteros y m1 , m2 , . . . , mk son enteros positivos primos dos a dos. Entonces a ≡ b (m1 , m2 , . . . , mk ) Demostraci´on. Basta observar que [m1 , m2 , . . . , mk ] = m1 m2 · · · mk ya que los mj son primos dos a dos. Ejemplo 2.5. Existen n´ umeros compuestos q para los que 2q−1 ≡ 1 (q). Uno de tales n´ umeros es q = 341 = 11 · 31. Para demostrarlo observar que por el peque˜ no teorema de Fermat 210 ≡ 2 (11) 98


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y por tanto 2340 = (210 )34 ≡ 134 (11) ≡ 1 (11). Adem´as 2340 = (25 )68 = (32)68 ≡ 168 (31) ≡ 1 (31)

Por el corolario 2.4, 2340 ≡ 1 (41), lo que prueba el resultado deseado. Ecuaciones con congruencias Comenzaremos resolviendo la ecuaci´on ax ≡ b (m) donde a y b son n´ umeros enteros y m es un entero positivo. Usando la definici´on de congruencia m´odulo m se deduce que la ecuaci´on anterior se satisface cuando existe y ∈ Z tal que ax − b = ym Es decir, si (x, y) es una soluci´on de la ecuaci´on ax − my = b, x es una soluci´on de la ecuaci´on ax ≡ b (m). Las ecuaciones del tipo ax − my = b han sido estudiadas anteriormente. Ejemplo 2.6. Queremos encontrar todas las soluciones de la ecuaci´on 4x ≡ 2 (6). Si x es una soluci´on entera de esta ecuaci´on, existe un entero y tal que 4x − 2 = 6y, es decir, 4x − 6y = 2. Como (4,6)=2 y 2 es un divisor de 2, una proposici´on nos asegura que existen infinitas soluciones de esta ecuaci´on y otra proposici´on nos dice como encontrarlas. Se calcula, en primer lugar, una soluci´on particular usando el algoritmo de Euclides. Puesto que 6 = 1·4+2 se tiene −4 − (−6) = 2. Por tanto x0 = −1, y0 = −1 es una soluci´on particular. El resto de soluciones son todas de la forma x = −1 − 3n, y = −1 − 2n con n ∈ Z. Por tanto x = −1 − 3n, n ∈ Z, son todas las soluciones de la ecuaci´on 4x ≡ 2 (6). Todas estas soluciones pertenecen solamente a las clases de equivalencia m´odulo 6: si n es par, x ≡ −1 (6) y si n es impar, x ≡ 2 (6). Ejemplo 2.7. Encontrar todas las soluciones de la ecuaci´on 3x ≡ 7 (6) es equivalente a encontrar todas las soluciones de la ecuaci´on 3x − 7 = 6y. Esta ecuaci´on es equivalente a 3x − 6y = 7, que no tiene soluci´on ya que (3, 6) = 3 y 3 no divide a 7. Observar que 3x s´olo puede ser congruente con 0 o con 3 m´odulo 6. La experiencia acumulada en la resoluci´on de estos debe ayudar a comprender los siguientes resultados relativos a la soluci´on de las ecuaciones de la forma: ax ≡ b (m) Teorema 2.30. Sean a y b dos n´ umeros enteros y m un entero positivo con (a, m) = d. Si d no divide a b, la ecuaci´on ax ≡ b (m) no tiene soluci´ on. Si d divide a b, la ecuaci´on ax ≡ b (m) tiene exactamente d soluciones no congruentes entre si m´ odulo m. 99


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Demostraci´on. De acuerdo con la definici´on de congruencia, x es una soluci´on de la ecuaci´on ax ≡ b (m) si existe un n´ umero entero y tal que ax − my = b. Si d no divide a b, la ecuaci´on no tiene soluciones enteras, y, en consecuencia, tampoco las tendr´a ax ≡ b (m). Si d divide a b, todas las soluciones de la ecuaci´on ax − my = b son de la forma x = x0 − (m/d)n,

y = y0 − (a/d)n,

n ∈ Z,

donde x0 , y0 es una soluci´on particular de la misma ecuaci´on. Por tanto, las soluciones de la ecuaci´on ax ≡ b (m) son de la forma x = x0 − (m/d)n,

n∈Z

Para determinar el n´ umero de ellas que no son congruentes entre si m´odulo m basta estudiar cuando dos de estas soluciones son congruentes m´odulo m. Si x1 = x0 − (m/d)n1 y x2 = x0 − (m/d)n2 son dos de estas soluciones congruentes m´odulo m se tiene que x0 − (m/d)n1 ≡ x0 − (m/d)n2 (m). Por tanto (m/d)n1 ≡ (m/d)n2 (m), es decir (m/d)(n1 − n2 ) = km para alg´ un entero k. A partir de aqu´ı se deduce (n1 − n2 ) = kd, lo que implica que d divide a n1 − n. Esto es equivalente a n1 ≡ n2 (d). As´ı pues todas las soluciones no congruentes entre s´ı se obtienen tomando x = x0 + (m/d)n, donde n var´ıa en un sistema completo de residuos m´odulo d, es decir x = x0 − (m/d)n, n = 0, 1, 2, . . . , d − 1 estas d soluciones no congruentes entre s´ı y por tanto queda terminada la demostraci´on del teorema. Ejemplo 2.8. La ecuaci´on 15x ≡ 10 (25) tiene 5 soluciones no congruentes entre si ya que (15, 25) = 5 y 5 divide a 10. Una soluci´on particular es −1 , que puede obtenerse usando el algoritmo de Euclides. Soluciones no congruentes entre s´ı son x = −1 + (25/5)n = −1 + 5n,

n = 0, 1, 2, . . . , d − 1

es decir −1, 4, 9, 14 y 19. Del teorema anterior se deduce que si a y m son primos entre si la ecuaci´on ax ≡ b (m) siempre tiene soluci´on y es u ´ nica salvo congruencias m´odulo m. Cuando b = 1 la ecuaci´on resultante es la misma que [a][x] = [1] en Zm . Por tanto [x] es el inverso de [a] en Zm . Cuando m es primo y [a] 6= [0] este resultado se ha obtenido en el Teorema 2.28, en cuya demostraci´on se ha dado la forma de calcularlo usando el algoritmo de Euclides. Ejemplo 2.9. Sean a = 5 y m = 7. Como (5, 7) = 1, [a] tiene un inverso en Z7 . La ecuaci´on 5x ≡ 1 (7) se transform en 5x − 7y = 1. Como 1 = 3 · 5 − 2 · 7 una soluci´on particular de la ecuaci´on 5x ≡ 1 (7) es x0 = 3. As´ı pues [3] es el inverso en Z7 . Cuando los n´ umeros son peque˜ nos el inverso puede obtenerse con un c´alculo mental: en nuestro caso 3 · 5 ≡ 1 (7). 100


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Ejemplo 2.10. Un antiguo problema chino trataba de encontrar un n´ umero que dividido entre 3 d´e como resto 1, dividido entre 5 d´e como resto 2 y dividido entre siete d´e como resto 3. Con nuestro sistema de notaci´on se trata de resolver simult´aneamente las conguencias x ≡ 1 (3),

x ≡ 2 (5),

x ≡ 3(7)

Una soluci´on particular de la ecuaci´on x ≡ 1 (3) es 1; por tanto todas las soluciones de esta ecuaci´on son de la forma x = 1 + 3n con n entero. Poniendo este resultado en la segunda ecuaci´on se obtiene 1 + 3n ≡ 2 (5), o equivalentemente 3n ≡ 1 (5). Como (3, 5) = 1 la ecuaci´on tiene infinitas soluciones todas ellas congruentes entre s´ı m´odulo 5. Usando los m´etodos anteriormente expuestos se obtiene que 2 es una soluci´on particular de esta ecuaci´on y, por tanto, todas sus soluciones son de la forma n = 2 + 5t, con t entero. Puesto que x = 1 + 3n, sustituyendo ´este valor de n se obtiene x = 7 + 15t. Sustituyendo ahora en la tercera de las ecuaciones 15t ≡ −4 (7). Como (15, 7) = 1 la ecuaci´on tiene soluci´on u ´ nica m´odulo 7. Usando los mismos m´etodos de los ejemplos anteriores se obtiene que −4 es una soluci´on particular y, en consecuencia, todas sus soluciones son de la forma t = −4 + 7r, con r entero. Sustituyendo en x = 7 + 15t se obtiene x = −53 + 105r con r entero. Con r = 1 se obtiene x = 52 que es una de las posibles soluciones del problema chino (¡Comprobarlo!). Observar que todas las soluciones del problema son congruentes m´odulo 105, que el producto de 3, 5 y 7. Los problemas como el del Ejemplo 2.10 han dado lugar al siguiente resultado, que toma el nombre de su ancestral origen. Teorema 2.31 (Teorema chino del resto). Sean a1 , a2 , . . . , ak enteros y m1 , m2 , . . . , mk enteros positivos primos dos a dos. El sistema de congruencias x ≡ a1 (m1 ),

x ≡ a (m2 ),

...,

x ≡ ak (mk )

tiene soluci´on u ´nica m´odulo M = m1 · m2 · · · · · mk . Demostraci´on. Comenzaremos construyendo una soluci´on de todas las ecuaciones. Sea M = m1 · m2 · · · · · mk y Mj = M/mj , j = 1, 2, . . . , k. Como mj es primo con todos los dem´as mi con i 6= j, se tiene que (Mj , mj ) = 1. Por tanto Mj tiene un inverso u ´ nico en Zmj , que escribimos bj , Es decir Mj · bj ≡ 1 (mj ). Sea x = a1 M1 b1 + a2 M2 b2 + · · · + ak Mk bk Este entero x satisface las k congruencias descritas en el enunciado del teorema ya que Mi ≡ 0 (mj ) si i 6= j y aj Mj bj ≡ aj (mj ), j = 1, 2, . . . , k. ´ Unicamente falta demostrar la unicidad de la soluci´on m´odulo M = m1 · m2 · · · · · mk . Supong-

amos que x e y son soluciones de la ecuaci´on. Entonces x ≡ aj (mj ) e y ≡ aj (mj ) para todo 101


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j = 1, 2, . . . , k, de donde se deduce que x − y ≡ 0 (mj ) para todo j = 1, 2, . . . , k. Usando el Corolario 2.4 se obtiene que x − y ≡ 0 (m1 · m2 · · · · · mk ), es decir, x e y son congruentes m´odulo M. Ejemplo 2.11. El sistema de congruencias x ≡ 1 (3), x ≡ 2 (5), x ≡ 3 (7), que se ha resuelto en el ejemplo 2.10, puede resolverse de nuevo usando el procedimiento desarrollado en el teorema anterior. Seg´ un ´este la soluci´on es u ´ nica m´odulo M = 3 · 5 · 7 = 105 1. Como M1 = 105/3 = 35 tenemos que resolver la ecuaci´on 35·b1 ≡ 1 (3), es decir 2·b1 = 1 en Z3 ; por tanto podemos tomar b1 = 2. 2. Como M2 = 105/5 = 21 tenemos que resolver la ecuaci´on 21·b2 ≡ 1 (5), es decir 1·b2 = 1 en Z5 ; por tanto podemos tomar b2 = 1. 3. Como M3 = 105/7 = 15 tenemos que resolver la ecuaci´on 15·b3 ≡ 1 (7), es decir 1·b3 = 1 en Z7 ; por tanto podemos tomar b3 = 1. La soluci´on es, por tanto, x = 1 · 35 · 2 + 2 · 21 · 1 + 3 · 15 · 1 = 157 ≡ 52 (105). Ejemplo 2.12. Queremos calcular a = 347231 m´odulo 35. Como 347 es congruente con 2 y m´odulo 5 y 4 es congruente con −1 m´odulo 5 tenemos a ≡ (2)131 ≡ (−1)115 2 ≡ 3 (5) Por otro lado, 347 es congruente con 4 m´odulo 7 y 43 es congruente con 1 m´odulo 7, y tenemos a ≡ (4)231 ≡ (43 )77 ≡ 1 (7) Por tanto a es un n´ umero que satisface las ecuaciones x ≡ 3 (5) y x ≡ 1 (7). Seg´ un el teorema chino del resto estas ecuaciones tienen soluci´on u ´ nica m´odulo 35; una de estas soluciones es x = 8. As´ı pues 347231 ≡ 8 (35)

Problemas resueltos Problema 2.1. Calcular la capacidad m´axima que debe tener una vasija para que con ella se puedan medir exactamente las cantidades de tres recipientes de 1092; 1386 y 756 lts. Soluci´ on. Como buscamos, la capacidad m´axima de una vasija para medir los contenidos de otras tres, entonces esta capacidad ser´a un divisor com´ un de los tres recipientes; como debe ser m´axima, esta capacidad es el m.c.d. 1092 = 22 × 3 × 7 × 13 1385 = 2 × 32 × 7 × 11 756 = 22 × 33 × 7

m(1092; 1385; 756) = 2 × 3 × 7 = 42 lts. 102


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Problema 2.2. Pedro trabaja cinco d´ıas seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo el Lunes. ¿Cu´antos d´ıas tienen que transcurrir para que le toque descanso el Domingo? Soluci´ on. Sabemos que los Domingos se suceden de 7 en 7 d´ıas y el descanso sucede el sexto d´ıa, por lo tanto el tiempo que debe transcurrir para que le toque descansar un d´ıa Domingo, (primer Domingo que descansa) es el m.c.m de 6, 7 o sea 42. Luego el empleado descansa despu´es de 42 − 1 = 41 d´ıas transcurridos. Deben transcurrir 41 d´ıas y el siguiente (d´ıa 42) descansa. Problema 2.3. ¿Cu´antos rect´angulos distintos se pueden formar con 60 soldados? Soluci´ on. El n´ umero de soldados descompuesto en sus factores primos es: 60 = 22 × 3 × 5 Los rect´angulos a formarse ser´ıan colocados en: Longitud 30 15 12 20

Ancho 2 4 5 3

Soldados Soldados Soldados Soldados

Vemos que se pueden formar 4 rect´angulos diferentes. Problema 2.4. En una f´abrica de jab´on existen 3 secciones: En la primera se fabrican 3600 pastillas diarias, en la segunda 9000, en la tercera 870 pastillas. ¿Cu´antas cajas distintas pueden usarse con la condici´on de que las producciones de las tres secciones se puedan empacar exactamente en ellas?. Soluci´ on. La caja que contenga el mayor n´ umero de pastillas de jab´on ser´a tal que este n´ umero sea el mayor divisor com´ un a 3600, 9000 y 870; esto quiere decir que debemos calcular el m.c.d. de estos tres n´ umeros 3600 = 24 × 32 × 52

9000 = 23 × 32 × 53

870 = 2 × 3 × 5 × 29

m(3600; 9000; 870) = 2 × 3 × 5 = 30. El n´ umero de cajas que se pueden utilizar es igual al n´ umero de divisores del m.c.d. n = (2)(2)(2) = 8 Se pueden utilizar 8 cajas diferentes considerando las cajas que tienen una pastilla de jab´on como contenido. 103


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Problema 2.5. Dos ciclistas dan vueltas a una pista circular; el primero da la vuelta en 18 minutos y el segundo en 15 minutos. Si ambos parten del mismo punto A de la pista. ¿Dentro de cu´antos minutos volver´an a encontrarse en el mismo punto? Soluci´ on. Se comprende que, para que el primer ciclista se encuentre en A tendr´a que transcurrir un n´ umero m´ ultiplo de minutos; an´alogamente para que el segundo ciclista se encuentre otra vez en A debe haber transcurrido un n´ umero de minutos m´ ultiplos de 15. Por lo que tanto este n´ umero de minutos transcurridos es un m´ ultiplo de 15 y 18. siendo el m.c.m. de 18 y 15 el primer momento que se vuelven a encontrar en el punto A. m.c.m.(18; 15) = 90 Dentro de 90 minutos. Problema 2.6. El n´ umero de p´aginas de un libro est´a comprendido entre 600 y 800. Calcular este n´ umero sabiendo que si se cuentan de 5 en 5, sobra 2; de 7 en 7 quedan 4, y de 11 en 11 sobran 8. Soluci´ on. Designemos por P , el n´ umero de p´aginas del libro, que de acuerdo al problema se tiene 600 < P < 800 (1) P = m·5+2

P = m·7+4

P = m · 11 + 8

P +3=m·5

P +3=m·7

P + 3 = m · 11

Por lo tanto (P + 3) es un m´ ultiplo de (5, 7, 11), siendo el menor de ellos el m.c.d., es decir, 385 y como vemos este n´ umero no ser´a P ya que no cumple con la condici´on (1). Se tiene pues: P + 3 = 385 ⇒ P = 385k − 3 Para calcular el valor de k, reemplazamos el valor de P en (1): 600 < 385k − 3 < 800 De (I) se tiene:

600 | < 385k {z − 3} (I)

600 + 3 <k 385

1,5 < k

800 + 3 <k 385 De estas dos desigualdades se tiene:

k < 2,08

De (II) se tiene:

1,5 < k < 2,08 104

385k −{z3 < 380} | (II)


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como el n´ umero de p´aginas es un n´ umero entero: (k) debe ser n´ umero entero, por lo tanto tenemos que el u ´ nico valor que cumple estas condiciones es k = 2 P = 385 × 2 − 3 = 767 p´aginas Problema 2.7. Se considera la siguiente serie: 1 × 24;

2 × 24;

3 × 24;

...;

60 × 24

Se pide hallar: 1. ¿Cu´al es el menor n´ umero de esta serie que es divisible por 60? 2. ¿Cu´antos t´erminos de la misma serie son divisibles por 60? Soluci´ on. 1. Debemos hallar el n´ umero que multiplicado por 24, produce un m´ ultiplo de 60 y ese n´ umero ser´a igual al m.c.m. de 60 y 24. ) 60 = 22 × 3 × 5 M(60; 24) = 23 × 3 × 5 = 120 3 24 = 2 × 3 luego el menor n´ umero divisible entre 60 es 120. 2. La soluci´on de esta segunda parte se halla calculando el m.c.d de 60 y 24. ) 60 = 22 × 3 × 5 m(60; 24) = 22 × 3 = 120 24 = 23 × 3 Luego hay 12 t´erminos en la serie que son divisibles por 60 Problema 2.8. ¿Cu´antos m´ ultiplos de 32 hay en la serie siguiente 27(32 + 1);

27(32 + 2);

27(32 + 3);

...;

27(32 + 915)?

Soluci´ on. Se tiene en la serie que: A = 27

n = 915

B = 12

b =???

C´alculo de m.c.d. = m(27; 32) = 1 b=

32 32 = = 32 m 1

Por lo tanto el n´ umero de m´ ultiplos de 72 que hay en la serie es: m 315 = = 28 b 32 105


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Problema 2.9. Hallar todos los divisores del n´ umero 1 134 000 que sean cubos perfectos. Soluci´ on. El n´ umero 1 134 000, lo descomponemos de sus factores primos 1 134 000 = 24 × 34 × 53 × 7 Para hallar los divisores del n´ umero dado, procedemos del modo siguiente: 1 22 2 3 2 4 3 32 3 3 3 4 5 52 5 3 7 de este modo donde todos son los divisores del n´ umero dado, vemos que los que son cubos perfectos son: 1, 23 , 33 , 53 , adem´as tendremos los productos de ´estos, dos a dos y al final de los tres: (23 × 33 ); (33 × 53 ); (23 × 53 ) y (23 × 33 × 53 ) siendo los divisores buscados: 1; 8; 27; 125; 216; 1000; 3375; 27000. Problema 2.10. Hallar todos los divisores del n´ umero 5292 que sean cuadrados perfectos. Soluci´ on. 5292 = 22 × 33 × 72 Para hallar el n´ umero entero de divisores de este n´ umero, empezamos por: 1 22 2 3 3 32 3 3 7 72 Los divisores que son cuadrados perfectos, son: 1; 22 ; 32 ; 72 ; 22 × 32 ; 32 × 72 ; y 22 × 32 × 72 Desarrollando se tiene: 1; 4; 9; 49; 36; 196; 441; 1764.

Actividades 1. El se˜ nor Salazar es el due˜ no de la Empresa GELIDO S.A. y desea hacer un balance acerca de lo que logr´o en los u ´ ltimos 5 a˜ nos con la citada empresa para lo cual analiza el siguiente cuadro-resumen en el cual falta llenar algunos espacios vac´ıos. ˜ ANO

INGRESOS (S/.)

EGRESOS (S/.)

1998 1999 2000 2001 2002

73517 195614 214818 306415 318716

68419 113417 276509

GANANCIAS PERDIDAS (S/.)

+58407 -15613 106

O


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Seg´ un este cuadro contestar las siguientes preguntas: a) Al final de los 5 a˜ nos, ¿cu´anto gan´o? o ¿cu´anto perdi´o? b) ¿Cu´anto fue el ingreso total logrado en los tres primeros a˜ nos? c) ¿A cu´anto asciende el egreso total durante los 5 a˜ nos? d ) ¿En cu´antos a˜ nos, de los 5, se lograron ganancias? e) ¿Cu´anto se gan´o o perdi´o en los u ´ ltimos 3 a˜ nos? 2. Demostrar en Z que 2ab ≤ a2 + b2 3. Hallar los n´ umeros enteros tales que: a. |2x − 4| + 3|2 − x| + x = 10 b. |3 − x| − |x + 2| = 5 4. ¿Cu´ales de las siguientes propiedades son ciertas en el conjunto de los n´ umeros enteros? En caso de que alguna sea falsa, de un contraejemplo. i. Si a < b, entonces a2 < b2 . ii. Si a ≤ b y c ≤ d, entonces ac ≤ bd iii. Si 0 < a < b, entonces a2 < b2 iv. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc v. Si a > b, entonces b + c < a + c vi. Si a < b, entonces a < 2b 5. Si a, b son enteros tales que a < b < a2 , y adem´as ab = 89. ¿Cu´al es el valor de b? 6. ¿Cu´ales de las expresiones x3 + y 4 , x4 + y 3 , x3 + y 3 , x4 − y 4, son positivas para todo par de enteros x, y; en donde x > y? 7. Si a y b son enteros tales que b > a, entonces ¿Cu´al es el n´ umero de enteros x tales que a < x < b? 8. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido una p´erdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a raz´on de 1200 por mes. ¿Despu´es de cu´anto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado? 9. Ocho equipos juegan un torneo rel´ampago de f´ utbol: una sola ronda, todos contra todos durante dos semanas. Hay dos equipos, G y H, que no pueden jugar ning´ un partido la primera semana. Los seis equipos A, B, C, D, E y F , juegan todos los partidos entre ellos la primera 107


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semana. La tabla de posiciones, despu´es de esta semana, tiene al equipo A como u ´ nico puntero. La segunda semana, los equipos G y H juegan todos sus partidos y as´ı se completa el torneo. ¿Es posible que, al finalizar el torneo, el equipo A quede u ´ ltimo absoluto, detr´as de los otros siete equipos? Nota: En cada partido un equipo obtiene 2 puntos si gana, 1 punto si empata y 0 puntos si pierde 10. Si m, n son n´ umeros enteros positivos tales que 5m + 6n = 100. ¿Cu´al es el mayor valor posible de mn? 11. Demostrar en Z que: a) MCD(a, b) = MCM(a, b) ⇒ a = b ∨ a = −b b) MCD(a, b) = MCD(−a, b) = MCD(a, −b) c) MCD(a, b) = MCD(b, r), donde r es el resto de dividir a entre b 12. Probar que: a) Si MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(a + b, a − b)0 = 1 ´o 2 b) Si m > 0 ∧ MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(am, b) = MCD(m, b) c) MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(an , b) = 1 13. Hallar x, y ∈ Z, tales que: a) 3 = 51x + 258y

c) 1 = 5x + 4y

b) 3 = 285x + 72y

d ) 4 = 400x + 164y

14. Si (a, b) = 1 ⇒ (an , bk ) = 1, ∀ n ≥ 1, k ≥ 1 15. Probar que ∀ a ∈ Z, MCD(a, 0) = |a| 16. Si (n, 7) = 1 probar que 7′ |(n12 − 1), ∀ n ∈ Z 17. Si 3/n(n2 + m2 ), m, n ∈ Z probar que 3/n y 3/m 18. Probar que 6/[(n − 1)(n)(n + 1)], ∀ n ∈ Z 19. Probar que un n´ umero primo impar puede expresarse como diferencia de cuadrados de modo u ´ nico. 20. Probar que n7 − n, es m´ ultiplo de 42, ∀ n ∈ Z+

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21. Para investigar: Los n´ umeros de Lucas son: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 47, 76 con L1 = 1, L2 = 3 y para todo n ≥ 2 Lk = Lk−2 + Lk−1 . Calcular la suma 1 1 1 1 1 − + − + 1 · 3 3 · 4 4 · 7 7 · 11 11 · 18 22. Para investigar: Resolver en Z la ecuaci´on xyz = xy + yz + zx.

23. Para investigar: Sean a, b, c ∈ Z con a > 1 y b > 2. Justificar que ab + 1 ≥ b(a + 1) y determinar cu´ando se tiene la igualdad. 24. Probar que x = x0 +x1 10+x2 102 +· · · es divisible entre 11 si y s´olo si x0 −x1 +x2 −x3 · · · es divisible entre 11. 25. Demostrar que si a, b y c son n´ umeros enteros y m es un entero positivo tales que ac ≡ bc (m), se tiene que a ≡ b (m/d) donde d = (c, m).

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Sesi´ on 9: Definici´ on Axiom´ atica de Q. Sustracci´ on,

2.3.

divisi´ on, potenciaci´ on y orden en Q La matematica: el incomovible Fundamento de todas las ciencias y la generosa Fuente de Beneficios para los asuntos humanos. Isaac Barrow Contextualizando: Promedio de bateo de un jugador de b´ eisbol Con la finalidad de determinar el promedio de bateo de un jugador de b´eisbol, dividimos el n´ umero de imparables entre el n´ umero de veces al bateo. Existe una sorprendente paradoja concerniente a los promedios, es posible que el jugador A tenga un promedio anual de bateo mayor que el del jugador B en dos a˜ nos sucesivos, aunque en el per´ıodo de dos a˜ nos el jugador B pueda tener un promedio total m´as alto. V´ease la tabla A˜ no 2001 2003 Total en los dos a˜ nos

Jugador A 20 = ,500 40 60 = ,300 200 80 = ,333 240

Jugador B 90 = ,450 200 10 = ,450 40 100 = ,417 240

En cada uno de estos dos a˜ nos, el jugador A tuvo un promedio mayor, pero en el per´ıodo de dos a˜ nos, el jugador B tuvo el promedio m´ as alto. Este es un ejemplo en estad´ıstica de la paradoja de Simpson.

2.3.1.

Definici´ on Axiom´ atica de Q

En el Sistema de los N´ umeros Enteros, la suma, la diferencia y el producto de dos n´ umeros enteros siempre existen y son n´ umeros enteros. En cambio, el cociente de dos n´ umeros enteros 2 no siempre existe, por ejemplo 3 no es un n´ umero entero, puesto que no existe un n´ umero entero v tal que: 2 = 3 · v. En t´erminos algebraicos, en Z no es posible resolver la ecuaci´on 3x = 2. Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los N´ umeros Enteros, a un nuevo conjunto que “lo contenga” en el cual la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos elementos de este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto ser´a el de los N´ umeros Racionales. Una manera formal de introducir el conjunto de los n´ umeros racionales Q es a partir de Z. + Se define en Z × Z una adecuada relaci´on, de equivalencia, la cual determina una partici´on de Z × Z+ o sea el conjunto cociente al cual se le llama Q. Luego, se definen las operaciones de adici´on y multiplicaci´on en Q, obteni´endose el sistema de los n´ umeros racionales Q. 110


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Se introducir´a, como en el caso de los Sistemas de los N´ umeros Naturales N y Enteros Z, el Sistema de N´ umeros Racionales Q usando el m´etodo axiom´atico. El Sistema de los N´ umeros Racionales es un conjunto, denotado por Q, provisto de dos operaciones internas llamadas adici´on y multiplicaci´on. La Adici´on es una operaci´on interna en Q, que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b) ∈ Q × Q un u ´ nico n´ umero racional llamado suma de a y b, denotado por a + b. Simb´olicamente: + : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a + b Los n´ umeros racionales a y b reciben el nombre de sumandos. La Multiplicaci´on es una operaci´on interna en Q, que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b) ∈ Q × Q un u ´ nico n´ umero racional llamado producto de a y b denotado por a · b o simplemente ab. Simb´olicamente: · : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a → b Los n´ umeros a y b reciben el nombre de factores. La adici´on y la multiplicaci´on satisfacen los siguientes diez axiomas: Nota Importante: Cuando se define un Sistema Num´erico como un conjunto provisto de ciertas operaciones, queda t´acitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos y todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en ´el; en particular, la relaci´on de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, sim´etrica y transitiva.

2.3.2.

Consecuencias importantes de los axiomas anteriores

Teorema 2.32. Si a, b y c son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.

Corolario 2.5.

a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d

b) a = b ∧ a · c = b · d La demostraci´on es an´aloga al caso de los n´ umeros naturales y enteros.

Teorema 2.33. Si a y b son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) a · 0 = 0 b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0 La demostraci´on es an´aloga al caso de los n´ umeros naturales y enteros.

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Corolario 2.6. Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0 Teorema 2.34 (Propiedades del Opuesto de un n´ umero racional). Si a y b son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) −(−a) = a, para todo a ∈ Q b) −(a + b) = (−a) + (−b) c) (−1)a = −a d) a(−b) = (−a)b = −(ab) e) (−a)(−b) = ab

Demostraci´on. La demostraci´on de todas las propiedades es an´aloga a la realizada en los N´ umeros Enteros. Teorema 2.35 (Propiedades del Inverso). Si a y b son n´ umeros racionales diferentes de cero, se cumplen las siguientes propiedades: a) (a−1 )−1 = a, para todo a ∈ Q b) (a · b)−1 = a−1 · b−1 Demostraci´on. Queda como ejercicio para el lector. Se sugiere adecuar las demostraciones de las propiedades 3a y 3e. Teorema 2.36 (Cancelaci´on en la Adici´on y Multiplicaci´on). Si a y b son n´ umeros racionales se tiene: a) a + c = b + c ⇒ a = b b) Si ac = bc y c 6= 0 ⇒ a = b Demostraci´on. racional.

a) Es an´aloga a la realizada en Z. Basta cambiar la palabra entero por

b) Si ac = bc entonces (ac) · c−1 = (bc) · c−1 de donde se sigue que a(c · c−1 ) = b(c · c−1 ), o sea, a · 1 = b · 1, lo que implica a = b. 112


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A continuaci´on, se presenta el u ´ ltimo axioma del Sistema de los N´ umeros Racionales:

Teorema 2.37. Si denotamos por 0Z , 0Q , 1Z y 1Q a los elementos neutros de la adici´on y multiplicaci´on de Z y Q respectivamente; se tiene: a) g(0Z) = 0Q b) g(1Z) = 1Q c) g(−a) = −g(a), para todo a ∈ Z. Demostraci´on. a) g(0Z) = g(0Z + 0Z ) = g(0Z) + g(0Z). Como g(0Z) = g(0Z) + 0Q , resulta que g(0Z ) + 0Q = g(0Z) + g(0Z ), luego aplicando la cancelaci´on para la suma(Teorema 5a), se tiene que g(0Z ) = 0Q . b) Como: 0Z 1Z , entonces g(0Z ) 6= g(1Z ). Por otra parte, g(1Z) = g(1Z · 1Z ) = g(1Z) · g(1Z ). Por Q7 se tiene que g(1Z ) = g(1Z) · 1Q , de donde resulta que g(1Z) · 1Z = g(1Z ) · g(1Z ), luego, como g(1Z) 6= 0Q , aplicando la cancelaci´on para el producto (Teorema 5.b) resulta g(1Z) = 1Q . Veamos el siguiente caso particular: g(2Z ) = g(1Z + 1Z ) = g(1Z) + g(1Z ) = 1Q + 1Q = 2Q c) Para todo a ∈ Z, por Q10ii), g(a) + g(−a) = g(a + (−a)) = g(0Z ) = 0Q , pero tambi´en g(a) + (−g(a)) = 0Q = g(a) + g(−a); luego, cancelando se tiene −g(a) = g(−a). A continuaci´on estableceremos las propiedades de g(Z) Teorema 2.38.

i) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a + b ∈ g(Z)

ii) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a · b ∈ g(Z) Demostraci´on. i) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n), luego a + b = g(m) + g(n) = g(m + n) ∈ g(Z), pues m + n ∈ g(Z) ii) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n), luego a · b = g(m) · g(n) = g(m · n) ∈ g(Z), pues m · n ∈ g(Z).

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En virtud de este teorema, como g(Z) ⊂ Q las operaciones internas de adici´on y multiplicaci´on en el conjunto de los numeros racionales Q, restringidas g(Z) ⊂ Q, inducen las mismas operaciones internas en g(Z)y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante. Teorema 2.39. El conjunto g(Z) = {g(n)/n ∈ Z}, provisto de las operaciones internas de adici´on y multiplicaci´on + : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a + b · : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a · b

inducidas por las operaciones de Q verifican E1−E10.

Demostraci´on. La verificaci´on de los axiomas E1-E9 es inmediata. E10 se demuestra en el siguiente Teorema 2.40. Existe una aplicaci´on h : N → g(Z) tal que: i) h es inyectiva ii) h(m + n) = h(m) + h(n) iii) h(m · n) = h(m) · h(n) iv) Para todo q ∈ g(Z), existe m ∈ N tal que q = h(m) ∨ −q = h(m) Demostraci´on. Definamos h : N → g(Z) poniendo h = g ◦ f donde f : N → Z y g : Z → Q son las funciones inyectivas de los axiomas E10 y Q10 de Z y Q respectivamente. i) Como f : N → Z y g : Z → Q. son funciones inyectivas, en virtud del Teorema 3 del capitulo 1 la funci´on h = g ◦ f : N → Q es inyectiva. Esta demostraci´on es un caso particular del Teorema 3.1) del capitulo 1 ii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10ii) y Q10ii), resulta h(m + n) = (g ◦f )(m+n) = g(f (m+n)) = g(f (m)+f (n)) = g(f (m))+g(f (n)), es decir h(m+n) = (g ◦ f )(m) + (g ◦ f )(n) = h(m) + h(n). iii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10iii) y Q10iii), se tiene, h(mn) = (g ◦ f )(mn) = g(f (mn)) = g(f (m)f (n)) = g(f (m)) · g(f (n)) = (g ◦ f )(m) · (g ◦ f )(n) = h(m) · h(n) iv) Para todo q ∈ g(Z), existe a ∈ Z tal que q = g(a). Si a ∈ Z, existe m ∈ N tal que a = f (m) o −a = f (m) por E10iv). 114


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Si a = f (m) entonces q = g(f (m)) = (g · f )(m) = h(m). Si −a = f (m), −q = −g(a) = g(−a) = g(f (m)) = (g · f )(m) = h(m). Es decir,∀q ∈ g(Z)∃m ∈ N tal que q = h(m) ∨ −q = h(m). Nota importante: El teorema anterior permite, afirmar que la funci´on g : Z → g(Z), donde g(Z) ⊆ Q, goza de las siguientes propiedades: 1. g : Z → g(Z) es una biyecci´on 2. g(m + n) = g(m) + g(n) y g(mn) = g(m)g(n). Estas propiedades nos permiten identificar Z con g(Z), desde el punto de vista conjuntista por 1) y desde el punto de vista algebraico por 2), as´ı como escribir Z ∼ = g(Z). En consecuencia a partir de este momento identificaremos un n´ umero entero m ∈ Z con el n´ umero racional ∼ g(m) · Q(m = g(m)), al cual tambi´en lo llamaremos racional entero; en particular: 0Z ∼ = g(0Z) = 0Q y 1Z ∼ = g(1Z) = 1Q . De esta manera tambi´en podemos escribir: “Z ⊂ Q”. En los cursos avanzados de ´algebra se dice que g es un isomorfismo algebraico.

2.3.3.

Sustracci´ on

Definici´ on 2.11. Dados los numeros racionales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota a − b, al numero racional c tal que a = b + c. Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c. Los numeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente. Teorema 2.41. Dados los numeros racionales a y b, la diferencia a − b siempre existe y es u ´nica. La demostraci´on es an´aloga a la realizada para n´ umeros enteros; es decir basta poner c = a + (−b) y reemplazar la palabra entero por racional. El teorema anterior nos permite decir que la aplicaci´on “−”que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b), su diferencia a − b. − : Q × Q → Q tal que (a, b) → a − b es una operaci´on interna que recibe el nombre de Sustracci´on. Corolario 2.7. Si a y b son numeros racionales, entonces x+a= b↔x= b−a La demostraci´on es an´aloga a la realizada para numeros enteros; es decir basta reemplazar la palabra entero por racional. 115


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2.3.4.

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Divisi´ on

Definici´ on 2.12. Dados los numeros racionales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b, y se denota ab (´o a/b), al numero racional c tal que a = b · c. Es decir, ab = c ⇔ a = b · c Teorema 2.42. Dados los numeros racionales a y b, con b 6= 0, el cociente de a y b existe y es u ´nico. Demostraci´on. Dados los numeros racionales a y b, como b 6= 0, existe 1b , luego definiendo c = a( 1b ), resulta c ∈ Q; adem´as aplicando sucesivamente el axioma de sustituci´on, las propiedades asociativa, conmutativa y del inverso, se tiene: 1 1 b · c = b · [a( )] = [b( )]a = a b b Luego a = b · c y aplicando la definici´on de cociente, resulta ab = c Observaci´ on 2.1. Es importante recordar la igualdad: ab = a( 1b ) El teorema anterior nos permite decir que la aplicaci´on “/”que asocia a cada par de n´ umeros racionales (a, b), con b 6= 0, su cociente a/b / : Q × (Q − {0}) → Q tal que (a, b) → a/b es una operaci´on interna que recibe el nombre de Divisi´on. Teorema 2.43. Si a, b, c, d son numeros racionales, c 6= 0 y d 6= 0, se cumplen las siguientes propiedades: a)

a c

+

b c

=

a+b c

b)

a c

+

b d

=

ad+bc cd

c)

a c

·

d)

a c

=

b d

= b d

ab cd

⇔ ad = bc

e) Si a 6= 0, la ecuaci´on ax + b = 0 tiene soluci´ on en Q y adem´ as es u ´nica. Demostraci´on. tiene

a) Si c 6= 0, existe c−1 ∈ Q, luego aplicando la definici´on de cociente se a+b a b = (a + b) · c−1 = a · c−1 + b · c−1 = + c c c

b) Si c 6= 0, por el corolario del Teorema 2, cd 6= 0, luego existe (cd)−1 y se tiene:

ad + bc = (ad + bc) · (cd)−1 = (ad + bc) · (c−1 · d−1 ) = (ad) · (c−1 · d−1 ) + (bc) · (c−1 · d−1 ) cd a b = ac−1 (d.d−1 ) + bd(c · c− 1) = ac−1 · 1 + bd−1 · 1 = ac−1 + bd−1 = + c d 116


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c) Si c 6= 0 y d 6= 0, entonces cd 6= 0, luego,

ab a b = ab · (cd−1 ) = (ab) · (c−1 · d−1 ) = (ac−1 ) · (bd−1 ) = · cd c d

d) b a = ⇔ ac−1 = bd−1 c d ⇔ (ac−1 )cd = (bd−1 )cd, pues cd 6= 0 ⇔ ad(c−1 c) = bc(d−1 d)

⇔ ad = bc

e) Si ax + b = 0, entonces ax = −b. Como a 6= 0 existe a−1 y se tiene. (a−1 )(ax) = (a−1 )(−b) ⇒ (a−1 a)x = (−b)a−1 ⇒ 1 · x = −(ba−1 ) ⇒ x = −

b a

Es decir, la ecuaci´on ax + b = 0 tiene soluci´on y es u ´ nica. En particular la ecuaci´on ax = c tiene soluci´on u ´ nica a x = ac .

2.3.5.

Potenciaci´ on

Definici´ on 2.13. Sea a un numero racional, a 6= 0 y n un numero natural, la potencia an , est´a dada por: 1. a0 = 1 2. an = an−1 · a, si n ≥ 1 En la expresi´on an ; el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente. De la definici´on, se tiene que: a1 = a0 · a = 1 · a = a (un factor) a2 = a1 · a = a · a, (dos factores) a3 = a2 · a = a · a · a, (tres factores), y en general, an = a · a · · · a, (n factores). Definiendo a−n = a1n , para los numeros naturales m y n y para el numero racional a 6= 0, se tiene: am 1 = am n = am · a−n n a a Como en el caso de los n´ umeros naturales, aplicando la inducci´on matem´atica se demuestra que: i) (a · b)n = an · bn , ii) am · an = am+n iii) (am )n = am·n 117


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2.3.6.

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Numeros reales como cocientes de numeros enteros

Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n 6= 0, g(n) 6= 0, tal que r = g(m) , donde g : Z → Q es la g(n) inyecci´on del axioma Q10. En efecto, por el axioma Q10iv), para todo r ∈ Q, existe n ∈ Z, n 6= 0 tal que, r · g(n) ∈ g(Z), es decir r.g(n) = g(m), para alg´ un m ∈ Z. . Como g(n) 6= 0, y r·g(n) = g(m), aplicando la definici´on de cociente, se concluye que r = g(m) g(n) ∼ ∼ En consecuencia, usando la identificaci´on de Z con g(Z), g(m) = m y g(n) = n, son racionales enteros, luego todo numero racional r, se puede expresar como cociente de enteros racionales con denominador diferente de cero. As´ı podemos expresar r = m . n Teorema 2.44.

1. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n > 0, tal que r =

g(m) g(n)

2. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos (Definici´ on 7 cap´ıtulo 1), n > 0 tal que g(m) r = g(n)

Demostraci´on. 1. Por Q10iv)∀r ∈ Q∃k ∈ Z, k 6= 0 tal que g(k) · r ∈ g(Z) y ∃m ∈ Z. tal que g(k) · r = g(m). i) Si k > 0, basta tomar n = k, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(n) · r = g(m) de donde r = g(m) con n > 0. g(n) ii) Si k < 0, tomamos n = −k > 0, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(−n) · r = g(m). Aplicando sucesivamente los Teoremas 6c y 3, se sigue que: (−g(n))r = g(m), luego g(n) · r = −g(m) de donde g(n) · r = g(−m). Por lo tanto, r = g(−m) con n > 0. g(n) ′

) 2. Para todo r ∈ Q, por la parte (1) existen m′ , n′ ∈ Z, n′ > 0 tales que r = g(m . g(n′ ) ′ ′ ′ ′ Sea d = MCD(m , n ), entonces existen m, n ∈ Z tales que m = dm, n = dn y MCD(m, n) = 1. Como d > 0 y n′ > 0, entonces n > 0, adem´as g(n′) · r = g(m′) en Q entonces g(dn) · r = g(dm), luego g(d)g(n)r = g(d)g(m) por Q10(iii). Como g es inyectiva y d 6= 0 entonces g(d) 6= g(0) = 0 as´ı, g(n) · r = g(m), n > 0. Por lo tanto, r = g(m) donde m y n son coprimos y n > 0. g(n)

Observaci´ on 2.2. 1. La primera parte de este teorema nos indica que todo numero racional puede expresarse como un cociente de racionales enteros con denominador “positivo”(el orden lo veremos mas adelante). g(m) . En particular, para todo m ∈ Z, g(m) ∈ Q, luego g(m) = g(1 z) Y usando la identificaci´on podemos escribir: m = m1 . 2. La segunda parte de este teorema nos indica que todo n´ umero racional puede expresarse como cociente de racionales enteros coprimos. 118


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Esto es, usando la identificaci´on: Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos tal que r=m . n Corolario 2.8. Sean a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0 y d 6= 0 i) Si r = m ∈ Q con m, n ∈ Z, coprimos y r = dc , d 6= 0, entonces existe k ∈ Z, k 6= 0, n tal que c = km y d = kn. ii) Si r = iii) r =

2.3.7.

a b

m n

=

∈ Q con m, n ∈ Z, entonces −r = − m = n c d

−m n

=

m −n

∈ Q si, y s´olo si, ad = bc.

Orden en Q

El orden de Z, mediante la aplicaci´on g : Z → Q del axioma Q10 induce un orden en Q como se muestra a continuaci´on: Definici´ on 2.14. Se dice que r ∈ Q es un n´ umero racional positivo si, y s´olo s´ı, existen g(m) z) + m, n ∈ Z tales que r = g(n) . As´ı por ejemplo 1Q = g(1 es racional positivo. g(1z ) Usando la identificaci´on se tiene que, r ∈ Q es un n´ umero racional positivo si, y s´olo s´ı, existen m, n ∈ Z+ tales que r = m . n p Si r = q , por el corolario anterior, pn = qm, y como m y n son enteros positivos, entonces p y q tienen el mismo signo, luego pq > 0 en Z. As´ı en forma equivalente se tiene que r = m ∈ Q es un numero racional positivo si, y solo si, n + mn > 0. Denotaremos por Q = {x ∈ Q/x es positivo} al subconjunto no vac´ıo de todos los numeros racionales positivos. Teorema 2.45.

1) Para todo r, s ∈ Q+ , se cumple r + s ∈ Q+

2) Para todo r, s ∈ Q+ , se cumple r · s ∈ Q+ 3) Para todo r ∈ Q una y s´olo una de las siguientes proposiciones es verdadera r ∈ Q+

r=0

−r ∈ Q+

Demostraci´on. 1. Sean r, s ∈ Q+ , por definici´on existen a, b, c, d, ∈ Z+ , tales que r = ab y s = dc . Por el Teorema 12, r + s = ab + dc = ad+bc . bd En Z, b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y tambi´en, a > 0 y c > 0, luego ad + bc > 0 as´ı, r + s ∈ Q+ . 119


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2. Sean r, s ∈ Q+ , por definici´on existen a, b, c, d ∈ Z+ , tales que r = ab y s = dc . Por el Teorema 12, r · s = ab · dc = ac como b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y tambi´en, bd a > 0 y c > 0, luego ac > 0 en Z y en consecuencia r · s ∈ Q+ . . 3. Sea r ∈ Q entonces por el Teorema 13, existen m, n, ∈ Z, con n > 0, tales que r = m n Como para m ∈ Q, una y s´olo una de las siguientes relaciones se cumple: m ∈ Z+ ∨ m = 0 ∨ −m ∈ Z+ resulta que, m 0 m −m ∈Q+ ∨ 0= ∨ − = ∈ Q+ n n n n De donde, como g : Z → Q es inyectiva, resulta que, una y s´olo una de las siguientes relaciones es verdadera: r ∈ Q+

r=0

−r ∈ Q+

Si denotamos por Q− al subconjunto de Q definido por Q− = {x ∈ Q/ − x ∈ Q+ }, se tiene que Q− = φ, pues −1 ∈ Q− , y aplicando el Teorema 14 · 3, resulta que: Q = Q+ ∪ Q− {0}

2.3.8.

Consecuencias importantes del teorema 14

Teorema 2.46. Si a ∈ Q, a 6= 0 entonces a2 ∈ Q+ Demostraci´on. Si a 6= 0 entonces a ∈ Q+ ∪ Q− Si a 6= Q+ entonces a2 = a · a ∈ Q+ y si a ∈ Q− entonces −a ∈ Q+ y en consecuencia a2 = a · a = (−a) · (−a) ∈ Q+ . En particular, 1 = 1 · 1 ∈ Q+ . Definici´ on 2.15. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor que b y se denota con a < b si, y solo si, existe b − a ∈ Q+ . En s´ımbolos, a < b ⇔ b − a ∈ Q+ Equivalentemente, se dice que “b es mayor que a se denota b > a si, y solo si, a < b. 2

De la definici´on anterior resulta el siguiente: Teorema 2.47.

a) a ∈ Q+ si, y s´ olo si, a > 0.

b) a > 0 si, y s´olo si, −a < 0. 120


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Demostraci´on. a) Si a ∈ Q+ , a − 0 = a ∈ Q+ , luego 0 < a, de dondea > 0. Rec´ıprocamente, si a > 0 entonces 0 < a y a − 0 ∈ Q+ , es decir a ∈ Q+ . b) Si a > 0, a ∈ Q+ , luego a = 0 − (−a) ∈ Q+ , es decir −a < 0. El rec´ıproco es inmediato. Usando el Teorema anterior, podemos escribir: i) Dado a ∈ Q, se cumple una y s´olo una de las siguientes condiciones: 0<a

a=0

a < 0(Tricotom´ıa).

ii) Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0

Teorema 2.48. Si a, b y c son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) a < 0 ∧ b < 0 ⇒ ab > 0 b) a > 0 ∧ b < 0 ⇒ ab < 0 Demostraci´on.

a) Si a < 0 ∧ b < 0 entonces −a > 0 ∧ −b > 0 de donde ab = (−a)(−b) > 0

b) Si a > 0 ∧ b < 0 entonces a > 0 ∧ −b > 0 de donde −ab = a(−b) < 0 y ab < 0. Teorema 2.49. Si a, b y c son n´ umeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades: a) a < b ∧ b < c ⇒ a < c b) a < b ⇒ a + c < b + c c) a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d d) a < b ∧ 0 < c ⇒ ac < bc e) a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc Demostraci´on. Se probar´an a) y d). Quedan como ejercicios b), c)ye). a) Si a < byb < c, existen r > 0 y s > 0 tales que a + r = b y b + s = c luego a + (r + s) = (a + r) + s = b + s = c, es decir, existe un n´ umero racional r + s > 0 tal que a + (r + s) = c, y en consecuencia a < c. 121


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d) Si a < b existe r > 0 tal que a + r = b. Como c > 0 y r > 0, rc > 0, luego ac + rc = (a + r)c = bc lo que implica que ac < bc.

Teorema 2.50. Si a y b son n´ umeros racionales diferentes de cero, el inverso multiplicativo tiene las siguientes propiedades: a) a > 0 ⇒ a−1 > 0 b) a < 0 ⇒ a−1 < 0 c) Si 0 < a < b ⇒ b−1 < a−1 d) Si a < b < 0 ⇒ b − 1 < a − 1 Demostraci´on. Probaremos a) y c). Quedan como ejercicio b) y d). a) Por el absurdo: Supongamos que a−1‘ < 0, entonces, como a > 0, se tiene, por el axioma Q8, que 1 = a−1 a < 0, es decir, 1 < 0, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto a−1 > 0. c) Si 0 < a < b, por el Teorema 14, ab > 0. Pero por los Teoremas 19a y 4b resulta a−1 b−1 = (ab)−1 > 0. Entonces, b−1 = (aa−1 )b−1 = a(a−1 b−1 ) < b(a−1 b−1 ) = b(b−1 a−1 ) = (bb−1 )a−1 = a−1 .

Teorema 2.51.

i) Si a > 0 y n > 0 ⇒ an > 0

ii) Si 0 < a < b ⇒ an < bn Demostraci´on. Probar las dos propiedades por inducci´on. Teorema 2.52 (Densidad de los n´ umeros racionales). Dados los n´ umeros racionales a y b, tales que a < b, siempre existe un n´ umero racional c tal que a<c<b

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Demostraci´on. Si a < b, en virtud de 18(b) resulta, a + a < a + b ∧ a + b < b + b, de donde, 2a < a + b < 2b lo que implica a = 2a( 12 ) < ( a+b ) 12 < (2b) 21 , ´osea a < a+b < b. Luego, bastara 2 2 tomar c = a+b 2 Definici´ on 2.16. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor o igual que b y se denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b. En particular, 0 ≤ a si, y solo si, a < b o a = b. Se sigue de inmediato que: a ≤ b ⇔ ∃c ≥ 0/a + c = b Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b. 2

Teorema 2.53. Si a, b y c son n´ umeros racionales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las siguientes propiedades a) a ≤ a (Propiedad reflexiva) b) a ≤ ∧b ≤ a ⇒ a = b (Propiedad antisimetrica) c) a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c (Propiedad transitiva) d) a 6= b ⇒ a < b ∨ b < a (Propiedad conexa) e) a ≤ b ∧ c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc f ) a ≤ b ∧ c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc Demostraci´on. Las demostraciones de las 6 propiedades son consecuencia de la definici´on de la relaci´on menor o igual y de las propiedades de la relaci´on menor en Q Observaci´ on 2.3. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relaci´on menor o igual es una relaci´on de orden en Q.Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relaci´on menor o igual es una relaci´on de orden conexa. Ejemplo 2.13. Si a, b y c, son n´ umeros racionales tales que 0 < a < b < 1 , determinar la verdad (V ) o falsedad (F ) de las siguientes desigualdades: a)0 < a5 < a3 < a < 1

b)

b−1 a−1 < 5 5

a2 < b2

Soluci´ on. a) Como 0 < a < 1 y a > 0, resulta 0 < a2 < a < 1. Repitiendo el mismo procedimiento, se obtienen las siguientes desigualdades: 0 < a3 < a2 < a < 1 y 0 < a5 < a4 < a3 < a2 < 1. En consecuencia la afirmaci´on dada es verdadera. b) Si 0 < a < b, aplicando el teorema 11c, se tiene 0 < b−1 < a−1 , de donde, como −1 −1 resulta b 5 < a 5 123

1 5

>0


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c) Queda como ejercicio.

2.3.9.

Radicaci´ on

Definici´ on 2.17. Si a ≥ 0 es un numero racional y n ∈ N+ , se llama ra´ız n−esima de a y se √ denota n a , al u ´ nico numero real no negativo b, si existe tal que bn = a; √ Simb´olicamente n a = b ⇔ bn = a. √ En la expresi´on b = n a ; se dir´a que n es el ´ındice del radical, y que a es el radicando o expresi´on subradical. √ √ 2 a se escribe simplemente a y se lee “ra´ız cuadrada de a”. 3 a se lee: “ra´ız cubica de a”. + Teorema 2.54. Si a, b ∈ Q+ 0 = Q ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces: √ √ √ √ a) Existe n ab y n ab = n a · · · n b . √ √ √ b) Existe n am y n am = ( n a)m p√ √ p√ √ p√ c) Existen mn a, m n a y mn a, n m a = m n a

d) Si b > 0,

p n a b

=

√ na √ n b

Observaci´ on Importante: Como 1 ∈ Q+ , se sigue que los numeros racionales naturales: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, · · · , n, n + 1, · · · son positivos y que, en consecuencia, que el conjunto de los racionales naturales N = N+ ∪ {0} ⊂ Q An´alogamente, como 0 ∈ Q y n ∈ Q, n racional natural, entonces −n ∈ Q, es decir el conjunto de los racionales enteros Z ⊂ Q. Se puede “identificar”los n´ umeros racionales con ciertos puntos de la recta geom´etrica ℜ. Al n´ umero racional cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta “unidad de medida.a los n´ umeros racionales positivos y a los negativos se les asigna puntos a la derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura: De esta manera, se establece una aplicaci´on β : Q → ℜ que hace corresponder a cada n´ umero racional un punto de la recta geom´etrica.

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Problemas Resueltos Problema 2.11 (*). Julia tiene 289 monedas guardadas en cajas. Todas las cajas contienen la misma cantidad de monedas (que es mayor que 1) y en cada caja solo hay monedas de un mismo pais. Las monedas de Bolivia son mas del 6 % del total, las de Chile, mas del 12 % del total, las de Mexico, mas del 24 % del total y las Peru, mas del 36 % del total ¿Puede tener Julia alguna moneda de Uruguay? Soluci´ on. Sea k la cantidad de monedas que tiene cada caja. Como cada caja tiene la misma cantidad de monedas, 289 es m´ ultiplo de k. Pero 289 = 172 , solo tiene como divisores a 1, 17 y el mismo 289. Por dato k > 1. Entonces k = 17 ´o 289. Si k = 289, s´olo habr´ıa una caja y nu seria posible que haya monedas de cuatro pais distintos. En consecuencia k = 17 Como las monedas en cada caja son de un sol pais y hay un 17 monedas en cada caja, entonces la cantidad total de monedas de cada pais es un m´ ultiplo de 17. 6 Las monedas de Bolivia son mas de 100 · 289 = 17, 34. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que 17, 34 es 34. Entonces, hay al menos de 34 monedas de Bolivia. 12 Las monedas de Chile son mas de 100 · 289 = 34, 68. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que 34, 68 es 51. Entonces, hay al menos de 51 monedas de Chile. 24 · 289 = 69, 36. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que Las monedas de Mexico son mas de 100 69, 36 es 85. Entonces, hay al menos de 85 monedas de Mexico. 36 Las monedas de Peru son mas de 100 · 289 = 104, 04. El menor m´ ultiplo de 17 mayor que 104, 04 es 119. Entonces, hay al menos de 119 monedas de Peru. En resumen la cantidad de monedas que tienen, en conjunto, Bolivia, Chile, Peru y Mexico es de al menos. 34 + 51 + 85 + 119 = 289 monedas. Pero como el total de monedas es de 289, que coincide con la minima cantidad de monedas que pueden tener en conjuntos, estos cuatro pa´ıses, entonces Bolivia tiene exactamente 34 monedas, Chile tiene exactamente 51 monedas, Mexico exactamente 85 monedas y Peru tiene exactamente 119 monedas, para as´ı tener un total de 289 monedas. En consecuencia, no es posible que alguna de las monedas sea de Uruguay Problema 2.12. Para x1 = 30, x2 = 42, x3 = 56, etc, encontrar un entero positivo m tal que: 1 1 1 1 + + +···+ = 0, 15 x1 x2 x3 xm

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Soluci´ on. Tenemos: x1 = 30 = 5 × 6

x2 = 42 = (1 + 5)(1 + 6) x3 = 56 = (2 + 5)(2 + 6) .. . xm = (m − 1 + 5)(m − 1 + 6) = (m + 4)(m + 5) Luego: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +···+ = + + +···+ = x1 x2 x3 xm 5×6 6×7 7×8 (m + 4)(m + 5)         1 1 1 1 1 1 1 1 15 3 = − + − + − +···+ − = = 5 6 6 7 7 8 m−4 m−5 100 20 1 1 3 1 1 ⇒ − = ⇒ = ⇒ m + 5 = 20 ⇒ m = 15 5 m+5 20 m+5 20 Problema 2.13. Dos n´ umeros est´an en la raz´on a/b. Sabiendo que a/b genera una fracci´on decimal peri´odica pura con dos cifras en el periodo y que a + b = 12, hallar la suma de dichos numeros si se sabe adem´as que su diferencia es 130. Soluci´ on. Sean A y B los numeros tal que A a×k a = = B b×k b

(1)

Como a/b genera una fracci´on decimal peri´odica con dos cifras en el periodo, entonces a y b don primos entre si. Por dato: a + b = 12 ⇒ a = 1 y b = 11 ´o a = 5 y b = 7, de donde descartamos la segunda posibilidad. Luego en (1): A = k y B = 11k Adem´as A + B = (a + b)k = 12k y B − A = (b − a)k = 10k Entonces, B − A = 130 = 10k ⇒ k = 13 y en consecuencia; A + B = 12k = 12 × 13 = 156 Problema 2.14. Un fot´ografo y su ayudante tardan 2 horas en revelar y sacar copias de cierto numero de fotograf´ıas. A continuaci´on tienen que hacer el mismo numero de fotograf´ıas, pero el fot´ografo ha de dejar el trabajo al cabo de un hora,, tardando el ayudante 3 horas mas en concluir la tarea. ¿Cuanto tiempo emplear´ıa el ayudante para hacer solo el trabajo? Soluci´ on. El fot´ografo y su ayudante en 1h hacen 12 del trabajo y les falta por hacer 12 del trabajo. Como se retira el fot´ografo, por lo tanto en 1h hace 16 del trabajo y todo el trabajo lo har´a en 6 horas 126


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Problema 2.15. Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero, vuelve a apostar y pierde el 3/5 de lo que le queda y en una tercera apuesta pierda los 4/7 del resto. ¿Que fracci´on del dinero que ten´ıa originalmente le ha quedado? Soluci´ on. Del enunciado tenemos: Pierde: 31 de su dinero ⇒ queda: 23 de su dinero Pierde: 35 de lo que le queda ⇒ ahora le queda: 2 2 4 [ de su dinero] Ahora pierde 74 ⇒ le queda 73 [ 25 [ 23 de su dinero]]= 35 de su dinero 5 3 Problema 2.16. Un comerciante ahorro 54000 soles durante 5 a˜ nos, sabiendo que el segundo a˜ no ahorro 2/9 sobre lo que hab´ıa ahorrado el primer a˜ no, que el tercer a˜ no ahorr´o 12885 soles, que el cuarto a˜ no ahorro 1/11 menos que lo hab´ıa ahorrado en el segundo a˜ no y que el quinto a˜ no ahorro lo que el segundo m´as 115 soles. Determinar lo que ahorr´o el primer a˜ no Soluci´ on. Del enunciado tenemos: Primer a˜ no ahorro: a Segundo a˜ no ahorro: a + 29 a Tercer a˜ no ahorro: 12885  1   Cuarto a˜ no ahorro: a + 29 a − 11 a + 92 a = 10 a + 29 a 11  Quinto a˜ no ahorro: a + 29 a + 115 Total ahorrado: 54000 Luego:       2 10 2 2 a + a + 12885 + a + a + a + a + 115m = 554m 9 11 9 9     2 32 64 32 a + a = 41000 ⇒ a 1 + + = 41000 ⇒a+ 11 9 11 99   651 ⇒ = 41000 ⇒ a = 9000 11 × 9 Problema 2.17. Un comerciante tenia una determinada suma de dinero. El primer a˜ no gasto 100 pesos y aumento a lo que quedaba, un tercio de este resto. Al a˜ no siguiente volvio a gastar 100 soles y aumenta a la cantidad distante un tercio de ella. El tercer a˜ no gasto de nuevo 100 soles y agrego una tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del capital inicial ¿Cual fue la capital inicial? Soluci´ on. Sea N la cantidad de dinero, del enunciado: Primer a˜ no: le quedo (N − 100) y aumento 31 (N − 100) entonces tenemos en total: 43 (N − 100)     Segundo a˜ no: 43 (N − 100) − 100 + 13 43 (N − 100) − 100 entonces ten´ıa: 43 43 (N − 100) − 100     Tercer a˜ no: 43 43 (N − 100) − 100 − 100 + 13 { 34 43 (N − 100) − 100 − 100}   es decir le queda: 34 { 43 43 (N − 100) − 100 − 100} lo que es doble del capital inicial.   As´ı: 34 { 43 34 (N − 100) − 100 − 100} = 2N ⇒ N = 1480 127


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Problema 2.18. Se reparte una cantidad de dinero entre una cierta cantidad de personas. 1 1 La primera recibe 100 soles y 12 del resto, la segunda recibe 200 soles y 12 del resto; y la 1 del resto, y as´ı sucesivamente. tercera 300 soles y 12 De esta manera todas ellas han recibido la misma suma y se han repartido la cantidad integra. Hallar el numero de personas Soluci´ on. Sea c la cantidad a repartir, como cada una recibe los mismo, entonces: 1 1 1 100 + (c − 100) = 200 + {c − [100 + (c − 100)]} −200 12{z 12 } | {z 12 } | Recibelaprimera

(1)

Recibelasegunda

1 (c − 100) 12 1 13 [100 + (c − 100)] 12 12 13 13 13 × 100 + c − × 100 12 12 1 c 12 c 100 +

1 1 1 1 c − [100 + (c − 100)] − × 200 12 12 12 12 1 1 = 200 − × 200 + c 12 12

= 200 +

= 200 × 12 − 200

13 × 100 12 = 100 × 22 × 12 − 13 × 12 × 100 + 13 × 100 = 200 × 11 − 13 × 100 +

c = 100 × 9 × 12 + 100 × 13

c = 121 × 100

1 Luego cada una recibe, 100 + 12 (121 × 100 − 100) = 1100 121×100 El numero de personas es 11×100 = 11

Problema 2.19. Al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/9 de la altura de donde cay´o. Despu´es de tres rebotes la pelota se ha elevado 16/27 de metro. ¿De que altura se dejo caer al empezar? Soluci´ on. Tenemos que: 2 B1 9 2 2 22 = B2 = S1 = 2 B1 9 9 9 2 23 = B3 = 3 B1 9 9

S1 = S2 S3 Por dato:

23 16 = ⇒ B1 = 54m B1 27

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Actividades 1. Un camionero realiza la ruta La Oroya−Lima. Se da cuenta que la primera sexta parte de la distancia la recorre a 10km/h, las siguientes dos terceras partes las recorre a 20km/h, mientras que la sexta parte final la realiza a 30km/h. ¿Cu´al ha sido su velocidad promedio para la distancia total?. (Es interesante notar que el problema no entrega como uno de los datos la distancia L entre las dos ciudades. La velocidad promedio es igual a la distancia total entre el tiempo total de recorrido. Analizar las tres etapas del recorrido). 2. Cuatro hermanos, Antonio, F´elix, Claudio y Dionisio, compran un autom´ovil por 36 mil soles. Antonio aport´o la mitad de lo que aportaron F´elix, Claudio y Dionisio juntos; F´elix aport´o la tercera parte de lo que aportaron Antonio, Claudio y Dionisio juntos; Claudio aport´o la cuarta parte de lo que aportaron Armando, F´elix y Dionisio juntos. ¿Cu´anto aport´o Dionisio? 3. Dos m´oviles A y B est´an separados 300Km y parten ambos a las 8 : 00 a.m., uno al encuentro del otro, con velocidades constantes y proporcionales a 3 y 2, respectivamente. Si al cabo de tres horas se encuentran: a) ¿Cu´al fue la mayor de las velocidades? b) ¿Qu´e espacio recorri´o B? 4. Un estudiante distribuye el dinero que tiene para sus gastos de la siguiente manera: 1/5 de su dinero en alquiler de habitaci´on, 1/3 en alimentos, 1/6 en ropa y 1/4 en su educaci´on. Si el resto de su dinero lo ahorra, ¿Qu´e fracci´on del dinero que tiene ahorrar´a? 5. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en cent´ımetros, de un tri´angulo y A es el ´area del mismo (cm2 ). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cu´ales son los posibles valores de h? 6. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relaci´on menor entre sus inversos multiplicativos? Hallar todos los n´ umeros racionales x tales que x > 5 si, y s´olo si, x < 5 7. Ordena los siguientes n´ umeros en orden creciente 210 + 2−10 ; 210 − 2−10 ; 210 + 10−3 ; 103 + 2−10 ; 103 + 10−3 8. Si x, y, z son n´ umeros enteros positivos. Encontrar los valores posibles de x + y + z, sabiendo que la suma de 1 1 1 + + x y z es un n´ umero entero.

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2.4.

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Sesi´ on 10: Representaci´ on decimal de un n´ umero racional. Aplicaciones de las razones y proporciones El ´algebra es generosa: a menudo da m´as de lo que se le pide. D Alembert ´ n en porciones Contextualizando: Distribucio

La tabla siguiente aparece en un paquete de semola Quaker Microondas Porciones 1 3 taza Agua 4 S´emola 3 cucharadas Sal (opcional) Una pizza

1 1 taza 3 cucharadas Una pizza

1 4

Estufa 4 3 tazas 3 taza 4 cucharadita

1 2

6 4 tazas 1 taza cucharadita

(a) En microondas, ¿cu´antas tazas de agua ser´ıan necesarias para 6 porciones? (b) En estufa, ¿cu´antas tazas de s´emola ser´ıan necesarias para 5 porciones? (Sugerencia: 5 es la mitad entre 4 y 6)

2.4.1.

Representaci´ on decimal de un n´ umero racional

Sabemos que todo n´ umero racional r se puede escribir como el cociente de dos n´ umeros enteros, a o sea r = b donde b, llamado tambi´en denominador, es diferente de cero. El algoritmo de la divisi´on de Euclides es un procedimiento para obtener a partir del cociente de dos enteros, una expresi´on decimal de la forma: a0 , a1 , a2 , a3 , · · · donde es un n´ umero entero y a1 , a2 , a3 son los n´ umeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; a los cuales llamaremos, a partir de ahora, d´ıgitos decimales. Por ejemplo, dados los n´ umeros racionales 1 3 1 1 , , y 10000 , si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos 2 4 8 1 3 1 1 = 0 · 5; = 0 · 75; = 0 · 125; = 0, 0001 2 4 8 10000 que son expresiones decimales con un n´ umero finito de d´ıgitos decimales. A ´estas las llamaremos expresiones decimales finitas. En cambio, dados los n´ umeros racionales 1 1 1 7 , , y 12 si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos: 3 7 6 1 3

= 0, 33333 · · · 1 = 0, 166666 6

1 7

= 0, 142857142857142857 7 = 0, 5833333 12 130


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que son expresiones decimales con un n´ umero infinito de d´ıgitos decimales. A ´estas las llamaremos expresiones decimales infinitas. Si observamos con m´as detenimiento las cuatro u ´ ltimas expresiones decimales infinitas: 0, 33333 · · · ; 0, 142857142857142857 · · · ; 0, 166666 · · · y 0, 5833333 · · · , notamos que en las dos primeras el d´ıgito decimal 3 y el grupo de d´ıgitos decimales 142857, se repiten indefinidamente inmediatamente despu´es de la coma decimal, mientras que en las otras dos u ´ ltimas, el d´ıgito decimal 6 y el d´ıgito decimal 3 se repiten indefinidamente, despu´es de un n´ umero finito de d´ıgitos decimales (el 1 y el 58). A cada una de las dos primeras las llamaremos expresi´on decimal infinita peri´odica pura y a cada una de las dos u ´ ltimas las llamaremos expresi´on decimal infinita peri´odica mixta. En general tenemos los siguientes tipos de expresiones decimales: 1) Expresiones decimales finitas de la forma: a0 , b1 b2 · · · bm 2) Expresiones decimales infinitas peri´odica puras de la forma: a0 , a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an · · · o en forma abreviada a0 , a\ 1 a2 · · · an (un conjunto de los d´ıgitos decimales se repite peri´odicamente, inmediatamente despu´es de la coma decimal), y 3) Expresiones decimales infinitas peri´odica mixtas de la forma: a0 , b1 b2 · · · bm a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an a1 a2 · · · an · · · o en forma abreviada a0 , b1 b2 · · · bm a1 a\ 2 · · · an (un conjunto de los d´ıgitos decimales se repite peri´odicamente). Finalmente, como a las expresiones decimales finitas, tambi´en se les puede considerar como expresiones decimales infinitas peri´odicas, con per´ıodo cero, por ejemplo: 1, 25 = 1, 2500000 · · · = 1, 25b 0 y en general a0 , b1 b2 · · · bm = a0 , b1 b2 · · · bm 00000

Teorema 2.55. Todo n´ umero racional admite una representaci´ on decimal infinita peri´odica. La demostraci´on general del teorema se basa en el algoritmo de la divisi´on de Euclides. A continuaci´on daremos dos ejemplos espec´ıficos que motivan la demostraci´on y luego comentaremos en t´erminos generales como se efect´ ua ´esta. m En general, si n ∈ Q, con m y n enteros, n > 0, se divide m entre n. En el proceso de la divisi´on al agotar las cifras de m (en base diez) se completa con ceros para seguir la divisi´on obteniendo los decimales. Por el algoritmo de la divisi´on, cada residuo que se obtiene en este 131


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proceso es alguno de los n siguientes n´ umeros: 0, 1, 2, 3, · · · , n − 1. Al dividir m entre n se puede obtener un conjunto o sucesi´on de residuos, tan grande como se quiera. En cualquier sucesi´on de m´as de n n´ umeros, algunos de estos posibles restos, aparece m´as de una vez. Esta situaci´on obligar´a a que produzca una repetici´on de los d´ıgitos decimales en el cociente obteni´endose el per´ıodo. Rec´ıprocamente, se cumple el siguiente Teorema 2.56. Dado una expresi´on decimal infinita peri´ odica , a0 , b1 b2 · · · bm a1 a\ 2 · · · an existe un n´ umero racional m tal que m = a0 , b1 b2 , · · · bm a1 a\ 2 · · · an . n n La demostraci´on de este teorema nos permite determinar la fracci´on m a partir de la expren si´on decimal infinita peri´odica, mediante un proceso al cual se le conoce como el proceso de calcular la fracci´on generatriz de una expresi´on decimal:

2.4.2.

Calculo de la generatriz de una expresi´ on decimal

Consideraremos tres casos: Caso 1) Hallar la fracci´on generatriz de una expresi´on decimal finita (que tiene un n´ umero finito de cifras decimales) 3,125 = 3,12500000 · · · 3, 125 × 1000 = 3125; luego 3, 125 = 3125 1000 En general, si a partir de un cierto n los d´ıgitos de la parte decimal son todos ceros, es decir a = a0 , a1 a2 a3 · · · an 000 · · · 0 · · · la expresi´on decimal se representa simplemente por a = a0 , a1 a2 a3 · · · an ; de donde, multiplicando por 10n se obtiene 10n a = a0 , a1 a2 a3 · · · an , es decir a=

a0 , a1 a2 a3 · · · an 10n

Caso 2) Hallar la fracci´on generatriz de la expresi´on decimal peri´odica pura: 0, 363636, · · · Se observa que los d´ıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden, 100 × 0, 363636 · · · = 36, 363636 · · · 100 × (0, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · ) = (36, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · ) Luego, 99 × 0, 363636 · · · = 36; ´osea 0, 363636 · · · 0 36 99 Una expresi´on decimal se denomina peri´odica pura, si sus k primeros d´ıgitos de la parte decimal, inmediatamente despu´es de la coma, se repiten indefinidamente, siguiendo el mismo orden: a = 0, a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak · · · · · · Esta expresi´on decimal se escribe tambi´en: a = 0, a1 a\ 2 a3 · · · ak 10k · a = a1 a2 a3 · · · ak , a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak a1 a2 a3 · · · ak · · · · · · 132


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restando las dos expresiones anteriores se obtiene (10k − 1)a = a1 a2 a3 · · · ak 2 a3 ···ak ´osea, a = a1 a999···9 , donde el denominador es igual a (10k 1), es decir tiene tantas veces nueve como d´ıgitos decimales tiene la parte peri´odica: a1 a2 a3 · · · ak La u ´ ltima expresi´on de “a”da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la generatriz de una expresi´on decimal infinita peri´odica pura. Caso 3)Hallar la fracci´on generatriz de la expresi´on decimal peri´odica mixta 0, 24363636 · · · . Se observa que los d´ıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden, pero esto no ocurre con 2 y 4. 10000 × 0, 24363636 · · · = 2436, 363636 · · · 100 × 0, 24363636 · · · = 24, 36363636 · · · 10000 × (0, 24363636 · · · ) − 100 × (0, 24363636) (2436, 363636 · · · ) − (24, 363636) luego 9900 × 0, 24363636 · · · = 2436 − 24 ´osea 0, 24363636 · · · = (2436 − 24)/9900

2412 9900 En general, dada la expresi´on decimal infinita peri´odica mixta: 0, 24363636 · · · =

a = 0, a1 a2 a2 · · · an

b1 b2 b3 · · · bk b1 b2 b3 · · · bk b1 b2 b3 · · · bk · · ·

Esta expresi´on decimal se escribe m´as brevemente: a = 0, a1 a2 a3 · · · an b1 b2 b3 · · · bk 10n+k a = a1 a2 a3 · · · an b1 b2 b3 · · · bk , b1 b2 b3 · · · bk b1 b2 b3 · · · b1 b2 b3 · · · bk de donde restando ambas expresiones, se obtiene (10n+k − 10n )a = a1 a2 a3 · · · an a1 a2 a3 · · · bk − a1 a2 a3 · · · an es decir a= siendo el denominador igual a

a1 a2 · · · an b1 b2 · · · − a1 a2 · · · an 10n+k − 10n

10n+k − 10n = |99 ·{z · · 99} 00 · · 00} | ·{z k−veces

n−veces

La expresi´on u ´ ltima de a da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la generatriz de una expresi´on decimal infinita peri´odica mixta: la fracci´on generatriz tiene numerador de la forma a1 a2 a3 · · · an b1 b2 b3 · · · bk − a1 a2 a3 · · · an y su denominador es un n´ umero cuyas cifras tiene tantas veces nueve como d´ıgitos tiene la parte peri´odica y tantos ceros como d´ıgitos tiene la parte no peri´odica. 133


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Ejemplo 2.14. Dada la expresi´on decimal q = 25378787878 . . . (el per´ıodo es 78) Entonces 1000q = 4253,787878 . . . 100 000 = 425378,787878 . . . Luego 100 000q − 1000q = 425378 − 4253. O sea 99000q = 421125, de donde q = 421125 . 99000 Observaci´ on 2.4. Los teoremas 2.32 y 2.33 nos permiten afirmar que a cada numero racional , n 6= 0 le corresponde una u ´ nica expresi´on decimal infinita (peri´odica pura de la forma m n o mixta) y rec´ıprocamente que a cada expresi´on decimal infinita le corresponde un u ´ nico numero racional (la fracci´on generatriz). Es decir existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto Q de los numeros racionales y el conjunto E de todas las expresiones decimales infinitas peri´odicas (pura o mixta) en el lenguaje moderno existe una biyecci´on entre estos dos conjuntos. En virtud de este resultado, a partir de este momento, se identificaran los conceptos de numero racional y de expresi´on decimal infinita peri´odica (pura o mixta) y, por lo tanto, tambi´en se llamara a cada numero racional, expresi´ on decimal infinita.

2.4.3.

Expresiones Decimales Infinitas y N´ umeros “Irracionales”

En la secci´on anterior los teoremas 1 y 2 nos permiten identificar el conjunto Q de n´ umeros racionales con el conjunto E de las expresiones decimales infinitas peri´ odicas. Observaci´ on 2.5. En la observaci´on 1 se han identificado los n´ umeros racionales con las expresiones decimales infinitas peri´odicas. Sin embargo, existen otras expresiones decimales infinitas que no son peri´odicas. Por ejemplo, la expresi´on decimal infinita 0, 1010010001000010000010000001 . . . formada de la siguiente manera: primero, el entero cero, despu´es de la coma decimal para cada d´ıgito decimal 1, se colocan n ceros siguiendo el n−´esimo 1. Esta expresi´on decimal es infinita y no peri´odica. Variaciones de este ejemplo producen muchas otras expresiones decimales infinitas no peri´odicas. Tambi´en existen expresiones decimales infinitas no peri´odicas cuya sucesi´on de d´ıgitos no puede ser descrita con una simple regla. En general, si consideramos ahora el conjunto de todas las expresiones decimales infinitas no peri´ odicas a0 , a1 a2 . . . an . . . donde a0 es un n´ umero entero y a1 , a2 , . . . , an , . . . son los d´ıgitos decimales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; y lo denotamos por I obtenemos un nuevo conjunto: Q ∪ I = {exp. dec.infinitas peri´odicas} ∪ {exp. dec. infinitas no peri´odicas} 134


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el cual recibe el nombre de conjuntos de numeros reales, que se denota por R y que sera estudiado con detalle en el segundo libro. A estas expresiones decimales infinitas no peri´odicas, que evidentemente por los teoremas 1 y 2 no son numeros racionales, se les llama numeros irracionales. El conjunto de todas estas expresiones decimales infinitas peri´odicas y no peri´odicas es precisamente el conjunto de los numeros reales R, sin embargo esta afirmaci´on no la podemos tomar como la definici´on de R pues habr´ıa necesidad de definir relaciones como la igualdad, orden y operaciones como la de adici´on y multiplicaci´on para expresiones decimales infinitas. Ejemplos de n´ umeros que no son racionales: 1. Dado la expresi´on decimal infinita 1,121221222122221. . . se deduce intuitivamente que esta es una expresi´on decimal infinita no peri´odica y en consecuencia por la observaci´on anterior, no representa un n´ umero racional. √ umero racional. 2. 2 no es un n´ Antes de probar formalmente la afirmaci´on anterior, recordaremos que un numero natural o un numero entero positivo a es par si, y solo si, es de la forma a = 2n, donde n ∈ N = Z+ 0. + Y b es impar si, y solo si, es de la forma b = 2n + 1, donde n ∈ N = Z0 . √ Supongamos ahora que exista r ∈ Q, tal que r = 2, entonces r 2 = 2. Como r se puede escribir como una fracci´on irreducible, es decir, r = pq donde p y q son primos entre si, reemplazando, 2

se tiene pq2 o p2 = 2q 2 , es decir, p2 es par. Esto implica que p es par; puesto que si p fuera impar, o sea, p = 2n + 1, se tendr´ıa que p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1, es decir p2 resultar´ıa impar, lo que es una contradicci´on. En consecuencia, p es par, o sea p = 2k, para alg´ un k ∈ Z de donde p2 = (2k)2 = 2q 2 , o sea q 2 = 2k 2 , lo que implica que q 2 es 2k par y tambi´en q, o sea q = 2k ′ y en consecuencia r = 2k on. Esta ′ , lo que es una contradicci´ √ √ contradicci´on viene de suponer que r = 2 es un numero racional. Por lo tanto 2 no es un numero racional. El resultado anterior se conoci´o en la antig¨ uedad como el Dilema de Pit´agoras, debido a que si se aplicaba el teorema de Pit´agoras a un tri´angulo rect´angulo isosceles cuyos catetos ten´ıan √ longitud 1, resultaba que la hipotenusa tenia longitud 2 que no era un numero racional. Este hecho obligo a que se creara un nuevo tipo de numero llamado irracional. Ejemplo 2.15. (a) ¿Qu´e valor debe ser a˜ nadido al numerador y al denominador de las fracciones que las fracciones resultantes sean iguales?

135

2 3

y

20 23

para


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Soluci´ on. Sea dicho valor x. Luego: 2+x 20 + x = 3+x 23 + x x2 + 25x + 46 = x2 + 23x + 60 2x = 14 x = 7 (b) Brenda y Bruno ten´ıan cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos semanas de vacaciones. Brenda gast´o 1/3 la primera semana, 1/2 la segunda y el resto lo ahorr´o. Bruno gast´o 1/4 la primera semana pero ahorr´o el doble de lo que ahorr´o Brenda. Si Bruno ahorr´o 156 soles. ¿Cu´antos soles gast´o Bruno la segunda semana? Soluci´ on. Sabemos que Bruno ahorr´o 156 soles y que Bruno ahorr´o el doble de lo que ahorr´o Brenda. Por lo tanto, Brenda ahorr´o 156/2=78 soles. Pero, Brenda gast´o 1/3 y 1/2 de lo que ten´ıa inicialmente en dichas dos semanas. Entonces como: 5 1 1 + = 2 3 6 Concluimos que Brenda ahorr´o 1/6 de lo que ten´ıa. Pero como Brenda ahorr´o 78 soles, entonces el dinero que ten´ıa inicialmente Brenda fue 78 × 6 = 468 soles. Bruno tambi´en ten´ıa inicialmente 468 soles. Como la primera semana gast´o 1/4 de dicho dinero y al final ahorr´o 156, entonces la segunda semana gast´o:   1 468 − · 468 + 156 = 195 soles. 4 (c) ¿C´omo se hallar´ıa todas las cifras decimales del per´ıodo de 1/23 haciendo uso de una calculadora? Seguramente el per´ıodo no se puede observar cuando se hace la divisi´on 1 entre 23, debido a que la calculadora s´olo muestra 8 ´o 10 d´ıgitos decimales. Sin embargo se puede usar ingeniosamente la calculadora y, sin necesidad de realizar la divisi´on, se puede calcular todas las cifras decimales del per´ıodo de dicha fracci´on. Soluci´ on. Supongamos que tenemos una calculadora que nos muestra a lo m´as ocho cifras decimales. Luego, al dividir 1/23 obtenemos: 1 = 0,04347826 23

(1)

Pero, nosotros sabemos que realmente: 1 = 23 · (0,04347826) + x

(2)

Si nosotros escribimos en la calculadora la operaci´on 23×0, 04347826 se obtiene: 0,99999998 Reemplazando en (2): x = 1 − 0,99999998 o sea x = 0,00000002. 136


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Por lo tanto, si queremos ver los siguientes d´ıgitos del desarrollo de 1/23, tomaremos los d´ıgitos de dividir 2/23, pues son los mismos d´ıgitos que se obtendr´ıan si se realiza la divisi´on 0,00000002 entre 23. Digitamos en la calculadora: 2/23: 2 = 0, 08695652 23 Si a˜ nadimos estas nuevas cifras decimales a la expresi´on (1), tenemos: 1 = 0, 0434782608695652 23

(3)

(4)

De (3): 2 = 23 × 0, 08695652 Si escribimos en la calculadora 23 × 0, 08695652 obtenemos: 1,99999996. En forma similar a (2), podemos escribir: 2 = 23 × 0, 08695652 + 0, 00000004 Entonces, los siguientes d´ıgitos del desarrollo de 1/23 son los mismos de dividir 4 entre 23. Con la calculadora: 4 = 0, 17391304 (5) 23 Si aumentamos estos nuevos d´ıgitos a (4): 1 = 0, 043478260869565217391304 23 Podemos apreciar que ya los d´ıgitos se est´an comenzando a repetir, a partir del 04. Por lo tanto, el desarrollo de 1/23 es el decimal peri´odico puro siguiente: 1 = 0, 0434782608695652173913 23

2.4.4.

Aplicaciones de las propiedades de los N´ umeros Racionales

Razones y proporciones: Antes de entrar al tema recordaremos que todo numero racional r es el cociente de dos enteros y, por lo tanto, puede escribirse r = ab donde b 6= 0. El cociente b a recibe tambi´en el nombre de fracci´on. En lo que sigue cuando escribamos fracciones ab , dc , m , . . . aceptaremos impl´ıcitamente n que los denominadores son diferentes de cero, es decir b 6= 0, d 6= 0, n 6= 0. Definici´ on 2.18. La raz´on geom´etrica o simplemente raz´on de un numero racional a con respecto a un numero racional b, (b 6= 0), es el cociente ab . Si a, b, c y d, son n´ umeros racionales diferentes de cero, se dice que las razones ab y dc , est´an en proporci´on si, y s´olo si, ab = dc . De la definici´on se sigue que una proporci´on es la igualdad de dos razones. La igualdad anterior se expresa diciendo “a y b est´an en raz´on de c a d” o simplemente “a es a b como c es a d”. Los n´ umeros a, b, c y d se llaman t´erminos de la proporci´on. Una denominaci´on especial para los t´erminos de una proporci´on es la siguiente: 137


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Antecedentes: T´ erminos extremos:

. ayc ayc

Consecuentes: T´ erminos medios:

byd byc

Recordemos las propiedades de las proporciones enunciadas en el siguiente: Teorema 2.57. Si a, b, c y d son n´ umeros racionales con b 6= 0, d 6= 0 , se tiene = dc si y s´olo si, ad = bc Es decir, en toda proporci´on el producto de los t´erminos extremos es igual al producto de los t´erminos medios.   a+b = c+d a c 2. ab = dc ⇒  a−b = c−d a, c 6= 0

1.

a b

a

c

3.

a b

=

c d

a+b a−b

=

c+d c−d

4.

a b

=

c d

a±c b±d

=

a b

5.

a b

=

c d

a+c a−c

=

b+d b−d

=

c d

Demostraci´on. Es consecuencia inmediata de la definici´on de cociente de dos n´ umeros racionales y de las propiedades conocidas de las operaciones con n´ umeros racionales. Observaci´ on 2.6. Para resolver ejercicios de aplicaci´on, algunas veces, es necesario generalizar el concepto de proporci´on considerando sucesiones finitas de razones iguales de la forma: a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn

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Teorema 2.58 (Propiedades). 1. Si

a1 b1

=

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces

a1 + a2 + · · · + an a1 = , b1 + b2 + · · · + bn b1

para todo i = 1, 2, . . . , n.

Es decir, en toda sucesi´on finita de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como un antecedente es a su respectivo consecuente. 2. Si

a1 b1

=

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces: a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn a1 = , b1 s1 + b2 s2 + · · · + bn sn b1

para todo i = 1, 2, . . . , n 3.

a1 b1

=

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces a1 a2 · · · an (a1 )n = b1 b2 · · · bn (b1 )n

4. Si

a1 b1

=

a2 b2

= ··· =

an , bn

entonces

para todo i = 1, 2, . . . , k

√ n an1 + an2 + · · · + ank a1 p = , n n n n b1 b1 + b2 + · · · + bk

Demostraci´on. A manera de ilustraci´on probaremos la parte (2) del Teorema 1.6. Sean ab11 = ab22 = · · · = abnn . Entonces a1 s1 a2 s2 an sn = = ··· = , b1 s1 b2 s2 bn sn para todo i = 1, 2, . . . , n, si 6= 0 Luego aplicando (1) tenemos, a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn a1 = , b1 s1 + b2 s2 + · · · + bn sn b1 para todo i = 1, 2, . . . , n. Ejemplo 2.16. Al comienzo de una fiesta, se observ´o que por cada 5 mujeres hab´ıa 9 hombres. Luego de tres horas, se retiraron 4 mujeres y 8 hombres, quedando en la reuni´on 7 hombres por cada 4 mujeres. ¿Cu´antas mujeres hab´ıa al momento que comenz´o la fiesta? Soluci´ on. Sean: 139


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m = n´ umero de mujeres n = n´ umero de hombres Al comenzar la fiesta:

m h = 5 9

de donde m = 5k y h = 9k. Como se retiran 4 mujeres y 8 hombres, quedan mujeres: 5k − 4 hombres: 9k − 8 De donde:

9k − 8 7 = 5k − 4 4

lo que implica: k = 4. Luego, inicialmente hab´ıan m = 5k = 20 mujeres.

Ejemplo 2.17. Tres amigos se asociaron y formaron una empresa aportando 7920 soles, 9240 soles y 10560 soles, respectivamente. Despu´es de un tiempo se liquid´o la empresa. Si el socio que recibi´o un total de 16560 soles obtuvo la mayor ganancia, ¿cu´anto gan´o el socio que obtuvo la menor ganancia? Soluci´ on. Es claro que hay ganancia en la empresa y que cada socio obtiene una ganancia cuyo monto est´a en raz´on directa al monto del capital aportado, es decir, el que aporta mayor capital obtiene mayor ganancia. Sean A, B y C los socios que aportan de menor a mayor capital Capital aportado 7920 9240 10560 Ganancia obtenida x y 6000 y x 6000 = = 10560 Se tiene entonces: 7920 9240 6000 de donde x = 10560 · 7920 = 4500. Luego, el socio que obtuvo la menor ganancia, gan´o 4500 soles.

2.4.5.

Aplicaciones de las razones y proporciones

Regla de Tres Simple Es un m´etodo que se usa para resolver problemas en los cuales intervienen tres variables conocidas y una desconocida, estableci´endose una proporci´on entre las cuatro variables de acuerdo con las condiciones de cada problema. Se dice que las variables a y b son directamente proporcionales si, y s´ olo si, existe k > 0, tal que la raz´ on ab = k, es decir, a = kb. 140


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En particular, si la variable a toma los valores a1 , a2 , . . . , an y la variable b toma los valores b1 , b2 , . . . , bn , se tiene que la sucesi´on finita de razones ab11 , ab22 , . . . , abnn son iguales a la constante k; es decir, a1 a2 an = = ··· = =k b1 b2 bn Por ejemplo: La longitud l y el costo c de un alambre: c = kl. A mayor longitud, mayor costo. El peso p y el costo c de un producto alimenticio. A menor peso menor costo. El ´area a de un terreno y su costo c. A mayor ´area mayor costo. Se dice que dos variables a y b son inversamente proporcionales si, y s´olo si, las variables a y 1b son directamente proporcionales; es decir, si existe k > 0 tal que a = k 1b = kb o tambi´en ab = k. Es decir, si los valores de a son cada vez mayores (aumentan), los valores de b disminuyen, y rec´ıprocamente, si los valores de a disminuyen, los valores de b aumentan. Obviamente los valores de a y b son diferentes de cero. As´ı, si se tienen dos pares de valores de a y b, Variable

a b ↓ a1 ↑ b1 ↓ a2 ↑ b2

entonces a1 · b1 = k, a2 · b2 = k Por lo tanto a1 · b1 = a2 · b2 a1 b2 = , que tambi´en se escribe: a2 b1 Por ejemplo: La velocidad v y el tiempo t en recorrer la distancia d entre 2 ciudades: d = vt. O tambi´en, t = v1 d. En este caso, a menor velocidad, mayor tiempo o a mayor velocidad menor tiempo. El tiempo t y el n´ umero n de obreros para efectuar una pared: tn = k. Cuando se presenta un problema de este tipo, se debe tener en cuenta que las condiciones del problema est´en de acuerdo con la realidad; por ejemplo si 10 obreros, hacen una pared en 40 horas, ser´ıa incorrecto preguntar en cu´antas horas lo har´an 400 obreros, pues la respuesta ser´ıa una hora lo cual es imposible en la realidad. Las longitudes de los lados de un rect´angulo de ´area dada. Considerando lo dicho anteriormente, la regla de tres simple, puede ser directa o inversa. La regla de tres simple es directa si intervienen variables directamente proporcionales y es inversa si intervienen variables inversamente proporcionales. A continuaci´on veamos dos ejemplos, uno de aplicaci´on de la regla de tres simple directa y otro de aplicaci´on de la regla de tres simple inversa. Ejemplo 2.18. Si un ca˜ no puede llenar un cilindro de 150 litros de capacidad en 30 minutos. ¿Cu´antos litros llenar´a en 12 minutos?

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Soluci´ on. Variables:

litros 150 l xl

tiempo 30′ 12′

Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo en cuenta que en m´as tiempo se llenan m´as litros, la proporci´on de variables directamente proporcionales: 150 30 = 12 x 150×12 de donde resulta x = 30 = 60. Es decir, en 12 minutos se llenan 60 litros. Este es un ejemplo de aplicaci´on de la regla de tres simple directa. Ejemplo 2.19. Si un ca˜ no puede llenar 150 litros de un tanque en 30 minutos y otro ca˜ no los mismos 150 litros en 50 minutos. ¿Qu´e capacidad tiene el tanque que es llenado por ambos ca˜ nos en 4 horas y 15 minutos? = 30 Soluci´ on. Las condiciones del problema dan origen a las siguientes proporciones: 150 x 1 50 y 150 = . Que nos permitir´ a n averiguar cu´ a ntos litros del tanque se llenan con cada ca˜ n o y 1 en un minuto, lo que da el siguiente resultado: El primer ca˜ no llena en 1 minuto 5 litros y el segundo ca˜ no, 3 litros. Abriendo los dos ca˜ nos, al mismo tiempo, en un minuto se llenan 8 litros: Variables: tiempo litros ′ 1 8 ′ 4h15 z Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo en cuenta que en m´as tiempo se llenan m´as litros, una nueva proporci´on de variables directamente proporcionales: z 255 = 8 1 De donde z = (255)(8) = 2040 Luego, la capacidad del tanque es de 2 040 litros. Ejemplo 2.20. Para la construcci´on de un edificio se contratan a 10 obreros, que deben terminar la obra en 90 d´ıas. Si despu´es de 18 d´ıas de iniciada la obra, se aumenta el n´ umero de obreros, con el objeto de concluir la obra 24 d´ıas antes de lo previsto. ¿Cu´antos nuevos obreros se contrataron? Soluci´ on. Habiendo trabajado regularmente durante los primeros 18 d´ıas, plantearemos el problema en funci´on de los d´ıas que faltan para terminar la obra; es decir en 90 − 18 = 72

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d´ıas: Se tiene entonces la siguiente tabla: Variables:

obreros 10 (10 + x)

dias 72 48

Que da origen a la siguiente proporci´on en la que intervienen variables inversamente proporcionales (a m´as obreros, menos d´ıas). 10 48 = 10 + x 72 Por ser variables inversamente proporcionales. De donde (10)(72) = (48)(10 + x), lo que implica que 720 − 10 = 15 − 10 = 5 48 Luego, para concluir la obra, 24 d´ıas antes, se deben contratar 5 obreros m´as. x=

Tanto por ciento El tanto por ciento es un caso particular de aplicaci´on de la regla de tres simple directa como se ve a continuaci´on. Sean a y b, variables directamente proporcionales, entonces existe k > 0 tal que a = kb. Si r r ; es decir, si a = 100 b, se dice que que a es el r por ciento de b, y se en esta igualdad, k = 100 escribe a = r %(b). r r La igualdad a = 100 b da lugar a la proporci´on ab = 100 b que incluye variables directamente proporcionales en el que uno de t´erminos es 100 Ejemplo 2.21. Una clase de 25 alumnos est´a compuesta de 11 ni˜ nas y 14 ni˜ nos. La raz´on del n´ umero de ni˜ nas al n´ umero de alumnos de la clase puede expresarse de varias formas. Por ejemplo, la proporci´on del n´ umero de ni˜ nas respecto del total es 22 33 44 55 66 11 = = = = = 25 50 75 100 125 150 Si quisi´eramos indicar el porcentaje de ni˜ nas de la clase, bastar´a considerar la proporci´on 11 44 = 100 o equivalentemente 11 = 44 %(25) y que significa que el 44 % del total de alumnos 25 de la clase, son ni˜ nas. 56 An´alogamente se determina que la proporci´on entre el n´ umero de ni˜ nos es 14 = 100 esto es, 25 el 56 % del total de alumnos son ni˜ nos. 11 44 56 Si sumamos las proporciones 25 = 100 y 14 = 100 se obtiene que 25 = 100 ; es decir, 25 = 25 25 100 100 %(25). En general el 100 %(n) = n. Todo n´ umero racional ab puede ser expresado como el tanto por ciento de cualquier n´ umero c. Basta poner a c 1 = =c· = c% b 100 100 143


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Problemas Resueltos Problema 2.20. Dos trenes marchan en sentidos contrarios y sobre v´ıas paralelas con velocidades de 18 y 24km/h respectivamente. Un observador colocado en el segundo tren calculo que el primero demoro en pasar 12s ¿Cual es la longitud de este u ´ ltimo tren? Soluci´ on. Tenemos que la velocidad, con la cual se desplaza el primero con respecto al segundo, es: 18 + 24 = 42km/h Ahora como el observador calcula que el primero demor´o en pasar 12s, entonces en este tiempo el primero tren recorri´o su propia longitud, luego: Si en 1h = 3600s recorre 42km = 42000m 12s recorre x ⇒x=

12 × 42000 = 140m 3600

Problema 2.21. Si 30 litros de una soluci´on contienen 12 litros de alcohol. ¿Cuantos litros de agua debemos agregar para obtener una soluci´on al 25 %? Soluci´ on. Si en 30 litros de una soluci´on contienen 12 litros de alcohol, entonces decimos que es una soluci´on al: 12 × 100 % = 40 % 30 Ahora si la soluci´on de 30 litros se encuentra al 40 % para diluirla habr´a que agregar mas litros de agua ; es decir: ) 301 − − − 40 % 40 % × 301 ⇒x= = 481 25 % x − − − 25 % Es decir para que la soluci´on sea al 25 % habr´a que agregar: (48 − 30) = 181 de agua. Problema 2.22. Se tiene 2 toneles de 20 y 30 litros de vino de diferente calidad. Se saca de uno la misma cantidad, y se echa en el primero lo que se saco del segundo y, rec´ıprocamente ¿Que cantidad ha pasado de un deposito al otro, si el contenido de los dos toneles ha resultado de la misma calidad? Soluci´ on. Tenemos que en 50 litros de mezcla, se ha combinado 20 litros del primer tonel y 30 litros del segundo, luego en 20 litros de la mezcla habr´an x litros del segundo tonel. As´ı: ) 501 − − − 301 20 × 30 = 12 litros ⇒x= 50 201 − − − x Luego, en el primer deposito hay 12 litros del segundo y rec´ıprocamente. Problema 2.23. Un ca˜ no llena la p−´esima parte de un tanque en n−horas, un desag¨ ue desocupa la q−´esima parte del mismo tanque en , −horas. ¿Cuanto demorar´a en llenar el tanque, si se abren ambos dispositivos en forma simultanea? 144


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Soluci´ on. Denotemos por T el tanque: la p−´esima parte ser´a T /p Por lo tanto el ca˜ no llenara el tanque en np horas, y en una hora llenar´a T /pn. An´alogamente el desag¨ ue vaciar´a el tanque en mq horas, y en una hora vaciar´a T /mq Ahora, cuando se abren simult´aneamente ambos dispositivos, lo que quedar´a en el tanque despu´es de una hora es: T T mq − np − = T np mq nmpq Por lo tanto el tanque se llenar´a en

mnpq mq−np

horas.

Problema 2.24. tres obreros A, B y C trabajan en cierta obra. El propietario de la obra otorga quincenalmente una gratificaci´on de 52 d´olares para repartirla entre los que trabajan. En la quincena que trabajan A y B, corresponde a A los 3/4 de la gratificaci´on y a B del resto. En la quincena que trabajan B y C, el primero cobra los 3/4 y el segundo el resto. Determinar la cantidad que debe recibir B en la quincena que trabajan los tres. Soluci´ on. En la quincena que trabajan A y B, tenemos: ) A: Le corresponde 34 de la gratificaci´on A 3 entonces : = 1 B 1 B: Le corresponde 4 de la gratificaci´on

(1)

En la quincena que trabajan B y C ocurre: B: Le corresponde C: Le corresponde

3 4 1 4

de la gratificaci´on de la gratificaci´on

)

entonces :

B 3 = C 1

(2)

De (1) y (2) tenemos que: A9 = B3 = 1c En la quincena que trabajan los tres juntos, la cantidad que recibe B es: 3 (52) = 12 d´olares 13 Problema 2.25. A una esfera de reloj se le divide en 1500 partes iguales, a cada parte se denominar´a “nuevo minuto”, cada “nueva hora.estar´a constituido por 100 “nuevos minutos”¿Que hora indicar´a el nuevo reloj, cuando el antiguo indique las 3 horas 48 minutos? Soluci´ on. Si 1 “hora nueva” equivale a 100 “nuevos minutos”, entonces 1500 “nuevos minutos” equivale a 15 “nuevas horas”. Ahora como 15 “horas nuevas” equivalen a 12 “horas normales” entonces en 3 “horas normales”hay 3 “horas nuevas”mas 3/4 “hora nueva”. Tambi´en 1 “hora nueva” equivale a 4/5 “horas normales”, luego 48 “minutos normales” equivalen a 1 “hora nueva”. Entonces cuando el reloj marque los 3h48m, el nuevo reloj indicar´a 3 “horas nuevas”mas 3/4 “hora nueva”mas 1 “hora nueva”, es decir indicar´a 4h75min

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Problema 2.26. Si el precio de un articulo aumenta en un porcentaje p, y se quieren mantener los mismo ingresos, el porcentaje m de disminuci´on de las ventas no deber´a exceder de: Soluci´ on. Como el precio aumenta en p, entonces los ingresos ahora son 1 + p. Este ingreso 1 + p corresponde al 100 % las antiguas ventas. Ahora como el ingreso se quiere mantener en 1, para lo cual las ventas deben disminuir a 1 − n, tendremos que ) 1 + p − − − 100 % 1 × 100 % ⇒ 1−n= ⇒ 1 + p = n(1 + p) = 100 % = 1 1+p 1 −−− 1−n ⇒ p = n(1 + p) ⇒ n =

p 1+p

Problema 2.27. un libro se vende regularmente el r por 100 del precio de costo, pero un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por 100. Si el vendedor no gan´o ni perdi´o, ¿Cuanto le rebajaron al estudiante? Soluci´ on. Sea C el precio de costo, el estudiante compra el libro a: (100 + r) % de C − p %(100 + r) % de C = C (ya que no se gana ni pierde) (100 + r) % − p %(100 + r) % = 1 = 100 % ⇒ (100 + r) − p %(100 + r) = 100 100 100 − p = ⇒ 100 100 + r 100 × 100 100r 1 p = 100 − ⇒p= = 100 + r 100 + r 0, 01 + 1/r

(100 + r)(100 − p) %0100 ⇒

Problema 2.28. A le encarga a B vender un objeto y B le encarga a su vez a C, quien logra la venta en 20000 soles. C entrega a B una cantidad qued´andose con un porcentaje (comisi´on) del valor de la venta, a su vez B retiene un porcentaje(comisi´on) de lo que le entrego a C. ¿Cuanto le correspondi´o a C y a B, si este ultimo le entrego a A 17100 soles y el porcentaje de la comisi´on de C fue el doble que la de B? Soluci´ on. Si r % es el porcentaje de comisi´on de B, entonces 2r % ser´a el porcentaje de C. Luego A recibi´o, [20000 − 2r %(20000)] − r %[20000 − 2r %(20000)] = (100 − r) %[20000 − 2r %(20000)] = (100 − r) %(100 − 2r) %(20000) Entonces, (100 − r) %(100 − 2r) %(20000) = 17100 ⇒ 100 − r 100 − 2r × × 20000 = 17100 ⇒ 100 100 (100 − r)(100 − 2r) = 8550 ⇒ r 2 − 150r + 725 = 0 ⇒ r1 = 145, r2 = 5 De estos 2 valores nos quedamos con r = 5 % (ya que r ≤ 100 %) Entonces la comisi´on de C es: 2(5 %)(20000) = 2000 y la de B es 5 %(20000 − 2000) = 900 146


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Problema 2.29. En una batalla han participado 4000 hombres. De los sobrevivientes se sabe b % no fuma y el 56.756 d % no bebe ¿Cuantos han muerto en la batalla? que el 56.56 Soluci´ on. Sabemos que:

y que:



b 5656 − 56 56.56 99 



d 56756 − 756 56.756 999

=



5600 56 %= 99 99

=

56000 21 %= 999 37 0

0

El enunciado se deduce que el numero de sobrevivientes es 99 y 37, luego el m´ ultiplo del: 0

MCM(99, 37) = 3663 Y como el total de hombres es 4000, entonces los sobrevivientes son 3663 y los muertos son: 4000 − 3663 = 337

Actividades 1. Compro igual n´ umero de caballos y cerdos por $540.18. Cada caballo cuesta $56.40 y cada cerdo $33.63. ¿Cu´antos caballos y cerdos he comprado en total? Rpta. 6 caballos y 6 cerdos, 12 en total. 2. Un dep´osito se puede llenar por dos ca˜ ner´ıas. La primera vierte 25.23 litros en 3 minutos y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cu´anto tiempo tardar´a en llenarse el estanque, si estando vac´ıo, se abren al mismo tiempo las dos ca˜ ner´ıas, sabiendo que su capacidad es de 425.43 litros? Rpta. 29 minutos 3. Un avicultor compra 6 gallinas y 8 gallos por $8.46. M´as tarde a los mismos precios, compra 7 gallinas y 8 gallos por $8.91. Hallar el precio de una gallina y de un gallo? Rpta. Una gallina, $0.45; un gallo, $0.72 4. Una constructora contrata un obrero por 36 d´ıas y como no tiene trabajo para todos los d´ıas le ofrece $1.25 por cada d´ıa que trabaje y $0.50 por cada d´ıa que no trabaje. Al cabo de los 36 d´ıas el obrero ha recibido $30. ¿Cu´antos d´ıas trabaj´o y cu´antos no trabaj´o? Rpta. Trabaj´o 16 d´ıas; no trabaj´o 20 d´ıas 5. Se compra cierto numero de libros y se paga S/.609 por cada 84 libros que se compra y luego se venden todos cobrando S/.369 por cada 60 libros. Si ha habido en la venta una perdida de S/.110. ¿Cuantos libros se han comprado? Rpta. 100 libros Pruebe que 2n+5 es irreducible, ∀ n ≥ 1. 3n+2 147


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6. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 d´ıas. ¿En cu´antos d´ıas, 100 hombres cuya eficiencia es 50 % m´as que los primeros, podr´an cavar una zanja de 1200 m3 cuya dureza del terreno es 3 veces la anterior? Rpta. 90 7. Si 4 hombres y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 d´ıas. ¿En cu´antos d´ıas realizar´an el mismo trabajo 5 hombres y 6 mujeres; sabiendo que el trabajo de una mujer son los 2/3 del trabajo que realiza un hombre? Rpta. 44 8. Transportar 26 vacas de 850 kg. c/u a una distancia de 700 km. ha costado S/.3500. ¿Qu´e distancia se habr´an transportado 65 vacas de 800 kg. cada una costando el transporte S/. 17000? Rpta. 1445 km. 9. Doce obreros pueden realizar una obra en “n” d´ıas. Si despu´es de haber realizado la mitad de la obra, 8 de los obreros aumentan su rendimiento en un 25 % con lo cual el tiempo total de trabajo fue de 13 d´ıas. Calcular “n”. Rpta. 14 10. Una guarnici´on de 2250 hombres tiene provisiones para 70 d´ıas. Al terminar el d´ıa 29 se retiran 200 hombres. ¿Cu´anto tiempo durar´an las provisiones que quedan para el resto de la guarnici´on? Rpta. 45 d´ıas 11. Si 18 obreros pueden hacer una obra en 37 d´ıas. ¿Cu´antos obreros trabajan el u ´ ltimo d´ıa, si el primer d´ıa se empieza con un obrero, el segundo d´ıa con dos, el tercero con tres y as´ı sucesivamente hasta concluir la obra? Rpta. 36 12. Cuatro hombres y una mujer realizan un trabajo en 24 d´ıas. Si se aumenta un hombre y una mujer entonces realizan el mismo trabajo en 18 d´ıas. ¿En cu´antos d´ıas har´ıan el trabajo los 4 hombres solos? Rpta. 27 13. Manuel puede hacer un trabajo en 15 horas, mientras que Victor lo har´ıa en 10 horas. Manuel, Victor y Ra´ ul juntos pueden realizar el mismo trabajo en 4 horas. Los tres juntos inician el trabajo y al realizar 1/4 del mismo, Manuel y V´ıctor se retiran. ¿Cu´anto tiempo le tomar´a a Ra´ ul terminar dicho trabajo? Rpta. 9

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El u ´ ltimo teorema de Fermat El secreto de un antiguo problema matem´ atico La teor´ıa de n´ umeros es una de las ramas mas viejas de las matem´aticas. Los libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides est´an dedicados a ella. Euclides vivi´o alrededor del a˜ no 300 a.C. y la obra antes citada, cuyo estilo de presentaci´on influyo en las matem´aticas durante mas de 2000 a˜ nos, ha llegado hasta nosotros gracias a las copias que de ella hicieron los ´arabes y que despu´es trajeron a Europa a trav´es de Espa˜ na. El libro V II comienza definiendo los numeros pares, los impares, los primos, los compuestos, los planos (su descomposici´on en primos Pierre Fermat tiene dos factores), los solidos (su descomposici´on en primos tienes tres factores), y los numeros perfectos (los que la suma de sus divisores menores que el da como resultado el numero: por ejemplo 6 = 1 + 2 + 3). Para Euclides los numeros se asociaban con segmentos, y as´ı un numero con segmento AB divide a otro con segmento CD si este ultimo puede medirse con la medida AB . En el libro V II aparece tambi´en el algoritmo que hemos descrito para calcular el m´aximo com´ un divisor de dos numeros, as´ı como la propiedad lineal del m´aximo com´ un divisor. Aunque el libro V III tambi´en lo dedicara Euclides a los numeros, no aparecen en el resultados muy sabroso. sin embargo en el libro IX aparecen algunos resultados brillantes. la proposici´on 20 dice lo numeros primos son mas que cualquier multitud de ellos lo que demuestra que hay infinidad de estos. El siguiente momento conocido de brillantez matem´atica se produjo varios siglos despu´es. Alrededor Karl Friedrich Gauss del a˜ no 300 d.C. y en pleno periodo alejandrino, Diofanto escribi´o una obra de 13 libros titulada Aritm´etica, de las que se conservan 6. En ellos aparece por primera vez la notaci´on simb´olica par describir inc´ognitas y las expresiones polin´omicas. En sus libros, Diofanto se preocupa por encontrar las soluciones de una colecci´on de 150 problemas, sin que en su exposici´on aparezca postulado. Diofanto no se limita a encontrar soluciones enteras, si no que pueden ser racionales y queda satisfecho con encontrar una soluci´on en lugar de tratar de encontrar todas. He aqu´ı un ejemplo: encontrar dos numeros tales que cuando a uno de ellos se le suma el cuadrado del otro da un cuadrado perfecto. Diofanto procede llamando a los numeros x y 2x + 1 y suponiendo que su suma es un cuadrado de la forma ((2x − 2)2 ), con lo que ya introduce restricciones en el problema, con estas restricciones obtiene la ecuaci´on 3 . (2x + 1)2 + x = (2x − 2)2 que tiene como soluci´on x = 13 ´ Despu´es de Diofanto de Alejandr´ıa, los Arabes mantuvieron vivo el esp´ıritu de la Teor´ıa de numeros , pero fue Pierre de Fermat quien le dio un considerable impulso.

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Pierre de Fermat (1601 - 1665) fue un abogado y magistrado frances para quien la matem´atica era su pasatiempo favorito. contribuyo al desarrollo de la Teor´ıa de numeros, tuvo influencia en el an´alisis, como reconocer´ıa Newton 50 a˜ nos mas tarde, manejo la Geometr´ıa Anal´ıtica o de coordenadas, que tambi´en fue estudiada por Descartes, y junto con Pascal es considerado el fundador de la Teor´ıa Andrew Wiles de la probabilidad. Pierre de Fermat nunca publico art´ıculos y todos sus descubrimientos y conjeturas han llegado a nosotros por las cartas que escribi´o a numerosas personas. Uno de estos libros favoritos era “Aritm´etica”de Diofanto, que Bachet hab´ıa traducido al lat´ın en 1621 y en cuyos m´argenes Fermat Hizo numerosas observaciones. Muchas de estas, aunque no todas, eran correctas. El peque˜ no teorema de Fermat, expuesto en este trabajo, es una de las que es correcta, y la primera demostraci´on fue publicada por Leonhard Euler (1707 - 1783) en 1736. 2 Que todos los numeros de la forma 2 n +1 era primo es incorrecta como se encargo de descifrar tambi´en Euler. Hay una de las conjeturas cuya veracidad o falsedad tardo unos 350 a˜ nos en ser demostrada; se le conoce con el nombre de El u ´ ltimo Teorema de Fermat. En su copia de la aritm´etica de Diofanto, y al lado del problema: dividir un cuadrado dado en una suma de dos cuadrados Pierre de Fermat escribi´o: “Por otro lado es imposible separar un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, o en general cualquier potencia excepto la cuadrad de dos potencias del mismo exponente. De este hecho he descubierto una demostraci´on maravillosa que este margen no es suficientemente grande para contener”. Si Fermat tenia la demostraci´on nunca se ha encontrado, y numerosos matem´aticos han intentado demostrar su afirmaci´on. A pesar de los esfuerzos, de las teor´ıas desarrolladas, y de los numeroso valores de npara los que se ha comprobado el teorema de Fermat estaba en lo cierto. La muy reciente prueba fue anunciada por Andrew Wiles, de la universidad de Princenton y publicada en la revista Annals of Mathematics, bajo el nombre de Modullar elliptic curves and Fermat. A pesar de los numeroso resultados demostrados, la teor´ıa de numeros permaneci´o durante el siglo XVIII como una serie de resultados sorprendentes pero sin relaci´on entre si. Tuvo que ser Karl friedrich gauss (1777 - 1855) quien sistematizara los resultados conocidos y los desarrollados por el para dar a la teor´ıa de los numeros la entidad matem´atica que se merec´ıa desde hacia varios siglos. Cuando acababa de cumplir 20 a˜ nos Gauss publico, por su propia cuenta, y despu´es de haber sido rechazado por la academia francesa, un libro titulado Disquisitiones arithmeticae 150


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que se convertir´ıa en el texto de referencia de esta teor´ıa durante todo el siglo XIX. El libro conten´ıa tres ideas importantes: la teor´ıa de las congruencias, que lo veremos en este trabajo, una introducci´on a los numeros algebraicos y la teor´ıa de las formas para llevar acabo un an´alisis diof´antico de las ecuaciones.1

1

Dorronsoro. N´ umeros, grupos y anillos.

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Unidad 3 N´ umeros Reales. Su construcci´on y aplicaciones Objetivos 1. Definir axiom´aticamente el sistema algebraico de los n´ umeros reales. 2. Mostrar la construcci´on axiom´atica del sistema algebraico de los n´ umeros reales. 3. Probar las propiedades de los n´ umeros reales. 4. Mostrar las aplicaciones de los modelos financieros. Contextualizando: Analizando los efectos de la luz ultravioleta El ba˜ no de sol constituye un popular pasatiempo. Sin embargo, una exposici´ on excesiva a la luz ultravioleta puede ser causa de da˜ no, tanto en la piel como en los ´ organos de la vista. La luz ultravioleta proveniente del sol es la causante del bronceado de la piel y de las quemaduras de ´esta al quedar expuesta a la acci´on solar. S´ olo cerca de seis por ciento de la radiaci´on solar que llega a la tierra es en forma de luz ultravioleta. A la intensidad de la luz ultravioleta le afecta los cambios estacionales de la capa de ozono, la nubosidad y la hora del d´ıa. La tabla a continuaci´ on muestra la intensidad ultravioleta m´ axima medida en miliwatts por metro cuadrado, para diferentes latitudes y fechas Latitud 0o 10o 20o 30o 40o 50o

21 de marzo 325 311 249 179 99 57

21 de junio 254 275 292 248 199 143

21 de septiembre 325 280 252 182 127 75

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21 de diciembre 272 220 143 80 34 13


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Si un estudiante de Lima, localizado a 47.5o de latitud pasa sus vacaciones de primavera en Hawai, a 20o de latitud, los rayos solares ultravioleta en Hawai ser´ an aproximadamente 249/57≈ 4.37 veces m´as intenso que en Lima. En primavera, el sol en Hawai es aproximadamente 249/133≈1.74 veces m´as fuerte el m´ as intenso sol de Lima en el verano. Puesto que la luz ultravioleta se dispersa a causa de la reflexi´ on, la luz y la sombra no retienen por completo las quemaduras de sol. Una persona sentada a la sombra puede recibir cuarenta por ciento de la luz ultravioleta que se produce en un ´ area determinada por el sol. Las nubes poco densas transmiten el ochenta por ciento de la luz ultravioleta, en tanto que una persona que nada a 1 1/2 pies por debajo de la superficie del agua tambi´en recibe el ochenta por ciento de la luz ultravioleta. De modo que, a´ un sentado a la sombra, nuestro estudiante de Lima sentir´a m´as intenso el sol en Hawai. Los n´ umeros reales son necesarios para cuantificar el efecto de la luz ultravioleta en los seres humanos y, por otra parte, las cantidades se describen mediante distintos tipos de n´ umero, como los n´ umeros cardinales, los decimales, las fracciones y los porcentajes. Esta unidad presenta los n´ umeros que son esenciales en la descripci´ on de fen´ omenos reales.



´ DESARROLLO TEMATICO

El progreso y el perfeccionamiento de la matem´atica est´an ´ıntimamente ligados a la prosperidad del Estado. ´n I Napoleo

3.1.

Sesi´ on 11: Definici´ on axiom´ atica de R. Orden en R. Radicaci´ on Contextualizando: Oferta y demanda

La cantidad de un producto que la gente est´ a comprando voluntariamente durante alg´ un periodo depende de su precio. Por lo general, a mayor precio la demanda es menor, a menor precio, la demanda es mayor. De manera similar, la cantidad de un producto que un proveedor est´a vendiendo voluntariamente durante alg´ un periodo tambi´en depende del precio. Por o general un proveedor estar´a abasteciendo m´ as de un producto a precios altos y menos de un producto a precio bajos. El modelo mas simple de proveedor y demanda es un modelo lineal. Suponga que est´a interesado en el an´alisis de la venta diaria de cerezas en una ciudad en particular. Usando t´ecnicas especiales de an´ alisis (an´ alisis de regresi´ on) y recolecci´ on de datos un analista obtiene las siguientes ecuaciones de precio-demanda y de precio-abasteciemiento: p = −0,3q + 5 p = 0,06q + 0,68

Ecuaci´ on de demanda(consumidor) Ecuaci´ on de abastecimiento(proveedor) 153


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donde q representa la cantidad en miles de libras y p representa el precio en d´ olares. Por ejemplo, se puede observar que los consumidores compran 11 miles de libras (q = 11) cuando el precio es p = −0,3(11) + 5 = $1,70 por libra. Por otra parte, los proveedores estar´ an abasteciendo voluntariamente 17 mil libras de cerezas a $1,70 (resuelva 1,7 = 0,06q + 0,68para q). Es decir, a $1,70 por libra de cerezas que los proveedores est´ an abasteciendo voluntariamente, los consumidores est´an comprando voluntariamente mayor n´ umero de las que se ofertar. El abastecimiento excede a la demanda a ese precio, y por lo tanto, el precio bajar´ a.¿A que precio por d´ıa se estabilizar´an?. Es decir¿Cual deber´ a ser el precio para que el abastecimiento sea igual a la demanda?. Este precio, se llama precio de equilibrio, y la cantidad vendida a este precio se llama cantidad de equilibrio.¿Que hacer para encontrar estas cantidades?. Se resuelva el sistema lineal. Es dif´ıcil precisar cuando, y donde, aparecen los numeros reales por vez primera. La teor´ıa de las magnitudes de Eudoxio, expuesta en el libro V de los elementos de Euclides, pueden considerarse un texto acerca de los numeros reales no negativos. Para la mayor parte de los matem´ aticos griegos exist´ıan aquellas magnitudes (en particular, longitudes) que pod´ıan representarse mediante la regla √ y el comp´ as, como r, con r ∈ Q+ . Para la escuela pitag´ orica, ni siquiera eso: solo admit´ıan aquellas magnitudes que pod´ıan ser construidas mediante la regla y el cartab´ on, es decir, los numeros racionales. Como puede verse, la aritm´etica (antecedente del algebra) y la geometr´ıa aparec´ıan indisolublemente unidas en aquella ´epoca.

A x O

B r

Q

C

√ Figura 3.1: Construcci´on de r: El punto medio del segmento de extremos O y B(r, 0) se toma como centro de la circunferencia, C con la recta perpendicular al eje de abscisas que pasa por Q(0, 1); por ser semejantes los tri´angulos AQB Y BAO (´angulos iguales) los lados correspondientes son proporcionales, por lo que, llamando x a la longitud del lado AO, se tiene x1 = xr , es decir, x2 = r.

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A mediados del siglo XIX los analistas alemanes experimentaron la necesidad de fundamentar rigurosamente su disciplina, introduciendo el cuerpo de los numeros reales a partir del cuerpo de los racionales. Hacia 1870 ya se conoc´ıan tres caminos que permiten efectuar dicha construcci´ on: 1. Identificar los numeros reales con los ddesarrollos decimales infinitos, eliminando los terminados en una sucesi´ on de nueves ( periodo 9)para evitar la doble representaci´ on de los P∞ −n racionales decimales (periodo 0). Pueden escribirse en la forma a0 + n=1 an 10 con a0 ∈ Z, ai ∈ 0, 1, 2, . . . , 8, 9 para i ∈ N 2. Recurrir las llamadas cortaduras en Q, que son particiones de dicho conjunto en dos subconjuntos takes que todos los elementos del primero de ellos son menores que todos los elementos del segundo (camino seguido por Dedekind). 3. Considerar ( como hicieron Cantor y Meray) el anillo cociente de cierto anillo de sucesiones de numeros racionales, cuyos elementos se llamaran sucesiones regulares, por un ideal adecuado del mismo.1

3.1.1.

Definici´ on axiom´ atica de R

En los tres cap´ıtulos anteriores hemos presentado los Sistemas de los Numeros Naturales U, de los Numeros Enteros Z y de los Numeros Racionales Q de manera que haciendo identificaci´on N ⊂ Z ⊂ Q. Sabemos tambi´en que en Q la Adici´on, Sustracci´on y Multiplicaci´on son operaciones internas; es decir, dados los numeros racionales a y b, la suma a + b, la diferencia a − b y el producto ab asimismo, el cociente a/b (b 6= 0) es un numero racional. O equivalentemente, siempre es posible resolver ecuaciones de la forma ax + b = 0, donde a 6= 0 y b son numeros racionales. Sin embargo no siempre es posible resolver ecuaciones aparentemente sencillas, como por ejemplo x2 = 2, que aparece naturalmente cuando se aplica el Teorema de Pit´agoras a un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos tienen como longitud 1, resulta que la longitud de la hipotenusa es 2 que no es numero racional como ya se probo en el capitulo anterior. Por otra parte, en el mismo cap´ıtulo, se ha hecho notar que existe una correspondencia biun´ıvoca o biyecci´on entre el conjunto Q y el conjunto E de todas las expresiones decimales infinitas peri´odicas, la que permite identificar los conceptos de n´ umero racional y de expresi´ on decimal infinita peri´ odica. Obviamente existen expresiones decimales infinitas no peri´odicas, por ejemplo la definida escribiendo: primero 0, despu´es la coma decimal y, a continuaci´on para cada d´ıgito 1 se colocan n ceros siguiendo al n−´esimo 1; es decir: 0, 1010010001000010000010000001 . . . 1

Algebra y fundamentos. Miguel Angel Goberna

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Variaciones de este ejemplo producen otras expresiones infinitas no peri´odicas, como por ejemplo: 0,1001000010000001. . . √ M´as adelante, se sugerir´a un m´etodo para probar que 2 puede escribirse como: 1;

1, 4;

1, 414;

1, 4142;

......

que es una expresi´on decimal infinita no peri´odica. Finalmente, tambi´en existen expresiones decimales infinitas no peri´odicas cuyas sucesi´on de d´ıgitos no puede ser descrita por una simple regla. Los ejemplos anteriores, inducen a considerar el conjunto de todas las expresiones decimales infinitas no peri´odicas que, evidentemente, no son n´ umeros racionales a las que se dar´a el nombre de n´ umeros irracionales. A este nuevo conjunto se le denota por I. Con los conjuntos Q e I construiremos un nuevo conjunto R = Q ∪ I al cual le llamamos conjunto de los n´ umeros reales. Es decir: R = Q ∪ I ={exp. dec. infinitas peri´odicas} ∪ {exp. dec. Infinitas no peri´odicas} O tambi´en R = Q ∪ I ={n´ umeros racionales} ∪ {n´ umeros irracionales} La siguiente idea ser´a convertir a R en un sistema de n´ umeros; para lo que habr´a necesidad de definir una relaci´on de igualdad y las operaciones internas de adici´on y multiplicaci´on para expresiones decimales infinitas peri´odicas y no peri´odicas, lo cual es bastante complicado. Existen varias maneras de definir formalmente el conjunto R por encajes de intervalos (Weierstrass), por cortaduras (Dedekind), por sucesiones fundamentales (Cantor)2 y axiom´aticamente (Hilbert). Se escoger´a esta u ´ ltima para seguir con el mismo esquema que hemos adoptado para introducir los Sistemas de N´ umeros N, Z y Q.

3.1.2.

Definici´ on Axiom´ atica de R

El Sistema de los N´ umeros Reales es un conjunto, denotado por R, provisto de dos operaciones internas llamadas adici´on y multiplicaci´on, y una relaci´on de orden. La Adici´ on es una operaci´on interna en R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b) ∈ R × R un u ´ nico n´ umero real llamado suma de a y b, y que se denota a + b. Simb´olicamente: + : R × R → R, tal que (a, b) → a + b Los n´ umeros reales a y b reciben el nombre de sumandos. La Multiplicaci´ on es una operaci´on interna en R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b) ∈ R × R un u ´ nico numero entero llamado producto de a y b y denotado por a · b o simplemente ab. Simb´olicamente: · : R × R → R, tal que (a, b) → a · b 2

Ver [] p´ags. 78-94

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Los n´ umeros a y b reciben el nombre de factores. La adici´on y la multiplicaci´on satisfacen los siguientes axiomas: AXIOMAS Conmutatividad R1)

´ ADICION a + b = b + a ∀ a, b ∈ R (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ R Existe un u ´ nico n´ umero real llamado cero denotado por 0, tal que: a + 0 = a ∀a ∈ R

R5)

Asociatividad

R2)

Elemento Neutro

R3)

Elementos opuesto e inverso

R4)

Distributividad

N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ R

Para todo a ∈ R, existe un u ´ nico n´ umero real denotado por −a, llamado opuesto de a tal que a + (−a) = 0

R6) R7)

R8)

´ MULTIPLICACION a · b = b · a ∀ a, b ∈ R (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ R Existe un u ´ nico n´ umero real llamado uno denotado por 1, 1 6= 0 tal que: a· 1 = a ∀a ∈ R Para todo a ∈ R, a 6= 0, existe un u ´ nico n´ umero real denotado por a−1 ´o a1 , llamado inverso de a tal que a · a−1 = 1

Nota Importante: Cuando se define un Sistema Num´erico como un conjunto provisto de ciertas operaciones, queda t´acitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos y todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en ´el; en particular, la relaci´ on de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, sim´etrica y transitiva.

3.1.3.

Consecuencias importantes de los axiomas anteriores

Teorema 3.1. Si a, b y c son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.

Corolario 3.1. (a) a = b ∧ c = d entonces a + c = b + d (b) a = b ∧ c = d entonces a · c = b · d La demostraci´on de cada propiedad es an´aloga a la realizada en Q. 157


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Teorema 3.2. Si a y b son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: (a) a · 0 = 0 (b) ab = 0 si y s´olo si a = 0 ∨ b = 0 La demostraci´on de cada propiedad es an´aloga a la realizada en Teorema 3.3 (Propiedades del Opuesto de un n´ umero real). Si a y b son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:

(a) −(−a) = a, para todo a ∈ R (b) −(a + b) = (−a) + (−b) (c) (−1)a = −a (d) a(−b) = (−a)b = −(ab) (e) (−a)(−b) = ab Q. La demostraci´on de cada propiedad es an´aloga a la realizada en Q. Teorema 3.4 (Propiedades del Inverso). Si a y b son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: 1. (a−1 )−1 = a para todo a ∈ R 2. (a · b)−1 = a−1 · b−1 La demostraci´on de cada propiedad es an´aloga a la realizada en Q. Teorema 3.5 (Cancelaci´on en la adici´on y multiplicaci´on). Si a, b y c son n´ umeros reales se tiene: (a) a + c = b + c entonces a = b (b) Si ac = bc y c 6= 0 entonces a = b La demostraci´on de cada propiedad es an´aloga a la realizada en Q. ´ SUSTRACCION Definici´ on 3.1. Dados los numeros reales a y b, se define la diferencia de a y b y se denota 158


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por a − b al u ´ nico numero real c, tal que a = b + c. O sea, a − b = c si y s´olo si a = b + c. Los numeros a y b reciben, respectivamente, los nombres de minuendo y sustraendo. Teorema 3.6. Dados los n´ umeros reales a y b, la diferencia a − b siempre existe y es u ´nica. La demostraci´on de cada propiedad es an´aloga a la realizada en Q. Observaci´ on 3.1. Es importante recordar la igualdad: a − b = a + (−b). El teorema anterior nos dice que, la funci´on (−) : R × R/ (a, b) → a − b, que asocia a cada par (a, b) de n´ umeros reales, su diferencia a − b, es una operaci´on interna en R. Esta operaci´on recibe el nombre de sustracci´ on. ´ DIVISION Definici´ on 3.2. Dados dos numeros reales a y b 6= 0, se llama cociente de a y b y se denota a por b al numero real c tal que a = b · c. O sea ab = c si y s´olo si a = b · c. Teorema 3.7. (a) Dados los n´ umeros reales a y b 6= 0, el cociente

a b

siempre existe y es u ´nico.

(b) Dados los numeros reales x, a 6= 0 y b, se tiene que: ax + b = 0 si y s´ olo si x = −ba−1 . Las demostraciones son an´alogas a las efectuadas en Q. La funci´on ( / ) : R × (R − {0}) → R, que asocia a cada par de n´ umeros reales (a, b), b 6= 0, a su cociente b , recibe el nombre de divisi´ on. ´ POTENCIACION Definici´ on 3.3. Sean a un n´ umero real, a 6= 0, y n un n´ umero natural, se define la potencia n a , poniendo 1. a0 = 1, 2. an = an−1 a, si n ≥ 1 En la expresi´on an ; el n´ umero a se llama base y el n´ umero n se llama exponente.

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De la definici´on, se tiene que: a1 = a1−1 · a = a0 · a = 1 · a = a

a2 = a1 · a = a · a

∀a ∈ R − {0}

a3 = a2 · a = a · a · a

(dos factores) (tres factores), y en general

n

a = a · a · a···a

Si a 6= 0 y n ∈ N, se define a−n =

(un factor)

(n factores)

1 an

y se tiene que, para n, m ∈ N

am 1 = am · n = am · a−n n a a Aplicando el principio de inducci´on matem´atica se prueba el siguiente: Teorema 3.8. (i) (a · b)n = an · bn (ii) am · an = am+n (iii) (am )n = am·n , ∀ n, m ∈ Z

3.1.4.

Orden en R

Presentaremos el pen´ ultimo axioma del Sistema de los N´ umeros Reales R. R10) Existe un subconjunto no vac´ıo de R, denotado por R+ , tal que: 1. Para toda a ∈ R, se cumple una y s´olo una de las siguientes condiciones: a ∈ R+ ´o − a ∈ R+ ´o a = 0 2. El subconjunto no vac´ıo de R denotado por R+ , recibe el nombre de conjunto de los n´ umeros reales positivos. El subconjunto de R definido por R− = {x ∈ R/ −x ∈ R+ }, que no es vaci´o, en virtud de R8), recibe el nombre de conjunto de los numeros reales negativos y el axioma R10), nos afirma que: R = R+ ∪ R− ∪ {0}

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Consecuencias importantes del axioma anterior Teorema 3.9. Si a ∈ R, a 6= 0 entonces a2 ∈ R+ La demostraci´on es an´aloga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real y el s´ımbolo Q+ por R+ . Definici´ on 3.4. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor que b” y se denota con a < b si, y solo si, existe c ∈ R+ , tal que a + c = b. En s´ımbolos, a < b ⇔ ∃ c ∈ R+ /a + c = b Equivalentemente, se dice que “b es mayor que a” y se denota b > a si, y solo si, a < b. De la definici´on anterior resulta el siguiente: Teorema 3.10. 1. a ∈ R+ si y s´olo si, a > 0. 2. a > 0 si, y s´olo si, −a < 0 La demostraci´on es an´aloga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real y el s´ımbolo Q+ por R+ . Usando el Teorema anterior, R10, puede reescribirse en la forma siguiente: 1. Dado a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: 0<a

a=0

a < 0 (Tricotom´ıa)

2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0. Teorema 3.11. Si a, b y c son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: 1. a < 0 ∧ b < 0 entonces ab > 0 2. a > 0 ∧ b < 0 entonces ab < 0 La demostraci´on es an´aloga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real.

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Teorema 3.12. Si a, b y c son n´ umeros reales, se cumplen las siguientes propiedades: (a) Dados a, b numeros reales, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: a < b ∨ a = b ∨ a > b. (b) a < b ∧ b < c entonces a < c (c) a < b entonces a + c < b + c (d) a < b ∧ c < d entonces a + c < b + d (e) a < c ∧ 0 < c entonces ac < bc (f ) a < b ∧ c < 0 entonces ac > bc La demostraci´on es an´aloga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real. Teorema 3.13. Si a y b son n´ umeros reales diferentes de cero, el inverso multiplicativo tiene las siguientes propiedades: (a) a > 0 entonces a−1 > 0 (b) a < 0 entonces a−1 < 0 (c) Si 0 < a < b entonces 0 < b−1 < a−1 (d) Si a < b < 0 entonces b−1 < a−1 < 0 La demostraci´on es an´aloga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real. Teorema 3.14. (i) Si a > 0 y n > 0 entonces an > 0 (ii) Si 0 < a < b entonces an < bn

Demostraci´on. Probar las dos propiedades por inducci´on Definici´ on 3.5. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor o igual que b” y se denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b. Se sigue de inmediato que: a≤b

∃ c ≥ 0/a + c = b

Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a” y se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b. 162


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Teorema 3.15. Si a, b y c son numeros reales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las siguientes propiedades 1. a ≤ a, ∀ a ∈ R (Propiedad reflexiva) 2. a ≤ b ∧ b ≤ a entonces a = b (Propiedad antisim´etrica) 3. a ≤ b ∧ b ≤ c entonces a ≤ c (Propiedad transitiva) 4. a 6= b entonces a < b ∨ b < a (Propiedad conexa) 5. a ≤ b ∧ c ≥ 0 entonces ac ≤ bc 6. a ≤ b ∧ c ≤ 0 entonces ac ≥ bc Demostraci´on. La demostraci´on de cada una de las propiedades es an´aloga a la realizada en Q. Observaci´ on 3.2. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relaci´on menor o igual es una relaci´ on de orden en R. Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relaci´on menor o igual es una relaci´ on de orden conexa. Radicaci´ on Definici´ on 3.6. Dados a ≥ 0, un n´ umero real y n ∈ N+ . Se llama ra´ız n−´esima de a y se √ denota n a, al u ´ nico numero real no negativo b tal que bn = a; √ Simb´olicamente n a = b si y s´olo si bn = a. √ En la expresi´on b = n a; se dir´a que n es el ´ındice del radical, y que a es el radicando o expresi´on subradical. √ √ 2 a se escribe simplemente a y se lee “ra´ız cuadrada de a”. √ 3 a se lee: “ra´ız cubica de a”. + Teorema 3.16. Si a, b ∈ R+ 0 = R ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces: √ √ √ √ (a) Existe n ab y n ab = n a n b √ √ √ (b) Existe n am y n am = ( n a)m p√ p√ √ √ p√ (c) Existen mn a, m n a y mn a = n m a = m n a

(d) Si b > 0,

pa n

b

=

√ na √ n b

163


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Subconjuntos notables de R

3.1.5.

A continuaci´on presentaremos los subconjuntos notables de R como son los n´ umeros reales naturales NR , reales enteros ZR y reales racionales QR ; as´ı como su relaci´on con los conjuntos num´ericos presentados en los tres cap´ıtulos anteriores. Para exhibir concretamente elementos de R, es decir n´ umeros reales, utilizamos los axiomas y teoremas de R. Empezamos mostrando los llamados n´ umeros reales naturales, importantes por que nos permitir´an introducir el concepto de sistema de numeraci´on, sin el cual no tendr´ıamos forma de trabajar con los elementos de R; ´estos se reducir´ıan a simples entes abstractos. Adem´as, a partir de NR y utilizando los axiomas de los n´ umeros reales, podremos obtener los otros subconjuntos notables de R: los reales enteros, los reales racionales y los irracionales √ umero 5. pues, por ejemplo, no tendr´ıa sentido hablar de 5 5 si antes no existiera el n´ Los n´ umeros reales naturales Los n´ umeros naturales est´an asociados al proceso de contar, y este proceso empieza por el 0 y el 1, “aumentando uno al anterior para obtener el siguiente”. As´ı obtenemos: 0,

0 + 1 = 1,

1 + 1 = 2,

2 + 1 = 3,

3 + 1 = 4,

...,

n,

n + 1,

...

Es decir si tenemos un n´ umero n, el sucesor natural de ese elemento n se obtendr´a, agreg´andole 1, al elemento n, para obtener n + 1. Esta idea intuitiva y sencilla nos servir´a de punto de partida para definir los n´ umeros reales naturales. Definici´ on 3.7. Sea K un subconjunto no vac´ıo de R, se dice que K es un conjunto inductivo si, y s´olo si, cumple las siguientes dos condiciones: (i) 0 ∈ K (ii) Si n es un elemento de K, el n´ umero n+1, llamado sucesor de n, es tambi´en un elemento de K. Es decir, si n ∈ K, entonces n + 1 ∈ K. Por ejemplo, el conjunto de los numeros reales R. satisface tales propiedades pues 0 ∈ R y por definici´on de adici´on, si n ∈ R, como 1 ∈ R, entonces n + 1 ∈ R. Esto prueba, que por lo menos existe un subconjunto inductivo que es el mismo R. Teorema 3.17. La intersecci´on de todos los subconjuntos inductivos de R es tambi´en un subconjunto inductivo de R y es adem´ as el menor subconjunto inductivo de R; en el sentido que est´a contenido en todos los dem´as subconjuntos inductivos.

Demostraci´on. Sea J es la intersecci´on de todos los subconjuntos inductivos de R, 164


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(i) Si 0 es un elemento de cada conjunto inductivo, entonces 0 es un elemento de la intersecci´on de todos los conjuntos inductivos, es decir, 0 ∈ J. (ii) Si h ∈ J, entonces h es elemento de cada conjunto inductivo, luego por definici´on de conjunto inductivo, h+ 1 es tambi´en un elemento de cada conjunto inductivo de R y por lo tanto h + 1 tambi´en pertenece a la intersecci´on de todos los subconjuntos inductivos de R; o sea, h + 1 ∈ J. Por lo tanto J es un subconjunto inductivo de R y est´a contenido en cada subconjunto inductivo de R. Definici´ on 3.8. El conjunto anteriormente obtenido, o sea la intersecci´on de todos los subconjuntos inductivos de R, recibe el nombre de conjunto de los reales naturales y se denota por NR . Por el teorema anterior el conjunto NR = J existe y adem´as NR est´a contenido en todos los subconjuntos inductivos de R. Es decir, NR satisface las siguientes propiedades: (i) 0 ∈ NR (ii) Si n es un elemento de NR , entonces el sucesor de n, el n´ umero n + 1, es tambi´en un elemento de NR . O sea, si NR , entonces n + 1 ∈ NR . Teorema 3.18 (Inducci´on matem´atica). Si A ∈ NR goza de las propiedades 1. 0 ∈ A y 2. Si h ∈ A implica h + 1 ∈ A entonces A = NR .

Demostraci´on. Por las condiciones (i) y (ii), A es conjunto inductivo, luego NR ⊂ A, y como por hip´otesis A ⊂ NR , se sigue que A = NR . Observaci´ on 3.3. De la definici´on de NR , deducimos que 0 ∈ NR , y para h = 0, se tiene que h + 1 = 0 + 1 = 1 ∈ NR . An´alogamente 2 = 1 + 1 ∈ N, 3 = 2 + 1 ∈ NR , . . . , etc. Luego, {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } ⊂ NR . A continuaci´on probaremos la propiedad de clausura para la adici´on y multiplicaci´on de n´ umeros naturales

165


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Teorema 3.19. 1. Si a, b ∈ NR entonces a + b ∈ NR . 2. Si a, b ∈ NR entonces a · b ∈ NR . Demostraci´on. 1. Elijamos arbitrariamente un elemento a de NR . Fijando el elemento a, definamos el conjunto K = {b ∈ NR /a + b ∈ NR } ⊂ NR . Es decir, b∈K

a + b ∈ NR

Probaremos que K es inductivo. En efecto: (i) 0 ∈ K pues como a ∈ NR , a + 0 ∈ NR . (ii) Si h ∈ K entonces a + h ∈ NR , de donde (a + h) + 1 ∈ NR por ser NR inductivo; Luego, a + (h + 1) = (a + h) + 1 ∈ NR , usando la propiedad asociativa en R; de donde, por definici´on de K resulta, finalmente que h + 1 ∈ K. As´ı, K es inductivo, y como NR est´a contenido en todo conjunto inductivo, entonces NR ∈ K, resulta que K = NR . Esto quiere decir que para todo a ∈ NR y para todo b ∈ NR , se cumple: a + b ∈ NR . 2. Queda como ejercicio.

Sabemos que 0 ∈ NR , 1 ∈ NR y adem´as 0 < 1, pero ¿existir´an numeros reales naturales mayores que 0 y menores que 1? Seguramente diremos que no, pero ¿como justificamos nuestra respuesta? El siguiente teorema responde a esta pregunta Teorema 3.20. Sea a ∈ NR , si a > 0, entonces a ≥ 1. Demostraci´on. Bastar´a probar que el conjunto K = {a ∈ R/a = 0 ∨ a ≥ 1}, es inductivo. a ∈ K ⇔ a = 0 ∨ a ≥ 1. En efecto (i) 0 ∈ K, por definici´on de K. (ii) Si n ∈ K entonces n = 0 ∨ n ≥ 1, luego n + 1 = 1 ∨ n + 1 ≥ 1 + 1 ≥ 1 de donde n + 1 ∈ K. Lo que implica que K es inductivo y por lo tanto NR . As´ı, resulta finalmente que si a ∈ NR ⊂ K y a > 0 entonces a ≥ 1. 166


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Corolario 3.2. No existen numeros naturales a, tales que n < a < n + 1, con n ∈ NR . Demostraci´on. Si suponemos que existe a ∈ NR tal que n < a < n + 1, entonces existe k ∈ NR tal que (n − 1) + k = a pues a > n − 1 en NR . Luego, (n − 1) + 1 < (n − 1) + k < (n − 1) + 2, de donde 1 < k < 2 con k ∈ NR , lo cual es imposible por la proposici´on anterior. Reci´en entonces estamos en condiciones de afirmar que NR = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

Teorema 3.21 (El principio del buen orden). Todo subconjunto, no vaci´ o, de NR , posee un elemento minimo. Es decir, si A ⊂ NR , A 6= ∅, existe un elemento m ∈ A tal que, para todo x ∈ A, m ≤ x. En virtud de esta propiedad se dice que el conjunto de los Numeros Naturales es Bien Ordenado. Una sugerencia para su demostraci´on es definir el subconjunto H de NR : h∈H

A ⊂ NR , A 6= ∅, tal que h ∈ A, A posee elemento m´ınimo.

Y probar que este conjunto H ⊂ NR es inductivo, de donde se seguir´a que NR ⊂ H, y por lo tanto H = NR . Nota importante: Hemos probado, en el teorema 3.19, que la adici´on y multiplicaci´on de R, restringidas a NR son tambi´en operaciones internas: + : NR × NR → NR (a, b) → a+b

y

· : NR × NR → NR (a, b) → a·b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(a), 3.5(b), 3.13(a) y el teorema 3.21) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, N1) − N11), del Sistema de los N´ umeros Naturales. En tal sentido, podemos identificar NR con el conjunto de los n´ umeros naturales y escribir simplemente NR = N. El Conjunto de los N´ umeros Reales Enteros Hemos definido el conjunto cuyos elementos son los n´ umeros reales naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , luego, por el axioma del opuesto (R4), se obtienen los n´ umeros reales: −0 = 0, −1, −2, 167


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−3, −4, −5, . . . , Establecido NR , definimos los conjuntos Z+ = NR − {0}, Z− = {−n/n ∈ Z+ } y ZR = Z+ ∪ {0} ∪ Z− . Al conjunto ZR lo llamamos Conjunto de los N´ umeros Reales Enteros. Es decir, ZR = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }. Si restringimos la adici´on y multiplicaci´on de Z a ZR , usando el teorema 3.3 (propiedades del opuesto), se obtiene que la suma y el producto de dos reales enteros siempre es un n´ umero real natural o el opuesto de un real natural y por consiguiente un n´ umero real entero, luego quedan definidas las operaciones internas de adici´on y multiplicaci´on en ZR : + : ZR × ZR → ZR (a, b) → a+b

y

· : ZR × ZR → ZR (a, b) → a·b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(b)) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, E1) - E9), del Sistema de los N´ umeros Enteros. Veamos que tambi´en se cumpla el axioma E10): Si definimos i : NR → ZR mediante i(n) = n, se tiene que 1. i es inyectiva, 2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n) 3. i(mn) = mn = i(m)i(n). En tal sentido, podemos identificar ZR con el Conjunto de los N´ umeros Enteros y escribir simplemente ZR = Z. El Conjunto de los N´ umeros Reales Racionales Dados los n´ umeros reales naturales positivos, como todo n´ umero real diferente de cero tiene inverso multiplicativo, obtenemos los inversos de n´ umeros reales naturales positivos: 1 1 1 1 1 , , , , , ...; 1 2 3 4 5 as´ı como sus opuestos

1 1 1 1 1 − , − , − , − , − , ...; 1 2 3 4 5 y usando la definici´on de cociente, otros n´ umeros como:

2 1 3 1 =2· , = 3 · , etc. 3 3 5 5 En general llamamos conjunto de los N´ umeros Reales Racionales, y lo denotamos por QR , al subconjunto de R definido de la siguiente manera: nm o QR = ∈ R/m, n ∈ Z y n 6= 0 n Y puesto que, para a, b, c, d reales y, en particular, reales enteros, se cumple: 168


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1.

a c

+

2.

a c

·

b d

b d

=

=

ad+bc cd

ab cd

.

∈ QR

∈ QR

Si restringimos la adici´on y multiplicaci´on de R a QR , usando las dos propiedades anteriores, se obtiene que la suma de dos reales racionales siempre es un n´ umero real racional y el producto dos reales racionales siempre es un n´ umero real racional. Por consiguiente quedan definidas las operaciones internas de adici´on y multiplicaci´on en QR : + : QR × QR → QR (a, b) → a+b

y

· : QR × QR → QR (a, b) → a·b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, Q1) - Q9) del Sistema de los Numeros Racionales. Adem´as, ac = db si y s´olo si ad = bc. Probaremos que tambi´en se cumpla el axioma Q10) para ello bastara definir, i : ZR → QR mediante, i(m) = m1 , luego se prueba f´acilmente que: 1. i es inyectiva, 2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n) 3. i(mn) = i(m)i(n). En tal sentido, podemos identificar QR con el Conjunto de los N´ umeros Racionales y escribir simplemente QR = Q. Finalmente, nos preguntamos, ¿son estos todos los numero reales? La respuesta es no. Por √ ejemplo como 2 ∈ R+ , existe 2 en R, sin embargo, ning´ un racional satisface la igualdad r 2 = 2 luego, R − Q 6= ∅. Tambi´en, todo n´ umero real cuya representaci´on decimal es infinita no peri´odica no es un numero racional. As´ı al subconjunto R−Q de R lo llamamos subconjunto de los Numeros Irracionales y lo denotamos con I. Es decir, I = R − Q. √ La existencia de 2 como n´ umero real y la de otros n´ umeros irracionales como e, π, etc., no puede ser obtenida a partir de los axiomas de R1) - R10). Se hace por tanto necesaria agregar un axioma para definir el Conjunto de los Numeros Reales R, que es el Axioma del Supremo (o Axioma de Completitud). La Recta Real Existe una relaci´on entre el conjunto R de los numeros reales y el conjunto ℜ de los puntos de la recta geom´etrica, basada en el axioma de Cantor-Dedekind que establece una funci´on biyectiva f : R → ℜ. M´as precisamente: 1. f es inyectiva o sea x 6= y entonces f (x) 6= f (y). 169


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2. f es subyectiva o sea ∀ u ∈ ℜ tal que f (x) = u. Este axioma relaciona la aritm´etica con la geometr´ıa y permite identificar el conjunto de los numeros reales R con el conjunto de los puntos de la recta geom´etrica ℜ (R ≡ ℜ), introduci´endose de esta manera el concepto de recta num´erica o recta real. Gr´aficamente: En la recta real, los n´ umeros reales positivos son los puntos que est´an a “la derecha del cero”, y los n´ umeros reales negativos son los que est´an a “la izquierda del cero”. En general, a < b si el punto que corresponde al n´ umero real a est´a a la izquierda del punto que corresponde al n´ umero real b. Definici´ on 3.9. La biyecci´on f : ℜ → R dada por el axioma 3 de Cantor-Dedekind, que asigna a cada punto de la recta un u ´ nico numero real f (P ) recibe el nombre de Sistema de Coordenadas de la recta ℜ. El numero real f (P ) que corresponde al punto P , mediante la biyecci´on f , recibe el nombre de coordenada del punto P . En particular, el punto cuya coordenada es el numero real 0 (cero), se denomina origen del sistema. En el gr´afico anterior, el origen es P0 . Obs´ervese intuitivamente que cualquier punto P de la recta puede considerarse como origen de un sistema de coordenadas (basta deslizar la regla). De esta manera se obtendr´an varios sistemas de coordenadas. Por otra parte, y esto es muy importante, desde el punto de vista de la teor´ıa de conjuntos, si existe una biyecci´on f : A → B entre dos conjuntos se pueden identificar los elementos de A con los elementos de B. En nuestro caso, identificamos el punto P de la recta ℜ con el numero real f (P ), que llamamos la coordenada de P y escribimos f (P ) = p, para todo punto P .

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3.1.6.

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Axioma del Supremo

Definici´ on 3.10. Un conjunto A ⊂ R es acotado superiormente si, y solo si, existe un numero k ∈ R tal que a ≤ k, para todo elemento a ∈ A. k se llama cota superior de A. Un conjunto A ⊂ R es acotado inferiormente si, y solo si, existe un numero k ′ ∈ R tal que k ′ ≤ a, para todo elemento a ∈ A. k ′ se llama cota inferior de A. Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado. Un conjunto acotado puede tener infinitas cotas. Definici´ on 3.11. Dado un conjunto A ⊂ R se dice que el numero real s es el supremo de A si, y solo, si se cumple que: 1. s es cota superior de A; es decir, a ≤ s, ∀ a ∈ A; y 2. s es la menor cota superior de A. Es decir, si k es una cota superior de A, entonces s ≤ k. Teniendo en cuenta (1) y (2) se puede decir que: “el supremo de A es la menor cota superior de A”. Se demuestra, f´acilmente el siguiente: Teorema 3.22. Si A ⊂ R entonces, s es el supremo de A si, y solo si, se cumplen: (1’) a ≤ s, ∀ a ∈ A (s es una cota superior) (2’) ∀ ε > 0, (tan peque˜ no como se quiera) existe a′ ∈ A tal que s − ε < a′ . Ejemplo 3.1. El conjunto A = {x ∈ R/3 < x ≤ 4} tiene como supremo a 4. En efecto, (1’) 4 es una cota superior (2’) Dado ε tal que 0 < ε < 1, bastar´a tomar el valor a′ = 4 − 2ε , el cual, obviamente, pertenece al conjunto A y es tal que 4 − ε < 4 − 2ε = a′ . Es decir, dado, s = 4 existe a′ = 4 −

ε 2

∈ A tal que s − ε < a′ .

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Actividades 1. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en cent´ımetros, de un tri´angulo y A es el ´area del mismo (cm2 ). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cu´ales son los posibles valores de h? 2. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relaci´on menor entre sus inversos multiplicativos? 3. Hallar todos los n´ umeros reales x tales que x > 5 si, y s´olo 4. Indica los axiomas, definiciones o propiedades que justifican cada paso en los siguientes ejercicios: (a)       √ 1 1 √ (3) 6 2 (3) √ = 6 2 6 2 6 2    √ 1 3 = (6 2) √ 6 2 √

= (1)(3) = 3 (b) π 4

 π  π  π (48) = + − 48 6 4 6   π π = 48 + − 4 6 π π = 48 + 48 − 4 6 = 12π + (−8)π = 4π

5. Encontrar tres n´ umeros reales a, b, c de tal manera que se cumplan las tres condiciones siguientes: (a + b + c) es un n´ umero entero (a2 + b2 + c2 ) es un n´ umero irracional (a3 + b3 + c3 ) es un n´ umero racional 6. (a) ¿A cu´antos kil´ometros equivale un a˜ no luz?

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(b) La estrella m´as cercana a la tierra se encuentra a 4 300 a˜ nos luz de distancia. ¿A cu´antos metros equivale dicha distancia? (c) Si el radio de la tierra es 6,4×106 m, determina su volumen. 7. Para investigar: Si p y q son n´ umeros reales positivos, demostrar que: s s p2 + 4q p p 1≤ − 2q p + p2 + 4q

8. Para investigar: Sean a, b n´ umeros positivos tales que a3 + b3 = 2. Demostrar que a9 + b9 + 5(a12 + b12 ) ≥ 8 + 2(a15 + b15 )

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3.2.

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Sesi´ on 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuerpo ordenado completo La Matem´atica es la reina de las ciencias y la teor´ıa de los numeros es la reina de la Matem´atica. Gauss ´n a ´urea Contextualizando: La secuencia de Fibonacci y la razo

Unos de los problemas m´as famosos en las matem´ aticas elementales proviene del libro “ Liber Abaci”, escrito en 1202 por Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. El problema es como sigue: Un hombre coloca un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes, los conejos no tienen cr´ıas, pero a partir de cada mes procrean un par nuevo de conejos. Si cada par nuevo se reproduce de la misma manera. ¿Cu´antos pares de conejos habr´a al final de un a˜ no? La soluci´on de este problema lleva una secuencia de n´ umeros conocidos como la secuencia de Fibonacci. Aqu´ı est´an los primeros 15 t´erminos de a secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. Advierta el patr´on establecido en la secuencia despu´es de los dos primeros t´erminos (ambos 1), cada t´ermino se obtiene a˜ nadiendo los dos t´erminos previos. Por ejemplo, el tercer t´ermino se obtiene sumando 1 + 1 para obtener 2, el cuarto t´ermino se encuentra sumando 1 + 2 para obtener 3, etc. Esto puede describirse por medio de una f´ ormula matem´ atica conocida como una f´ormula de recurrencia. Si Fn representa el n´ umero de Fibonacci, en la n−´esima posici´on en la secuencia, entonces F1 = 1 F2 = 1 Fn = Fn−1 + Fn−2 ,

para n ≥ 3

La secuencia de Fibonacci presenta muchos patrones interesantes y por razonamiento inductivo podemos hacer muchas conjeturas acerca de estos. Sin embargo, como hemos indicado muchas veces con anterioridad, observar sencillamente un n´ umero finito de ejemplos no proporciona la prueba de un postulado. Las pruebas de las propiedades de una secuencia de Fibonacci frecuentemente implican inducci´ on matem´ atica.

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3.2.1.

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Axioma del supremo

R11 “Si A es un subconjunto de R, diferente del vac´ıo, y acotado superiormente, entonces A tiene supremo s ∈ R”. Este axioma no se cumple en Q como probaremos a continuaci´on mostrando el siguiente: Ejemplo 3.2. Sea {rn } un conjunto, en particular una sucesi´on, de n´ umeros racionales definida por inducci´on*, poniendo: 1. Si n = 1, r1 = 1. n 2. Supuesto definido rn−1 , definimos rn = rn−1 + 10sn−1 , donde sn es el mayor entero positivo 2 tal que rn ≤ 2.

De esta manera se obtiene el siguiente conjunto de n´ umeros racionales: {rn } = {1; 1, 4; 1,414; . . . } Se ve de inmediato que {rn2 } es acotado superiormente por 4, puesto que: 0 < rn2 ≤ 2 < 4, de √ √ donde, 0 < rn < 2. Es decir, el conjunto {rn } es acotado por 2; m´as a´ un, se puede probar √ que sup(rn ) = 2. Sin embargo, como ya sabemos, 2 no es un numero racional. Teorema 3.23. El conjunto N ⊂ R de los numeros reales naturales no es acotado superiormente.

Demostraci´on. Por el absurdo. Si N fuera acotado superiormente, existir´ıa c = sup N. Entonces, c − 1 no seria una cota superior de N, es decir, existir´ıa n ∈ N tal que c − 1 < n, de donde, c < n + 1, lo que implica que c no es una cota superior de N, en consecuencia N no es acotado superiormente. Teorema 3.24. Dados a, b ∈ R+ , existe un n´ umero real racional n tal que na > b. (Propiedad Arquimediana).

Demostraci´on. Dados a, b ∈ R+ existe n ∈ N, tal que n > ab , pues si n ≤ ab para todo n ∈ N, se tendr´ıa que el conjunto N seria acotado, lo que contradice al teorema anterior y, en consecuencia, existe n tal que n > ab , de donde na > b. Corolario 3.3. Si b es un n´ umero real, existe un n´ umero natural n > 0 tal que n > b. Demostraci´on. Basta con poner n = b + 1 para obtener n > b. 175


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Corolario 3.4. Si 0 < b, existe un n´ umero real natural n tal que 0 <

1 n

< b.

Demostraci´on. Si 0 < b, existe el n´ umero real 1b > 0, luego por el corolario 3.3, existe un n´ umero real natural n > 1b , de donde 0 < n1 < b. Corolario 3.5. Si x es un n´ umero real, existen reales enteros m y n tales que: m<x<n Demostraci´on. Por el corolario 3.3, dado x existen reales enteros positivos n y p tales que: n > x y p > −x Poniendo m = −p, resulta: m < x < n. Teorema 3.25 (Teorema del mayor entero). Para todo n´ umero real x siempre existe un n´ umero real entero n tal que n≤b<n+1 Demostraci´on. Existencia: Por el corolario 3.3, existen reales enteros r y s tales que: r < x < s, y como t = s − r > 0, existe tambi´en un real entero positivo t tal que r < x < r + t. Sea p el m´ınimo real entero positivo tal que x < p + t, el cual existe en virtud del Principio del Buen Orden. Finalmente, sea n = p + t − 1. Si p = 1, entonces n ≤ x < r + 1 = n + 1, y si p ≥ 2, entonces p − 1 > 0 y n = r + (p − 1) ≤ x, por ser p el m´ınimo. Luego n ≤ x < r + p = n + 1, o sea n ≤ x < n + 1. Unicidad: Si existieran reales enteros m y n tales que: m ≤ x < m + 1, n ≤ x < n + 1 y m < n, se tendr´ıa que m < n ≤ x < m + 1 y en consecuencia 0 < n − m < 1, lo que es una contradicci´on. An´alogamente se procede si n < m. Teorema 3.26. Si a y b son dos n´ umeros reales tales que a < b entonces existe un n´ umero racional r tal que a < r < b.

Demostraci´on. El corolario del teorema 3.19, dado el n´ umero real b − a > 0 existe un n´ umero 1 real natural n tal que n < b − a, o sea: El teorema 3.20 asegura que dado el n´ umero real no existe un entero m tal que m ≤ na < m + 1 De donde se sigue que

m m 1 ≤a y a< + n n n 176


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De las cuatro u ´ ltimas relaciones, se tiene: a<

m 1 1 + <a+ <b n n n

lo que implica que existe el n´ umero real racional r=

m 1 + , n n

tal que a < r < b.

A continuaci´on, mostraremos otra manera de probar que en Q, no se cumple el axioma del supremo. Ejemplo 3.3. Sea el conjunto de n´ umeros reales racionales A = {x ∈ Q/x2 < 2} = {1; 1,4; 1,41; 1,4141; . . . } y calculemos su supremo. En primer lugar A no es vaci´o, pues 1 ∈ A y es acotado superiormente, puesto que, si x ∈ A entonces 0 < x2 < 2 < 4, de donde se sigue que, 0 < x2 < 4 para todo x ∈ A, luego aplicando el axioma R11, existe el supremo de A al cual lo denotaremos por s. Probaremos a continuaci´on que s2 = 2. En efecto, 2 se tiene: s < b y Si fuera s2 < 2, definiendo b = s + 2−c 5      2 − s2 2 − s2 2 − s2 2 2 2 b =s + 2s + <s + 5=2 5 5 5 La u ´ ltima desigualdad se cumple pues si s2 < 2, s2 < 4 y s < 2, de donde   2 − s2 <5 2s + 5 2

Como s < b = s + 2−c , aplicando el teorema 3.20, existe un real racional r tal que: s < r < b 5 2 lo que implica que s < r 2 < b2 < 2, o sea r 2 < 2. Es decir se ha encontrado un numero real racional r ∈ A tal que s < r: lo que contradice a la definici´on de supremo de un conjunto. 2 Si fuera s2 > 2, definiendo b = s 2+2 y como s2 + 2 < s2 + s2 = 2s2 resulta que 0 < b < s. Por otra parte, se tiene que  2  s −2 2 b −2= > 0 y b2 > 2 2s de donde resulta que si x ∈ A = {x ∈ Q/x2 < 2} entonces x2 < 2 < b2 , o sea b es una cota superior del conjunto A menor que el supremo s; lo cual contradice a la definici´on de supremo de un conjunto. En consecuencia s2 = 2 177


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Nota importante: Se ha demostrado que el conjunto A del ejemplo 3.1, posee un supremo s que no es un numero real racional, o sea s ∈ / h(Q) y que s2 = 2, luego aplicando la definici´on de ra´ız cuadrada √ s = 2. Definici´ on 3.12. Se llama “e” n´ umero de Euler al supremo del conjunto de numeros reales n racionales B = {xn ∈ Q/xn = 1 + n1 , n ∈ N+ }.

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3.2.2.

El Sistema de los N´ umeros Reales Extendido

Definici´ on 3.13. En diversas situaciones como en el caso de los intervalos, que veremos mas adelante, se utilizan los s´ımbolos −∞ y +∞. La introducci´on formal de estos s´ımbolos se hace “extendiendo” el conjunto R de los n´ umeros reales a otro conjunto, al cual denotaremos + con R , cuyos elementos ser´an adem´as, de los reales, los s´ımbolos −∞ y +∞. En este nuevo conjunto R∗ = {−∞} ∪ R ∪ {+∞} Se definen las operaciones de adici´on, multiplicaci´on y relaci´on menor “extendiendo”los conceptos respectivos ya definidos en R, as´ı, Para la adici´on se define: 1. a + (+∞) = (+∞) + a = +∞, ∀ a ∈ R 2. a + (−∞) = (−∞) + a = −∞, ∀ a ∈ R 3. (+∞) + (+∞) = (+∞) 4. (+∞) + (−∞) = (−∞) + (+∞) = 0 La adici´on, as´ı extendida en R∗ es conmutativa pero no asociativa [(−∞) + (+∞)] + (+∞) 6= (−∞) + [(+∞) + (+∞)] sin embargo si no se establece la propiedad (d), como muchos autores lo hacen, la adici´on si es asociativa. N´otese que la ecuaci´on x + a = b no siempre tiene soluci´on en R∗ o, si existe, ´esta no siempre es u ´ nica. x + (+∞) = −∞

no tiene soluci´on

x + (+∞) = +∞

tiene infinitas soluciones

Para la multiplicaci´on se definen: 178


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1. a(+∞) = (+∞)a = +∞, si 0 < a ≤ +∞ 2. a(−∞) = (−∞)a = −∞, si 0 < a ≤ +∞ 3. a(+∞) = (+∞)a = −∞, si −∞ ≤ a < 0 4. a(−∞) = (−∞)a = +∞, si −∞ ≤ a < 0 5. 0(±∞) = (±∞)0 = 0. La multiplicaci´on as´ı extendida, en R∗ , es conmutativa, asociativa y, como en R, ab = 0 implica que a = 0 ´o b = 0 Con respecto a la sustracci´on y divisi´on, podemos indicar que la sustracci´on en R∗ , se define, al igual que en R: a − b = a + (−b) escribiendo, cuando b = −∞, −b = −(+∞) = −∞ y cuando b = −∞, −b = −(−∞) = +∞. La divisi´on en R∗ se define agregando a lo conocido en R los s´ımbolos siguientes: 1.

a ±∞

2.

±∞ a

= 0, si a ∈ R  = a1 (±∞), si 0 < |a| < +∞

∞ No se definen los s´ımbolos a0 , ∞ , −∞ , −∞ , −∞ . ∞ −∞ ∞ La relaci´on menor: a < b, se establece R∗ agregando a los axiomas y propiedades de la relaci´on menor en R, el siguiente axioma:

−∞ < a < +∞ ∀ a ∈ R EJERCICIOS 1. Probar que el supremo del conjunto definido inductivamente en la p´agina 175 √ {rn } = {1; 1, 4; 1,414; . . . } es 2 2. Probar que para todo x ∈ R, existe m ∈ Z, tal que m ∈ x < m + 1. Tal n´ umero m se llama m´aximo entero de x, y se denota JxK. 3. Probar que si a, b ∈ R, existe r ∈ Q tal que a < r < b.

4. Sea r un n´ umero real tal que: s { s { s { s { s { 1 2 3 4 5 r+ + r+ + r+ + r+ + r+ = 2001 8 8 8 8 8 (a) Determinen los valores que puede tomar r. (b) Den un ejemplo de un valor irracional de r que cumpla dicha ecuaci´on 5. Calcular el supremo de los siguientes conjuntos 179


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 (a) A = 1 − n1 /n ∈ N+

(b) B = {x ∈ R − Q/x < 2}

6. Sean x, y n´ umeros reales

(a) Si x · 1 = 0, ¿Qu´e valor(es) puede tomar x? (b) Si x · y = 0, ¿Qu´e valor(es) puede tomar x e y? (c) Si x · y = 1, ¿Qu´e puede decir de los valores de x e y? (d) Si x2 = y 2 , ¿C´omo est´an relacionados x e y?

180


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3.3.

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Sesi´ on 13: Representaci´ on decimal de los n´ umeros reales. Valor absoluto. No hay ninguna rama de la matem´atica, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse alg´ un d´ıa a los fen´omenos del mundo real. Lobachewsky ´ ´mero π Contextualizando: Area, volumen en t´ erminos del nu

La siguiente tabla muestra algunos ejemplo de n´ umeros racionales y de n´ umeros irracionales umeros irracionales N´ umeros racionales N´ √ 3 2 4 64 0,23233233323333 . . . √74 √ 16 5 1,618 π √ 1+ 5 2,718 El valor exacto de la raz´ on a ´urea 2 e Un n´ umero importante en las matem´ aticas financieras Uno de los n´ umeros irracionales m´as u ´tiles es π, la raz´ on de la circunferencia al di´ ametro de un c´ırculo. Muchas f´ormulas de la geometr´ıa abarcan π, como las f´ ormulas para el ´ area de un 4 2 3 nos los matem´aticos c´ırculo (A = πr ) y el volumen de una esfera (V = 3 πr ). Durante 4000 a˜ han encontrado cada vez mejores aproximaciones para π. Los antiguos egipcios se serv´ıan de un m´etodo para determinar el ´area de un c´ırculo que es equivalente a un valor de 3.1605 para π. Los babilonios empleaban n´ umeros que dan 3 1/8 para π. En la biblia (1 Reyes 7:23) hay un verso que describe un estanque circular en el templo del rey Salom´ on, alrededor del a˜ no 1000 a. C. El estanque se dice que ten´ıa 10 codos del uno al otro lado, y que “ce˜ n´ıalo en derredor de 30 codos”. Esto implic un valor de 3 para π.

3.3.1.

Valor absoluto

Definici´ on 3.14. Dado a ∈ R, el valor absoluto negativo:     a, |a| = 0,    −a,

de a denotado por |a|; es el n´ umero real no si a > 0 si a = 0 si a < 0

Observaci´ on 3.4. De la definici´on se deduce que: 181


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(i) Si a ≥ 0 entonces |a| = a Si a < 0 entonces |a| = −a Por lo tanto ∀ a ∈ R, |a| ≥ 0 (ii) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ −a = b) ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b) Observaci´ on 3.5. Geom´etricamente |a| representa la distancia del punto P , de coordenada a > 0 al origen O, o la distancia del punto Q de coordenada a < 0, al origen O: Si a > 0: 0

|a|

a

O

P

Si a < 0: a

|a|

0

Q

O

Definici´ on 3.15. La distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas son a y b respectivamente se define por: d(P, Q) = |a − b|. Teorema 3.27 (Propiedades del valor absoluto). (a) |a| ≥ 0 ∀ a ∈ R

(f ) −|a| ≤ a ≤ |a|

(b) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)

(g) |a| ≤ k ⇔ k ≥ 0 ∧ (−k ≤ a ≤ k)

(c) |a| = | − a|

(h) |a| ≥ k ≥ 0 ⇔ a ≥ k ∨ −a ≥ k

(d) |ab| = |a||b|

a |a|

(e) = , b 6= 0 b |b|

(i) |a + b| ≤ |a| + |b| (j)

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a2 = |a|


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Problemas resueltos Problema 3.1. Rescate de un Bono La mesa directiva de cierta compa˜ n´ıa acuerda amortizar algunos de sus bonos en 2 a˜ nos. En ese tiempo se requerir´an $1,102,500. Suponga que en este momento reservan $1,000,000. ¿A que tasa de inter´es anual, compuesto anualmente, se debe tener invertido este dinero a fin de que su valor futuro sea suficiente para rescatar los bonos? Soluci´ on. Sea r la tasa anual necesaria. Al final del primer a˜ no, la cantidad acumulada ser´a $1,000,000 m´as el inter´es 1, 000, 000r, para un total de 1, 000, 000 + 1, 000, 000r = 1, 000, 000(1 + r) Bajo inter´es compuesto, al final del segundo a˜ no la cantidad acumulada ser´a de 1, 000, 000(1 + r) m´as el inter´es de esto, que es [1, 000, 000(1 + r)]r. As´ı, el valor total al final del segundo a˜ no ser´a 1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r Esto debe ser igual a $1,102,500: 1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r = 1, 102, 500.

(3.1)

Ya que 1, 000, 000(1+r) es un factor com´ un de ambos t´erminos del miembro izquierdo, tenemos 1, 000, 000(1 + r)(1 + r) = 1, 102, 500 1, 000, 000(1 + r)2 = 1, 102, 500 1, 102, 500 11, 025 441 (1 + r)2 = = = 1, 000, 000 10, 000 400 r 441 21 = 1+r = ± 400 20 21 r = −1 ± 20 Por tanto r = −1 + (21/20) =0.05 o r = −1 − (21/20) = −2.05. Aunque 0.05 y -2.05 son ra´ıces de la ecuaci´on (3.1), rechazamos -2.05 ya que necesitamos que r sea positiva. Entonces r =0.05, de modo que la tasa buscada es 5 por ciento. En ocasiones puede haber m´as de una manera de modelar un problema que est´a dado en palabras, como lo muestra el ejemplo 7. Problema 3.2. Se construir´a una plataforma de observaci´on que dominar´a un valle. Ve´ase la figura 3.2(a). Sus dimensiones ser´an de 6m por 12m. Un cobertizo rectangular de 40m2 de ´area estar´a en el centro de la plataforma y la parte no cubierta ser´a un pasillo de anchura uniforme. ¿Cu´al debe ser el ancho de ese pasillo? 183


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w w

w 12−2w

6−2w

6

12 (b)

(a)

Figura 3.2: Pasillo de la plataforma Soluci´ on. Un diagrama de la plataforma se muestra en la figura 3.2(b). Sea w =ancho (en metros) del pasillo. Entonces, si la parte destinada al cobertizo tiene dimensiones de 12 − 2w por 6 − 2w, y como su ´area debe ser de 40m2 , en donde ´area=(largo)(ancho), tenemos (12 − 2w)(6 − 2w) = 40 72 − 36w + 4w 2 = 40 4w 2 − 36w + 32 = 0 w 2 − 9w + 8 = 0

(w − 8)(w − 1) = 0

w = 8,1

Aunque 8 es una soluci´on de la ecuaci´on, no es una soluci´on para nuestro problema, ya que una de las dimensiones de la plataforma es de s´olo 6m. As´ı la u ´ nica soluci´on posible es que el pasillo mida 1m de ancho. Problema 3.3. La iluminaci´on de una fuente de luz espec´ıfica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ella. (a) Exprese el n´ umero de luxes (lx) de la iluminaci´on como una funci´on del n´ umero de metros a la distancia de la fuente de luz, si la iluminaci´on es 225lx a una distancia de 5m de la fuente. (b) Encuentre la iluminaci´on en un punto a 15m de la fuente. Soluci´ on. (a) Sea f (x) luxes la iluminaci´on de la fuente de luz a xm de ella, entonces: f (x) = xk2 Debido a que la iluminaci´on es 225lx a una distancia de 5m de la fuente, si se sustituye x por 5 y f (x) por 225 se obtiene: k 52 K = 5625

225 =

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De donde al sustituir este valor de k se tiene: f (x) =

5625 x2

(b) A partir de la expresi´on anterior para f (x), se obtiene: 5625 152 f (15) = 25 f (15) =

Conclusi´ on: La iluminaci´on en un punto a 15m de la fuente es 25lx. Problema 3.4. Si x representa la temperatura de un objeto en grados Celsius, entonces la temperatura en grados Fahrenheit es una funci´on de x, dada por: (a) El agua se congela a 0o C (C = Celsius) y hierve a 100oC. ¿Cu´ales son las temperaturas correspondientes en grados Fahrenheit?. (b) El aluminio se funde a 660o C ¿Cu´al es su punto de fusi´on en grados Fahrenheit? Soluci´ on.

(a) 9 (0) + 32 = 32 El agua se congela a 32o F. 5 9 f (100) = (100) + 32 = 180 + 32 = 212 El agua hierve a 1212oF. 5 f (0) =

(b) f (660) =

9 (660) + 32 = 1188 + 32 = 1220 5

El aluminio se funde a 1220o F.

Problema 3.5. Suponga que cierto cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional a su tama˜ no. En el tiempo t = 0, hay aproximadamente 20000 bacterias presentes. En 5 horas hay 400000 bacterias. Determine una funci´on que exprese el tama˜ no del cultivo como funci´on del tiempo, medido en horas. Soluci´ on. Sea P (t) el n´ umero de bacterias presentes en el tiempo t. Por hip´otesis P (t) satisface una ecuaci´on diferencial de la forma y ′ = ky, por lo que P (t) es de la forma: P (t) = P 0ekt donde habr´a que determinar las constantes P0 y k. Los valores de P0 y k se pueden obtener a partir de los datos que proporcionan el tama˜ no de la poblaci´on en dos tiempos diferentes: P (0) = 20000

(3.1)

P (5) = 400000

(3.2)

La primera condici´on implica que P0 = 20000 por lo que: P (t) = 20000ekt

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Utilizando la segunda condici´on, se tiene: 20000ek∗5 = P (5) = 400000 e5k = 20 k=

ln20 ≈ 0,60 5

Por lo tanto se puede tomar: P (t) = 20000e0,6t Problema 3.6. (Decisiones sobre Fijaci´ on de Precios) La demanda mensual x de cierto art´ıculo al precio de p d´olares por unidad est´a dada por la relaci´on: x = 1350 − 45p El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qu´e precio por unidad p deber´a fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad m´axima mensual? Soluci´ on. El costo total C (en d´olares) de producir x unidades al mes es: C = Costos variables + Costos fijos C = 5x + 2000 La demanda x est´a dada por: x = 1350 − 45p Sustituyendo este valor de x en C, resulta que: C = 5(1350 − 45p) + 2000

C = 8750 − 225p

El ingreso R (en d´olares) obtenido por vender x utilidades a p d´olares por unidad es: R = Precio por unidad ∗ N´ umero de unidades vendidas R = px = p(1350 − 45p)

R = 1350p − 45p2

La utilidad P (en d´olares) est´a dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo: P = R−C

P = 45p2 + 1350p − (8750 − 225p) P = 45p2 + 1575p − 8750 186


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La utilidad P es una funci´on cuadr´atica de p. Puesto que a = −45 < 0, la gr´afica es una par´abola que se abre hacia abajo y la utilidad m´axima se alcanza en el v´ertice. En este caso tenemos que: a = −45, b = 1575 y c = −8750 El v´ertice de la par´abola est´a dado por: 1575 1575 b =− = 2a 2(−45) 90 p = 17,5 p = −

En consecuencia un precio de p = $17,5 por unidad debe fijarse al consumidor con el prop´osito de obtener una m´axima utilidad. La utilidad m´axima est´a dada por: p = −45(17,5)2 + 1575(17,5) − 8750

p = 5031,25 o $5031,25 al mes.

Problema 3.7. (Decisiones sobre Fijaci´ on de Rentas) El se˜ nor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. El puede rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitaci´on. A una renta m´as alta, algunas habitaciones quedar´an vac´ıas. En promedio, por cada incremento de la renta de $5, una habitaci´on quedar´a vac´ıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine la relaci´on funcional entre el ingreso mensual total y el n´ umero de habitaciones vac´ıas. ¿Qu´e renta mensual maximizar´ıa el ingreso total? ¿Cu´al es este ingreso m´aximo? Soluci´ on. Sea x el n´ umero de unidades vac´ıas. El n´ umero de de departamentos rentados es entonces: (60 − x) y la renta mensual por habitaci´on es (200 + 5x) d´olares. Si R denota el ingreso mensual total (en d´olares), se sigue que: R = (Renta por unidad) ∗ (N´ umero de unidades rentadas) R = (200 + 5x) ∗ (60 − x)

R = 5x2 + 100x + 12000

El ingreso mensual total R es una funci´on cuadr´atica de x con: a = 5,

b = 100 y

c = 12000

La gr´afica de R es una par´abola que se abre hacia abajo(dado que a < 0) y su v´ertice es el punto m´aximo. El v´ertice est´a dado por: b 100 =− 2a 2(−5) x = 10

x = −

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R = −5(10)2 + 100(10) + 12000

R = 12500

En consecuencia, si 10 unidades est´an desocupadas, los ingresos son m´aximos. La renta por habitaci´on es entonces de (200 + 5x) d´olares ´o $250 y el ingreso total es de $12500 al mes. Problema 3.8. Un pomar produce una ganancia de $40 por ´arbol cuando tiene 1000 ´arboles plantados. Debido a la sobreproducci´on la ganancia por ´arbol (por cada ´arbol en el pomar) se reduce en dos centavos por cada ´arbol adicional que se plante. ¿Cu´antos ´arboles se deben plantar de manera que se tenga la ganancia total m´axima del pomar? Soluci´ on. Sea: T = la ganancia total Como se pide el “n´ umero de ´arboles” ´optimo. Sea: x = el n´ umero de ´arboles que deben plantarse La otra cantidad que var´ıa es la ”ganancia por ´arbol”. Sea: g = la ganancia por ´arbol El objetivo es maximizar la ganancia total, entonces: [ganancia total] = [ganancia por ´arbol] − [n´ umero de ´arboles] T =g∗x Entonces: [ganancia por ´arbol] = [ganancia original por ´arbol] − [p´erdida por ´arbol en la ganancia debido al incremento] g = 40 − (x − 1000)(0,02) g = 60 − 0,02x

La p´erdida en la ganancia (por ´arbol) debido al incremento en el n´ umero de ´arboles se obtuvo multiplicando (x − 1000), el n´ umero de ´arboles excedentes de 1000, por la cantidad de dinero perdido (por ´arbol) por cada ´arbol excedente. De ah´ı: g = p ∗ x = (60 − 0,02x)x

g = 60x − 0,02x2

Se observa que la ganancia es m´axima cuando x = 1500. Por lo tanto, se deben plantar 1500 ´arboles. 188


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Problema 3.9. Para una compa˜ n´ıa que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar la producci´on) son de $60, 000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿cu´antos deben venderse para que la compa˜ n´ıa obtenga utilidades? Soluci´ on. Recuerde que ganancia = ingreso total − costo total debemos encontrar el ingreso total y el costo total y despu´es determinar cu´ando su diferencia es positiva. Sea q el n´ umero de termostatos que deben ser vendidos. Entonces su costo es 5q. Por tanto, el costo total para la compa˜ n´ıa es 5q + 60, 000. El ingreso total de q termostatos ser´a 7q. Ahora, utilidad = ingreso total − costo total y queremos una utilidad> 0. As´ı, ingreso total − costo total > 0 7q − (5q + 60, 000) > 0

2q > 60, 000 q > 30, 000

Por tanto, se deben vender al menos 30, 001 termostatos para que la compa˜ n´ıa obtenga utilidades. Problema 3.10. Distancia, rapidez y tiempo La distancia de una ruta en barco entre San Francisco y Honolul´ u es 2100 millas n´auticas. Si un barco sale de san francisco al mismo tiempo que otro sale de Honolul´ u, y si el primero viaja a 15 nudos y el tro a 20¿Cuanto tiempo les tomar´a a los barcos encontrarse?¿A que distancia de Honolul´ u y de San Francisco estar´an de ese tiempo? Soluci´ on. Sea T = n´ umero de horas que pasar´ıan antes de que se encuentran. Dibuje un diagrama y marque las partes conocidas e inc´ognitas. Ambos barcos tendr´an que viajar la misma cantidad de tiempo para encontrarse      Distancia que recorre Distancia que recorre Distancia total  el barco 1 desde   el barco 2 desde        u hasta +  = desde Honolul´   Honolul´ u hasta el  San Francisco hasta el San Francisco punto de encuentro punto de encuentro D1 + D2 = 2100 

20T + 15T = 2100 35T = 2100 T = 60 189


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Por lo tanto, pasar´an 60 horas o 2,5 dias para que se encuentren Problema 3.11. Distancia, rapidez y tiempo Un bote para excursiones tarda 1,5 veces mas en recorrer 360 millas en el viaje de ida que en el de regreso. SI el bote viaja a 15 millas por hora en aguas tranquilas ¿cual es la rapidez de la corriente? Soluci´ on. Sea: x = rapidez de la corriente (en millas por hora) 15 − x = rapidez del bote en contra de la corriente 15 + x = rapidez del bote a favor de la corriente

Tiempo en contra de la corriente = (1,5) (Tiempo a favor de la corriente) Distancia recorrida en contra de la corriente

= (1,5)

Distancia recorrida a favor de la corriente

Recuerde T =

Rapidez en contra Rapidez a favor de la corriente de la corriente 360 360 = (1,5) 15 − x 15 + x 360 540 = 15 − x 15 + x Multiplique ambos lados por 360(15 + x) = 540(15 − x) (15 − x)(15 + x) 5400 + 360x = 8100 − 540x

D R

900 = 2700 x = 3

Por lo tanto, la rapidez de la corriente es de 3 millas por hora. Se deja la comprobaci´on al lector Problema 3.12. Distancia, rapidez y tiempo Una compa˜ n´ıa de publicidad tiene una computadora vieja que para reparar todo ele cerreo tarda 6 horas. Con la ayuda de de un nuevo modelo se termina el trabajo en 2 horas ¿Cuanto tiempo le tomar´a al nuevo modelo hacer solo el trabajo?

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Soluci´ on. Sea x = tiempo (en horas) que emplea el nuevo modelo en hacer solo el trabajo ! Parte del trabajo terminado = (Rapidez)(Tiempo) en un tiempo dado 1 Rapidez del viejo modelo = Trabajo por hora 6 1 Rapidez del nuevo modelo = Trabajo por hora x     Parte del trabajo Parte del trabajo     terminado por el modelo + terminado por el modelo = 1Trabajo Terminado viejo en 2 horas nuevo en 2 horas ! ! ! ! Rapidez del Tiempo del Rapidez del Tiempo del + = 1 Recuerde Q = RT modelo viejo modelo viejo modelo nuevo modelo nuevo 1 1 (2) + (2) = 1 x 6= 0 6 x Problema 3.13. Mezclas ¿Cuantos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se tendr´ıan que agregar a 5 litros de una soluci´on al 20 % para obtener una soluci´on al 30 %? Soluci´ on. Sea x = cantidad usada de soluci´on al 80 % x + 5 litros} = (x + 5) litros | litros {z | {z } Antes de mezclar

Despu´ es de mezclar

     Cantidad de Cantidad de Cantidad de        alcohol en la  +  alcohol en la  =  alcohol en la  primera soluci´on segunda soluci´on mezcla 0,8x + 0,2(5) = 0,3(x + 5)

Se agrega un litro de la soluci´on al 80 % Problema 3.14. Dieta Una persona quiere incluir en su dieta leche y jugo de naranja, para aumentar la cantidad de calcio y vitamina A. Una onza de leche contiene 38 miligramos de calcio y 56 microgramos de vitamina A. Una onza de jugo de naranja contiene 5 miligramos de calcio y 60 miligramos de vitamina A. ¿Cuantas onzas de leche y jugo de naranja deber´a tomar al d´ıa para obtener exactamente 550 miligramos de calcio y 1200 microgramos de vitamina A? Soluci´ on. Primero se definen las variables importantes: x = y =

N´ umero de onzas de leche N´ umero de onzas de jugo de naranja 191


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En seguida se resume en una tabla, la informaci´on con que se cuenta. Es conveniente organizar la informaci´on en las tablas de manera que las cantidades representadas por las variables se encuentren en las columnas (en vez de renglones), como se muestra.

Calcio Vitamina A

Leche 38 56

Juego de naranja Necesidades totales 5 550 60 1200

Ahora, se usa la informaci´on de la tabla para formar ecuaciones que implican a x y y. ! ! ! Calcio en x Calcio en y onzas Calcio total + = onzas de leche de juego de naranja necesario(mg) 38x + 5y = 550 ! ! ! Vitamina A en x Vitamina A en y onzas Vitaminas A total + = onzas de leche de jugo de naranja necesaria (µg) 56x + 60y = 1200 5y = 550 − 8x

resuelva la primera ecuaci´on para y

Problema 3.15. Velocidad del viento Un avion recorre las 2400 millas de Washington, D.C., a San Francisco en 7,5 horas y hace el viaje de regreso en 6 horas. Suponga que el avion viaja a una velocidad constante y que el viento fluye con una rapidez constante de oeste a este, encuentre la velocidad del avion y la rapidez del viento. Soluci´ on. Sea que x represente la velocidad del avion y que y representa la rapidez con la cual sopla el viento (ambas en millas por hora). La velocidad terrestre del avion se determina al combinar estas dos velocidades; es decir, x-y x+y

= velocidad de despegue volando de este a oeste (viento de frente) = velocidad de despegue volando de oeste a este (viento de cola)

Aplicando la conocida formula D = RT para cada parte del viaje se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 2400 = 7,5(x − y) 2400 = 6(x + y)

De Washington a San Francisco De San Francisco a Washington

Despu´es de simplificar, se tiene x − y = 320 x + y = 400

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Usando sustituciones para resolver: x = y + 320 Resuelva la primera ecuaci´on para x y + 320 + y = 400

Sustituya y en la segundo ecuaci´on

2y = 80 y = 40mph Sustituya en (1) x = 40 + 320 x = 360mph Velocidad del avion Problema 3.16. Distancia, rapidez y tiempo A una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje de ida y vuelta 36 millas aguas arriba. SI la rapidez de la corriente es de 4 millas por hora ¿cual es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas? Soluci´ on. Sea x x+4 x−4 Tiempo a corriente

!

= Rapidez de la lancha en aguas tranquilas = Rapidez con la corriente a favor = Rapidez a contracorriente ! Tiempo con la − = 1,6 corriente a favor 36 36 D − = 1,6 T = , x 6= 4, x 6= −4 x−4 x+4 R 36(x + 4) − 36(x − 4) = 1,6(x − 4)(x + 4)

36x + 144 − 36x + 144 = 1,6x2 − 25,6 1,6x2 = 313,6

x2 = 196 √ x = 196 = 14 La rapidez en aguas tranquilas es de 14 millas por hora Problema 3.17. Cantidad, rapidez y tiempo Una nomina se puede terminar en 4 horas en dos computadoras simult´aneamente ¿Cuantas horas ser´an necesarias para cada computadora termine sola si el modelo viejo se tarde 3 horas mas que el nuevo?.Calcule la respuesta con dos cifras decimales Soluci´ on. Sea x = x+4 = 4 =

Tiempo que tarda el nuevo modelo en terminar solo la nomina Tiempo que tarda en terminar la nomina solo el modelo viejo Tiempo en que terminan la nomina ambas computadoras trabajando juntas 193


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Entonces, 1 x 1 x+3

= =

Rapidez del modelo nuevo Rapidez del modelo viejo

   Parte del Parte del trabajo terminada trabajo terminada      +  = 1 trabajo completo  por el modelo   por el modelo  viejo en 4 horas 1 1 (4) − (4) = 1 x 6= 0, x 6= −3 x x+3 4 4 + = 1 x x+3 4(x + 3) + 4x = x(x + 3)

nuevo en 4 horas

x=

5+

√ 2

73

≈ 6,77

x2 − 5x − 12 = 0 √ 5± 2 x= 2 √ 5 − 73 ≈ −1,77 | 2 {z }

se descarta puesto que x no puede ser negativa

x + 3 = 9,77

El modelo nuevo terminar´a la nomina en 6,77 horas trabajando sola, y el modelo viejo la terminar´ıa en 9,77 horas

Actividades 1. Una l´ınea telef´onica debe tenderse entre dos torres situadas en orillas opuestas de un r´ıo en puntos A y B. El ancho del r´ıo es de 1 kil´ometro y B est´a situado a 2 kil´ometros r´ıo abajo de A. Tiene un costo de c d´olares por kil´ometro tender la l´ınea por tierra y 2c d´olares por kil´ometro bajo el agua. La l´ınea telef´onica deber´a seguir la orilla del r´ıo empezando en A una distancia x (en kil´ometros) y luego cruzar el r´ıo diagonalmente en l´ınea recta hacia B. Determine el costo total de la l´ınea como funci´on de x. Respuesta: El costo est´a dado por: √ y = cx + 2c x2 − 4x + 5 2. El se˜ nor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. El puede rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitaci´on. A una renta m´as alta, algunas habitaciones quedar´an vac´ıas. En promedio, por cada incremento de la renta de $5, una habitaci´on quedar´a vac´ıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine 194


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la relaci´on funcional entre el ingreso mensual total y el n´ umero de habitaciones vac´ıas. ¿Qu´e renta mensual maximizar´ıa el ingreso total? ¿Cu´al es este ingreso m´aximo? Respuesta: La renta por habitaci´on es entonces de (200 + 5x) d´olares ´o $250 y el ingreso total es de $12500 al mes. 3. Un trabajador com´ un de cierta f´abrica puede producir f (t) unidades por d´ıa despu´es de t d´ıas de haber ingresado al trabajo, donde: f (t) = 50(1 − e−0,34t ) ¿Cu´antas unidades por d´ıa puede producir el trabajador despu´es de 7 d´ıas de trabajo? Respuesta: El trabajador puede producir 45 unidades por d´ıa despu´es de 7 d´ıas de trabajo. 4. Suponga que a la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $8 por unidad y de $200 unidades si son a $51 cada una. Determinar la ecuaci´on de demanda, suponiendo que es lineal. 7 Respuesta: p = − 100 q + 65

5. El gerente de una tienda de departamentos quiere construir en el estacionamiento de la tienda, un anexo rectangular que tenga un ´area de 600 pies cuadrados para poder exhibir cierto equipo. Las paredes de tres lados del anexo se construir´an en madera que tiene un costo de $57 el pie lineal. La cuarta pared se construir´a con tabiques de block que tiene un costo de $14 el pie lineal. Encuentre las dimensiones del anexo de manera que minimicen el costo total de los materiales de construcci´on. Respuesta: costo m´ınimo de $840 es cuando x = 20. 6. La l´ınea de autobuses WMA ofrece paseos tur´ısticos para visitar lugares de inter´es en Washington DC. Uno de los paseos que cuesta $7 por persona, ha tenido una demanda promedio de 1000 usuarios a la semana. Cuando se redujo el precio a $6, la demanda semanal pas´o a ser alrededor de 1200 usuarios. Suponiendo que la ecuaci´on de demanda es lineal, encuentre el precio del paseo que maximiza el ingreso total semanal. Respuesta: el precio de $6 es el m´as adecuado para obtener mayores ingresos semanales. 7. Un fabricante de cajas de cart´on piensa producir cajas abiertas a partir de l´aminas de cart´on con dimensiones de 10 por 17 pulgadas, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados. Si x pulgadas es la longitud del lado del cuadrado que va a ser cortado, exprese el n´ umero de pulgadas c´ ubicas del volumen de la caja como una funci´on de x. Respuesta: V (x) = 4x3 − 54x2 + 170x 8. En 1984, los sovi´eticos fueron los primeros en el mundo que perforaron el pozo con mas profundidad en la corteza terrestre(con mas de 12 kil´ometros de profundidad). Al 195


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perforar descubrieron que despu´es de los 3 kil´ometros la temperatura aumentaba 2,5o C por cada 100 metros de profundidad que aumentaban. (A) Si la temperatura a los 3 kil´ometros es de 30o C y x es la profundidad del pozo en kil´ometros, plantee una ecuaci´on usando x de manera que indique la temperatura T en el pozo a mas de 3 kilometros de profundidad (B) ¿Cual ser´ıa la temperatura a 15 kil´ometros? (La temperatura limite de soportaba su equipo de perforaci´on era alrededor de 300o C) (C) ¿A que profundidad (en kil´ometros) encontrar´ıan una temperatura de 280o C? Respuesta: (A) T = 30 + 25(x − 3)

(B) 330o C

(C) 13km

9. Un temblor emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie terrestre la onda primaria viaja alrededor de 5 millas por segundo, y la onda secundaria alrededor de 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarda en llegar cada una de los dos ondas a una estaci´on sismica, es posible calcular la distancia al temblor. Suponga que una estaci´on mide una diferencia de tiempo de 12 segundos entre la llegada de las dos ondas. ¿A que distancia de la estaci´on esta el epicentro del temblor? (El epicentro se puede localizar al obtener la distancia del barrido en tres o mas estaciones) Respuesta: 90ml 10. Una naturista de un departamento de pesca calculo el n´ umero total de truchas en cierto lago mediante la popular t´ecnica de captura, marcaje y recaptura. En total pesc´o, marc´o y libero 200 trucha. Una semana despu´es durante la cual se pudieron mezclar volvi´o a pescar 200 truchas entre las que se encontr´o 8 marcadas. Suponiendo que el porcentaje de truchas marcadas con relaci´on al n´ umero total de la segunda muestra es el mismo que el de todos los peces marcados en a primera muestra es el mismo que el de todos los peces marcados en la primera muestra con relaci´on al total de la poblaci´on de truchas, estime el n´ umero total de peces en el lago. Respuesta: 5000 Truchas 11. En un experimento sobre motivaci´on, el profesor Brown entren´o a un grupo de ratas para que corrieran por un pasaje angosto en una jaula con el fin de recibir comida en una caja objetivo. En seguida, le puso a cada rata un arnes y lo conect´o a un alambre unido a un medidor. Despu´es coloc´o a las ratas a diferentes distancias de la comida y midi´o el jal´on (en gramos) de la rata hacia el alimento. Encontr´o que la relaci´on entre motivaci´on (jal´on) y la posici´on estaba dada aproximadamente por la ecuaci´on 1 p = d + 70 5

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30 ≤ d ≤ 70


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donde el jal´on p se midi´o en gramos y la distancia d en cent´ımetros. Cuando el jal´on registrado fue de 40 gramos, ¿a que distancia de la caja objetivo llego la rata? Respuesta: 150 cm 12. A una compa˜ n´ıa de grabaci´on peque˜ na cuesta $17680 producir un ´album. Este es un costo fijo que incluye la grabaci´on, el dise˜ no del album, etcetera. Los costos variables, incluyendo la producci´on, comercializaci´on y regal´ıas son de $4,60 por album. Si el album se vende en las tiendas de discos s $8 cada uno. ¿Cuantos debe vender la compa˜ n´ıa para llegar al punto de equilibrio? Respuesta: 5200 discos 13. Un proveedor de la industria electr´onica fabrica los teclados y pantallas para calculadoras gr´aficas en plantas de M´exico y Taiwan. En la tabla se indican las cantidades producidas por hora en cada planta ¿Cuantas horas debe operar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 4000 teclados y pantallas? Planta Teclados Mexico 40 Taiwan 20

Pantallas 32 32

Respuesta: Planta en Mexico: 75 h; Planta en Taiwan: 50 h 14. Un experimento consiste en dar una dieta estricta a algunos animales. Cada animal va a recibir, entre otro alimentos, 20 gramos de prote´ına y 6 gramos de grasa. El laboratorista puede comprar dos mezclas de alimentos que tiene la siguiente composici´on: La mezcla A tiene 10 % de prote´ına y 6 % de grasa., la mezcla B tiene 20 % de prote´ına y 2 % de grasa. ¿Cuantos gramos de cada mezcla se deben usar para obtener la dieta adecuada para un solo animal? Respuesta: Mezcla A = 80gr; mezcla B = 60gr 15. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio alto y cae verticalmente con aceleraci´on constante. Si s es la distcnaia sobre el suelo (en pies), ala que est´a el objeto t segundos despu´es de que se solt´o, entonces s y t est´an relacionado por una ecuaci´on de la forma s = a + bt2 donde a y b son constante. Suponga que el objeto est´a a 180 pies sobre el suelo un segundo despues de que se suelta y a 132 pies del suelo 2 segundos despu´es: (A) Encuentre las constantes a y b (B) ¿Que altura tiene el edificio? 197


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(C) ¿Cuanto tiempo cae el objeto? Respuesta: (A)a = 196 b = −96, (B)196 pies (C) 3,5 seg. 16. La compa˜ n´ıa electr´onica del problema 79 encuentre que si aumentan los precios de las partes aumentan los costos variables a $50,5 por calculadora (A) Analice las posibles estrategias que la compa˜ n´ıa podr´ıa usar para tratar de solucionar este aumento de costos (B) Si la compa˜ n´ıa continua vendiendo la calculadora a $63 ¿cuantas tiene que vender hora para obtener utilidades? (C) Si la compa˜ n´ıa quiere comenzar obteniendo utilidades con el mismo nivel de producci´on que tenia antes del aumento de costos ¿en cuanto tendr´ıa que incrementar el precio de venta al mayoreo? Respuesta: (B)x > 5200 (C) Aumento de precio al mayoreo de $3,50 a $66,50 seg. 17. Si en un casa, la demanda de potencia en un circuito el´ectrico de 110 volts varia entre 220 y 2750 watts, ¿Cual es el rango de corriente que fluye a trav´es del circuito? (W = EI, donde W = potencia de watts, E = voltaje den volts, I = corriente en amperios) Respuesta: 1 ≤ 1 ≤ 25 ´o [2, 25] 18. Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo y viajan en ´angulo recto uno con respecto del otro. Una hora despu´es est´an separados por 260 millas. Si uno viaja 140 millas por hora m´as r´apido que el otro, ¿cu´al es la rapidez de cada uno?. Respuesta: 100 millas por hora, 240 millas por hora. 19. Para un carro que viaja a una velocidad de v millas por hora, en las mejores circunstancias posibles, la distancia m´as corta d que necesita para detenerse (incluyendo el tiempo de reacci´on) est´a dada por la f´ormula emp´ırica d = 0,044v 2 + 1,1v, donde d se mide en pies. Calcule la velocidad de un carro que requiere de 165 pies de distancia para detenerse en una emergencia. Respuesta: 50 millas por hora. 20. Un arquitecto quiere construir un edificio rectangular en un terreno de forma triangular que tiene 200 pies de ancho y 400 pies de largo (v´ease la figura). Encuentre las dimensiones del edificio si la secci´on transversal de au ´area mide 15 000 pies cuadrados. [Sugerencia: Use el teorema de Euclides para encontrar una relaci´on entre el largo y el ancho del edificio] Respuesta: 50 pies de ancho, 4 300 pies de largo ´o 150 pies de ancho y 100 pies de largo. 198


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200 pies 15 000 pies cuadrados 400 pies

21. Un aserradero corta rect´angulos de un tronco (v´ease la figura). Si el di´ametro del tronco mide 16 pulgadas y el ´area de la secci´on transversal de la viga 120 pulgadas cuadradas, encuentre las dimensiones de la secci´on transversal de la viga correcta con una cifra decimal

Respuesta: 13.1 pulgadas por 9.1 pulgadas. 22. Una artesa para agua est´a construida una placa rectangular de metal de 4 por 6 pies, con los extremos doblados de tal forma que al unirse entre si exactamente enmedio del rect´angulo, forman un tri´angulo en cada lado (v´ease la figura). Si el volumen de la artesa es de 9 pies c´ ubicos, encuentre el ancho correcto con dos cifras decimales. 6 pies

2 pies

Respuesta: 1.65 pies ´o 3.65 pies.   .

2x â&#x2C6;&#x2019; 6

23. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R

< 4 y B = {x â&#x2C6;&#x2C6; R/|3x + 2| â&#x2030;¤ |2x â&#x2C6;&#x2019; 1| + |x + 3|}. xâ&#x2C6;&#x2019;1

Hallar: A â&#x2C6;Š B, Ac â&#x2C6;Š B, B â&#x2C6;Ş (B â&#x2C6;&#x2019; A)c   . |x2 â&#x2C6;&#x2019; 2| 24. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R 0 â&#x2030;¤ < x + 1 , encontrar Ac â&#x2C6;&#x2019; A 1â&#x2C6;&#x2019;x   . x|x â&#x2C6;&#x2019; 4| 25. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R > 0 , hallar Ac . 16 â&#x2C6;&#x2019; x2 199


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p 26. Si A = {x â&#x2C6;&#x2C6; Z/ 8 â&#x2C6;&#x2019; |x2 â&#x2C6;&#x2019; 1| ¡ (x2 â&#x2C6;&#x2019; x + 6) â&#x2030;Ľ 0}, dar por expansi´on el conjunto A.   . x |x| 27. Si A = x â&#x2C6;&#x2C6; R <0 â&#x2C6;¨ > 0 =â&#x2021;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;5, 0] â&#x2C6;Ş {5}, hallar â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? |x| â&#x2C6;&#x2019; a xâ&#x2C6;&#x2019;a

28. Sean las proposiciones siguientes:

A1 ) Sea x â&#x2C6;&#x2C6; R. Luego, |x â&#x2C6;&#x2019; a| â&#x2C6;&#x2C6; {a â&#x2C6;&#x2019; x}, si x â&#x2030;Ľ a, â&#x2C6;&#x20AC; a â&#x2C6;&#x2C6; R A2 ) Para cada n´ umero real x, |x + 1| > |x|

p A3 ) Si A = {m â&#x2C6;&#x2C6; Z/existe un n´ umero real x con la propiedad |x â&#x2C6;&#x2019; 1| > m, entonces: A = {m â&#x2C6;&#x2C6; Z/m â&#x2030;¤ 0} â&#x2C6;Ş {m â&#x2C6;&#x2C6; Z/existe un n´ umero real x con la propiedad p m â&#x2030;Ľ |1 â&#x2C6;&#x2019; x|

¿Cu´ales de las proposiciones anteriores son verdaderas o falsas y por qu´e?

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Federico Villareal Villareal Sabio Lambayecano Federico Villarreal naci´o el 31 de agosto de 1850 en T´ ucume, departamento de Lambayeque (Per´ u). A los 14 a˜ nos fue cajero en una empresa despepitadora de algod´on, pero no dej´o de lado sus estudios que lo llevar´ıan hacer profesor y as´ı fue: a los 20 a˜ nos obtuvo el t´ıtulo de preceptor otorgado por la comisi´on departamental de Instrucci´on p´ ublica de Trujillo el cual le permiti´o dirigir la escuela oficial de T´ ucume de 1870 a 1874 y entre 1875 y 1876 dirigi´o un colegio de instrucci´on media en la ciudad de Lambayeque, ense˜ n´o all´ı matem´aticas y ocup´o en ´el el cargo de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primaria en Lambayeque. La experiencia de Villarreal como maestro elemental se˜ nal´o s´olo una primera etapa. Su vocaci´on de matem´atico bull´ıa desbordando su ense˜ nanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba con tan s´olo 23 a˜ nos descubri´o un m´etodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Entre 1877 y 1880 estudi´o en la secci´on de ciencias matem´aticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) gradu´andose como bachiller en 1879 con la tesis: “F´ormulas y m´etodos que deben completarse en matem´aticas puras como licenciado con la tesis: .Efectos de la Refracci´on sobre el Disco de los Astros”(1880). En 1881 se gradu´o de doctor en ciencias matem´aticas mediante la tesis: “Clasificaci´on de Curvas de Tercer Grado”destacando por su originalidad y conclusiones lo cual le mereci´o a Villarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su ´epoca, quien a la vez, se constituye en el primer matem´atico profesional del siglo XX en el Per´ u. Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias de la UNMSM en 1880, donde dict´o su primer curso: Astronom´ıa; luego en esa misma casa de estudio se encarga de los cursos: Revisi´on de Matem´aticas, Mec´anica Racional, Geodesia y Teor´ıa General de Motores y M´aquinas. Por su gran prestigio y sus dotes profesionales e intelectuales, llegar´ıa a ser decano de la Facultad de Ciencias en dos oportunidades: de 1903 a 1917 y luego de 1919 a 1923. Sigui´o estudios en la Escuela nacional de Ingenieros desde 1882 hasta graduarse de ingeniero civil y de minas en 1886. En este centro docente ense˜ n´o los cursos de f´ısica, c´alculo infinitesimal, teor´ıa de caminos, puentes y ferrocarriles, Topograf´ıa y luego los cursos de Resistencia de Materiales e Hidr´aulica. Tambi´en fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890) en donde ense˜ n´o los cursos de: Cosmograf´ıa, Trigonometr´ıa Esf´erica, Construcci´on de Cartas Topogr´aficas y C´alculo de Probabilidades. Fund´o la Revista de Ciencias en 1897. F. Villarreal particip´o activamente formando parte del contingente sanmarquino en la Guerra con Chile espec´ıficamente en la Resistencia de Chorrillos y en la Batalla de Miraflores (enero 2

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de 1881) donde fue distinguido con el grado de subteniente- En 1893 se enrola en la Guardia Nacional y en 1884 fue nombrado primer jefe del batall´on “Defensores de la Patria”. Tambi´en incursion´o en la pol´ıtica. En1871 fue presidente de la Junta Directiva del Partido Civil en el distrito de Mochumi (Lambayeque). Posteriormente, en el a˜ no 1892 fue elegido senador suplente de su departamento. M´as tarde, es elegido nuevamente senador por Lambayeque, actuando en las legislaturas de 1913 y 1914 en donde alcanzan mucha significaci´on sus discursos sobre la ”Ley de Enfiteusis sobre la ”Ley Relativa a los Bancos Hipotecarios”. Fue uno de los iniciadores de la ley que estableci´o el examen de ingreso a la universidad. Villarreal tambi´en pose´ıa una notable cultura filos´ofica de manifiesta preferencia por la corrientes mecanicistas propias de aquella ´epoca y sostenidas entre otros por Wronski, corrientes que parec´ıan tener la posibilidad de lograr una s´ıntesis entre la filosof´ıa y la Mec´anica Celeste como sistema de descripci´on causalista del equilibrio universal cualesquiera que fuera le estructura y consistencia del Universo. Sobre el lado humano de Vilarreal, Basadre dice al respecto: “Villarreal no fue un sabio pac´ıfico e inofensivo. Muchas veces refut´o a presuntos expertos e inventores y polemiz´o con ellos implacablemente sin desde˜ nar su poca jerarqu´ıa intelectual. Tuvo tambi´en veleidades ling¨ u´ısticas. A pesar de su genio, Villarreal no tuvo brillo como profesor. En sus lecciones, su gran dificultad de expresi´on levant´o un muro ante sus alumnos, dando lugar, de un lado a mon´ologos acompa˜ nados por complicados c´alculos en la pizarra y, de otro a escenas c´omicas o grotescas. Hombre apasionado como decano en la Facultad de Ciencias de la UNMSM ejerci´o una verdadera dictadura. A pesar de humanas debilidades y de deficiencias ahondadas por la falta de una educaci´on adecuada o por las limitaciones del ambiente, Villarreal es todo un personaje en la historia del Per´ u”. El Dr. Federico Villarreal fallece en Barranco (Lima) el 3 de Junio de 1923.3 2

Trabajos del Dr. Villarreal Federico Villarreal dej´o un aproximado de 538 trabajos en diversos campos de la ciencia y tecnolog´ıa fundamentalmente en matem´aticas, ingenier´ıa, f´ısica, pedagog´ıa, geograf´ıa, historia y ling¨ u´ıstica. 1. En matem´aticas sus principales trabajos fueron: a) “Elevaci´on de polinomios a una potencia cualquiera”(1879) b) “Clasificaci´on de las curvas de tercer grado”(tesis doctoral de 1881) En este trabajo Villarreal logra obtener y clasificar matem´aticamente 80 curvas de tercer grado 3

En marzo del 2011 durante el segundo congreso del Colegio de Matem´aticos del Per´ u realizado en la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo se declar´o oficialmente el d´ıa del fallecimiento de Villareal como el “D´ıa del Matem´atico Peruano”

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c) “Aportes a la teor´ıa de los n´ umeros”(1897) La teor´ıa de los n´ umeros atrajo siempre la atenci´on de Villarreal tal es as´ı que le dedic´o numerosos art´ıculos. Entre ellos se destacan dos teoremas referentes a criterios de divisibilidad que el descubri´o: La diferencia de dos n´ umeros que son representados por las mismas cifras en dos sistemas de numeraci´on de bases diferentes es divisible por la diferencia de las bases Un n´ umero es divisible por un cierto divisor si lo es la suma de sus cifras cuando se le escribe en el sistema de numeraci´on cuya base es el divisor aumentado en la unidad; o bien si los es la suma de sus cifras de lugar par menos la suma de las de lugar impar cuando se le escribe en el sistema de numeraci´on cuya base es el divisor disminuido en al unidad d) “Geometr´ıa no Euclideana”(1898) Este trabajo fue presentado por Villarreal en el Primer Congreso Cient´ıfico Latinoamericano realizado en Buenos Aires (Argentina) en 1898. Aqu´ı describe los fundamentos de las geometr´ıas de Lobatschewsky y Riemann. e) “Poliedros Regulares y semiregulares”(1906-1907) Esta obra contiene una exposici´on hist´orica y el c´alculo de vol´ umenes de los poliedros regulares y semiregulares empleando los principios de la trigonometr´ıa esf´erica. f) “Integraci´on por Traspasos”(1920) Trabajo que apareci´o por primera vez como parte de su tesis de bachiller en 1879 en que vali´endose del m´etodo de integraci´on por partes obtiene una f´ormula que generaliza la llamada f´ormula de integraci´on de Bernouilli. g) “Resoluci´on general de las ecuaciones de quinto grado” Estudio cr´ıtico de un m´etodo propuesto por Wronski en 1827 para la resoluci´on de las ecuaciones de quinto grado , traducido, analizado y corregido por Villarreal. ´ llega a la conclusi´on que Wronski hace en este trabajo el empleo de una funci´on Este que llama ”funci´on Shin”que corresponde a los actuales determinantes, explica los errores de Wronski y concluye con la imposibilidad de la soluci´on algebraica de las citadas ecuaciones 2. En Ingenier´ıa: a) “Tratado de resistencia de Materiales”(1911) En este importante trabajo de Villarreal est´an insertos dos trabajos originales: “C´alculos de los momentos de flexi´on en una viga empotrada en sus dos extremos” 203


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En este trabajo Villarreal analiza los problemas de las vigas empotradas ya sea en ambos lados o empotradas en un extremo y libre en el otro descubriendo los llamados ”momentos de empotramiento”que hasta esa ´epoca no se hab´ıa podido calcular. “Deformaci´on de las vigas que trabajan a la flexi´on” Aqu´ı el problema de la flexi´on de una viga Villarreal lo reduce a una ecuaci´on diferencial de cuarto grado y sus integrales sucesivas dan: la primera, el esfuerzo cortante; la segunda, los momentos de flexi´on; la tercera, la deflexi´on de una viga; y la cuarta y u ´ ltima, la ecuaci´on del eje deformado. b) ”Teor´ıa de M´aquinas y Motores”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) En la que hace una exposici´on sistem´atica y rigurosa de todas las condiciones referentes al equilibrio de las m´aquinas. 3. En F´ısica: a) “Principio de la Relatividad”(1909) Raro trabajo de Villarreal en la que logra interpretar el principio de relatividad restringida formulado por Einstein en 1905 y expone un desarrollo met´odico de las modificaciones que debido a este principio experimentan las leyes cl´asicas de la mec´anica. Es de advertir que en aquella ´epoca no fue tarea f´acil la interpretaci´on inmediata del principio de la relatividad para muchos hombres de ciencia, debido en gran parte a que la mentalidad cl´asica se mostr´o herm´etica ante la consideraci´on de las condiciones epistemol´ogicas en le t´ecnica de la observaci´on de los fen´omenos. b) “Descarga Oscilante en un Condensador”(1916) Interesante trabajo de electrodin´amica en el que resuelve el problema te´orico de la descarga Disruptiva obteniendo la f´ormula de Thompson para el periodo de las oscilaciones. c) “Din´amica Anal´ıtica”(1917) En esta obra est´a incluida el importante trabajo sobre “Choques de un n´ umero cualquiera de Cuerpos”. d) “Trabajo mec´anico del Hombre”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) En ´el se refiere a cuestiones realmente curiosas y algunas de ellas muy u ´ tiles , tales como: el equilibrio del hombre, la marcha de un hombre con carga, la fatiga m´ınima del cargador, la condici´on para que se haga el m´aximo camino antes del cansancio, etc todo en base a datos experimentales y resultados matem´aticos. 4. En Pedagog´ıa: a) “Memorias Pedag´ogicas”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) 204


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b) “Recreaciones matem´aticas”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) 5. En Geograf´ıa: a) M´etodo para determinar la latitud y longitud de los lugares del Per´ u”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) Este trabajo lo inicia con una introducci´on sobre la metodolog´ıa a seguir para la medici´on De coordenadas geogr´aficas de un lugar y expone a continuaci´on una t´ecnica simple para la determinaci´on de meridianos, la hora solar, las latitudes y longitudes geogr´aficas. Contiene una tabla de latitudes y longitudes de 700 lugares del Per´ u. b) “Trazo del meridiano por la Cruz del Sur”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) c) “Coordenadas geogr´aficas del Departamento de Lambayeque y Cuzco”(1905) d) “Extensi´on Superficial del Per´ u”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) 6. En historia: a) “Historia de las matem´aticas en el Per´ u”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) Este trabajo comprende una introducci´on y estudios sobre la numeraci´on, la geometr´ıa, la mec´anica, la astronom´ıa y la hidr´aulica en el Imperio de los Incas ; sigue con un estudio sobre la ense˜ nanza acad´emica de las matem´aticas en el virreinato y finalmente se ocupa de las matem´aticas en la Rep´ ublica. b) “Los cometas en los tiempos de Huayna Capac”(1894) Utilizando como fuente principal al cronista Inca Garcilazo de la Vega, Villarreal realiza una confrontaci´on entre las observaciones realizadas por la ciencia occidental desde la aparici´on de los primeros instrumentos de observaci´on y los datos proporcionados por Garcilazo, llegando a identificar los cometas descritos en las cr´onicas de la conquista c) “El Archivo de Raymondi”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) d) “Or´ıgenes del Sistema m´etrico”(No se conoce a˜ no de publicaci´on) 7. En ling¨ u´ıstica: a) “Manual y Diccionario de Esperanto”(1900) Idioma nuevo y universal, el esperanto al que Villarreal le prodig´o lastimosamente tiempo, dinero y energ´ıa, y a dirigir y redactar como colaborador u ´ nico la revista ”¡Antuanen esperantistoj!”(Adelante Esperantistas) que fundara en 1903. b) “La Lengua Yunga”(1921) Villarreal public´o una gram´atica y un vocabulario de la lengua mochica o Yunga. Esta lengua se hablaba en los departamentos de la costa norte del Per´ u En la actualidad esta lengua esta completamente extinguida. 205


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Problemas de Villarreal Formulado por Villarreal en 1906 y denominado por ´el como: .El Problema del Ni˜ no dice ¨ as´ı: Un m´ovil se desplaza en l´ınea recta con una velocidad constante y otro m´ovil se mueve tambi´en a velocidad constante, de modo que la tangente a su trayectoria pasa constantemente por el primer m´ovil. Hallar la ecuaci´on de la curva descrita por el segundo m´ovil”. En una nota de 1908 Villarreal plantea y resuelve los dos problemas siguientes: 2

1. “Hallar dos n´ umeros terminados en la misma cifra y tales que las dos u ´ ltimas cifras de su producto constituyan el cuadrado de la cifra en que terminan los dos n´ umeros dados”. 2. “Hallar tres n´ umeros terminados en la misma cifra cuyo producto termina en tres cifras que constituyan el cubo de la cifra en que terminan los n´ umeros dados”. ¿Puede Ud. resolverlos?. Una an´ ecdota en la vida del Dr. Villarreal Esta es una de las muchas an´ecdotas de Villarreal que a continuaci´on les relato: “En la Maison de Sant´e (que es un hospital) falleci´o en diciembre de 1909, a la edad de 86 a˜ nos, Jos´e Sebastian Barranca, antiguo catedr´atico de Bot´anica en la Facultad de Ciencias de la UNMSM, fil´ologo naturalista, Sebastian Barranca vivi´o para sus estudios e investigaci´on. Su sepelio fue modest´ısimo. El estado y la universidad estuvieron en ´el ausentes. Los colegas que acudieron no pasaron de media docena. No estuvo representada la juventud estudiantil. El mayor porcentaje de oyentes que tuvo Villarreal cuando pronunci´o su discurso f´ unebre fue el de unos 40 negritos de humilde condici´on que ni conoc´ıan al muerto pues ellos hab´ıan asistido a otro entierro. Seg´ un se dijo,la Beneficencia neg´o un nicho perpetuo al sabio Barranca por no haber pagado el precio respectivo” Se imaginan al ilustre Dr. F Villarreal pronunciando un discurso f´ unebre a personas que en su mayor´ıa eran negritos y donde casi ning´ un catedr´atico y alumno asistieron y para colmo los negritos eran de otro entierro.¡¡¡¡¡!!!!!!!. Y surge una pregunta en mi mente: ¿porqu´e no asistieron? acaso pocos fueron avisados de la muerte del sabio? o quiz´a fue un p´esimo profesor y nadie quiso asistir a su sepelio?........ahhhh cosas de la Vida. Comentario acerca de la vida del Dr. Villarreal Villarreal fue un personaje multifac´etico y din´amico le entr´o a casi todo desde modesto profesor de primaria y secundaria, a profesor universitario, matem´atico, ingeniero, soldado, pol´ıtico y hasta ling¨ uista, ¡que tipo! muy pocas veces se encuentra en la historia de un pa´ıs latino 206


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un personaje como ´este. Es notable que encontr´andose lejos de la influencia de los grandes matem´aticos de la ´epoca, Villarreal haya podido arribar a importantes estudios y descubrimientos como los que efectu´o, lo que resalta su talento. Su dominio en el campo de la ciencia es bastante amplio pues ense˜ n´o varios cursos, algunos sin relaci´on directa como: astronom´ıa, mec´anica racional, hidr´aulica, teor´ıa de probabilidades, topograf´ıa, c´alculo infinitesimal, f´ısica, etc.. Siendo un sencillo profesor de secundaria, con s´olo 23 a˜ nos y sin haber estudiado en una universidad, Villarreal descubre el m´etodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera, asombroso verdad?. Sin embargo lo mas interesante de su vida cient´ıfica es el hecho de que efectu´o contribuciones originales al desarrollo de las matem´aticas e ingenier´ıa,algo pocas veces visto en los matem´aticos de habla espa˜ nola. Es por todas estas razones que a Villarreal se le puede decir con toda justicia: “El Newton del Per´ u”

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3.4.

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Sesi´ on 14: Proporcionalidad. Inter´ es simple. Inter´ es compuesto. Modelos financieros En la mayor parte de las ciencias una generaci´on derriba lo que otra hab´ıa construido, y lo que uno parec´ıa haber demostrado firmemente otro lo deshace. Solo en la matemati ca cada generaci´on construye un nuevo piso sobre la vieja estructura. Hermann Hankel ´ticas del consumidor Contextualizando: Matema

Es f´acil posponer la cuestion de labor para los a˜ nos en que nos retiremos. El retiro puede parecer distante y con frecuencia hay muchas razones para no iniciar un plan de ahorro para ese entonces. ¿Retrazar el comienzo de un fondo de retiro tiene un marcado efecto en la cantidad de dinero que un individuo posee a los 65 a˜ nos de edad? Considere dos planes de jubilaci´on. En el plan A, una persona empieza ahorrar a los 20 a˜ nos y deposita 2000 d´ olares en un fondo de retiro cada a˜ no, desde los 21 a˜ nos de edad a los 30. despu´es de esta edad, no hace m´as contribuciones. En el plan B, la persona espera hasta los 30 a˜ nos de edad para empezar ahorrar y entonces deposita 2000 d´ olares en el fondo de retiro en cada cumplea˜ nos entre los 31 y los 65 a˜ nos de edad. Si el fondo de retiro paga 12 % de inter´es, ¿qu´e plan implicara una mayor cantidad de dinero acumulada?. La tabla indica la cantidad de dinero (en d´olares) en el fondo para cada plan a las distintas edades Edad 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Plan A 0 12,706 35,097 61,864 109,007 192,108 338,560 596,659 1,051,517 1,853,133

Plan B 0 0 0 12,706 35,097 74,559 144,105 1266,668 482,665 863,327

El plan A tiene como consecuencia la acumulaci´ on de $1,853,133, mientras que el plan B produce $863,327. Las primeras contribuciones pueden significar una diferencia sustancial. En esta unidad, aprenderemos acerca del inter´es compuesto. El inter´es compuesto, a lo largo del tiempo, es la raz´on del crecimiento de una cantidad relativamente peque˜ na a m´as de 1 millon de d´olares. 208


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3.4.1.

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Inter´ es simple

Una aplicaci´on natural de las funciones lineales al mundo de las finanzas aparece en el c´alculo del inter´es simple, que es el inter´es calculado sobre el capital. As´ı, si I denota el inter´es sobre un capital P (en d´olares) con una tasa de inter´es de r por a˜ no durante t a˜ nos, entonces se tiene I = P rt (3.3) La cantidad acumulada A, la suma del capital y el inter´es despu´es de t a˜ nos, est´a dada por A = P + I = P + P rt = P (1 + rt)

(3.4)

y es una funci´on lineal de t. Por lo general, en las aplicaciones de administraci´on, s´olo interesa en caso en que t es positivo, de modo que s´olo importa la parte de la recta que est´a en el primer cuadrante. Ejemplo 3.4. Un banco paga un inter´es simple a raz´on de 8 % anual para ciertos dep´ositos. Si un cliente deposita $1000 y no realiza retiros durante tres a˜ nos, ¿cu´al es la cantidad depositada al final de tres a˜ nos?, ¿cu´antos intereses se generarron en ese per´ıodo? Soluci´ on. Al utilizar (3.4) con P = 1000, r = 0,08 y t = 3, la cantidad total depositada al final de tres a˜ nos est´a dada por A = P (1 + rt) = 1000[1 + (0,08)(3)] = 1240 El inter´es generado durante el per´ıodo de tres a˜ nos est´a dado por I = P rt = 1000(0,08)(3) = 240 Ejemplo 3.5. Se invierte una cantidad de $2000 en un fideicomiso a 10 a˜ nos que paga 6 % de inter´es simple anual. ¿Cu´al es la cantidad total en el fideicomiso al final de los diez a˜ nos? Soluci´ on. La cantidad total en el dideicomiso al final de diez a˜ nos est´a dada por A = P (1 + rt) = 2000[1 + (0,06)(10)] = 3200 o $3200.

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3.4.2.

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Inter´ es compuesto

En contraste con el inter´es simple, el inter´es generado que se suma en forma peri´odica al capital y que por lo mismo gana intereses con la misma tasa, se llama inter´ es compuesto. A fin de determinar una f´ormula para la cantidad acumulada, consideraremos un ejemplo num´erico. Sup´ongase que se depositan $1000 (el capital) en un banco durante tres a˜ nos, que genera un inter´es de 8 % por a˜ no (llamada tasa nominal o establecida) compuesto anualmente. Entonces, al utilizar (3.3) con P = 1000, r = 0,08 y t = 1, la cantidad acumulada al final del primer a˜ no es A1 = P (1 + rt) = 1000[1 + 0,08(1)] = 1000(1,08) = 1080 o $1080. Para hallar la cantidad acumulada A2 al final del segundo a˜ no, se vuelve a usar (3.4), esta vez con P = A1 , (Recu´erdese que ahora el capital y el inter´es generan intereses en el segundo a˜ no.) Se obtiene A2 = P (1 + rt) = A1 (1 + rt) = 1000[1 + 0,08(1)][1 + 0,08(1)] = 1000[1 + 0,08]2 = 1000(1,08)2 = 1166,40 Por u ´ ltimo, la cantidad acumulada A3 al final del tercer a˜ no se encuentra utilizando (3.4) con P = A2 , de donde A3 = P (1 + rt) = A2 (1 + rt) = 1000[1 + 0,08(1)]2 [1 + 0,08(1)] = 1000[1 + 0,08]3 = 1000(1,08)3 = 1259,71 o alrededor de $1259.71. Al reexminar estos calculando, se ve que las cantidades acummuladas al final de cada a˜ no tienen esta forma: Primer a˜ no: A1 = 1000(1 + 0,08), o A1 = P (1 + r) Segundo a˜ no: A2 = 1000(1 + 0,08)2 , o A2 = P (1 + r)2 Tercer a˜ no: A3 = 1000(1 + 0,08)3 , o A3 = P (1 + r)3 Estas observaciones sugieren el siguiente resultado general: si se invierten P d´olares en un t´ermino de t a˜ nos con intereses a una tasa r por a˜ no compuesta anualmente, entonces la cantidad acumulada es A = P (1 + r)t (3.5) 210


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La f´ormula (3.5) se dedujo suponiendo que el inter´es fue compuesto anualmente, sin embargo en la pr´actica el interes compuesto m´as de una vez al a˜ no. El lapso entre el c´alculo de los intereses sucesivos es el periodo de conversi´ on o per´ıodo de capitalizaci´ on. Si los intereses a una tasa nominal r por a˜ no se componen m veces al a˜ no sobre un capital de P d´olares, la tasa de inter´es simple por per´ıodo de conversi´on es i=

Tasa de inter´es anual Per´ıodos por a˜ no

r m

por ejemplo, si la tasa de inter´es nominal es de 8 % por a˜ no (r = 0,08) y el inter´es es compuesto cada trimestre (m = 4), entonces i=

r 0,08 = = 0,02 m 4

o 2 % por per´ıodo. A fin de establecer una f´ormula general para la cantidad acumulada cuando se deposita u capital de P d´olares en un banco durante un lapso de t a˜ nos, con intereses a una tasa (nominal) r por a˜ no compuesta m veces al a˜ no, se procede como antes, utilizando (3.4) en forma repetida con la tasa de inter´es i = r/m. Vemos que la cantidad acumulada al final de cada per´ıodo es Primer per´ıodo: Segundo per´ıodo: Tercer per´ıodo: .. .

A1 = P (1 + i) A2 = A1 (1 + i) = [P (1 + i)](1 + i) = P (1 + i)2 A3 = A2 (1 + i) = [P (1 + i)2 ](1 + i) = P (1 + i)3 .. .

n−´esimo per´ıodo: An = An−1 (1 + i) = [P (1 + i)n−1 ](1 + i) = P (1 + i)n Pero existen n = mt per´ıodos en t a˜ nos (n´ umero de per´ıodos de conversi´on por el lapso). Por tanto, la cantidad acumulada al final de t a˜ nos est´a dada por A = P (1 + i)n

(3.6)

Ejemplo 3.6. Determinan la cantidad acumulada despu´es de tres a˜ nos si se invierten $1000 con una tasa de 8 % por a˜ no compuesta a) anualmente, b) semestralmente, c) trimestralmente, d) mensualmente y e) diariamente. Soluci´ on. (a) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 1. As´ı, i = r = 0,08 y n = 3, por lo que la f´ormula (3.6) implica A = 1000(1 + 0,08)3 = 1259,71 211


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(b) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 2. As´ı i = 0,08/2 y n = (3)(2) = 6, por lo que (3.6) significa  6 0,08 A = 1000 1 + 2 = 1265,32 o sea $1265,32 (c) Ahora, P = 1000, r = 0,08 y m = 4. As´ı i = 0,08/4 y n = (3)(4) = 12, por lo que (3.6) implica 12  0,08 A = 1000 1 + 4 = 1268,24 o $1268,24 (d) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 12. As´ı i = 0,08/12 y n = (3)(12) = 36, por lo que (3.6) significa  36 0,08 A = 1000 1 + 12 = 1270,24 o $1270,24. (e) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 365. As´ı i = 0,08/365 y n = (3)(365) = 1095, por lo que (3.6) significa  1095 0,08 A = 1000 1 + 365 = 1271,22 o $1271.22.

3.4.3.

Composici´ on del inter´ es en forma continua

El c´alculo a menudo es u ´ til para los economistas en la evaluaci´on de ciertas decisiones sobre cuestiones financieras. Sin embargo, para aplicar el c´alculo debe tratarse co funciones continuas. Considere, por ejemplo, la siguiente f´ormula, la cual proporciona A, el monto de inversi´on a los t a˜ nos, si P d´olares se invierten a una tasa anual de 100i %, compuesto m veces al a˜ no  mt i A=P 1+ (3.7) m 212


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Imagine una situaci´on en la cual el inter´es se compone continuamente; esto es, considere la f´ormula (3.7), donde se permite que el n´ umero de per´ıodos de inter´es por a˜ no aumente sin l´ımite. Entonces tomando el l´ımite en la f´ormula (3.7) se tiene  mt i A = P l´ım 1 + m→∞ m el cual puede escribirse como " m/i #it i A = P l´ım 1+ m→∞ m

(3.8)

Para calcular este l´ımite primero debemos determinar si m/i  i l´ım 1 + m→∞ m existe. Considerando h = i/m se tiene que m/i = 1/h; y como m → ∞ es equivalente a h → 0+ , entonces  m/i i l´ım 1 + = l´ım+ (1 + h)1/h m→∞ h→0 m = e En consecuencia

" m/i #it i l´ım 1+ = eit m→∞ m

y as´ı, (3.8) se transforma en A = P eit

(3.9)

Si se considera que t var´ıa en el conjunto de los n´ umeros reales no negativos, se observa que (3.9) expresa a A como una funci´on continua de t. Ejercicio 1. Un banco anuncia que la tasa de inter´es en cuentas de ahorro se calcula al 4 % anual compuesto diariamente. Si se deposita $1000 en una cuenta de ahorro en el banco, calcule (a) el monto aproximado al final de un a˜ no considerando la tasa de inter´es. (b) el monto exacto al cabo de un a˜ no considerando una tasa de inter´es anual de 4 % compuesto 365 veces al a˜ no. (c) obtenga la tasa efectiva de inter´es anual. Soluci´ on. (a) Sean A d´olares el monto final de 1 a˜ no. de (3.9) con P = 1000, i = 0,04 y t = 1, se tiene A = 1000e0,04 = 1040,81 Conclusi´ on: $1040.81 es un monto aproximado del dep´osito al t´ermino de 1 a˜ no 213


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(b) De (3.7) con P = 1000, i = 0,04, m = 365 y t = 1, y si A365 d´olares es el monto, entonces A365

 365 0,04 = 1000 1 + 365 = 1040,81

Conclusi´ on: El monto exacto al final de un a˜ no es $1040,81 % (c) Sea j la tasa efectiva de inter´es anual. Por tanto: 1000(1 + j) = 1040,81 1 + j = 1040,81 j = 0,0481 Conclusi´ on: La tasa efectiva de inter´es anual es 4,81 % Ejercicio 2. Suponga que Juan pone $500 en el banco al 13 % de inter´es compuesto, capitalizable todos los d´ıas. ¿Cu´anto obtendr´a al t´ermino de 2 a˜ nos? Soluci´ on. Aqu´ı, r = 0,13 y n = 365, por lo que  365(2) 0,13 A = 500 1 + ≈ $648,43 365 Consideremos ahora lo que ocurre con el inter´es compuesto continuo (es decir, cuando el n´ umero de n per´ıodos de capitalizaci´on por a˜ no tiende al infinito). Declaramos que entonces  rt r nt r n/r A = l´ım A0 1 + = A0 l´ım 1+ n→∞ n→∞ n n h irt 1/h = A0 l´ım (1 + h) = A0 ert 

h→0

Ejercicio 3. En sus cuentas de ahorros, el Piggy Bank de Nueva York ofrece ua tasa de inter´es nominal anual del 6 %, capitalizable diariamente. El banco desea calcular una tasa de inter´es anual efectiva (esto es, la tasa anual equivalente) para usarla en su publicidad. Soluci´ on. Vimos antes que las cantidades capitalizables diariamente son equivalentes a capitalizaci´on continua, redonde´andola a cent´esimos en 100 d´olares por tanto usamos la f´ormula 6 de capitalizaci´on continua. Aqu´ı R = 6 e i = 100 = 0,06. En un a˜ no, cualquier inversi´on se 1 0,06 incrementa en un factor e = e = 1,0618. Esto es equivalente a una tasa de inter´es anual de 6,18 %, de modo que el banco deber´ıa anunciar su tasa de inter´es efectiva como 6,18 %.

214


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y

y

0

Decaimiento exponencial

t

Figura 3.3:

Actividades 1. El 1 de abril el precio de una materia prima fue de S/.20 000 soles por tm. 45 d´ıas despu´es se incremento a S/.22 000 soles. ¿cu´al ser´a el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 d´ıas contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se incrementar´an peri´odicamente (cada 45 d´ıas) en el mismo porcentaje original? 2. En el u ´ ltimo semestre la gasolina ha venido increment´andose en 2 % cada 18 d´ıas en promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cu´anto costar´a un gal´on de gasolina dentro de un a˜ no, si el precio es de hoy S/.3,50? 3. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/.1 000 percibiendo una tasa nominal mensual del 4 % con capitalizaci´on diaria. El 2 de mayo retira 400 soles, el 15 de mayo retira S/.200 y el 3 de Junio dep´osita S/.100. ¿Qu´e monto acumul´o desde la fecha de su dep´osito inicial hasta el 24 de Junio fecha en que cancel´o la cuenta? 4. Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de inter´es efectivo mensual del 3 % sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3 % con capitalizaci´on diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarias). Calcule el monto de la cuenta al 31 de agosto cuyo movimiento fue el siguiente: Fecha Dep´osito Retiro

4/8 10 000

6/8 5 000 2 000

9/8 3 000

12/8

13/8 30 000

15/8 9 000

31/8 15 000

37 000

5. Margarita gan´o un juicio por da˜ nos de $150000 contra su patr´on hace 5 a˜ nos. En inter´es (simple) impuesto en el juzgado incrementa la cantidad con una tasa de 12 % anual 215


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desde la fecha del fallo. Si el caso fuera ganado ahora, ¿cu´anto recibir´ıa Margarita al final del juicio? 6. Andr´es posee bonos con un valor de $20000 con vencimiento a 10 a˜ nos de la corporaci´on Ace. Estos bonos pagan inter´es cada 6 meses a una tasa 7 % anual (inter´es simple). ¿Cu´anta ganancia recibir´a David de esta inversi´on cada 6 meses? ¿Cu´anto inter´es recibir´a Andr´es durante la vida de bonos? 7. Maya pag´o $10000 por un bono con vencimiento a 7 a˜ nos emitidos por una ciudad. Recibi´o intereses por la cantidad de $3500 durante la vida de los bonos. ¿Qu´e tasa de inter´es (simple) pag´o el bono? 8. El banco BCP paga intereses a una tasa de 4.25 % anual compuesto semanalmente en una cuenta de ahorros, mientras que el banco Continental paga intereses a una tasa de 4.125 % anual compuesto diariamente (suponga 365 d´ıas por a˜ no). ¿Qu´e banco paga la mejor tasa de inter´es? 9. Los propietarios del hotel Costa del sol ten´ıan dos pr´estamos del Banco Interbank: uno por $8000 con vencimiento en tres a˜ nos y otro por $15000 con vencimiento en seis a˜ nos, ambos con una tasa de inter´es del 10 % por a˜ no, compuesta semestralmente. El banco aceptado que los dos pr´estamos se consoliden en uno solo, con vencimiento en cinco a˜ nos, con la misma tasa de inter´es. ¿Qu´e cantidad deber´an pagar los propietarios del hotel al final de los cinco a˜ nos?. 10. Al recibir una enorme herencia, los padres de un ni˜ no quieren establecer un fondo para la educaci´on superior de ´este. Si se necesitan un estimado de $70000 dentro de siete a˜ nos, ¿Cu´anto dinero deben destinar, si lo invierten a 10.5 % compuesto trimestralmente? ¿Y si lo componen trimestralmente?.

216


Ap´ endice A L´ogica, Conjuntos y Funciones A.1.

Introducci´ on a la L´ ogica proposicional

El prop´osito de esta secci´on es describir, brevemente, las proposiciones y conectivos l´ogicos; sus leyes a fin de exponer con claridad las ideas matem´aticas, formulando con precisi´on las definiciones, axiomas, teoremas y sus demostraciones.

A.1.1.

Proposiciones

Se llamar´a proposici´on a toda oraci´on o frase de nuestro lenguaje al cual es posible asignarle uno y s´olo uno de los siguientes valores: Verdadero (V)

o

Falso (F)

Por ejemplo “El n´ umero cero es par”. En este caso se tiene una proposici´on verdadera, evidentemente, si se dice “El n´ umero cero no es par”, se est´a negando la proposici´on inicial y se tendr´a una proposici´on falsa. A la primera proposici´on, se la puede llamar p y a la segunda (su negaci´on) ∼ p, que se lee “no p”. As´ı: p : La suma de dos n´ umeros pares es un n´ umero par ∼ p : La suma de dos n´ umeros pares no es un n´ umero par La Negaci´on de una proposici´on p, denotada tabla: p V F

(verdadero) (falso)

∼ p, que se lee “no p”, se define mediante la ∼p F V

Es decir, si p es verdadera, entonces ∼ p es falsa; y si p es falsa, ∼ p es verdadera.

217


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La Disyunci´ on de las proposiciones p y q, denotada por p ∨ q, que se lee “p o q”, es la proposici´on definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

Significado la proposici´on p ∨ q es falsa solo cuando ambas proposiciones, p y q, son falsas. En todos los dem´as casos, p ∨ q es verdadera. La Conjunci´ on de las proposiciones p y q, denotada por p ∧ q, que se lee “p y q”, es la proposici´on definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

Significado: la conjunci´on de dos proposiciones es verdadera solo cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas. En todos los otros casos la conjunci´on es falsa. La Condicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇒ q, que se lee “si p, entonces q”, es la proposici´on definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p⇒q V F V V

En toda proposici´on condicional, p ⇒ q, la proposici´on p se denomina antecedente y la proposici´on q, consecuente de la condicional. Significado: la proposici´on p ⇒ q es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los otros casos, la proposici´on condicional es verdadera. Otras denominaciones para la proposici´on p ⇒ q, que son “p es condici´on suficiente para q”, o “q es condici´on necesaria para p”. Este modelo l´ogico es muy usado en la formulaci´on de los enunciados de teoremas, proposiciones, etc.

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La Bicondicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇔ q, que se lee “p si, y solo si q”, es la proposici´on definida por la siguiente tabla de valores: p V V F F

q V F V F

p⇔q V F F V

Significado: la proposici´on p ⇔ q es verdadera cuando tienen las proposiciones del mismo valor de verdad. En los otros casos, la bicondicional es falsa. Una proposici´on compuesta se llama tautolog´ıa si es verdadera para cualquiera de los valores de las proposiciones que la componen, en este caso, su tabla esta formada solo por el valor “V ”. Por ejemplo: p ⇒ (p ∨ q), (p ∧ q) ⇒ p, ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q), son proposiciones tautol´ogicas pues: p q p ⇒ (p ∨ q) p q (p ∧ q) ⇒ p V V V V V V V V V F V F V V F V F V V V F V F V F F F F V F F V p V V F F

q V F V F

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q) F V F F V F F V F V V V

Se dice que las proposiciones p y q son l´ogicamente equivalentes si la bicondicional p ⇔ q es una tautolog´ıa, en este caso se denota p ≡ q. Observaci´ on A.1. Es muy importante comprender la equivalencia: p ⇔ q ≡ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒⇒ p)] presente en muchos teoremas y en todas las definiciones. Por ejemplo demostrar la bicondicional: Sea n ∈ Z, “n es par si, entonces “si n es par, entonces n2 es par” y “si n2 es par, entonces n es par”.

A.1.2.

Equivalencias L´ ogicas Importantes

Usando las tablas de valores de verdad se puede demostrar la equivalencia l´ogica de las siguientes proposiciones: 219


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1) Conmutativa: p ∨ q ≡ q ∨ p,

p∧q ≡p

2) Asociativa: p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r 3) Distributiva: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 4) Condicional: p ⇒ q ≡∼ p ∨ q 5) Doble Negaci´on: ∼ (∼ p) ≡ p 6) Leyes de De Morgan: ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p∨ ∼ q ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p∧ ∼ q 7) Leyes de absorci´on: p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p

Usando las equivalencias anteriores se puede demostrar otras equivalencias como por ejemplo: 8) Principio de contraposici´on : p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p Prueba: p ⇒q ≡ ∼p∨q

≡ ∼ p∨ ∼ (∼ q) ≡ ∼ (∼ q)∨ ∼ p

≡ ∼ q ⇒∼ p

Determine, que propiedades se han utilizado en esta prueba.

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9) Pruebe como en el caso anterior (usando las propiedades) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q Principios l´ogicos: (tautolog´ıas) 10) Tercio excluido: p∨ ∼ p 11) ∼ (p∧ ∼ p) 12) [(p∧ ∼ q) ⇒ (r∧ ∼ r)] ⇒ (p ⇒ q) 13) p ⇒ (p ∨ q) 14) (p ∧ q) ⇒ p 15) p ⇒ p Observaci´ on A.2. Como se vera en el siguiente tema, existe una estrecha relaci´on entre la conjunci´on (∧) y la intersecci´on de conjuntos, entre la disyunci´on (∨) y la union de conjuntos, entre la condicional (⇒) y la inclusion de conjuntos y entre la negaci´on (∼) y el complemento de un conjunto, tanto en la definici´on de tales operaciones con conjuntos como en sus propiedades.

A.1.3.

Cuantificadores

El enunciado u oraci´on p(n): “n es par”no es una proposici´on pues, a pesar de ser una oraci´on, no es posible asignarle el valor de verdadero o falso, pero al sustituir n por un valor num´erico esta oraci´on se transforma en una proposici´on. Este tipo de oraciones o enunciados que dependen de una o varias variables que al ser sustituidas con elementos de un determinado conjunto se transforman en proposiciones, se llaman funciones proposicionales. Sin embargo los siguientes enunciados, formulados en base a la funci´on proposicional p(n): r : “Para todo n´ umero entero n, n es par” s : “Existe un n´ umero racional n, tal que es par” son proposiciones. La expresi´on “para todo”se denota con el s´ımbolo “∀” y se llama cuantificador universal, y la expresi´on “existe”, denotado con el s´ımbolo “∃”, se llama cuantificador existencial. Estos cuantificadores unidos a una funci´on proposicional la transforman en una proposici´on. Podemos escribir las proposiciones r y s como: r : “∀n ∈ Z/n es par” s : “∃n ∈ Q/nes par” 221


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A.2.

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M´ etodos de demostraci´ on

La demostraci´on es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como v´alido y es admitido dentro de la disciplina correspondiente. La demostraci´on es el enlace, entre los conocimientos reci´en adquiridos y el conjunto de los conocimientos anteriores. El enlace entre los conocimientos reci´en adquiridos y los anteriores est´a constituidos por una sucesi´on finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones l´ogicas perfectamente coordinadas. La demostraci´on permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba rigurosamente racional. Sabemos que todas las proposiciones de una teor´ıa matem´atica se clasifican en dos tipos: las aceptadas sin demostraci´on que son las definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los axiomas o postulados (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas teoremas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada). No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido. Un teorema requiere demostraci´on cuando no hay evidencia de su validez. Estructura de la demostraci´on La demostraci´on consta de tres partes: (a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposici´on (teorema) cuya validez se trata de probar. (b) Los fundamentos empleados como base de la demostraci´on. (c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado. Los procedimientos de demostraci´on permiten establecer la conexi´on l´ogica entre los fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusi´on final a la tesis que as´ı se demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos.

A.2.1.

Tipos de demostraci´ on

Consideremos una demostraci´on como un argumento que nos muestra que una proposici´on condicional de la forma h ⇒ t, es l´ogicamente verdadera (es decir, verdadera en todos los cosos posibles) donde h es la hip´otesis o conjunci´on de las premisas y t es la conclusi´on del argumento.

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Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen expl´ıcitamente las proposiciones de partida, ´este afirma que partiendo de cierta hip´otesis h, se puede demostrar otra proposici´on t, llamada tesis. Los procedimientos utilizados en la demostraci´on est´an constituidos por distintas formas de deducci´on o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales ser´an estudiados separadamente. Los principales tipos de demostraci´on son: 1. Demostraci´on directa. 2. Demostraci´on indirecta. 3. Demostraci´on por recursi´on. Observaci´ on A.3. El problema de la construcci´on de una demostraci´on consiste en preparar una serie de pasos que conduzcan a la conclusi´on deseada. No hay caminos autom´aticos para hacerlo y, por ello, la demostraci´on constituye un proceso creador dentro del conocimiento cient´ıfico “es una cuesti´on personal que se adquiere con la pr´actica y el desarrollo de la iniciativa de cada uno”. 1. Demostraci´ on directa Cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido probada, para inferir como consecuencia la tesis, a trav´es de una serie de inferencias, se establece una demostraci´on directa. En ella se prueba la validez de una tesis estableciendo que ´esta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina correspondiente (matem´atica en nuestro caso). Una demostraci´on directa de una proposici´on t (al que llamaremos teorema), consiste en un conjunto de proposiciones p1 , p2 , . . . , pn (premisas), que son postulados o proposiciones cuya validez ya ha sido probada y de las cuales se infiere la proposici´on t, como consecuencia inmediata. En una demostraci´on directa, cada paso debe ir acompa˜ nado de una explicaci´on que justifique la presencia de ese paso. Decimos que t es una consecuencia inmediata de p1 , p2 , . . . , pn , si se produce la implicaci´on: (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) ⇒ t. Para mayor brevedad, llamaremos h (hip´otesis) al antecedente del esquema proposicional anterior. 2. Demostraci´ on Indirecta Si se tiene dificultades en la construcci´on de una demostraci´on directa, se puede a veces obtener resultados m´as importantes y mejores, empleando algunos otros m´etodos. Cuando se establece validez de una tesis t, probando, que las consecuencias de su contraria son falsas, entonces se realiza una demostraci´on indirecta. 223


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El m´etodo de demostraci´on indirecta se basa en el hecho de que si ∼ t es falsa, entonces t es verdadera (negar-negando). La mejor manera de hacerlo es mostrando que ∼ t no es compatible con las afirmaciones dadas en la hip´otesis. De otro modo, suponiendo que la proposici´on ∼ t es verdadera, consideremos el conjunto formado por ella y las otras proposiciones conocidas y tratamos de demostrar que este conjunto as´ı considerado nos lleva a una contradicci´on. Cuando se llega a la contradicci´on, sabemos que la verdad de ∼ t no es compatible con nuestra hip´otesis (verdadera) y, por tanto, que es falsa. Por consiguiente, es verdadera. Luego, para demostrar un teorema de la forma h → t, basta deducir alguna contradicci´on a partir de la hip´otesis h. Hay diferentes formas para utilizar el m´etodo de demostraci´on indirecta; Para demostrar h → t podemos hacerlo demostrando que: (a) ∼ t → ∼ h (b) (h∧ ∼ t) → ∼ h (c) (h∧ ∼ t) → t (d) (h∧ ∼ t) → (p∧ ∼ p) 3. Demostraci´ on por Recursi´ on (Inducci´ on Matem´ atica) Cuando la tesis se prueba por medio de la inducci´on matem´atica recursiva, se efect´ ua una demostraci´on por recursi´on. La demostraci´on por recursi´on se utiliza principalmente en la teor´ıa de n´ umeros y consiste en probar la validez de un teorema estableciendo: Primero: su cumplimiento para el caso limitante (caso inicial) Segundo: admitiendo que se cumple en el general, (hipot´esis inductiva) Tercero: se prueba que se cumple igualmente para el caso siguiente. Por u ´ ltimo, comprobamos que se cumple para el caso siguiente

A.3.

Conjuntos

A.3.1.

Conjunto

un conjunto es una cierta colecci´on o agrupaci´on de objetos llamados elementos. Los conjuntos se representar´an con letras may´ usculas como A, B, C, etc.

A.3.2.

Relaciones de igualdad, pertenencia e inclusi´ on

Una de las relaciones m´as elementales e importantes que existe entre los objetos, elementos o conjuntos, es la relaci´on de igualdad, la cual se representa por el s´ımbolo “ = ” y se lee “igual”. La expresi´on “a = b” se lee “a es igual a b” y significa que “el elemento representado 224


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por a es el mismo que el elemento representado por b”. En lo que sigue del libro, por razones de comodidad, se dir´a simplemente “el elemento a”, en lugar de “el elemento representado por a” y “el conjunto A” en lugar de “el conjunto representado por A”. La negaci´on de la relaci´on “a = b” se denota por “a 6= b” y se lee “a es diferente a b” o “a no es igual a b”. Teorema A.1. La relaci´on de igualdad cumple con las siguientes propiedades: Sean a, b, c elementos de A (i) ∀ a ∈ A, a = a (Reflexiva) (ii) Si a = b entonces b = a (sim´etrica) (iii) Si a = b y b = c entonces a = c (transitiva)

Demostraci´on. Es consecuencia inmediata de la definici´on de a = b. Corolario A.1. Si u 6= v entonces v 6= u. Demostraci´on. Basta aplicar el principio de contraposici´on a la propiedad sim´etrica (ii). Observaci´ on A.4. En lo que sigue del m´odulo esta relaci´on de igualdad y sus propiedades quedaran f´acilmente establecidas en cada sistema num´erico que se define, como en el sistema de los numeros naturales, enteros, racionales y reales. Otra relaci´on importante es la que existe entre elementos y conjuntos, llamada relaci´on de pertenencia, que se denota con el s´ımbolo ∈ y se lee “pertenece”. No se define la relaci´on de pertenencia; se la aceptara como concepto primitivo y se le dar´a el sentido intuitivo que todos tienen de ella. As´ı, si A es un conjunto y si x es un elemento de A, la expresi´on simb´olica x ∈ A, se lee “x pertenece a A” y significa que “x es un elemento del conjunto A”. La negaci´on de la relaci´on x ∈ A se denota por x ∈ / A y se lee: “x no pertenece al conjunto A”. Una tercera relaci´on entre objetos, en este caso entre conjuntos, es la relaci´on de inclusion, que se representa por el s´ımbolo ⊂ y que se lee “incluido en h” o “contenido en h”. Definici´ on A.1. Sean A y B dos conjuntos, A esta incluido en B, lo que se denota A ⊂ B si, y solo si, todo elemento de A es elemento de B. Simb´olicamente: a⊂B

(∀ x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Si A ⊂ B se dir´a tambi´en que A es un subconjunto de B, o que A esta contenido en B. La negaci´on de la relaci´on A ⊂ B se denota por A 6⊂ B y se lee “A no est´a incluido (o no 225


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est´a contenido) en B”, significa que “existe por lo menos un elemento x ∈ A tal que x ∈ / B”. Simb´olicamente A 6⊂ B ⇔ (∃ x ∈ A/x ∈ B) Teorema A.2. (a) A ⊂ A; para todo conjunto A (b) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C entonces A ⊂ C Demostraci´on. (b) Para todo x, la proposici´on compuesta: [x ∈ A

x ∈ B ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ C)]

(x ∈ A ⇒ x ∈ C)

es verdadera (tautolog´ıa) luego aplicando la definici´on de inclusi´on se tiene: (A ⊂ B ∧ B ⊂ C)

A⊂C

De la Teor´ıa Axiom´atica de Conjuntos, debido a su complejidad, se mencionar´a s´olo cinco axiomas: Sustituci´on, Extensi´on, Especificaci´on, del Conjunto Potencia, y la existencia de la Uni´on de Conjuntos. Estos axiomas ser´an descritos a continuaci´on y al mismo tiempo se ir´a explicando su importancia.

A.3.3.

Axiomas

Axioma A.1 (Axioma de Sustituci´on). Sea P (x) una proposici´on respecto a la variable x. Si P (x) es verdadera y si u = x, entonces P (u) es tambi´en verdadera. As´ı por ejemplo, sea P (x) la proposici´on dada por la expresi´on “x ∈ E”. Si P (x) es verdadera, o sea “x ∈ E” es verdadera, y si u = x, entonces P (u) es verdadera, o sea “u ∈ E” es verdadera.

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Axioma A.2 (Axioma de Extensi´on). Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. O sea, A es igual a B si, y solo si, todo elemento de A pertenece a B y, rec´ıprocamente, todo elemento de B pertenece a A. Simb´olicamente A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) O tambi´en A=B

(∀ x) [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)]

La negaci´on de la relaci´on A = B se denota con A 6= B, se lee “A no es igual a B” o “A es diferente de B”, y significa que existe por lo menos un elemento de A que no esta en B o que existe por lo menos un elemento de B que no esta en A. Simb´olicamente A 6= B

(∀ x) (x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∨ (∃ y) (y ∈ B ∧ x ∈ / A)]

Definici´ on A.2. Dados los conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto propio de B o que A es parte propia de B, y se denota por A $ B; si, y solo si A ⊂ B ∧ A 6= B. Simb´olicamente A $ B ⇔ A ⊂ B ∧ ∃ z ∈ B/z ∈ /A Hasta ahora, se ha utilizado la noci´on de pertenencia para definir nuevas relaciones y se han dado ejemplos de conjuntos. Pero, ¿c´omo construir nuevos conjuntos a partir de un conjunto dado? Para hacerlo, es necesario el siguiente axioma. Axioma A.3 (Axioma de Especificaci´on). Dado un conjunto E y una proposici´on P (x) con x ∈ E, existe un u ´ nico subconjunto A de E, cuyos elementos son todos los elementos x ∈ E tales que P (x) es verdadera. Tal subconjunto se denota por: A = {x ∈ E/P (x) es verdadera} o simplemente, A = {x ∈ E/P (x)} que se lee “A es el subconjunto de E formado por todos los elementos x ∈ E, tales que la proposici´on P (x) es verdadera”. As´ı, el conjunto A se caracteriza por la condici´on x∈A

P (x) es verdadera

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En algunos textos de secundaria, este axioma es presentado como la definici´on de un conjunto determinado por comprensi´on; es decir, aquel conjunto en el que se indica la propiedad P(x), que caracteriza a los elementos del conjunto. En este sentido, la llamada definici´on de conjunto determinado por extensi´on, en la que se enumeran o indican sus elementos no es m´as que un caso particular del axioma de especificaci´on. Se usara el Axioma de Especificaci´on para presentar algunos conjuntos especiales: Para completar el lenguaje de los conjuntos se necesita introducir un nuevo conjunto llamado conjunto vaci´o, el cual se denota por ∅, que no tiene ning´ un elemento y que esta contenido en cualquier conjunto A, o sea, ∅ ⊂ A. Usando el axioma de especificaci´on, este conjunto se puede definir de la siguiente manera: ∅ = {x ∈ A/x 6= x}. Como la definici´on de ∅ depende del conjunto A, se puede denotarlo tambi´en por ∅A . En cursos avanzados; se define, finalmente, el conjunto vac´ıo ∅, se demuestra que es u ´ nico y que ∅ ⊂ A para todo conjunto A. Sean E un conjunto no vac´ıo, a ∈ E, y P (x) la propiedad: x = a, entonces por el axioma de especificaci´on, existe un u ´ nico subconjunto A de E tal que: A = {x ∈ E/x = a} = {a}. A este tipo de conjunto, que tienen un solo elemento, se les llama Conjunto Unitario. A continuaci´on se presenta otro axioma que permite construir nuevos conjuntos a partir de uno Axioma A.4 (Axioma del conjunto potencia). Dado un conjunto E, existe un conjunto y solamente uno cuyos elementos son todos los subconjuntos de E. Tal conjunto se denota con P(E) y se le llama conjunto potencia de E o conjunto de partes de E. En s´ımbolos: P(E) = {A/A ⊂ E}, es decir: A ∈ P(E)

dado

A⊂E

o equivalentemente, A no es elemento de P(E) si, y s´olo si, A no es subconjunto de E. En s´ımbolos: A∈ / P(E) ⇔ A ⊂ 6 E

Observaci´ on A.5. 1. Como para todo conjunto E, ∅ ⊂ E y E ⊂ E, entonces ∅ ∈ P(E) y E ∈ P(E) 228


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2. Se demuestra que, si A es un conjunto que tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos. Este resultado puede demostrarse usando inducci´on matem´atica.

A.4.

Operaciones con conjuntos

A partir de dos conjuntos dados se construir´a nuevos conjuntos, usando los axiomas de la uni´on y de especificaci´on.

A.4.1.

Uni´ on de conjuntos

Axioma A.5 (Axioma de la uni´on de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, existe un conjunto U tal que A ⊂ U yB ⊂ U. Este axioma garantiza la existencia de un conjunto, por ejemplo un conjunto que se puede denotar por U y considerarse como conjunto universal. Con elementos de este conjunto U, usando el axioma de especificaci´on se puede definir nuevos conjuntos. Definici´ on A.3. Sean A ⊂ U y B ⊂ U dos conjuntos, la union de A y B, denotada por A ∪ B, es el conjunto formado por todos los elementos x ∈ U tales que x ∈ A o x ∈ B. Simb´olicamente A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B} Observaci´ on A.6. Notar que se esta usando la disyunci´on (∨). Aplicando la Ley de De Morgan para la disyunci´on (ver el cuadro de las propiedades y principios l´ogicos) se formula la definici´on equivalente “por negaci´on”: x no es elemento de A ∪ B si y solo si, x no es elemento de A y x no es elemento de B. Simb´olicamente: x∈ / (A ∪ B) ⇔ [x ∈ /A ∧ x∈ / B]

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Teorema A.3 (Propiedades de la uni´on). Dados los conjuntos A, B, C, D y ∅, en un conjunto universal U, se cumplen las siguientes propiedades: (a) A ⊂ A ∪ B ∧ B ⊂ A ∪ B (b) A ⊂ D ∧ B ⊂ D entonces A ∪ B ⊂ D (c) A ∪ A = A (idempotencia) (d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Asociativa) (e) A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa) (f ) A ∪ ∅ = A (Elemento neutro) (g) A ⊂ B entonces A ∪ B = B

A.4.2.

Intersecci´ on de conjuntos

Definici´ on A.4. Sean A ∪ U y B ∪ U dos conjuntos, la intersecci´on de A y B, denotada por A ∩ B es el conjunto formado por todos los elementos x de U, tales que x ∈ A y x ∈ B. A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B} Es decir x ∈ (A ∩ B)

[x ∈ A ∧ x ∈ B]

O, equivalentemente, por negaci´on: x no es elemento de A ∩ B si, y solo si, x no es elemento de A o x no es elemento de B. Simb´olicamente: x∈ / (A ∩ B) ⇔ [x ∈ /A ∧ x∈ / B]

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Teorema A.4 (Propiedades de la intersecci´on). Dados los conjuntos A, B, C y ∅, en un conjunto universal U, se cumplen las siguientes propiedades: (a) A ∩ B ⊂ A ∧ A ∩ B ⊂ B (b) A ∩ A = A (idempotencia) (c) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Asociativa) (d) A ∩ B = B ∩ A (Conmutativa) (e) A ⊂ B entonces A ∩ B = A (f ) A ∩ ∅ = ∅; A ∩ U = A Teorema A.5 (Propiedades distributivas). Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades distributivas: (a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A.4.3.

Diferencia de conjuntos

Definici´ on A.5. Dados los conjuntos A ∪ U y B ∪ U, la diferencia de A y B, denotado por A − B, es el conjunto formado por todos los elementos x de U tales que x ∈ A y x ∈ / B. Simb´olicamente: A − B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ / B} Es decir, x∈A−B

[x ∈ A ∧ x ∈ / B]

x∈ / A−B

[x ∈ / A ∨ x ∈ B]

o equivalentemente

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Teorema A.6. Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades: (a) A − ∅ = A (b) A − A = ∅ (c) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C) (d) A − B = (A ∪ B) − B = A − (A ∩ B) La demostraci´on se deja como ejercicio.

A.4.4.

Complemento de un conjunto

Definici´ on A.6. Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊂ B ⊂ U. Se llama complemento de A con respecto al conjunto B, y se denota por CB A, a la diferencia B − A. Es decir, CB A = B − A. El complemento de un conjunto con respecto a otro es un caso particular de la diferencia de conjuntos. Si B = U, el complemento de A respecto a U se denota simplemente por: CA. En este caso se tiene por definici´on que: x pertenece a CA si, y solo si, x no es elemento de A. En s´ımbolos, x ∈ CA

x∈ /A

x∈ / CA

x∈A

o, equivalentemente

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Teorema A.7. Dados los conjuntos ∅, A ⊂ U y B ⊂ U, se cumplen las siguientes propiedades 1. C(CA) = A 2. A ⊂ B entonces CB ⊂ CA; CB ⊂ CA entonces A ⊂ B 3. C(A ∩ B) = CA ∪ CB 4. C(A ∪ B) = CA ∩ CB 5. A ∩ CA = ∅ 6. A ∪ CA = U 7. C∅ = U y CU = ∅

A.5.

Nociones de relaci´ on y funci´ on

A.5.1.

Par ordenado y producto cartesiano

Un conjunto que tiene dos elementos es un par ordenado si, y s´olo si, dicho conjunto tiene la propiedad de que un elemento puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Definici´ on A.7. Dado los conjuntos no vac´ıos A ⊂ U y B ⊂ U y los elementos a ∈ A y b ∈ B, se llama par ordenado de componentes a y b, que se denota por (a, b), al conjunto {{a}, {a, b}}; o sea, por definici´on (a, b) = {{a}, {a, b}}. En el par ordenado (a, b), el elemento a se llama primera componente; y b se llama segunda componente del par. Teorema A.8. (a, b) = (c, d) si y s´olo si a = c ∧ b = d, o equivalentemente, (a, b) 6= (c, d) si y s´olo si a 6= c ∨ b 6= d. Definici´ on A.8. Dado los subconjuntos A y B, de un conjunto universal U, se llama producto de A y B, y se denota por A × B, al conjunto formado por todo los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Simb´olicamente: A × B = {(a, b) ∈ E/a ∈ A ∧ b ∈ B}.

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A.5.2.

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Relaciones

Definici´ on A.9. Dado los conjuntos X e Y , se da el nombre de relaci´on binaria entre elementos del conjunto X y elementos del conjunto Y a todo subconjunto R de X × Y . Si el par (x, y) ∈ R diremos que x e y est´an en la relaci´on determinada por R, y escribiremos simplemente xRy. Si por el contrario, el par (x, y) ∈ / R diremos que x e y no est´an en la relaci´on determinada por R, y escribiremos simplemente x ∈ / Ry. En adelante diremos simplemente relaci´on en lugar de relaci´on binaria, ya que estas u ´ ltimas, ser´an las u ´ nicas con las cuales trataremos. Si R es una relaci´on entre los elementos de X e Y , se llama a X conjunto de partida de la relaci´on y a Y conjunto de llegada. Definici´ on A.10. Se llama dominio o conjunto de definici´on de la relaci´on R, al conjunto de los elementos de X que son las primeras componentes de pares del subconjunto R, es decir todos los elementos x ∈ X, para los cuales existe un elemento y ∈ Y tales que (x, y) ∈ R. Se llama rango o conjunto de valores al conjunto de los elementos y ∈ Y , que son segundos componentes de pares del subconjunto R, es decir al conjunto de todos los elementos de y ∈ Y para los cuales existe un elemento x ∈ X tales que (x, y) ∈ R. Definici´ on A.11. Una relaci´on R definida entre elementos de un conjunto X es total si su dominio coincide con el conjunto de partida X, Diremos en este caso que la relaci´on es definida sobre el conjunto X. Definici´ on A.12. Se dice que una relaci´on R definida sobre un conjunto X, es una relaci´on de equivalencia si goza de las siguientes propiedades: 1. xRx para todo x ∈ R (reflexividad) 2. si xRy, entonces yRx. (simetr´ıa) 3. Si xRy e yRz entonces xRz. (transitividad) De (a) resulta que toda relaci´on de equivalencia es una relaci´on total. Cuando una relaci´on R es de equivalencia es usual escribir x = y ( m´od R) o simplemente x ≡ y, en lugar de xRy, se lee entonces “x es equivalente a y m´odulo n” o simplemente “x es equivalente a y”

A.5.3.

Funciones

Definici´ on A.13. Dados dos conjuntos A y B se llama funci´on definida en A y con valores en B, o simplemente funci´on de A en B, a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x ∈ A un u ´ nico elemento y ∈ B. El conjunto A recibe el nombre de Dominio de la funci´on f. 234


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La palabra correspondencia se aceptar´a como concepto primitivo y se le dar´a la interpretaci´on intuitiva que todos tienen de ella. Las funciones reciben tambi´en el nombre de aplicaciones y se denotan simb´olicamente por: f : A −→ B

f

´o A −→ B

Para indicar que f hace corresponder a cada elemento x de A un u ´ nico elemento y ∈ B, se escribe f f : x −→ y, x −→ y, ´o y = f (x) y se dice que y es la imagen de x mediante f , o que x es una preimagen de y mediante f . Definici´ on A.14. Dada una funci´on f : A −→ B, C ⊂ A y D ⊂ B, se llama Imagen Directa de C mediante f , al conjunto f (C) = {y ∈ B/y = f (x), x ∈ C}. An´alogamente, se llama Imagen Inversa de D mediante f , al conjunto f −1 (D) = {x ∈ A/f (x) ∈ D}. El conjunto f (A) recibe el nombre de Rango de la funci´on f . Teorema A.9. (a) f (A1 − A2 ) ⊇ f (A1 ) − f (A2 ) (b) Si A1 ⊆ A2 entonces f (A1 ) ⊂ f (A2 ) (c) f (∪Ai ) = ∪f (Ai ) (d) f (∩Ai ) = ∩f (Ai ) Definici´ on A.15 (Restricci´on de una funci´on). Dada una funci´on f : A −→ B. La funci´on g : C −→ B con C ∈ A definida por g(x) = f (x) para todo x ∈ C se llama restricci´on de la funci´on f al conjunto C y se denota f /C , o simplemente f , si no hay lugar a confusion. En este contexto, la funci´on f : A −→ B se llama extension de g al conjunto A. Un caso particular muy importante de funci´on es el de Operaci´on Interna o Ley de Composici´on Interna. Definici´ on A.16. Si A es un conjunto no vac´ıo, A 6= ∅, una ley de composici´on interna u operaci´on interna en A es una funci´on o aplicaci´on definida en el producto A×A y con valores en el conjunto A. Es decir, una aplicaci´on, f : A × A −→ A (x, y) 7−→ f (x, y) Definici´ on A.17. Se dice que la funci´on f : A −→ B es inyectiva s´ı y s´olo si, se cumple que: ′ Si x 6= x entonces f (x) 6= f (x′ ). O equivalentemente: Si f (x) = f (x′ ) entonces x = x′ . 235


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Teorema A.10. 1. Si x ∈ A entonces f (x) ∈ / f (A) 2. f (A1 − A2 ) ⊆ f (A1 ) − f (A2 ) 3. f (∩Ai ) ⊇ ∩f (Ai ) Definici´ on A.18. Se dice que una funci´on f : A −→ B es suryectiva si, y solo si, se cumple que: Para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f (x) = y. O equivalentemente: Si f (A) = {y = f (x)/x ∈ A} = B. Finalmente, se dice que una funci´on f : A −→ B es biyectiva si, y solo si, f es inyectiva y suryectiva. Definici´ on A.19. Dadas las funciones f : A −→ B y g : C −→ D donde B ⊂ C, se define la funci´on h : A −→ D de la siguiente manera: h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para todo x ∈ A La funci´on h : A −→ D recibe el nombre de funci´on compuesta de f y g, y se denota con g ◦ f , es decir, h = g ◦ f .

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Bibliograf´ıa [1] Boyer, C. “Historia de las Matematicas”. Editorial Alfa omega. 2003. [2] Carmen Bonell. “La Divina Proporci´ on. Las formas Geom´etricas”. Editorial Alfa omega. 2003. [3] Carranza C.. “T´opicos de matem´ atica para el bachillerato”. 18o Coloquio de la Sociedad Matem´atica Peruana. Lima 2000. [4] Carranza, Alex Molina. “T´opicos de Aritm´etica y Algebra”. Pontificia Universidad Cat´olica del Per´ u. 2006 ´ [5] Carranza C.. “Algebra”. Libreria Studium. Lima, 1970. [6] Carranza, C.; Kong, M. “Teor´ıa de conjuntos y n´ umeros naturales”. Per´ u Offset. Lima, 1980. [7] De la Pe˜ na, J; “Algebra en todas partes ”. Editorial La ciencia para todos, 2008. [8] Fraleigh,J; “Algebra Abstracta ”. Editorial Addison - Wesley Iberoamericana , 2008. [9] Numeros, grupos y anillos ; “Dorronsoro, Jose”. Editorial Addison - Wesley Iberoamericana 2008. [10] Emma Castelnuova. “De viaje con la Matem´ atica. Imaginaci´ on y Razonamiento Matem´atico”. Editorial Trillas. 2002. ´ [11] F´ elix Escalante Del Aguila. “Construcci´ on Geom´etrica de N´ umeros”. Sociedad Matem´atica Peruana. 2003. [12] Gentile, E; “Aritm´etica elemental ”. Serie de Matem´aticas. Monograf´ıa de la OEA, 1985. [13] Grabiel Navarro. “Un Curso de Numeros”. Universidad de Valencia. 2007 [14] Mathema. “El arte del Conocimiento”. Editorial Ciencia para todos. M´exico. 2010. [15] Tereza Gonzales Monteiza. “Modelos Matem´ aticos discretos en las ciencias de la naturaleza. Teor´ıa y Problemas”. Ediciones D´ıaz Santos. Madrid 2007. 237


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[16] Verastegui Teodulo. “Introducci´ on a La Teor´ıa de Numeros”. Fondo Editorial PUCP. 1999

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MODULO DE NUMERO Y OPERACIONES  

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