Issuu on Google+

Geometrycznie o liczbach - zadania Za zadania można otrzymać nawet ocenę celującą od p. prof. M. Narewskiej zgodnie z ustaleniami podjętymi podczas zajęć oraz opinią nauczyciela na temat poprawności i jakości rozwiązań. Najlepiej, żeby były one geometryczne, chociaż algebraiczne i na podstawie udowodnionych wzorów również są dopuszczalne. Podczas prezentacji udowodniliśmy, że: n(n + 1) 2 2 n = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = T (n − 1) + T (n)

T (n) = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n =

n(n + 1)(n + 2) 6 n(n + 1)(2n + 1) = 6

S(n) = T (1) + T (2) + T (3) + · · · + T (n − 1) + T (n) = K(n) = 12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2

Poniżej znajdują się zadania i fakty, których rozwiązania i dowody zostały zaprezentowane podczas części praktycznej wystąpienia. Warto przypomnieć sobie te rozwiązania, jeśli się nie uda, śmiało piszcie na lukaszbozyk@gmail.com, ale rozwiązań zadań domowych NIE podaję. • Dla dowolnej liczby naturalnej n suma sześcianów liczb naturalnych od 1 do n jest równa kwadratowi n-tej liczby trójkątnej (Twierdzenie Nikomachosa). 13 + 23 + · · · + n3 = T (n)2 = (1 + 2 + · · · + n)2 • Znaleźć wartość wyrażenia T (a + b) − T (a) − T (b) gdzie a, b ∈ N. • Liczba uścisków dłoni w n-osobowym gronie (każdy z każdym), czyli łączna liczba przekątnych i boków w n-kącie wypukłym to T (n − 1). • W trójkącie Pascala występuje ciąg T (n) i S(n). Liczby Fibonacciego F (n) definiujemy w sposób następujący: F (1) = F (2) = 1 oraz F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) dla n ­ 3. Innymi słowy pierwsze dwie są równe 1, a każda następna jest równa sumie dwóch poprzednich. • Udowodnić, że F (1)2 + F (2)2 + · · · + F (n)2 = F (n)F (n + 1). Mamy dany rysunek kwadratu o boku n, który jest podzielony na kwadraty jednostkowe. • Ile różnych kwadratów znajduje się na tym rysunku? • Ile różnych prostokątów znajduje się na tym rysunku?

A oto i wyczekiwane zadania domowe, w niektórych przypadkach możliwe do otrzymania oceny zostały ustalone, a w niektórych - jeszcze nie. Limit możliwych do uzyskania przez jedną osobę ocen również nie jest znany, ale proszę nie łudzić się, że będzie ich tyle, ile rozwiązanych zadań © (zwłaszcza jak ktoś zrobi wszystkie). • Udowodnić, że dowolne liczby naturalne a, b i c spełniają równość T (a + b + c) + T (a) + T (b) + T (c) = T (a + b) + T (b + c) + T (c + a). • Udowodnić następujące równości dotyczące liczb Fibonacciego (określonych powyżej): F (1) + F (2) + · · · + F (n) = F (n + 2) − 1 F (1)F (2) + F (2)F (3) + · · · + F (2n − 1)F (2n) = F (2n)2


• Znaleźć wartość sumy kwadratów kolejnych liczb nieparzystych od 1 do 2n − 1. Najlepiej geometrycznie, można na przynajmniej 8 różnych sposobów (w tym trójwymiarowo), z których większość podobnych jest do omawianych podczas prezentacji. 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 • Znaleźć wzór na sumę K(1) + K(2) + · · · + K(n). Udowodnić poniższe fakty. Gwarantuję, że do każdego znajdzie się dowód metodą geometryczną. • • • •

Jeżeli t jest liczbą trójkątną, to 8t + 1 jest kwadratem liczby naturalnej. Jeżeli t jest liczbą trójkątną, to 9t + 1 także jest liczbą trójkątną. Żadna z cyfr 2, 4, 7, 9 nie może być ostatnią cyfrą liczby trójkątnej. Suma n kolejnych liczb nieparzystych począwszy od n2 − n + 1 (tak, liczba tej postaci jest zawsze nieparzysta - proszę sprawdzić) jest sześcianem liczby naturalnej. • Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb trójkątnych jest liczbą trójkątną. • 1 · n + 2 · (n − 1) + 3 · (n − 2) + · · · + n · 1 = S(n)

Zestawem kostek n-domina nazwijmy zestaw wszystkich możliwych kostek złożonych z dwóch kwadratów, z których każdy zawiera całkowitą liczbę oczek od 0 do n. Np. 0-domino ma tylko jedną kostkę - pustą 0−0, 1-domino ma 3 kostki: 0−0, 0−1, 1−1, a 2-domino ma 6 kostek: 0−0, 0−1, 0−2, 1−1, 1−2 i 2−2. • •

Udowodnić, że liczba kostek n-domina wynosi T (n + 1). Znaleźć łączną liczbę oczek na wszystkich kostkach n-domina.

Znów będziemy rozważać rysunki kwadratów podzielonych na kwadraciki jednostkowe. • • •

Jakie jest łączne pole wszystkich możliwych prostokątów które można zobaczyć na tym rysunku? A jeśli zamiast kwadratu o boku n weźmiemy prostokąt o wymiarach a × b - ile będzie różnych prostokątów i jakie będzie ich łączne pole? A jeśli będziemy mieli sześcian o krawędzi n? A prostopadłościan o wymiarach a × b × c? Ile wówczas będzie różnych prostopadłościanów, jaka będzie ich łącza objętość?

Jak się okazuje suma odwrotności wszystkich liczb trójkątnych jest równa 2 (chociaż jest to suma nieskończenie wielu liczb). •

Udowodnić powyższy fakt. Wskazówka: można skorzystać z równości

1 n(n+1)

=

1 n

1 n+1 .

• Wyznaczyć średnią harmoniczną n kolejnych liczb trójkątnych począwszy od T (n). Średnia harmoniczna pewnych liczb to odwrotność średniej arytmetycznej ich odwrotności. Wiadomo, że suma odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych jest pewną liczbą rzeczywistą. Nazwijmy tę liczbę c. Jej dokładną wartość znalazł Euler w 1735 roku. 1 1 1 + 2 + 2 + ··· = c 2 1 2 3 • Wyznaczyć w zależności od c sumę odwrotności kwadratów wszystkich liczb nieparzystych. 1 1 1 + + + ··· 12 32 52 • Wyznaczyć w zależności od c sumę odwrotności kwadratów wszystkich liczb trójkątnych. 1 1 1 + + + ··· 2 2 T (1) T (2) T (3)2 • Na podstawie interpretacji geometrycznej udowodnić, że kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3.


Jeszcze trochę zadanek, głównie dla miłośników rachunków, chociaż... są też ambitne. Uwaga. Jeżeli zadanie nie ma wyraźnego polecenia, chodzi o udowodnienie przedstawionego faktu. • T (ab) = T (a)T (b) + T (a − 1)T (b − 1) • K(a + b) − K(a) − K(b) = ab(a + b + 1) • Ciąg (an ) jest określony przez warunki a1 = 1 oraz an+1 = n2 − an dla każdej liczby naturalnej n ­ 1. Początkowymi wyrazami tego ciągu są zatem liczby 1, 0, 4, 5, 11 itd. Podać wzór ogólny na an . • Dla 1 ¬ k ¬ n niech Nk będzie sumą najmniejszych wyrazów wszystkich podciągów ciągu (1, 2, 3, . . . , n) złożonych z k kolejnych jego elementów. Dla każdego n wyznaczyć wartość sumy N1 + N2 + . . . + Nn . • Dla 1 ¬ k ¬ n niech Nk będzie sumą wszystkich wyrazów wszystkich podciągów ciągu (1, 2, 3, . . . , n) złożonych z k kolejnych jego elementów. Dla każdego n wyznaczyć wartość sumy N1 + N2 + . . . + Nn . • Bardzo ważne, ładne i warte zrobienia zadanie. Znaleźć wszystkie liczby naturalne, których nie da się przedstawić w postaci sumy co najmniej dwóch kolejnych liczb naturalnych. • Udowodnić prawdziwość równości uzyskiwanych tak, jak w poniższym schemacie. T (1) + T (2) + T (3) = T (4) T (5) + T (6) + T (7) + T (8) = T (9) + T (10) T (11) + T (12) + T (13) + T (14) + T (15) = T (16) + T (17) + T (18) ··· = ··· • Jaka jest maksymalna liczba ograniczonych obszarów, które wyznacza na płaszczyźnie n prostych? • Jaka jest liczba różnych pokolorowań wierzchołków trójkąta różnobocznego co najwyżej n kolorami? • Znaleźć wartość wyrażenia S(T (n)) − T (S(n)) T (K(n)) − K(T (n)) • Jedno z moich ulubionych. Ile jest trójkątów równobocznych na rysunku trójkąta równobocznego o boku n podzielonego na n2 trójkątów o boku 1? Czy każdy wie, jak pociąć trójkąt na n2 mniejszych trójkątów? • Istnieje nieskończenie wiele liczb trójkątnych, które są jednocześnie kwadratami liczb naturalnych (np. 36 = T (8) = 62 ). • Suma wszystkich liczb naturalnych od n2 +1 do (n+1)2 jest równa sumie sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych. Na koniec wprowadźmy ciąg liczb, wykazujących podobne własności, co liczby Fibonacciego (i jak można się domyślić podobnie ich się dowodzi). Będą to liczby Padovana - pierwsze trzy są równe 1, a każda następna jest sumą przedostatniej liczby i jeszcze poprzedniej. Formalnie: P (0) = P (1) = P (2) = 1 i P (n) = P (n − 2) + P (n − 3) dla n ­ 3. • Udowodnić, że P (0)2 + P (1)2 + · · · + P (n)2 = P (n + 2)2 − P (n − 1)2 − P (n − 3)2 .

Jeszcze jedno zadanie. Liczbami szóstkowymi nazwijmy liczby kropek potrzebne do narysowania sześciokątnych układów jak na rysunku obok. Są nimi zatem kolejno 1, 7, 19, 37 itd. Liczby naturalne a, b, c i d są takie, że ciąg 1, a, b jest arytmetyczny, ciąg 1, c, d jest geometryczny oraz zachodzi równość a + b = c + d. Udowodnić, że każda możliwa wartość a jest liczbą szóstkową oraz wszystkie liczby szóstkowe są możliwymi wartościami liczby a.

r

rrrrrrr

rrr rrrrrrrrrrrrr rrr

rrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrr

Życzę miłej, satysfakcjonującej i owocnej rozkminy przed feriami, w ferie i po feriach. Łukasz Bożyk


Geometrycznie o liczbach