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Universidad Fermín Toro Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Análisis de Problemas y Toma de Decisiones

REVISTA SOBRE LAS TÉCNICAS E INSTRUMENTOS PARA LA TOMA RACIONAL DE DECISIONES

Autor: Laura Timaure 04/02/2013


Métodos determinísticos

Metodo Simplex Resolver mediante el método simplex el siguiente problema: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a:2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x≥0,y≥0 Se consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + r = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + t = 24 2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecerán todas las variables básicas del problema y las variables de holgura/exceso. En las filas se observan, para cada restricción las variables de holgura con sus coeficientes de las igualdades obtenidas, y la última fila con los valores resultantes de sustituir el valor de cada variable en la función objetivo, y de operar tal como se explicó en la teoría para obtener el resto de valores de la fila:

Tabla I . Iteración nº 1 3 Base Cb P0 P1 P3 0 18 2 P4 0 42 2 P5 0 24 3 Z 0 -3

2 P2 1 3 1 -2

0 P3 1 0 0 0

0 P4 0 1 0 0

0 P5 0 0 1 0


Métodos determinísticos

Metodo Simplex 4. Condición de parada Cuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha alcanzado la solución óptima del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos. 5. Condición de entrada y salida de la base Primero debemos saber la variable que entra en la base. Para ello escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea el menor de los negativos. En este caso sería la variable x (P1) de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde). Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones de deducir cual será la variable que sale. Para ello se divide cada término independiente (P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente, y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición tendríamos una solución no acotada y terminaríamos el problema (Ver teoría del método Simplex). El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, t (P5). Esta fila se llama fila pivote (En color verde). Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (si es posible). En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote, 3. 6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de la fila pivote, t (P5), se obtienen dividiendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. También se puede hacer de la siguiente manera: Fila del pivote: Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) / (Pivote)


Métodos determinísticos

Metodo Simplex Resto de las filas: Nueva fila = (Vieja fila) -(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivote) Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x (P1) en la Tabla II): Vieja fila de P4 Coeficiente Nueva fila pivote Nueva fila de P4 Tabla II . Iteración nº 2 3 Base Cb P0 P1 P3 0 2 0 P4 0 26 0 P1 3 8 1 Z 24 0

2 P2 1/3 7/3 1/3 -1

0 P3 1 0 0 0

0 P4 0 1 0 0

42 2 x 8 = 26

2 2 x 1 = 0

3 2 x 1/3 = 7/3

0 2 x 0 = 0

1 2 x 0 = 1

0 2 x 1/3 = -2/3

0 P5 -2/3 -2/3 1/3 1

Se puede observar que no hemos alcanzado la condición de parada ya que en los elementos de la última fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso: La variable que entra en la base es y (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale es r (P3). El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: Tabla III . Iteración nº 3 3 Base Cb P0 P1 P2 2 6 0 P4 0 12 0 P1 3 6 1 Z 30 0

2 P2 1 0 0 0

0 P3 3 -7 -1 3

0 P4 0 1 0 0

0 P5 -2 4 1 -1


Métodos determinísticos

Metodo Simplex Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso: La variable que entra en la base es t (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable que sale es s (P4). El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla:

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple la condición de parada, obteniendo la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: (x,y) = (3,12)


Métodos probabilísticos

Lógica bayesiana. Teoría de juegos ¿Qué es la teoría de juegos?

Evidentemente definir la Teoría de Juegos es tan absurda como su lógica, pero la realidad es que la Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les da muy bien pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa. . En la Teoría de Juegos la intuición no educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales. Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de ventajas sustanciales estudiando juegos, si se eligen cuidadosamente los mismos. En estos juegos-juegos, se pueden desentender de todos los detalles. Si en lugar de utilizar personajes ficticios utilizamos personajes reales para los juegos si se observase qué tan honesto es ese personaje, cómo manipularía la información obtenida, etc. Para un especialista en Teoría de Juegos el ser deshonesto, etc., sería un error comparable al de un matemático que no respeta las leyes de la aritmética porque no le gustan los resultados que está obteniendo. .

Veamos la forma de aplicar la fórmula de la Probabilidad Bayesiana en uno ejemplo muy sencillo. Hay un colegio cuyo número de estudiantes está formado en un 60% por niños y en un 40% por niñas. A la hora del deporte las niñas del colegio en igual número se visten unas con falda y otras con pantalón corto deportivo. Todos los niños del colegio visten pantalón corto para deportes. Un observador a la distancia ve que a la puerta del colegio se asoma fugazmente una pequeña silueta oscura de alguien que viste con pantalón corto (D), pero no alcanza a distinguir muy bien si se trata de una niña o de un niño de los que allí estudian. El observador puede por igual lanzar la hipótesis de que la silueta con pantalón corto (D) que vio es la de una niña (H1) o la de un niño (H2). Aplicando el Teorema de Bayes puede obtener más seguridad matemática sobre la posible validez de cualquiera de las dos hipótesis. Así, supongamos que primero se plantea que la silueta con pantalón corto observada (D) fue la de una niña (H1), ¿Cuál es su probabilidad de validez? En este caso el evento D es una silueta que viste pantalón corto deportivo, mientras que la hipótesis H1 es suponer que corresponde a una niña y la hipótesis H2 es suponer que corresponde a un niño.


Métodos probabilísticos

Lógica bayesiana. Teoría de juegos Primero se clarifican los siguientes valores: a−) El valor P(H1), es decir, la Probabilidad Previa de que la hipótesis H1 (es una niña) sea cierta aún antes de que se observe la silueta D, se calcula asumiendo que como el evento observado es aleatorio, entonces por igual la silueta puede corresponder a una niña (H1) o a un niño(H2), y como el porcentaje entre niños y niñas del colegio es de 60% a 40%, entonces se concluye que la Probabilidad Previa para que la silueta de una niña se asome a la puerta del colegio es de 40/100 = 0,4;

b−) El valor P(H2), es decir, la Probabilidad Previa de que sea cierta la hipótesis H2 (es un niño) aún antes de la observación de la silueta D, se calcula teniendo en cuenta también lo afirmado en el punto anterior, y por tanto, teniendo en cuenta el porcentaje de niños del colegio, su valor es de 60/100 = 0,6;

c−) El valor P(D\H1), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta que usaba pantalón corto sea de una niña (H1) partiendo del supuesto que es cierta esa hipótesis, se calcula teniendo en cuenta que las niñas del colegio en igual número visten con pantalón corto deportivo o con falda, y por tanto eso equivale a que si todas las niñas del colegio son tomadas como una unidad (1), entonces la mitad de esa unidad usa pantalón corto (1/2) y la otra mitad usa falda (1/2), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta D sea H1 es de 1/2 = 0,5;

d−) El valor P(D\H2), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta que usaba pantalón corto sea de un niño (H2) partiendo del supuesto que es cierta esa hipótesis, se calcula teniendo en cuenta que todos los niños del colegio usan pantalón corto, por lo tanto, si todos los niños son tomados como una unidad (1), entonces la Probabilidad Condicional de que la silueta D sea H2 es de 1;

e−) El valor P(D), es decir, la Probabilidad Marginal de que el hecho D (la observación de la silueta con pantalón corto) pueda ocurrir aleatoriamente bajo todas las hipótesis posibles (H1 o H2), se calcula como: P(D) = P(D\H1)×P(H1) + P(D\H2)×P(H2) = (0,5×0,4)+(1×0,6) = 0,2+0,6 = 0,8.


Métodos probabilísticos

Lógica bayesiana. Teoría de juegos Con toda esta información se puede aplicar la fórmula de Bayes, teniendo en cuenta que la hipótesis analizada es H1 (es la silueta de una niña), y al sustituir los términos se obtiene:

Es decir, existe una probabilidad del 0,25 o del 25% (porque: 0,25×100 = 25%) para creer que la silueta que usaba pantalón corto deportivo era de una niña. Si ahora aplicamos la misma fórmula de Bayes pero teniendo en cuenta los valores obtenido para la hipótesis H2 (es la silueta de un niño), al sustituir los términos se obtiene:

Es decir, existe una probabilidad el 0,75 o del 75% (porque: 0,75×100 = 75%) para creer que la silueta que usaba pantalón corto era de un niño. A la luz de las matemáticas es más acertado creer que la silueta observada correspondió a un niño que a una niña, ya que las probabilidades a favor de esa hipótesis son mayores: 75% > 25%. Por supuesto, esta es sólo la creencia subjetiva en una hipótesis que ha sido fundamentada mediante las matemáticas, la cual podría ser corroborada o descartada si se obtienen nuevos o más datos sobre el asunto: por ejemplo, si al terminar clases aparecen unos estudiantes del colegio portando un pequeño maniquí que viste pantalón corto, el observador podría especular como nueva hipótesis que la silueta vista en la puerta del colegio también podría corresponder a ese maniquí y no a un niño o una niña; o si luego una niña del colegio se acerca al observador y afirma que ella estuvo asomada en la puerta durante la hora en que él realizó la observación, entonces con base en esta nueva información él puede descartar la validez dada a la hipótesis de que la silueta era de un niño, etc.


Métodos híbridos

Modelo de transporte y localización. Técnica de MonteCarlo Modelo De Transporte Como Tecnica De Localizacion

Esta técnica es una aplicación de la programación lineal. Para este tipo de problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier otro tipo de puntos, orígenes o destinos de unos flujos de bienes. La localización de nuevos puntos en la red afectará a toda ella, provocando reasignaciones y reajustes dentro del sistema. El método de transporte permite encontrar la mejor distribución de los flujos mencionados basándose, normalmente en la optimización de los costes de transporte (o, alternativamente, del tiempo, la distancia, el beneficio, etc.) En los problemas de localización, este método puede utilizarse para analizar la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez y en general para cualquier reconfiguración de la red. En cualquier caso, debe ser aplicado a cada una de las alternativas a considerar para determinar la asignación de flujos óptima.

Descripción del método de Montecarlo EXISTEN 5 PASOS IDEALES A SEGUIR PARA EL MÉTODO. 1. Establecer distribuciones de probabilidad. La idea inicial es la generación de valores para las variables que componen el modelo a efectuar. Existen una gran variabilidad de ejemplos donde se llega anotar este punto, algunos de ellos son: el tiempo de descompostura de una maquina, la demanda de un inventario sobre una base diaria o semanal, el tiempo deservicio, etc. Y una manera fácil de establecer una distribución de probabilidad de una variable es a través de examen histórico. La frecuencia relativa para cada resultado de una variable se encuentra al dividir la frecuencia de la observación entre el número total de observaciones. 2. Construir una distribución de probabilidad acumulada para cada variable. Aquí se tiene que convertir una distribución de probabilidad regular a una distribución de probabilidad acumulada. Esto quiere decir que la probabilidad acumulada para cada nivel de demanda no es más que la suma del número en la columna de la probabilidad agregada a la probabilidad acumulada anterior. 3. Establecer intervalos de números aleatorios. En este paso se debe asignar un conjunto de q represente a cada valor posible. Estos están establecidos como intervalos de números aleatorios que surgieron un proceso aleatorio(tomando el número de dígitos requeridos). 4. Generación de números aleatorios. Estos números se pueden generar dedos maneras: la primera es, si se tiene un problema grande y el proceso involucra miles de ensayos, lo conveniente es utilizar algún software especializado para generarlos; la segunda, si la simulación se tiene quehacer a mano, los números se pueden seleccionar en una tabla establecida de números aleatorizados. Existe una tabla para esta última manera. 5. Simular el experimento. No es más q poner en práctica la simulación de dicho experimento, mediante varios ensayos para poder concluir correctamente, ya que al hacer pocos ensayos podríamos comer erroresque perjudicarían el experimento o en el peor de los casos echarlo a perder.


Veamos un ejemplo muy sencillo de la Tecnica de MonteCarlo Se desea conocer la demanda diaria de un comercio alimenticio, donde elaboran emparedados. Por medio de la distribución de probabilidad del método de Montecarlo, en un periodo de 30 días

Aplicando los pasos en la tabla. El primer paso en identificar la demanda que recibe por días. El siguiente paso es construir otra columna con la sumatoria consecutiva de cada ocurrencia de los valores.

En esta tabla se hace presente el paso 3, que trata de colocar los intervalos de los números aleatorios, simplemente se colocan los números empezando por el 01hasta el valor de la probabilidad acumulada. Y después se sigue con el otro valor comenzando por número en el que se quedo. Una manera simple de ver la simulación es mediante esta simplificación del ejemplo en un periodo de 10 días. Por último se emplean los pasos 4 y 5 en la tabla que continua se busca un numero aleatorio en la tabla 1 expuesta en el paso 4. Después se compara el numero aleatorio obtenido con el intervalo de la tabla 3, a verificar en que intervalo cae se colocara el valor de la demanda en la tercer columna.

Técnicas e instrumentos para la toma racional de decisiones  

Laura Timaure

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