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Tema 4

Combinatoria

Laura Mora Carrasco, Javier Mรกrquez Rodriguez.


1. IntroducciĂłn a la combinatoria

La combinatoria nos puede ser muy Ăştil para calcular los sucesos posibles y favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran nĂşmero de sucesos.


1. Introducción a la combinatoria. Ejemplo. 1. Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas? - Casos posibles:

- Casos favorables: Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 · 9!.


2. Variaciones Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≼ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: - No entran todos los elementos. - Sí importa el orden. - No se repiten los elementos.


2. Variaciones TambiĂŠn podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Las variaciones se denotan por variaciones


2.1 Variaciones sin repetición

Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos,de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por Vm,n. (n≤m).


2.1 Variaciones sin repetici贸n

Para construir las variaciones sin repetici贸n, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y construimos todas las variaciones sin repetici贸n posibles.


2.2 Variaciones con repetición Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: - No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n - Sí importa el orden. - Sí se repiten los elementos.


3. Permutaciones

Llamamos permutaci贸n de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenaci贸n posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutaci贸n. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".


3.1 Permutaciones sin repetición Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn. Para construir las permutaciones sin repetición de un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. Se trata entonces de hacer lo mismo que se ha hecho con las variaciones sin repetición de orden n a partir de un conjunto de n elementos.


3.2 Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk.


4. Combinaciones

Una combinaci贸n, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posici贸n que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinaci贸n nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.


4.1 Combinaciones sin repetición

Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m). Para construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles.


4.2 Combinaciones con repetición Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≼ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: - No entran todos los elementos. - No importa el orden. - Sí se repiten los elementos.


5. Números combinatorios. Propiedades Números combinatorios son números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Propiedades de los números combinatorios:


6. Potencia de un binomio: Binomio de Newton. La f贸rmula que nos permitir谩 elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener

Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)


6. Potencia de un binomio: Binomio de Newton.

Esto es el triĂĄngulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nĂşmeros combinatorios desde los de numerador 1


6. Potencia de un binomio: Binomio de Newton. La f贸rmula general del llamado binomio de Newton:


7. Planteamiento de un problema combinatorio ¿Importa el orden? Sí

No

¿Intervienen todos los elementos? Sí

No

Permutaciones con repetición

¿Se pueden repetir los elementos?

¿Hay elementos iguales? Sí

¿Se pueden repetir los elementos?

No

Permutaciones sin repetición

Sí Variaciones con repetición

Combinaciones con repetición

No Variaciones sin repetición

No

Combinaciones sin repetición


Combinatoria