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TRABAJO MATEMÁTICAS 2º EVALUACIÓN LAURA LOSA GARCÍA 1ºA BACH

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Este trabajo tiene como objetivo conocer diversas características de las espirales, los diferentes tipos que hay, y otras curiosidades como su simbolismo o su presencia en la naturaleza; y saber dibujarlas en GeoGebra. DEFINICIÓN Por ello, empiezo con una breve definición: La espiral es una línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él. A cada vuelta completa, la espiral se aleja de su centro a una distancia constante denominada "paso de la espiral". Una espiral está definida por este paso, la distancia longitudinal con que se desplaza un punto de la curva en una vuelta completa; el núcleo, a partir de donde se genera la espiral, pueden ser lineales si los centros están situados en una línea, o poligonales si son los vértices del polígono los centros que generan la curva; y los radios vectores, es decir, la prolongación de la línea donde están situados los centros del núcleo, o bien de los lados del polígono que hace de núcleo.

DIFERENTE A HÉLICE A veces una espiral puede llegar a confundirse con una hélice, pero la primera suele ser plana mientras que la segunda es tridimensional, es una línea curva continua, con pendiente finita y no nula, que gira alrededor de un cilindro, un cono o una esfera, avanzando en las tres dimensiones.

SIMBOLISMO Al igual que muchos otros elementos, las espirales no solo están presentes en las matemáticas. La espiral es uno de los símbolos más antiguos y se encuentra en todos los continentes, habiendo jugado un papel fundamental en el simbolismo. En muchos lugares representaba el ciclo "nacimiento-muerte-renacimiento" así como al Sol, y actualmente, la espiral también es empleada como símbolo para representar el pensamiento cíclico.

ESPIRALES EN LA NATURALEZA También podemos observar diversas espirales en la naturaleza. Muchas conchas animales forman una espiral logarítmica, se forman siguiendo una curva que rota en torno a un eje, de modo que la forma de la curva permanece constante pero su tamaño aumenta en progresión geométrica. En otras sigue un patrón espacial, con forma de hélice. Además, podemos encontrar la aparición de espirales en la anatomía de diversos cuernos, pelambres, dientes, uñas y algunas plantas.

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TIPOS DE ESPIRALES Espiral de Arquímedes: Es la que se nos viene a la mente cuando pensamos en una espiral. Su definición formal es que es curva que se aleja de un punto fijo (llamado centro) con una velocidad angular constante. Es decir, es la que se va alejando progresivamente del centro, estando cada punto un poquito más alejado que el anterior. Se puede encontrar en los discos de vinilo.

una

Clotoide: Es una espiral en la que el radio de curvatura y la distancia hasta el centro son inversamente proporcionales, es decir, que conforme te vas alejando del centro, el radio de curvatura va disminuyendo progresivamente. Es utilizada en trazados de carreteras y ferroviarios.

Espiral de Fermat: También conocida como espiral parabólica, una espiral bastante especial y difícil de encontrar de forma natural. Su fórmula tiene una raíz cuadrada, por lo que cada caso tiene dos soluciones. Es decir, a cada valor del ángulo le corresponden dos valores del radio, uno de ellos positivo y el otro negativo. Es como si fueran dos Espirales de Arquímedes, que salen del mismo centro (por tanto, ese punto es común) y después cada una va hacia un lado distinto.

es

Espiral hiperbólica: Es justamente el caso inverso a la Espiral de Arquímedes. Empieza desde un radio muy grande (infinito) y ese radio va disminuyendo hasta llegar al centro de la espiral. De esta espiral cabe destacar que es fácil de encontrar en la naturaleza, ya que muchos moluscos tienden a crecer cumpliendo su forma.

Espiral logarítmica: También conocida como Espiral de Bernouilli y Espiral de Fibonacci, esta curva está estrechamente relacionada con el número de oro. Se diferencia con la de Arquímedes, en que el radio de curvatura respecto del centro crece cumpliendo una progresión geométrica. Esto quiere decir que, en vez de crecer ese radio de forma constante, crece respecto al producto de valores anteriores. Es por eso por lo que crece, y por tanto se aleja del centro, mucho más rápido que otras espirales. Se puede observar en conchas de moluscos, en la formación de las galaxias, en la forma de los huracanes o de algunas flores, entre otros ejemplos.

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Yo he elegido para representar la espiral aurea. Personalmente es la que más me gusta ya que se puede encontrar no solo en la naturaleza y en la anatomía humana, sino que también es muy usada en arquitectura y arte. Esta espiral se forma partiendo de un rectángulo dorado, es decir, aquél que al inscribir un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo que queda sigue siendo uno dorado. Es por esto por lo que lo primero que he hecho en GeoGebra, ha sido este rectángulo peculiar.

1.Primero se crean dos puntos: A(0,1) y B(0,0) pulsando la opción de punto y en estas coordenadas. Estos son los vértices que delimitarán el lado menor izquierdo del rectángulo.

2.A continuación, se elige la opción de polígono regular, en la que señalas dos puntos que indican un lado y de cuántos de estos lados quieres el polígono. Entonces se pulsa en A y B y se indica 4 en la pestaña que aparece pidiendo el número de lados. Tras darle a OK se forma el polígono.

4


3.Se marca el punto medio del lado inferior, BC, que corresponde a M(0’5,0). Este será el centro de la circunferencia con la que se establecerá el rectángulo.

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4. Clicando en la herramienta de segmento y pulsando en los puntos M y D, se obtiene la recta que actúa como radio de la circunferencia posterior.

5. Para formar dicha circunferencia se selecciona la herramienta de uso de circunferencia con opción “Circunferencia (Centro, Radio)”. Tomando la M como centro y el segmento anteriormente creado como radio, se dibuja la circunferencia.

6. El siguiente paso a seguir es realizar dos paralelas que crucen los puntos A y D, y B y C respectivamente. Esto se realiza utilizando nuevamente la herramienta de elaborar segmentos a

6


partir

a

de

puntos.

7. La circunferencia intersecta la paralela inferior en el punto I, este lo seĂąalamos con la herramienta de intersecciĂłn que se encuentra dentro de la opciĂłn de punto.

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8. Para encontrar el punto de la recta superior, se realiza una perpendicular al punto I. Esta recta corta a la paralela citada en el punto J.

9. Como el eje y la cuadrícula no son necesarios se ocultan para ver más claro el resultado. Esto se hace pulsando el botón derecho del ratón y en el menú que aparece se pincha en los cuadrados que aparecen junto a “Ejes” y “Cuadrícula”.

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10. Con estos puntos como vértices del rectángulo, volvemos a la opción de crear polígono, pero esta vez en la que es el icono de un triángulo. Se pinchan todos los puntos y por último el primero pulsado para formar este rectángulo áureo.

9


11. A continuaciĂłn se forman cuadrados inscritos dentro del rectĂĄngulo. Todos ellos con la herramienta descrita en el paso 2. Primero se pulsa en C y en I, y se elige 4 lados.

12.

DespuĂŠs

en

O

y

en

K

y

de

la

misma

manera

se

eligen

4

lados.

10


13.Se

realiza

el

mismo

procedimiento

pulsando

en

D

y

en

Q.

14.Ahora se crean los cuadrados fuera del rectĂĄngulo. El primero se sitĂşa arriba del rectĂĄngulo, teniendo como base A y K.

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15.Y el último cuadrado, a la derecha del rectángulo teniendo como lado izquierdo el segmento UI.

16. Al ya tener la guía de la espiral, esta se empieza a dibujar, pinchando en la herramienta de la circunferencia, en la opción “Arco circunferencia. Tres puntos: el centro y otros dos”. Tomando I como centro de una circunferencia y como W el extremo del radio, se arrastra hasta U donde se vuelve a pinchar para cerrar la circunferencia.

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17. Al igual que para realizar los cuadrados, este es un procedimiento repetitivo. Para el siguiente arco se toma K como centro, y despuĂŠs de U a A.

18.

Se

coge

D

como

centro

y

un

arco

delimitado

por

A

y

C.

13


19.

Este

arco

tiene

de

centro

P

y

como

lĂ­mites,

C

y

O.

20. Para este arco, primero se pulsa en R, luego en O y por Ăşltimo en Q.

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21. Este último arco que termina la espiral tiene como centro T, y lo forman Q y S.

22. Para acabar, se aumenta el grosor de la espiral obtenida con el fin de facilitar su apreciación. Esto se hace pinchando encima de ellas y en la barra de herramientas que aparece arriba a la derecha en el icono de una línea horizontal. Aquí se elige un grosor de por ejemplo 10, y en la opción de la izquierda, se puede escoger otro color diferente al negro, como puede ser el verde.

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Y

siguiendo todos estos pasos, se consigue una espiral áurea. Para realizar este trabajo he utilizado el programa GeoGebra. Es un programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en todos sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único conjunto. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en tablas y planillas, y hojas de datos dinámicamente vinculadas. Es gratuito y fácil de aprender a utilizar y además cada objeto que representes tiene la vista gráfica, Geometría, y la algebraica, ÁlGebra. Por ello hay relación entre los símbolos algebraicos y las gráficas y demás elementos geométricos.

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Si tienes alguna duda a la hora de realizar alguna actividad, el mismo programa te ofrece una opción de “Ayuda”, con notas y algún enlace a un tutorial sobre el tema en cuestión.

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Espiral en GeoGebra  
Espiral en GeoGebra  
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