Page 1

Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

Topic: A sample of a clay is isotropocally consolidated to a mean effective stress of 300 kPa and is isotropically unloaded to a mean effective stress of 250 kPa. An undrained trixial extension test is to be carried out by keeping the axial stress constant and increasing the radial stress. Predict and plot the stress-strain (q versus ε1) and the excess porewater pressure (∆υ ersus ε1) responses up ti failure. The soil parameters are λ=0,23; κ=0,07, ϕ=24o, ν’=0,3 and eo=1,32. Đề bài tiếng việt: Một mẫu đất sét được cố kết đẳng hướng đến áp lực hữu hiệu trung bình 300 kPa rồi sau áp lực đẳng hướng được giảm tải về 250 kPa. Thí nghiệm nở ba trục không thoát nước được tiến hành bằng cách giữ áp lực thẳng đứng không đổi và tăng áp lực ngang. Dự đoán và vẽ biểu đồ quan hệ ứng suất - biến dạng (σ − ε ) và quan hệ áp lực nước lỗ rỗng - biến dạng . Các tham số của mẫu đất λ=0,23; κ=0,07; ϕ=24o; ν’=0,3 and eo=1,32. Giải 1- Giải theo mô hình Modify Cam-Clay - Tính các thông số đặc trưng: 6sin ϕ ' 6sin 24o Me = = = 0, 72 Tính M: 3 + sin ϕ ' 3 + sin 24o Do thí nghiệm ba trục của bài toán theo lộ trình dữ nguyên σ1 tăng σ3 nên ' phương trình đường CSL trong mặt phẳng (q, p’): q = − M e p pc' + κ ln po' Tính er: 2 300 ⇔ er = 1,32 + (0, 23 − 0, 07) ln + 0, 07 ln 250 = 2,51 2 ' Bước 1: Xác định ( p y , q y ) er = eo + (λ − κ ) ln

Do lộ trình ứng suất đoạn AD nằm trong miền đàn hồi nên là giao điểm của tường đàn hồi và mặt tỷ số độ rỗng không đổi là đường thẳng đứng trong mặt (q, p’). ⇒ p 'y = po' = 250kPa q y = − M e p0'

pc' 300 − 1 = −0, 72 × 250 × −1 ' po 250

q y = −80,5kPa ' Bước 2: Tìm ứng suất hữu hiệu trung bình p f và ứng suất lệch q f lúc trượt.

 e − ef   e − ef  p 'f = exp  Γ q f = M e exp  Γ ÷ ÷  λ   λ   2,51 − 1,32  ⇔ p 'f = exp  ÷ = 176, 61kPa  0, 23  q f = −0, 72 ×176, 61 = −127,16kPa

Bước 3: Tính G G= Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

3 p ' (1 + eo )(1 − 2ν ' ) 2κ (1 +ν ' ) 1/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

Với p ' là ứng suất trung bình: p ' =

po' + p 'y

= 250kPa 2 3 × 250(1 + 1,32)(1 − 2 × 0,3) G= = 3824,18kPa 2 × 0, 07 × (1 + 0,3)

Vậy:

Bước 4: Biến dạng cắt đàn hồi ban đầu:

∆q −80,5 = = −0, 702% 3G 3 × 3824,18 Bước 5:Chọn ∆p ' = 3kPa ∆ε de =

Ứng suất hữu hiệu đầu tiên sau ngưỡng p ' = po' − ∆p ' = 250 − 3 = 247 kPa

Bước 6: Tính ứng suất cố kết trước cho với p ' = 247 kPa p pc' = ( pc' ) prev   p 

' prev '

κ λ −κ

 ÷ ÷ 

0,07

 250  0,23−0,07 = 300 ×  = 301,59kPa ÷  247 

Bước 7: Tính q q = −M e p

pc' 301,59 − 1 = −0, 72 × 247 − 1 = −83, 6kPa p' 247

'

Bước 8: Tính gia số biến dạng đàn hồi thể tích  p'  κ 0, 07  247  ∆ε ve = ln  ' ÷ = ln  ÷ = 0, 036%  ÷ 1 + eo

 p prev  1 + 1,32

 250 

Bước 9: Tính gia số biến dạng dẻo thể tích, vì tổng biến dạng thể tích bằng không b ∆ε vp = −∆ε ve = 0, 036% nên Bước 10: Tính gia số biến dạng dẻo cắt ∆ε dP = ∆ε vP

q M e2 ( p ' −

' c

p ) 2

= 3, 6 × 10−4 ×

−83, 6 = −6, 04 × 10−3% 301,59 0, 722 (247 − ) 2

Bước 11: Tính gia số biến dạng đàn hồi cắt ∆ε de =

∆q −83, 6 − (−80,5) = = −2, 69 ×103% 3G 3 × 3824,18

Bước 12: Cộng gia số biến dạng cắt dẻo và đàn hồi cắt vào gia số tổng biến dạng cắt ∆ε d = ∆ε de + ∆ε dp = −6, 04 × 10−5 + (−2, 69 ×10 −5 ) = −8, 73 ×10 −5 Bước 13: Tổng gia số biến dạng cắt ε d , với điều kiện không thoát nước ε1 = ε d ε d = ε1 = ( ∆ε de ) initial − ∆ε d = −7, 02 ×10−4 − 8, 73 ×10 −5 = −0, 079%

Bước 14: Tính tổng ứng suất tức thời p = po' −

q −83, 6 = 250 − = 277,87 3 3

Bước 15: Áp lực nước lỗ rỗng thặng dư ∆u = p − p ' = 277,87 − 247 = 30,87kPa

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

2/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

2. Giải theo mô hình Cam-Clay: 

Xác định các điểm chính trong lộ trình ứng suất Các thông số đặc trưng: OCR =

- Tính OCR:

pC' 300 = = 1, 2 < e = 2, 71828... ' pO 250

⇒ Đất cố kết trước nhẹ

- Thể tích riêng tại O:

vo=1+eo=1+1,32=2,32 6sin ϕ ' 6sin 24o M = = = 0, 72 - Tính M: e 3 + sin ϕ ' 3 + sin 24o Do mẫu đất bị nở ra theo trục dọc với lộ trình giữ σ1 tăng σ3 nên đường CSL có q = − M e p ' = −0, 72 p ' phương trình:

- Tính N: N được tính theo công thức: N = vO + (λ − κ ) ln pC' + κ ln pO' (chứng minh ở phần phụ lục). ' ' Ta có: N = vO + (λ − κ ) ln pC + κ ln pO N = 2,32 + (0, 23 − 0, 07) ln 300 + 0, 07 ln 250 = 3, 62

- Tính Γ : Γ được tính theo công thức Γ = vO + (λ − κ ) ln

pC' + κ ln pO' e

(chứng minh ở phần phụ lục) pC' + κ ln pO' e Γ = 2,32 + (0, 23 − 0, 07)(ln 300 − 1) + 0, 23ln 250 Γ = 3, 46

Ta có: Γ = vO + (λ − κ ) ln

. Điểm O Sau khi nén cố kết đẳng hướng với áp lực 300kPa rồi giảm áp lực đẳng hướng về ' 250kPa lộ trình ứng suất dừng tại điểm O có pO = 250kPa ; qO = 0kPa ; vO = 2,32 . Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

3/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

. Điểm B Bây giờ ta tiến hành thí nghiệm ba trục không thoát nước bằng cách giữ ứng suất dọc trục không đổi (σ1) và tăng ứng suất xuyên tâm (σ3) lúc này lộ trình ứng suất sẽ đi theo giao tuyến của mặt v=const và tường đàn hồi đến gặp mặt ngưỡng tại B. Do đó điểm B có: vB = vO = 2,32 ; pB' = pO' = 250kPa Do điểm B nằm trên mặt ngưỡng nên để xác định q B trong ta cần xác định phương trình đường ngưỡng trong mặt (q, p’). Phương trình đường ngưỡng trong mặt (q, p’) có dạng:

q p' + ln ' = 1 ' −M e p px

Với x là điểm đỉnh của đường ngưỡng và là giao điểm của đường ngưỡng với đường CSL trong mặt (q, p’), p’x được tính: ln px' =

1 (Γ − vC − κ ln pC' ) (λ − κ )

Với vc là thể tích cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng: vC = N − λ ln pC' = 3, 62 − 0, 23ln 300 = 2,31 1 (3, 46 − 2,31 − 0, 07 ln 300) = 4, 7038 (0, 23 − 0, 07) ⇒ px' = 110,36 kPa ln px' =

Thế vào phương trình đường ngưỡng ta tính được qB: qB pB' pB' ' + ln = 1 ⇔ q = − M p (1 − ln ) B e B − M e pB' p x' px' 250 ⇔ qB = −0, 72 × 250 × (1 − ln ) = −32, 65kPa 110,36 Vậy lộ trình tới điểm B nằm trên mặt ngưỡng: vB = 2,32 ; qB = −32, 65kPa

pB' = 250kPa ;

. Điểm phá hoại F Sau khi chạm mặt giới hạn tại B, lộ trình sẽ đi theo mặt giới hạn và mặt có v=const đến khi chạm đường CSL thì mẫu phá hoại. Do F, B, O cùng nằm trên mặt có v= const nên vF=vB=2,32 Do F nằm trên đường CSL nên: vF = Γ − λ ln p ⇒ p = e ' F

' F

 Γ− vF   λ ÷  

=e

 3,46 − 2,32   ÷  0,23 

= 141,55kPa

Và qF = − M e p = −0, 72 ×141,55 = −101, 4kPa ' Vậy điểm phá hoại F: vF = 2,32 ; pF = 141,55kPa ; qF = −101, 4kPa ' F

Gia số biến dạng và gia số áp lực nước lỗ rỗng theo lộ trình O → B → F • Gia số biến dạng dọc trục Trong quá trình không thoát nước, tổng thể tích mẫu không đổi như vậy biến dạng thể tích đàn hồi bằng với biến dạng dẻo nhưng trái dấu: ∂ε ve + ∂ε vp = 0 Với biến dạng đàn hồi thể tích được tính theo công thức: 

∂ε ve = −κ

∂p ' ∂p ' p ⇒ ∂ ε = κ v vp ' vp '

Mô hình Cam-Clay không xét đến biến dạng cắt nên tổng biến dạng cắt bằng biến dạng cắt dẻo: Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

4/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17 ∂ε d = ∂ε dp =

1 M−

q p'

κ

∂p ' vp ' ∂ε1 = ∂ε d +

Vậy gia số biến dạng dọc trục:

∂ε v 3

• Gia số áp lực nước lổ rỗng Tại điểm O sau quá trình cố kết đẳng hướng kết thúc: pO = pO' = 250kPa ; qO = 0kPa ; vO = 2,32  Khi gia tăng áp lực đứng theo lộ trình O → B Lộ trình lúc này đi trên giao điểm của mặt v=vo=const và tường đàn hồi: ' o p’ không đổi và bằng pO o q = qprev + ∆q Vậy:

p = pO −

q 3

∆u = p − p ' Áp lực nước lỗ rỗng:  Khi gia tăng áp lực đứng theo lộ trình B → F Lộ trình lúc này đi trên giao điểm của mặt v=const và mặt giới hạn Rosce: o p’ = p’prev - ∆p’ o q được tính như sau : Giả sử khi tăng áp lực lên thì lộ trình sẽ tiến đến điểm I như hình vẽ. Lúc này I 'I sẽ nằm trên đường ngưỡng khác có pC như hình vẽ:

Ta có thể tìm q dựa theo phương trình mặt giới hạn trong mô hình CM: λ −κ q v = Γ + λ − κ − λ ln p '− −M e p '

Hoặc có thể tìm q như sau: Ta có thể dễ dàng chứng minh được công thức: (chứng minh ở phần phụ lục)  p' pc' = ( pc' ) prev  prev  p' 

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

κ

 λ −κ ÷ ÷ 

5/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17 κ

 p '  λ −κ pc' I = pc'  B' ÷  pI 

Tức:

pc' I Có p ta tính được p = với e = 2,71828..... (công thức chứng minh ở phần e 'I c

'I x

phụ lục). Từ đó xác định đường phương trình đường ngưỡng mới đi qua I q p' + ln ' I = 1 −M e p ' px ' Thế pI vào phương trình đường ngưỡng ta xác định được qI.

• p' O 250.00

Bảng áp lực nước lỗ rỗng và biến dạng theo lộ trình từ O → B q 0.00

250.00 -1.00 250.00 -2.00 250.00 -3.00 250.00 -4.00 250.00 -5.00 250.00 -6.00 250.00 -7.00 250.00 -8.00 250.00 -9.00 250.00 -10.00 250.00 -11.00 250.00 -12.00 250.00 -13.00 250.00 -14.00 250.00 -15.00

p u ∂ε ev 250.00 0.00 0.00 250.33 0.33 0.00 250.67 0.67 0.00 251.00 1.00 0.00 251.33 1.33 0.00 251.67 1.67 0.00 252.00 2.00 0.00 252.33 2.33 0.00 252.67 2.67 0.00 253.00 3.00 0.00 253.33 3.33 0.00 253.67 3.67 0.00 254.00 4.00 0.00 254.33 4.33 0.00 254.67 4.67 0.00 255.00 5.00

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

∂ε v

∂epd

∂ε d

∂e1

ε1

0%

0%

0.00 -0.0168% -0.0168% -0.0168% -0.0168% 0.00 -0.0167% -0.0167% -0.0167% -0.0334% 0.00 -0.0166% -0.0166% -0.0166% -0.0500% 0.00 -0.0165% -0.0165% -0.0165% -0.0665% 0.00 -0.0164% -0.0164% -0.0164% -0.0829% 0.00 -0.0163% -0.0163% -0.0163% -0.0992% 0.00 -0.0162% -0.0162% -0.0162% -0.1154% 0.00 -0.0161% -0.0161% -0.0161% -0.1315% 0.00 -0.0160% -0.0160% -0.0160% -0.1475% 0.00 -0.0160% -0.0160% -0.0160% -0.1635% 0.00 -0.0159% -0.0159% -0.0159% -0.1794% 0.00 -0.0158% -0.0158% -0.0158% -0.1952% 0.00 -0.0157% -0.0157% -0.0157% -0.2109% 0.00 -0.0156% -0.0156% -0.0156% -0.2265% 0.00 -0.0155% -0.0155% -0.0155% -0.2420%

6/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17 0.00 0.00 -0.0155% -0.0155%

250.00 -16.00 255.33 5.33

-0.0155% -0.2575% 0.00 0.00 -0.0154% -0.0154%

250.00 -17.00 255.67 5.67

-0.0154% -0.2729% 0.00 0.00 -0.0153% -0.0153%

250.00 -18.00 256.00 6.00

-0.0153% -0.2882% 0.00 0.00 -0.0152% -0.0152%

250.00 -19.00 256.33 6.33

-0.0152% -0.3034% 0.00 0.00 -0.0152% -0.0152%

250.00 -20.00 256.67 6.67

-0.0152% -0.3186% 0.00 0.00 -0.0151% -0.0151%

250.00 -21.00 257.00 7.00

-0.0151% -0.3337% 0.00 0.00 -0.0150% -0.0150%

250.00 -22.00 257.33 7.33

-0.0150% -0.3487% 0.00 0.00 -0.0149% -0.0149%

250.00 -23.00 257.67 7.67

-0.0149% -0.3636% 0.00 0.00 -0.0149% -0.0149%

250.00 -24.00 258.00 8.00

-0.0149% -0.3785% 0.00 0.00 -0.0148% -0.0148%

250.00 -25.00 258.33 8.33

-0.0148% -0.3932% 0.00 0.00 -0.0147% -0.0147%

250.00 -26.00 258.67 8.67

-0.0147% -0.4080% 0.00 0.00 -0.0146% -0.0146%

250.00 -27.00 259.00 9.00

-0.0146% -0.4226% 0.00 0.00 -0.0146% -0.0146%

250.00 -28.00 259.33 9.33

-0.0146% -0.4372% 0.00 0.00 -0.0145% -0.0145%

250.00 -29.00 259.67 9.67

-0.0145% -0.4517% 0.00 0.00 -0.0144% -0.0144%

250.00 -30.00 260.00 10.00

-0.0144% -0.4661% 0.00 0.00 -0.0144% -0.0144%

250.00 -31.00 260.33 10.33

-0.0144% -0.4805% 0.00 0.00 -0.0235% -0.0235%

B

250.00 -32.65 260.88 10.88

• p' B

250

-0.0235% -0.5040%

Bảng áp lực nước lỗ rỗng và biến dạng theo lộ trình từ B → F q

p

u

e

p

∂ε v=∂ε

v

∂epd

∂ed

-32.65 260.88 10.88 -0.0003621

247

∂εv

-35.33 261.78 14.78

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

0

∂e1

ε1

-0.024%

-0.504%

-0.038%

-0.542%

-0.0381% -0.0381%

7/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17 -3.343E-06

244

0 0

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

0

-0.032%

-0.889%

-0.031%

-0.920%

-0.031%

-0.951%

-0.030%

-0.981%

-0.029%

-1.011%

-0.029%

-1.040%

-0.028%

-1.068%

-0.028%

-1.095%

-0.027%

-1.122%

-0.026%

-1.149%

-0.026%

-1.175%

-0.025%

-1.200%

-0.0257% -0.0257% -0.0250% -0.0250%

-82.11 277.37 93.37 -4.487E-06

-0.857%

-0.0263% -0.0263%

-80.335 276.78 89.78 -4.415E-06

184

0

-0.033%

-0.0270% -0.0270%

-78.51 276.17 86.17 -4.346E-06

187

0

-0.825%

-0.0276% -0.0276%

-76.636 275.55 82.55 -4.278E-06

190

0

-0.033%

-0.0282% -0.0282%

-74.714 274.90 78.90 -4.213E-06

193

0

-0.791%

-0.0289% -0.0289%

-72.745 274.25 75.25 -4.149E-06

196

0

-0.034%

-0.0295% -0.0295%

-70.729 273.58 71.58 -4.088E-06

199

0

-0.758%

-0.0301% -0.0301%

-68.667 272.89 67.89 -4.028E-06

202

0

-0.034%

-0.0307% -0.0307%

-66.56 272.19 64.19 -3.97E-06

205

0

-0.723%

-0.0313% -0.0313%

-64.409 271.47 60.47 -3.913E-06

208

0

-0.035%

-0.0320% -0.0320%

-62.214 270.74 56.74 -3.858E-06

211

0

-0.688%

-0.0326% -0.0326%

-59.975 269.99 52.99 -3.805E-06

214

0

-0.036%

-0.0332% -0.0332%

-57.694 269.23 49.23 -3.753E-06

217

0

-0.653%

-0.0338% -0.0338%

-55.37 268.46 45.46 -3.703E-06

220

0

-0.036%

-0.0344% -0.0344%

-53.005 267.67 41.67 -3.653E-06

223

0

-0.616%

-0.0350% -0.0350%

-50.599 266.87 37.87 -3.606E-06

226

0

-0.037%

-0.0356% -0.0356%

-48.152 266.05 34.05 -3.559E-06

229

0

-0.580%

-0.0362% -0.0362%

-45.666 265.22 30.22 -3.514E-06

232

0

-0.037% -0.0368% -0.0368%

-43.14 264.38 26.38 -3.469E-06

235

0

-40.575 263.53 22.53 -3.426E-06

238

-0.0375% -0.0375%

-37.972 262.66 18.66 -3.384E-06

241

0

-0.0244% -0.0244%

8/14


Cơ học đất nâng cao 181

Bài tập 8.17

-83.836 277.95 96.95 -4.562E-06

178

-88.7

141.6 -101.40 283.80 142.25

0

-0.020%

-1.356%

-0.019%

-1.375%

-0.019%

-1.394%

-0.018%

-1.412%

-0.017%

-1.429%

-0.016%

-1.445%

-0.015%

-1.461%

-0.017%

-1.477%

-0.0155% -0.0155%

-100.27 283.42 138.42 -6.549E-06

F

0

-1.336%

-0.0163% -0.0163%

-99.227 283.08 135.08 -5.579E-06

145

0

-0.021%

-0.0171% -0.0171%

-98.118 282.71 131.71 -5.468E-06

148

0

-1.315%

-0.0179% -0.0179%

-96.948 282.32 128.32 -5.362E-06

151

0

-0.022%

-0.0187% -0.0187%

-95.717 281.91 124.91 -5.259E-06

154

0

-1.293%

-0.0194% -0.0194%

-94.428 281.48 121.48 -5.161E-06

157

0

-0.022%

-0.0202% -0.0202%

-93.08 281.03 118.03 -5.066E-06

160

0

-1.271%

-0.0209% -0.0209%

-91.676 280.56 114.56 -4.974E-06

163

0

-0.023%

-0.0216% -0.0216%

-90.215 280.07 111.07 -4.886E-06

166

0

-1.248%

-0.0223% -0.0223%

279.57 107.57 -4.801E-06

169

0

-0.024% -0.0230% -0.0230%

-87.131 279.04 104.04 -4.718E-06

172

0

-1.224%

-0.0237% -0.0237%

-85.51 278.50 100.50 -4.639E-06

175

0

-0.024%

-0.0167% -0.0167%

Biểu đồ quan hệ giữa q và ε:

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

9/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

q-ε -120.00 -100.00 -80.00 -60.00 -40.00 -20.00 0.00 0

-0.003

-0.006

-0.009

-0.012

-0.015

-0.018

Biểu đồ quan hệ giữa ∆u và ε:

∆u - ε 150.00 120.00 90.00 ∆u 60.00 30.00 0.00 0

-0.003

-0.006

-0.009

-0.012

-0.015

-0.018

ε

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

10/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

PHỤ LỤC

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

11/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

' ' 1. Chứng minh công thức: N = vO + (λ − κ ) ln pC + κ ln pO

Do điểm O và C cùng thuộc đường nén lại nên:  po'  vO = vC − κ ln  ' ÷  pc 

Mà điểm C cũng thuộc đường NCL, do đó: vC = N − λ ln pC'  po'  Thế vc vào vO = vC − κ ln  ' ÷ ta được:  pc   p'  vO = N − λ ln pC' − κ ln  o' ÷ = N − (λ − κ ) ln pC' − κ ln pO'  pc 

Vậy:

N = vO + (λ − κ ) ln pC' + κ ln pO'

2. Chứng minh công thức: Γ = vO + (λ − κ )(ln pC − 1) + κ ln pO Như chứng minh ở trên ta có được: N = vO + (λ − κ ) ln pC' + κ ln pO' N − Γ = λ −κ Mặc khác: ⇔ Γ = N − (λ − κ ) ⇔ Γ = N − (λ − κ ) Hay ⇔ Γ = vO + (λ − κ ) ln pC' + κ ln pO' − (λ − κ ) ⇔ Γ = vO + (λ − κ )(ln pC' − 1) + κ ln pO' ' ' Vậy : Γ = vO + (λ − κ )(ln pC − 1) + κ ln pO '

'

3. Chứng minh công thức:  p' pc' = ( pc' ) prev  prev  p' 

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

κ

 λ −κ ÷ ÷ 

12/14


Cơ học đất nâng cao

Bài tập 8.17

Giải sử lộ trình đang ở điểm I nằm trên đường v= const. Điểm I cũng nằm trên đường nở có giao điểm với đường NCL tại D. Ta có điểm D nằm trên hai đường v = N − λ ln p ' và v = B − κ ln p ' ⇒ vD = N − λ ln pD' = B − κ ln pD' (1) Mà điểm I cũng thuộc đường v = B − κ ln p ' nên: ⇒ vI = B − κ ln pI' ⇔ B = vI + κ ln pI' Mà vI = vO = v0

( Vì I, B cùng nằm trên đường v = v0 ) ⇒ B = v0 + κ ln pI' (2) Thế B từ (2) vào (1), ta được: N − λ ln pD' = v0 + κ ln pI' − κ ln pD' ⇔ N − v0 − κ ln pI' = −κ ln pD' + λ ln pD' ⇔ N − v0 − κ ln pI' = (λ − κ ) ln pD' (3) Tương tự ta cũng có điểm C nằm trên hai đường v = N − λ ln p ' và v = A − κ ln p ' ⇒ vC = N − λ ln pC' = A − κ ln pC' (4) Mà điểm O cũng thuộc đường v = A − κ ln p ' nên: ⇒ vO = A − κ ln pO' ⇔ A = vO + κ ln pO' Như trên đã biết vI = vO = v0 ⇒ A = v0 + κ ln pO' Thế A từ (5) vào (4), ta được: N − λ ln pC' = v0 + κ ln pO' − κ ln pC' ⇔ N − v0 − κ ln pO' = −κ ln pC' + λ ln pC' ⇔ N − v0 − κ ln pO' = (λ − κ ) ln pC'

(5)

(6)

Lấy (3) trừ cho (6) vế theo vế: ⇔ −κ ln pI' + κ ln pO' = (λ − κ ) ln pD' − (λ − κ ) ln pC'

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

13/14


Cơ học đất nâng cao ⇔ κ ln ⇔ ln

Bài tập 8.17 pO' pD' = ( λ − κ ) ln pI' pC'

pO' pD' κ = ln pC' (λ − κ ) pI' κ

p '  p '  ( λ −κ ) ⇔ D' =  O' ÷ pC  pI  κ

 p '  ( λ −κ ) ⇔ pD' = pC'  O' ÷  pI 

Hay

 p 'prev ' ' pC = ( pC )  ' prev  p 

κ

 ( λ −κ ) ÷ ÷ 

4. Chứng minh công thức:

pc' (với e là cơ số logarit tự nhiên e=2,71828 18284 59045 23536....) p = e ' x

Như ta đã biết phương trình mặt ngưỡng trong hệ trục (q, p’) có dạng: q p' + ln ' = 1 Mp ' px

Mặt ngưỡng này cắt trục p’ tại điểm C có p’=p’C và q=0. Thế vào phương trình mặt ngưỡng ta được: pC' 0 + ln =1 MpC' px' ⇔ ln ⇔

pC' = ln e px'

pC' =e px'

⇔ px' =

Lớp: Địa kỷ thuật xây dựng

pC' e

14/14

bai8.17 CM