1.1
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A FUNCIONES POLINOMIALES CUADRÁTICAS
En este tema se examinarán varios problemas en los cuales intervienen dos cantidades relacionadas por medio de funciones cuadráticas y se ensayarán diversos métodos para resolverlos. 1.1.1 MODELO POLINOMIAL CUADRÁTICO Ejemplo En el jardín de una residencia se quiere destinar una zona rectangular para hacer un huerto y se dispone de 56 metros lineales de malla de acero para cercar la zona. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si se desea abarcar la mayor área posible?. Analicemos las relaciones entre el área y las dimensiones del rectángulo. 1.1.1.1 Construcción del Modelo Algebraico ¿Recuerdas cómo se obtiene el área de un rectángulo?. El área de un rectángulo cualquiera se obtiene multiplicando su base por la altura correspondiente. Representaremos con “y” el área y con “x” la base del rectángulo. Si el perímetro del rectángulo es igual a 56 metros, ¿cuánto suman la base y la altura?. La suma de la base y la altura del rectángulo es igual a 28 metros (la mitad del perímetro). De este modo una expresión para la altura es: y x
P = 2x+2y 56 = 2(x+y) y= 28-x ∴ y = 28-x
Así tenemos que el área del rectángulo es: Base por la altura A = x(28-x) y = x(28-x), o bien, desarrollando el producto obtenemos el modelo algebraico y = -x2 + 28x. a) Modelo algebraico f(x) = -x2 + 28x Esta igualdad es un modelo algebraico para el área del rectángulo que estamos considerando. Representa, en el lenguaje del Álgebra, la relación entre todas las medidas de la base y el área correspondiente. 15