Page 1

PAMOKA Nr.1 1.1 Mechanika. Statika. Klasika. Mechanikoje, statikos skaičiavimai remiasi keliomis aksiomomis. Viena iš jų tvirtina, kad sistema yra pusiausvyroje, jeigu projekcijų į koordinačių ašis suma lygi nuliui. P x 0 P y 0 P z 0 (1) Vektorių algebros teorija nurodo, kad projekcija į koordinačių ašis gaunama naudojantis klasikinės trigonometrijos funkcijomis sinα, cosα ir tanα, kur α yra kampas matuojamas laipsniais. Todėl čia pradžioje reikia surasti kampų dydžius, o paskui ieškoti jų sin, cos ir tan, o jau jų reikšmes įstatome į objekto matematinio modelio lygtis. Paimkime paprasčiausia pavyzdį

Pav.1 Prie sienos tvirtinamas kronšteinas sudarytas iš dviejų strypų (Pav.1). Taške B prikabinamas svoris G. Kronšteino matematinis modelis sudaromas pasinaudojus mechaninių sistemų pusiausvyros sąlygomis (1). Iš Pav.1 pažymėkime ilgius ir atstumus AD

a

DC

b

AB

DCB

ABC

l

BC

k

Pažymėkime kampus 

DAB

Jėgos, kurios veikia strypus AB ir BC AB

S

BC

N

Taške B yra koordinačių sistemos xy pradžia. Pradžioje priminsime, kaip tai daroma naudojantis klasikinės trigonometrijos metodais. Jėgų S ir N projekcijų į ašis x ir y nustatomos naudojantis sinuso ir kosinuso funkcijomis Sx S cos (  ) (2) Sy S sin(  ) (3) Nx N cos (  ) (4) Ny N sin(  ) (5) Kampų α ir γ dydžius surasime skaičiuodami išraiškas  a  acos    l (6)


 b acos    k

S

G sin(  ) sin(  ) cos (  )  sin(  ) cos (  )

N

G sin(  ) sin(  ) cos (  )  sin(  ) cos (  )

(7) kur acos gali būti suskaičiuota tik išskleidus ją begaline eilute 3 5     3 x acos (  )      ..............  2  2 3 2 4 5  (8) Tą patį reikia atlikti skaičiuojant kampo γ dydį. Iš pusiausvyros sąlygų (1) ir (2) – (5) galėsime parašyti dvi lygtis G  ( S cos (  )  N cos (  ) ) 0 (9) N sin(  )  S sin(  ) 0 (10) Išsprendę šias lygtis gausime (12)

(13) Kad suskaičiuoti S ir N reikšmes, pradžioje reikia suskaičiuoti sin ir cos reikšmes, kurias galime gauti tik išskleidus jas begalinėmis eilutėmis sin(  )



3

3 2

cos (  )

1

x

2

5

5 

 ..................

(14)

4

4

 .................

(15)

Tą pati reikia atlikti ir sinusą ir kosinusą kampui γ Paimkime konkretų pavyzdį. Duota l

3

k

4

a

2 121

b

3 391

(16) (17)

0.559

(18)

Iš (6), (7), (8) gausime 

0.785

G

6

Iš (12), (13), (14), (15) gausime S

3 265

N

4 354

(19)

1.2 Mechanika. Statika. h – geometrijos pagrindu. h – geometrijoje įrodoma, kad stačiakampiam trikampiui, kurio kraštinės yra a ir b kampas matuojamas h – parametrais nustatomas h

a a b

(20) Tada to kampo sinusas ir kosinusas bus lygus a

sph

2

2

a b

(21)

b

cph

2

2

a b

(22) Mūsų uždaviniui, parodytam Pav.1 galėsime parašyti h

d d a

(23)

h

d d b

(24)

Tada sph ir cph bus


d

sph

2

2

d l

2

a l

2

d k

2

b k

d a a

cph

2

d a d

sph

2

b d b

cph

2

b d

(25) (26) (27) (28)

kur l k

2

2

d a 2

(29)

2

b d

(30) Tada, vietoje lygčių (9), (10) galėsime parašyti b  a G   S  N   0 k  l (31) d d N   S k l

0

(32)

Iš lygčių (31), (32) gausime 2

S

2

a d a b 2

N

G

(33)

b d a b

2

(34)

Šiuo atveju (h – geometrijos atveju) norint surasti S ir N reikšmes reikia skaičiuoti (33), (34) išraiškas. Paimkime tą patį pavyzdį (16), (17). Iš (33), (34) gausime S 3 265 (35) N 4 354 (36) Kaip matome, skaičiavimo rezultatai (35), (36) visiškai sutampa su rezultatais gautais naudojantis klasikinės trigonometrijos metodais (19). Atkreipkite dėmesį į tai, kad funkcijos sinα ir cosα atsirado tik todėl, kad to reikia pusiausvyros teorijai, kadangi reikia surasti vektoriaus projekcijos dydžius. Kampų dydžiai visai nereikalingi uždavinio „užsakovui“. Jų nėra nei užduotyje, nei atsakyme. Kaip buvo parodyta aukščiau, norint suskaičiuoti S ir N išraiškas, naudojantis klasikinės trigonometrijos metodais reikia skaičiuoti (6), (7), (8), (12), (13), (14),(14), (15), (15). ( iš kurių yra šešios begalines eilutes užimančios daug kompiuterinio laiko). Jeigu toks uždavinys yra sprendžiamas laboratorijose, kur stovi kompiuteris, skaičiavimo laikas neturi praktinės reikšmė. Tačiau, kaip pamatysime vėliau, kada spręsime uždavinius skirtus robotų valdymui, skaičiavimo laikas darosi aktuali problema, kadangi ten skaičiavimus atlieka mikrovaldikliai, kurie yra programuojami asemblerio kalba, o jų greitis taip pat yra mažesnis. Tada pasirodys, kad skaičiuoti naudojantis išraiškomis (33), (34) yra žymiai greičiau nei naudojantis formulėmis (6), (7), (8), (12), (13), (14),(14), (15), (15). Dr. Donaldas Zanevičius

Pamoka 1  
Pamoka 1  
Advertisement