Page 1

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 1 

1.

EL vector V = (3,2) es el vector localizado del segmento AB cuyo punto medio es  C=(3,1). Hallar las coordenadas de los extremos AB.  §  V = AB 

§ Bx ­  Ax = 3 

V = B – A  Y 

(3,2) = (Bx, By) – (Ax, Ay) 

B(Bx, Bx) 

V=(3, 2) 

Bx = 4,5 = 9/2 

Bx – Ax = 3 , By – Ay = 2 

Ax = 1,5 = 3/2 

§ AC = CB 

§ By – Ay = 2  Ay + By = 2 

(3,1) – (Ax, Ay) = (Bx, By) – (3, 1)  X 

A (Ax, Ax) 

2Bx = 9 

(3,2) = (Bx­ Ax; By­Ay) 

C –A = B – C 

C(3,1)

2By = 4 

(3 ­ Ax, 1 ­ Ay) = (Bx­ 3, By­1) 

By = 2 

3 – Ax = Bx – 3 ,   1 – Ay = By ­1 

Ay = 0 

Ax + Bx = 6 

2.

Ax + Bx = 6 

Ay + By = 2 

. . . A = (3/2, 0)  ,  B= (9/2, 2) 

V=(7,‐6) es  el  vector  localizado  del  segmento  AB  y  C=(5/3,3)  el  punto  de  Trisección más cercano de B de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y  B.  §  V = AB  V = B – A  (7; ­6) = (Bx, By) ­ (Ax, Ay) 

Y A(Ax; Ay) 

3Bx = 12  Bx = 4 

Bx – Ax = 7  By – Ay = ­6 

Ax = ­3 

C –A = 2(B – C)  (5/3, 3) – (Ax, Ay) = 2(Bx, By) – 2(5/3, 3) 

B(Bx; By) 

Ax + 2Bx = 5 

(7; ­6) = (Bx­ Ax; By­Ay)  §  AC = 2CB  C(5/3; 3) 

§ Bx ­  Ax = 7 

§ By – Ay = ­6  Ay + 2By = 9  3By = 3 

(5/3­ Ax, 3 ­ Ay) = (2Bx­10/3, 2By­6) 

By = 1 

5/3­Ax = 2Bx­10/3 ,  3­Ay = 2By­6 

Ay = 7 

2Bx+Ax = 5       ,       2By+Ay = 9  X 

. . . A= (­3; 7)   ,  B= (4; 1)

V = (7; ‐6) 

3.

Sea el vector a=0P, cuya componente horizontal es X 3  y componente vertical es  6‐x. hallar a si 0B=(9xy‐y 3 , y) y a=b. 


§ a = b 

A(Ax; Ay) 

3

3

(X , 6 ­ X) = (9XY – y  , Y) 

Y

3

P(X ; 6 ‐ X) 

X 3 , = 9XY ­ y 3  3 

6 ­ = Y 

3

X + y  = 9XY 

X+Y = 6 

2

2

(X + Y) (X  ­ XY + y  ) = 9XY 

a

2

2

6 (x  – XY + Y  ) = 9XY 

X 2  + Y 2  + 2XY = 36  X 2  + Y 2  ­ XY = 36 – 3XY 

2(36 – 3XY) = 3XY  72 – 6XY = 3XY 

X

72 = 9XY  XY = 8   ,   X + Y = 6  X  = {2; 4}     y = {4; 2} 

Y §  Primer caso: X = 2  3 

a  = (X 3 , 6 ­ x)

B(9XY ‐ Y ; Y) 

\

b X 

a = (8, 4) 

§ Segundo Caso: X = 4  3 

a = (X  , 6 ­ X)

\ a = (64, 2) 

4. Hallar un vector V cuya magnitud es igual a la del vector OB=(4,‐3) y cuyo ángulo es  la misma que del vector OC=(1, ‐  3  ). 

Y

Y

X

a

a

X

V B(4; ‐3) 

Tan (a  ) =

y x 

Tan (a

-

Tan (a

)= ) =

3 1 3 

C(1; ‐

3 ) 

V = OB 

V = V  cos a , V  sen a ) 

V = ( 4 ) 2 + ( -3 ) 2 

V = ( 5 cos 300 º , 5 sen 300 

V = 5 

V = ç ,

æ 5 - 5  ö 3 ÷ è 2  2  ø


5. a) Si V = (X, Y) cuya norma es 6 e Y = 3x. hallar dicho vector.  §  V = (X, Y),  /V/ = 6 , 

3 X 

§ Primer caso: X = 3 

3 X  ) 

V = (X, 

/V/ 2  = X 2  +(  2 

Y = 

3 X  ) 2 

2

\

V  = (X, 

3 X  )

V = (3, 3 

3 ) 

2

(6) = X  + 3X  36   = 4X 2 

§ Segundo Caso: X = ­3 

2

9 =  X  X =

V = (X, 

± 3

3 X)

\ V = (­3, ­3  3 )  b)  Hallar  un  vector  unitario  en  la  dirección  del  vector  V  de  norma  17, que tiene su punto inicial en (3, ‐12) y punto Terminal tiene ordenada 3.  Y  §  AB = V  B(Bx; 3) 

§ Primer caso: Bx  = 11 

B – A = V 

V  = (Bx – 3, 15) 

(Bx; 3) ­ (3, ­12) = V 

V  = (8, 15)

(Bx ­ 3, 15) = V  V 

Ù

u =

V / V  / 

X §  / V / = 17 

( Bx - 3 ) 2 + ( 15 ) 2 = 17  A(3; ‐12) 

2

æ 8 , 15 ö ÷ è 17  ø

Ù= ç u

(Bx ­ 3)  +225 = 289  (Bx ­ 3) 2  = 64  Bx = 11

§ Segundo caso: Bx  = ­5  V  = (Bx – 3, 15)  V  = (­8, 15)

Ù V  / V  / 

u=

Ù æ - 8 , 15 ö ÷ è 17  ø

u = ç

Ù

Bx = ­5 

Ù Ù = æç 8 , 15 ö÷ u  è 17  17 ø


6.

El segmento  de  una  recta  limitada  por  los  puntos  A=(‐1,8,3),  B=(9,‐7,‐2)  esta  dividido  en  5  partes  iguales  por  los  puntos  C,D,E,F.  hallar  las  coordenadas  de  dichos puntos.  §  FB = 4 AF 

Y

B – F = 4 (F ­ A)  (9,­7,­2) – (Fx,Fy,Fz) = 4 (Fx,Fy,Fz) – 4(­1,8,3)  (9 – Fx; ­7 – Fy; ­2 ­ Fz) = (4Fx +4; 4Fy – 32; 4Fz – 12)  9 ­ Fx, = 4Fx + 4,  ­7­Fy = 4Fy­32  ,  ­2­Fz = 4Fz ­12  A(‐1, 8, 3)  F  E 

5 = 5Fx 

25 = 5Fy 

10 = 5Fx 

Fx = 1 

Fy  = 5 

Fz = 2

\ F=(1, 5, 2)  Y  §  3FE = EB 

D

3(E­F) = B – E 

C B(9,‐7, ‐2)

3(Ex, Ey, Ez) – 3 (1, 5, 2) = (9,  ­7, ­2) – (Ex, Ey, Ez)  (3Ex­3, 3Ey–5, 3Ez ­ 6) = (9­Ex; ­7 – Ey; ­2 ­ Ez)  3Ex ­3 = 9 ­ Ex, 

X

4Ex = 12 

4Ey = 8 

4Ez = 4 

Ex = 3 

Ey = 2 

Ez = 1

\ E=(3, 2, 1) 

§ 2ED = DB  2(D ­ E)  = B ­ D  2(Dx, Dy, Dz) – 2(3, 2, 1) = (9, ­7, ­2) – (Dx, Dy, Dz)  (2Dx – 6, 2Dy – 4, 2Dz – 2) = (9 – Dx, ­7 – Dy, ­2 ­ Dz)  2Dx – 6 = 9 – Dx,  2Dy – 4 = ­7 – Dy,  3Dx = 15  Dx = 5 

\ D=(5, ­1, 0) 

2Dz –2= ­2  ­ Dz) 

3Dy =­3 

3Dz = 0 

Dy = ­1 

Dz = 0

3Ey–15= ­7 – Ey,  3Ez – 6 = ­2 –Ez 


7.

En un paralelogramo ABCD se designa AB=a, AD=b expresar en términos de a y  b  los  vectores  MA,  MB,  MC  MD  donde  M  es  punto  de  intersección  de  las  diagonales.  §  a + b + 2 MA = O  MA = ­(a + b)  2

æ a + b ö \ MA = ­ ç ÷ è 2  ø §  a ­ b = 2 MB B 

C

a - b ö \ MB = æç ÷ è 2  ø

a M  A 

§ a + b = 2 MC b 

D

æ a + b ö \ MC = ç ÷ è 2  ø §  b ­ a  = 2 MD

b - a ö \ MD = æç ÷ è 2  ø

8.

Demostrar que los puntos A=(6,3,4), B=(2,1,‐2) y C=(4,‐1,10) son vértices de un  triángulo isósceles.  §  AB = B ­ A  AB = (2, 1, ­2) – (6, 3, 4)  AB = (­4, ­2, – 6) 

§ BC = C ­ B  BC = (4, ­1, 10) – (2, 1, ­2)  BC = (2, –2, 12)


C= (4, ‐1, 10) 

B= (2, 1, ‐2)

A= (6, 3, 4) 

9.

En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura sea a=OP, b=OQ, c=OR sea M  el punto medio de RQ. Hallar PM en función de a, b, c. 

R c 

a ­ b  = QP 

M

c – b = QR 

O

b

C - b  - ( a  - b )  2  C + b  \ PM = - a  PM =

a

Q

QP + PM = QR  2  QR PM =  - QP  2 

2

P

10.

En la figura se tiene un paralelepípedo de: |0A|=3 , |0B|=4   |0C|=5 


Z 0, 0, 3 

A(0, 0,3) 

§ a = AA 1 

A (0, 5, 3) 

a = A 1  – A 

(4, 5, 3) E 

a = (0,5, 0) 

0, 0, 3  C (0, 5, 0)  D 

§ b = 8E 

Y

b = E – B 

4, 0, 0  B 

D (4, 5, 0) 

b = (4, 5, 3), (4,0, 0)  b = (0, 5, 3)  V = a – 2b + 2c + D + E  §  c  = AB 

Y = W = 10,2,1 

c = B – A  c = (4, 0, 0)  c = (4, 0, ­3) 

§ d = DC 

§ W = (0,2,1) 

d = C – D 

W =  (0 ) 2 + ( -5 ) 2 + ( -15 ) 2 

d = (0,5, 0) – (4, 5, 0) 

W = 5 

d = (­4, 0, 0) 

§ V = (0, ­5, ­15) 

§ e = EC 

e = (0, 5, 0), (4,5, 3) 

W = (0 , 2 , 1 )  V . W  = 0 + 2 ( -5 ) + 1 ( -15 )  V . W = - 25 

e = (­4, 0, ­3) 

\

e = C – E 

V . W  - 25  2  = = V  W  5  10 (  5 )  2 

V = a ­2b+2c+d+e  V = (0,5,0) ­2(0,5,3)+2(4,0,­3)+(­4,0,0)+(­4,0, ­3)  V = (0, ­5, ­15) 

V =  (0 ) 2 + ( -5 ) 2 + ( -15 ) 2  V  = 250  V  = 5  10 

11.

La figura  es  un  cubo  si  A=(6,‐2,4),  C=(8,‐2,‐10)  F=(‐6,4,2),  H=(8,4,4).  Hallar  las  demás coordenadas.  §  AM = MC  M­N= C­M  2M = A + C 

A + C


C

B

(4, 5, 3) E  A 

D

G

F E  H  M) 

§ MN = N – M  MN = (1, 4,3)‐(7, ‐2, ‐3)  MN = (‐6, 6, 6)  §  MN = BF  MN = F – B 

MN = E –A 

B = F – MN 

E  = MN + A 

B = (­6,4,2) – (­6, 6, 6)

E = (­6,6,6) + (6, ­2, 4)

\ B = (0, ­2, ­4) 

\ E = (0, 4, 10) 

§ MN = DH 

12.

§ MN = AE 

§ MN = CG 

MN = H – D 

MN = G – C 

D = H – MN 

G = MN + C 

D = (8, 4, 4) – (­6, 6, 6)

G = (­6, 6, 6) + (8, ­2, ­10)

\ D = (14, ­2, ­2) 

\ G = (2, 4, ­4) 

a) Si A+B+C=O,  |A|=6,  |B|=8,  |C|=12. Hallar A.(2B‐A)  cos a  = 

A. B A . B = cos a A  B  A  B 

A + B 2 = A 2 + B 2 + 2 A  B  Cos a  - c 2 = A 2 + B 2 + 2 ( A . B )  ( 12 ) 2 = ( 6 ) 2 + ( 8 ) 2 + 2 ( A . B ) 

A . B  = 22 

y. y =  y 2  A . ( 2 B - A )  2 ( A . B ). A . A  2 ( 22 ) - A 2  44 - 36 = 8  \ A . ( 2 B - A ) = 8 


b) Si A+B+C=O,  |A|=6,  |B|=3,  |C|=8. Calcular A.B+B.C+A.C 

A + B 2 = A 2 + B 2 + 2 A  B Cos a 

A + C 2 = A 2 + C 2 + 2 A  C  Cos a 

- c 2 = A 2 + B 2 + 2 ( A . B )  ( 8 ) 2  = ( 6 ) 2 + ( 3 ) 2 + 2 ( A . B ) 

- B 2 = A 2 + C 2 + 2 ( A . C )  ( 3 ) 2  = ( 6 ) 2 + ( 8 ) 2 + 2 ( A . C ) 

A . B  =

19 2 

A . C  =

B + C 2 = B 2 + C 2 + 2 B  C  Cos a 

- 91 2 

\ A . B  + B . C  + A . C  =

- A 2 = B 2 + C 2 + 2 ( B . C )  ( 6 ) 2 = ( 3 ) 2 + ( 8 ) 2 + 2 ( B . C ) 

B . C  =

19 37  91  109  = 2  2  2  2 

- 37 2 

c) Dado  |A|=11,  |B|=23,  |A‐B|= 30. Hallar  |A+B| 

A - B 2 = A 2 + B 2 + 2 A  B  Cos a  ( 30 ) 2 = ( 11 ) 2 + ( 23 ) 2 . 2 ( 11 ) ( 23 ) Cos a - 125  = Cos a 253  A - B 2 = A 2 + B 2 + 2 A  B  Cos a æ - 125 ö ÷ è 253  ø

A + B 2 = 11 2 + 23 2 + 2 11  23 . ç A - B 2 = 400  A - B 2 = 20 

13.

Demostrar que  el  segmento  que  une  los  puntos  medios  de  dos  lados  de  un  triángulo es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.  B 

§ AM = MB  M–A = B – M 

E M 

2M = A+B 

N

M = 

A C 

A + B 2 

§ MN = N ­ M 

MN =

B + C  A + B 

2 2 C - A  AC  MN = = 2  2  \MN = // AC 


§ CN = NB  N–C = B – N  2N = B+C  N = 

14.

B + C  2 

Dado un paralelogramo ABCD.  Es verdad  |AB| 2 + |BC| 2 + |CD| 2  + |DA| 2  = |AC| 2  + |BD| 2  B 

C

AC = AB + AC

A

D

AC = AB + AD  AC 2 = AB 2 + AD 2 + 2 AB  AD Cos a ......( a )  BD  = BC - DC  BD = BC - DC  BD 2 = BC 2 + DC 2 - 2 BC  DC  cos a .......... .. ( a )  Sumando ( a + B )  \ AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + AD 2 + [DC [ 2 

15.

Probar | |U| ‐ |V| | ≤ |U ‐ V|  U, V Є R n .  | |U| ‐ |V| | ≤ |U ‐ V|  Pr opiedades :  a  £ b  - b £ a £ b 

a + b £ a  + b  U  = V  + ( U  - V )  V  + ( U  - V ) £ V  + U  - V  U  - V  £ V  - V  + U  - V  U  - V  £ U  - V  .......... .......... ...( 1 ) 

V = U  + (U    - V )  - U  -V ) £ - U  + U  - V 

V - U  £ U  - U  + U  - V 

(U - V  £ U  - V  )  U  - V  ³ - U -V  .......... .......... ..( 2 )  Relacionando  - U - V  £ U - V  £ U - V  \ U  - V  £ U -V 


16.

Probar que: U,V son ortogonales si y solo si |U ‐V| 2  = |U| 2  + |V| 2 .  SiU Ù v sonortogon ales  Þ U. V = O  Cos α =

V. U  V  U 

V U Cos α = 0  U - V 2 = U 2 + V  2  U 2 + V 2 - 2 U 2  V Cosα = U 2 + V 2  U 2 + V 2 - 2 O  = U 2 + V 2  \ U - V 2 = U 2 + V 2 

17.

Tres vectores están orientado como en la figura donde |A|= 20, |B|= 40,  |C|=  30. Encuentre A+B+C, |A+B+C| y escribir A+B+C en coordenadas polares  Y 

A= (0 , 20 )  A = 20  B = ( 20  2 , 20  2 ) 

B

A

B = 40  C  = ( 15  2 , - 15  2 ) 

45º 45º 

C

C = 30  A + B + C  = ( 0 , 20 ) + ( 20  2 ) + ( 15  2 , -15  2 )  \ A + B + C = ( 35  2 , 20 + 5  2 ) 

A + B + C  = ( 35  2 2 + ( 20 + 5  2 ) 2 

\ A + B + C  =10  29 + 2  2 

Practica 1  

practica 1

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you