Page 1

Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Zorica Jončić

udžbenik za sedmi razred osnovne škole


MATEMATIKA Udžbenik za sedmi razred osnovne škole prvo izdanje Autori Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Zorica Jončić Ilustrirao Dragan Maksimović Recenzenti dr. Zorana Lužanin, redovna profesorica, Prirodoslovno-matematički fakultet u Novom Sadu dr. Dragica Pavlović-Babić, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Dušanka Kovačević, profesorica, OŠ „Miloš Crnjanski“ u Beogradu Zlata Stuparević, nastavnica, OŠ „1 300 kaplara“ u Beogradu Urednica Svjetlana Petrović Prijevod Jelena Piuković Lektura Željka Zelić Grafičko oblikovanje Jelena Reljić Crteži Mirjana Stojsavljević-Radovanović Priprema za tisak Ljiljana Pavkov Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8 Beograd Tel./faks: 011 / 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs Za izdavača Ljiljana Marinković Tisak Publikum Naklada x.000 Copyright © Kreativni centar 2015


Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Zorica Jončić

Matematika udžbenik za sedmi razred osnovne škole

7


Vodič Kratak test za provjeru prethodno usvojenih znanja

Ključni pojmovi

Obrada novog gradiva

Dodatna objašnjenja definicija i pravila

Riješeni zadaci koji pomažu u razumijevanju gradiva


Tematski sadržaj Uvod u teme

Mnogokut

Realni brojevi ................................................................4–5 Pitagorin poučak ..................................................... 30–31 Cijeli i racionalni algebarski izrazi .............50–51, 92–93 Mnogokut ................................................................. 72–73 Zavisne veličine i njihovo grafičko prikazivanje ..................................................... 116–117 Krug ...................................................................... 146–147 Sličnost trokuta ................................................... 166–167

Mnogokut, stranice i dijagonale ............................. 74–76 Zbroj kutova mnogokuta ........................................ 77–79 Pravilni mnogokuti. Konstrukcija pravilnih mnogokuta .......................................... 80–85 Opseg i površina mnogokuta .................................. 86–88

Realni brojevi

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini ........... 118–121 Udaljenost dvije točke. Koordinate polovišta dužine .............................................. 122–124 Primjeri zavisnih veličina i njihovo grafičko prikazivanje ....................................... 125–128 Poporcionalnost veličina..................................... 129–134 Obrnuta proporcionalnost veličina .................... 135–137 Razmjer. Primjena razmjera u proporcionalnosti i obrnutoj proporcionalnosti............................................ 138–144

Skup racionalnih brojeva .............................................6–8 Kvadriranje racionalnih brojeva ............................... 9–12 Pojam kvadratnog korijena ..................................... 13–15 Pojam iracionalnog broja ........................................ 16–18 Skup realnih brojeva. Realni brojevi i brojevni pravac .............19–22, 27–28 Računanje s kvadratnim korijenima....................... 23–26

Pitagorin poučak Pitagorin poučak ..................................................... 32–34 Primjena Pitagorina poučka na kvadrat i pravokutnik, jednakostranični i jednakokračni trokut, romb i trapez .................. 35–44 Konstrukcija točaka na brojevnom pravcu ........... 45–47

Cijeli i racionalni algebarski izrazi Potencije s prirodnim eksponentom ...................... 52–53 Množenje i dijeljenje potencija jednakih baza ...... 54–56 Potencija umnoška brojeva. Potencija količnika dva broja .............................................................. 57–58 Racionalni algebarski izrazi .................................... 59–60 Monom. Zbroj monoma .......................................... 61–63 Polinom .................................................................... 64–65 Zbrajanje polinoma ................................................. 66–67 Oduzimanje polinoma ............................................. 68–69 Množenje monoma monomom. Množenje polinoma monomom .......................................... 94–99 Umnožak dva polinoma ..................................... 100–104 Zajednički faktor monoma ................................. 105–106 Rastavljanje polinoma na faktore – primjena svojstva distributivnosti, kvadrata binoma i razlike kvadrata ............................................. 107–112 Rastavljanje polinoma – primjena u jednadžbama ................................................ 113–114

Zavisne veličine i njihovo grafičko prikazivanje

Krug Središnji i obodni kut .......................................... 148–151 Opseg kruga ......................................................... 152–154 Duljina kružnog luka ........................................... 155–157 Površina kruga ..................................................... 158–159 Površina kružnog isječka i kružnog vijenca .............................................................. 160–163

Sličnost trokuta Omjer dužina........................................................ 168–171 Dijeljenje dužine na jednake dijelove ................ 172–174 Sličnost trokuta ................................................... 175–182

I to je matematika................... 29, 48, 70, 89–90, 164, 183–185

Zapamti .................... 29, 49, 71, 91, 115, 145, 165, 185 Rješenja i upute ............................................... 186–196 Prilozi .................................................................. 197–201


Na temelju pronađenih zapisa može se zaključiti da su se do 500. godine prije nove ere matematičari uglavnom bavili brojevima. Drevnu egipatsku, babilonsku i kinesku matematiku činila je najvećim dijelom aritmetika.

Diofa t Diofant

Između 500. godine prije nove ere i 300. godine nove ere matematičari su se prestali baviti samo proučavanjem brojeva. Grci su razvili ideju o tomu da se precizno formulirane matematičke tvrdnje mogu logički dokazati. Pretpostavlja se da je Diofant prvi koristio posebne oznake za označavanje nepoznanica u jednadžbama, za potencije, kao i simbole za oduzimanje i jednakost.

Priroda matematike poslije Grka nije se mijenjala do XVII. stoljeća, kada su Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz, neovisno jedan o drugom, otkrili integralni i diferencijabilni račun. Ti računi u osnovi proučavaju pokret i promjenu.

Nove tehnike računanja omogućile su matematičarima istraživati kretanje planeta, gravitaciju, rad strojeva, protok tekućine, letenje, rast biljaka i životinja, kao i kretanje novca i profita.

G. W. Leibniz I. Newton

Danas se nijedan tehnički poduhvat ne može zamisliti bez matematike, od gradnje cesta, mostova, preko projektiranja elektroničkih čipova, do genetskog inženjeringa.

Matematika je od svojih početaka, kada su se matematičari bavili samo brojevima, do danas, prerasla u znanost koju čini preko šezdeset oblasti. 4


U narednim lekcijama učit ćeš o: ‡kvadratu racionalnog broja ‡skupu realnih brojeva ‡radnjama i svojstvima koji vrijede u skupu realnih brojeva ‡kvadratnom korijenu nenegativnog broja ‡radnjama s kvadratnim korijenima.

1

2

3

4

5

Izračunaj. a) (–4)2

b) –(–4)2

c) –42

1 − 1 ⋅ (−2)2 je: 2 2 3 3 b) 0 c) 2 a) − 2 Koji je odgovor točan? Vrijednost izraza 1 − 1 x za x = –3 je: 3 a) 2 b) 0 c) 2. Koji je odgovor točan? Rješenje jednadžbe 5 – 5xx = 25 je: a) 6 b) 4 c) 0 d) 4 Koji je odgovor točan?

e) 6.

1 zapisan u obliku decimalnog broja je: 2 a) 0.12 b) 0.5 c) 1.2. Koji je odgovor točan? Broj

5


Skup racionalnih brojeva – decimalni zapis ÁYSaP«a^\RQ^bP[a^lPW^qgPQ^SaP[aSs_gSXP ÁWRg^S\^«a^\RQ^bP[a^lPW^qgPQ^SaP[aSs_gSXP 1

U tri flašice zapremine po 0.33 l ima: a) manje od 1 l soka b) točno 1 l soka Koji je odgovor točan?

c) više od 1 l soka.

0.33 l

2

Napiši u obliku neskrativog razlomka, kao što je započeto. 35 7 a) 0.35 = 100 = 20 b) 0.5 c) 0.12

0.33 l

0.33 l

7 kažemo da je neskrativ 20 jer je za brojeve 7 i 20 najveći zajednički djelitelj jednak broju 1.

Za razlomak

d) 1.08 3

4

Broj 0.0002 zapisan u obliku razlomka je: 1 1 1 b) 5 000 c) 50 000 a) 500 Koji je odgovor točan? Broj − 3 napisan u obliku decimalnog broja je: 4 a) –3.4 b) –7.5 c) –0.75 d) –4.3 Koji je odgovor točan?

5

Dijeljenjem brojnika nazivnikom razlomak možeš zapisati u obliku decimalnog broja. Na primjer: 3 = 3 : 8 = 0.675 8

Napiši u obliku decimalnog broja: b) 1 a) −2 4 5 9

Periodični decimalni broj Razlomak možemo prikazati decimalnim zapisom tako što brojnik podijelimo nazivnikom. Taj postupak dijeljenja često nije konačan, što znači da se jedna znamenka ili grupa znamenki bezbroj puta ponavlja. Tada kažemo da se razlomak prikazuje periodičnim decimalnim zapisom. 6


Na primjer: 1 = 1 : 3 = 0.33… 3 –0 10 –9 10 –9 1 … Postupak ovog dijeljenja se ne završava jer je ostatak uvijek 1. Dobiveni količnik je broj u kojem se znamenka 3 ponavlja bezbroj puta. U decimalnom broju 0.25252525… ponavljaju se dvije znamenke, 2 i 5. U broju 3.256256… ponavlja se grupa znamenki (period) 256. Znamenku ili grupu znamenki koje se ponavljaju obično zapisujemo tako što te znamenke nadcrtamo. Na primjer: ‡

0.33... = 0.3

‡‡

0.25252525… = 0.25

‡

‡

3.256256… = 3.256

Svaki racionalni broj možemo zapisati u obliku konačnog ili periodičnog decimalnog broja. 6

Napiši razlomak u obliku decimalnog broja, kao što je započeto. ‡ ‡ a) 2 = 2 : 7 = 0.285714285714285714… = 0.285714 7 ‡‡ b) 17 = 0.171717… = 0.17 99 c) 4 9 d) 15 11

7

a) Razlomak 5 napiši u obliku decimalnog broja. 6 b) Koliko se znamenki ponavlja u decimalnom zapisu razlomka 5 ? 6 m jedna m dvije m tri

8

‡

0.1666… = 0.16

Koja je cijena keksa najpovoljnija? a)

b)

280 din. 9

U periodičnom decimalnom broju 0.1666… ponavlja se jedna znamenka – znamenka 6.

c)

430 din.

880 din.

Kako je 1 = 0.11…, koliko je 5 ? 9 9 7


Prikazivanje periodičnog decimalnog broja u obliku razlomka Svaki periodični decimalni broj može se napisati u obliku razlomka. Pokažimo to na sljedećim primjerima: a) 0.5555…

b) 0.121212…

a) Naučili smo da se pomicanjem decimalne točke udesno u decimalnom broju za jedno mjesto, dva, tri itd. mjesta dobiva 10. 100. 1 000 puta veći broj. Kako se u decimalnom broju 0.5555… jedna znamenka ponavlja, potražimo deset puta veći broj. 10 ˜ 0.5555… = 5.555… 9 ˜ 0.5555… + 0.5555… = 5 + 0.555…

10 ˜ 0.5555… = 9 ˜ 0.5555… + 0.5555… 5.555… = 5 + 0.555

9 ˜ 0.5555 = 5 0.5555 = 5 9

ako dva jednaka zbroja imaju jednak po jedan pribrojnik, mora im biti jednak i drugi pribrojnik.

b) Kako se u decimalnom broju 0.1212… dvije znamenke ponavljaju, potražimo sto puta veći broj. 100 ˜ 0.121212… = 12.1212… 99 ˜ 0.121212… + 0.121212… = 12 + 0.1212… 99 ˜ 0.121212… = 12 0.121212… = 12 = 4 99 33 Ovakav postupak može se uvijek provesti, to jest svaki periodični decimalni broj može se napisati u obliku razlomka.

10

Napiši u obliku razlomka: a) 0.777…

b) 0.151515…

Provjeri što znaš 1. Napiši u obliku razlomka: 3.4

0.06 25.1 0.0075 98 2. Napiši u obliku decimalnog broja: 5 11 99 3. Napiši u obliku razlomka: 0.6666… 0.070707…

8


Kvadriranje racionalnih brojeva ÁYmP\gPk_gSXP ÁYmP\gPkebaS®YP\mP_gSXP ÁYmP\gPkYS[^«a^YP\mP_gSXP

1

Odredi stranicu i površinu osjenčenog kvadrata. a)

b)

1 dm

2

1 dm

Izračunaj kvadrate brojeva kao što je urađeno pod a). a) 52 = 5 ˜ 5 = 25

( ) ( )

2

3 c) − 2 2 e) 2 1 4 3

d) (–0.2)2 f) 02

Kvadriraj brojeve: 4

–1

b) 3.32

0.08

−5 6

32 3

Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom.

Kvadrat racionalnog broja m Umnožak dva ista racionalna broja naziva se kvadrat broja i zapisuje se: p ˜ p = p2 m Kvadrat svakog racionalnog broja različitog od nule jest pozitivni racionalni broj. Kvadrat nule je nula. Za p Q vrijedi: p2 t 0 9


m Kvadrati suprotnih racionalnih brojeva su jednaki. Na primjer: (–2)2 = 4

(–2)2 = 4

22 = 4

22 = 4

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

(− 21) = 41 (21) = 41 2

(–0.5) = 0.25 (0.5)2 = 0.25 2

–1

–1

2

1 4

0

2

(–1)2 = 1

(–1)2 = 1

2

1 =1 02 = 0

1 2

1

12 = 1

2

0 =0

–1

0

1

Brojevi koji su jednaki svojim kvadratima jesu 0 i 1.

4

Popuni tablicu. p

–6

1 9

0.1

−3 4

–1.5

−12 7

0

3 4

p2

5

Izračunaj. a) 62

b) 102

c) 122

d) 52

e) 72

f) 112

Kvadrat parnog broja je parni broj. Kvadrat neparnog broja je neparni broj.

6

7

Izračunaj. b) (–2)2

a) 22

d) –(–2)2

–72 = –7 ˜ 7 = –49

Koji umnošci imaju vrijednost –243? a) –3 ˜ 92

b) 3 ˜ (–9)2

c) –3 ˜ (–9)2

d) 3 ˜ 9

e) 3 ˜ (–9

f) –3 ˜ (–9

2

10

c) –22

(–7)2 = (–7) ˜ (–7) = 49

2

)

2

)

Prioritet ima radnja kvadriranja.


8

a) Popuni tablicu. a

b

2

–3

−2 3 1 4

(a ˜ b)

a˜b

a2

2

a2 ˜ b2

b2

–5

3 5

b) U kojim su stupcima ista rješenja?

Kvadriranje umnoška i kvadriranje količnika dva racionalna broja Pokažimo da je kvadrat umnoška dva broja jednak umnošku njihovih kvadrata, a kvadrat količnika jednak količniku njihovih kvadrata.

(a ⋅ b) = (a ⋅ b) ⋅ (a ⋅ b) = a ⋅ a ⋅ b ⋅ b = a2 ⋅ b2 2 (a ⋅ b) = a2 ⋅ b2 2

(ab) = (ab) ⋅ (ab) = ab ⋅⋅ ab = ab (ab) = ab , za b z 0 2

Koristili smo svojstva komutativnosti i asocijativnosti za množenje.

2

a˜b=b˜a (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) = a ⋅ b ⋅ c

2

2

2

2

Za kvadrat umnoška i kvadrat količnika dva racionalna broja vrijedi:

(a ⋅ b)

2

= a2 ⋅ b2

( ) = ab , b ≠ 0 a b

9

10

2

2

Izračunaj kao što je započeto.

(0.2 ⋅ (−4))

a) (3 ⋅ 11) = 32 ⋅ 112 = 9 ⋅ 121 = 1 089

2

2

( )

7 c) 13

2

(

d) (−9) ⋅ 1 4

)

2

Izračunaj kao što je započeto. a) (−0.25) ⋅ 42 = (−0.25 ⋅ 4) = (−1) = 1 2 2 b) − 1 ⋅ 92 c) 652 : 132 d) −0.12 : (−0.01) ⋅ 0.25 3 2

2

( )

11

2

Usporedi: a) (–1.5)2 i 1

2

(

()

2

b) 1 i 1 2

c) –0.22 i 1

)

d) 72 i 1 11


Neka svojstva kvadrata racionalnih brojeva m Kvadrat racionalnog broja manjeg od –1 veći je od 1. m Kvadrat racionalnog broja većeg od 1 veći je od 1. Na primjer:

(–2)2

(–2)2 = 4

22

22 = 4

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

m Kvadrat racionalnog broja većeg od –1 i manjeg od 1 je manji od 1.

(21)

(− 21)

Na primjer: 2 −1 = 1 2 4

2

2

( ) (21) = 41

–1

–1

2

0

2

1 4

1 2

1

(−1)2

Kvadrat broja –1 je 1.

02

Kvadrat broja 1 je 1. Kvadrat broja 0 je 0.

–1

0

12 1

Možemo zaključiti da za kvadrate racionalnih brojeva vrijede sljedeća svojstva: Kvadrat racionalnog broja čija je apsolutna vrijednost veća od 1 veći je od 1. Kvadrat racionalnog broja čija je apsolutna vrijednost manja od 1 manji je od 1. Kvadrat broja čija je apsolutna vrijednost jednaka 1 jest 1.

12

Kvadriraj brojeve 0.25 i 5. Usporedi te brojeve i njihove kvadrate: a) 0.25 i (0.25)2

b) 5 i 52

Provjeri što znaš 1. Kvadriraj brojeve: 7 2. Izračunaj.

–9

0.4

c) −1 1 6

2

2

0.05

23 5

( )

b) (100 ⋅ (−15))

a) (4 ⋅ 25)

−1 2 2

3. Izračunaj.

(

a) −11 ⋅ 2 3 4. Usporedi:

)

2

a) (–0.8)2 i 1

12

b) 0.01 : (–0.12) b)

() 4 3

2

i1

c) (–0.2)2 i 0.2

d) (–1.5) 2 i 1.5


Rješenja kvadratne jednadžbe x2 = a, a t 0. NSXPbYmP\gPkaSsYSg^XRaP ÁYmP\gPkaPXR\aP\­_P

ÁYmP\gPka^YSg^XRaaRaRsPk^maSs gPQ^SaP[aSs_gSXP

ÁgXR®RaXPYmP\gPkaRXR\aP\­_R

1

Odredi stranicu kvadrata ako je dana njegova površina. a)

b)

c)

d) 9 cm2 4

1 cm2 2

25 cm

2

9 cm

2

Izračunaj stranicu kvadrata čija je površina: a) 64 cm2 b) 100 cm2 c) 1 dm2 9

Rješenja kvadratne jednadžbe x2 = a, a t 0 Na primjer: Riješimo jednadžbu x2 = 16. Postoje dvije vrijednosti varijable x čiji je kvadrat 16. To su brojevi – 4 i 4 jer je: 42 = 16 i (4)2 = 16. Zaključujemo da jednadžba x2 = 16 ima dva rješenja: pozitivno rješenje je broj 4, a negativno rješenje je broj 4. Skup rješenja ove jednadžbe zapisujemo: x  {4, 4} Jednadžbu oblika x2 = a, a t 0, nazivamo kvadratna jednadžba. Kvadratna jednadžba x2 = a, a > 0, ima dva rješenja. Ta rješenja su suprotni brojevi. Ako je a = 0, kvadratna jednadžba x2 = 0 ima samo jedno rješenje, a to je broj 0. Jednadžba x2 = a, za a < 0 nema rješenje jer ne postoji racionalni broj čiji je kvadrat negativan. 3

Napiši rješenja jednadžbe kao što je započeto. a) x2 = 64; x  {8, 8} d) t2 = 144

b) y2 = 25 e) b2 = 9 4

c) x2 = 81 f) c2 = 0 13


Matematika 7 hrvatski