Issuu on Google+

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB

Α

Εξετάσεις Ιουνίου 1998

4)

⎛ 4 1 2⎞ ⎜ ⎟ Δίνεται ο πίνακας Α= ⎜ 0 −2 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 3⎠

α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R3 → R3 , που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ.

5)

α) Αν v≠0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V.

β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2)

6)

Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x1, x2, x3, x4) / x1-x2=x3+x4 , x1, x2, x3, x4 ∈R} του χώρου R4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το διάνυσμα (1,1,-1,1).


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB

Β

Εξετάσεις Ιουνίου 1998

4)

⎛ 1 0 3⎞ ⎜ ⎟ Δίνεται ο πίνακας Α= ⎜ 0 1 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 2⎠

α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R3 → R3 , που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ.

5)

α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g∈C[-1,1] η σχέση : <f|g>=

1

∫ (1− x )f ( x )g( x )dx −1

2

ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να

επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x3.

6)

Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x1, x2, x3, x4) / x1+x2=x3-x4 , x1, x2, x3, x4 ∈R} του χώρου R4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το στοιχείο (1,1,3,1).


Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1998 4)

Έστω Β1={e1,e2} μια βάση ενός διαν. χώρου V[R] και T : V→V γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τις σχέσεις Te1=3e1-2e2 και Te2=e1+4e2. Αν Β2={f1,f2} με f1=e1+e2 και f2=2e1+3e2 είναι επίσης μια βάση του V, να βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς την βάση Β2, δηλ. ο [Τα]Β2 (1.6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-2z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V.

6)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB

Β

Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1998 Έστω T : R3→R2 γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τη σχέση T(x,y,z)=(2x+y-z,3x-2y+4z). Nα βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς τις βάσεις Β1={f1=(1,1,1), f2=(1,1,0), f3=(1,0,0)} και Β2={g1=(1,3), g2=(1,4)} των R3 και R2 (1.6) αντίστοιχα, δηλ. ο πίνακας Β1[Τ]Β2 .

4)

⎛α 0 0 ⎞ 5) Δίνεται ο πίνακας Α= ⎜⎜ 0 2 2 ⎟⎟ του χώρου Μ3[R]. Να βρεθούν οι τιμές του α ⎜ 0 0 α⎟ ⎝ ⎠ για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος. (1.7)

Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (1.7)

6)


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB

Α

Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1999 Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i , 2i) και w=(1 , 1+i) του διαν. χώρου C2 είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R.

4)

5)

Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v1(x)=x3-2x2+4x+1, v2(x)=x3+6x-5, v3(x)=2x3-3x2+9x-1, v4(x)=2x3-5x2+7x+5

Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W.

6)

Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση :

(f (x), g(x)) = ∫ f (x)g(x)dx 1

0

αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+2, g(x)=x2-2x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) ||f(x)||, ||g(x)||.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB

B

Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1999 Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i , 2i) και w=(1 , 1+i) του διαν. χώρου C2 είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R.

4)

5)

Έστω U και W οι υπόχωροι του R4 , οι οποίοι ορίζονται ως εξής : U={(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0}, W={(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=2δ}


Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U∩W

6)

Ποιές από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα στον διανυσματικό χώρο C[-1,1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [-1,1], όπου f(x), g(x)∈C[-1,1] . α)

(f,g)= ∫ (1− x 2 )f ( x)g( x)dx

β)

(f,g)= ∫ x 2f ( x)g( x)dx

1

−1 1

−1

A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 15-9-2003 ΘΕΜΑ 1

Έστω U ( S ) ο υπόχωρος του R 4 που παράγεται από το σύνολο: S = {(1, 0, −1,1) , ( 2, −1, 0,1) , (1,1, 2,1)} . Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα x = (1,3,3, 2 ) ανήκει

στον U ( S ) και να βρεθεί μια βάση του U ( S ) που να περιέχει το x.

ΘΕΜΑ 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 ⎜ Δίνεται ο πίνακας ⎜ x + 1 1 x + 1⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο ⎜ 1 1 x + 1⎟⎠ ⎝ πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

ΘΕΜΑ 3

Να αποδείξετε ότι η έκφραση

u , v = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 3 x2 y2 , όπου u = ( x1 , x2 ) ,

v = ( y1 , y2 ) ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο R 2


Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 15-9-2003

ΘΕΜΑ 1

⎛ 1 2 0⎞ Έστω A = ⎜⎜ 3 −1 2 ⎟⎟ ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

T : V → V ως πρός την βάση

{v1 , v 2 , v3 }

ενός χώρου V. Να βρεθεί ο πίνακας του

μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση

{u1 = v1 − v 2 + 2 v3 , u 2

= v1 + v 2 − v 3 , u3 = v1 − v 3 } του χώρου V.

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ο πίνακας ⎜ −1 x 1 ⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις ⎜ 0 x 1⎟ ⎝ ⎠ οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

ΘΕΜΑ 3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση

u v = x1 y1 − 2 x1 y2 − 2 x2 y1 + 5 x2 y2 , όπου

u = ( x1 , x2 ) , v = ( y1 , y2 ) ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο R 2 .

ΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 16 - 6 - 2000 ΘΕΜΑ 4

Έστω Μ2[R] ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων 2×2 με στοιχεία από το σώμα των πραγματικών αριθμών και W ο υπόχωρος αυτού ο οποίος παράγεται από τους πίνακες


⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1⎠ ⎝ −1 0 ⎠ Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση: για κάθε C , D ∈ M 2 [ R ] , C D = Tr ( D T C ) . ΘΕΜΑ 5

Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : R 2 → R 2 ως προς ⎛1 −1⎞ την βάση B = {e1 = (1, 0 ) , e 2 = ( 0,1)} είναι ο [ T ]B = ⎜ ⎟. ⎝1 1 ⎠ Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση B′ = {w1 = 2e1 + e 2 , w 2 = e1 − 2e 2 } , δηλαδή ο [ T ]B′ . ΘΕΜΑ 6

⎛ 2 −1 1 ⎞ Δίνεται ο πίνακας A ( x ) = ⎜⎜ 0 1 1 ⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του ⎜0 0 x⎟ ⎝ ⎠ x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ

-Β-

16 - 6 - 2000 ΘΕΜΑ 4

Έστω W ο υπόχωρος του διανυσματικού χώρου C3 [C] ο οποίος παράγεται από τα στοιχεία

u1 = (1, i,1) ,

u2 = (1, 2,1 − i )

Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση: για κάθε v, w ∈ C με v = ( z1 , z2 , z3 ) , w = ( c1 , c2 , c3 ) , v w = z1∗ c1 + z2∗ c2 + z3∗ c3 . ΘΕΜΑ 5

Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : R 2 → R 2 ως προς ⎛1 1 ⎞ την βάση β = {e1 = (1, 0 ) , e 2 = ( 0,1)} είναι ο [T ]B = ⎜ ⎟. ⎝ 1 −1 ⎠


Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση B′ = {w1 = 2e1 − e 2 , w 2 = e1 + 2e 2 } , δηλαδή ο [T ]B′ .

ΘΕΜΑ 6

⎛ x 0 0⎞ Δίνεται ο πίνακας A ( x ) = ⎜⎜ 1 2 0 ⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του ⎜ −1 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 2001

Α

(Μεταφερομένη Εξεταστική περίοδος)

1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R3 και γιατί: B) (v,u)=|v| |u|cos3θ,

Α)

(v,u)=|v| |u|

Γ) (v,u)=2|v| |u|cosθ

2)

Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου 2×2 επί του σώματος R και

⎛ 1 2⎞ Μ ο πίνακας : M= ⎜ ⎟ . Θεωρούμε τον τελεστή Τ : V→V που ορίζεται από την σχέση T : ⎝ 3 4⎠ A∈V→T(A)≡MA. Να βρεθεί η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση του V που είναι :

⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ E1= ⎜ ⎟ , E2= ⎜ ⎟ , E3= ⎜ ⎟ , E4= ⎜ ⎟ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 1⎠ Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 2001

Β

1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=(|x|,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny)

2) Δίνεται ο τελεστής T : R3→R2 , Τ(x,y,z)=(3x+2y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις : {f1=(1,1,1), f2=(1,1,0), f3=(1,0,0)} του R3 και {g1=(1,3), g2=(2,5)} του R2 β) Να επαληθευθεί η σχέση [ T] f [v]f=[T(v)]g g

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 2002 (μεταφερομένη)

1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R3 → R3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, 2z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός.

Α


β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u1=(1,0,1), u2=(0,1,1), u3=(1,1,1))

2) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R3 και την απεικόνιση f : R3×R3 → R

f : (v, u) → f(v, u)≡p1v1u1+ p2v2u2+ p3v3u3

όπου v=v1i+ v2j+ v3k , u=u1i+ u2j+ u3k και p1, p2, p3 τυχαίοι θετικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R3.

3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων f : R → R επί του σώματος των πραγματικών αριθμών. Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του V είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αροθμών; α) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού ακριβώς n. β) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού > n. γ) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού ≤ n.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 2002

(2)

Β

1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R3 → R3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(2y, x-z, -x+y+2z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u1=(1,1,0), u2=(1,1,1), u3=(1,0,1))

2) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R2 και την απεικόνιση


f : R2×R2 → R

f : (v, u) → f(v, u)≡ v1u1-v1u2-v2u1+3v2u2

όπου v=v1i+ v2j , u=u1i+ u2j. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R2.

3) Έστω C[0, 1] ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών, που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [0, 1]. Ποια από τα επόμενα υποσύνολα του είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών; (i)

{f ∈ C[0,1] | f(1) = 0 }

(ii)

{f ∈ C[0,1] | f(1) = 1 }

(iii)

{f ∈ C[0,1] | f(0) = f(1) }

(2)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 2003 1)

Έστω T : R3→R3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(2x-y+3z, 2x+4y+z, -5y+2z)

Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT

⎛ 2 −1 1 ⎞ 2) Δίνεται ο πίνακας A ( x ) = ⎜⎜ 0 1 1 ⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για ⎜0 0 x⎟ ⎝ ⎠ τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x2+y2=1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x′,y′) βάσει της σχέσης :

Α


⎛ x ′⎞ ⎛ 5 3⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ y ′⎠ ⎝ 3 5⎠ ⎝ y⎠ Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 2003 1)

Έστω T : R3→R3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x-2y+6z, 2x+y-3z, 3x-y+3z)

Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT ⎛ x 0 0⎞ 2) Δίνεται ο πίνακας A ( x ) = ⎜⎜ 1 2 0 ⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για ⎜ −1 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει 3) εξίσωση x2+y2=1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x′,y′) βάσει της σχέσης :

⎛ x ′ ⎞ ⎛ −3 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ 3 2 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.

Β


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 1-7-2004 ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1 , u 2 και u3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ] ,

είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα S1 = {u1 − 2u 2 , u 2 − 3u 3 , u3 − u1 } και S 2 = {u1 − u 2 , u 2 − u 3 , u 3 − u1 } είναι γραμμικώς εξαρτημένα ή ανεξάρτητα.

(2 μονάδες)

ΘΕΜΑ 2 Να αποδείξετε ότι ⎧⎛ a b ⎞ ⎫ α) το σύνολο V = ⎨⎜ ⎟ / a, b ∈ R ⎬ είναι διανυσματικός υπόχωρος του ⎩⎝ a + b a − b ⎠ ⎭ (1 μονάδα) διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων 2 × 2 στο σώμα R

β) να βρεθεί η διάσταση του υπόχωρου αυτού.

(1 μονάδα)

ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R3 → R3 ο οποίος ορίζεται από την σχέση T ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 − x2 + x3 , − x1 + x2 + x3 )

α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση ⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ B = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0,1,1)} είναι [ T ]B = ⎜ 1 −1 1 ⎟ . (1 μονάδα) ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος;

(1 μονάδα)


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 1-7-2004 ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1 , u 2 και u3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ] , είναι

γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα S1 = {u1 + u 2 + u3 , u1 + u 2 , u 2 − u 3 } και S 2 = {u1 + u 2 + u3 , u1 + 2u 2 , u 2 − u 3 }

είναι γραμμικώς εξαρτημένα ή ανεξάρτητα. (2 μονάδες)

ΘΕΜΑ 2 Να αποδείξετε ότι ⎧⎛ a a + b⎞ ⎫ α) το σύνολο V = ⎨⎜ ⎟ / a, b ∈ R ⎬ είναι διανυσματικός υπόχωρος του b ⎠ ⎩⎝ a − b ⎭ (1 μονάδα) διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων 2 × 2 στο σώμα R

β) να βρεθεί η διάσταση του υποχώρου αυτού.

(1 μονάδα)

ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R 3 → R 3 ο οποίος ορίζεται από την σχέση T ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 , x1 + x3 , x2 + x3 )

α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση ⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ (1 μονάδα) B = {(1,1, −1) , (1, −1,1) , ( −1,1,1)} είναι (T ) b = ⎜ 1 0 1 ⎟ . ⎜0 1 1⎟ ⎝ ⎠ β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος;

(1 μονάδα)


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ 16-6-2005 ΘΕΜΑ 4 (2 μονάδες) ⎧⎛ 1 1⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ −1 1⎞ ⎫ a. Να εξετάσετε αν το υποσύνολο ⎨⎜ ⎟,⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎬ , των τετραγωνικών ⎩⎝ −1 1⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎭ πινάκων 2 × 2 , είναι γραμμικώς εξαρτημένο ή ανεξάρτητο.

b. Να αποδείξετε ότι η έκφραση x = x12 + 2 x22 , ;όπου x = ( x1 , x2 ) , ορίζει στάθμη στον χώρο R 2 . ΘΕΜΑ 5 (2 μονάδες)

Έστω U = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x2 − 2 x3 + x4 = 0} υποσύνολο του R 4 . a. Να αποδειχθεί ότι το U είναι διανυσματικός υπόχωρος του R4. b. Να βρεθεί μια βάση του U. ⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο πίνακας A = ⎜ −1 1 2 ⎟ . Να βρεθούν ⎜ −2 1 2 ⎟ ⎝ ⎠

a. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. b. Ο πίνακας An όπου n = 2, 3, " .

(1 μονάδα) (1.5 μονάδες)


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

Α

Εξετάσεις Φεβρουαρίου 2011 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση Be={e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} και τον τελεστή T : R3 → R3 , του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Βe είναι: ⎛ 2 0 −2 ⎞ [T ]Be = ⎜⎜ 1 −1 1 ⎟⎟ ⎜2 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση Bf={f1=(2,3,5), f2=(1,0,0), f3=(0,1,-1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους.

2) Έστω ο διανυσματικός χώρος P3(x) των πολυωνύμων 3ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P3(x) → P3(x) που ορίζεται από την σχέση: d2 T : f(x) → T(f(x) ≡ 2 ⎡⎣( x 2 + 3x + 2 ) f (x) ⎤⎦ dx όπου f(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x2, x3 } ⎛ 2 -1 1 ⎞ 3) Δίνεται ο πίνακας A ( x ) = ⎜⎜ 0 1 1 ⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για ⎜0 0 x⎟ ⎝ ⎠ τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

4)

α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g∈C[-1,1] η σχέση : <f|g>=

1

∫ (1− x )f ( x )g( x )dx −1

2

ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να

επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz |<f(x)|g(x)>|≤||f(x)||||g(x)|| στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x3


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Φεβρουαρίου 2011

B

1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση Be={e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} και τον τελεστή T : R3 → R3 , του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Βe είναι: ⎛2 1 0 ⎞ [T ]Be = ⎜⎜ 2 0 −2 ⎟⎟ ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση Bf={f1=(3,2,1), f2=(1,0,-2), f3=(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους.

2) Έστω ο διανυσματικός χώρος P3(x) των πολυωνύμων 3ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P3(x) → P3(x) που ορίζεται από την σχέση: T : f(x) → T(f(x) ≡

d2 ⎡ x 2 − 1) f (x) ⎤ 2 ⎣( ⎦ dx

όπου f(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x2, x3 } ⎛ x 0 0⎞ 3) Δίνεται ο πίνακας A ( x ) = ⎜⎜ 1 2 0 ⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για ⎜ -1 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

4)

α) Αν v≠0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V.

β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz |<f(x)|g(x)>|≤||f(x)||||g(x)|| στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2)


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 2011 (για τους επί πτυχίω)

1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση Be={e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} και τον τελεστή T : R3 → R3 , του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Βe είναι: ⎛2 1 0 ⎞ [T ]Be = ⎜⎜ 2 0 −2 ⎟⎟ ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση Bf={f1=(3,2,1), f2=(1,0,-2), f3=(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους.

2) Έστω ο διανυσματικός χώρος P3(x) των πολυωνύμων 3ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P3(x) → P3(x) που ορίζεται από την σχέση: d2 T : f(x) → T(f(x) ≡ 2 ⎡⎣( x 2 − 1) f (x) ⎤⎦ dx όπου f(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x2, x3 } ⎛ x 0 0⎞ 3) Δίνεται ο πίνακας A ( x ) = ⎜⎜ 1 2 0 ⎟⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για ⎜ -1 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

4)

α) Αν v≠0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V.

β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz |<f(x)|g(x)>|≤||f(x)||||g(x)|| στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2)


Α ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2011 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P ( x ) 3ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 7 ) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου

(2)

Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R3;

2)

α)

U={ (x,y,z) / x+y+z=0}

β)

W={ (x,y,z) / x+y+z=2}

(1)

3)

Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ2 των τετραγωνικών πινάκων 2 × 2 και η απεικόνιση

⎛ ⎛ a b ⎞ ⎞ ⎛ 2c a + c⎞ ⎛a b⎞ T:⎜ ⎟ → T⎜⎜ ⎟⎟ ≡ ⎜ ⎟ d ⎠ ⎝c d⎠ ⎝ ⎝ c d ⎠ ⎠ ⎝ b − 2c Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική. T : M2 → M2 ,

Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T. Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T). ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎛a b ⎞ ⎜ b ⎟ . (2,5) (Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα ⎜ σαν διάνυσμα-στήλη ⎟ ⎜c⎟ ⎝c d⎠ ⎜ ⎟ ⎝d ⎠

4)

Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P3 ( x ) των πολυωνύμων 3ου τελεστή dx (2) βαθμού.

Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια (2.5) ορθοκανονική βάση του V.

5)


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2011

B

1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P ( x ) 3ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 5 ) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου

(2)

Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R3;

2)

α)

U={ (x,y,z) / x+y-z=0}

β)

W={ (x,y,z) / x+y-z=2}

(1)

3)

Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ2 των τετραγωνικών πινάκων 2 × 2 και η απεικόνιση

⎛ ⎛ a b ⎞ ⎞ ⎛ 2c a + c⎞ ⎛a b⎞ T:⎜ ⎟ → T⎜⎜ ⎟⎟ ≡ ⎜ ⎟ d ⎠ ⎝c d⎠ ⎝ ⎝ c d ⎠ ⎠ ⎝ b − 2c Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική. T : M2 → M2 ,

Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T. Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T).

⎛a b ⎞ (Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα ⎜ ⎟ ⎝c d⎠

⎛a⎞ ⎜ ⎟ b σαν διάνυσμα-στήλη ⎜ ⎟ .(2,5) ⎜c⎟ ⎜ ⎟ ⎝d ⎠

4)

Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P2 ( x ) των πολυωνύμων 3ου τελεστή dx (2) βαθμού. Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-2z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια (2,5) ορθοκανονική βάση του V.

5)


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 2012 (για τους επί πτυχίω)

⎛α 0 0 ⎞ 1) Δίνεται ο πίνακας Α= ⎜⎜ 0 2 2 ⎟⎟ του χώρου Μ3[R]. Να βρεθούν οι τιμές του α ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 α⎠ για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος.

Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V.

2)

3)

Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση :

(f (x), g(x)) = ∫ f (x)g(x)dx 1

0

αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+2, g(x)=x2-2x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) ||f(x)||, ||g(x)||. 4) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x2+y2=1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x′,y′) βάσει της σχέσης :

⎛ x ′ ⎞ ⎛ −3 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ 3 2 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2012

Α

1)

α) Αν v≠0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V.

β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x|y>=x1y1+2x2y2+3x3y3 με x=(x1,x2,x3) και y=(y1,y2,y3) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,2) και y=(2,1,2). (2)

Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-2z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια (2) ορθοκανονική βάση του V.

2)

0 0 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 3) Δίνεται ο πίνακας ⎜ x + 1 1 x + 1⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις ⎜ 1 1 x + 1⎟⎠ ⎝ οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. (2)

4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R3 και γιατί: Α)

(v,u)=|v| |u|

B) (v,u)=|v| |u|cos3θ,

Γ) (v,u)=2|v| |u|cosθ

(1,5)

5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R3 → R3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, 2z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u1=(1,0,1), u2=(0,1,1), u3=(1,1,1) (2,5)


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2012

B

1)

α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u∈V / <u|v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g∈C[-1,1] η σχέση : <f|g>=

1

∫ (1− x )f ( x )g( x )dx 2

−1

ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να

επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x3. (2)

Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R4. Να βρεθεί μια (2) ορθοκανονική βάση του V.

2)

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ 3) Δίνεται ο πίνακας ⎜ −1 x 1 ⎟ με x ∈ R . Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο ⎜ 0 x 1⎟ ⎝ ⎠ πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. (2)

4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=(|x|,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny)

(1,5)

5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R3 → R3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(2y, x-z, -x+y+2z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u1=(1,1,0), u2=(1,1,1), u3=(1,0,1)) (2,5)


Γραμμική Άλγεβρα - Θέματα