Issuu on Google+

Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Κεφάλαιο 1 Αντικείμενο και Σκοποί της Οικονομετρίας

Συναρτησιακές σχέσεις οικονομικής θεωρίας (ακριβείς/προσδιοριστικές) → μαθηματικές σχέσεις (στοχαστικά μοντέλα) → εκτιμήσεις

π.χ. Βήμα Ι: Η Κεϋνσιανή συνάρτηση κατανάλωσης γράφεται C = α + βY ή

C= f(Y),

όπου C = δαπάνες κατανάλωσης και Y= διαθέσιμο εισόδημα Η σχέση αυτή είναι προσδιοριστική, δηλαδή για κάθε Y αντιστοιχεί ένα C

Βήμα ΙΙ: Η Κεϋνσιανή συνάρτηση κατανάλωσης μετατρέπεται σε στοχαστικό μοντέλο ως εξής: Ci = α + βYi + ui , i=1,...,n, όπου u ο διαταρακτικός όρος, δηλαδή τυχαία μεταβλητή που επηρεάζει την κατανάλωση

Βήμα

ΙΙΙ: ∧

Εκτίμηση ∧

C i=α ET + β ΕΤ Y i+ ui ,

του

στοχαστικού

μοντέλου.

Το

εκτιμημένο

μοντέλο

γράφεται

i=1,...,n,

όπου ∧

ui τα κατάλοιπα

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

1


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Τύποι Δεδομένων 1. Διαστρωματικά δεδομένα (cross section data) 2. Χρονοσειρές (time series data) 3. Διαχρονικά-διαστρωματικά δεδομένα (panel data)

Αναλυτικά:

Διαστρωματικά δεδομένα: Μετρήσεις μεταβλητών σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η διατρωμάτωση χαρακτηρίζεται από τον δείκτη i και το μέγεθος του δείγματος με N π.χ. ΑΕΠ, ανεργία, πληθωρισμός για 100 χώρες για το έτος 2005. Άρα εδώ Ν=100 με i=1,..., 100 Πρόβλημα: Συχνά παρατηρείται ασσύμετρη κατανομή, πράγμα που δεν επιτρέπει στον μέσο να αποτελεί ακριβές μέτρο θέσης ή κεντρικής τάσης. Λύση: Λογαριθμίζουμε τα διαθέσιμα δεδομένα Συσχέτιση μεταβλητών υποδείγματος όπως φαίνονται από τα διαγράμματα διασποράς

Υ

Θετική *Γραμμική Συσχέτιση

* ** * *

** * * ** * * * * ** * * ** *

Χ

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

2


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Αρνητική Γραμμική Συσχέτιση

Υ

*

** * ** ** * * * * * * * * * * *

** *

*

Υ

Χ Μη Γραμμική Συσχέτιση

*

* * *

*

**

** ** * * * *** * * * * * * ** * * * * * * * ** ** * * * * * ** *

Χ

Υ

* *Γραμμικά * * * Ασυσχέτιστες Μεταβλητές * ** ** * * ** * *** * ** ** * ** * * * * *** * * * * * * ** * * * * * * * ** ** * * * * * * ** * * ** *

Χ Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

3


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Χρονοσειρές: Μετρήσεις μεταβλητών γα συγκεκριμένη αγορά για διαφορετικές χρονικές περιόδους, Οι χρονοσειρές συμβολίζονται με Y t, t=1,...,T π.χ. ΑΕΠ Ελλάδας από το 1930 έως το 2010 Πρόβλημα: Οι χρονοσειρές συχνά παρουσιάζουν αυτοσυχέτιση ή εμμονή (αφού η μέτρηση του επόμενου έτους επηρεάζεται από το προηγούμενο) Λύση: Χρήση μεθόδων αντιμετώπισης της αυτοσυσχέτισης

Panel Data: Συνδιασμός χρονοσειρών και διαστρωματικν δεδομένων. Μετρήσεις μεταβλητών για διαφορετικές αγορές και για διαφορετικές χρονικές περιόδους

Κεφάλαιο ΙΙ Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Υποθέσεις:

(1)

Y i =a+ β Χ i +ui (γραμμική σχέση μεταξύΥ και Χ )

(2)

ui ∼(0, σ 2 ) ui τυχαία μεταβλητή Eui =0 2 Eu i =σ 2 σταθερή ∀ Χ (αν δεν ισχύει αυτό οδιαταρακτικός όρος είναι ετεροσκεδαστικός )

(3)

Eui u j =0 για i≠ j (οι διαταρακτικοί όροι είναι ασυσχέτιστοι μεταξύ τους) Απόδειξη: Cov(ui ,u j )= E(u i −Eu i )(u j − Eu j )= Eui u j =0

(4)

X δεν είναι στοχαστική και οι τιμές δεν είναι όλες ίδιες μεταξύ τους δηλαδή , σε επαναλαμβανόμενη δειγματοληψία (1)οι τιμές της μένουν σταθερές και (2)η διακύμανση του Χ δεν είναι μηδέν , και άρα δεν συσχετίζεται με τον διαταρακτικό όρο Δηλαδή : Cov( X i ,u i)=0 ή E( X i ui )=0 Απόδειξη :Cov ( X i ,ui )= E( X i ui )−E ( X i ) E (u i )=E( X i ui )

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

Η

4


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

υπόθεση της γραμμικότητας αναφέρεται στους συντελεστές του υποδείγματος και όχι στις μεταβλητές. Αυτό μαθηματικά σημαίνει ότι οι μερικές παράγωγοι της εξαρτημένης μεταβήτής y i ώς προς τους συντελεστές του υποδείγματος είναι ανεξάρτητες αυτών. Δηλαδή, στο

υπόδειγμα μας

∂ yi =1 και ∂a

∂ yi = xi ανεξάρτητα από τα ∂β

a και

β

Η μεταβλητή Υ της υπόθεσης (1) είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής u και επομένως η Υ είναι επίσης τυχαία μεταβλητή. Επιπλέον, η κατανομή της Υ είναι κατανομή υπό συνθήκη, δεδομένης της τιμής της Χ, δηλαδή για κάθε Χ υπάρχει ολόκληρη κατανομή και όχι μόνο μια τιμή της Υ.

Εφόσον η Χi δεν είναι στοχαστική ισχύει: Ε(Υi|Xi) = E(Yi) και V(Yi|Xi) = V(Yi) Άρα μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες σχέσεις:

(5) E(Y i )=a+ βΧ i (6 )V (Y i )=σ 2

Απόδειξη (a) Y i=α + βΧ i +ui E (Y i)=E( α + βX i +ui )=E( a)+ E( βX i )+ E(ui ) αλλά , E (a)=a , γιατί α είναι μια παράμετρος Ε (βX i)=β ( X i ), γιατί β είναι μια παράμετρος και X i μια σταθερά Ε (ui )=0 σύμφωνα με την υπόθεση(2) Άρα , E (Y i )=α + βX i (b) Από τον ορισμό της διακύμανσης V (Y i)=E (Y i−EY i )2 αντικαθιστώ με EY i=a+ βX i και Y i=α + βΧ i +ui Y (Y i)= E(α + βX i +ui−a−βΧ i )2=Ε(u i)2=σ 2

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

5


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

Θέλουμε να εκτιμήσουμε το παρακάτω γραμμικό υπόδειγμα Y i=α + βΧ i +ui , i=1,... , n ∧

Το εκτιμημένο υπόδειγμα γράφεται :

Y i=α ET + β ET X i +ui , i=1,... , n

H μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των καταλοίπων, δηλαδή, ∧ ∧

mina , β S( a , β ) , ∧ ∧

n

∧ ∧

n

όπου S (a , β )=∑ ui =∑ (Y i−α −β X i ) 2

i=1

2

i=1

Συνθήκες Πρώτης Τάξης

(7)

(8)

∂S

n

n

∧ =S =−2 ∑ (Y i −a−β X i )=0 a i=1 ∂α

∂S ∧

∂β

(Κανονικές Εξισώσεις)

=S β =−2 ∑ (Y i−a−β X i )(X i )=0 ∧

i=1

Για να βρούμε τους εκτιμητές α και β λύνουμε την (7) και(8) n

n

n

∧ n

n

∧ n

(7)→−2 ∑ (Y i−a −β X i)=0⇔ ∑ (Y i−a −β X i)=0 ⇔ ∑ Y i−n a −β ∑ X i=0 ⇔ ∑ Y i −β ∑ X i=n a i=1

n ∧

⇔ a=

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

∧ n

∑ Y i−β ∑ X i i =1

n ∧ ̄ −β X ̄ ⇔ a= Y

i=1

(9)

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

6


Εισαγωγή στην Οικονομετρία n

n

n

i=1

i=1

n

∧ n

̄ ∑ X i −β ∑ X 2i =0 (8)→∑ (Y i −Ȳ + β ̄X −β X i)( X i) ⇔ ∑ Y i X i−Ȳ ∑ X i+ β X i=1

i=1

i=1

n n

∧ n

̄ + β n X̄2−β ∑ X 2i =0 ⇔ ∑ Y i X i−Ȳ n X i=1 n

i =1

∑ Xi

̄ = i=1 ( αφού X n

)

∧ n

̄ )−β ∑ ( X i− X ̄ )2=0 ⇔ ∑ (Y i−Ȳ )( X i− X i=1

i=1

n

n

n

∑ Xi

i=1

n

αφού −β ( ∑ X −n X̄2 )=−β ( ∑ X 2i −n 2 i

i=1

n

n

n

i=1

n

n

̄ )=−β ( ∑ X −∑ X i X ̄) X i=1

n

n

i=1

i=1

2 i

i=1

̄ + ∑ X i ̄X )=−β ( ∑ X 2i −2 ∑ X i X ̄ +n X̄2 ) −β ( ∑ X 2i −2 ∑ X i X i =1

i=1 ∧ n

i=1

∧ n

̄ + X̄2)=−β ∑ (X i − X ̄) −β ∑ ( X 2i −2 X i X i=1

i =1

n

∑ (Y i−Ȳ )( X i− X̄ )

⇔ β ET = i=1 n

(10)

∑ ( X i− X̄ )

2

i=1

Εναλλακτικά:

n

∑ yi x i

(11)

β ET = i=1 n

∑ x 2i i=1

ή S β ET =r y , Sx ∧

(12)

n

∑ yi xi

όπου r = i=1n

√∑ √∑ y 2i

i=1

√∑

o δειγματικός συντελεστής συσχέτισης Υ i , Χ i

n

x 2i

i=1

n

και S y =

i=1

n

(Y i−Ȳ )2 ,

o δειγματικός εκτιμητής τυπικής απόκλισης

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

7


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Συνθήκες Δεύτερης Τάξης Για ελάχιστο η Εσσιανή μήτρα ων δευτέρων παραγώγων πρέπει να είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή, ∧

S a a >0 και ∣Η∣> 0 ∧∧

Η=

(

Saa

Saβ

∧∧

∧∧

S βa Sβ β ∧∧

∧ ∧

)

∣Η∣=Sa a S β β−S2,a β ∧ ∣Η∣>0 ∧∧

∧ ∧

αφού S α β=S β α

∧∧

∧ ∧

∧ ∧

Αν πάρω τις δεύτερες παραγώγους των (7) (8) προκύπτει: S a a=2n>0 ∧∧

n

S a β=2 ∑ X i ∧ ∧

i=1 n

2

S β β =2 ∑ Χ i ∧∧

i=1 n

∣Η∣=4n ∑ ( X i− X̄ )2 >0

που προκύπτει ως εξής :

i=1

n

∣Η∣=Sa α S β β −S2a β= ∧∧

∧∧

n

2

n

n

i=1 n

i=1

n

n

̄ ∑ Xi 2n 2 ∑ X 2i −(2 ∑ X i ) = 4n ∑ X 2i −4 ∑ X 2i = 4n ∑ X 2i −4 X

∧ ∧

i=1

i=1

n

n

n

i=1 n

i=1 n

i=1

n

i=1

i=1

n

n

i =1

i=1

̄ ∑ X i )= 4n (∑ X 2i −2 X ̄ ∑ X i+ X ̄ ∑ X i )= 4n( ∑ X 2i −2 X ̄ ∑ Xi+ X ̄ nX ̄) 4n ( ∑ X 2i − X i=1

i=1

n

̄ ∑ X i +n X̄2 )= 4n ∑ ( X i− ̄X )2 4n ( ∑ X 2i −2 X i=1

i=1

i=1

Γενικά οι εκτιμητές δίνονται από τις σχέσεις: ∧

̄ a =Ȳ − β X n ∧

β ET =

n

̄ ) ∑ yi xi (Y i −Ȳ )( X i − X ∑ i=1 i=1 n

=

∑ ( X i− X̄ ) i=1

n

n

∑ x2i

2

i=1

n

∑ (Y i−Ȳ )2 ∑ u2i

σ 2= i=1 n−1

= i=1 (Κ ο αριθμός των συντελεστών του υποδείγματος που εκτιμώνται με ΕΤ) n− Κ

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

8


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Ιδιότητες Γραμμής Παλινδρόμησης του Δείγματος

1. To άθροισμα των τιμών της Υ από το δείγμα είναι ίσο με το άθροισμα των τιμών που n

n

∑ Y i =∑ Y i

υπολογίζουμε από την παλινδρόμηση, δηλαδή

i =1

(13)

i=1

Απόδειξη: ∧

Y i=a ET + β ET X i n

n

∑ Y i=∑ (a ET + β ET X i)

(αθροίζω ∀ i και τα δύο σκέλη) (αντικαθιστώ με πρώτη κανονική εξίσωση)

i=1 n ∧

i=1 n

i=1

i=1

∑ Y i =∑ ( Y i )

n

∑ u i=0

2. Το άθροισμα των καταλοίπων είναι μηδέν. Δηλαδή

(14)

i =1

Απόδειξη: ∧ n

n

(αφού ∑ Y i=∑ Y i ) i=1

i=1

n

∑ ui=∑ (Y −Y )

(αθροίζω ∀ i και τα δύο σκέλη) n

u=Y −Y

n

n

i=1 n

i=1

n

∑ ui=∑ Y i −∑ Y i ⇔ ∑ ui=0 i=1

i=1

i=1

i=1

3. To άθροισμα των γινομένων των τιμών της Χ και των καταλοίπων είναι μηδέν, δηλαδή n

∑ Χ ι u i=0 (15) i =1

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

9


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Απόδειξη: ∧ ∧

(αθροίζουμε ∀ iκαι τα δύο σκέλη)

X i ui= X i Υ i− X i α ΕΤ −β ΕΤ X 2i

(πολλαπλασιάζουμε με X i και τα δύο σκέλη) n

ui=Υ i−α ΕΤ −β ΕΤ X i

n

∑ X i u i=∑ ( X i Υ i −X i α ΕΤ− β ΕΤ X 2i ) i=1

i=1

(από δεύτερη κανονική εξίσωση(8) προκύπτει ότι το δεύτερο σκέλος είναι μηδέν) n

άρα

∑ Χ ι ui =0 i=1

4. Το άθροισμα των γινομένων των καταλοίπων και των τιμών Υ που υπολογίζουμε από την n

∧ ∧

∑ Υ i ui =0

παλινδρόμηση του δείγματος είναι μηδέν, δηλαδή:

(16)

i =1

Απόδειξη: ∧

(πολλαπλασιάζουμε με ui και τα δύο σκέλη) n

(αθροίζουμε ∀i και τα δύο σκέλη)

∧ ∧

∧ ∧

Υ i =α ΕΤ + β ΕΤ X i+ u i ∧

u i Υ i=ui ( α ΕΤ + β ΕΤ X i + u i) n

∑ u i Υ i=∑ (u i (α ΕΤ + β ΕΤ X i+ u i)) i=1

i=1 n ∧ ∧

n

∑ u i a ET + β ET ∑ u i X i=0 i=1

5. H εκτιμημένη γραμμική σχέση

i=1

περνάει από το σημείο των μέσων όρων των ŷ i = α̂ΕΤ + β̂ΕΤ x i

τιμών της εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής στο δείγμα. Το σημείο αυτό ορίζεται ως εξής: ̄x =

1 N

N

∑ xi , i=1

̄y =

1 N

N

∑ yi

. Δηλαδή, ο μέσος της εξαρτημένης μεταβλητής και ο μέσος της

i=1

τιμής του Υ που υπολογίζουμε από την παλινδρόμηση ισούται, δηλαδή: ̄∧ ̄ =Y Υ

(17)

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

10


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Απόδειξη: ∧

Ξέρουμε ότι Y i =Y i + ui , όπου Y i=α ΕΤ + β ET Χ i και ui τα κατάλοιπα ∧

Y i=Y i+ u i n

1 1 (αθροίζω ∀i καιδιαιρώ με n) Y i= ∑ n i=1 n n ∧ ∧ ̄ (επειδή ∑ u i=0) Ȳ =Y

n

n ∧ ∧ ̄ 1 1 ∑ Y i+ n ∑ u i ⇔ Ȳ =Y + n 0 i=1 i=1 ∧

i=1

6. To συνολικό άθροισμα των τετραγώνων της εξαρτημένης μεταβλητής (TSS) ισούται με το άθροισμα των “εξηγημένων” τετραγώνων (ESS) και του αθροίσματος τω�� τετραγώνων των καταλοίπων (RSS), δηλαδή TSS = ESS + RSS (total sum of squares = explained sum of squares +residual sum of squares) (18) n

ή αλλιώς

n

∑ y =∑ 2 i

i=1

i=1

n

∧ ŷ 2+ ∑ u2i i=1

Απόδειξη: ∧

Y i=Y i +ui ∧

(αφαιρώ Ȳ και από τα δύο σκέλη)

Y i−Ȳ =Y i−Ȳ +u i n

n

∑ (Y i−Ȳ )2=∑ (Y i−Ȳ +ui )2

(αθροίζω και υψώνω στο τετράγωνο)

i=1

n

n

i=1

∧ ∧

∑ (Y i−Ȳ )2=∑ (Y 2i −2Yi Ȳ +2 Y i u i+Ȳ2−2 Ȳ ui +u2i )

(αναπτύσσω την ταυτότητα )

i=1

i =1

n

n

n

n

∧ ∧

n

∑ (Y i−Ȳ )2=∑ (Y i−Ȳ )2 +2 ∑ Y i ui −2 ∑ Ȳ ui + ∑ u 2i i=1

n

i=1

(ξέρω ότι ∑ ui=0)

n

i=1 n ∧ ∧

i=1 n ∧

∑ (Y i−Ȳ )2 =∑ (Y i −Ȳ )2 +2 ∑ Y i ui+ ∑ u2i

i=1

i=1

n

i=1

(αντικαθιστώ με Υ i=a ET + β ET X i)

n

n

i=1

n

i=1 n

i=1 n ∧

∑ (Y i−Ȳ )2=∑ (Y i−Ȳ )2 +2 a ET ∑ ui +2 β ET ∑ X i ui +∑ u2i i=1

i=1

n

i=1

n

i=1

n

i=1

∑ (Y i−Ȳ )2=∑ (Y i−Ȳ )2 +∑ u2i ⇔ TSS=ESS + RSS i=1

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

i=1

www.cears.edu.gr

i=1

11


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Συντελεστής Προσδιορισμού Ο συντελεστής προσδιορισμού συμβολίζεται με

R

2

και εκπροσωπεί το ποσοστό της

μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που “εξηγείται” από την παλινδρόμηση. Ως σημείο σύγκρισης χρησιμοποιείται ο μέσος.

TSS =ESS+ RSS ESS RSS (διαιρώ με TSS και τα δύο σκέλη) 1= + TSS TSS ESS ESS RSS RSS 2 ( λύνωως προς ) =1− ⇔ R =1− TSS TSS TSS TSS

n

αλλιώς R2=

n

∑ ( Y i− Ȳ )2

ESS i=1 = n TSS

(20) ή R 2=

β̂2 ∑ x 2i

ή R2 =

n

i=1

i=1 n

∑y

2

i=1

(23) ή R2=1− 2 i

(∑ x )( ∑ y ) i=1

β̂2 ∑ x i y i

(21) ή R 2=

i =1

2

i=1

2 i

n

n

( ∑ x i y i) n

i=1 n

∑y

∑ ( Y i− Ȳ )

2

i=1 n

(19)

RSS =1− TSS

(22) 2 i

∑ u2i i=1

(24)

n

∑ ( Y i− Ȳ )

2

i=1

2

και 0⩽R ⩽1 •

Ο συντελεστής προσδιορισμού παίρνει τιμές μεταξύ του μηδέν και του ένα 0⩽R 2⩽1

Στο διμεταβλητό υπόδειγμα ισχύει

Αν το υπόδειγμα εκτιμήθηκε με ΕΤ χωρίς σταθερό όρο τότε το

R2=r 2 (25) R2 μπορεί να πάρει και

αρνητικές τιμές και κατά συνέπεια δεν χρησιμοποιείται •

Όσο πιο κοντά βρίσκεται η τιμή του R 2 στην μονάδα, τόσο πιο ισχυρή γίνεται η γραμμική σχέση εξάρτησης των μεταβλητών Υ και Χ.

Μη Κεντρικός Συντελεστής Προσδιορισμού Αν, αντί του μέσου, ως σημείο σύγκρισης χρησιμοποιηθεί το μηδέν, τότε προκύπτει ο μη κεντρικός συντελεστής προσδιορισμού (uncentered coefficient of determination) που συμβολίζεται με

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

R2u

12


Εισαγωγή στην Οικονομετρία n

∑ Y 2i

(20)→ R2u= i=1n

∑Y i =1

Επομένος, ο μη κεντρικός συντελεστής προσδιορισμού

2 Ru παριστάνει την αναλογία της

μεταβλητικότητας της Υ που “ερμηνεύεται” από την παλινδρόμηση όταν η μεταβλητικότητα ορίζεται με βάση το μηδέν.

Ιδιότητες Εκτιμητών Σύμφωνα με το θεώρημα των Gauss-Markov για το κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα, οι εκτιμητές που προκύπτουν με την μέθπδπ των ελαχίστων τετραγώνων είναι άριστοι γραμμικοί αμερόληπτοι εκτιμητές. Αυτό σημαίνει ότι: 1. είναι γραμμικές συναρτήσεις των παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής Υ ∧

2. είναι αμερόληπτοι, δηλαδή:

Ε( α )=α

(26)

E( β )=β

(27)

3. είναι αποτελεσματικοί, δηλαδή μεταξύ όλων των γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών έχουν τη μικρότερη διακύμανση, που δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις: ∧ 1 X̄2 V (α )=σ 2 + n n ∑ x 2i

(28)

i=1

n

−1

V ( β )=σ 2 (∑ x 2i )

(29)

i=1

Επιπλέον, η συνδιακύμανση των συντελεστών α και β δίνεται από την ακόλουθη σχέση: ̄ X

∧ ∧

Cov( α , β )=−σ 2

n

∑x

(30) 2 1

i=1

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

13


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Απόδειξη ∧

Ένας εκτιμητής θ είναι γραμμικός εκτιμητής αν είναι της μορφής ∧

n

θ =∑ a i Y i ,όπου α i σταθερές και i=1,2,..., n. i=1

Δηλαδή ,o εκτιμητής θ είναι γραμμικός αν είναι γραμμική συνάρτηση των παρατηρήσεων του δείγματος ∧

A.Θα δείξουμε ότι ο εκτιμητής β είναι γραμμικός n ∧

∑ xi yi

β = i=1 n

O εκτιμητής β δίνεται από τη σχέση:

∑ x 2i i=1 n

(αντικαθιστώ με y i =Y i − Ȳ )

n

β = i=1 n

= i=1 n

i=1 n

i=1

∑ x 2i

n

∑ x 2i

Ȳ ∑ x i i=1

n

∑ x 2i i=1

∑ xi Y i

(αφου ∑ xi =0)

n

∑ x i (Y i− Ȳ ) ∑ x i Y i

β = i=1 n

i=1

∑ x 2i i=1

Η μεταβλητή Χ δεν είναι στοχαστική , επομένως ο λόγος

xi

είναι μια σταθερά ∀ i=1,2,... ,n

n

∑x i=1

Θέτω δ i =

xi

∑x i=1

n

β =∑ δ i Y i

,

n

2 i

i=1

2 i

Άρα ο εκτιμητής β είανι γραμμική συνάρτηση τουΥ ∧

B. Θα δείξουμε ότι ο εκτιμητής a είναι γραμμικός ∧

̄ a= Ȳ − β X n ∧

n

(αντικαθιστώ β =∑ δ i Y i και Ȳ = i=1

n

∑Yi i=1

n

( βγάζω το άθροισμα κοινο παράγοντα )

)

a=

∑Yi i=1

n

n

̄ ∑ δi Y i −X i=1

n

1 ̄ a =∑ ( − X δ i) Y i i=1 n ∧

∧ 1 ̄ Αλλά , − X δ i ,σταθερά και επομένως ο a είναι γραμμική συνάρτηση της Υ n

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

14


Εισαγωγή στην Οικονομετρία ∧

Γ. Θα δείξουμε ότι ο εκτιμητής β είναι αμερόληπτος n

∑ xi Y i

β = i=1 n

∑ x2i i=1 n

(αντικαθιστώ Y i=α + βX i +ui )

n

∑ x i (α + βX i +ui )

β=

i=1 n

n

∑ xi =a

∑ x 2i

∑ x i X i ∑ xi ui

i =1 n

+ β i=1 n

+ i=1 n

i =1

i=1

i=1

∑ x 2i

i=1

n

∑ x 2i

∑ x2i

n n

n

n

i=1

i=1

i =1

(επειδή ∑ xi =0 και ∑ x i X i=∑ x ) 2 i

∑ xi u i

β = β + i=1 n

∑ x2i i=1

n

n

n

n

i=1 n

i=1 n

n

i=1

i=1

i=1 n

i=1 n

i=1 n

n

n

n

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

∑ x i X i=∑ X i ( X i− X̄ )=∑ X 2i − X̄ ∑ X i

έχω n

̄ ∑ X i) ( προσθέτω και αφαιρώ X

∑ xi X i=∑ X 2i −2 X̄ ∑ X i + ̄X ̄X n

i=1

n

̄X ̄ n=∑ X̄2 ) (αφού X

∑ x i X i =∑ X 2i −2 X̄ ∑ X i+∑ X̄2=∑ (X − X̄ )2=∑ x 2i

i=1

Παίρνω την προσδοκώμενη τιμή του

β οπότε έχω:

n

∑ xi ui

Ε β =Ε [ β +

i=1 n

∑x i=1

n

∑ x i ui

]=E β + Ε [ i=1

2 i

x 2i

]

n

∑ xi u i

(αφού Εβ= β και Ε ( i=1 n

=0))

Eβ = β

∑ xi2 i=1 n

n

∑ x i ui ∑ x i E u i

έχω E ( i =1 n

∑x i =1

2 i

)= i =1 n

∑x i =1

=0 γιατί 2 i

xi n

∑x i=1

είναι μια σταθερά και Εui=0 2 i

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

15


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

n

−1

Δ.θα δείξουμε ότι V ( β )=σ ( ∑ x 2i ) 2

i =1

n

∑ xi ui

Είδαμε ότι β =β + i=1 n

i=1

∑x i=1

n

ή β =β + ∑ δ i ui , όπου δ i=

2 i

xi n

∑ x 2i i=1 ∧

Σύμφωνα με τον ορισμό της διακύμανσης

V ( β )=E (β −E β )2

(αφού β αμερόληπτος)

V (β )=E(β −β )2

n

n

(αντικαθιστώ με β =β + ∑ δ i ui )

2

V (β )=E(∑ δ i ui )

i=1

n

i=1

2

n

n

n

n

i=1

i <s

i =1

i <s

(Επειδή( ∑ δ i u i) είναι ταυτότητα )

V (β )=E( ∑ δ 2i u 2i + 2 ∑ δ i δ s ui u s)=∑ δ 2i E u2i + 2 ∑ δ i δ s Eui us

(Επειδή E u i u s=0 και E u2i =σ 2)

V ( β )=σ 2 ∑ δ 2i =σ 2 ∑ (

i=1

n

n

i=1

i=1

2

xi

)=

n

∑x

2 i

i=1

σ2 n

∑ x 2i i=1

̄ X

E. Θα δείξουμε ότι Cov( α , β )=−σ 2

n

∑ xi i+i

∧ ∧

( Από τον ορισμό)

Cov (α , β )=Ε (α −Ε( α ))( β − Ε( β ))

(επειδή α , β αμερόληπτοι)

Cov(α , β )=Ε (α −α )( β −β) (Ι ) ∧ ∧ ̄ −α ( II) α −α=Ȳ −b X

∧ ∧

Y i=α + βX i +ui ⇒ α =Y i− βX i−ui (αθροίζω και τα δύο σκέλη)

n

n

n

n

i+1

i=i

i=1

i=1

n

n

n

∑ α =∑ Y i −β ∑ X i−∑ ui ∑α

(διαιρώ με n)

i=1

n

∑Y1 =

i=1

n

n

∑ Xi −β

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

i=1

n

∑ ui

− i=1 n

www.cears.edu.gr

16


Εισαγωγή στην Οικονομετρία n

∑ ui

n

(αφού

∑ α=n⋅α )

̄ − i=1 =Ȳ −β X ̄ −ūi a=Ȳ −β X n

i=1

(αντικαθιστώ το α στην( ΙΙ ))

̄ −( Ȳ − β X ̄ −ūi) α −α =Ȳ −β X

̄) (βγάζω κοινό παράγοντα X

α −α =−( β −β ) ̄Χ + ūi

(αντικαθιστώ στην ( Ι ))

̄ + ūi ](β −β) Cov( α , β )=Ε [−( β −β) X

∧ ∧

̄ + ūi (β −β)] Cov (α , β )=E[−( β −β )2 X ∧ ∧

Cov (α , β )=(− ̄X ) E( β − β)2 + E ūi ( β −β ) ∧

Όμως E ūi (β −β )=0 γιατί n

n

∑ x i ui

β −β=β +

i=1 n

∑ xi u i −β=

∑ x 2i

i=1 n

∑ x 2i

i=1

i=1

n

( )( ) ∑ xi ui

άρα E ūi ( β −β)=Ε ūi

i=1

( )[ 1

E

n

∑ xi ui ūi

i=1 n

=E

∑x

⇔ E ūi ( β −β )=

n

∑ x2i

i=1

n

∑x i=1

∑ xi ui i=1

n

2 i

2 i

(u +u +.......+u )]⇔ n 1

2

n

i=1

⇔ E ūi ( β −β)=

[ ( ) 1

n

∑x i=1

E

n

n

∑ x i u i u1 +....+∑ x i u i+......+∑ u i un i=1

i=1

xi

=

n

2 i

] ( )( ) n

1

n

∑x i=1

i=1

2 i

1

̄ ) ⇔ E ūi (β −β)= (αντικαθιστώ x=X − X

n

∑x i=1

n

n

i=1

̄⋅n και ∑ X ̄ =n⋅̄X ) ⇔ E ūi ( β −β)=σ 2 (∑ X = X i=1

i=1

⇔ E ūi ( β − β)=σ

n

2 i

(

̄ nX

n

n∑ x i=1 ∧ ∧

2 i

̄ nX

(

n

∑x i=1

n

n∑ x i=1

2 i

∑ ̄X −

2 i

i=1 n

n∑ x

2 i

2 i

)

Επομένως , Cov (α , β )=− ̄X E ( β −β)2 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ σ2 ̄ V (β )=− X ̄ n (εξ ' ορισμού V ( β )=E (β −β )2 ) Cov (α , β )=− X ∑ x 2i i=1

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

)

n∑ x i=1

n

n

∑ Xi i=1 n

i =1

=0

n i=1

2

∑ xi

1

=

n

n

̄) σ 2 ∑ ( X i− X

n

∑ xi Eu2i

17


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Ερμηνεία Συντελεστών O συντελεστής παλινδρόμησης β παριστάνει τη μεταβολή στην προσδοκώμενη τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, όταν η ερμηνευτική μεταβλητή μεταβάλεται κατά 1 μονάδα, Είναι dE( Y i) =β dEX i

δηλαδή η μαράγωγος της Ε(Υi) ως προς Χi δηλαδή, H ελαστικότητα της Υ προς Χ δίνεται απότον τύπο : dy x dy y ε yx = ή ε yx= : dx y dx x ∧ ∧ Χ η εκτίμηση της ε yx είναι: ε yx= β ET i Υi

Eπειδή όμως η ελαστικότητα δεν παραμένει σταθερή σε όλο το μήκος της συνάρτησης, συνήθως υπολογίζουμε την ελαστικότητα παίρνοντας τους μέσους των Χ και Υ. Έτσι:

∧ ̄ X ̄ε yx=β ET ̄ , όπου ̄ε xy η ελαστικότητα στο σημείο των μέσων (31) Y

Σταστιστική Επαγωγή Μέχρι τώρα δεν καθορίσαμε την κατανομή πιθανότητας της u i. Έστω u i∼N ( 0, σ 2 ) Τότε ισχύει : 1 x2 ̂α ∼Ν α , σ 2 + n ν ∑ xi2

(

)

i=1

( (∑ ) ) −1

n

2 ̂ β∼N β ,σ

x

i=1

2 i

Επειδή όμως η παράμετρος της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου σ 2 καιη τυπική απόκλιση σ είναι άγνωστες , θα χρησιμοποιήσουμε τον αμερόληπτο εκτιμητή της , σ̂ 2 ̂ β) ( β− Η στατιστική όμως ακολουθεί την t κατανομή( t−student ) ̂ s ̂ se( β ) ̂ β) ( β− άρα t= ∼t n−2 ̂ s ̂ se ( β ) Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης του εκτιμητήονομάζεται τυπικό σφάλμα καιη εκτίμησή του δίνεται από τον τύπο :

[

n

̂ ̂ g se( β̂ )= Var ( β̂ ) = σ̂ ∑ x 2i

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

i=1

]

1 2

(32)

www.cears.edu.gr

18


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Έλεγχος Υπόθεσης (Έλεγχος Σημαντικότητας ) H 0 : β=αριθμός ( μηδενική υπόθεση) H 0 : β≠αριθμός (εναλλακτική υπόθεση) ΒΗΜΑ 1 :Υπολογίζουμε t −student στατιστική ̂ β−αριθμός t= ∼t n−2 (33) ̂ se ( β̂ ) s ΒΗΜΑ 2 : Συγκρίνουμε την τιμή της με την κριτική τιμή από τους πίνακες της t−student κατανομής με n−2 βαθμούς ελευθερίας και δεδομένοα ( επίπεδο σημαντικότητας ) α 2 Αν ∣t∣⩽t n−2

Αν∣t∣>t

δεν απορρίπτουμε Η 0

α 2 n−2

απορρίπτουμε Η 0

ΠΡΟΣΟΧΗ ! ! Όταν ελέγχουμε Η 0 : β=0 και απορρίψουμε την Η 0 λέμε ότι :' ' η εκτίμηση β̂ διαφέρει σημαντικά από το μηδέν ' ' ή ότι ' ' η εκτίμηση είναι στατιστικά σημαντική' ' Διάστημα Εμπιστοσύνης για συντελεστές κλίσης α a 2 ̂ 2 ̂ P β̂ −t n−2 se( β̂ )⩽ β⩽ β̂ +t n−2 se( ̂β) =1−α (34)

[

]

α

α

̂ ̂ ̂ να λάβουν τιμές που περικλείουν H πιθανότητα οιτυχαίες μεταβλητές ̂β−t 2n−2 se ( ̂β) και β̂ +t 2n−2 se ( β) την παράμετρο του πληθυσμού β είναι(1−α ) % Διάστημα εμπιστοσύνης για την διακύμανση του διαταρακτικού όρου σ 2 ̂2 (n−2) σ̂2 2 (n−2) σ P ⩽σ ⩽ =1−α (35) χ2 1 χ 2a

[

1−

2,

n−2

2,

n −2

]

Παράδειγμα Σας δίνονται τα παρακάτω εκτιμημένα υποδείγματα υποδείγματα. Σε παρενθέσεις αναφέρονται τα τυπικά σφάλματα. Προβείτε σε ελέγχους στατιστικής σημαντικότητας των συντελεστών κλίσης και των σταθερών όρων. Y i=1.56 + 2.67 X i + û i , i=1,. .... , 12 (0.91)

(1.19)

Y i = 0.35 +1.55 X i + û i , i=1,. .,136 (0.0092)

(0.28)

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

19


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Λύση α)Υ 1=1.56+ 2.67Χι+ ûi , i=1,... ,12 H 0 : β =0 H 1 : β≠0 t=

2.67 =2.243 ~ t 10 , α =0.05 1.19

α 2 n−2

∣t∣>t ∣2.243∣>2,228 άρα απορρίπτουμε Η 0 υπόθεση , κατά συνέπεια η μεταβλητή Χ i έχει στατιστικά σημαντική επίδραση στην Υ i H 0 : α=0 H 1 : α≠0 1.56 t= =1.714 ∣t∣< 2.228 άρα δεν απορρίπτουμε Η 0 υπόθεση για 95% διάστημα εμπιστοσύνης 0.91 (β)Υ i=0.35+ 1.55Xi + û i , i=1,.... ,136 H 0 : β =0 H 0 : β ≠0 t=

1.55 = 0.28

~ t 134, α=0.05

α

∣t∣>t 2n−2 ∣t∣=5.535>1.960 άρα απορρίπτουμε Η 0 υπόθεση , κατά συνέπεια η εκτίμηση β̂ διαφέρει σημαντικά από το μηδέν H 0 : α=0 H 1 : α≠0 1.35 ~ t 134 t=0.38 0.092 ∣t∣1.960 άρα δεν απορρίπτουμε Η 0 υπόθεση για 95% διάστημα εμπιστοσύνης t=

Έλεγχος με την κατανομή F Ο έλεγχος της υπόθεσης β=0 μπορεί να γίνει και με την κατανομή F : Όταν β=0 ισχύει: n

β̂ 2 ∑ x 2i F=

i=1 2

σ̂

n

∑ ŷ2

= i=1 n

(36)

με 1 και n−2 βαθμούς ελευθερίας

∑ ûi i =1

n−2 Για δεδομένο επίπεδοσημαντικότητας α , η υπόθεση β=0 απρρίπτετατιόταν F ⩾F α , όπου F α είναι η τιμή της Φ από τους πίνακες με 1 και n−2 β.ε. σε α επίπεδο σημαντικότητας ΠΡΟΣΟΧΗ ! ! Η στατιστική F είναιτο τετράγωνο της στατιστικής t , t 2= F

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

20


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Για τον υπολογισμό της F-στατιστικής μπορεί να κατασκευαστεί πίνακας ανάλυσης της διακύμανσης (πίνακας ANOVA) ΠΗΓΗ Άθροισμα ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗ τετραγώνων ΤΑΣ Παλινδρόμηση

n

∑̂y 2i

( RSS)

i=1

Β.Ε.

Μέσος αθροίσματος τετραγώνων

F-στατιστική

n

1

∑y 2i i =1

1 Κατάλοιπα

n

∑û 2i

( ESS)

i=1

n

n-2

∑û i2 i=1

[ n−2] Σύνολο

n

∑y 2i

( TSS)

i=1

n

n-1

n

∑ y 2i

∑y 2i i =1

( n−2)

i=1

F=

1 n

∑u 2i i =1

( n−2)

Έλεγχος του συντελεστή συσχέτισης Ο έλεγχος του συντελεστή συσχέτισης, δηλαδή ο έλεγχος της υπόθεσης πως ο συντελεστής συσχέτισης στον πληθυσμό ρ είναι μηδέν, είναι ο ίδιος με τον έλεγχο του συντελεστή β. Όταν δηλαδή ελέγχουμε για σημαντικότητα το συντελεστή β, είτε με το κριτήριο τ είτε με το κριτήριο F, ελέγχουμε ταυτόχρονα και το συντελεστή συσχέτισης. Συνήθως, υπολογίζουμε την στατιστική: t=

r √n−2 (37) και απορρίπτουμε την υπόθεση ότι ρ=0 αν |t| ≥tα/2 , n-2 √1−r 2

Πρόβλεψη στο απλό γραμμικό υπόδειγμα Έστω μια δοσμένητιμή Χ f της μεταβλητής Χ i i=1,. .. , n Με βάση την εκτίμηση του υποδείγματος και τηδεδομένη τιμή Χ f , μπορούμε να προβλέψουμε την εξαρτημένη μεταβλητή Υ. Η σημειακή πρόβλεψη δίνεταιαπό : Υ̂ f =α̂ + β̂ Χ f ̄) (αντικαθιστώ â =Ȳ − β̂ X Ŷ f =Ȳ − β̂ X̄ + βΧ̂ f ̂f ̄) (αντικαθιστώ x= X − X Ŷ f =Ȳ + βx Η πραγματική τιμή Υ f είναι άγνωστη και θεωρητικά δίνεται από το υπόδειγμα Y f =α+ βΧ f +u f (α ) ̄ + ū (αθροίζω κ ' διαιρώ με n) Ȳ =α + β X ( β) ̄ + u f − ū =βx f + u f − ū ( αφαιρώ(α )−( β ) ) Y f −Ȳ =βΧ f − β X

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

21


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Το σφάλμα πρόβλεψης συμβολίζεται με e f και ορίζεταιως η απόκλιση της πραγματικής τιμής Υ 0 από την πρόβλεψή της με βάση το υπόδειγμα , δηλαδή ̂ β ) x f + ( u f − ̄u ) e f =Y f −Ȳf =−( β− Όταν ο εκτιμητής είανι αμερόληπτος το μέσο σφάλμα πρόβλεψης είναι0. Δηλ. Ε (e f )=0 x 2f 1 Var (e f )=σ 1+ + n n ∑ x 2i 2

και

(

i =1

)

Επίσης e f ~ N ( E ( e f ) ,Var (e f ) ) Tο σφάλμα πρόβλεψης κατανέμεται ως μια t −student τυχαία μεταβλητή με n−2 β.ε. δηλαδή 1 ef Y −Ŷ 0 t= = 0 ~ t n−2 (38), όπου ̂ se (e f )= ̂ Var (e f ) I ̂ se( e f )a ̂ se (e f ) a Διάστημα Εμπιστοσύνης : Ŷ ±t ⋅ ̂ Var ( e )a (39)

f

n−2 ,

α 2

f

Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Λογαριθμικός – Λογαριθμικός μετασχηματισμός ΠΡΟΣΟΧΗ!! Ο λογαριθμικός μετασχηματισμός εφαρμόζεται μόνο όταν οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνο θετικές τιμές Το υπόδειγμα είναι της μορφής: ln(Y i )=α+ βln ( X i )+u i (40) Ο συντελεστής κλίσης β αντιστοιχεί στην ελαστικότητα της Y i ως προς X i , β=ε yx Το υπόδειγμα (40) υποθέτει σταθερή ελαστικότητα της Y i ως προς X i ή ότι η αρχική εξάρτηση της Y i πάνω στην X i είναι πολλαπλασιαστικού τύπου Y i =A X iβ eu

Έστω η εκθετική συνάρτηση Y i =e a+ βX + u i

i

i

Η συνάρτηση μετατρέπεται σε γραμμική αν λογαριθμίσουμε με βάση το e. Δηλαδή: ln (Y i )=ln (e α + βX + u )⇒lnY i =α + βX i + ui i

i

Η συνάρτηση αυτή, όπως είναι γνωστό, συνεπάγεται σταθερό ρυθμό μεταβολής της

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

Yi

22


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Λογαριθμικός – Γραμμικός μετασχηματισμός Στην περίπτωση αυτή λογαριθμίζουμε μόνο την εξαρτημένη μεταβλητή ln (Y i )=α + β X i + ui (41) Η ελαστικότητα της Y i ως προς X i δίνεται από τον τύπο: ε YX = βX i αφού dln(Y i ) X = βX i dX i / X i i αν β>0: μια αύξηση (μείωση) της μεταβλητής

X i κατά μία μονάδα οδηγεί σε μια (100xβ)%

αύξηση (μείωση) της Y i Ισχύει ότι: ̄ ε ̂YX = ̂β X Ο εν λόγω μετασχηματισμός χρησιμοποιείται κυρίως •

όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ψευδομεταβλητή (παίρνει την τιμή 0 ή 1) ή έχει μονάδα μέτρησης τον χρόνο και

η εξαρτημένη μεταβλητή παίρνει μόνο θετικές τιμές

Παράδειγμα Έστω ότι

(Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξετάσεις 2011)

P i είναι η τιμή πώλησης διαμερισμάτων στην περιοχή της Πάτρας το έτος 2009. Έστω

ότι έχετε ένα τυχαίο δείγμα 125 τιμών πώλησης. Επίσης, έστω ότι

Χ i ο αριθμός δωματίων του

διαμερίσματος. Θέλετε να εκτιμήσετε το υπόδειγμα ln( Ρi )=α+ β X i+ ui . Με βάση τα παρακάτω στοιχεία

n

n

∑ ( pi− ̄p )2=19,5955 , ∑ ( X i − X̄ )2=78,288 i =1

i−1

n

∑ ( pi − ̄p)( X i − X̄ )=21,25014 i=1

̄p =6,59585 X̄ =4,7361111 pi =lnP i 1. Εκτιμήστε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων τις παραμέτρους α και β

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

23


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

2. Εκτιμήστε το τυπικό σφάλμα του εκτιμητή β̂ και προβείτε σε έλεγχο σημαντικότητας για το β̂ n

όταν το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων είναι ίσο με

∑ ûi 2=13,82746 i =1

( t από πίνακες 1,96) 3.Υπολογίστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης του β και αποφασίστε σχετικά με την υπόθεση β=0,30 ( t από πίνακες 1.96) 4.Ερμηνεύστε τον εκτιμημένο συντελεστή β̂ 5.Υπολογίστε το συντελεστή προσδιορισμού και προβείτε σε σχολιασμό του Λύση 1. α̂ΕΤ =Ȳ − β̂ X̄ n

β̂ΕΤ =

∑ yi xi i−1 n

n

∑ ( pi− ̄p )( X i− X̄ )

= i =1

∑ x 2i

=

n

∑ ( X i− X̄ )2

i =1

21,25014 =0,27143 78,288

i=1

̄ =6,59585−0,27143⋅4,736=5,31036 α̂ = ̄p− β̂ X άρα

̂ ln ( P i)=5,31036+0,27143 X i n

1

− ̂ ̂a se( ̂β)= Var ( β̂ ) =[ σ̂ ∑ xi2 ] 2

2.

όμως

i=1

σ̂ =√ σ̂ 2=√ 0,11241=0,33527 ̂ ̂ √ (0,33527⋅78,288) A=0,19518 συνεπώς se ( β)= Θα κάνουμε έλεγχο σημαντικότητας για τον συντελεστή ̂β H 0 : β=0 H 1 : β≠0 ̂β 0,27143 t= = =1,39066 ̂ ̂ A 0,19518 se( β) ∣t∣<1,96 άρα δεν απορρίπτουμε την Η 0 υπόθεση

[

a

a

]

̂ 2n−2 ̂ ̂ β⩽ β̂ +t 2n−2 ̂ 3. P β−t se( β)⩽ se ( ̂β) άρα P [ 0,27143−1,96∗0,19518⩽ β⩽0,27143+1,96∗0,19518 ] =0,95 P [−0,11112⩽ β⩽0,65398 ] =0,95 άρα το διάστημα εμπιστοσύνης είναι [−0,11112 0,65398]

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

24


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

H 0 : β=0,30 Η 1 : β≠0,30 a=0,05 ̂β−0,30 0,27143−0,30 t= = =−0,14637 ̂ 0,19518 se ( β̂ )

∣t∣<1,96 άρα δεν απορρίπτουμε H 0 υπόθεση ̂β είναι ένας θετικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι μια

4. Ο εκτιμημένος συντελεστής

αύξηση του αριθμού των δωματίων του διαμερίσματος κατά μία μονάδα οδηγεί σε μια 27,143 % ((100x0,27143)%) αύξηση της τιμής πώλησης του διαμερίσματος. Αντίστοιχα, μια μείωση του αριθμού των δωματίων του διαμερίσματος κατά μία μονάδα, οδηγεί σε μια 27,143% μείωση της τιμής πώλησης του διαμερίσματος. n

5.

R2=1−

n

∑ û2i i=1

∑ û2i =1−

n

∑ (Y i−Ȳ )2

i=1

n

=1−

∑ ( p i− ̄p )2

i=1

13,82746 =0,29435 19,5955

i=1

Που σημαίνει ότι το ποσοστό της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που “εξηγείται” από την παλινδρόμηση είναι 29,435%. Δηλαδή, μόνο το 29,435% της μεταβολής της τιμής πώλησης διαμερισμάτων στην περιοχή της Πάτρας το 2009 εξηγείται από την παλινδρόμηση, καθώς υπάρχουν κι άλλοι παράγοντες που δεν έχουμε λάβει υπόψιν μας, όπως π.χ. Ο όροφος κτλ.

Γραμμικός - Λογαριθμικός μετασχηματισμός Στην περίπτωση αυτή λογαριθμίζουμε μόνο την ανεξάρτητη μεταβλητή. To υπόδειγμα γίνεται:

Y i =α+ β ln ( X i)+ ui (42) και υποθέτουμε ότι η ελαστικότητα της Y i ως προς X i είναι αντιστρόφως ανάλογη του επιπέδου της εξαρτημένης μεταβλητής Y i . Δηλαδή, καθώς αυξάνεται το Y i , η αντίδραση της Χ i μειώνεται. Η ελαστικότητα δίνεται από τον τύπο ε YX = β

1 Yi

1 Ισχύει ότι: ε ̂YX = ̂β a Ȳi

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

25


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

O χρόνος ως ερμηνευτική μεταβλητή Αν

x t =t ,

t=1,. ... , T όπου Τ το μέγεθος του δείγματος, τότε το υπόδειγμα γράφεται:

Y t =a+ βt +u t •

αν β>0 τότε έχουμε ανοδική πορεία μεταβλητής στο χρόνο

αν β<0 τότε έχουμε καθοδική πορεία μεταβλητής στο χρόνο

αφού Ε (ut )=0

Y t =a+ βt +ut E (Y t )=α+ βt

Κατά συνέπεια η αναμενόμενη τιμή της Y t είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου, άρα

Δt=t −(t−1)=1 επομένως Ε (Υ t −Y t−1 ) E (Y t )− E (Y t −1 ) α− βt −α− β (t−1) = = Δt Δt 1 Επομένως ο συνελεστής

β μετρά τη μέση μεταβολή της Y t κάθε χρονική περίοδο

Βασικές έννοιες χρονολογικών σειρών Χρονολογική σειρά (time series) είναι ένα δείγμα

y 1, y 2,. ... , yT , όπου ο δείκτης παριστάνει

ισαπέχοντα χρονικά σημεία (έτη, μήνες κτλ.) ή χρονικά διαστήματα (6 μήνες, 2 έτη, 5 έτη κτλ.). Υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις

y 1, y 2,. ... , yT , είναι συγκεκριμένες τιμές ή πραγματοποιήσεις

των τυχαίων μεταβλητών Υ 1, Υ 2,. ... ,Υ T , και ότι οι τυχαίες μεταβλητές Υ 1, Υ 2,. ... ,Υ T , είναι μέρος μόνο μιας άπειρης σειράς (ακολουθίας) τυχαίων μεταβλητών. Η ακολουθία ονομάζεται στοχαστική ή τυχαία διαδικασία και συνήθως παριστάνεται με {Υ t } Μια στοχαστική διαδικασία χαρακτηρίζεται ως δεύτερης τάξης ή ασθενώς στάσιμη ή κατά συνδιακύμανση στάσιμη αν: Ε (Υ t )= μ , ανεξάρτητη από t 2, V (Y t )=σ ανεξάρτητη από t Cov (Y t , Y t +k )=Cov(Y t +s ,Y t +k +s )=γ (k) , ανεξάρτητη από t για k =0 : Cov(Y t ,Y t )=Var (Y t )=σ 2=γ Υ (0) Η συνάρτηση

ρΥ (k )=

ασθενώς στάσιμη

γ Y (k ) ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και ισχύει γY (0)

−1⩽ ρΥ ( k )⩽1 . Το διάγραμμα της

ρΥ (k ) ως προς k ονομάζεται κορελλόγραμμα.

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

26


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

T

ρ̂Υ (k )=

t=k +1

(Y t −Ȳ )(Y t− k − Ȳ ) Δειγματική Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης

T

∑ (Y t −Ȳ )

2

t =1

ρk =

cov (Y t ,Y t− k )

√var (Y t )var (Y t−k )

1 √T

Αυτοσυνδιακύμανση

Τυπικό Σφάλμα

Έλεγχος Υπόθεσης για Αυτοσυσχέτισης Η 0 : ρY (k )=0, H 1 : ρY ( k )≠0, αν

∣ ρ̂Y ( k )∣>

2 √T

k ⩾1 k ⩾1 απορρίπτουμε

Η 0 υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α %

Διαχωρισμός wold (wold decomposition) +∞

Αν μια διαδικασία

yt

είναι ασθενώς στάσιμη, τότε μπορεί να γραφεί ως

y t =d t + ∑ ψ j ut − j j=0

ψ 0 =1 +∞

όπου

∑ ψ 2j <+∞ j =0

u t δεν αυτοσυσχετίζονται d t προσδιοριστική διαδικασία, δηλαδή θεωρείται προβλέψιμο +∞

Αν d t =0 τότε

y t =∑ ψ j u t− j γραμμική διαδικασία, δηλαδή η σειριακή συσχέτιση της j−0

yt

καθορίζεται απόλυτα από την ακολουθία των συντελεστών {ψ j }+∞ j=0

Μια ασθενώς στάσιμη χρονοσειρά {Υ t } είναι εργοδική όταν γ ( k )=cov (Y t ,Y t−k )→0 καθώς k →+∞

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

27


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Ιεράρχηση στοχαστικών υποθέσεων χωρίς σειριακή συσχέτιση E (u t )=0 E (u 2t )=σ 2 E (u t u s )=0,

λευκός θόρυβος ∀ t≠ s

u t | I t ~ (0, σ 2 ) I t =(ut , u t−1 , ....) και I t−1=(ut −1 ,u t−2 ,....)

περίπτωση “ακολουθίας διαφορών martingale”

u t ~ i.i.d (0, σ 2)

ανεξάρτητος λευκός θόρυβος

u t ~ N.i.d (0, σ 2 )

Gaussian ανεξάρτητος λευκός θόρυβος

Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα πρώτης τάξης AR(1) Έστω υπόδειγμα

Y t =α +φY t−1 +u t , u t λευκός θόρυβος

Λύνοντας προς τα πίσω προκύπτει: Y t =α +φY t−1 +u t ⇔ Y t =α+φ(α +φY t− 2 +ut −1)+ ut ⇔ Y t =α+φα+φ 2 Υ t −2 +φut −1+ ut όπου Υ 0 αρχική τιμή Υ για τ=0 ⇔ ⋯ t −1

t −1

j =0

j=0

⇔ Y t =α ∑ φ j +φt Y 0 + ∑ φ j u t− j Έστω |φ|<1 (συνθήκη στασιμότητας) και t →+∞ Τότε Υ t = και

+∞ α + ∑ φ j ut − j , 1−φ j=0

Ε (Y t )=

+∞

∑ x j = 1−1 x j=0

+∞ α α + ∑ φ j E (ut − j )= 1−φ j=0 1−φ

και var (Y t )=

σ 2u 1−φ 2

και γ Y (k )=σ 2Υ φk Άρα

γιατί για | x |<1ισχύει

(συνδιακύμανση)

γ Υ (k ) σ 2Υ φk ρY (k )= = 2 =φk γΥ (0) σΥ

συνάρτηση αυτοσυνδιακύμανσης για AR(1) +∞

Διαχωρισμός wold:

y t =d t + ∑ ψ j ut − j , j=0

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

με

ψ j =φ j

www.cears.edu.gr

28


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα τάξης p AR(p) y t =α+φ1 y t −1 +φ2 y t−2 +…+φ p y t− p +u t ,

t=1,…, T ,

ut λευκός θόρυβος

φ( L) y t =α+u t

Η AR(p) διαδικασία μπορεί να γραφεί:

όπου φ( L)=1−φ1 L−φ 2 L2 −…−φ p L p , πολυώνυμο p τάξης του L

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια AR(p) διαδικασία είναι στάσιμη αν όλες οι ρίζες r j , για

j=1,.... , p του πολυωνύμου

φ( L) βρίσκονται εκτός του μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή αν φ( L j )=0 τότε πρέπει |r j |>1 ∀ j

Προσοχή! Αν κάποια ρίζα είναι μιγαδική, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί ως r j =α±b i όπου α,b πραγματικοί αριθμοί και i=√−1 τότε | r j |= √α 2 +b 2 Αν Δ<0, η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές ρίζες,

z 1,2 =

− β±i √− Δ 2α

Μη-Στασιμότητα Μη-στάσιμες ονομάζονται οι χρόνοσειρές για τις οποίες τουλάχιστον μια ροπή τους (μέσος, διακύμανση, αυτοσυνδιακύμανση, αυτοσυσχέτιση) εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο. H μη-στασιμότητα αναφέρεται στην άμεση εξάρτηση της αναμενόμενης τιμής και/ή της διακύμανσης και/ή της συνάρτησης αυτοσυνδιακύμανσης μιας διαδικασίας από τον χρόνο. Οπτικά, οι μη στάσιμες χρονοσειρές εμφανίζουν ορισμένα πρόδηλα χαρακτηριστικά. 1. Εμφάνιση έντονων δομών ή σχηματισμών (structures or patterns) 2. Εμφάνιση τάσεων (trends) Παρακάτω δίνονται διαγραμματικά παραδείγματα στάσιμων και μη-στάσιμων χρονοσειρών.

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

29


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Παραδείγματα μη στάσιμων χρονοσειρών 1. Στάσιμες γύρω από την τάση (trend stationary) y t = β 0 + β 1 t + β 2 t 2 +…+ β k t k +ut

ή

y t = f (t )+u t

με { ut } ασθενώς στάσιμη χρονοσειρά μηδενικού μέσου Ε ( y t )= β 0 + β 1 t + β 2 t 2 +...+ β k t k Var ( yt )=σ 2y =σ 2u Cov( y t , y t −k )=γ y (k )=γ u (k )

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

30


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

H Μέθοδος της Μέγιστης Πιθανοφάνειας Στο κλασσικό κανονικό μοντέλο οι διαταρακτικοί όροι U 1 ,U 2,. .. U N είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και διακύμανση σ 2. Άρα, η συνάρτηση πυκνότητας του διαταρακτικού όρου είναι: 2 1 1 u i−0 f (u i)= exp − α 2 σ σ √(2π)

{ ( )}

Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγματος είναι: 2 n 1 1 u1 L=∏ exp − a 2 σ2 i =1 σ √2π ή

{ }

{ } N

1

L=

N 2 2

e −

( 2πσ )

u 2i ∑ 1 i=1

2 σ2

Αντικαθιστούμε όπου ut =Y t −α− βX t οπότε L=

1 N 2 2

( 2πσ )

{ (

e −

N Y t −α −βX t 1 ∑ 2 i=1 σ

)} 2

είναι η συνάρτηση πιθανοφάνειας των παρατηρήσεων Y t του δείγματος. Λογαριθμίζοντας προκύπτει: N

∑ (Y t −α− βX t ) T Τ 1 i =1 2 log L=− log 2π− log σ − ⋅ (1) 2 2 2 σ2 Αναζητούμε τις τιμές των α , β , σ 2 που μεγιστοποιούν την παραπάνω συνάρτηση Ν

∑ (Y −α− βX t )

∂ log L i =1 = ∂α

=0

σ2

Ν

∑ (Y −α− βX t ) Χ i

∂ log L i=1 = ∂β

=0

σ2 N

(Y t −α −βX i )2 ∑ 1

∂ log L Ν =− 2 + 2 ∂σ 2σ 2

i=1

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

2

(σ 2 )

=0

www.cears.edu.gr

31


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έχουμε : N

N

∑ Y i=n⋅α*+ β * ∑ X i i =1

i=1

N

Ν

N

∑ Y i X i =α ∑ Χ i + β ∑ X i2 *

i =1

*

*

ι=1

i =1

*

Όπου α , β οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας. Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ίδιες με τισ κανονικές εξισώσεις που προκύπτουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Άλλωστε, μεγιστοποίηση της logL ως προς α και β, σημαίνει ελαχιστοποίηση του τελευταίου όρου, αφού είναι αρνητικός, δηλαδή ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων N

των αποκλίσεων ∑ (Y i−α− βX i )2 i=1

Από την τρίτη εξίσωση έχουμε: N

∑ (Y t−α*− β * X i)

σ *2= i=1

, όπου σ *2 ο εκτιμητής διακύμανσης μέγιστης πιθανοφάνειας. n Επειδή οι μέγιστης πιθανοφάνειας εκτιμητές είναι ίδιοι με αυτούς των ελαχίστων τετραγώνων, N

∑ û 2

μπορούμε να πούμε: σ *2= i =1 n *2 α) σ δεν είναι αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης σ 2 δηλαδή Ε ( σ *2 )≠σ 2 β) σ *2 είναι συνεπής eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee γ) σ *2 είναι ασυμπτωτικά αποτελεσματικός iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Γραμμικό Υπόδειγμα: Πολυμεταβλητή Παλινδρόμηση Αντίθετα με το υπόδειγμα απλής γραμμικής παλινδρόμησης, εδώ η εξαρτημένη μεταβλητή είναι συνάρτηση πολλών ερμηνευτικών μεταβλητών. Το υπόδειγμα γράφεται: y i= β 1 + β 2 X 2,i + β 3 X 3,i +....+ β k X k ,i +u i , ∀ i όπου

i ο αριθμός των παρατηρήσεων

k ο αριθμός των μεταβλητών (θέτουμε

Χ 1,i =1 )

Χ 2,i η i παρατήρηση της 2 y 1= β 1 + β 2 X 2,1 + β 3 X 3,1 +....+ β k X k ,1 +u 1 y 2= β 1 + β 2 X 2,2 + β 3 X 3,2 +....+ β k X k ,2 +u 2 δηλαδή, y = β + β X + β X +....+ β X +u 3 1 2 2,3 3 3,3 k k ,3 3 ⋮ y n= β 1+ β 2 X 2,n + β 3 X 3, n+....+ β k X k ,n + un Με μήτρες το παραπάνω σύστημα μπορεί να γραφεί: y=Xβ+u Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

32


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

όπου

ή

[] [

1 X 2,1 X (nxk) = 1 X 2,2 ⋮ ⋮ 1 X 2,n

y1 y(nx1) = y 2 , ⋮ yn

y i= xi ' β+ ui

ή

y i = β ' x i + ui

X 3,1 X 3,2 ⋮ X 3, n όπου

... ... ⋮ ...

] [] []

X k ,1 X k ,2 , ⋮ X k ,n

β1 β(kx1)= β 2 , ⋮ βk

x i ' (1xk)=(1

X 2,1

u1 u(nx1)= u2 ⋮ un X k ,i )

Υποθέσεις (1)

Y i=β 1+ β2 Χ 2,i + β 3 X 3,i +...+ β k X k ,i +ui (γραμμική σχέση μεταξύ Υ και Χ)

(2)

ui∼(0, σ 2) ui τυχαία μεταβλητή Eui=0 2 Eui =σ 2 σταθερή ∀ Χ ( E(u' u)=σ 2 Ι ) (αλλιώς ο διαταρακτικός όρος είναι ετεροσκεδαστικός )

(3)

Eui u j=0 για i≠ j(οι διαταρακτικοί όροι είναι ασυσχέτιστοι μεταξύ τους)

(4 )

Οι ερμηνευτικές μεταβλητές δεν είναι στοχαστικές, οι τιμές τους παραμένουν σταθερές και δεν είναι όλες ίδιες μεταξύ τους Δεν υπάρχουν ακριβείς γραμμικές σχέσεις ανάμεσα στις ερμηνευτικές μεταβλητές Ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των συνετελστών του υποδείγματος που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Δηλαδή, r (X )=k (Αν δεν ισχύει αυτό τότε έχουμε πρόβλημα πολυσυγγραμικότητας)

(5) (6)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Θέλουμε να εκτιμήσουμε το παρακάτω γραμμικό υπόδειγμα: Y i=β 1 + β 2 Χ 2, i+ β3 Χ 3,i +.....+ β κ Χ κ ,i +ui Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των καταλοίπων, δηλαδή n

min β̂ S=∑ û i2=̂u ' û ⇔ i=1

̂ ( y− X β)⇔ ̂ ⇔ S=( y− Χ β)' ̂ ̂ ̂ ⇔ S= y ' y− y ' X β− β ' Χ ' y + β ' Χ ' Χ β̂ ⇔ ⇔ S= y ' y−2 β̂ ' Χ ' y+ β̂ ' Χ ' Χ β̂ , αφού y ' X β̂ 1x1

Συνθήκες Πρώτης Τάξης Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

33


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

∂S =0 ⇔−2X ' y+ 2X ' X β̂ =0⇔ X ' X β̂ = Χ ' y ⇔ β̂ ΕΤ =( Χ ' Χ )−1 Χ ' y με a ̂ ∂β

[

X' X=

n

n

∑ X1

n

∑ X2

i=1 n

n

n

...

i=1

i=1

n

n

∑ X 1 ∑ X 12 ∑ X 1 X 2 i=1 n

i =1 n

...

i=1 n

i=1

i=1

⋮ n

...

i=1

...

n

i=1

i=1

...

i =1

∑ Yi

[]

β̂ 1 β̂ 2 ̂ β= ⋮ β̂ k

i =1 n

∑ X 1Y i

X ' y=

i=1 n

∑ X 2Y i i=1

n

n

∑ X k ∑ X k X1 ∑ X k X 2

] [] [] [ ]

∑ X2 Xk i =1

n

∑ X1 X k i=1 n

∑ X 2 ∑ X 2 X 1 ∑ X 22

n

∑ Xk

∑ X kY i

∑ X k2 i=1

i=1

Εναλλακτικά όταν χρησιμοποιούμε αποκλίσεις από τους μέσους ο εκτιμητής είναι: β̂ ΕΤ =( x ' x)−1 ( x ' y) με

[

x ' x=

n

n

∑ x 12 i =1 n

n

∑ x 1 x 2 ... i=1 n

∑ x2 x1 ∑ X 2 i=1

∑ x2 xk

...

⋮ n i =1

i=1 n i=1

⋮ n

∑ xk x1 ∑ xk x2 i=1

...

i=1

⋮ n

2

∑ x1 xk

...

∑ xk i=1

2

]

n

∑ Yi i=1

β̂1 ̂ β̂ 2 β= ⋮ β̂k

n

∑ X 1Y i

X ' y=

i =1 n

∑ X 2Y i i=1

n

∑ X k Yi i=1

για να υπάρχει ο β̂ ΕΤ πρέπει r ( x)=k για να είναι η Χ'Χ βαθμού και άρα αντιστρέψιμη Σημείωση! 1) Ο βαθμός (rank) μιας μήτρας Α ορίζεται ως η τάξη (ή οι διαστάσεις) της μεγαλύτερης ορίζουσας που μπορεί να προκύψει από την Α και που είναι διαφορετική από το μηδέν και συμβολίζεται με r(A). Αν η ορίζουσα μιας τετραγωνικής ρίζας Α είναι ίση με μηδέν, η μήτρα ονομάζεται ιδιάζουσα. 2) Α−1 αντίστροφη μήτρα A−1 A=AA−1=I 1 A−1= adj A ∣ A∣ adj A (adjoint) είναι η ανάστροφη της μήτρας που έχει ως στοιχεία τις αντίστοιχες προσημασμένες ελάσσονες ορίζουσες της Α

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

34


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

[

]

1 3 5 πχ A= 2 −1 4 2 1 3 Οι προσημασμένες ελάσσονες ορίζουσες είναι P 11=−7 P 21=−4 P12= 2 P 22=−7 P32= 6 P13= 4 P 23= 5 P 33=−7 και∣ A∣=19 −7 −4 17 άρα adj A= 2 −7 6 4 5 −7

[ [

P31 =17

] ]

17 1 −7 −4 και A = 2 −7 6 19 4 5 −7 Παράδειγμα Έστω το υπόδειγμα Υ = Χ⋅Β +u όπου n=135 και −1

nx1 2x1

[ [

]

X ' X = 147,74 4,6285 4,6285 27,931 X ' y= 169,34 61,265 Υπολογίστε τον εκτιμητή ΕΤ του β Λύση

]

̂β ΕΤ =( Χ ' Χ )−1 Χ ' y 1 1 27,931 −4,6285 0,0068 −0,00112 ( X ' X )−1 = adj ( X ' X )= ⋅ = 4105,1029 −4,6285 ∣X ' X ∣ 147,74 −0,00112 0,03598 β̂ ΕΤ = 0,0068 −0,00112 ⋅ 169,34 = 1,0831 −0,00112 0,03598 61,265 2,014 ̂ β 1=1,0831 β̂2 =2,014

[

[

][

][

][

]

]

Συνθήκες Δεύτερης Τάξης ∂2 S πρέπει =2X ' X (θετικά ορισμένη) ∂ β̂ ∂ ̂β ' Σημείωση Μια συμμετρική μήτρα Α διάστασης nxn είναι θετικά ορισμένη όταν ∀ n-διάστατο διάνυσμα x≠0 ισχύει X ' AX >0 Γενικά οι εκτιμητές δίνονται από τις σχέσεις −1 β̂ΕΤ =( Χ ' Χ ) Χ ' y n 1 û ' û σ̂2= û2i = ∑ n−k i =1 n−k

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

35


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Ιδιότητες Γραμμής Παλινδρόμησης 1. Χ ' û =0 Απόδειξη ̂ Aπό συνθήκες πρώτης τάξης X ' y− X ' X β=0 ⇒ ̂ u)− X ' X β=0 ̂ Χ ' ( Χ β+ ⇒ ̂ ̂ X ' X β+ X ' u− X ' X β=0 ⇒ X ' u=0

2. ̂y ' u=0 ̂ Απόδειξη ̂y ' û =( X ̂β) ' û = β̂ ' Χ ' u= ̂ β̂ '×0=0 3. β̂ΕΤ − β =( X ' X )−1 X ' u Απόδειξη

(σφάλμα δειγματοληψίας)

β̂ΕΤ =( X ' X )−1 X ' y (αντικαθιστώ με y=Xβ+u) β̂ET =( Χ ' Χ )−1 Χ ' ( Χβ+ u) = ( Χ ' Χ )−1 Χ ' Χ β+( X ' X )−1 X ' u = β +( X ' X )−1 u (αφαιρώ β κι από τα δύο μέλη) β̂ΕΤ − β =( X ' X )−1 X ' u 4. H αναμενόμενη τιμή του σφάλματος δειγματοληψίας είναι μηδέν Απόδειξη α) Αν οι ερμηνευτικές μεταβλητές δεν είναι στοχαστικές E ( β̂ΕΤ − β̂ )=Ε [( Χ ' Χ )−1 u ] −1 (γιατί Χ σεν είναι στοχαστικές ) ( X ' X ) X ' E (u) −1 ( γιατί Ε(u)=0) ( X ' X ) ×0=0 β) Αν οι ερμηνευτικές μεταβλητές είναι στοχαστικές E ( β̂ΕΤ − β | Χ )= Ε [( Χ ' Χ )−1 Χ ' u | X ]=( X ' X )−1 X ' E (u | X )=( X ' X )−1 X '×0=0 (γιατί Ε(u|Χ)=0) ΠΡΟΣΟΧΗ! Nόμος Επαναλαμβανομένων Προσδοκιών: Ε [ Ε (Υ | Χ )]=Ε (Υ ) Άρα Ε [ Ε ( β̂ΕΤ − β | Χ )]=Ε ( β̂ΕΤ − β) Επομένως, αφού Ε ( β̂ΕΤ − β | Χ )=0⇒ E [ E ( β̂ΕΤ − β | Χ )]=Ε (0)⇒ E ( β̂ΕΤ − β )=0 ⇒ (αφού Ε(β)=β ) E ( β̂ΕΤ )−Ε ( β )=0⇒ E ( β̂ΕΤ )= β 5. Var ( β̂ΕΤ )=Var ( β̂ET − β )=σ 2 ( Χ ' Χ )−1 Απόδειξη Var ( β̂ΕΤ )=Var ( β̂ET − β ) = Var (( X ' X )−1 X ' u) (Θέτω Α=( Χ ' Χ )−1 Χ ' ) = Var ( Au) 2 (Αφού Var aX =a Var ( X )) = A Var (u) A' 2 = Aσ Ι n A'=σ 2 ΑΑ' = σ 2 ( Χ ' Χ )−1 Χ ' Χ (( Χ ' Χ )' )−1 (αφού( Χ ' Χ )'= Χ ' ( Χ ' ) '=( Χ ' Χ )) = σ 2 ( Χ ' Χ )−1

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

36


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Gauss-markov ΘΕΩΡΗΜΑ Στο κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα, οι εκτιμητές των συντελεστών που προκύπτουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή,

β̂ΕΤ =( X ' X )−1 X ' y είναι άριστοι γραμμικοί αμερόληπτοι,

οι δε διακυμάνσεις και συνδιακυμάνσεις τους δίνονται από την σχέση: Var ( β̂ΕΤ )=σ 2 ( Χ ' Χ )−1 Τα διαγώνια στοιχεία της μήτρας Var ( β̂ΕΤ ) δίνουν τις διακυμάνσεις των εκτιμητών β̂1, β̂2. .. β̂ k , ενώ τα υπόλοιπα τις συνδιακυμάνσεις.

[

Var ( β̂ 1) Cov ( β̂1, β̂ 2) ⋯ Cov ( β̂1, β̂ k ) Cov( β̂2, β̂ 1 ) Var ( β̂ 2 ) ⋯ ⋮ Var ( β̂ET )=Var ( β̂ET − β̂ )= ̂ ⋯ ⋯ ⋯ Cov( β k +1, β̂ k ) ̂ ) Cov( β̂k , β̂ 1) ⋯ Cov( β̂k , β k−1 Var ( β̂ k )

]

H παραπάνω μήτρα λέγεται μήτρα διακυμάνσεων-συνδιακυμάνσεων, είναι συμμετρική και θετικά ορισμένη. Ισχύει ότι: Var ( β̂ΕΤ |Χ)=Var ( β̂ΕΤ − β | Χ )=σ 2 ( Χ ' Χ )−1 και Var ( β̂ΕΤ − β )=E [Var ( β̂ΕΤ − β | Χ )]+Var [ E ( β̂ΕΤ − β | Χ )] (αφού Ε ( β̂ΕΤ − β | Χ )=0) Var ( β̂ΕΤ − β )=E [Var ( β̂ΕΤ − β | Χ )]=σ 2 Ε [( Χ ' Χ )−1]

Απόδειξη ̃ Θα αποδείξουμε ότι Var ( β)−Var ( ̂β)⩾0

( β̂ αποτελεσματικός εκτιμητής)

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

37


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

β̃ =Cy=CXβ +Cu , όπου C k×n αυθαίρετη μήτρα E ( ̃β )= Ε (CXβ +Cu)=CX E ( β)+C E (u)=CXβ (αφού E(u)=0) Για να είναι ο εκτιμητής αμερόληπτος πρέπει CX =I k Τότε Ε ( β̃ )= β Θέτω Α=( Χ ' Χ )−1 Χ ' ̂ Ay και Var ( β− ̂ β )=σ 2 Α Α' άρα β= ΈστωC =D+ A=D+( X ' X )−1 X ' ∀ D k×n CX = I k ⇒(D+ A) X =I k ⇒ DX + AX =I k ⇒ DX +( X ' X )−1 X ' X = I k ⇒ DX − I k =I k ⇒ DX =0 Επομένως πρέπει DX=0 έτσι ώστε ο εκτιμητής β̃ να είναι αμερόληπτος Θέτω

̃ Var ( β)=Var ( ̃β− β)=σ 2 CC ' σ 2 ( D+ A)(D+ A) ' σ 2 (D+( X ' X )−1 X ' )(D+( X ' X )−1 X ' ) ' σ 2 (D+( X ' X )−1 X ' )(D ' + X ( X ' X )−1 ) σ 2( DX ( X ' X )−1+ DD ' +( X ' X )−1 X ' X ( X ' X )−1+( X ' X )−1 X ' D ' ) σ 2 ( DD ' +( X ' X )−1 ) (αφού DX ( X ' X )−1=0, X ' X ( X ' X )−1=I , ( X ' X )−1 X ' D' =0) Var ( β̃ )−Var ( β̂ )=σ 2 ( DD ' +( X ' X )−1)−σ 2 ( Χ ' Χ )−1=σ 2 DD '⩾0 επειδή ∀ D k ×n , DD '⩾0 και D' D⩾0

O Eκτιμητής της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου û ' û 2 O εκτιμητής σ̂ = είναι αμερόληπτος εκτιμητής του σ 2 , δηλαδή n−k

̂2 2 Ε ( σ )=σ

Απόδειξη ̂ u=Y ̂ −Ŷ =Y − X β=Y − X (X ' X )−1 X ' y =[ I n− X ( X ' X )−1 X ' ]× y Θέτω Μ =Ι − Χ ( Χ ' Χ )−1 Χ ' Με ΜΧ =0 ( MX =[ I − X ( X ' X )−1 X ' ] X = X − X =0) M ' M =M ([ I − X ( X ' X )−1 X ' ]' [ I − X ( X ' X )−1 X ' ]=[ I − X ( X ' X )−1 X ' ][ I − X ( X ' X )−1 X ' ]= M ) άρα ισχύει û =My= M ( Xβ +u)=MXβ + Μu E ( û ' û )=E [( Mu)' Mu ]= E (u ' M ' Mu)= E (u ' Mu)= ( επειδή Μ 1×1) = E [tr (u ' Mu )]=E [tr (Muu ' )]=tr [ M E (uu ' )]=

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

38


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

(από υπόθεση E ( u ' u)=σ 2 Ι ) άρα E

= tr [ M σ 2 I n ]=tr (σ 2 Μ )=σ 2 tr (M )=σ 2 tr [ I n − X ( X ' X )−1 X ' ]= σ 2 tr ( I n )−tr [ X ( X ' X )−1 X ' ]=σ 2 [tr( I n )−tr ( I k )]=σ 2 ( n−k )

û ' û (n−k )=σ ⇒ E ( σ̂ )=σ 2

2

2

(αμερόληπτος εκτιμητής)

Σημείωση! Ορισμός: Το ίχνος (tr) του πίνακα ορίζεται ως το άθροισμα των διαγωνίων στοιχείων του πίνακα (τετραγωγικού) Ιδιότητες: 1.

tr (A)= A 1×1

1×1

2.

tr ( A+ B)=tr( A)+tr ( B)

3.

tr (λ⋅A)=λ⋅tr ( A) ,

4.

tr ( A⋅B⋅C )=tr (B⋅C⋅A)=tr (C⋅A⋅B) ,

λ∈ℝ A, B ,C

τετραγωνικοί πίνακες

Ορισμός: Ένας εκτιμητής ονομάζεται συνεπής (consistent) αν είναι ασυμπτωτικά αμερόληπτος, δηλαδή, lim E( β̃ )= β ,

και η διασπορά τείνει στο μηδέν καθώς το n τείνει στο άπειρο, δηλαδή,

n→∞

lim Var ( β̃ )=0, n→∞

Στατιστική Επαγωγή Έλεγχος Υπόθεσης ( β j=αριθμός) Η 0 : β j =αριθμός Η 1 : β j≠αριθμός ΒΗΜΑ 1: Υπολογίζουμε t student στατιστική β̂ j− β j t= ∼t n−k σ̂ √ [( X ' X )−1 ] jj û ' û όπου σ̂ 2= n−k BHMA 2: Συγκρίνουμε την τιμή της με την κριτική τιμή από τους πίνακες της t-student κατανομής με n-k βαθμούς ελευθερίας Αν ∣t∣⩽t a/n−k2 δεν απορρίπτουμε Η 0 /2 Αν ∣t∣>t an−k απορρίπτουμε Η 0

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

39


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Προσοχή! Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος

se ̂ ( β̂ j)= Var̂( β̂ j ) δίνεται από τη ρίζα του j στοιχείου της

κύριας διαγωνίου της μήτρας σ̂ 2 ( X ' X )−1

To 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης: /2 /2 P [ β̂ j−t an−k ⋅̂σ √ [( X ' X )−1 ] jj ⩽β j⩽ β̂ j + t an−k ⋅̂σ √ [( X ' X )−1] jj ]

Έλεγχος Γραμμικής Υπόθεσης Η υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμε μπορεί να μην είναι έλεγχος μεμονωμένων συντελεστών, αλλά ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών, γραμμένος σε σύστημα εξισώσεων: Η 0 : Rβ=r

ή

Η 0 : Rβ−r =0

όπου R είναι μία q×k μήτρα με q⩽k και q ο αριθμός των γραμμικών περιορισμών και r είναι ένα q×1 διάνυσμα σταθερών όρων Προσοχή! 1. Η ανάλυση αυτή δεν ισχύει σε περίπτωση μη-γραμμικών ελέγχων 2. Το q προκύπτει από τη μέτρηση του αριθμού των ισοτήτων στους περιορισμούς 3. Οι περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητοι 4. Η R πρέπει να είναι πλήρους γραμμοβαθμοί (full rank), δηλαδή r(R)=q Παράδειγμα Δίνεται το παρακάτω υπόδειγμα: log(W i )= β 1 + β 2 S i + β 3 Y i + β 4 expi + ui όπου W i =μισθμός S i =χρόνια εκπαίδευσης Υ i =χρόνια εργασίας στην τωρινή εργασία expi =συνολικά χρόνια προϋπηρεσίας με k=4 ανεξάρτητες μεταβλητές Θέλουμε να ελέγξουμε τους περιορισμούς

β 2= β 3 και ή αλλιώς β 2− β 3=0

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

β 4=0 και β 4=0

www.cears.edu.gr

40


Εισαγωγή στην Οικονομετρία

Οι περιορισμοί αυτοί μπορούν να γραφούν ως

[

[]

β1 β= β 2 , β3 β4

]

R= 0 1 −1 0 , 0 0 0 1

Rβ=r

[]

r= o o

Οι δύο γραμμές του R είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, επομένως η υπόθεση του βαθμού του πίνακα ικανοποιείται. Έστω τώρα ότι θέλουμα να προσθέσουμε κι άλλον περιορισμό. Τον

β 2− β 3= β 4 . Ο περιορισμός

αυτός είναι περιττός, γιατί ισχύει πάντα όταν ισχύουν οι δύο προηγούμενοι. Αν τον εισάγουμε στο σύστημα έχουμε q=3 και

[

]

0 1 −1 0 R= 0 0 0 1 , 0 1 −1 −1

[]

β1 β= β 2 , β3 β4

[]

0 r= 0 0

Η 3η γραμμή είναι η διαφορά των δύο πρώτων και κατά δυνέπεια η R δεν είναι πλήρους γραμμοβαθμού και κατά συνέπεια η υπόθεση του βαθμού του πίνακα δεν ικανοποιείται.

Ανοικτή Τριτοβάθμια Εκπαίδευση

www.cears.edu.gr

41


Econometrics