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CAÌDA LIBRE 1. Una pelota se lanza con una v=10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana localizada a 20 mts del piso. Si sabemos que la aceleración de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo determinar: a) La velocidad v y la elevación y de la pelota con respecto al piso para cualquier tiempo t. b) La elevación más alta alcanzada por la pelota y el valor correspondiente de t. c) El tiempo en que la pelota golpeara el piso y su velocidad correspondiente. a) Formula v

t

V0

0

V

t

10

0

∫ dv = ∫ a dt

Sustituyendo valores

∫dv = ∫ −9.81 dt

V [v ]10

t

= −9.81∫ dt 0

V −10 = −9.81[t ]0 t

V = −9.81t +10

Después y

t

20

0

∫ dy = ∫V dt

Sustituyendo y

t

20

0

∫dy = ∫−9.81t +10 dt

[ y ]20y

[

= − 4.905t 2 +10t

]

t 0

y − 20 = −4.905t 2 +10t y = −4.905t 2 +10t + 20

b)


Formula V = −9.81t +10

Sustituyendo

0 = −9.81t +10 t =

−10 −9.81

t =1.01 seg

Formula y = −4.905t 2 +10t +20

Sustituyendo

y = −4.905(1.01) +10(1.01) +20 2

y = 25.09 m

c)

− 4.905t +10t + 20 = 0

t =

t =

− b + − b 2 − 4ac 2a − ( −10 ) + −

( −10 ) 2 − [4( − 4.095)( 20)] 2( − 4.905)

t =

10 + − 100 − 327.6 − 9.81

t =

10 + − 100 + 327.6 − 9.81

t =

10 + − 100 + 327.6 − 9.81

t =

10 + 22.19 − 9.81

t = 3.28 seg

v = −9.81(3.28 ) +10 v = −22.17 m / s

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÌCULAS


Cuando varias partículas se mueven independientemente a lo largo de la misma línea, puede escribirse ecuaciones de movimiento independientemente para cada partícula, siempre que sea posible, el tiempo debe de registrase desde el mismo instante inicial para todas las partículas y los desplazamientos deben medirse desde el mismo origen y en la misma dirección.

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS El movimiento de un cuerpo puede ser elevado con respecto a otro cuerpo en movimiento. Existen muchas razones prácticas para analizar dicho movimiento relativo, los casos más comunes son los vehículos cuyo movimiento se observa con respecto a otros vehículos, algunos colisiones entre vehículos en movimiento requieren análisis de su movimiento relativo, otra área importante del movimiento relativo es la mecánica estructural. El movimiento relativo de diferentes partes de una estructura dada es indicativo de las deformaciones y posibles daños en los elementos estructurales, en casos simples los movimientos relativos pueden sustituirse por un modelo de dos partículas. Supóngase que dos partículas A y B se mueven a lo largo de la misma recta x, pero no son independientes una de la otra, las posiciones, velocidades y aceleraciones de A y B están dadas con respecto a un punto fijo cero y serán XA, VA, aA; XB, VB, aB. Escalarmente la posición velocidad y aceleración relativas de las partículas B con respecto a la partícula A se definen utilizando las siguientes notaciones:


A

= XB − XA

A

= VB − V A

Posiciòn relativa

X

B

Velocidad relativa

V

B

Aceleraciòn relativa

a B A = aB − a A

NOTA: Al finalizar el movimiento relativo de los dos automóviles, es útil recordar que la notación B/A significa que se observa la posición, velocidad y aceleración de automóvil B como si fuera pasajero en el automóvil A.

Ejemplo: 5. El automóvil B está acelerando hacia la izquierda a una razón constante de 0.5 m/s2 en t=0 la velocidad es de 20 m/s. Calcular: a) La posición Xm sobre la autopista donde los vehículos se encuentran uno al otro. b) La velocidad del camión A relativa del automóvil B en ese instante. a) Para A Se utiliza la formula v

t

Vo

0

∫ dv = ∫ a dt

Se procede a calcular la velocidad en cualquier tiempo de la siguiente manera V

t

15

0

∫ dv = ∫ 0.2 dt

V [v ]15

t

= 0.2 ∫ dt 0

V −15 = 0.2[t ] 0 t

V −15 = 0.2[t − 0] V −15 = 0.2t V = 0.2t +15


Posteriormente se calcula el desplazamiento con respecto a la velocidad Fórmula empleada x

t

x0

0

∫ dx = ∫V

dt

x

Sustituyendo para obtener el desplazamiento en cualquier tiempo x

t

0

0

∫ dx = ∫ ( 0.2t +15) dt t

[ x ] 0x

t

= 0.2 ∫ t dt + 15∫ dt 0

[

x − 0 = 0.1t + 15t 2

[

]

0

t 0

x = 0.1( t − 0 ) + 15( t − 0 ) 2

]

x = 0.1 t 2 + 15t

Para B Se realiza el mismo procedimiento como en A Se utiliza la formula v

t

Vo

0

∫ dv = ∫ a dt

Se procede a calcular la velocidad en cualquier tiempo de la siguiente manera


V

t

−20

0

∫ dv = ∫ − 0.5 dt

[v ]V−20

t

= −0.5∫ dt 0

V − ( − 20 ) = −0.5[t ] 0 t

V + 20 = −0.5[t − 0] V + 20 = −0.5t V = −0.5t − 20

Posteriormente se calcula el desplazamiento con respecto a la velocidad Formula empleada x

t

x0

0

∫ dx = ∫Vx dt

Sustituyendo para obtener el desplazamiento en cualquier tiempo: x

t

2000

0

∫ dx = ∫ ( − 0.5t − 20 ) dt

x [ x] 2000

t

t

= −0.5∫ t dt − 20 ∫ dt

[

0

0

x − 2000 = − 0.25t − 20t 2

[

]

t 0

x − 2000 = − 0.25( t − 0 ) − 20( t − 0 ) 2

]

x − 2000 = −0.25t 2 − 20t x = −0.25t 2 − 20t + 2000

De acuerdo a las ecuaciones anteriores se tiene que sacar una sola para obtener el punto en donde se encuentran, para lo cual se debe de igualar las dos ecuaciones de desplazamiento 0.1t 2 + 15t = −0.25t 2 − 20t + 2000 0.1t 2 + 15t + 0.25t 2 + 20t − 2000 = 0 0.35t 2 + 35t − 2000 = 0


Ya obtenida esta ecuación se emplea la formula general para obtener el tiempo en que se encuentran t=

t=

− b + − b 2 − 4ac ç 2a − ( 35) + −

( 35) 2 − [ 4( 0.35)( − 2000 )] 2( 0.35)

t=

− 35 + − 1225 − ( − 2800 ) 0.7

t=

− 35 + − 4025 0. 7

t=

− 35 + −( 63.44 ) 0.7

t1 =

− 35 + 63.44 28.44 = = 40.63 seg 0.7 0. 7

t2 =

− 35 − 63.44 98.44 =− = −140.63 seg 0.7 0.7

Se procede a sustituir en las ecuaciones de velocidades para comprobar el tiempo seleccionado que fue el que salió positivo. Para A X A = 0.1t 2 +15t X A = 0.1( 40.63) +15( 40.63) 2

X A = 0.1(1650.79 ) + 609.45 X A =165.079 + 609.45 X A = 774.52 m


Para B X B = −0.25t 2 − 20t + 2000 X B = −0.25( 40.63) − 20( 40.63) + 2000 2

X B = −0.25(1650.79 ) − 812.6 + 2000 X B = −412.69 − 812.6 + 2000 X B = 774.52 m

b) Se realiza la sustitución del tiempo en la formulas de velocidad en A y B. V A = 0.2t +15

V B = −0.5t − 20

V A = 0.2( 40.63) +15

V B = −0.5( 40.63) − 20

V A = 8.126 +15

V B = −20.315 − 20

V A = 23.126 m / s

V B = −40.315 m / s

Formula empleada para sacar la velocidad relativa:

V

A

V

A

V

A

B

= V A − VB

Solución:

B

B

= 23.126 − ( − 40.315) = 63.43 m / s


MOVIMIENTOS RELATIVOS DEPENDIENTES (GRADOS DE LIBERTAD) En unos sistemas mecánicos, la posición de una partícula depende de la posición de la otra partícula o de varias otras partículas, por ejemplo una cinta flexible pero inextensible se sitúa alrededor de un perno cero como se muestra en la siguiente figura: En este caso, únicamente una de las dos coordenadas X A o XB de las partículas A y B puede ser establecida arbitrariamente, pues la otra dependerá del valor de la otra o de la primera. Entonces la podemos expresar como: X A + X B = cons tan te

Cualquier sistema en el cual pueda establecerse arbitrariamente el valor de una coordenada se dice que tiene un grado de libertad. Consideremos ahora la cinta del ejemplo anterior pero colocado como se muestra en la figura: Aquí la cinta ha sido colocada alrededor de tres pernos, dos de los cuales son fijos, 0 y 0`, y uno que es movible P en la dirección x, en este caso la coordenada X A de punto A sobre la cinta depende la coordenada XB del punto B y también de la coordenada X p del perno P pudiendo ambas ser establecidas arbitrariamente, por ser dos variables las que pueden seleccionarse libremente y siendo independientes entre ellas se dice que el sistema tiene dos grados de libertad. Para determinar la relación que existe entre las coordenadas consideremos los siguientes hechos: La cinta A-B tiene una longitud constante y las longitudes de la cinta en contacto con los pernos también es constante.


X A + X B + 2 Xp = cons tan te

De manera análoga tenemos para la velocidad y aceleración de las partículas se obtienen derivando con respecto al tiempo, así tenemos que la expresión de sus posiciones serán: V A + V B + 2Vp = 0 a A + a B + 2ap = 0


CAIDA LIBRE