Page 1

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Deel I Precalculus 1

30/06/2017


CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina . http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c 2013 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Druk 30 juni 2017


Inhoudsopgave

Wiskunde In zicht

Voorwoord Wat is wiskunde? Parate kennis bij aanvang van de derde graad I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX G M Po Pr Ps +∞

Precalculus 1 Goniometrie en precalculus 2 Matrices Complexe getallen Logica Rijen Limieten, asymptoten en continu¨ıteit Afgeleiden Telproblemen Kansrekenen 1 Integralen Ruimtemeetkunde Beschrijvende statistiek Kansrekenen 2 en verklarende statistiek Vectorvlak en Euclidisch vlak Getaltheorie Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Analytische meetkunde Differentiaalvergelijkingen Reeksen Computermeetkundepakket GeoGebra Computerrekenpakket Maple Portfolio wiskunde Practicum wiskunde Problem Solving wiskunde Topics uit de wiskunde

Referentielijst, bibliografie en websites ii

iii iv-xi x-xviii I,i-ii,1-138

S,1-15 Po,1-4 Pr,1-12 +∞,1-5 xix-xxvi


Deel I

Analyse - Precalculus 1

y

f (x) =

x3 |3 − x2 |

1 1

I

x


Inhoudsopgave

Deel Precalculus 1

1 Herhaling

1

1.1 Cartesische co¨ ordinaten en grafieken . . . 1.2 Basisbegrippen in verband met functies . 1.3 Elementaire functies, symmetrie¨en van de 1.4 Transformaties van functies . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in economie - Belastingverlaging . . . .

. . . . . . . . grafiek . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. 1 . 3 . 8 . 16 . 22 . 25

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Veeltermfuncties

26

2.1 Definitie van een veeltermfunctie en voorbeelden . . . . . . . . 2.2 Grafisch bepalen van nulwaarden, snijpunten en extrema . . . 2.3 Algebra¨ısch bepalen van nulwaarden, tekentabel en snijpunten 2.4 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in natuurkunde - Doorbuiging van een balk . . . . . . . . . .

3 Rationale functies

40

3.1 Rationale vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . 3.3 Definitie van een rationale functie en voorbeelden . . . . . 3.4 Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel 3.5 Homografische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Asymptoten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in biochemie - Snelheid van enzymenreacties . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4 Irrationale functies . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . chromatische toonladder

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Interludium

67 68 69 71 75

76 . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

5 Exponenti¨ ele functies 5.1 5.2

40 42 43 44 47 54 60 66

67

4.1 Definitie van een irrationale functie en voorbeelden . . . . 4.2 Irrationale vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in aardrijkskunde - Afstand tot de horizon . . . . . . . .

1 Machtswortels . . . . . . 2 Machten . . . . . . . . . 3 Bewerkingen met functies 4 Inverse functies . . . . . 5 Soorten functies . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . .

26 30 33 35 36 39

Lineaire groei, lineaire functies (herhaling) . . . Exponenti¨ele groei, exponenti¨ele functies . . . . Toepassing - Koolstof-14 datering . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in muziek - Gelijkzwevende stemming voor een

76 78 81 84 86 88

94 94 96 100 101 106


6 Logaritmische functies

108

6.1 6.2 6.3

Inleiding en motivatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definitie logaritmische functie en eigenschappen . . . . . . . . Rekenregels voor logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toepassing - Schrijven van grote machten in wetenschappelijke Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in mariene biologie - lichtintensiteit in water . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . notatie . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

7 Exponenti¨ ele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden 7.1 Exponenti¨ele vergelijkingen en ongelijkheden . . 7.2 Logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inzicht in scheikunde - Zuurtegraad van een oplossing

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

108 112 113 116 117 122

123 123 125 126 128

129

I-ii


[. . . ] took Descartes’s Geometry in hand, tho he had been told it would be very difficult, read some ten pages in it, then stopt, began again, went a little father than the first time, stopt again, went back again to the beginning, read on till by degrees he made himself master of the whole.

Hoofdstuk 1

D.T. Whiteside in een biografie over Newton, 1967 [218]

Herhaling In dit hoofdstuk herhalen we basisbegrippen in verband met grafieken, functies en transformaties van functies uit de tweede graad. We werken uitsluitend in het vlak.

1.1

Cartesische co¨ ordinaten en grafieken

3 Definities en notaties.1 Een orthogonaal assenstelsel (of cartesisch of cartesiaans assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen die loodrecht op elkaar staan, de x-as en de y-as. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O. Tenzij anders vermeld werken we ten opzichte van een vast orthogonaal assenstelsel en spreken we kortweg van het assenstelsel Oxy.

y P (a, b)

b 1

Ren´e Descartes (1596 - 1650)

O

x

a

1

De figuur toont hoe elk punt P in het vlak volledig bepaald is door een koppel re¨ele getallen (a, b). Dat koppel noemen we het koppel cartesische co¨ ordinaten van P , kortweg de co¨ordinaten van P . In symbolen: P (a, b)

of

co(P ) = (a, b)

maar niet

“P = (a, b)”.

Hierbij noemen we a de x-co¨ ordinaat (of abscis) en b de y-co¨ordinaat (of ordinaat) van P . Een grafiek (in het vlak) is een verzameling van punten. De punten van een grafiek G zijn de elementen van die verzameling G. Kennen we van elk punt de co¨ordinaten, dan kunnen we de grafiek voorstellen in het assenstelsel. Als we een precieze voorstelling kunnen maken, dan spreken we van een tekening. In het andere geval hebben we het over een schets. 3 Voorbeeld 1. Teken in onderstaand assenstelsel de grafiek G = {P (2, 1), Q(−1, 3), R(2, −1)}. y Oplossing.

3 2 1

−2

−1

1

2

3

x

−1

1 Het begrip cartesisch assenstelsel is genoemd naar Ren´ e Descartes 1637, doch eerder bedacht door Pierre de Fermat gelatiniseerde naam voor Ren´ e Descartes was Renatus Cartesius, vandaar de term cartesisch.

I-1

1636. De


3 Voorbeeld 2. Teken in een assenstelsel de grafiek2 G = {P (x, y) | y = 2x − 3}. Welke meetkundige figuur stelt deze grafiek voor? Oplossing. Om de grafiek te tekenen is het handig om enkele elementen van de verzameling G op te sommen: G = ... Merk op dat ook tussenliggende punten zoals T (−0, 5; −4) tot de grafiek behoren. Aanduiden van enkele punten van de grafiek volstaat om een idee te krijgen van de volledige grafiek:

y 3 2 1

−3

−2

−1

1

2

x

3

−1 −2 −3

De meetkundige figuur van deze grafiek is . . . 3 Afspraak. Waar een grafiek (plaatselijk) stopt, tekenen we ofwel een • ofwel een ◦. Dat beslissen we als volgt: • is een volle bol en betekent: het punt behoort nog net tot de grafiek,

◦ is een holle bol en betekent: het punt behoort net niet tot de grafiek.

We verduidelijken deze afspraak met de grafiek G = {P (x, y) | −2 < x ≤ 4 en y = 2} ∪ {Q(x, y) | x = 3 en y ≥ −1} \ {R(3, 3)}. In onderstaand assenstelsel wordt deze grafiek G als volgt getekend:

y G 3 2 1

−3

2 Stilzwijgend

−2

−1

1

2

3

x

−1

nemen we bij de notatie P (x, y) aan dat x en y beide re¨ ele getallen zijn, in symbolen: x, y ∈ R.

I-2


1.2

Basisbegrippen in verband met functies

3 Definitie.3 Een (re¨ele) functie f is een verband dat met elk re¨eel getal x hoogstens ´e´en re¨eel getal y associeert. Het feit dat zo’n functie f en een getal x samen een getal y vastleggen, noteren we als y = f (x) We noemen f (x) het (functie)voorschrift van de functie f . Een functie f noteert men soms ook als volgt: f :R→R x 7→ f (x)

3 Voorbeeld. Beschouw de functie f (x) = functie maken we

x. Om een zicht te krijgen op de

Johann Dirichlet (1805 - 1859)

. een tabel van enkele functiewaarden: x

−1

0

1

2

3

4

f (x)

...

...

...

...

...

...

. de grafiek: dit is de verzameling van alle punten P van de vorm P (x, f (x)): ¶ © √ G = {P (x, f (x))} = P (0, 0), Q(1, 1), R(2, 2), . . . = {P (x, y) | y = f (x)} . Het voorstellen van deze grafiek levert: y

2 1

−1

1

2

3

4

x

Controleren kan met behulp van de grafische rekenmachine: 2ND

TABLE

>

Y=

WINDOW

GRAPH

3 Definitie. De grafiek van een functie f is de verzameling van alle punten P van de vorm P (x, f (x)). We noteren deze verzameling met graf f . In symbolen: def

graf f = {P (x, y) | y = f (x)} We noemen y = f (x) de vergelijking van de grafiek van f . Bij het tekenen of schetsen van de grafiek van f , noteren we bij de grafiek graf f of y = f (x) of kortweg f . 3 Dirichlet 1837. De term functie (Latijnse benaming: functio) werd vooropgesteld door Gottfried Wilhelm Leibniz en Johann Bernoulli in de 17e eeuw, de notatie y = f (x) is afkomstig van Leonhard Euler 1734. In het vervolg zullen we een functie f vereenzelvigen met zijn voorschrift f (x). Een volledige doch lange omschrijving als: beschouw de functie f met als functievoorschrift f (x) = x2 − 3 kunnen we zo verkorten tot: beschouw de functie f (x) = x2 − 3.

I-3


3 Opmerking 1. Het verband tussen de drie voorstellingswijzen van een functie kan als volgt worden voorgesteld.

tekenen of schetsen invullen

grafiek y

tabel van enkele functiewaarden

functievoorschrift

. . . −1 0

x

f (x)

1

f (x) . . .

patroon zoeken

...

graf f

1

... O

aflezen

x

1

3 Opmerking 2. Niet elke grafiek is de grafiek van een functie f . Nemen we bijvoorbeeld als grafiek de cirkel C(O, 1) met middelpunt de oorsprong O en straal 1, dan is dit niet de grafiek van ´e´en functie f .

y

Inderdaad, . . .

1

C(O, 1)

1

O

x

De volgende eigenschap zegt ons wanneer een grafiek ook de grafiek van een functie is. 3 Eigenschap. Gegeven een willekeurige grafiek G. Dan geldt: G is de grafiek van een functie f

bij elke x-waarde hoort hoogstens ´e´en y-waarde zodat P (x, y) ∈ G elke verticale rechte snijdt de grafiek G hoogstens ´e´en keer.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal telkens wanneer de grafiek ook de grafiek van een functie is.

(a)

(b) y

−3

−2

−1

y

2

2

1

1

1

2

3

x

−1 −2

−3

−2

−1

1 −1 −2

Oplossing.

I-4

2

3

x


3 Definitie. Het domein van een functie f is de verzameling van alle x-waarden waarbij er een y-waarde hoort. We noteren deze verzameling met dom f .

y graf f

In symbolen: def

dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} Meetkundige betekenis. Het domein van f is de loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as (zie figuur).

O

3 Definitie. Het beeld (of bereik) van een functie f is de verzameling van alle y-waarden die bereikt worden door f . We noteren deze verzameling met bld f (of ber f of im f ).4

x

dom f

y graf f

In symbolen: def

bld f = {f (x) | x ∈ R}

bld f

Meetkundige betekenis. Het beeld van f is de loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as (zie figuur).

x

O

3 Voorbeeld (vervolg). Beschouw de functie f (x) =

y

x.

(a) Het domein en beeld bepalen we grafisch aan de hand van de meetkundige betekenis: we schetsen de grafiek van f en projecteren die loodrecht op de assen: dom f = . . .

en

2 1

bld f = . . .

(b) Het domein bepalen we algebra¨ısch met behulp van de definitie in symbolen:5

−1

1

2

3

4

x

dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat} = ...

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de functie g met nevenstaande grafiek. Bepaal grafisch het domein en het beeld van g. Noteer je antwoord in symbolen.

y graf g 2

Oplossing.

1

−3

−2

−1

1

2

x

−1 −2

4 De

Engelse term voor beeld is image, vandaar de notatie im f . het beeld algebra¨ısch te bepalen dient men ook te vertrekken van de definitie van symbolen. Het komt erop neer alle y-waarden te bepalen waarvoor de vergelijking y = f (x) minstens ´ e´ en oplossing x heeft. 5 Om

I-5


y

3 Definitie. De nulwaarden van een functie f zijn alle xwaarden waarvoor f (x) = 0. De verzameling van alle nulwaarden noemen we ook wel de kern van f , we noteren deze verzameling met ker f .6

graf f

In symbolen: def

ker f = {x ∈ R | f (x) = 0} Elke nulwaarde van f behoort tot het domein van f , want de schrijfwijze f (x) = 0 betekent voluit f (x) bestaat en is gelijk aan 0.

x

O

Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn de xwaarden van de snijpunten van graf f met de x-as.

nulwaarden van f

Bedoelen we een snijpunt van de grafiek van f met de x-as, dan hanteren we de term nulpunt.7 3 Definitie. De tekentabel van f heeft dezelfde vorm als een tabel van enkele functiewaarden, maar waarbij men . in de eerste rij enkel x-waarden aanduidt die een nulwaarde of een randpunt van het domein zijn en . in de tweede rij het teken van f (x) schrijft, ook voor elk interval tussen twee x-waarden. Is f (x) er gelijk aan nul, dan plaatsen we 0. Dat f (x) niet bestaat in een interval, duiden we aan met een gearceerde zone ///. Als f (x) niet bestaat in ´e´en enkele x-waarde maar wel in de omgeving evan, dan plaatsen we ´e´en verticale streep |.

Voor bovenstaande functie f is de tekentabel (voor zeker waarden a, b, c, d, e, z ∈ R): x f (x)

a /// +

b +

0

c −

|

d

e

0

− 0

z +

|

///

Meetkundige betekenis. De tekentabel van f geeft aan waar de grafiek van f boven of onder de x-as ligt. √ y 3 Voorbeeld (vervolg). Beschouw de functie f (x) = x. (a) De nulwaarden bepalen we grafisch aan de hand van de meetkundige betekenis: we schetsen de grafiek van f en lezen de snijpunten met de x-as af:8

2 1

ker f = . . . Ook de tekentabel kunnen grafisch bepalen met de meetkundige betekenis: voor x-waarden waar de grafiek boven de x-as ligt plaatsen we een plusteken etc.

−1

1

2

3

4

x

x f (x) (b) De nulwaarden bepalen we algebra¨ısch met behulp van de definitie in symbolen: ker f = {x ∈ R | f (x) = 0} = ...

De tekentabel bepalen we algebra¨ısch door alle nulwaarden en re¨ele randpunten van het domein in een tabel te plaatsen, de functiewaarden van tussenliggende waarden te berekenen en de tekens te noteren: x f (x)

0 ?

0

?

en

f (−1) = /

en

f (4) = 2 > 0

zodat

x f (x)

0 ///

0

+

6 In de literatuur stelt men de verzameling van nulwaarden van een functie f soms voor met f −1 ({0}) als bijzonder geval van de verzameling f −1 ({b}) = {x ∈ R | f (x) = b}, genaamd de vezel van b onder f . Wij zullen de schrijfwijze f −1 ({0}) vermijden omdat het gebruik van de notatie f −1 verward kan worden met zowel de omgekeerde functie van f als de inverse functie van f , zie Interludium. Onze keuze voor de benaming kern dient louter (1) om in het vervolg te kunnen verwijzen naar de verzameling van nulwaarden van een functie, en (2) als analogie met de gelijknamige term voor lineaire afbeeldingen (zie Deel Vectorruimten). 7 In de literatuur bedoelt men met de term nulpunt soms ook nulwaarde, afhankelijk van de context. Onze voorkeur gaat uit naar: een nulpunt is een punt (in het vlak), een nulwaarde is een waarde (dus een re¨ el getal). 8 Bij minder eenvoudige functies wordt dit aflezen al snel onnauwkeurig. In dat geval maken we gebruik van de grafische rekenmachine.

I-6


3 Modelvoorbeeld 2 (vervolg). Beschouw de functie g met nevenstaande grafiek. Bepaal grafisch de nulwaarden en de tekentabel van g. Hanteer de correcte notaties.

y graf g 2

Oplossing.

1

−3

−2

−1

1

2

x

−1 −2

3 Definitie. De tabel stijgen/dalen (of het verloop) van f heeft dezelfde vorm als een tabel van enkele functiewaarden, maar waarbij men y . in de eerste rij enkel x-waarden aanduidt die een lokaal extremum (maximum of minimum) zijn, een verandering in constant/stijgend/dalend gedrag vertonen of een randpunt van het domein zijn en

graf f

. in de tweede rij vermeldt of de grafiek van de functie constant, stijgend of dalend is, ook voor elk interval tussen twee x-waarden. Dat duiden we respectievelijk aan met de symbolen −→, % en & . Bereikt de grafiek er een lokaal maximum of minimum, dan duiden we dat aan met max of min. Dat f (x) niet bestaat in een interval of in ´e´en enkele x-waarde maar wel in de omgeving evan, duiden we weerom aan met respectievelijk /// en |.9

x

O

Voor de functie f gegeven door bovenstaande grafiek is de tabel stijgen/dalen (voor zeker a, i, j, k, l, m, z ∈ R): x

a

i

f (x)

/// min %

max

j &

|

k %

max

l &

m

min % max

z &

3 Modelvoorbeeld 2 (vervolg).10 Beschouw de functie g met nevenstaande grafiek. Bepaal grafisch de tabel stijgen/dalen van g. Hanteer de correcte notaties.

|

///

y graf g 2

Oplossing.

1

−3

−2

−1

1

2

x

−1 −2

9 Over de precieze definitie van stijgend/dalend en lokaal maximum/minimum van een functie bestaat nogal wat verwarring: (1) er moet een onderscheid gemaakt worden tussen stijgend/dalend over een interval en stijgend/dalend in een x-waarde en (2) men verwoordt de definitie van lokaal maximum/minimum (beter) niet in termen van stijgend/dalend over een interval of stijgend/dalend in een xwaarde. Formeel, zij f een functie, I ⊆ dom f met I geen singleton en c ∈ dom f . De functie f is stijgend over interval I indien ∀a, b ∈ I : a < b ⇒ f (a) < f (b). De functie f is stijgend in c als f stijgend is over een omgeving van c, i.e. indien er een R ∈ R+ 0 bestaat zodat f stijgend is over interval ]c − R, c + R[. De functie f bereikt een lokaal maximum in c indien er een R ∈ R+ bestaat waarvoor geldt 0 dat ∀x ∈ ]c − R, c + R[ ∩ dom f : f (x) < f (c). Analoog voor dalend over een interval, dalend in een x-waarde en lokaal minimum. Als kunstmatig bijproduct van deze formele definities bereikt een functie f in elke ge¨ısoleerd x-waarde c van dom f (i.e. ]c − R, c + R[∩dom f = {c} voor een zekere R ∈ R+ 0 ) zowel een lokaal maximum als een lokaal minimum. 10 Om de tabel stijgen/dalen algebra¨ ısch te bepalen, dienen we geduld uit te oefenen tot Deel Afgeleiden.

I-7


1.3

Elementaire functies, symmetrie¨ en van de grafiek van een functie

In deze paragraaf bespreken we enkele elementaire functies.11 De kennis hiervan is een absolute noodzaak voor het vervolg van dit Deel Precalculus 1, maar ook voor Deel Calculus, Deel Afgeleiden en Deel Integralen. In het bijzonder wordt verwacht dat je de grafieken van deze elementaire functies onmiddellijk voor de geest kan halen. 3 Rechte. . Functievoorschrift: f (x) = x. . Tabel van enkele functiewaarden: x

−3

−2

−1

0

1

2

3

f (x)

−3

−2

−1

0

1

2

3

. Grafiek:

y

f (x) = x

2 1

−2

−1

1

2

x

−1 −2

. Eigenschappen van de functie f (x) = x: 1. Domein. Algebra¨ısch: dom f = = = = Grafisch: dom f = = =

{x ∈ R | f (x) bestaat } {x ∈ R | x bestaat} {x ∈ R} R. loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as ]−∞, +∞[ R.

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as = ]−∞, +∞[ = R. 3. Nulwaarden. Algebra¨ısch: los op Grafisch:

f (x) = 0 ⇔ x = 0. ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as = {0}.

4. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en re¨ele randpunten van het domein in een tabel en noteer in elke kolom het teken van f (x): x 0 f (x)

− 0

+

5. Tabel stijgen/dalen. Plaats de lokale extrema (maxima en minima) en re¨ele randpunten van het domein in een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan: x f (x)

%

11 We noemen zo’n elementaire functie ook wel een moederfunctie, omdat ze met behulp van de transformaties verschuiven, uitrekken en spiegelen aanleiding geven tot een klasse van functies die vaak in een wiskundig model wordt gebruikt.

I-8


3 Parabool. . Functievoorschrift: f (x) = x2 . . Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

−1, 5

−1

−0, 5

0

0, 5

1

1, 5

2

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

y

. Grafiek:

4 3 2 1

−2

−1

1

2

x

. Eigenschappen van de functie f (x) = x2 : 1. Domein. Algebra¨ısch: dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat } = ... Grafisch:

dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as = ...

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as = ...

3. Nulwaarden. Algebra¨ısch: los op

f (x) = 0 ⇔ ...

Grafisch:

ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as =

...

4. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en re¨ele randpunten van het domein in een tabel en noteer in elke kolom het teken van f (x): x f (x) 5. Tabel stijgen/dalen. Plaats de lokale extrema (maxima en minima) en re¨ele randpunten van het domein in een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan: x f (x) I-9


6. Symmetrie¨en. Bij de grafiek van f (x) = x2 merken we de volgende symmetrie op: spiegelen we een willekeurig punt P van de grafiek van f om de y-as, dan behoort dat nieuw punt Q opnieuw tot de grafiek van f . De grafiek van f blijft na het spiegelen om de y-as dus ongewijzigd. Daarom noemen we de y-as een symmetrie-as van de grafiek van f .

y Q

y

f (x) = x2

4

f (x) = x2

P Q

3

P

2 f (−x)

f (x)

1

−2

−1

1

x

2

Zo is bijvoorbeeld het spiegelbeeld van P (2, 4) om de y-as gelijk aan Q(−2, 4), dat weerom tot de grafiek behoort omdat f (−2) = 4.

x

x

−x

Algemeen is het spiegelbeeld van P (x, f (x)) om de y-as gelijk aan Q(−x, f (x)), dat weerom tot de grafiek behoort omdat f (−x) = f (x).

Dat voor elke x-waarde geldt f (−x) = f (x) kunnen we ook algebra¨ısch bewijzen en wel als volgt. Gegeven. De functie f (x) = x2 . Te bewijzen. ∀x ∈ dom f : f (−x) = f (x) Bewijs. Neem x ∈ dom f = R willekeurig. Dan is f (−x) = (−x)2 = (−x) · (−x) = x2

= f (x). Omdat de functie f (x) = x2 voldoet aan deze eigenschap noemt men f een even functie.12 Een neveneffect hiervan is dat de y-as een symmetrie-as is van de grafiek van f . 3 Definitie.13 Een functie f is even als

y

∀x ∈ dom f : f (−x) = f (x)

y = f (x)

Meetkundige betekenis. Bij een even functie is de y-as een symmetrie-as: de grafiek van f blijft na het spiegelen om de y-as ongewijzigd. Men zegt ook wel: de grafiek is spiegelsymmetrisch ten opzichte van de y-as.

Q

P

f (−x)

−x

f (x)

x

x

12 Niet toevallig verwijst de term even naar de exponenten van machtsfuncties x4 , x6 , . . . die een analoge eigenschap vertonen: (−x)4 = x4 , (−x)6 = x6 enzovoort. 13 Voor x ∈ dom f betekent de schrijfwijze f (−x) = f (x) voluit f (−x) bestaat en is gelijk aan f (x). Bijgevolg is onze definitie equivalent met ∀x ∈ dom f : −x ∈ dom f en f (−x) = f (x).

I-10


3 Kubische parabool. . Functievoorschrift: f (x) = x3 . . Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

−1, 5

−1

−0, 5

0

0, 5

1

1, 5

2

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

. Grafiek:

. Eigenschappen van de functie f (x) = x3 :

y

1. Domein. Algebra¨ısch: dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat }

8

= ...

7 Grafisch:

6

dom f = projectie van graf f op x-as = ...

5 4

2. Beeld. Grafisch: bld f = projectie van graf f op y-as

3

= ...

2 3. Nulwaarden.

1

Algebra¨ısch: los op

−2

−1

1

2

x

⇔ ...

−1 −2

Grafisch:

ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as =

−3 −4 −5

...

4. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en re¨ele randpunten van het domein in een tabel en noteer in elke kolom het teken van f (x):

−6

x

−7 −8

f (x) = 0

f (x)

5. Tabel stijgen/dalen. Plaats de lokale extrema (maxima en minima) en re¨ele randpunten van het domein in een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan: x f (x)

I-11


6. Symmetrie¨en. Bij de grafiek van f (x) = x3 merken we de volgende symmetrie op: puntspiegelen we een willekeurig punt P van de grafiek van f om de oorsprong, dan behoort dat nieuw punt Q opnieuw tot de grafiek van f . De grafiek van f blijft na het puntspiegelen om de oorsprong dus ongewijzigd. Daarom noemen we de oorsprong een symmetrie-middelpunt van de grafiek van f .

f (x) = x3

y

f (x) = x3

y

P 3

P

2 f (x) 1

−2

−1

1

2

x

−1

−x

x

x

f (−x)

−2 Q

Q

−3

Algemeen is de puntspiegeling van P (x, f (x)) om de oorsprong gelijk aan Q(−x, −f (x)), dat weerom tot de grafiek behoort omdat f (−x) = −f (x).

Zo is bijvoorbeeld de puntspiegeling van P (1, 5; 3, 375) om de oorsprong gelijk aan Q(−1, 5, −3, 375), dat tot de grafiek behoort omdat f (−1, 5) = −3, 375.

Dat voor elke x-waarde geldt f (−x) = −f (x) kunnen we ook algebra¨ısch bewijzen en wel als volgt. Gegeven. De functie f (x) = x3 . Te bewijzen. ∀x ∈ dom f : f (−x) = −f (x) Bewijs. Neem x ∈ dom f = R willekeurig. Dan is f (−x) = (−x)3 = (−x) · (−x) · (−x) = −x3 = −f (x).

Omdat de functie f (x) = x3 voldoet aan deze eigenschap noemt men f een oneven functie.14 Een neveneffect hiervan is dat de oorsprong een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van f . 3 Definitie.15 Een functie f is oneven als

y P

∀x ∈ dom f : f (−x) = −f (x)

y = f (x)

Meetkundige betekenis. Bij een oneven functie is de oorsprong een symmetrie-middelpunt: de grafiek van f blijft na het puntspiegelen om de oorsprong ongewijzigd. Men zegt ook wel: de grafiek is puntsymmetrisch ten opzichte van de oorsprong.

f (x) −x

x

x

f (−x)

Q

14 Niet toevallig verwijst de term oneven naar de exponenten van machtsfuncties x5 , x7 , . . . die een analoge eigenschap vertonen: (−x)5 = −x5 , (−x)7 = −x7 enzovoort. 15 Voor x ∈ dom f betekent de schrijfwijze f (−x) = −f (x) voluit f (−x) bestaat en is gelijk aan −f (x). Bijgevolg is onze definitie equivalent met ∀x ∈ dom f : −x ∈ dom f en f (−x) = −f (x).

I-12


3 Vierkantswortel-functie. . Functievoorschrift: f (x) =

. Grafiek:

x.

y

. Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

−1

0

1

f (x)

|

|

0

1

2 √ 2

3 √ 3

. Eigenschappen van de functie f (x) = zie §1.2.

f (x) =

4

√ x

2

2 √

1

x:

−1

1

2

3

x

4

3 Derdemachtswortel-functie. √ . Functievoorschrift: f (x) = 3 x. . Tabel van enkele functiewaarden: x

−8

−4

−1

0

1

4

8

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

. Grafiek:

y 2 1

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

−1 −2

. Eigenschappen van de functie f (x) = 1. Domein.

√ 3

x: (bepaal grafisch)

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. Tabel stijgen/dalen.

6. Symmetrie¨en. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven (schrappen wat niet past). Meetkundige betekenis: . . . I-13

x


3 Hyperbool. 1 . x . Tabel van enkele functiewaarden:

. Functievoorschrift: f (x) =

x

−4

−2

−1

−0, 5

−0, 25

0

0, 25

0, 5

1

2

4

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

y

. Grafiek:

3 2 1

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3

1 : x 1. Domein. Algebra¨ısch: dom f = . . .

. Eigenschappen van de functie f (x) =

= ...

Grafisch:

dom f = . . . = ...

2. Beeld. Grafisch: bld f = . . . = ...

3. Nulwaarden. Algebra¨ısch: los op

... ⇔ ...

Grafisch:

ker f = . . . = ...

4. Tekentabel.

x f (x)

5. Tabel stijgen/dalen. x f (x) I-14

2

3

x


6. Symmetrie¨en. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven (schrappen wat niet past). Meetkundige betekenis: . . . Bewijs.

3 Absolute waarde functie. . Functievoorschrift: f (x) = |x|. . Tabel van enkele functiewaarden: x

−3

−2

−1

0

1

2

3

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

y

. Grafiek

3 2 1

−3

−2

−1

1

2

3

x

. Eigenschappen van de functie f (x) = |x|: (bepaal grafisch) 1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. Tabel stijgen/dalen.

6. Symmetrie¨en. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven (schrappen wat niet past). Meetkundige betekenis: . . . Bewijs.

I-15


1.4

Transformaties van functies

Een grafiek kunnen we verschuiven, spiegelen of uitrekken volgens de x-as of de y-as. Zo’n actie noemen we een transformatie van die grafiek. Starten we met de grafiek van een functie, dan kunnen we ons afvragen wat het functievoorschrift is die hoort bij de nieuwe (getransformeerde) grafiek. In deze paragraaf bespreken we het antwoord op die vraag. Het uitvoeren van deze transformaties op de elementaire functies uit §1.3 leidt tot heel wat nieuwe functies, wat we laten zien in de voorbeelden.

Verschuiven 3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van f . y

graf f 2

⊲ f (x) = x

4

vervang x door x − 2:

3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

2

f1 (x) = (x − 2)2

⊲ f (x) = x2

1

−4

−3

−2

−1

vervang x door x + 3:

1

2

3

4

x

−1 −2

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−3

f2 (x) = . . .

−4

⊲ f (x) = x2

y graf f

vervang y door y + 1:

4

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

3

f3 (x) = x2 + 1

2

⊲ f (x) = x2 vervang y door y − 4: verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

1

−4

f4 (x) = . . .

−3

−2

−1

1 −1 −2

vervang x door x + 2:

−3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−4

f5 (x) = . . . I-16

2

3

4

x


3 Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f verschuiven door de volgende transformaties uit te voeren.

. f (x)

. f (x)

verschuif volgens x-as met k naar rechts:

verschuif volgens y-as met k naar boven:

vervang x door x − k

vervang y door y + k

f (x − k)

f (x) + k

1 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is functie f (x) = . Vul de volgende transformaties aan en schets bij elke stap x de nieuwe grafiek. y

⊲ f (x) =

graf f

1 x

4

vervang . . . door . . . . . .

3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . . g(x) =

2

1 −3 x

1

vervang . . . door . . . . . . verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . . h(x) =

−4

1 −3 x−2

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

−1 −2 −3 −4

√ 3 Modelvoorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van de functie f (x) = x om de √ grafiek van de functie g(x) = x + 7 − 13 te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en het beeld van de functie g is. Oplossing.

I-17


Uitrekken en spiegelen 3 Op ontdekking 1. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van f . y

graf f 2

⊲ f (x) = x

vervang x door

4 1 x: 2

3

rek uit volgens . . .-as met factor . . . g(x) =



2

2 1 x 2

⊲ f (x) = x2

1

−4

−3

−2

−1

vervang y door 3 y:

1

2

3

4

x

−1 −2

rek uit volgens . . .-as met factor . . .

−3

h(x) = 3 x2

−4

√ 3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie f (x) = x. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van f . y

⊲ f (x) =

√ x

4

vervang x door −x:

3 graf f

spiegel om de . . .-as

2

g(x) = . . .

⊲ f (x) =

√ x

1

−4

vervang y door −y:

−3

−2

−1

1 −1 −2

spiegel om de . . .-as

−3

h(x) = . . .

−4

I-18

2

3

4

x


3 Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f uitrekken door de volgende transformaties uit te voeren.

⊲ f (x)

⊲ f (x)

rek uit volgens x-as met factor k > 0: vervang x door f



1 x k

rek uit volgens y-as met factor k > 0:

1 x k

vervang y door k y



k f (x)

We kunnen de grafiek van een functie f spiegelen door de volgende transformaties uit te voeren.

. f (x)

. f (x)

spiegel om de x-as:

spiegel om de y-as:

vervang y door −y

vervang x door −x

−f (x)

f (−x)

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is functie f (x) = x. Vul de volgende transformaties aan. Teken bij elke stap de nieuwe grafiek op het assenstelsel. y ⊲ f (x) = x

vervang . . . door . . . . . . .

4

........................

3 2

f1 (x) = x − 3

1

vervang . . . door . . . . . . . ........................

graf f

−4

f2 (x) = 2x − 3

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

−1

vervang . . . door . . . . . . .

−2

........................

−3 −4

f3 (x) = −2x + 3

√ 3 Modelvoorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van de functie f (x) = x om de 1√ grafiek van de functie g(x) = − −11x + 7 te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en 5 het beeld van de functie g is. Oplossing.

I-19


Passen we transformaties toe op de basisfuncties f (x) = 1, f (x) = x en f (x) = x2 dan verkrijgen we de zogenaamde constante, lineaire en kwadratische functies.16

Constante functies 3 Definitie. Een constante functie is een functie f met als voorschrift f (x) = a

waarbij

a∈R

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn constant? i(x) = 3x − 7

f (x) = 18

j(x) = x2 x k(x) = x

g(x) = 0

√ h(x) = − 10 + sin 60◦

3 Eigenschap. Een constante functie f (x) = a kan verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = 1. De grafiek is dus een horizontale rechte.

a<0

a=0

of

y

a>0

of

y

y f

a f

a x

x

x

a f

Lineaire functies 3 Definitie. Een lineaire functie (of eerstegraadsfunctie) is een functie f met als voorschrift f (x) = ax + b

waarbij

a, b ∈ R

en

a 6= 0

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn lineair? f (x) = x

i(x) = 2017

g(x) = 2x − 3

h(x) = −35x +

j(x) = x2 √ k(x) = x2

17 x

3 Eigenschap. Een lineaire functie f (x) = ax + b kan verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = x. De grafiek is dus een dalende rechte als a < 0 en een stijgende rechte als a > 0.

a<0 +1

a>0

of

y

y

+a

+a b

b

x

+1

x

f

f

16 Dit patroon zet zich niet verder voor veeltermfuncties van hogere graad. Zo leveren transformaties op de elementaire functie f (x) = x3 enkel voorschriften a(x − k)2 + l op (drie parameters), terwijl een willekeurige kubische functie ax3 + bx2 + cx + d is (vier parameters).

I-20


Kwadratische functies 3 Definitie. Een kwadratische functie (of tweedgraadsfunctie) is een functie f met als voorschrift in standaardvorm f (x) = ax2 + bx + c

waarbij

a, b, c ∈ R

a 6= 0

en

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn kwadratisch? f (x) = x2 √ g(x) = 2 x2 − x + π

h(x) = (5x − 3)

i(x) = 25 j(x) = x + 1 √ k(x) = x4 + 1

2

3 Eigenschap. Een kwadratische f (x) = ax2 + bx + c kan herschreven worden in topvorm:17 f (x) = a(x − k)2 + l

waarbij

k=−

b 2a

en

l = f (k)

Op die manier kan een kwadratische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = x2 . De grafiek is dus een bergparabool als a < 0 en een dalparabool als a > 0.

of

a<0

T (k, l)

+1

a>0

+1

f

+a +4a +4a

+a T (k, l)

f x=−

b 2a

+1 x=−

+1 b 2a

3 Modelvoorbeeld. Bepaal een functievoorschrift van de lineaire en kwadratische functie hieronder. Enkel roosterpunten gebruiken! y y f

−3

−2

−1

2

2

1

1

1

2

3

x

−1

−3

−2

−1

1

2

3

x

−1 g

Oplossing.

17 Merk de analogie op tussen de vergelijking van een rechte y − y = m(x − x ) met P (x , y ) een willekeurig punt van de rechte en de 1 1 1 1 vergelijking van een parabool y − l = a(x − k)2 met T (k, l) de top van de parabool.

I-21


Oefeningen 1 Herhaling

Basis ?

1.1 cartesische co¨ ordinaten en grafieken

1

2

1.2 Basisbegrippen in verband met functies

3

4

Verdieping ? ??

??

Uitbreiding ? ??

2 5

6

7

8

1.3 Elementaire functies, symmetrie¨en van de grafiek van een functie 1.4 Transformaties van functies

14 15

16

17

18

19

9

10

11

12 13

20

Oefeningen bij §1.1 Oefening 1. Gegeven is de grafiek

B

ã ™ ß Å 1 | n ∈ N0 . G = P n, n (a) Beschrijf de verzameling G door opsomming. (b) Teken de grafiek G in een cartesisch assenstelsel. Oefening 2. Schets de volgende grafieken zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine. B? (a) G1 = {P (x, y) | y 2 = x} V

(b) G2 = {P (x, y) | y 2 = x3 }

Oefeningen bij §1.2 B

y

Oefening 3. Gegeven is de nevenstaande grafiek. (a) Waarom stelt deze grafiek de grafiek van een functie f voor?

3

(b) Wat is f (2)?

B?

(c) Voor welke waarde(n) van a ∈ R is f (a) = 2?

2

Oefening 4. Gegeven is de functie f (x) = 2x2 − 3.

1

(a) Bepaal f (2). (b) Bepaal alle waarden t ∈ R waarvoor f (t) = 47.

1

2

3

4

x

(c) Bepaal f (3x + 1) en vereenvoudig. B??

Oefening 5. Gegeven is de functie t(x) = ax4 + bx2 + x + 5 waarbij a, b ∈ R. Bovendien is gegeven dat t(−4) = 3. Bepaal t(4).

V

Oefening 6. Zij f (x) = ax2 + bx + c en g(x) = ax2 − bx + c waarbij a, b, c ∈ R. Als f (1) = g(1) + 2 en f (2) = 2, bepaal dan g(2).

V?

Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = x2 − x − 6. Is 6 ∈ im f ? Bewijs algebra¨ısch.

V??

Oefening 8. Zij f een functie met domein ]−1, 1[. Bepaal het domein van de functie g(x) = f

U

Oefening 9 (functies in meerdere variabelen). Zij n ∈ N0 . Een (re¨ele) functie in n variabelen f is een verband dat aan elk n-tal re¨ele getallen (x1 , . . . , xn ) hoogstens ´e´en re¨eel getal y associeert. We schrijven dan

Å

ã x+1 . x−1

y = f (x1 , . . . , xn ). Beschouw nu de functie f (a, b, c) = 3a − 2b + 7c2 . (a) Bepaal f (3, −5, −1). (b) Bepaal de waarde(n) b ∈ R waarvoor f (b, 2, −1) = 21. U?

Oefening 10 (functies in meerdere variabelen). Zij f (x, y, z) = van f (a, c, b)? I-22

x−z . Als f (a, b, c) = 1, wat is dan de waarde y−z


Oefeningen bij §1.3 Oefening 11 (semikubische parabool). parabool.

U

18

De grafiek van de functie f (x) =

p

|x3 | noemt men een semikubische

(a) Schets de grafiek van f . (b) Bewijs dat de grafiek spiegelsymmetrisch is ten opzichte van de y-as. U

?

Oefening 12 (symmetrie-as van de grafiek van een functie). Een rechte x = a is een symmetrie-as van de grafiek van een functie f indien ∀x ∈ R : f (a − x) = f (a + x) We beschouwen nu de functie f (x) =

x(x + 2) . (x + 1)4

(a) Toon aan dat de rechte x = −1 een symmetrie-as is van de grafiek van f . (b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de betekenis van de symmetrie-as aanduidt. U

?

Oefening 13 (symmetrie-middelpunt van de grafiek van een functie). Een punt S(a, b) is een symmetriemiddelpunt van de grafiek van een functie f indien ∀x ∈ R :

f (a − x) + f (a + x) =b 2

We beschouwen nu de functie f (x) = x5 − (10 − x)5 .

(a) Toon aan dat het punt S(5, 0) een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van f .

(b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de betekenis van het symmetrie-middelpunt aanduidt.

Oefeningen bij §1.4 B

y

Oefening 14. Gegeven is de nevenstaande grafiek van de functie f .

3

(a) Bepaal dom f .

2

(b) Bepaal bld f .

1

(c) Beschouw de functie h(x) = f (x + 3) − 4. Bepaal het domein en het beeld van de functie h.

−5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

x

y = f (x)

−2 −3 −4

B

Oefening 15. Gegeven is de grafiek van een functie f (links) en de grafiek van een functie g (rechts).

y 2

y y = f (x)

1

−1

y = g(x)

2 1

1

2

x

1

−1

−1

−2

−2

2

3

4

x

Welke uitspraken zijn juist? Verklaar. (A) f (x) = g(x − 2)

(B) f (x) = g(2x)

(C) f (x) = g(x/2)

18 De

(D) g(x) = f (x − 2)

(E) g(x) = f (2x)

semikubische parabool werd ontdekt door William Neile 1657, die de booglengte van deze kromme berekende. Na het triviaal geval van een rechte √ was dit de eerste kromme waarbij men erin daarin slaagde, zie Deel Integralen. De term semikubisch wijst op de exponent 3/2 in x3 = x3/2 .

I-23


B?

Oefening 16. Gegeven is de functie f (x) =

−2x + 7.

(a) Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van y = Wees volledig.

x om de grafiek van y = f (x) te verkrijgen?

(b) Teken alle grafieken uit (a) in ´e´en assenstelsel. (c) Bepaal aan de hand van (b) het domein en het bereik van f . B

??

y

Oefening 17. Gegeven is de nevenstaande grafiek van de functie f .

4

(a) Schets de grafiek van de functie −f (x).

3

(b) Schets de grafiek van de functie f (−x).

y = f (x)

2

(c) Schets de grafiek van de functie 2f (x).

1

(d) Schets de grafiek van de functie f (2x). −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

x

4

−2 −3

V

Oefening 18. De figuur hieronder toont de grafiek die men verkrijgt als unie van de grafiek van de vierkantswortelfunctie en zijn spiegelbeeld om de y-as. (a) Waarom is deze grafiek de grafiek van een functie f ? (b) Bepaal een meervoudig functievoorschrift van f : ® f (x) =

...

als x < 0

...

als x ≥ 0.

(c) Bepaal een enkelvoudig functievoorschrift van f (dus zonder gevalsonderscheid).

y graf f 2 1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

V?

Oefening 19. Zij f een functie met domein R. Hoe kunnen we vanuit de grafiek van f de grafiek van de functie g(x) = f (|x|) verkrijgen?

U

Oefening 20 (Heaviside-functie). voorschrift

19

De Heaviside-functie (of stapfunctie is de functie met als (meervoudig) ® 0 als x < 0 H(x) = 1 als x > 0.

y

(a) Teken de grafiek van de Heaviside-functie.

graf f

(b) Bepaal algebra¨ısch het domein van H(x).

2

(c) Bepaal grafisch het beeld van H(x). (d) Geef met behulp van de Heaviside-functie een enkelvoudig voorschrift van de functie f met nevenstaande grafiek.

1

−2

−1

1

2

x

−1

19 Ingevoerd door Oliver Heaviside (1850 - 1925) waarmee hij de stroomsterkte in een elektrisch circuit kon beschrijven. De Heavisidefunctie wordt dan ook gebruikt bij signalen en komt in heel wat regeltechninsche toepasingen voor. In de literatuur beschouwt men ook vaak de variant door de conventie van het halve maximum toe te passen, men stelt dan H(0) = 1/2. In dat geval kan de functie geschreven worden in termen van de sign-functie, zie Interludium.

I-24


Inzicht in economie Belastingen zijn er in alle maten en gewichten: inkomstenbelasting (die onder meer de personenbelasting en de vennootschapsbelasting omvat), belasting op de toegevoegde waarde (BTW), registratierechten (zoals bij huurcontracten en notari¨ele akten), milieubelasting, gemeente- en provinciebelasting, gezondheidstaks etc. Hieronder hebben we het over de inkomstenbelasting. Voor het berekenen hiervan maakt men in de economie het onderscheid tussen een progressief stelsel, een degressief stelsel of een vlaktaks. Bij een progressieve inkomstenbelasting wordt het procent dat een persoon aan belastingen betaalt hoger naarmate het inkomen stijgt. Bij een vlaktaks wordt ieder inkomen met hetzelfde percentage belast en in een degressief stelsel wordt het tarief lager naarmate het inkomen stijgt. In de huidige samenleving komt een progressieve inkomstenbelasting het meeste voor, daar gaan we in het vervolg van deze tekst dan ook van uit.

(belasting)

Als een persoon in een bepaald jaar x euro verdient en daarbij een bedrag van f (x) euro aan inkomstenbelastingen betaalt, dan wordt het procent dat deze persoon aan belastingen betaalt gegeven door f (x)/x. Wiskundig betekent de progressieve heffing: als x toeneemt dan zal de verhouding f (x)/x ook toenemen. Meetkundig stelt f (x)/x de rico van de rechte door de oorsprong O en het punt P (x, f (x)) voor. Zeggen dat f (x)/x een stijgende functie in x is, betekent dat de rico van die rechte OP toeneemt naarmate x toeneemt. De grafiek van f neemt dus een vorm aan zoals in onderstaande figuur.

y

y = f (x) P

rico f (x)/x

x

O

x (inkomsten)

Stel dat de regering beslist om de inkomstenbelasting te verlagen. Dan zijn er twee eenvoudige modellen om die belastingverlaging door te voeren. (1) Een eerste voorstel is om bij elk individu het belastbaar inkomen x met a euro te verlagen alvorens de belastingen berekend worden. Deze regeling gedraagt zich volgens het principe van een aftrekpost (Engelse term: tax deduction). Een individu zal dan een belasting betalen van f (x − a) euro. We noemen f1 (x) = f (x − a). (2) Een tweede voorstel bestaat erin om eerst de inkomstenbelasting op het volledig belastbaar inkomen te berekenen, om daarna die berekende belasting te verminderen met b euro. Dit staat bekend als een belastingvermindering (Engelse term: tax credit). Op die manier zal een individu f (x) − b euro aan belastingen betalen. We noemen f2 (x) = f (x) − b.

(belasting)

We herkennen telkens een transformatie van de oorspronkelijke belastingfunctie f . Volgens het principe van de aftrekpost verkrijgen we de nieuwe belastingfunctie f1 door de grafiek van f met a eenheden naar rechts te verschuiven, zie onderstaande figuur. Hanteren we de belastingvermindering, dan verkrijgen we de nieuwe belastingfunctie f2 door de grafiek van f met b eenheden naar onder te verschuiven. De oplossing van de vergelijking f1 (x) = f2 (x) stelt het inkomen x voor waarbij een persoon voor beide alternatieven dezelfde belasting betaalt. a y y = f (x)

y = f1 (x) y = f2 (x)

b O

x

x (inkomsten)

Voor mensen met een laag inkomen is x < x. Figuur 2 laat zien dat dan f1 (x) > f2 (x). Dus voor die mensen is de belastingvermindering voordeliger. Voor mensen met een hoog inkomen is x > x zodat f1 (x) < f2 (x). Dus voor die mensen is de aftrekpost voordeliger. 18 Zie[54],

gebaseerd op [131, Pagina 139].

I-25


Hoofdstuk 2

Veeltermfuncties Elke veelterm geeft aanleiding tot een zogenaamde veeltermfuncties. Ze worden beschouwd als de meest eenvoudige functies. Hieronder vallen de constante, lineaire en kwadratische functies die in de tweede graad aan bod kwamen.

2.1

Definitie van een veeltermfunctie en voorbeelden

3 Definitie. Een (re¨ele) veelterm in (de variabele) x is van de vorm A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

waarbij

n∈N

en

a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R

Als an 6= 0 dan noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = gr A(x). De graad van de nulveelterm wordt niet gedefini¨eerd.1 Elke veelterm A(x) bepaalt een functie A:R→R

x 7→ A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn .

Functies van deze vorm noemen we veeltermfuncties en noteren we met f , g etc. in plaats van A, B etc. 3 Voorbeeld 1. Gegeven is de veelterm A(x) = x3 − 3x2 − x + 3.

Hier is a0 = . . . , a1 = . . . , a2 = . . . en a3 = . . . en de graad van de veelterm is gr A(x) = . . . .

De corresponderende veeltermfunctie heeft als . functievoorschrift: f (x) = x3 − 3x2 − x + 3

. tabel van enkele functiewaarden: x

−3

−2

−1

0

1

2

3

f (x)

...

...

...

...

...

...

...

. grafiek:

. domein: y

dom f = loodrechte projectie op de x-as

graf f 3

= ... We kunnen dit ook algebra¨ısch aantonen:

2

dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat}

1

= ... −1

1

2

3

x

−1 −2 −3

1 In hogere wiskunde stelt men gr 0 = −∞ omdat op deze manier rekenregels in verband met de graad van een veelterm geldig blijven, zoals bijvoorbeeld de rekenregel de graad van het product van twee re¨ ele veeltermen is gelijk aan de som van de graden van die veeltermen.

I-26


3 Voorbeeld 2. Constante functies, lineaire functies en kwadratische functies zijn veeltermfuncties die vaak als wiskundig model gebruikt worden om verschijnselen te onderzoeken. We geven een tweetal voorbeelden. . De lengte l van een dunne staaf is afhankelijk van de temperatuur T , en kan gemodelleerd worden met de lineaire functie l(T ) = l(0) · (1 + αT ). De constante α noemt men de lineaire uitzettingsco¨effici¨ent. . Als we een object laten vallen, dan is de afgelegde weg s afhankelijk van de tijd t. Als we de luchtweerstand verwaarlozen, dan wordt dit verband beschreven door de kwadratische functie2 1 s(t) = s(0) + v(0)t + gt2 . 2 De constante g is de valversnelling, die in onze contreien ongeveer gelijk is aan 9, 81 m/s2 .

3 Eigenschap. Vervangen we in een veelterm A(x) de variabele x door een re¨eel getal r, dan verkrijgen we de getalwaarde A(r). Die getalwaarde bestaat voor elke r ∈ R. Dat leidt tot het volgend kenmerk van een veeltermfunctie f : dom f = R 3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal bij elke veeltermfunctie het domein en het beeld.3

y

y

y

graf f1

graf f0 1

1

1

x

1

x

1

x

1

graf f2 veeltermfunctie van graad 0 f0 (x) = 2

y

veeltermfunctie van graad 1 √ 5 f1 (x) = 2 x − 3

veeltermfunctie van graad 2 5 f2 (x) = −x2 + x + 2

y

y graf f4

1

graf f5

1 1

x

1 1

x

1

x

graf f3 veeltermfunctie van graad 3 1 1 f3 (x) = − x3 − x2 + x + 2 6 2

veeltermfunctie van graad 4 1 1 13 1 f4 (x) = x4 + x3 − x2 − x 14 14 14 14

veeltermfunctie van graad 5 f5 (x)=

1 5 3 4 11 3 27 2 1 16 x + x − x − x + x+ 10 20 20 20 2 5

2 De letter s is de eerste letter van spatium, het Latijnse woord voor afstand. Merk op dat in dit model de afgelegde weg s niet afhangt van de massa m van het object. Een model dat rekening houdt de luchtweerstand maakt gebruik van de functie tangens hyperbolicus, zie Deel Complexe getallen. Dit model is nauwkeuriger, doch moeilijker berekeningen mee uit te voeren. 3 Men kan aantonen het beeld van een veeltermfunctie ofwel (1) een singleton {a} is (in het geval van een constante veelterm), ofwel (2) een onbegrensd halfopen interval ]−∞, a] of [a, +∞[ is (in het geval van een niet constante veeltermfunctie met even graad), ofwel (3) R is (in het geval van een veeltermfunctie met oneven graad).

I-27


Een lineaire functie is een veeltermfunctie van graad ´e´en en wordt daarom ook een eerstegraadsfunctie genoemd. In het derde jaar heb je gezien dat de grafiek van een eerstegraadsfunctie een stijgende of dalende rechte is (zie ook Hoofdstuk 1). We herhalen hoe je die rechte in een assenstelsel kan tekenen zonder grafische rekenmachine. 3 Modelvoorbeeld 2 (eerstegraadsfunctie). Gegeven is de functie f (x) = −0, 17 x + 28. (a) Teken de grafiek van de functie f zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. Stappen opschrijven! (b) Plot de grafiek van f en noteer geschikte vensterinstellingen waarvoor alle belangrijke kenmerken van de grafiek te zien zijn. (c) Geef het domein en het beeld van de functie f . Hanteer de correcte notaties. (d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van g(x) = x om de grafiek van f te verkrijgen? Oplossing. (a) Om de grafiek van een eerstegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. Vorm: . . .

Tekening:

Teken de vorm. Stap 2. Snijpunt met de y-as: dan is . . . Teken de y-as, daarna de x-as. Stap 3. Snijpunt met de x-as: dan is . . .

(b) Uit onze schets van de grafiek in (a) leiden we geschikte vensterinstellingen af. Y=

WINDOW

(c) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . . (d)

GRAPH

en bld f = . . .

g(x) = x vervang . . . door . . . . . . . ........................ ... vervang . . . door . . . . . . . ........................ ... vervang . . . door . . . . . . . ........................ f (x) = −0, 17x + 28 I-28


Een kwadratische functie is een veeltermfunctie van graad twee en wordt daarom ook een tweedegraadsfunctie genoemd. In het vierde jaar heb je gezien dat de grafiek van een tweedegraadsfunctie een parabool is (zie ook Hoofdstuk 1). Hieronder herhalen we hoe je die grafiek kan schetsen zonder grafische rekenmachine. 3 Modelvoorbeeld 2 (tweedegraadsfunctie). Gegeven is de functie f (x) = 0, 4 x2 + 4x − 8. (a) (b) (c) (d)

Teken de grafiek van de functie f zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. Stappen opschrijven! Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten. Noteer geschikte vensterinstellingen. Geef het domein en het beeld van de functie f . Hanteer de correcte notaties. Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van g(x) = x2 om de grafiek van f te verkrijgen?

Oplossing. (a) Om de grafiek van een tweedegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. Vorm: . . .

Schets:

Schets de vorm. b dus x = . . . 2a Teken de symmetrie-as, daarna de y-as.

Stap 2. Symmetrie-as: x = −

Stap 3. Top: T ( . . . , . . . ) Duid de top aan. Stap 4. Snijpunt met de y-as: dan is . . . Teken de x-as. Stap 5. Snijpunt(en) met de x-as: dan is . . . (b) Uit onze schets van de grafiek in (a) leiden we geschikte vensterinstellingen af. Y=

WINDOW

(c) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . .

GRAPH

en bld f = . . .

(d) Om deze transformaties op te schrijven, moeten we de standaardvorm f (x) = ax2 +bx+c eerst herschrijven in topvorm (zie Hoofdstuk 1): f (x) = a(x − k)2 + l

waarbij k = −

b 2a

en

l = f (k).

g(x) = x2 vervang . . . door . . . . . . . ........................ ...

Hier wordt dat:

vervang . . . door . . . . . . . ........................ ... vervang . . . door . . . . . . . ........................ f (x) = 0, 4x2 + 4x − 8 I-29


2.2

Grafisch bepalen van nulwaarden, snijpunten en extrema

In de volgende voorbeelden illustreren we het gebruik van de grafische rekenmachine: plotten van de grafiek met geschikte vensterinstellingen, zoeken van nulwaarden en lokale extrema. Het is een misvatting te denken dat oefeningen met behulp van de grafische rekenmachine sowieso eenvoudig zijn, want vaak is er nog wat denkwerk nodig om bijvoorbeeld de context te interpreteren of om zelf eerst een veeltermfunctie op te stellen. 3 Modelvoorbeeld 1. Karel maakt een vlucht met een luchtballon. De hoogte h van de ballon boven de grond (uitgedrukt in meter) wordt beschreven door de functie 1 3 1 4 h(t) = 40 − 2t + t − t 30 250 waarbij t staat voor de tijd uitgedrukt als veelvoud van 10 minuten, met t = 0 het tijdstip waarop de ballon boven het stadhuis van Damme vliegt. Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine. Hoogtes afronden op 1 cm nauwkeurig, tijdstippen afronden op 1 seconde nauwkeurig. (a) Plot de grafiek met behulp van je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad. Noteer de vensterinstellingen die je gebruikt hebt. (b) Bepaal het theoretisch domein en het praktisch domein van de functie.

stadhuis van Damme

(c) Hoe lang vliegt Karel alvorens hij boven het stadhuis van Damme vliegt? (d) Hoe lang duurt de volledige vlucht? (e) Op welke hoogte vliegt de ballon op het ogenblik dat hij boven het stadhuis van Damme vliegt? (f) Hoe lang vliegt de ballon hoger dan 40 meter? (g) Op welk tijdstip bereikt de ballon zijn maximale hoogte? Wat is deze maximale hoogte? Oplossing. (a) Om geschikte vensterinstellingen te vinden, bedenken we dat de y-waarde de hoogte voorstelt, die in de praktijk positief is. Met TABLE gaan we na voor welke x-waarden de corresponderende y-waarde positief is en nemen als Ymax iets meer dan de maximale y-waarde in de tabel. 2ND

TABLE

>

Y=

WINDOW

GRAPH

(b) Theoretisch domein: dom h = . . . Praktisch domein: de t-waarden waarvoor h(t) ≥ 0. We zoeken de nulwaarden met het commando zero. 2ND

CALC

2:zero

<

ENTER

>

Antwoord. Het praktisch domein is . . . (c)

Antwoord. Karel vliegt dan al ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden. I-30

ENTER

ENTER


(d)

Antwoord. De volledige vlucht duurt ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden. (e)

Antwoord. . . . (f) We plotten de rechte y = 40 en bepalen de snijpunten van die rechte met de grafiek van h met intersect. Y=

<

GRAPH

ENTER

ENTER

2ND

CALC

5:intersect

ENTER

Berekening:

Antwoord. De ballon vliegt ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden op een hoogte hoger dan 40 meter. (g) We zoeken het maximum met het commando maximum. 2ND

CALC

4:maximum

<

ENTER

>

ENTER

ENTER

Berekening:

Antwoord. De ballon bereikt zijn maximale hoogte ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden alvorens de ballon boven het stadhuis van Damme vliegt. De maximale hoogte is ongeveer . . . . . . meter. I-31


3 Modelvoorbeeld 2 (extremumprobleem). Een firma produceert taartdozen in de vorm van een balk. Men vertrekt van het onderstaand patroon waarbij de machine het karton plooit langs de stippellijnen, om zo de doos rechts te verkrijgen. (a) Voor welke x is de inhoud van de taartdoos maximaal? (b) Hoeveel bedraagt die maximale inhoud? Maak gebruik van de grafische rekenmachine.

64 cm x

39 cm

x x

x

Voorbeschouwing. Dat de inhoud afhankelijk is van x en dus een lokaal maximum bereikt, kunnen we inzien door het praktisch domein te bepalen. Omdat x de breedte van de om te plooien stukken voorstelt, hebben we als kleinste x-waarde: x = 0 en dan is de hoogte van de doos gelijk aan 0 en is de inhoud ook 0. grootste x-waarde: x = 19, 5 en dan is de diepte van de doos gelijk aan 0 en is de inhoud ook 0. Omdat we een doos willen, is het praktisch domein gelijk aan ]0; 19, 5[ en voor x-waarden in dit domein is de inhoud van de doos strikt positief. Dit toont aan dat de inhoud afhankelijk is van x en dat de inhoud vlak na x = 0 zal toenemen en vlak voor 19, 5 zal afnemen. Op die manier lijkt het aannemelijk dat de inhoud een lokaal extremum (maximum) zal bereiken. Oplossing. Een extremumprobleem kan opgelost worden aan de hand van een aantal stappen. Stap 1. Schrijf de vraag in de vorm Voor welke . . . is |{z} . . . maximaal/minimaal? functie

Bij dit voorbeeld:

Stap 2. Bepaal het functievoorschrift. Bij dit voorbeeld:

Stap 3. Maak een tabel stijgen/dalen van die functie. Houd rekening met het praktisch domein! Daartoe plotten we de grafiek van de functie en lezen het stijgen/dalen en de extrema af. Bij dit voorbeeld:

I-32


2.3

Algebra¨ısch bepalen van nulwaarden, tekentabel en snijpunten

Om de nulwaarden van een veeltermfunctie algebra¨ısch te bepalen, maken we gebruik van de deling van veeltermen uit het vierde jaar. We herhalen de belangrijkste resultaten (zie ook Parate kennis bij aanvang van de derde graad). 3 Stelling van de euclidische deling. Zij A(x) en B(x) twee veeltermen waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat er precies ´e´en veelterm Q(x) en precies ´e´en veelterm R(x) zodat A(x) = Q(x) · B(x) + R(x)

waarbij

gr R(x) < gr B(x)

of

R(x) = 0

De veelterm A(x) wordt het deeltal genoemd, B(x) de deler, Q(x) het quoti¨ent en R(x) de rest bij deling van A(x) door B(x). Als R(x) = 0 dan zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x). 3 Reststelling. Zij A(x) een veelterm en a ∈ R. Dan is de rest bij deling van A(x) door x − a gelijk aan A(a). 3 Kenmerk van deelbaarheid door x − a. Zij A(x) een veelterm en a ∈ R. Dan geldt: (x − a) | A(x)

A(a) = 0

3 Schema van de staartdeling. Te gebruiken bij deling van twee veeltermen. Voorbeeld. Deling van A(x) = 2x3 + 3x2 − 1 door B(x) = x2 + 3x. 2x3

+

3x2

+

x2

− 1

0x

+

3x Besluit: 2x3 + 3x2 − 1 = (x2 + 3x) · (. . . . . . . . . . . .) + .|. . . . {z . . . . . .}. | {z } | {z } | {z } A(x)

B(x)

Q(x)

R(x)

3 Schema van Horner.4 Te gebruiken bij deling van een veelterm door x − a. Voorbeeld. Deling van A(x) = 3x3 + 5x2 + 8x + 13 door B(x) = x − 2. 3

5

8

13 Besluit:

2

3x3 + 5x2 + 8x + 13 = (x − 2) · (. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .) + .|. {z . . .}. | {z } | {z } | {z } A(x)

B(x)

Q(x)

R(x)

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van de veeltermfunctie f (x) = x3 − 3x2 + 2x − 6. Oplossing. Los op:

f (x) = 0

x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 kanshebbers gehele nulwaarden: delers van de constante term −6 GRM: f (. . .) = 0 dus f (x) is deelbaar door x − . . . (waarom?) schema van Horner:

...

1

−3

2

−6

...

...

...

...

...

...

...

dus x3 − 3x2 + 2x − 6 = . . . ⇔

...

...

4 De correcte naam voor het rekenschema is synthetische deling. Uit dat schema volgt dat de rest bij deling door x − a kan geschreven worden als A(a) = ((an a + an−1 )a + . . . )a + a0 . Het belang ervan is dat ze het aantal vermenigvuldigingen tot een minimum beperkt, wat leidt tot een grotere numerieke stabiliteit van de berekende waarden. Deze gemotiveerde schrijfwijze voor A(a) werd voor het eerst door William George Horner in 1819 beschreven. In de Lage Landen wordt het ganse rekenschema van de synthetische deling ook het schema van Horner genoemd, maar dat is historisch gezien onjuist.

I-33


3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = x4 + 2x3 − 2x2 − 6x − 3. (a) Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van f . (b) Bepaal de tekentabel van f . (c) Voor welke x-waarden ligt de grafiek van f onder de x-as? Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven zijn de veeltermfuncties f (x) = x3 + 2x2

en

g(x) = 4x.

(a) Plot beide grafieken en neem een schets over op je blad (beide grafieken in ´e´en assenstelsel). (b) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt. (c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafische rekenmachine. Oplossing.

I-34


2.4

Gedrag op oneindig van veeltermfuncties

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = x3 − 2x2 − x + 2. We plotten de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine

Op de grafiek van f lezen we af . Als x evolueert naar +∞ dan evolueert f (x) naar +∞. We noteren in symbolen: als x → +∞ dan f (x) → +∞

of nog

lim f (x) = +∞

x→+∞

Dit kunnen we ook inzien door de functiewaarde van enkele grote x-waarden te nemen: f (10) = . . . f (100) = . . . of met behulp van de grafische rekenmachine: VARS

Y-VARS

1:Function

1:Y1

We kunnen deze limiet ook berekenen: lim f (x) = lim (x3 − 2x2 − x + 2) = . . .

x→+∞

x→+∞

. Als x evolueert naar −∞ dan evolueert f (x) naar −∞. We noteren in symbolen: als x → −∞ dan f (x) → −∞

of nog

lim f (x) = −∞

x→−∞

We kunnen deze limiet ook berekenen: lim f (x) = lim (x3 − 2x2 − x + 2) = . . .

x→−∞

x→−∞

3 Modelvoorbeeld. Onderzoek het gedrag op oneindig van de volgende veeltermfunctie, en duid op een assenstelsel de verkregen informatie over de grafiek aan. f (x) = −0, 07 x4 + 100x − 8 Oplossing.

I-35


Oefeningen 2 Veeltermfuncties

Basis ?

2.1 Definitie van een veeltermfunctie en voorbeelden

1

2

2.2 Grafisch bepalen van nulwaarden, snijpunten en extrema

8

9 10

2.3 Algebra¨ısch bepalen van nulwaarden, tekentabel en snijpunten

15 16 17

15 18 19 20

2.4 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties

27

Verdieping ? ??

?? 3 4

5 6

11

12 13

14

21

22 23

24 25

Uitbreiding ? ?? 7

26

28

Oefeningen bij §2.1 B

Oefening 1. Gegeven is de functie f (x) = −x2 + 7x − 8. (a) Schets, zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f . (b) Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten. (c) Bepaal dom f en bld f . (d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = x2 om de functie f te verkrijgen? Wees volledig.

B?

Oefening 2. Welke van de volgende veeltermfuncties zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebra¨ısch na. (a) f (x) = x4 − x2 (b) f (x) = 1 + x

V

(c)

3

f (x) = 6

(d) f (x) = (1 − x)3 − 1 − 3x2

Oefening 3. Zij a, b, c ∈ R waarvoor (2x2 + 3x + 7)(ax2 + bx + c) = 2x4 + 11x3 + 9x2 + 13x − 35. (a) Maak gebruik van de co¨effici¨ent van x4 om a te bepalen. (b) Maak gebruik van de co¨effici¨ent van x3 om b te bepalen. (c) Bepaal c. (d) Controleer je antwoord door het linkerlid uit te rekenen.

V

Oefening 4. Stel het voorschrift op van een veeltermfunctie van graad drie waarvan de grafiek gaat door de punten P (−1, 18), Q(0, 8), R(1, 4) en S(2, −6).

V?

Oefening 5. Gegeven is de functie f waarvoor f (x2 + 1) = x4 + 5x2 + 3. Bepaal f (x2 − 1).

V?

Oefening 6 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1999). Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f (x) = 6acx3 + 4bcx2 + 9adx + 6bd

waarbij

a, b, c, d ∈ R

is niet juist? (A) Als a = 0 en bcd 6= 0 dan heeft de veeltermfunctie f hoogstens twee nulwaarden. (B) Als 2c + 3d = 0 dan heeft de veeltermfunctie x = 1 en x = −1 als nulwaarden. (C) Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie twee tegengestelde nulwaarden. (D) Als a = 2 dan heeft de veeltermfunctie − U??

b als nulwaarde. 3

Oefening 7 (irrationale oplossingen van rationale tweedegraadsvergelijkingen). √ √ (a) Zij x, y, z ∈ Q en z ∈ / Q. Stel dat √ x + y z een oplossing is van een kwadratische vergelijking met rationale co¨effici¨enten. Toon aan dat x − y z ook een oplossing is van die vergelijking. (b) Gegeven√is tweedegraadsfunctie f (x) = 5x2 + bx + c waarbij b, c ∈ Q. Bepaal de waarden b, c ∈ Q als je weet dat x = 3 + 2 een nulwaarde is van f . I-36


Oefeningen bij §2.2 B

Oefening 8. Bepaal grafisch (dat wil zeggen, met behulp van je grafische rekenmachine) de oplossingenverzameling van de ongelijkheid 16x3 + 332x + 210 > 168x2 .

B?

Oefening 9. Een bedrijf produceert draadloze fietscomputers. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computers er per uur moeten geproduceerd worden om winst te maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (aantal geproduceerde computers) per uur wordt gegeven door 1 W (x) = − x3 + 8x2 − 24x. 2 Winst kan ook negatieve waarden aannemen, dan spreken we van verlies. Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine. (a) Bepaal het theoretisch domein van de functie W (x).

fietscomputer

(b) Bepaal het praktisch domein van de functie W (x). (c) Hoeveel eenheden per uur moet het bedrijf produceren om een maximale winst te maken? Hoevel bedraagt die maximale winst? (d) Bij welke productie is de winst groter dan 36 euro per uur? B

?

B??

Oefening 10. Een bedrijf produceert en verkoopt x CD-spelers per week. De wekelijkse productiekost K(x) en omzet O(x) worden gegeven door x2 K(x) = 5000 + 2x en O(x) = 10x − . 1000 Bepaal met de grafische rekenmachine voor welke x de wekelijkse winst W (x) maximaal is. Bereken ook hoeveel deze maximale winst bedraagt. Oefening 11. De doorsnede van een rivier in China kan beschreven worden door het functievoorschrift d(x) =

x4 − 10x3 − 400x2 + 1600x − 48000 . 12000

met d de diepte (in meter) en de x-as de huidige waterspiegel. Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine (lengtes afronden op 1 cm nauwkeurig). (a) Plot de grafiek met behulp van je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad. Noteer de vensterinstellingen die je gebruikt hebt. (b) Hoe breed is de rivier nu? (c) In het droge seizoen daalt de rivier met 4 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Er vormt zich een eilandje in het midden van de rivier. Hoe hoog steekt het eilandje dan boven het waterpeil uit? (d) In het regenseizoen stijgt de rivier met 3 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Hoeveel breder is de rivier dan ten opzichte van de huidige breedte? V

Oefening 12. Een firma verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald type. De vraagprijs per stuk bedraagt 30 euro. Marktonderzoek heeft uitgewezen dat de verkoop met 500 stuks zal stijgen telkens de prijs met 2 euro wordt verlaagd. Welke prijs moet de firma aanrekenen wil men een maximale omzet realiseren? Los algebra¨ısch op.

V

Oefening 13. In een bepaald bedrijf produceert per dag een geheel aantal artikelen, met een maximale productiecapaciteit 25 artikelen per dag. Ervaring heeft aangetoond dat q artikelen per dag kunnen verkocht worden aan een prijs van p euro per stuk, waarbij p = 110 − 2q. De productiekosten voor q artikelen bedragen 600 + 10q + q 2 euro. Hoeveel artikelen moeten er per dag geproduceerd worden om een maximale winst op te leveren? Los op met behulp van de grafische rekenmachine.

V?

Oefening 14. In deze oefening tonen we aan dat niet elke derdegraadsfunctie kan verkregen worden door transformaties uit te voeren op g(x) = x3 . (a) Stel dat we een eindig aantal transformaties uitvoeren op g(x) = x3 en op die manier een functie f verkrijgen. Bewijs dat het functievoorschrift van f kan geschreven worden als f (x) = a(x − k)3 + l

voor zekere

k, l ∈ R

en

a ∈ R0 .

(b) Welke vorm heeft de grafiek van een functie f uit (a)? En wat is de betekenis van het punt T (k, l)? (c) Bewijs dat niet elke derdegraadsfunctie kan verkregen worden door transformaties uit te voeren op g(x) = x3 . I-37


Oefeningen bij §2.3 Oefening 15. Bepaal van de volgende functies algebra¨ısch de nulwaarden en de tekentabel. B

(a) f (x) = x4 − 16

B

(b) f (x) = x(2 − x)(3 + x)2

B

(c) f (x) = 3x3 + 3x

B? (d) f (x) = 2x3 − 5x2 − 28x + 15 B

Oefening 16 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1984). Gegeven zijn de volgende twee re¨ele functies f (x) = x2 − 5x + 1

en

g(x) = −x + 2.

Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van de grafiek van f (x) met de grafiek van g(x). B

Oefening 17. Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van de functies f (x) = x3 − 3x2 + x + 3

B?

g(x) = (x − 1)2 .

en

Oefening 18. Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van de functie f (x) =

1 4 5 3 9 2 x + x + x + 2x + 1. 4 4 4

B?

Oefening 19. Bepaal algebra¨ısch de x-waarden waarvoor de grafiek van functie f (x) = x4 − 3x2 + 2 boven de x-as ligt.

B?

Oefening 20. Welke veelterm is geen factor van de veelterm x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 ? Verklaar met een berekening. (A) x − 2

B??

(C) x − 1

(B) x + 2

(D) x + 1

(E) x − 3

Oefening 21. Bepaal algebra¨ısch de oplossingenverzameling van de ongelijkheid x4 + 6x3 + 8x2 − 6x ≤ 9. Controleer je antwoord met behulp van je grafische rekenmachine.

V

Oefening 22. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = 2x3 + ax2 + bx + 15

a, b ∈ R.

waarbij

Bepaal de waarde(n) van a, b ∈ R zodat −5 een nulwaarde van f is en f (x) deelbaar is door x − 3. V

Oefening 23 (Vlaamse Wiskunde Olympiade5 1998 eerste ronde). Hoeveel van de volgende veeltermen zijn een deler van de veelterm x7 − x? x2 + x + 1, (A) 2

V?

x3 − 1,

(B) 3

x2 − 1,

x4 + x2 + 1,

(C) 4

x4 + x,

(D) 5

(E) 6

Oefening 24. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) =

1 4 1 3 13 2 1 x + x − x − x 14 14 14 14

waarvan de grafiek hiernaast is afgebeeld. Hoeveel verschillende snijpunten heeft deze grafiek met de x-as? Toon aan zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine. V?

x2 − x

Oefening 25. Bepaal het voorschrift van een veeltermfunctie f (x) waarvoor: . x=−

y graf f

1 1

1 is een nulwaarde van f en 2

. graf f raakt aan de x-as in het punt P (6, 0) en . graf f snijdt de y-as in het punt Q(0, −3). I-38

x


U?

Oefening 26 (rest bij deling door (x − a)(x − b)). Zij A(x) een veelterm zodat de rest bij deling van A(x) door x − 19 gelijk is aan 99 en de rest bij deling van A(x) door x − 99 gelijk is aan 19. In deze oefening bepalen we de rest bij deling van A(x) door (x − 19)(x − 99). (a) Bepaal A(19) en A(99). (b) Noem R(x) de rest bij deling van A(x) door (x − 19)(x − 99). Maak gebruik van het Euclidisch deling om A(x) te schrijven in functie van (x − 19)(x − 99) en R(x). (c) Wat is de graad van R(x)? (d) Kies twee geschikte waarden voor x en substitueer in de vergelijking uit (b). Bepaal op die manier R(x).

Oefeningen bij §2.4 B

Oefening 27. Onderzoek het gedrag op oneindig van de veeltermfunctie f (x) = −12x5 + 81x3 + 120.

V

Oefening 28. Zij f (x) een niet-constante veeltermfunctie. Duid telkens het juiste antwoord aan en geef toelichting aan de hand van een berekening en een voorbeeld. (a) Als de graad van f even is, dan liggen de twee uiteinden van de grafiek altijd (A) langs dezelfde kant van de x-as

(B) langs een verschillende kant van de x-as

(b) Als de graad van f oneven is, dan liggen de twee uiteinden van de grafiek altijd (A) langs dezelfde kant van de x-as

(B) langs een verschillende kant van de x-as

Inzicht in natuurkunde Volgend voorbeeld komt uit de sterkteleer en illustreert dat ook derdegraadsfuncties in het dagelijks leven voorkomen.6 Een homogene balk met lengte l en een constante doorsnede wordt aan ´e´en kant vastgeklemd en aan de andere (vrije) kant door een kracht F belast. Onderstaande figuur maakt duidelijk dat de mate van de doorbuiging van de balk (afstand y van de balk tot de oorspronkelijke positie) is afhankelijk van de plaats (afstand x tot de vastklemming), dus y is een functie van de plaatsco¨ ordinaat x.

doorbuiging van een balk

De grafiek van deze functie wordt de buigingslijn of elastische lijn genoemd.

x x y

y In ons voorbeeld wordt de buigingslijn beschreven door de volgende veeltermfunctie van graad drie: Å ã F 1 3 2 y(x) = lx − x met 0 ≤ x ≤ l. 2EI 3 Hierbij staat E voor de elasticiteitsmodulus en I voor het oppervlaktetraagheidsmoment van de doorsnede van de balk. 5 De Vlaamse Wiskunde Olympiade, afgekort VWO, is een wiskundewedstrijd voor scholieren die jaarlijks in Vlaanderen wordt georganiseerd. Eerdere wedstrijdvragen zijn te vinden op de website http://www.vwo.be/vwo/vorige-edities 6 Ontleend aan [177, pagina 160]. Sterkteleer is een tak van de natuurkunde en onderzoekt de voorwaarden waaraan constructies moeten voldoen om niet te bezwijken, de gewenste stijfheid te hebben en voldoende duurzaam zijn. Dit valt uiteen in elasticiteitsleer, plasticiteitsleer en breukleer, waarbij gebruik wordt gemaakt van theoretische mechanica, wiskunde en materiaalkunde. Sterkteleer is belangrijk bij het ontwerp van stilstaande en bewegende constructies in de bouwkunde en de werktuigkunde.

I-39


Hoofdstuk 3

Rationale functies De som, het verschil en het product van twee veeltermen is opnieuw een veelterm. Maar het quoti¨ent van twee veeltermen is niet noodzakelijk een veelterm. Het is wel een zogenaamde rationale vorm en net zoals bij veeltermen geven ook rationale vormen aanleiding tot een klasse van functies: rationale functies.

3.1

Rationale vormen

Elk rationaal getal q is het quoti¨ent is van twee gehele getallen, waarbij de noemer verschillend is van nul. Vervangen we de gehele getallen door de veeltermen, dan verkrijgen we de volgende omschrijving. 3 Definitie. Een rationale vorm R(x) is een quoti¨ent van twee veeltermen, waarbij de noemer verschillend is van de nulveelterm. In symbolen: R(x) =

T (x) N (x)

met T (x) een veelterm en N (x) 6= 0 een veelterm

3 Voorbeeld. Volgende uitdrukkingen zijn een quoti¨ent van veeltermen, en dus rationale vormen: R(x) =

x + 1302 x5 − 2017

en S(z) =

5z 3 − 7z + 13 . 4z 3

Ook elke veelterm is een rationale vorm, zo is bijvoorbeeld de volgende veelterm te schrijven als een quoti¨ent van veeltermen (vul aan): √ A(x) = 7x2 − 6 x + 1 = . . . 3 Opmerking. Soms kunnen we bij een rationale vorm de teller en de noemer ontbinden in factoren en gemeenschappelijke factoren schrappen: de factoren wegdelen uit teller en noemer. Dat proces noemen we het vereenvoudigen van een rationale vorm. 3 Modelvoorbeeld. Vereenvoudig de rationale vorm R(x) =

−x3 + x2 + 9x − 9 . 2x3 − 10x2 + 14x − 6

Oplossing.

I-40


Is bij een rationale vorm de graad van de teller minstens gelijk aan de graad van de noemer, dan kunnen we de deling van de teller (deeltal) door de noemer (deler) uitvoeren. Op die manier kan zo’n rationale vorm op een meer elementaire manier uitgedrukt worden. Dat zal ons later inzicht geven in de asymptoten van rationale functies. 3 Op ontdekking. Beschouw de rationale vorm x5 − 7x + 12 . x3 − 4 Deze rationale vorm heeft als kenmerk dat gr T (x) ≥ gr N (x). Zo’n rationale vorm onecht genoemd. In dat geval kunnen we het schema van de staartdeling op een niet-triviale manier uitvoeren (rest is verschillend van deeltal): R(x) =

x5 − 7x + 12

x3 − 4

zodat x5 − 7x + 12 = .|. {z . . .}. (x3 − 4) + .|. . . . . . . . .{z . . . . . . . . . .}. Q(x)

R1 (x)

Zo kan de onechte rationale vorm geschreven worden als de som van een veelterm en een andere rationale vorm: R(x) =

x5 − 7x + 12 = ... x3 − 4 = ...

Bij die andere rationale vorm is de graad van de teller kleiner dan de graad van de noemer. Zo’n rationale vorm wordt echt genoemd: in dat geval levert het schema van de staartdeling niets op (rest is gelijk aan deeltal). T (x) onecht als T (x) 6= 0 en gr T (x) ≥ gr N (x). In het R(x) andere geval is de rationale vorm echt, namelijk als T (x) = 0 of gr T (x) < gr N (x).

3 Definitie.1 We noemen een rationale vorm R(x) = 3 Voorbeeld (vervolg). De rationale vormen

x + 1302 5z 3 − 7z + 13 en S(z) = x5 − 2017 4z 3 zijn respectievelijk echt en onecht. Elke veelterm is een onechte rationale vorm, zo is bijvoorbeeld √ √ 7x2 − 6 x + 1 2 A(x) = 7x − 6 x + 1 = waarbij gr T (x) ≥ gr N (x) . | {z } | {z } 1 R(x) =

...

...

3 Eigenschap. Elke onechte rationale vorm is de som van een veelterm en een echte rationale vorm.2 T (x) een onechte rationale vorm. Wegens de stelling van de euclidische deling bestaat er N (x) juist ´e´en veelterm Q(x) en ´e´en veelterm R1 (x) zodat

Bewijs. Zij R(x) =

T (x) = Q(x) · N (x) + R1 (x)

en waarvoor gr R1 (x) < gr N (x) of R1 (x) = 0.

Op deze manier kunnen we de onechte rationale vorm R(x) schrijven als R(x) =

T (x) = ... N (x) = ...

1 Spreken

we zoals in de hogere wiskunde af dat gr 0 = −∞, dan kan deze definitie eenvoudiger uitgedrukt worden: onecht als gr T (x) ≥ gr N (x) en echt als gr T (x) < gr N (x). 2 Dat deze schrijfwijze uniek is, volgt eenvoudig uit de uniciteit van de veeltermen Q(x) en R(x) in de stelling van de euclidische deling.

I-41


3.2

Rationale vergelijkingen en ongelijkheden

Een rationale vergelijking (of ongelijkheid) is een vergelijking waarbij zowel het linker- als rechterlid een rationale vorm is. Met de volgende twee modelvoorbeelden laten we zien hoe je rationale vergelijkingen en ongelijkheden kan oplossen. 3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebra¨ısch alle oplossingen van de rationale vergelijking 8x − 3 3x2 − 2x = 4 − . x+3 x+3 Controleer nadien je oplossing(en). Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebra¨ısch alle oplossingen van de rationale ongelijkheid 2+x ≥ 1. x2 − 2 Oplossing.

I-42


3.3

Definitie van een rationale functie en voorbeelden

3 Definitie. Een rationale functie is een functie f waarbij het functievoorschrift f (x) een rationale vorm is. In symbolen: f (x) =

T (x) N (x)

met T (x) een veelterm en N (x) 6= 0 een veelterm

3 Voorbeeld.

√ √ −x2 − 3x + 2 3x − 5 7 (a) f (x) = en g(x) = zijn rationale functies, 2x − 1 x2 − 4π (b) f (x) = x3 − 7x is een rationale functie (algemeen is elke veeltermfunctie een rationale functie), √ (c) f (x) = x is geen rationale functie (waarom?).

3 Modelvoorbeeld. De temperatuur in een koelkast wordt gegeven door de functie 3t2 − 6t + 3 T (t) = 2 t − 2t + 2 met T de temperatuur (in graden Celsius) en t de tijd (in uren). Het tijdstip t = 0 komt overeen met 3 uur ’s nachts. Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine. (a) Schets de grafiek van de functie T . (b) Op welk tijdstip was de temperatuur het laagst? Hoe laag was deze temperatuur dan? (c) Als de temperatuur lager wordt dan 1◦ C dan is er gevaar voor schade aan het voedsel. Hoe lang bevond de temperatuur zich onder 1◦ C? (d) Naar welke waarde evolueert de temperatuur in de koelkast?

koelkast

Oplossing.

(d) Op basis van de grafiek van T vermoeden we dat naarmate de tijd toeneemt de temperatuur naar een constante waarde zal evolueren. Door de functiewaarde van een groot getal te berekenen kunnen we deze constante waarde achterhalen.

Antwoord. De temperatuur evolueert naar T = . . . I-43


3.4

Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

Omdat een rationale vorm het quoti¨ent is van twee veeltermen, houdt het algebra¨ısch onderzoek van een rationale functie verband met de kenmerken van de veelterm in de teller en veelterm in de noemer. 3 Op ontdekking. Gegeven is de rationale functie f (x) =

8x . x2 − 4x

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f . (b) Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van f . (c) Bepaal algebra¨ısch de tekentabel van f . Controleer nadien je oplossingen door de grafiek van f te plotten met je grafische rekenmachine. Oplossing.

3 Eigenschap. Zij f (x) een rationale functie. Dan gelden de volgende eigenschappen. (a) dom f = R \ {nulwaarden noemer}

(b) ker f = {nulwaarden teller} \ {nulwaarden noemer}

(c) De tekentabel van f is de tekentabel van de teller gedeeld door de tekentabel van de noemer.3

De nulwaarden van de noemer noemt men de polen van de rationale functie f .4 T (x) met T (x) een veelterm en N (x) 6= 0 een veelterm. N (x) Om het domein van f algebra¨ısch te bepalen, vertrekken we vanuit de definitie in symbolen:

Bewijs van (a) en (b). Schrijf f (x) =

dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat}

T (x) bestaat} N (x) = {x ∈ R | N (x) 6= 0}. = {x ∈ R |

De nulwaarden van f zijn de oplossingen van een rationale vergelijking: los op:

f (x) = 0 T (x) =0 N (x) ⇔ T (x) = 0. ⇔

BV: N (x) 6= 0

3 Formeel gezegd: het is de tekentabel van de veelterm teller maal noemer, waarbij onder elke nulwaarde van de noemer de 0 wordt vervangen door een verticale streep |. 4 De benaming pool komt uit de hogere wiskunde, waar men die term gebruikt voor een singulier (of ontaard) object: een grensgeval dat andere eigenschappen heeft dan de reguliere objecten. Beschouwen we bijvoorbeeld de stereografische projectie van een boloppervlak op een raakvlak van de bol (waarbij de projectielijnen worden getrokken vanuit het punt op de bol diametraal tegenover het raakvlak), dan heeft elk punt op het boloppervlak een beeld op het raakvlak, uitgezonderd het punt zelf waaruit we projecteren (geen beeld in het vlak). In dat opzicht is het projectiepunt dan een pool. Ook het raakpunt kan als pool beschouwd worden, omdat het als atypisch kenmerk heeft dat het beeldpunt onder de stereografische projectie dan gelijk is aan het oorspronkelijke punt. Stelt de bol de aarde voor en nemen we het raakvlak in de zuidpool, dan zijn de polen van de stereografische projectie op dit raakvlak precies de noordpool en de zuidpool.

I-44


3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de rationale functie f (x) =

x . x2 − 1

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, de nulwaarden, de polen en de tekentabel van de functie f . (b) Plot de grafiek van f en neem een correcte schets over op je blad. Controleer je resultaten op vraag (a). Oplossing. Hoewel eerst gevraagd wordt om domein, nulwaarden, polen en tekentabel algebra¨ısch te bepalen, is het een goed idee om eerst de grafiek van f te plotten. Zo krijg je een zicht op de resultaten die je kan verwachten.

Nabeschouwing. Uit de grafiek van f lezen we de volgende kenmerken af. . Als x evolueert naar +∞ dan nadert f (x) naar 0. We noteren in symbolen: als x → +∞ dan f (x) → 0

of nog

lim f (x) = 0

x→+∞

Daarom noemen we de rechte y = 0 een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . Analoog, als x evolueert naar −∞ dan nadert f (x) naar 0. Daarom noemen we de rechte y = 0 ook een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f .

. Als x nadert naar 1 van links dan nadert f (x) naar −∞. We noteren in symbolen: als x → 1 dan f (x) → −∞ <

of nog

lim f (x) = −∞

x→ 1 <

Daarom noemen we de rechte x = 1 een verticale asymptoot aan de grafiek van f . Analoog, als x nadert naar 1 van rechts dan nadert f (x) naar +∞. . Analoog is de rechte x = −1 een verticale asymptoot. I-45


3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de rationale functie f (x) =

x2

x2 − 4 . + 5x + 6

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, de nulwaarden, de polen en de tekentabel van de functie f . (b) Plot de grafiek van f en neem een schets over op je blad. Controleer je resultaten op vraag (a). (c) Beschrijf de eventuele asymptoten aan de grafiek van f . Hanteer de correcte notaties. Oplossing.

Nabeschouwing. De functie f vertoont een bijzonder gedrag in de pool x = −2. . Wanneer we de grafiek van f plotten met behulp van de grafische rekenmachine, vertoont de grafiek schijnbaar geen onderbreking in x = −2 voor de TI-84 Plus en een onderbreking in een omgeving van x = −2 voor de TI-84 Plus CE. Dat er een onderbreking in x = −2 is, blijkt uit bovenstaande tekentabel en het commando 2ND TABLE. Je kan ook nagaan dat de grafiek in een verminderde omgeving van x = −2 wel degelijk bestaat.

We zeggen dat de grafiek van f een perforatie bereikt in x = −2.

. Hoe verleidelijk ook, schrappen in het functievoorschrift is uit den boze wanneer het domein be¨ınvloed wordt, omdat men zo de grafiek van de functie wijzigt en dus een andere functie verkrijgt. Zo zijn bijvoorbeeld de volgende rationale functies verschillend omdat hun domein verschillend is (en dus ook hun grafiek): f (x) =

(x − 1)2 (x − 1)

6=

g(x) = x − 1

dom f = . . .

dom g = . . .

Algemeen kunnen we dus stellen dat voor twee functies f en g f =g

dom f = dom g

I-46

en

∀x ∈ dom f : f (x) = g(x)


3.5

Homografische functies

Passen we transformaties toe op de grafiek van de elementaire functie 1/x, dan verkrijgen we opnieuw een hyperbool. Deze bijzondere klasse van rationale functies zijn de zogenaamde homografische functies. 1 3 Voorbeeld 1. De grafiek van de elementaire functie f (x) = is een hyperbool: x y

y = 1/x

1

1

x

Uit de grafiek van f lezen we de volgende eigenschappen af. . Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim

x→+∞

1 = ... x

Dus de rechte . . . . . . is horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien aan de hand van enkele berekeningen:

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit: lim

x→+∞

1 1 = =0 x +∞

1 1 = = 0 dus de rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x → −∞. x −∞ 1 . Als x → 0 dan f (x) → . . . of nog lim = . . . > x→ 0 x > Analoog is lim

x→−∞

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien aan de hand van enkele berekeningen:

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit: lim

x→ 0 >

1 1 = + = +∞ x 0

1 1 Analoog is lim = − = −∞. → x 0 x 0 < I-47


3 Voorbeeld 2. Gegeven is de functie

2x − 1 . x We plotten de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine: f (x) =

1 Ook deze grafiek lijkt een hyperbool te zijn, gelijkaardig aan die van de elementaire functie g(x) = . Om in te x zien waarom dat zo is, herschrijven we het functievoorschrift van f als volgt: f (x) =

2x 1 1 2x − 1 = − =2− x x x x

Op deze manier wordt het duidelijk dat we de grafiek van f kunnen verkrijgen door transformaties toe te passen 1 op de grafiek van g(x) = (verschuiven, uitrekken en spiegelen). Zo begrijpen we waarom ook de grafiek van f x een hyperbool is. y

g(x) =

1 x

3

vervang . . . door . . . . . . .

2

........................

1

...

−3

vervang . . . door . . . . . . . ........................ f (x) = 2 −

−2

−1

1

2

3

x

−1 −2

1 x

−3

Nabeschouwing. In dit voorbeeld hebben we het functievoorschrift herschreven als de de som van een veelterm en een echte rationale vorm: 2x − 1 2x 1 1 f (x) = = − =2− x x x x Bij de laatste gelijkheid schrappen we x in teller en noemer. Nochtans zagen we in de opmerking op pagina dat we niet zomaar mogen schrappen in het voorschrift van een functie. Waarom mogen we in dit voorbeeld wel schrappen? Omdat . . .

I-48


Uit de grafiek van f lezen we af . Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→+∞

Dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van de grafische rekenmachine (rechtstreeks iets of handiger met behulp van het commando Y1 ): Y=

VARS

Y-VARS

1:Function

2ND

QUIT

1:Y1

We kunnen deze limiet ook berekenen: Å ã 1 2− = ... x→+∞ x

lim f (x) = lim

x→+∞

Analoog is lim f (x) = . . .

x→−∞

. Als x → 0 dan f (x) → . . . >

of nog

lim f (x) = . . .

x→ 0 >

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van de grafische rekenmachine:

We kunnen deze limiet ook berekenen: Å ã 1 2− = ... x→ 0 x >

lim f (x) = lim

x→ 0 >

Analoog is lim f (x) = . . .

x→ 0 <

I-49


3 Voorbeeld 3. Gegeven is de functie

6x + 2 . 2x − 3 Ook dit functievoorschrift mogen we herschrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm: f (x) =

Zo zien we in dat we de grafiek van f kunnen verkrijgen door transformaties toe te passen op de grafiek van de 1 elementaire functie g(x) = . Op die manier begrijpen we waarom de grafiek van f een hyperbool is. x

1 x

g(x) =

y

vervang . . . door . . . . . . . ........................ ... vervang . . . door . . . . . . . x

........................ ... vervang . . . door . . . . . . . ........................ f (x) =

6x + 2 2x − 3

Uit de grafiek van f lezen we af: .

lim f (x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

x→±∞

. lim f (x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . x → ... >

Analoog is lim f (x) = . . . x → ... <

Nabeschouwing. We kunnen de horizontale en verticale asymptoot ook herkennen in het functievoorschrift. . De verticale asymptoot is een randpunt van het domein van f . Inderdaad: dom f = R \ {nulwaarden noemer} = . . . . De horizontale asymptoot is bepaald door het quoti¨ent van de hoogstegraadstermen. Inderdaad: hoogstegraadsterm teller = ... hoogstegraadsterm noemer I-50


3 Voorbeeld 4. Gegeven is de functie f (x) =

5x + 10 . 2x + 4

(a) Schets in een assenstelsel de grafiek van f . Is de grafiek een hyperbool? (b) Mogen we het voorschrift herschrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm? f (x) =

5x + 10 ? 5(x + 10 5 ) ? 5(x + 2) ? 5 = = = 2x + 4 2(x + 2) 2 2(x + 42 )

Oplossing.

3 Definitie. Een homografische functie (of gebroken lineaire functie) is een functie f met als voorschrift in standaardvorm ax + b f (x) = waarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc cx + d In deze definitie is . c 6= 0 want anders is de grafiek van f . . .

. ad 6= bc want anders is de grafiek van f . . .

3 Eigenschap. Een homografische functie f (x) = f (x) = k +

m x−l

ax + b kan herschreven worden in symmetrie-vorm cx + d

waarbij

k, l, m ∈ R

en

m 6= 0

Op die manier kan een homografische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementaire functie g(x) = 1/x. De grafiek is dus een hyperbool:5

graf f

graf f

H.A. y = ... of H.A. y = ...

V.A.

V.A.

x = ...

x = ...

5 Meer

specifiek wordt zo’n grafiek een orthogonale hyperbool genoemd omdat de asymptoten loodrecht op elkaar staan. Vergelijken we de symmetrie-vorm met de standaardvorm, dan is k = a/c, l = −d/c en m = −(ad − bc)/c2 . De grafiek van f is dus van de linkervorm als ad < bc en van de rechtervorm als ad > bc.

I-51


3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) =

3x − 2 . 3x + 2

(a) Toon aan dat f een homografische functie is. (b) Schets de grafiek van de functie f zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. Stappen opschrijven!. (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Geef het domein en het beeld van de functie f . Hanteer de correcte notaties. (e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = 1/x om de functie f (x) te verkrijgen? Oplossing. ax + b met a = . . . , b = . . . , c = . . . en d = . . . . cx + d Bovendien is c 6= 0 en ad = . . . en bc = . . . zodat ad 6= bc.

(a) Het functievoorschrift is van de vorm f (x) =

(b) Om de grafiek van een homografische functie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. H.A.: y = . . .

Schets:

Teken de H.A., daarna de x-as. Stap 2. V.A.: x = . . . Teken de V.A., daarna de y-as. Stap 3. Snijpunt met de y-as: dan is . . . Teken snijpunt, schets daarna de grafiek van f .

(c) Uit onze schets van de grafiek in (b) leiden we geschikte vensterinstellingen af. Y=

WINDOW

GRAPH

(d) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . .

en bld f = . . .

(e) Om deze transformaties op te schrijven, moeten we de standaardvorm eerst herschrijven in symmetrie-vorm: f (x) = k+

m x−k

g(x) =

1 x

vervang . . . door . . . . . . . voor zekere

k, l, m ∈ R

en

Hier wordt dat:

m 6= 0.

........................ ...

I-52


3 Modelvoorbeeld 2. Onderstaande grafiek stelt de grafiek van een homografische functie f voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). Controleer nadien met de grafische rekenmachine.

y 5 4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

−1

4

5

x

y = f (x)

−2 −3 −4 −5

Oplossing. Omdat f een homografische functie is, wordt het functievoorschrift gegeven door f (x) =

ax + b cx + d

voor zekere

a, b, c, d ∈ R.

Om de waarden a, b, c en d te vinden, hanteren we de formules voor de H.A. en de V.A. aan de grafiek van f . . H.A.: y = . . .

waaruit . . .

. V.A.: x = . . .

waaruit . . .

. punt op de grafiek van f : bijvoorbeeld P (. . . , . . .) waaruit . . . Een mogelijke keuze voor a, b, c, d is bijvoorbeeld:  a = ...        b = ...

zodat

  c = ...      d = ...

f (x) = . . .

Nabeschouwing. Zijn er nog andere mogelijke keuzes voor a, b, c, d? Wat wordt het functievoorschrift van f dan?

I-53


3.6

Asymptoten van rationale functies

Verticale asymptoten en perforaties 3 Algemene regel6 . Gegeven is een functie f . Voor een verticale asymptoot of perforatie in x = a zijn de kanshebbers voor a de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren. In de volgende voorbeelden ontdekken we criteria hoe we bij rationale functies alle verticale asymptoten en perforaties kunnen vinden. 3 Op ontdekking 1. Gegeven is de functie

x−1 . x2 − 4 Om alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

. dom f = . . . . De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . . . Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine.

y

x

. Uit de grafiek van f lezen we af: Als x → 2 dan f (x) → . . . <

of nog

Als x 2 dan f (x) → . . .

of nog

→ >

lim f (x) = . . .

x→ 2 <

lim f (x) = . . .

x→ 2 >

Dus de rechte . . . . . . is een V.A. aan de grafiek van f . . We kunnen dit ook berekenen: lim f (x) = lim

x→ 2 <

x→ 2 <

x−1 = ... x2 − 4

x−1 = ... 2 x2 − 4

lim f (x) = lim

x→ >

2

x→ >

Op deze manier zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat x = 2 V.A. is: aantal keer x = 2 nulpunt teller | {z } ...

<

aantal keer x = 2 nulpunt noemer | {z } ...

6 Voor de meest courante functies - inclusief degene die we in Deel Precalculus 1 behandelen - is deze regel van toepassing. Toch bestaan er functies waarbij x = a een verticale asymptoot is en toch a ∈ dom f . Voor een expliciete behandeling van de begrippen asymptoot en perforatie en een algemene werkwijze om deze te bepalen zal de leerling geduld moeten uitoefenen tot Deel Limieten, asymptoten en continu¨ıteit.

I-54


3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie

x2 − 1 . x−1 Om de alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

. dom f = . . . . De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . . . Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine.

y

x

. Uit de grafiek van f lezen we af: Als x → 1 dan f (x) → . . . <

of nog

Als x → 1 dan f (x) → . . . >

of nog

lim f (x) = . . . 6= ±∞

x→ 1 <

lim f (x) = . . . 6= ±∞

x→ 1 >

De rechte x = 1 is geen V.A. aan de grafiek van f . Wel bereikt graf f een perforatie in x = 1. . We kunnen dit ook berekenen: x2 − 1 = ... x→ 1 x − 1 <

lim f (x) = lim

x→ 1 <

x2 − 1 = ... x→ 1 x − 1 >

lim f (x) = lim

x→ 1 >

Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat er in x = 1 een perforatie is: aantal keer x = 1 nulpunt teller | {z } ...

aantal keer x = 1 nulpunt noemer | {z } ...

3 Algemene werkwijze. Om van een rationale functie f alle verticale asymptoten en perforaties x = a aan de grafiek van f te vinden, gaan we als volgt te werk. (1) Bepaal dom f . De kanshebbers voor a zijn de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren. (2) Voor elke kanshebber gaan we na: . als aantal keer x = a nulpunt teller < aantal keer x = a nulpunt noemer dan is de rechte x = a een V.A. aan de grafiek van f , . als aantal keer x = a nulpunt teller ≥ aantal keer x = a nulpunt noemer dan bereikt de grafiek van f een perforatie in x = a.

I-55


3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebra¨ısch alle eventuele verticale asymptoten en/of perforaties aan de grafiek van de functie 2x3 − 8x2 . f (x) = x(x − 4)2 Oplossing.

Horizontale asymptoten en schuine asymptoten 3 Op ontdekking 1. Gegeven is de functie −3x + 5 . 2x2 + x + 1 Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

. Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine.

y

x

. Uit de grafiek van f lezen we af: Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→+∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . Als x → −∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→−∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f . . We kunnen dit ook berekenen: lim f (x) = lim

−3x + 5 = ... 2x2 + x + 1

lim f (x) = lim

−3x + 5 = ... 2x2 + x + 1

x→+∞

x→−∞

x→+∞

x→−∞

Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat y = 0 een H.A. is: graad teller | {z } ...

I-56

<

graad noemer | {z } ...


3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie

3x2 + 5 . x2 − x Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

. Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine.

y

x

. Uit de grafiek van f lezen we af: Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→+∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . Als x → −∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→−∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f . . Om in te zien waarom de rechte y = 3 een H.A. is, schrijven we f (x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm f (x) =

3x2 + 5 = ... x2 − x

Zo kunnen we eenvoudig de volgende limieten berekenen: 3x2 + 5 = ... x→+∞ x2 − x

lim f (x) = lim

x→±∞

Dus als we f (x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm schrijven, wordt het gedrag op oneindig van f bepaald door het gedrag op oneindig van die veelterm. Omdat in dit geval de graad van de teller gelijk is aan de graad van de noemer, is die veelterm een getal, hetgeen een horizontale asymptoot oplevert. Het gedrag op oneindig wordt dus bepaald door de hoogstegraadsterm van de teller en de hoogstegraadsterm van de noemer, zodat we de berekening van deze limieten wat bondiger kunnen opschrijven: 3x2 + 5 = ... x→+∞ x2 − x

lim f (x) = lim

x→+∞

Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat y = 3 een H.A. is:

graad teller = graad noemer | {z } | {z } ...

en

...

I-57

hoogstegraadsterm teller = ... hoogstegraadsterm noemer


3 Op ontdekking 3. Gegeven is de functie

x2 + 2x x−1 Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

. Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine.

y

x

. Uit de grafiek van f lezen we af: Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→+∞

∈ /R

Dus er is geen H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . Als x → −∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→−∞

∈ /R

Dus er is geen H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f . . Toch heeft deze functie f een specifiek gedrag als x → ±∞. Om dit gedrag te ontdekken, schrijven we f (x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm: f (x) =

x2 + 2x = ... x−1

Op deze manier zien we in dat Å ã lim f (x) − (x + 3) = lim . . . x→±∞

x→±∞

Als x evolueert naar ±∞ dan nadert f (x) naar x + 3. Daarom noemen we de rechte y = x + 3 een schuine asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f . Dus als we f (x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm schrijven, wordt het gedrag op oneindig van f bepaald door het gedrag op oneindig van die veelterm. Omdat in dit geval de graad van de teller ´e´en meer is dan de graad van de noemer, is die veelterm lineair, hetgeen een schuine asymptoot oplevert. Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat er een S.A. is: graad teller | {z }

=

...

graad noemer | {z } ...

I-58

+

1


3 Algemene werkwijze. Om van een rationale functie f alle horizontale en schuine asymptoten aan de grafiek van f te vinden, gaan we als volgt te werk. . Als graad teller < graad noemer dan is de rechte y = 0 een H.A. voor x → ±∞ aan graf f .

. Als graad teller = graad noemer dan is de rechte y = a een H.A. voor x → ±∞ aan graf f , waarbij f (x)

=

In de praktijk is a=

gag |{z} getal

+

gg(x)g | {z } echte rationale vorm

hoogstegraadsterm teller hoogstegraadsterm noemer

. Als graad teller = graad noemer +1 dan is de rechte y = ax + b een S.A. voor x → ±∞ aan graf f , met f (x)

=

gax + bg | {z } veelterm graad 1

+

gg(x)g | {z } echte rationale vorm

In de praktijk is de veelterm ax + b het quoti¨ent bij deling van teller door noemer (staartdeling). . Als graad teller > graad noemer +1 dan is er geen H.A. en geen S.A. voor x → ±∞ aan graf f . 3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebra¨ısch alle eventuele horizontale en schuine asymptoten. (a)

f (x) =

2x2 − 5x + 2 0, 3 x2 − 5

(b)

f (x) =

x2 + 3 2x + 4

Oplossing.

Nabeschouwing. De grafiek van een functie kan niet tegelijk een horizontale asymptoot voor x → +∞ en een schuine asymptoot voor x → +∞ bereiken. Immers, mocht dit toch het geval zijn dan zou . . .

I-59


Oefeningen 3 Rationale functies

Basis ?

Verdieping ? ??

??

3.1 Rationale vormen

1 2 3 4

1 2 3 4

4 5

4

6

3.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden

8 9

10

11

12 13 14

15 16

17 18

3.3 Definitie van een rationale functie en voorbeelden

19 20

21 22 23

24

25 26

27

28

3.4 Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

29

30

31

32

33

3.5 Homografische functies

34

35 36 37

38

39

40

3.6 Asymptoten van rationale functies

43

44

45

46 47

48

Uitbreiding ? ?? 7

41 42 49

Oefeningen bij §3.1 Oefening 1. Herleid telkens tot een rationale vorm en vereenvoudig zoveel mogelijk.

B

(a)

4 3x 1 − 2x + − x − 2 x + 3 x2 + x − 6

B

(b)

1 2 3 + − 2 x x2 x −x

?

B (c)

B? (d)

x−2 x+2 x+2 −1 x−2 1 1 − 2 x2 a 1 1 − x a

1−

waarbij a ∈ R0

Oefening 2. Vereenvoudig zoveel mogelijk de volgende rationale vormen. B

(a)

B

(b)

x2 + 5x + 6 7(x + 3) 25 − x2 x+5

B

(c)

B? (d)

8 − x3 − 4x + 4 2x2 − 11x + 5 3 −4x + 24x2 − 21x + 5

x2

Oefening 3. Schrijf de volgende rationale vormen als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. B

(a)

B? (b)

x5 − 3x x 4 2x + 5x3 − 4x2 − 7x + 2 x2 + x − 3

B

(c)

x2 − 3x x3 − 7

B

(d)

5x2 − 17

Oefening 4. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld of argumenteer waarom vals. B

(a) Elke rationale vorm is een veelterm.

B? (b) Een constante veelterm is een echte rationale vorm. B?? (c) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. V B??

(d) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een echte en een onechte rationale vorm. Oefening 5 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988). Werk uit en vereenvoudig: x2 − 6x + 9 x2 − 5x + 6 1 : + . 2 x −4 −x + 2 x+2 I-60


V?

Oefening 6 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005 tweede ronde). Als x, y en z > 0 en xyz = 1, dan is 1 1 1 + + 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz gelijk aan (A)

U??

x+y+z 3

(B) 1

(C)

3 2

(D) 2

(E)

xy + yz + xz 3

Oefening 7 (splitsen in parti¨ ele breuken). Elke echte rationale vorm kan geschreven worden als een som van meer elementaire echte rationale vormen, zoals de volgende voorbeelden duidelijk maken: x+2 5/7 2/7 = + (x − 3)(x + 4) x−3 x+4

,

3 3x + 1 −8 = + 2 (x + 3) x + 3 (x + 3)2

en

1 (x −

Dit staat bekend als het splitsen in parti¨ele breuken. Splits de rationale vorm

1)(x2

− 2x + 2)

=

1 1−x + 2 . x − 1 x − 2x + 2

x2 + 2x − 1 in parti¨ele breuken. (x − 1)2 (x + 2)

Oefeningen bij §3.2 B

Oefening 8. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de volgende rationale vergelijkingen. (a)

B

1 8 1 + = 2 x+4 x−4 x − 16

x+3 x+2 x2 − 75 − = 2 x+2 x+3 x + 5x + 6

(b)

Oefening 9. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de rationale ongelijkheid t2 − 9 > 0. t2 − 25

B?

Oefening 10. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de volgende rationale ongelijkheden. (a) (b)

B??

x 2x + 1 ≥ 2x − 1 x 6x2 + 5x + 5 <7 x2 + x + 1

(c) (d)

(3x − 1)(x + 2) ≤0 x3 + 8 x3 − 1 <0 3 4x + 4x2 + x

Oefening 11. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de rationale vergelijking 8x + 12 +

5x3 + 13x2 + 6x x3 − 3x + 2 = 2x + . 2 x +x x2 − 1

V

Oefening 12. Voor twee getallen is de som van hun omgekeerde gelijk aan 7/10. Bepaal die twee getallen als je weet dat de ene 1 groter is dan het tweevoud van de andere en die twee getallen een tegengesteld teken hebben.

V

Oefening 13 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los het volgend stelsel op in R (duid de oplossingsverzameling aan op een getallenas).  (−x + 5)(x2 + 5x − 6)    ≤0 −x2 + 4x − 5  x+5 x + 26   > 2 x−2 x −4

V

Oefening 14. Bepaal alle waarden voor A ∈ R waarvoor de rationale vergelijking 3x 2 +2= x+2 Ax + 1 precies ´e´en oplossing heeft.

V?

Oefening 15. Een boot vaart in stilstaand water aan een snelheid van 3 km/u. In een rivier met onbekende stroomsnelheid, doet de boot er twee keer zo lang over om 60 kilometer stroomopwaarts (tegen de stroom in) te varen dan de 60 kilometer stroomafwaarts (met de stroom mee). Bepaal de stroomsnelheid van de rivier.

V?

Oefening 16. De snelheid van een goederentrein is 19 kilometer per uur minder dan die van een passagierstrein. De passagierstrein legt 544 kilometer af in dezelfde tijd als de goederentrein 392 kilometer aflegt. Bepaal de snelheid van de goederentrein. I-61


V??

Oefening 17. Karel is een gedreven roeier en wil zijn kunsten tonen op een rivier waarvan de stroomsnelheid 3 km/u is. Om een afstand van 2 km stroomopwaarts en daarna 2 km stroomafwaarts te roeien aan constante snelheid heeft Karel in totaal 42 minuten nodig. Aan welke snelheid roeit Karel, mocht hij in stilstaand water roeien?

V??

Oefening 18. Caroline houdt van sporten. Ze fietst een helling op, aan de top blijkt haar gemiddelde snelheid (over de rit van beneden naar boven) 6 km/u te zijn. Hoe snel moet Caroline terug naar beneden fietsen om ervoor te zorgen dat haar totale gemiddelde snelheid (dus over de ganse rit, van beneden naar boven en terug) gelijk is aan 12 km/u?

Oefeningen bij §3.3 Oefening 19. Gegeven is de functie

B

f (x) = −

3x − 6 . 4x + 6

Bepaal f (−x − 3) en vereenvoudig zoveel mogelijk.

B

Oefening 20. Bepaal grafisch alle snijpunten van de grafiek van f (x) = 4 − x2 met de grafiek van g(x) = 1/x3 .

B?

Oefening 21. Bepaal grafisch de oplossingen van de vergelijking 1 x x+6 − = 2 . x+2 2−x x −4 Oefening 22. Welke van de volgende rationale functies zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebra¨ısch na. 1 x (a) f (x) = 2 (b) f (x) = 2 x +1 x +1 Oefening 23. Gegeven is de functie 1 1 . f (x) = + x x−4 (a) Bepaal grafisch oplossingen van de vergelijking f (x) = 2.

B?

B?

B

??

(b) Is 2 ∈ bld f ? Verklaar je antwoord.

Oefening 24. Een sporter krijgt injecties met een spierversterkend product. De concentratie in het bloed wordt gegeven door 15t C(t) = 2 t +3 met C de concentratie (in milligram per liter) en t de tijd (in uren). Het tijdstip t = 0 stelt het moment van inspuiting voor. Indien de concentratie lager dan 2 mg/l wordt dan treedt een omgekeerd effect op (spieratrofie). Indien de concentratie van het middel minder dan 0, 1 mg/l bedraagt dan is het spierversterkend product moeilijk opspoorbaar. (a) Na hoeveel tijd is er een nieuwe injectie nodig, wil men geen versnelde spierafbraak verkrijgen? Afronden tot op 1 seconde nauwkeurig. (b) Hoe lang blijft het product opspoorbaar?

V

Oefening 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 eerste ronde). 4 De oplossingenverzameling van ≤ 2 is x (A) R \ [0, 2]

V

(B) ]0, 2]

(C) [2, +∞[

(D) ]−∞, −2]∪]0, +∞[

(E) ]−∞, 0[ ∪ [2, +∞[

Oefening 26 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1984). 1 Gegeven is f (r) = 2 . r (a) Bepaal f (r) − f (r + 1). (b) Bepaal

n X r=1

2r + 1 . + 1)2

r2 (r

V?

Oefening 27. In een plaatselijke krant betaal je voor een advertentie 20 euro per cm2 . De marges tussen twee advertenties zijn boven en onder 0, 5 cm, links en rechts 0, 25 cm. Die marges worden uiteraard in de prijs verrekend. We wensen een rechthoekige advertentie te plaatsen die 30 cm2 (exclusief marges) inneemt. Bepaal grafisch de afmetingen van de rechthoek waarvoor de kostprijs het laagst is.

V??

Oefening 28. Een fabrikant van conservenblikken maakt cilindervormige blikjes (met straal r en hoogte h) met een inhoud van 1 dm3 . Het materiaal van de onder-en bovenkant kost 0, 20 euro per dm2 en het materiaal van de cilindermantel kost 0, 10 euro per dm2 . Voor welke afmetingen zijn de materiaalkosten minimaal? Los op met behulp van je grafische rekenmachine, afronden op 1 mm nauwkeurig. I-62


Oefeningen bij §3.4 Oefening 29. Gegeven is de functie

B

f (x) =

x2 − 1 . x2 − x

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulwaarden, polen en de tekentabel van de functie f . (b) Plot de grafiek van f en neem een schets over op je blad. Controleer je resultaten op vraag (a). (c) Bepaal het beeld van de functie f . B?

Oefening 30. Gegeven is de functie f (x) =

x4 + 4x3 . −3x2 − 10x + 8

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulwaarden, polen en de tekentabel van de functie f . (b) Plot de grafiek van f en neem een schets over op je blad. Controleer je resultaten op vraag (a). (c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f . Hanteer de correcte notaties. B??

Oefening 31. Gegeven is de functie f (x) =

−x3 + 9x2 − 22x + 56 . x3 − 2x2 − 5x + 6

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulwaarden en polen van de functie f . (b) Bepaal algebra¨ısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f boven de x-as ligt. (c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f . Hanteer de correcte notaties. Oefening 32. Gegeven is een rationale functie

V

f (x) =

x3

x2 + 12x + 35 − 6x2 + 11x + m

waarbij m ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van m zodat −5 ∈ / dom f . V

?

Oefening 33. Een rationale functie f heeft de volgende eigenschappen: . nulwaarden x = 2 (enkelvoudig) en x = −4 (dubbel) en . polen x = −1 en x = 1 (beide enkelvoudig) en . f (0) = 4. Meer nulwaarden of polen zijn er niet. Bepaal het functievoorschrift van f .

Oefeningen bij §3.5 B

Oefening 34. Welke van de volgende functies zijn homografische functies? Motiveer je antwoord. 4x − 4 x+1 Å ã 2x − 11 2 (b) f (x) = 5x − 9 (a) f (x) =

B?

f (x) = 2 −

(d) f (x) =

7 3(x − 2)

3x − 2 9 − 6x

Oefening 35. Bepaal domein, beeld en alle asymptoten aan de grafiek van de volgende homografische functies. 2x + 5 x+3 3x − 7 (b) f (x) = x−3 (a) f (x) =

B?

(c)

−7x 2x + 3 −5x + 2 (d) f (x) = 3−x (c)

f (x) =

Oefening 36. Bepaal telkens welke transformaties je moet uitvoeren op de functie g(x) = 1/x om de functie f (x) te verkrijgen. Wees volledig. 2x + 5 x+3 3x − 7 (b) f (x) = x−3 (a) f (x) =

−7x 2x + 3 −5x + 2 (d) f (x) = 3−x (c)

I-63

f (x) =


B?

Oefening 37. De volgende grafieken stellen de grafiek van een homografische functie y = f (x) voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

(a)

(b)

y

−3

−2

−1

y

3

3

2

2

1

1

1

2

x

3

−3

−1

−2

−2 −3 B??

−1

y = f (x)

1

2

3

x

−1 −2

y = f (x)

−3

Oefening 38. Gegeven is de functie f (x) = (a) Toon aan dat f een homografische functie is.

−4x + 2 . 7x − 6

(b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f . (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal dom f en bld f . (e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = V

1 om de functie f (x) te verkrijgen? x

Oefening 39. Van de grafiek van de functie f (x) =

ax + 5 bx − 6

waarbij a, b ∈ R en b 6= 0

is de rechte x = −2 een verticale asymptoot en de rechte y = 4 een horizontale asymptoot. (a) Bepaal a en b. (b) Schets de grafiek van f . V?

Oefening 40. Bepaal telkens een voorschrift van de homografische functie f die voldoet aan de gegeven voorwaarden. (a) Bepaal f zodat −4 een pool is, 3 een nulwaarde is en de rechte y = 2 een asymptoot is. (b) Bepaal f zodat −1 een nulwaarde is, de rechte x = 5 een asymptoot is en P (4, 10) ∈ graf f .

U?

Oefening 41 (symmetrie-middelpunt van een homografische functie). Een punt S(a, b) is een symmetriemiddelpunt van de grafiek van een functie f indien ∀x ∈ R :

f (a − x) + f (a + x) =b 2

Bewijs dat voor een willekeurige homografische functie f het snijpunt van de asymptoten een symmetrie-middelpunt van de grafiek van f is. U?

Oefening 42 (symmetrie-rechten van een homografische functie). Een rechte s is een symmetrie-rechte van de grafiek van een functie f indien voor elk punt P van de grafiek van f geldt dat het spiegelbeeld van P om de rechte ax + b s opnieuw tot de grafiek van f behoort. Geef voor een algemene homografische functie f (x) = de vergelijking cx + d van de twee symmetrie-rechten. I-64


Oefeningen bij §3.6 Oefening 43 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1997). Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

B

f : x 7→ y(x) = (A) heeft de rechte x = −1 als verticale asymptoot.

2x2 − 3x + 4 x−1

(B) heeft de rechte x = 1 als horizontale asymptoot. (C) heeft de rechte y = 2x + 1 als schuine asymptoot. (D) heeft de rechte y = 2x − 1 als schuine asymptoot. B?

Oefening 44. Gegeven is de functie f (x) = (a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f .

5x2 − 25x + 30 . x2 − 6x + 9

(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f . (c) Bepaal algebra¨ısch alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f . (d) Bepaal algebra¨ısch alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f . (e) Schets de grafiek van f en duid de informatie aan die je in (c) en (d) gevonden hebt. B??

Oefening 45. Gegeven is de functie f (x) = (a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f .

x3 − 3x2 − 4x + 12 . x2 − 4x + 3

(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f . (c) Bepaal algebra¨ısch alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f . (d) Bepaal algebra¨ısch alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f . (e) Schets de grafiek van f en duid de informatie aan die je in (c) en (d) gevonden hebt. Oefening 46 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1997). Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

V

f : x 7→ y(x) =

x2 − 2x + 1 x

(A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot. (B) vertoont geen lokale extrema. (C) heeft de rechte y = x − 2 als schuine asymptoot. (D) heeft de rechte y = 2x als schuine asymptoot. Oefening 47 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2000). Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

V

f : x 7→ y(x) = x2 −

27 x

(A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot. (B) vertoont een (relatief) minimum. (C) heeft de rechten y = x en y = −x als schuine asymptoot. (D) heeft een schuine asymptoot. V

?

Oefening 48. Gegeven is de functie f (x) =

x2 − x + 5 + p x−3

waarbij p ∈ R.

(a) Bepaal de waarde(n) van p waarvoor de grafiek van f een perforatie bereikt. (b) Bepaal voor de waarde van p die je vond in (a) alle eventuele asymptoten aan de grafiek van f . I-65


U

Oefening 49 (parabolische asymptoten). Gegeven is een rationale functie f . Een parabooly = ax2 + bx + c is een parabolische asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f als lim f (x) − (ax2 + bx + c) = 0. x→±∞

(a) Toon aan y = x2 een parabolische asymptoot is aan de grafiek van de functie f (x) =

x3 + 1 . x

(b) Bepaal een algemene werkwijze voor het vinden van een parabolische asymptoot aan de grafiek van een rationale functie. (c) Bepaal alle parabolische asymptoten aan de grafiek van de functie f (x) =

3x6 − 2x5 + 7x4 + 2x3 + 24x2 − 21x + 56 . x4 + 8

Inzicht in biochemie Volgend voorbeeld illustreert dat homografische functies gebruikt worden om (bio)chemische reacties te modelleren.7 Een enzym is een eiwit dat de rol speelt van een katalysator: het be¨ınvloedt de snelheid van een bepaalde chemische reactie zonder daarbij zelf verbruikt te worden. Bij zo’n enzymatische reactie worden de moleculen aan het begin van het proces, substraten genoemd, omgezet in andere moleculen, producten genoemd. Bijna alle chemische reacties die plaatsvinden in cellen van organismen hebben enzymen nodig om voldoende moleculen te produceren, teneinde leven mogelijk te maken. Het was de verdienste van Victor Henri (1902) om in een enzymatische reactie twee stappen te onderscheiden: Stap 1. het enzym (E) verbindt zich met het substraat (S) en vormt het zogenaamde enzym-substraat complex (ES), Stap 2. het enzym katalyseert de chemische reactie die het product (P) oplevert.

enzymatische reactie

De studie van de snelheid waarmee de enzymen zich met het substraat verbinden en omzetten in het product is een belangrijk onderdeel van de biomedische kinetica. Leonor Michaelis en Maud Leonora Menten (1909) stelden een model voor die de snelheid y van enzymatische reacties beschrijft in functie van de concentratie x van het substraat: y=

Ax x+K

met A, K ∈ R+ .

Deze functies staan bekend als de Michaelis-Menten functies. Zij vallen onder de klasse van de homografische functies, hun grafiek neemt de volgende vorm aan:

(reactiesnelheid) y A y=

Ax x+K

A 2

x (concentratie substraat)

K

De horizontale asymptoot heeft als vergelijking y = A. Hoe groter de concentratie van het substraat, hoe meer de snelheid van de reactie bij de waarde A komt te liggen, zonder deze ooit te evenaren of te overstijgen. Deze waarde A wordt het saturatieniveau genoemd omdat er verzadiging optreedt naarmate de snelheid naar A nadert. De waarde K wordt gekarakteriseerd door de eigenschap y(K) =

A·K A = K +K 2

en wordt daarom de halfsaturatieconstante genoemd. Het meet de affiniteit van het substraat tot het enzym. Hoe kleiner de halfsaturatieconstante K, hoe groter de affiniteit en hoe sneller de reactiesnelheid het saturatieniveau A zal bereiken (in functie van de concentratie van het substraat). 7 Ge¨ ınspireerd

door [47, pagina 11], [165, voorbeeld 1.6] en [245, MichaelisMenten kinetics]. De biochemie is de wetenschap die de samenstelling en samenwerking van chemische verbindingen die bijdragen tot de structuur van de organismen en hun stofwisselingprocessen onderzoekt. Biochemische kinetica bestudeert de concentraties van chemische substanties in biologische systemen.

I-66


Hoofdstuk 4

Irrationale functies De som, het verschil, product en quoti¨ent van twee rationale vormen is opnieuw een rationale vorm. Maar een vierkantswortel (of in het algemeen een n-de machtswortel) van een rationale vorm is niet noodzakelijk een rationale vorm. Zij geven aanleiding tot een nieuwe klasse van functies: de zogenaamde irrationale functies.

4.1

Definitie van een irrationale functie en voorbeelden

3 Definitie. Een irrationale functie is een functie f waarbij in het functievoorschrift f (x) de variabele x onder een wortelteken voorkomt (na vereenvoudiging).1 3 Voorbeeld 1. We beschouwen de volgende functies: √ p √ 169 − x2 − x − 7 3 2 √ (a) f (x) = x, g(x) = 16 − x en h(x) = zijn irrationale functies, x 7x2 − 3 √ zijn geen irrationale functies, (b) f (x) = −3x2 + 2x − 6 en g(x) = x− 2 √ √ 3 (c) f (x) = x3 = x is geen irrationale functie, g(x) = x2 = |x| is wel een irrationale functie. 3 Voorbeeld 2. Een gebouw moet verlicht worden met een lichtstraal, die eerst over een kleinere muur moet. Die muur is 10 meter hoog en staat 8 meter parallel met het gebouw. (a) Druk de lengte van de lichtstraal L uit in functie van de afstand x van de voet van de lichtstraal tot de kleinere muur. (b) Wat is de kortste lengte voor de lichtstraal die men kan gebruiken? Los op met behulp van je grafische rekenmachine. Oplossing. We maken een schets van de situatie:

gebouw

L y

10 x (a) Uit de stelling van Pythagoras volgt L =

8

grond

p (x + 8)2 + y 2 . Gelijkvormige driehoeken leveren de gelijkheid

y x+8 10(x + 8) = zodat y = . 10 x x Substitutie geeft het voorschrift van L in functie van x: x+8p 2 L(x) = x + 100. x

(b) We plotten de grafiek van L en bepalen het minimum. De minimale waarde voor L is . . . 1 Onder

zo’n vereenvoudiging bedoelen we het√toepassen van de algebra¨ısche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, 3 machtsverheffing en worteltrekking. Zo wordt x3 = x aanzien als een vereenvoudiging door middel van algebra¨ısche operaties, maar √ 2 x = |x| niet.

I-67


4.2

Irrationale vergelijkingen

Een vergelijking (of ongelijkheid) waarbij het verschil van beide leden het voorschrift van een irrationale functie voorstelt, noemen we een irrationale vergelijking (of ongelijkheid). Hieronder laten we zien hoe je zo’n irrationale vergelijking kan oplossen. 3 Modelvoorbeeld 1. De families Jacobs en Swinnen bezitten beiden een appartement aan zee. Ze willen samen een strandcabine huren. De familie Jacobs woont op 500 m van het strand, de familie Swinnen op 1 km. Hun appartementen liggen op 1, 3 km van elkaar (in vogelvlucht). Ze willen een strandcabine op de kustlijn, die op gelijke afstand van de twee appartementen ligt. Waar op de kustlijn moet de strandcabine komen? Los eerst op met behulp van je grafische rekenmachine, daarna algebra¨ısch. strandcabines

Swinnen

1 , 3 km

Jacobs

1km

500m

cabine

kustlijn

x Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Los de volgende irrationale vergelijking algebra¨ısch op en controleer daarna je oplossingen: √ 2x − 5 = 10 − x Oplossing.

I-68


4.3

Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

Om het domein, de nulwaarden en de tekentabel algebra¨ısch te bepalen, moeten we terugvallen op de definities uit Hoofdstuk 1. Daarnaast maken we, voor het oplossen van een irrationale vergelijking f (x) = 0, gebruik van de werkwijze uit de vorige paragraaf. We laten in drie modelvoorbeelden zien hoe je in de praktijk te werk gaat. 3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de irrationale functie f (x) =

√ x + 2x − 4 √ . 3 3x − 9

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f . (b) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en neem een correcte schets over op je blad. (c) Geef het beeld van f . Hanteer de correcte notaties. Oplossing. Het is een goed idee om eerst de grafiek van f te plotten. Zo krijg je een zicht op de resultaten die je kan verwachten.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebra¨ısch alle nulwaarden van de irrationale functie p f (x) = 3 x2 − 5 + 2x.

Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine, en neem een correcte schets over op je blad. Oplossing.

I-69


3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de irrationale functie √ 169 − x2 − x − 7 √ f (x) = x (a) Bepaal algebra¨ısch het domein, de nulwaarden en de tekentabel van f . (b) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en neem een correcte schets over op je blad. (c) Geef het beeld van f . Hanteer de correcte notaties. Oplossing.

Nabeschouwing. Net zoals bij rationale functies is vereenvoudigen van het functievoorschrift uit den boze als daarmee het domein be¨ınvloed wordt, omdat men zo de grafiek van de functie wijzigt en dus ook de functie zelf. Zo zijn bijvoorbeeld de volgende irrationale functies verschillend omdat hun domein verschillend is (en dus ook hun grafiek): √ … x x 6= g(x) = √ f (x) = x−1 x−1 dom f = . . .

dom g = . . .

Herhaal dat voor twee functies f en g f =g

dom f = dom g

I-70

en

∀x ∈ dom f : f (x) = g(x)


Oefeningen 4 Irrationale functies

Basis ?

??

Verdieping ? ??

4.1 Definitie van een irrationale functie en voorbeelden

1

2 3

4 5

6

7

4.2 Irrationale vergelijkingen

9

9

9 10

9 11 12

9

4.3 Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

14 15 16

15 16 17 18

15 16 19

15 20 21

Uitbreiding ? ?? 8

13

22

Oefeningen bij §4.1

1

Oefening 1. Beschouw de functie f (x) =

x +

. x

B

(a) Is f een irrationale functie? Verklaar.

B

?

B

?

B??

(b) Bepaal de oplossingen van f (x) ≤ 6. Oefening 2. Gecompliceerde technologische producten zoals auto’s worden in series geproduceerd. Omdat het productieproces steeds effici¨enter gemaakt wordt, daalt het aantal arbeidsuren y per auto met het serienummer n. Voor een bepaald type auto geldt c √ y(n) = 100 waarbij c ∈ R. n83 (a) Bepaal c als in de eerste serie 1000 werkuren nodig zijn. (b) Hoeveel uren zijn er in de tiende serie nodig om een auto te produceren? √ Oefening 3. Gegeven zijn de functies f (x) = 3x − 1 en g(x) = 2x. (a) Plot de grafieken van f en g in ´e´en assenstelsel en neem een schets over op je blad. √ (b) Los grafisch op: 3x − 1 = 2x. √ (c) Los grafisch op: 3x − 1 ≤ 2x. Oefening 4. Een bakker gebruikt voor het berekenen van de kosten van het bakken van een meergranenbrood de formule p K = 0, 6 q + 0, 5 q + 3500

waarbij K staat voor de dagelijkse kosten in euro en q voor het aantal meergranenbroden dat per dag gebakken en verkocht wordt. (a) Neem aan dat deze broden voor 1, 5 euro per stuk verkocht worden. Geef de formule van de omzet O per dag in functie van q. Geef ook de formule van de winst W per dag. (b) Hoeveel meergranenbroden moet de bakker per dag verkopen om winst te maken?

B??

Oefening 5. In de relativiteitstheorie is de massa m van een voorwerp geen constante grootheid, maar een variabele grootheid die afhangt van de snelheid v van het voorwerp volgens c m(v) = m0 √ 2 c − v2

met c = 299 792, 458km/s de lichtsnelheid en m0 de massa van het voorwerp in rust. Welke snelheid moet een voorwerp hebben opdat zijn massa het dubbel van zijn rustmassa is?

V

Oefening 6. Een olieplatform op zee is 10 km van de kustlijn verwijderd. Door een menselijke fout lekt olie uit het platform aan een snelheid van 90 000 m3 per uur en vormt een cirkelvormige laag met een dikte van 1 cm. (a) Tot welke afstand van het boorplatform reikt de olievlek vijf uur na het ontstaan van het lek? (b) Toon aan dat de straal r (in meter) van de olievlek in functie van de tijd t (in uur) gegeven wordt door het voorschrift … t r(t) = 3000 . π (c) Na hoeveel uur spoelt de eerste olie aan de kust? Bepaal algebra¨ısch en controleer met je grafische rekenmachine. I-71


V?

Oefening 7. Een oliepijplijn moet punt A met punt B verbinden. Het punt A ligt aan de ene oever van een stroom die 25 km breed is, punt B aan de andere kant van de oever. De afstand van A tot B is 50 km. Een leiding trekken onder water kost 25 000 euro per kilometer, aan land is de kostprijs 13 000 euro per kilometer.

A

50

25

C

D

B

x (a) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject AB. (b) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject ACB. (c) Waar moet het punt D aan de andere kant van de oever liggen opdat de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject ADB zo klein mogelijk is? Los op met behulp van je grafische rekenmachine. U

Oefening 8 (machtsfuncties). Een machtsfunctie is een functie f waarbij het functievoorschrift van de volgende vorm is: f (x) = a xr waarbij a, r ∈ R. Meestal beperkt men het domein van een machtsfunctie tot x > 0, omdat voor sommige waarden van r, zoals r = 1/2, de uitdrukking xr niet gedefinieerd is voor x < 0. En we sluiten x = 0 uit omdat 00 niet gedefinieerd is. Merk op dat f een veeltermfunctie is indien r ∈ N, een rationale functie is indien r ∈ Z en een irrationale functie is indien r ∈ Q \ Z. Voorbeelden van machtsfuncties zijn: √ 3 . de formule A ≈ 4, 84 V 2/3 = 4, 84 V 2 benadert de oppervlakte A van een bol in functie van zijn volume V , . de bloedstroomsnelheid (in liter per seconde) door het hart van een mens is bij benadering evenredig met x0,7 , waarbij x staat voor het gewicht van die persoon. Volgende figuur toont de grafieken van enkele machtsfuncties. Bepaal de co¨ordinaten van het snijpunt P .

y

y = x3 y = x2 y=x y = x1/2 =

√ x

y = x1/3 = P

x

I-72

√ 3 x


Oefeningen bij §4.2 Oefening 9. Los de volgende irrationale vergelijkingen algebra¨ısch op. » p √ √ B (a) 2x2 + 2 = 2x + 2 B?? (f) 2 + x − 5 = 13 − x p √ √ B?? (g) x−3=3− x B (b) x − 2 = x2 − x + 1 √ √ x+1 =0 B (c) 6x + 1 = 7x + 4 V (h) 1 + √ x2 + 2x √ √ √ B? (d) x + 5x + 10 = 8 V (i) x+5− x−2=1 √ √ √ V? (j) 2x + 1 − x − 1 = 2 B? (e) x − 7 − x = 3 B??

V

Oefening 10 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988). Los de volgende vergelijking op naar x ∈ R. p x2 − 3x + 2 = |x| − 2

Oefening 11 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven). Bepaal de oplossingen in R van √ √ 3 3 x + x2 + x = 0.

V

Oefening 12. Los de volgende irrationale vergelijking algebra¨ısch op: √ √ √ 3x + 1 − x − 4 = x + 1.

V??

Oefening 13 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los op in het re¨ele domein: p −x2 − x ≤ 2x + 1.

Oefeningen bij §4.3 B

Oefening 14. Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van de functie f (x) = x −

8 − x2 .

Oefening 15. Bepaal algebra¨ısch het domein, de nulwaarden, snijpunten met de assen en de tekentabel van de volgende functies. Controleer je resultaten met behulp van je grafische rekenmachine. Maak telkens een schets van de grafiek op je blad. √ p 50 − x2 + x − 6 √ B? (d) f (x) = B (a) f (x) = x2 − 4 36 − x2 √

√ x−3

?? √ B (b) f (x) = 5 − 8 + 2x

B (e) f (x) = √ 2x + 2 − x − 1 − 2 √ 1 2x2 − 3x − 2 B? (c) f (x) = √ V (f) f (x) = √ 3 x x2 − 4 x3 + 3x2 + 7 − x − 1

B?

Oefening 16. Onderzoek algebra¨ısch of f en g gelijke functies zijn. … √ x−2 x−2 B (a) f (x) = en g(x) = √ x+3 x+3 √ 2 x −4 x2 − 4 √ B? (b) f (x) = en g(x) = x2 + 9 x2 + 9   √ x2 − x − 20 x2 − x − 20 √ B?? (c) f (x) = en g(x) = 2 x −9 x2 − 9 √ Oefening 17. Gegeven is de functie f (x) = −3x + 2 − 6. (a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f . (b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) =

x om de functie f te verkrijgen?

(c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal bld f .

I-73


B?

Oefening 18 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde). Beschouw volgende drie uitspraken over de re¨ele functie … 1 f (x) = − 1. x I. f is gedefinieerd voor alle x groter dan 0. II. f is gedefinieerd voor sommige negatieve waarden van x. III. f neemt alle positieve waarden aan. De enige correcte uitspraken zijn: (A) I

B??

(B) II

(C) III

Oefening 19. Gegeven zijn de functies f (x) =

p

(D) I en III

16 − x2 en g(x) =

(E) II en III

1 x + 3. 2

(a) Plot beide grafieken en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in ´e´en assenstelsel). (b) Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van graf f en graf g. (c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafische rekenmachine. V

Oefening 20. Bepaal zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine welke functie bij welke grafiek hoort. … p 1 (a) f (x) = (c) f (x) = x3 − 3x2 + 2x 9 − x2 p √ (b) f (x) = −2x + 6 (d) f (x) = 3x2 − x + 2

Grafiek 1 y

−3

−2

Grafiek 2 y

3

3

2

2

1

1

−1

1

2

3

x

−3

−2

−1

Grafiek 3 y

−3

−2

−1

2

3

1

2

3

x

Grafiek 4 y

3

3

2

2

1

1

1

2

3 …

V

1

Oefening 21. Gegeven zijn de functies f (x) =

x

−3

−2

−1

x3 + 8 en g(x) = x + 2. x

(a) Plot beide grafieken en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in ´e´en assenstelsel). (b) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt. (c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafische rekenmachine. I-74

x


V??

Oefening 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 tweede ronde). De grafieken van de re¨ele functies met functievoorschrift » » p p g1 (x) = −(x2 + 2x) + 8x3 + 4x2 g3 (x) = −(x2 + 2x) − 8x3 + 4x2 » » p p g2 (x) = − −(x2 + 2x) + 8x3 + 4x2 g4 (x) = − −(x2 + 2x) − 8x3 + 4x2 vormen samen het trifolium van De Longchamps:

y

x

Het deel van de kromme bepaald door g1 is: y

y

x

(A)

y

y

x

(B)

x

(C)

y

x

(D)

x

(E)

Inzicht in aardrijkskunde In het volgend voorbeeld uit de geodesie berekenen we de kijkafstand naar de horizon.2 Sinds kort is het hoogste punt van Gent de MG Tower, een kantoorgebouw van 119 meter hoog. De voet van het gebouw bevindt zich op 11 meter boven de zeespiegel. Zou je vanop de toren de zee kunnen zien? Onderstaande figuur maakt duidelijk hoe we dat kunnen berekenen.

De zichtlijnen vanuit ons oogpunt raken de aardbol en vormen een kegel. Beperken we ons tot ´e´en zo’n zichtlijn, dan weten we intu¨ıtief dat die raaklijn OP loodrecht op de middellijn OM staat. In die driehoek M P O, waarbij d = OP de afstand tot de horizon is, r de straal van de aarde en h de hoogte boven de zeespiegel, passen we de stelling van Pythagoras toe: p d2 + r2 = (h + r)2 ⇒ d = h2 + 2rh.

De MG Tower bevindt zich in de oksel van de Kortrijksesteenweg en de afrit van de E40 naast IKEA.

√ Omdat h in verhouding tot r erg klein is kunnen we de term h2 verwaarlozen en krijgen we d ≈ 2hr. Nu varieert de middellijn van de aarde van 12 713 km (tussen de polen) tot 12 756 km (aan de evenaar) en daarop baseren we dan de volgende benaderingsformule voor de afstand tot de horizon: d ≈ 3, 6

h

Hierbij is h de hoogte in meter en d de kijkafstand in kilometer. Op de MG Tower kijk je op een hoogte van ongeveer 119 m (hoogte toren) plus 11 m (hoogte boven zeespiegel) plus 2 m (lengte persoon) is h = 132 m hoog. Onze formule levert dan een kijkafstand van d ≈ 41 km, wat net niet volstaat: de zee ligt ongeveer 43 km ver (Breskens). 2 Dit voorbeeld werd ontleend aan [146, pagina 93]. Geodesie is de wetenschap die zich bezighoudt met de bepaling van de vorm en de afmetingen van de aarde.

I-75


Interludium

Here it will be proper to observe, that I make use of [. . . ] 1 2 1 1 1 √ x− 2 , x− 3 , x− 4 etc. for √1x , √ , etc. 3 2, 4 x x And by this rule of Analogy, as may be apprehended from such 3 1 5 Geometrical Progressions as these; x3 , x 2 , x2 , x 2 , x, x 2 , x0 1 3 (or 1;) x− 2 , x−1 , x− 2 , x−2 , etc. Isaac Newton, Fluxiones, 1671 [169]

In dit intermezzo effenen we het pad voor de volgende hoofdstukken. Vooreerst herhalen we de definitie van machtswortels en de rekenregels voor machten. Uitbreiding van deze rekenregels leidt tot een natuurlijk begrip voor machten met negatieve of gebroken exponent. Het begrip macht met een re¨ele exponent is nieuw en is noodzakelijk voor het invoeren van de volgende klasse van functies in Hoofdstuk 5. Daarna bespreken we enkele bewerkingen met functies (som en verschil, product en quoti¨ent, samenstelling en absolute waarde). Dat bepaalde functies een natuurlijke tegenhanger hebben die de oorspronkelijke functie omkeert, wordt besproken in de paragraaf over inverse functies. Ten slotte geven we een overzicht van de soorten re¨ele functies.

1

Re¨ ele machtswortels

Zij n ∈ N met n ≥ 2 en b ∈ R. Een (re¨ele) n-de machtswortel van b is een re¨ele oplossing van vergelijking xn = b. De bespreking van de n-de machtwortels van b valt uiteen in twee wezenlijk verschillende gevallen: het geval dat n even is en het geval dat n oneven is.

Geval n even 3 Voorbeeld. Verklaar met de correcte uitleg. (a) 3 en −3 zijn tweedemachtswortels (of vierkantswortels) van 9 want . . . (b) 2 en −2 zijn zesdemachtswortels van 64 want . . . (c) 0 is een vierdemachtswortel van 0 want . . . (d) −16 heeft geen re¨ele vierkantswortels want . . . (e) −64 heeft geen re¨ele zesdemachtswortels want . . .

3 Eigenschap. Zij n ∈ N0 even en b ∈ R.

(1) Als b > 0 dan heeft b precies twee re¨ele n-de machtswortels, en als x een n-de machtswortel is van b dan is ook −x een n-de machtswortel van b. (2) Als b = 0 dan heeft b precies ´e´en re¨ele n-de machtswortel, namelijk 0. (3) Als b < 0 dan heeft b geen re¨ele n-de machtswortels. Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aan de hand van de grafiek van een functie f (x) = xn met n even. In de figuur hiernaast zie je de typische vorm van zo’n grafiek. Een rechte y = b snijdt de grafiek . tweemaal als b positief is (b > 0),

y

f (x) = xn n even y=b (b > 0)

. eenmaal als b = 0, . geen enkele keer als b negatief is (b < 0). 3 Notatie. Zij n ∈ N0 even. Wegens de vorige eigenschap heeft elk positief re¨eel getal b twee verschillende re¨ele n-de machtswortels, waarvan de ene positief is en de andere negatief is (namelijk het tegengestelde van de positieve). √ We schrijven n b voor de positieve n-de machtswortel van b. √ De negatieve n-de machtswortel van b is dan gelijk aan − n b.

√ −nb

√ n b

x

y=b (b < 0)

Het getal 0 heeft √ ´e´en n-de machtswortel, namelijk het getal 0. We schrijven dan n 0 voor de n-de machtswortel van nul.3

√ de n-de machtswortel van nul noch positief, noch negatief is mag je n 0 strikt genomen niet lezen als de positieve n-de machtswortel van nul of de negatieve n-de machtswortel van nul, maar wel als de niet-negatieve n-de machtswortel van nul of de niet-positieve n-de machtswortel van nul. 3 Daar

I-76


Geval n oneven 3 Voorbeeld. Verklaar met de correcte uitleg. (a) 2 is een derdemachtswortel (of kubische wortel) van 8 want . . . (b) −2 is geen derdemachtswortel van 8 want. . . (c) 3 is een vijfdemachtswortel van 243 want. . . (d) −3 is geen 5-demachtswortel van 243 want. . . (e) −8 heeft een re¨ele 3-demachtswortel want. . . 3 Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan heeft b precies ´e´en n-de machtswortel. Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aan de hand van de grafiek van een functie f (x) = xn met n oneven. In de figuur hiernaast zie je de typische vorm van zo’n grafiek. Een rechte y = b snijdt de grafiek eenmaal, ongeacht b positief, nul of negatief is.

y

3 Notatie. Zij n ∈ N0 oneven. Wegens de vorige eigenschap heeft elk re¨eel getal b precies ´e´en re¨ele n-de machtswortel. √ We schrijven n b voor de n-de machtswortel van b.

y=b (b > 0)

√ n b √ n b

3 Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan is √ √ n n −b = − b.

b>0

√ n b=x

b=0

√ n 0=0

b<0

√ n b=/

n oneven

x

y=b (b < 0)

Samenvatting

n even

f (x) = xn n oneven

√ n b=x

b = xn en x > 0

b = xn

3 Modelvoorbeeld. Vul telkens aan en geef de verklaring. √ √ (a) 3 8 = . . . want ... (c) 5 1 = . . . want ... √ √ (b) 4 −16 = . . . want ... (d) 7 −2187 = . . . want Controle met behulp van grafische rekenmachine.

I-77

...


2

Machten

Een macht is een uitdrukking van de vorm ar met a, r ∈ R. Men noemt a het grondtal en r de exponent. Voorbeelden van machten met grondtal 2 zijn:4 1 7 25 , 20 , 2−5 , 2 3 , 2− 3 , 2π In wat volgt maken we de betekenis van elk van deze machten duidelijk. We herhalen eerst machten met natuurlijke exponent, die voldoen aan vijf rekenregels. Het is op basis van deze rekenregels dat we het machtsbegrip uitbreiden naar machten met gehele en rationale (gebroken) exponent.

Machten met natuurlijke exponent 3 Op ontdekking. Bereken en stel de definitie van een natuurlijke macht vast. (a)

25 = . . .

(b)

71 = . . .

(c)

40 = . . .

3 Definitie. Een natuurlijke macht van een re¨eel getal a is een getal dat voorkomt in de meetkundige rij met eerste term a en reden a. De n-de term noteren we met an a |{z} a1

,

a·a |{z} a2

,

a · a} |a · {z

· a · a} |a · a{z

,

a3

,

...

a4

De nulde term vinden we door de eerste term a te delen door a, wat enkel kan als a 6= 0. In dat geval vinden we a0 = 1. De uitdrukking 00 wordt niet gedefinieerd.5 Formeel luidt onze definitie als volgt: def

∀a ∈ R : ∀n ∈ N0 : an = a | · a ·{z. . . · a} n keer

0 def

∀a ∈ R0 : a = 1

3 Op ontdekking. Bereken en stel de rekenregels voor machten vast. (a)

22 · 23 = . . .

(b)

25 = ... 22

(c)

25

3

= ... 3

(d)

(2 · 7) = . . .

(e)

Å ã3 2 = ... 7

3 Eigenschap. De volgende vijf rekenregels gelden voor machten met een natuurlijke exponent: ∀a ∈ R0 : ∀n, m ∈ N : am · an = am+n am = am−n an n

(am ) = am·n ∀a, b ∈ R0 : ∀n ∈ N :

n

(a · b) = an · bn

 a n b

=

an bn

6

(1) (2) (3) (4) (5)

4 Deze notaties werden gepopulariseerd door het werk van Rafael Bombelli 1572, Simon Stevin 1585, Ren´ e Descartes 1637 en Isaac Newton 1671. 5 De uitdrukking 00 is van dezelfde orde als 0 . Zo’n uitdrukking noemen we een onbepaaldheid, de reden hiervoor wordt duidelijk in 0 Deel Rijen voor 00 en Deel Afgeleiden voor 00 . 6 Omdat we ons voorlopig beperken tot machten met natuurlijke exponent, moeten we bij rekenregel (2) vermelden dat m ≥ n.

I-78


Machten met gehele exponent 3 Op ontdekking. 2−5 = ? Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden. Dus dan moet, wegens rekenregel (2) 2−5 = 20−5 = . . . Zo komen we vanzelf tot de geschikte omschrijving van machten met gehele exponent. 3 Definitie. Een gehele macht van een re¨eel getal a wordt als volgt gedefinieerd: def

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a−n =

1 an

We kunnen een gehele macht ook omschrijven als een getal dat voorkomt in de rij van de natuurlijke machten van a, indien we deze opsomming ook naar links voortzetten (indien a 6= 0). De −n-de term noteren we met a−n ...,

1 a · a} |a · {z

,

a−3

1 · a} |a{z

,

a−2

1 a |{z} a−1

,

1 |{z}

,

a |{z}

a0

a·a |{z}

,

a1

a · a} |a · {z

,

a2

,

a3

· a · a} |a · a{z

,

...

a4

3 Eigenschap. De vijf rekenregels voor machten met een natuurlijke exponent gelden ook voor machten met een gehele exponent. Ter illustratie bewijzen we de rekenregel (4) voor machten met een gehele exponent: ∀a, b ∈ R0 : ∀m ∈ Z : (a · b)m = am · bm . Bewijs. Als m ≥ 0 dan is m ∈ N en volgt het gestelde uit de rekenregel (4) voor machten met een natuurlijke exponent. Veronderstel dus dat m < 0. We schrijven m = −n met n ∈ N. Dan geldt (vul telkens de verantwoording aan):

(a · b)m = (a · b)−n 1 = (a · b)n 1 = n n a ·b 1 1 = n· n a b

want . . . wegens . . . wegens . . .

= a−n · b−n

wegens . . .

= am · bm

want . . .

Machten met rationale exponent 1

7

3 Op ontdekking. 2 3 = ? en 2− 3 = ? Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden. Dus dan moet Ä 1 ä3 1 2 3 = 2 dus 2 3 = . . . en 7

2− 3 = 2−7

 31

= ...

Zo komen we vanzelf tot de geschikte omschrijving van machten met rationale exponent. 3 Definitie. Een rationale macht van een re¨eel getal a wordt als volgt gedefinieerd: 1

def

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a n =

√ n

a m

def

n = ∀a ∈ R+ 0 : ∀n ∈ N0 : ∀m ∈ Z : a m

√ n

am

In deze definitie van a n is de eis a > 0 cruciaal, zo leert het volgend voorbeeld (leg uit): » 12 (−2) 4 6= 4 (−2)12 I-79


3 Eigenschap. De vijf rekenregels voor machten met een gehele exponent gelden ook voor machten met een rationale exponent. Ter illustratie bewijzen we de rekenregel (1) voor machten met een rationale exponent: ∀a ∈ R0 : ∀p, q ∈ Q : ap · aq = ap+q Bewijs. We mogen aannemen dat p, q ∈ / Z (leg uit waarom). We schrijven p = m/n en q = m0 /n als breuken met dezelfde positieve noemer (leg uit waarom dit altijd mogelijk is). Dan geldt (vul telkens de verantwoording aan): 0

ap · aq = am/n · am /n √ √ n = n am · am0 √ n = am · am0 √ n = am+m0

want . . . wegens . . . wegens de verantwoording onderaan wegens . . .

0

√ n

√ n

= a(m+m )/n

wegens . . .

= ap+q

want . . .

√ n

Dat am · am0 = am · am0 volgt uit het feit dat beide leden de positieve of negatieve oplossing zijn van de 0 vergelijking xn = am · am . Inderdaad enerzijds is Ä√ än 0 n am · am0 = am · am terwijl anderzijds (vul de verantwoording aan): än Ä √ än Ä √ än Ä√ √ n n am · am0 = n am · n am

want . . .

0

= am · am .

3 Modelvoorbeeld. Vereenvoudig zoveel als mogelijk en schrijf het resultaat zonder negatieve of gebroken exponenten. De letter a stelt een niet-negatief re¨eel getal voor. √ √ 3 a−5 · a7 p√ = ... 4 a

Machten met re¨ ele exponent 3 Op ontdekking. 2π = ? Merk op dat π ∈ / Q, dus 2π is geen macht met een rationale exponent.7

Wat dit ook is, we wensen wel dat als q ∈ Q en q ≈ π dan 2q ≈ 2π . Dus om de waarde van 2π te vinden, kunnen we in principe als volgt te werk gaan:8 q

2q

3

...

3, 1

...

3, 14

...

3, 141

...

2π = . . .

π

3 Eigenschap. De vijf rekenregels voor machten met een rationale exponent gelden ook voor machten met een re¨ele exponent. 7 Het 8 De

feit dat π geen rationaal getal is, werd in 1761 aangetoond door Johann Heinrich Lambert . formele definitie van een re¨ ele macht steunt op het bovenstaand idee, maar valt buiten het bestek van deze cursus.

I-80


3

Bewerkingen met functies 3 Som en verschil van functies. De som (resp. verschil) van twee functies f en g is de functie f +g :R→R

resp.

def

x 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x) √ Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 en g(x) = x + 2 is

y

y

graf f

3

3 graf g

2

−2

−1

graf g

2

1

−3

def

x 7→ (f − g)(x) = f (x) − g(x)

(f − g)(x) = . . .

(f + g)(x) = . . .

graf f

f −g :R→R

1

1

2

x

3

−1

−3

−2

−1

1

2

3

x

−1

−2

−2

−3

−3

3 Product en quoti¨ ent van functies. Het product (resp. quoti¨ent) van twee functies f en g is de functie f ·g :R→R

resp.

def

x 7→ (f · g)(x) = f (x) · g(x) Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 en g(x) =

x + 2 is Å ã f (x) = . . . g

(f · g)(x) = . . .

y

graf f

f :R→R g Å ã f def f (x) (x) = x 7→ g g(x)

y

graf f

3

3 graf g

2 1

−3

−2

−1

graf g

2 1

1

2

3

x

−1

−3

−2

−1

1 −1

−2

−2

−3

−3

I-81

2

3

x


3 Veelvoud en macht van een functie. Het veelvoud (resp. macht) van een functie f met r ∈ R is de functie r·f :R→R

resp.

def

x 7→ (r · f )(x) = r · f (x) Voorbeeld. Voor r = −

−3

−1

(als r 6= 0)

f r (x) = . . .

y

−2

def

x 7→ f r (x) = f (x)r

1 en f (x) = x2 − 2 is 2

(r · f )(x) = . . .

graf f

fr : R → R

y

graf f

3

3

2

2

1

1

1

2

x

3

−1

−3

−2

−1

1

2

3

x

−1

−2

−2

−3

−3

3 Samenstellen van functies. De samenstellingen van twee functies f en g zijn de functies f ◦g :R→R

def

x 7→ (f ◦ g)(x) = f (g(x)) Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 en g(x) =

g◦f :R→R

en

x + 2 is

(f ◦ g)(x) = . . .

(g ◦ f )(x) = . . .

y

graf f

def

x 7→ (g ◦ f )(x) = g (f (x))

y

graf f

3

3 graf g

2 1

−3

−2

−1

graf g

2 1

1

2

3

x

−1

−3

−2

−1

1 −1

−2

−2

−3

−3

I-82

2

3

x


3 Absolute waarde van een functie. De absolute waarde van een functie f is de functie |f | : R → R

def

x 7→ |f | (x) = |f (x)| Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 is |f | (x) = . . .

y

graf f

3 2 1

−3

−2

−1

1

2

3

x

−1 −2 −3

3 Gebruik van de grafische rekenmachine. Bovenstaande voorbeelden kunnen we als volgt controleren.

I-83


4

−2

Grafiek:

f (x)

...

−1

−2

3

x

−2

−1

−2

−1

−2

−1

1

1

...

...

I-84

...

...

2

2

...

...

2

Grafiek:

...

...

3

1

...

2

3

...

1

x

...

0

y

...

−1

1

...

...

2

Tabel van enkele functiewaarden:

Tabel van enkele functiewaarden:

x

Functievoorschrift: . . .

Functievoorschrift: f (x) = 2x + 1

...

...

3

y

−2

Grafiek:

...

...

−1

...

...

−2

−1

1

2

3

y

...

...

...

...

1

...

...

2

Tabel van enkele functiewaarden:

Functievoorschrift: . . .

...

...

3

x

(c) De middelste kolom stelt een nieuwe functie g(y) = x voor, die we de inverse functie van f noemen. Omdat we gewoon zijn om een functie in de letter x te zien, en niet in y, verwisselen we de letters x en y. Vul de rechterkolom aan.

(b) De functie f is bijzonder in die zin dat er bij elke y-waarde hoogstens ´e´en x-waarde hoort waarvoor P (x, y) ∈ graf f . Daarom noemen we f een inverteerbare functie. Op deze manier kunnen we een nieuwe functie g maken, namelijk het verband dat aan elke y-waarde die x-waarde associeert. Vul nu de middelste kolom aan.

..................................................................

(a) Vul de linkerkolom aan. Hoe kunnen we uit de grafiek van f afleiden dat f een functie is?

• Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = 2x + 1. De onderste helft van deze bladzijde is verdeeld in drie kolommen.

Inverse functies


3 Definitie. Een functie f noemt men inverteerbaar als er bij elke y-waarde hoogstens ´e´en x-waarde hoort. In dat geval is het verband dat met elke y-waarde die x-waarde associeert een nieuwe functie g:R→R

y 7→ x = g(y)

die we de inverse functie van f noemen. 3 Eigenschap. Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Dan geldt f (x) = y

x = g(y)

∀x ∈ dom f, ∀y ∈ bld f

Meetkundige betekenis. De grafieken van de functies f en g zijn elkaars spiegelbeeld om de eerste bissectrice. 3 Opmerking 1. Vaak noteert men de inverse van een inverteerbare functie f met f −1 . Ongelukkig genoeg valt deze notatie dan samen met het omgekeerde van f . In het vervolg zal de context steeds duidelijk moeten maken welke van de twee men bedoelt. Om verwarring te voorkomen gebruiken we in het vervolg van deze cursus eerder de notatie g in plaats van f −1 . 3 Opmerking 2. De interactie tussen een inverteerbare functie f en zijn inverse functie g kan als volgt worden voorgesteld. grafiek

y

y = f (x)

tabel van enkele functiewaarden functievoorschrift f (x) = y

x f (x)

. . . −1 0 1

...

...

...

1 x

1

oplossen naar x

oplossen naar y

tabel omdraaien

tabel omdraaien

spiegelen om y = x

spiegelen om y = x

grafiek

x

x = g(y)

tabel van enkele functiewaarden functievoorschrift x = g(y)

y

. . . −1 0 1

g(y) . . .

... ...

1 1

y

3 Opmerking 3. Algebra¨ısch bepalen of een functie f al dan niet inverteerbaar is, doet men door - voor elke y-waarde - de vergelijking y = f (x) op te lossen naar x. Vindt men voor elke y-waarde ofwel geen oplossing ofwel een eenduidige oplossing x, dan is de functie f inverteerbaar. Bovendien wordt de inverse functie g dan gegeven door het verband dat bij elke y-waarde die eenduidige oplossing x associeert. Deze werkwijze wordt duidelijk gemaakt in het volgend modelvoorbeeld. √ 3 Modelvoorbeeld. Ga algebra¨ısch na of de functie f (x) = 5x − 1 + 2 inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie g. Controleer door de grafiek van f en g te plotten. Oplossing.

I-85


5

Soorten functies

Functies die uitgedrukt kunnen worden door de algebra¨ısche operaties optelling, vermenigvuldiging, deling, machten en n-de machtswortels in ´e´en variablele x zijn zogenaamde algebra¨ısche functies. Alle functies die we tot nu toe besproken hebben vallen onder deze categorie.9 In deze paragraaf we twee voorbeelden van een niet-algebra¨ısche functie: de sign-functie sign(x) en de floor-functie bxc. De andere niet-algebra¨ısche functies die in het onderstaande schema vermeld worden, zullen we uitvoerig behandelen in de volgende hoofdstukken.

1 x 8x − π x3 ...

rationale functies sign(x) ⌊x⌋ veeltermfuncties

x

exponenti¨ele functies

−x7 + 5x ... √ x √ 7x3 − 8 x5

logaritmische functies irrationale functies

goniometrische functies cyclometrische functies ...

|x|

... ... |

{z

}|

algebra¨ısche functies

3 Sign-functie. Voor x ∈ R stellen we

. Functievoorschrift: f (x) = sign(x)

{z

niet-algebra¨ısche functies

   −1 def 0 sign(x) =   1

}

als x < 0 als x = 0 als x > 0

. Tabel van enkele functiewaarden: x f (x)

−2

−1

...

−0, 01

...

...

0

0, 01

1

2 ...

...

...

...

1

2

3

y

. Grafiek:

1

−3

−2

−1

x

−1

9 Een functie die kan uitgedrukt worden door de algebra¨ ısche operaties optelling, vermenigvuldiging, deling, machten en n-de machtswortels noemt men uitdrukbaar in radicalen. Een functie f is algebra¨ısch indien er een n ∈ N en veeltermen a0 (x), . . . , an (x) bestaan zodat ∀x ∈ R : a0 (x) · f (x) + a1 (x) · f 2 (x) + . . . + an (x) · f n (x) = 0. Hieruit volgt dat elke functie die kan uitgedrukt worden in radicalen ook algebra¨ısch is (bijvoorbeeld rationale of irrationale functies). Het omgekeerde geldt echter niet: er bestaan algebra¨ısche functies die niet ´ uitdrukbaar zijn in radicalen, zoals aangetoond in het werk van Evariste Galois (1811-1832) en Niels Henrik Abel (1802-1829). Een voorbeeld van zo’n algebra¨ısche functie f wordt gedefinieerd door (f (x))5 + (f (x))4 + x = 0.

I-86


3 Floor-functie.10 Voor x ∈ R stellen we def

bxc = het grootste geheel getal dat kleiner of gelijk is aan x . Functievoorschrift: f (x) = bxc . Tabel van enkele functiewaarden: x −1 −0, 99 −0, 01 f (x)

...

...

...

0 ...

. Grafiek:

0, 01

0, 99

...

...

1 ...

1, 01

1, 99

...

...

2 ...

y 3 2 1

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

−1 −2 −3

3 Gebruik van de grafische rekenmachine. De sign-functie voert men in aan de hand van de definitie. Hierbij maken we gebruik van geprogrammeerde functies zoals X < 0, die de waarde 1 aanneemt als x < 0 en in de andere gevallen 0 is. In symbolen: ® 1 als x < 0 X < 0= 0 als x ≥ 0. Door bijvoorbeeld −1 te vermenigvuldigen met X < 0 bereik je een functie die de waarde −1 aanneemt als x < 0 en in de andere gevallen 0 is. . . . 2ND

TEST

5:< . . .

Voor wat betreft het plotten van de floor-functie en aanverwanten beroepen we ons op voorgeprogrameerde functies die je terugvindt bij math NUM: round(x,a) rondt het getal x af tot op a cijfers na de komma, ipart(x) breekt het getal x af tot een geheel getal (truncatie), fpart(x) geeft het decimale deel van het getal x, int(x) bepaalt het grootste geheel getal dat kleiner of gelijk is aan x. Zo is bijvoorbeeld: round(-2.37,1) = -2.4

ipart(-2.37) = -2

fpart(-2.37) = -.37

int(-2.37) = -3.

De floor-functie wordt dus gegeven door het commando int. 10 De

tegenhanger van de floor-functie is de ceiling-functie f (x) = dxe, zijnde het kleinste geheel getal groter of gelijk aan x. De benamingen en notaties voor deze functies zijn afkomstig van Kenneth Eugene Iverson 1962 en zijn voorbeelden van zogenaamde integer functions.

I-87


Oefeningen Interludium

Basis ?

Verdieping ? ??

??

1 Machtswortels 2 Machten

1 2 3 4 5 6

4 5 6 7

4 6 8

4

3 Bewerkingen met functies

11 12 13

14

15

16 17

18

4 Inverse functies

24

24

25

24 26 27

28

5 Soorten functies

31

32 33

19

Uitbreiding ? ?? 9

10

20 21

22 23 29 30

34

35

Oefeningen bij §1 en §2 Oefening 1. Welke van de volgende uitdrukkingen zijn gelijk?

B

4

1

x7

4x 7

7

√ 4

x

4

√ 7

x

1 −7 x 4

7x−4

1 4x7

7 x4

√ 4

√ 7

x7

x4

Oefening 2. Bereken met behulp van je grafische rekenmachine.

B

(a)

Å ã 1 3 − 19 − 50

(b)

1302

20172018

Oefening 3 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde). √ 254a2 =

B

(A) 252a

B B B B B B

(B) 252|a|

2

(C) 252a

(D) 52|a|

Oefening 4. Bereken zonder grafische rekenmachine. Exacte waarde noteren. √ 1 n (a) 4 2 B? (g) a3n bn met a, b ∈ R+ en n ∈ N √ √ 1 3 6 (b) 16− 2 9 243 B? (h) Ä √ √ ä2 4 (c) 81−0,25 B? (i) 2 25 − 3 5 Å ã 2 64 2 3 −5 ?? (d) 100 000 B (j) 1000 Å ã− 15 » 1 (e) B?? (k) 4 (−3)12 32 Ä√ ä3 √ √ 3 3 3 (f) 27a6 b12 met a, b ∈ R V (l) 16 − 2 Oefening 5. Los algebra¨ısch de volgende vergelijkingen op.

B

(a)

0, 7 x4 = 58

B

(b)

(3x + 2)5 = 74

B? (c)

3x5 = 7x2 3 B? (d) √ =6 4 5x

I-88

2

(E) 52a


Oefening 6. Vereenvoudig telkens zo veel als mogelijk, in je resultaat mogen geen gebroken of negatieve exponenten voorkomen (hierbij is a, b, c ∈ R+ 0 ):

B?

B??

U

B

(a)

B

(b)

B

(c)

7

a− 6

(d)

B

√  34 a

B? (e)

Ä ä − 1 1 1 6 a−1 b− 3 c 2 a−2 b−4 c6 2

B?? (f)

Åp ã− 83 4 3 1 a− 2 b 2 √ √ 5 a3 b ab3 √ 10 a ab7 Ç å… 1 16−2 a 2 b−3 − 12

81−1 a

b3

Ä 3 ä 12 9 ab 4 ab 2

Oefening 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1991 tweede ronde). » p √ Als x ≥ 0 dan is x x x = √ √ √ √ 8 (A) x x (B) x 4 x (C) 8 x (D) x3

(E)

√ 8

x7

Oefening 8 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1987). Werk uit en vereenvoudig √ 3 (x2 )3 x−4 x5 »p . √ 3 x2 3 4 (x2 )3

Oefening 9 (derde wet van Kepler). De planeten van ons zonnestelsel bewegen in ellipsvormige banen rond de zon. Noemen we a de halve grote as van deze ellips (in miljoen km) en T de omlooptijd rond de zon (in dagen), dan geldt volgens de derde wet van Kepler11 a3 = 2, 9277 · T 2 (a) Van de volgende planeten is de omlooptijd T gegeven. Bepaal de halve grote as a van de ellips die ze om de zon beschrijven (in miljoen km, op twee cijfers na de komma). planeet

Mercurius

Venus

Aarde

87, 969

224, 701

365, 250

omlooptijd T (in dagen)

(b) Van de volgende planeten is de halve grote as a van de ellips, die ze om de zon beschrijven, gegeven. Bepaal de omlooptijd T in jaren en dagen (gebruik 1 jaar ≈ 365, 25 dagen, afronden op 1 dag nauwkeurig). planeet halve grote as a (in miljoen km) U?

Mars

Jupiter

Saturnus

227, 939

778, 294

1429, 373

Johannes Kepler (1571 - 1630)

Oefening 10 (decimale vorm van een re¨ eel getal). Zoals je gezien hebt in het derde jaar, kan elk re¨eel getal r geschreven worden in een decimale vorm (of decimale voorstelling) r = a0 , a1 a2 a3 a4 . . .

waarbij

a0 ∈ Z

en

a1 , a2 , a3 , a4 , . . . ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

De getallen a1 , a2 , a3 , . . . noemen we decimalen. Zo is bijvoorbeeld −

19 = −2, 375 8

en

5 = 0, 454545 . . . 11

en

π = 3, 141592 . . .

Hierbij zijn enkele opmerkingen op hun plaats. (1) Als vanaf een zekere index i de getallen ai alle nul zijn, dan nemen we deze getallen niet op in de schrijfwijze. We schrijven dus 6, 318 in plaats van 6, 318000 . . .. In dat geval spreken we van een begrende decimale vorm. (2) Een decimale voorstelling van een re¨eel getal r is niet noodzakelijk uniek12 . Zo heeft bijvoorbeeld het getal 1 twee verschillende decimale voorstellingen, want 1=3·

1 = 3 · (0, 333 . . .) = 0, 999 . . . 3

waaruit we besluiten dat wel degelijk 0, 999 . . . = 1. Zo is ook −2, 375 = −2, 374999 . . .. 11 Opgesteld door Kepler in 1619, vanuit experimentele gegevens. Zo’n zeventig jaar later bewees Isaac Newton de wetten van Kepler met behulp van de universele wet van de zwaartekracht. 12 Het is eenvoudig in te zien dat een re¨ eel getal r precies ´ e´ en decimale voorstelling heeft als en slechts als r geen begrensde decimale vorm toelaat. En re¨ ele getallen die wel een begrensde decimale vorm hebben, kunnen op twee verschillende manieren als decimale vorm geschreven worden.

I-89


(3) Als vanaf een zekere index i er een groep decimalen is die zich herhaald (verschillend van 00 . . .), dan spreken 5 we van een onbegrensde repeterende decimale vorm. Bijvoorbeeld 11 = 0, 454545 . . .. De eerste groep decimalen met het kleinst aantal cijfers die zich blijft herhalen noemen we de periode. Men kan aantonen voor elk re¨eel getal r geldt: r∈Q

r is een begrensde decimale vorm of een onbegrensde repeterende decimale vorm

Zo is −2, 375 ∈ Q en 83, 34581581581 . . . ∈ Q en 1, 01001000100001 . . . ∈ R \ Q. Gegeven zijn de volgende decimale getallen. Vul in met ∈ of ∈. / Is het decimaal getal rationaal, schrijf het dan als een breuk. R\Q

(a)

1, 321322323324 . . .

...

(b)

3, 333 . . .

...

Q

(c)

5, 74245245245 . . .

...

R\Q

(d) π = 3, 141592 . . . √ 2 = 1, 414213 . . . (e) 5123 (f) − = −6, 8765 . . . 745

...

Q

... Q ...

R\Q

Oefeningen bij §3 B

Oefening 11. Bepaal telkens het functievoorschrift van f · g, f (x) = x − 1

en

(b) f (x) = x + 2

en

(a)

(c)

f (x) = 2x −

π 4

f , 3 · g, f ◦ g en g ◦ f . g

g(x) = x−1 1 g(x) = √ x g(x) = x2

en

B

Oefening 12. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Bepaal (f ◦ f ◦ f ◦ f )(3).

B

Oefening 13. De volgende grafieken stellen de grafiek van een functie f voor. Schets telkens de grafiek van |f |.

(a)

(b)

y

−3

−2

y = f (x) B?

B??

−1

y

3

3

2

2

1

1

1

2

3

x

−3

−1

−2

−1

1

3

−1

−2

−2

−3

−3

Oefening 14 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 eerste ronde). 1 Als f (x) = 1 + dan is f (f (f (x))) gelijk aan x Å ã3 1 1 3 1 (B) 3 + (C) 1 + (D) 1 + (A) 1 + 1 x x x 1+ 1 1+ x

2

y = f (x)

(E) 1 +

3 x3

Oefening 15. Zij g(x) = ax+b waarbij a, b re¨ele getallen zijn. Bepaal alle koppels (a, b) waarvoor (g ◦g)(x) = 9x+28. I-90

x


V

Oefening 16 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2000 eerste ronde). Het aantal oplossingen in R van de vergelijking

1 − x2 = 1 − x is gelijk aan (A) 0

V

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Oefening 17 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005 eerste ronde). √ Met de functies f : x 7→ x2 en g : x 7→ x construeert men vijf nieuwe functies: f f (x) : x 7→ ; g g(x)

f ◦ g : x 7→ f (g(x));

f · g : x 7→ f (x) · g(x);

g ◦ f : x 7→ g(f (x));

g g(x) : x 7→ . f f (x)

Twee van deze vijf functies hebben hetzelfde domein. Twee andere functies hebben ook hetzelfde domein. Welke is de overblijvende functie? (A)

V?

f g

(B) f ◦ g

(C) f · g

(D) g ◦ f

(E)

g f

Oefening 18. Gegeven is de grafiek van een functie

y 5 4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

Bepaal algebra¨ısch welke van de volgende vijf voorschriften bij deze functie hoort. |x − 1| + 1 V??

||x| − 1| + 1

|x − 1| + |x + 1|

||x| + 1| + 1

2

x − 1 + 1

Oefening 19. Gegeven is de functie f (x) = x − 1 en een functie g waarvoor (g ◦ f )(x) = x2 − 1. (a) Bepaal g(3). (b) Bepaal g(x).

U

Oefening 20 (meervoudig functievoorschrift). Beschouw de functie ® x+2 als x < 3 f (x) = 4 als x ≥ 3. Omdat het functievoorschrift niet enkelvoudig is, zeggen we dat f een meervoudig functievoorschrift heeft. (a) Schets zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine de grafiek van de functie f . (b) Controleer je resultaat in (a) met je grafische rekenmachine.

I-91


Oefening 21 (meervoudig functievoorschrift). Gegeven is de grafiek van een functie. Bepaal het (meervoudig) functievoorschrift dat bij deze functie hoort.

U

y y = f (x) 5 4 3 2 1

−5 U?

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

Oefening 22 (invloed van het domein bij bewerkingen van functies). Gegeven zijn twee functie f en g en een re¨eel getal r. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.

U?

waarbij r ∈ R0

(a)

dom(r · f ) = dom f

(b)

dom(f r ) = dom f

(c)

dom(f + g) = dom f ∩ dom g

dom(f · g) = dom f ∩ dom g Å ã f dom = dom f ∩ dom g g dom |f | = dom f

(d)

waarbij r ∈ R0

(e) (f)

Oefening 23 (functie schrijven als de som van een even en een oneven functie). Gegeven is een functie f met dom f = R. Bewijs dat er precies ´e´en even functie g(x) en ´e´en oneven functie h(x) bestaat waarvoor f (x) = g(x) + h(x).

(∗)

Aanwijzing. Ga uit van de schrijfwijze (∗) en vervang x door −x om de functies g en h te achterhalen.

Oefeningen bij §4 Oefening 24. Ga telkens algebra¨ısch na of de functie inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie. p B (a) f (x) = −3x + 2 B? (d) f (x) = x2 − 25

B??

B

(b) f (x) = x2

B

(c)

B? (e)

f (x) = x3

V

f (x) = (x − 1)3 − 5 x−2 (f) f (x) = x+2

Oefening 25. Ga na of de volgende functie inverteerbaar is: f : [4, +∞[ → R

x 7→ x2 − 6x + 3.

Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie. V

Oefening 26. Stel dat f een functie is die weergeeft hoeveel kilogram wortelen je kan kopen voor een bepaald bedrag x. Als f inverteerbaar is, wat geeft de inverse functie f −1 dan weer?

V

Oefening 27. Gegeven is een lineaire functie f (x) = ax + b

waarbij

a, b ∈ R

en

a 6= 0

(a) Bewijs dat f inverteerbaar is. (b) Geef nodige en voldoende voorwaarden op a en b waarvoor geldt dat f −1 = f . V?

Oefening 28. Gegeven is een homografische functie f (x) =

ax + b cx + d

waarbij

a, b, c, d ∈ R I-92

en

c 6= 0

en

ad 6= bc.


(a) Bewijs dat f inverteerbaar is. (b) Geef nodige en voldoende voorwaarden op a, b, c, d waarvoor geldt dat f −1 = f . U?

Oefening 29 (criterium voor de inverteerbaarheid van een functie). In sommige gevallen kan men de inverteerbaarheid van een functie f aantonen met behulp van de volgende eigenschap: ® (g ◦ f )(x) = x ∀x ∈ dom f f is inverteerbaar ⇔ er bestaat een functie g waarvoor geldt dat (f ◦ g)(y) = y ∀y ∈ bld f en in dat geval is g de inverse functie van f . In (a) wordt gevraagd om een onderdeel van deze eigenschap te bewijzen. En in (b) gebruik je deze eigenschap om de inverteerbaarheid van een concrete functie na te gaan. (a) Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Bewijs dat ® (g ◦ f )(x) = x ∀x ∈ dom f, (f ◦ g)(y) = y

∀y ∈ bld f.

(b) Beschouw de functies

x x en g(x) = . 1 + |x| 1 − |x| Maak gebruik van bovenstaande eigenschap om aan te tonen dat f inverteerbaar is. Je mag steunen op het feit dat bld f = ]−1, 1[. f (x) =

U?

Oefening 30 (inverse van de samenstelling van inverteerbare functies). Zij f en g twee inverteerbare functies. Toon aan dat de functie h = f ◦ g inverteerbaar is, met inverse g −1 ◦ f −1 . Aanwijzing. Maak gebruik van het criterium voor inverteerbaarheid uit Oefening 29.

Oefeningen bij §5 B

Oefening 31. Teken de grafiek van de functie f (x) = sign(1+x)+sign(1−x). Controleer met grafische rekenmachine.

V

Oefening 32. Beschouw de irrationale functie f (x) =

x2 . x

Is f gelijk aan de sign-functie? Verklaar je antwoord. Oefening 33 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995 eerste ronde). Beschouw de volgende uitspraken:

V

b7xc = 7

b7xc = 7bxc

b7 + xc = 7 + x ï 11 ? Hoeveel van deze uitspraken zijn waar voor alle x ∈ 1, 10

b7 + xc = 7 + bxc.

ò

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Oefening 34 (fractional-functie). Voor x ∈ R defini¨eren we het fractioneel deel als

U

def

frac(x) = x − bxc Dit geeft aanleiding tot een nieuwe functie, die we de fractional-functie noemen. (a) Teken de grafiek van de fractional-functie. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine. (b) Komt de fractional-functie overeen met de functie fpart(x) uit de grafische rekenmachine? (c) Beschouw de functies f (x) = bxc + b−xc en g(x) = frac(x) + frac(−x). Teken de grafieken van de functies f , g en f + g. (d) Wat vermoed je, op basis van je resultaat in (c), voor de functie f + g? Bewijs je vermoeden. U

??

Oefening 35 (rekenregels voor de floor-functie). De volgende eigenschappen van de floor–functie zijn uitermate handig om andere eigenschappen te bewijzen. Voor elke twee re¨ele getallen x en n geldt: bxc = n

n≤x<n+1

bxc < n

bxc = n bxc ≥ n

⇔ ⇔

(a)

x−1<n≤x

(b)

x<n

(c)

x ≥ n.

(d)

Bewijs met behulp van deze rekenregels de volgende eigenschap: » √ voor elke b bxcc = b xc I-93

x ∈ R+ .


Hoofdstuk 5

Exponenti¨ ele functies Exponenti¨ele functies worden vooral gebruikt om fysische, chemische, biologische, economische en sociale verschijnselen te modelleren, zoals bijvoorbeeld bevolkingsgroei, intrestberekening, radioactief verval en het verspreiden van een gerucht. We kiezen er dan ook voor om vanuit zo’n model de exponenti¨ele groei in te voeren. Deze opbouw kent een grote analogie met lineaire groei, waar we dan ook mee van start gaan.

5.1

Lineaire groei, lineaire functies (herhaling)

3 Op ontdekking. Een bepaalde soort bamboe groeit in de zomer aan een snelheid van 1, 4 cm per dag. In het begin van de zomer is een bamboeplant 1 m lang. (a) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden. (b) Hoeveel groeit de bamboe elke twee dagen (de groeiterm elke twee dagen)? (c) Wat is de groeiterm elke halve dag? (d) Wat is de lengte van de bamboe na

2 aantal dagen?

(e) Indien we veronderstellen dat de groei van de bamboe op hetzelfde tempo verloopt v´ o´ or het begin van de zomer, bepaal dan de lengte van de bamboe 20 dagen v´ o´ or het begin van de zomer. (f) Op de hoeveelste dag van de zomer is de lengte van de bamboe precies 2m? Bepaal algebra¨ısch en duid de betekenis aan op de grafiek.

bamboe

Oplossing. Noem f (x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van de zomer. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden. . Functievoorschrift: f (x) = ? . Tabel van enkele functiewaarden: x

0

1

2

3

f (x)

...

...

...

...

De y-waarden in deze tabel vormen een rekenkundige rij: om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . optellen. Daarom noemt men a de groeiterm. Omdat a > 0 zegt men dat de lengte van de bamboe lineair groeit. Door het patroon dat we in de tabel herkennen, kunnen we het functievoorschrift afleiden: f (x) = . . . . Grafiek:

y

x

I-94


Dankzij het functievoorschrift kunnen we de vragen beantwoorden.

3 Definitie. Een lineaire functie is een functie f met als voorschrift f (x) = ax + b

waarbij

a, b â&#x2C6;&#x2C6; R

en

a 6= 0

In deze definitie is a 6= 0 want anders is de functie f . . . 3 Eigenschap 1. Zij f (x) = ax + b een lineaire functie. Dan is de grafiek van f van de vorm (voor b > 0):

of

lineaire afname a<0 +1

lineaire groei a>0

y

y

+a

+a b

b

+1

x

x

y = ax + b

y = ax + b

3 Eigenschap 2 (omzetten van som in som). Zij f (x) = ax een lineaire functie. Dan geldt:1 f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )

voor elke

x1 , x2 â&#x2C6;&#x2C6; R.

Bewijs.

1 Een

soortgelijk resultaat is het omzetten van een veelvoud in een veelvoud, dat wordt behandeld in Oefening 3. Men verwijst naar deze twee formules als de lineariteit van de functie f (x) = ax. De lezer gaat moeiteloos na dat de lineariteit niet geldt voor f (x) = ax + b met b 6= 0.

I-95


5.2

Exponenti¨ ele groei, exponenti¨ ele functies

3 Op ontdekking 1. Een bepaalde soort waterlelie groeit in de zomer zo snel dat de totale bladoppervlakte elke dag 18% groter wordt. In het begin van de zomer is de totale bladoppervlakte van een plantje 3 cm2 . (a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden. (b) Mocht de waterlelie het ganse jaar aan dit tempo groeien, wat zou dan de oppervlakte na ´e´en jaar zijn? Vergelijk met de oppervlakte van de aarde (neem aan dat de aarde bolvormig is met straal 6357 km). witte waterlelie

(c) Hoeveel groeit de waterlelie elke twee dagen (de groeifactor elke twee dagen)? En elke 10 dagen? (d) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elk uur? √ (e) Wat is de oppervlakte van de waterlelie na 2 aantal dagen?

(f) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt v´o´or het begin van de zomer, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 20 dagen v´o´or het begin van de zomer. (g) Op de hoeveelste dag van de zomer is de oppervlakte van de waterlelie precies 1m2 ? Bepaal (indien mogelijk) algebra¨ısch en duid de betekenis aan op de grafiek. Oplossing. Noem f (x) de oppervlakte van de plant (in cm2 ) op x dagen na het begin van de zomer. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden. . Functievoorschrift: f (x) = ? . Tabel van enkele functiewaarden: x

0

1

2

3

f (x)

...

...

...

...

De y-waarden in deze tabel vormen een meetkundige rij: om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen. Daarom noemt men a de groeifactor. Omdat a > 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponenti¨eel groeit. Het verband tussen de procentuele toename p = 18 en de groeifactor a wordt gegeven door de formule a=1+

p 100

Door het patroon dat we in de tabel herkennen, kunnen we het functievoorschrift afleiden: f (x) = . . . . Grafiek:

y

x

Dankzij het functievoorschrift kunnen we de vragen beantwoorden.

I-96


3 Op ontdekking 2. Een bepaalde soort waterlelie krimpt in de winter zo snel dat de totale bladoppervlakte elke dag 15% kleiner wordt. In het begin van de winter is de totale bladoppervlakte van een waterlelie 900 m2 . (a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden. (b) Wat is de groeifactor elke twee dagen? En elke maand? (c) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elke minuut? (d) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt v´o´or het begin van de winter, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 10 dagen v´o´or het begin van de winter. Oplossing. Noem f (x) de oppervlakte van de plant (in m2 ) op x dagen na het begin van de winter. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden. . Functievoorschrift: f (x) = ? . Tabel van enkele functiewaarden: x

0

1

2

3

f (x)

...

...

...

...

Opnieuw vormen de y-waarden een meetkundige rij: om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen. Daarom noemt men a de groeifactor. Omdat a < 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponenti¨eel afneemt. Deze keer wordt het verband tussen de procentuele afname p = 15 en de groeifactor a wordt gegeven door de formule p a=1− 100 Door het patroon dat we in de tabel herkennen, kunnen we het functievoorschrift afleiden: f (x) = . . . . Grafiek:

y

x

I-97


Dankzij het functievoorschrift kunnen we de vragen beantwoorden.

3 Definitie. Een exponenti¨ele functie is een functie f met als functievoorschrift f (x) = b · ax

a ∈ R+ 0 \ {1}

met

en

b ∈ R0

In deze definitie is √ . a ≥ 0 want anders is bijvoorbeeld f (1/2) = b · a1/2 = b a = / en analoog f (3/2) = / en f (7/4) = / etc. Bijgevolg zou de grafiek van f oneindig veel perforaties vertonen. . a 6= 0 want anders is f (x) = . . .

dus de functie f is een . . .

. a 6= 1 want anders is f (x) = . . .

dus de functie f is een . . .

. b 6= 0 want anders is f (x) = . . .

dus de functie f is een . . .

3 Eigenschap 1. Zij f (x) = b · ax een exponenti¨ele functie. Dan is de grafiek van f van de vorm (voor b > 0):

of

exponenti¨ele afname 0<a<1 +1

y=b · a

x

exponenti¨ele groei a>1

y

y

·a

·a b

b y = b · ax x

x

Uit de grafiek van een exponenti¨ele functie lezen we de volgende eigenschappen af. (a)

dom f = . . .

en

(b)

Voor 0 < a < 1 is

(c)

Voor a > 1 is

bld f = . . . lim f (x) = . . .

x→−∞

en

lim f (x) = . . .

x→+∞

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . lim f (x) = . . .

x→−∞

en

+1

lim f (x) = . . .

x→+∞

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f . I-98


3 Eigenschap 2 (omzetten van som in product). Zij f (x) = ax een exponenti¨ele functie. Dan geldt f (x1 + x2 ) = f (x1 ) · f (x2 )

x1 , x2 ∈ R.

voor elke

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Onderstaande grafiek stelt de grafiek van een exponenti¨ele functie f voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). Controleer nadien met de grafische rekenmachine.

y y = f (x) 6 5 4 3 2 1

−3

−2

−1

1

2

3

x

Oplossing. Omdat f een exponenti¨ele functie is, wordt het functievoorschrift gegeven door f (x) = b · ax

voor zekere

a ∈ R+ 0 \ {1}

en

b ∈ R0 .

Om de waarden van a en b te vinden hanteren we de meetkundige betekenis van de waarden a en b op de grafiek van f .

I-99


Toepassing - Koolstof-14 datering In 1947 ontdekte Libby een manier om de ouderdom van planten- en dierenresten te achterhalen. Zijn methode staat bekend als koolstof-14 datering en steunt op het radioactief verval van een koolstof-isotoop.2 Op aarde komt het scheikundig element koolstof, met als symbool C, voor in drie isotopen. Dat zijn atomen van koolstof met 6 protonen, maar waarvan het aantal neutronen verschilt. Twee van die drie isotopen zijn stabiel en komen in grote aantallen voor: 12

C heeft 6 neutronen en vormt ongeveer 98, 93% van alle koolstof op aarde;

13

C heeft 7 neutronen en vormt ongeveer 1, 07% van alle koolstof op aarde.

Aan de verhouding van 12 C en 13 C van een plant kan worden gezien welke vorm van fotosynthese de plant gebruikt. Een derde isotoop werd in 1940 ontdekt: 14

C heeft 8 neutronen en vormt nauwelijks 0, 000 000 0001% van alle koolstof op aarde.

Willard Frank Libby (1908 - 1980)

Koolstof-14 is niet stabiel: na enige tijd verandert 14 C door een proces van radioactief verval in andere, stabiele isotopen. Het heeft een halfwaardetijd van ongeveer 5730 jaar. Dat betekent: als we vanaf vandaag 1 gram 14 C ongemoeid laten, dan blijft daar na 5730 jaar nog 0, 5 gram 14 C van over en weer 5730 jaar later 0, 25 gram 14 C. Koolstof-14 ontstaat in de atmosfeer, waar kosmische straling reageert met zuurstof en valt daarna op aarde, waar het onder de vorm van koolstofdioxide in de voedselketen terecht komt. Een organisme in leven neemt koolstofdioxide op en houdt zo het inwendig gehalte koolstof-14 op peil. Maar na het afsterven wordt er geen koolstofdioxide meer opgenomen en neemt de hoeveelheid 14 C af door radioactief verval. Volgend voorbeeld illustreert hoe men een afgestorven organisme kan dateren. 3 Modelvoorbeeld. De halfwaardetijd van

14

C is 5730 jaar.

(a) Wat is de groeifactor en de procentuele afname van (b) Bepaal de groeifactor van

14

14

C per 5730 jaar?

C per jaar. 14

(c) In opgegraven beenderen meet men nog 70% van de oorspronkelijke hoeveelheid C. Wat is de ouderdom van de beenderen? Los grafisch op (afronden tot op 1 jaar nauwkeurig). (d) Men heeft met de koolstof-14 datering de leeftijd van de lijkwade van Turijn trachten te achterhalen. In 1988 trof men in het plantaardig weefsel van het 14 doek 92, 2% van de oorspronkelijke hoeveelheid C aan. In welk jaar zou de lijkwade gemaakt zijn volgens dit resultaat? Los grafisch op (afronden tot op 1 jaar nauwkeurig).3 Oplossing.

negatieven van de lijkwade van Turijn

2 Voor dit werk ontving Libby in 1960 de Nobelprijs voor de Scheikunde, een welverdiende erkenning voor het ontrafelen van de ouderdom van antieke kampvuren en prehistorische skeletten. 3 De lijkwade van Turijn is een eeuwenoud relikwie binnen het christendom. Het is een linnen kleed waarop vaag een beeld van een man te zien is met verwondingen aan de zichtbare hand, zoals ze zouden kunnen ontstaan zijn bij een kruisiging. Volgens sommige christenen is de lijkwade het kleed waarin Jezus werd gewikkeld en begraven nadat hij aan het kruis gestorven was. Het offici¨ ele standpunt van de Katholieke Kerk is dat het om een vervalsing gaat.

I-100


Oefeningen 5 Exponenti¨ ele functies

Basis ?

1 Lineaire groei, lineaire functies

1 2

2 Exponenti¨ele groei, exponenti¨ele functies

4 5 6 7

Verdieping ? ??

??

Uitbreiding ? ?? 3

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18

19 20

21

22 23 24

25 26

Oefeningen bij §5.1 B

Oefening 1. Een bepaalde soort bamboe krimpt in de winter aan een snelheid van 0, 8 cm per dag. In het begin van de winter is de bamboeplant 7 m lang. Noem f (x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van de winter. (a) Bepaal het voorschrift van f (x). (b) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden. (c) Hoeveel krimpt de bamboe elke drie dagen? (d) Hoeveel krimpt de bamboe elk uur? (e) Op de hoeveelste dag van de winter is de lengte van de bamboe precies 6, 5 m? Bepaal algebra¨ısch en duid de betekenis aan op de grafiek.

B

Oefening 2. De volgende grafieken stellen de grafiek van een lineaire functie y = f (x) voor. Bepaal telkens het functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

(a)

(b)

y

y

y = f (x)

y = f (x)

−1

U

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

2

3

4

5

x

−1

−1

1

2

3

4

5

x

−1

Oefening 3 (omzetten van veelvoud in veelvoud). Zij f (x) = ax een lineaire functie. Bewijs: f (kx) = kf (x)

voor elke

k, x ∈ R.

Oefeningen bij §5.2 B

Oefening 4. Bepaal telkens de gevraagde groeifactor en/of procentuele toename of afname. (a) Een spaarrekening groeit met 2, 1% netto per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar. (b) In een bepaalde streek neemt de populatie mussen af met 4% per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar. (c) Het aantal klanten van een firma verdubbelt elk jaar. Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per jaar. (d) Door een gunstige belegging neemt een kapitaal toe met 15% per jaar. Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per week. I-101


B

Oefening 5. David en Katrijn hebben een job gevonden. David verdient 20 euro per uur en krijgt jaarlijks een loonsverhoging van 1 euro per uur. Katrijn verdient 16 euro per uur en krijgt jaarlijks 10% opslag. (a) Noem f (x) het loon (in euro per uur) van David in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van f . Welke soort groei is dit? (b) Noem g(x) het loon (in euro per uur) van Katrijn in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van g. Welke soort groei is dit? (c) Schets de grafieken van f en g in ´e´en assenstelsel. Vanaf welk jaar verdient Katrijn meer dan David (uiteraard afronden op 1 jaar nauwkeurig)? Los grafisch op. Hoeveel verdienen beide dan?

B

Oefening 6. Een land is in oorlog met een buurland en kent daardoor een zeer hoge inflatie. In ´e´en jaar tijd verdrievoudigen de prijzen van de levensmiddelen. Veronderstel dat de prijsstijging exponentieel is. Bereken de groeifactor en de procentuele toename per twee jaar, per kwartaal en per dag.

B

Oefening 7. In een natuurreservaat neemt een bepaalde insectensoort jaarlijks met 10% in aantal af. Op 1 juli 2002 waren er 50 000 insecten. (a) Noem N (t) het aantal insecten t jaar na 1 juli 2002. Bepaal N (t). Welke soort groei is dit? (b) Schets de grafiek van f zonder grafische rekenmachine. Duid duidelijk de beginwaarde en de groeifactor aan. (c) Bereken het aantal insecten op 1 juli 2003 en 1 juli 2004. Uiteraard afronden op 1 insect nauwkeurig. (d) Veronderstel dat het aantal insecten v´ o´ or 1 juli 2002 ook jaarlijks met 10% afnam. Hoeveel insecten waren er dan op 1 juli 1995?

B?

Oefening 8. In Nederland gaat het kabinet in zijn eerste miljardennota uit van een economische groei van 2, 5% per jaar. Als dat zou kloppen voor de hele kabinetsperiode, met welke factor is het nationaal inkomen dan toegenomen bij de verkiezingen van drie-en-een-half jaar later?

B?

Oefening 9. Bart K. Ell koopt een nieuwe auto ter waarde van 20 000 euro. Per jaar verliest deze auto 20% van zijn waarde. (a) Noem f (x) de waarde van de auto na x jaar. Bepaal het functievoorschrift van f . Welke soort groei is dit? (b) Schets de grafiek van f zonder grafische rekenmachine. Duid duidelijk de beginwaarde en de groeifactor aan. (c) Wat is de waarde van de auto na 10 jaar? Gebruik je grafische rekenmachine. (d) Na hoeveel jaar is de auto van Bart minder dan 1000 euro waard? Afronden op 1 jaar nauwkeurig.

B?

Oefening 10. De volgende grafieken stellen de grafiek van een exponenti¨ele functie f voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (bij (a) enkel roosterpunten gebruiken, bij (b) enkel de aangeduide punten).

(a)

(b)

y

y y = f (x)

6

P −2, 45 4

5

−3

−2

−1



12 10

4

8

3

6

2

4

1

2

1

2

3

x

−6 I-102

−4

−2

Q(0, 5)

y = f (x) 2

4

6

x


B?

Oefening 11. In een tank is door een fout 10 kg zout toegevoegd. Men spoelt de tank door het toevoegen van zuiver water en lozen van het verontreinigd product. Op deze manier verdwijnt er per minuut 20% van het aanwezige zout. (a) Bepaal de groeifactor per minuut. (b) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 5 minuten. (c) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 20 seconden. (d) Hoeveel kilogram zout blijft er over na een half uur spoelen? Los algebra¨ısch op. (e) Hoe lang moet men spoelen opdat er minder dan 1 gram zout overblijft? Los grafisch op. Afronden op 1 seconde nauwkeurig.

B??

Oefening 12 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). In 1995 voorziet het Ministerie van Sociale Zaken dat het aantal bejaarden met psychische problemen in de komende 15 jaar zal verdubbelen van 200 000 tot 400 000. Hierdoor moeten meer hulpverleners opgeleid worden. In een voorstudie stelt een socioloog voor de groei van het aantal bejaarden met psychische problemen twee modellen voorop (telkens in functie van t, het aantal jaar na 1995) 3 Model I: lineaire groei 3 Model II: exponenti¨ele groei Beoordeel de volgende uitspraken (juist of fout). (a) Voor t = 22, 5 voorspelt model I precies 500 000 bejaarden met psychische problemen. √ (b) Voor t = 22, 5 voorspelt model II precies 400 000 · 2 bejaarden met psychische problemen. (c) Voor t = 10 voorspelt model I precies 333 333, 33 . . . bejaarden met psychische problemen. √ (d) Voor t = 10 voorspelt model II precies 200 000 · 3 4 bejaarden met psychische problemen. (e) Volgens model II zouden er in 2005 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I. (f) Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I.

B

??

Oefening 13. Iemand neemt een fles limonade van tafel en zet die in de koelkast. Hierdoor neemt de temperatuur van de fles langzaam af. Volgende grafiek geeft het verband tussen de temperatuur van de limonade in graden Celsius en de tijd in minuten vanaf het moment dat de fles in de koelkast is gezet.

(◦ C) y 20 P

15

t

(a) Het voorschrift is van de vorm f (t) = b · a + d. Bepaal het functievoorschrift (enkel P en Q zijn roosterpunten die tot de grafiek van f behoren).

Q

10

(b) Wat is de kamertemperatuur? (c) Wat is de temperatuur in de koelkast? B??

Oefening 14. Gegeven is de functie

y = f (t) 5

f (x) = 3 · 5−x/3 − 2. (a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f . 5

(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = 5x om de functie f te verkrijgen?

10

(c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal bld f . (e) Bepaal de vergelijking van de horizontale asymptoot aan de grafiek van f . I-103

15

t 20 (minuten)


B??

Oefening 15. In gepasteuriseerde melk zijn niet alle schadelijke of tot bederf leidende micro-organismen gedood; hun aantal is zover terug gebracht dat de gekoelde melk een aantal dagen geschikt blijft voor consumptie. Bacillus cereus overleeft in kleine aantallen de pasteurisatie door het vormen van sporen. Na de pasteurisatie transformeren zij zich terug tot gewone bacteri¨en, die zich vervolgens vermeerderen. Daardoor neemt de bacteri¨endichtheid c(t), met als eenheid aantal per ml melk, toe als een exponenti¨ele functie. Die functie hangt sterk af van de temperatuur T van de melk: bij

T = 4◦ C

is

c(t) = c(0) 1, 02t

bij

T = 7◦ C

is

c(t) = c(0) 1, 06t

met t de tijd in uren, waarbij t = 0 het tijdstip van pasteurisatie is en c(0) de dichtheid na pasteurisatie en desporulisatie. De melk is zeker bedorven als c(t) > 107 . Wegens de toxines die Bacillus cereus kan produceren wordt c(t) = 105 als veiligheidsgrens gebruikt. Veronderstel dat c(0) = 10. (a) Bepaal het aantal bacteri¨en na 5 dagen bewaren bij 4◦ C. (b) Bepaal het aantal bacteri¨en na 7 dagen bewaren bij 4◦ C. (c) Na hoeveel dagen bewaren bij 4◦ C is de veiligheidsgrens c(t) = 105 bereikt? Hoe lang duurt dat bij bewaren bij 7◦ C? Afronden op 1 dag nauwkeurig. (d) Met welke factor verleng je de houdbaarheidstijd als je de bewaartemperatuur van 7◦ C naar 4◦ C terug brengt? V

V

Oefening 16. De volgende tabel geeft de groei weer van een aantal grootheden tijdens zes opeenvolgende tijdseenheden. In welke gevallen is er sprake van lineaire toename of afname? In welke gevallen is er sprake van exponenti¨ele toename of afname? t 0 1 2 3 4 5 f (t)

1701

567

189

63

21

7

g(t)

105

118

131

146

163

182

h(t)

29, 7

27, 1

24, 5

21, 9

19, 3

16, 7

Oefening 17. Bepaal de parameters a en b van de functie f (x) = b · ax + 2 zodanig dat de punten A(2, 7) en B(5, 3) op de grafiek van f liggen. Vereenvoudig a en b zoveel als mogelijk.

V

Oefening 18. Veronderstel dat alle regeringen zich gezamelijk ten doel stellen, dat de verdubbeling van de wereldbevolking pas na 50 jaar mag plaatsvinden. Wat is het veronderstelde groeipercentage per jaar?

V?

Oefening 19. Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van de functies f (x) = 2x

V?

2

g(x) = 323x+8 .

en

Oefening 20 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Als een handelaar de prijs van een product met p% verhoogt, met hoeveel procent moet hij dan de nieuwe prijs verlagen om terug bij de oorspronkelijke prijs te komen? (A)

p p 1 − 100

(B) p

(C)

100p 100 − p

(D)

100p 100 + p

V??

Oefening 21 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn. Als de concentratie van stof A met p% toeneemt, met hoeveel procent zal de concentratie van stof B dan afnemen?

U

Oefening 22 (omzetten van veelvoud in macht). Zij f (x) = ax een exponenti¨ele functie. Bewijs: f (kx) = f (x)k

U

voor elke

k, x ∈ R.

Oefening 23 (extrema van functies van de vorm a ). De functie y = 2x is overal stijgend, dat wil zeggen: als x1 > x2 dan is 2x1 > 2x2 . Anders gezegd: hoe kleiner de waarde van de exponent, des te kleiner de functiewaarde. 2 Het minimum van de functie f (x) = 2x −6x+8 wordt dan ook bereikt bij het minimum van x2 − 6x + 8. Bereken algebra¨ısch de co¨ordinaten van het punt P waarin de grafiek van f dit minimum bereikt.

I-104


U

Oefening 24 (exponenti¨ ele regressie). Bij het inschenken van een glas bier ontstaat een schuimkraag. In de onderstaande tabel staat per 20 seconden de hoogte van de schuimkraag. tijd (in seconden)

hoogte van de schuimkraag (in cm)

0 20 40 60 80 100 120 140

3 2, 55 2, 17 1, 84 1, 56 1, 33 1, 13 0, 96

Na het inschenken neemt de hoogte van de schuimkraag exponentieel af in functie van de tijd.

(a) Waarom is er hier geen sprake van lineaire daling? Leg uit dat hier mogelijk sprake is van een exponentieel proces. (b) Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine de best passende exponenti¨ele functie (hoogte van de schuimkraag in functie van tijd) waarvan de grafiek door deze meetpunten gaat. (c) Bepaal, uitgaande van de exponenti¨ele functie in (a), de groeifactor en de procentuele afname per minuut. (d) Bepaal de hoogte van de schuimkraag na 5 minuten. Aanwijzing bij (b). Het idee dat men bij een aantal meetpunten de best passende functie vindt onder de veronderstelling dat het gaat om een exponentieel verband, noemt men exponenti¨ele regressie. We werkwijze om exponenti¨ele regressie uit te voeren met de grafische rekenmachine, is als volgt. 3 Invoeren van de gegevens in een lijst. STAT

EDIT

1:Edit

0

ENTER

20

ENTER

3 Plotten van de meetpunten. 2ND

STAT PLOT

1:Plot1

WINDOW

3 Berekenen van de exponenti¨ele functie door de meetpunten. STAT

CALC

0:ExpReg

CALCULATE

I-105

GRAPH


3 Plotten van de exponenti¨ele functie. VARS

Y=

5:Statistics...

EQ

1:RegEQ

GRAPH

U?

Oefening 25 (samengestelde intrest). Bij samengestelde intrestberekening zet je een kapitaal k uit aan p% per jaar. Daarbij laat je jaar na jaar de verworven intrest ongemoeid. Toon aan dat het totale kapitaal na n jaar gelijk is aan  p n k 1+ . 100

U?

Oefening 26 (logistieke groei). Gewoonlijk kan een populatie niet onbeperkt exponentieel blijven groeien. Op den duur zal de populatie te groot worden voor de omgeving om ze te dragen. Dan treden problemen op zoals ziekte en voedselschaarste waardoor de groei vertraagt. Om dit te modelleren werd het zogenaamd logistiek groeimodel ontworpen: K f (t) = waarbij a > 1, b > 0 en K > b. K−b −t 1+ b a waarbij a de initi¨ele groeifactor voorstelt, b de beginwaarde en K de bovengrens. De grafiek van f neemt de volgende vorm aan: y

K y=

K 1+

K−b b

a−t

b t Eendenkroos kan een vijver volledig dichtgroeien. In een vijver met erg weinig eendenkroos neemt de hoeveelheid eendenkroos toe met 32% per dag. Na verloop van tijd wordt de exponenti¨ele groei getemperd door een gebrek aan ruimte. Daarom wordt de hoeveelheid eendenkroos in functie van de tijd beschreven door een logistiek groeimodel. Stel dat een vijveroppervlak in het begin reeds voor 1/36 bedekt is met eendenkroos. (a) Bepaal het functievoorschrift van de hoeveelheid eendenkroos in functie van de tijd t. (b) Schets de grafiek van deze functie en lees de eventuele asymptoten af. (c) Wanneer is de helft van de vijver dichtgegroeid? Rond af op ´e´en dag nauwkeurig. I-106

vijver met eendenkroos


Inzicht in muziek Het bespelen van een snaar veroorzaakt een vibratie, die men uitdrukt in het aantal trillingen per seconde, de frequentie genaamd. Indien we de snaar niet indrukken, horen we de zogenaamde grondtoon (of eerste harmonische). Bij het bespelen is de frequentie omgekeerd evenredig met de lengte van de snaar: hoe korter de snaar, hoe hoger de frequentie en dus ook de toon komt te liggen. Indrukken van een snaar in het midden zorgt dat de frequentie verdubbelt en dan horen we de eerste boventoon (of tweede harmonische). Indrukken in 1/3, 1/4, etc. geeft de hogere boventonen.

Het octaaf is in de muziek het interval tussen twee tonen waarvoor geldt dat de frequentie van de ene toon precies het dubbele is van die van de andere. Bijgevolg is het interval tussen de grondtoon en de eerste boventoon precies ´e´en octaaf, alsook het interval tussen de eerste boventoon en de derde boventoon. In het Westen stemt men instrumenten af volgens de zogenaamde gelijkzwevende stemming: men zorgt dat elke twee opeenvolgende tonen dezelfde verhouding in frequentie hebben. Bovendien is het gebruikelijk om elk octaaf te voorzien van 12 tonen. Dit is wat men noemt een chromatische toonladder. Kiest men de toonsoort met als grondtoon C, dan loopt zo’n toonladder bijvoorbeeld bij C1 en loopt dan via de halve noten C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B naar C2. Dat zijn precies 12 stappen. De meeste muziekinstrumenten staan gestemd in C majeur, een toonsoort met als grondtoon C.

toonladder van C majeur in muzieknotatie

Om bij een snaar de 12 tonen in het octaaf tussen de grondtoon en de eerste boventoon te laten horen, moeten we een halve lengte in 12 verdelen, zodat elke twee opeenvolgende afstanden dezelfde verhouding a hebben (zie figuur). √ Omdat we na twaalf stappen met 2 hebben vermenigvuldigd, is a12 = 2, zodat a = 12 2.

·2

...

·a 1

grondtoon

2

3

4

5

6

·a ·a ·a

7 8 9 10 11 12

eerste boventoon (octaaf hoger)

Bij een gitaar zijn zogenaamde frets geplaatst, plaatjes bevestigd aan de hals waarop een gitarist zijn vingers plaatst, om zo de snaarlengte te veranderen zodat er een andere toon te horen is. De frets zijn zo over de gitaarhals verdeeld dat elke volgende fret een half noot verschil oplevert. De toon die een snaar genereert welke is ingedrukt op de toets voor de 12e fret, is daarom precies een octaaf hoger dan de toon die de open snaar (zonder de snaar in te drukken) laat horen. En de 12e fret is precies op de helft van de totale lengte van de snaar gelegen. Fret 24 ligt precies op de helft van fret 12 en de brug en genereert ook weer een toon die weer een octaaf hoger is dan bij fret 12 (of twee octaven hoger dan een open snaar bij fret 0). Klassieke gitaren hebben meestal 19 frets. Bij elektrische gitaren varieert het normaal gesproken tussen de 19 en 24 frets. I-107

eerste 4 fretten van een gitaar (C-majeur akkoord)


Students usually find the concept of logarithms very difficult to understand. Bartel Leendert van der Waerden

1957

Hoofdstuk 6

Logaritmische functies Elke exponenti¨ele functie is inverteerbaar en de inverse is wat men noemt een logaritmische functie. Logaritmen ontstaan uit de noodzaak om exponenti¨ele vergelijkingen op te lossen, wat we zullen bespreken in Hoofdstuk 7.

6.1

Inleiding en motivatie

3 Op ontdekking 1. Salvinia Molesta is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1 dm2 van deze plantjes. Los de volgende vragen op, indien mogelijk algebra¨ısch. (a) Na hoeveel weken bedraagt de oppervlakte van de waterplantjes 8 dm2 ? (b) Na hoeveel weken bedraagt de oppervlakte van de waterplantjes 128 dm2 ? Salvinia Molesta op de Finniss rivier, Australi¨e

(c) Na hoeveel weken bedraagt de oppervlakte van de waterplantjes 5 dm2 ?

Oplossing. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in dm2 ) op x weken na de ontdekking. Een tabel van enkele functiewaarden laat een exponenti¨ele groei zien, waaruit we het voorschrift van f kunnen aflezen: . Functievoorschrift: f (x) = . . . . Tabel van enkele functiewaarden: x

−2

−1

0

1

2

3

f (x)

...

...

...

...

...

...

. Grafiek:

y 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1

1

2

3

4

5

Dankzij het functievoorschrift kunnen we de vragen beantwoorden.

I-108

6

7

x


Vraag (c) kunnen we (voorlopig) niet algebra¨ısch oplossen. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we de oplossingen door het snijpunt van f (x) = 2x met g(x) = 5 te zoeken.

Antwoord op vraag (c). Na ongeveer . . . weken en . . . dagen is de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2 . Nabeschouwing. We kunnen dit soort vragen altijd grafisch oplossen. Maar telkens de grafieken plotten, zinvolle vensterinstellingen bepalen en snijpunt laten berekenen is tijdrovend. Daarom zoeken we naar een alternatieve manier om dit soort vragen op te lossen. De functie f (x) = 2x is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . . We zoeken de inverse functie van de functie f . . Functievoorschrift: f (x) = 2x

. Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden:

. Tabel van enkele functiewaarden:

x f (x) = y

−2

−1

0, 25

0, 5

0

1

2

3

y

1

2

4

8

x = g(y)

. Grafiek: y

. Grafiek:

x

y = 2x 7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

−1 −1

1

2

3

4

5

6

7

x

−1 −1

1

2

3

4

5

6

7

y

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt f (x) = y

x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 2 en we schrijven g(y) = 2 log y.1 Zo wordt bovenstaande formule 2x = y

x = 2 log y

x ∈ R, y ∈ R+ 0.

In woorden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................... 1 Lees 2 log y

als de 2-logaritme van y. In de literatuur noteert men naast 2 log y ook log2 y.

I-109


3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebra¨ısch (exacte waarde noteren en verklaring geven). (a)

2

(b)

2

(c)

2

(d)

2

log 8 = . . .

want

8 = 2...

log 32 = . . .

log 1024 = . . .

log 2 = . . .

(e)

2

(f)

2

(g)

2

(h)

2

log 1 = . . .

log 0 = . . . Å ã 1 = ... log 4 log (−8) = . . .

3 Gebruik van de grafische rekenmachine. Het getal 2 log 12 kunnen we op twee manieren met de grafische rekenmachine berekenen.2 MATH A:logBASE(

LOG

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken telkens met behulp van de grafische rekenmachine. (a)

2

(b)

2

log 8 = . . . log 0, 000001 = . . .

(c)

2

(d)

2

log 4096 = . . . log (−3) = . . .

Dankzij logaritmen zijn we in staat om vraag (c) uit Op ontdekking 1 ook algebra¨ısch op te lossen.3 3 Op ontdekking 1 (vervolg). De oppervlakte (in dm2 ) van de waterplantjes wordt beschreven door de functie f (x) = 2x waarbij x staat voor het aantal weken na de ontdekking. (c) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de oppervlakte van de waterplantjes 5 dm2 bedraagt. (d) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de oppervlakte van de waterplantjes 100 m2 bedraagt. Oplossing.

Uiteraard is 2 niet het enige grondtal waarvoor er een logaritmische functie is. In feite kunnen we voor elke a exponenti¨ele functie f (x) = ax met a ∈ R+ 0 \ {1} de inverse functie g(y) = log y beschouwen. In wat volgt gaan we na hoe de grafiek van een logaritmische functie eruit ziet als a < 1. 2 De

tweede werkwijze met LOG steunt op een rekenregel van logaritmen die we in §6.3 zullen aantonen. lezer kan opmerken dat een vergelijking als 2x = 5 oplossen via x = 2 log 5 toch niet algebra¨ısch is, aangezien men gebruik moet maken van de grafische rekenmachine om de waarde van 2 log 5 te kennen. We merken op dat (1) men v´ o´ or de komst van de rekenmachine beschikte over tabellen waarin men benaderde waarden voor getalen zoals 2 log 5 kon opzoeken en (2) men een analoog argument kan √ opwerpen voor het oplossen van een vergelijking zoals x3 = 2, waarbij men de oplossing 3 2 ook pas kent na het opzoeken in een tabel of intikken in de rekenmachine. De benaming algebra¨ısch wijst enkel op het feit dat men de x-waarde(n) expliciet kan uitdrukken aan de hand van gekende functies. 3 De

I-110


3 Op ontdekking 2. Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er slechts de helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1 km2 van deze plantjes. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in km2 ) op x weken na de meting door het instituut. Ook nu heeft de grafiek van f een inverse. . Functievoorschrift: f (x) = . . .

. Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden:

. Tabel van enkele functiewaarden:

−3

x f (x) = y

...

−2 ...

−1 ...

0

1

2

...

...

...

y x = g(y)

. Grafiek:

. Grafiek:

y

x

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

−2 −1 −1

1

2

3

4

5

6

x

−2 −1 −1

−2

1

2

3

4

5

6

y

−2

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt f (x) = y

x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 1/2 en we schrijven g(y) =

1 2

log y. Zo wordt bovenstaande formule Å ãx 1 =y 2

x=

1 2

log y

x ∈ R, y ∈ R+ 0.

3 Modelvoorbeeld 3. Bereken algebra¨ısch (exacte waarde noteren en verklaring geven). Å ã Å ã... 1 1 1 1 1 = ... want = (c) 2 log (−1) = . . . (a) 2 log 16 16 2 Å ã 1 1 1 (b) 2 log = ... (d) 2 log (16) = . . . 64 3 Op ontdekking 2 (vervolg). De oppervlakte (in km2 ) van de waterplantjes wordt beschreven door de functie Å ãx 1 f (x) = 2 waarbij x staat voor het aantal weken na de meting door het biologisch instituut. (a) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de oppervlakte van de waterplantjes 0, 1 km2 bedraagt. (b) Aangenomen dat de waterplant al een tijd is aangetast, bepaal algebra¨ısch hoeveel weken v´o´or de meting de oppervlakte van de plantjes 5 km2 was. Oplossing.

I-111


6.2

Definitie logaritmische functie en eigenschappen

3 Opbouw. Beschouw een exponenti¨ele functie met grondtal a ∈ R+ 0 \ {1} en beginwaarde b = 1, formeel f :R→R

x 7→ f (x) = ax .

Uit de grafiek blijkt dat f een inverteerbare functie is, want bij elke y-waarde hoort hoogstens ´e´en x-waarde. Noem g de inverse functie van f . Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt f (x) = y a

x = g(y) .

We noemen de functie g de logaritmische functie met grondtal a en we schrijven g(y) = log y. Zo wordt de bovenstaande formule 3 Eigenschap 1 (grondformule van logaritmen). Voor a ∈ R+ 0 \ {1} is ax = y

∀x ∈ R, ∀y ∈ R+ 0

x = a log y

Samengevat komen we tot de volgende 3 Definitie.4 Zij a ∈ R+ 0 \ {1}. De logaritmische functie met grondtal a g:R→R

x 7→ g(x) = a log x

is de inverse functie van de exponenti¨ele functie met grondtal a f :R→R

x 7→ f (x) = ax .

3 Eigenschap 2. Elimineren we y (of x) uit de grondformule dan verkrijgen we de handige formule x = a log ax

resp.

a

a

log y

=y

3 Eigenschap 3. Zij g(x) = a log x een logaritmische functie. Dan is de grafiek van g van de vorm:

of

logaritmische afname 0<a<1 y

logaritmische groei a>1 y

y = a log x

y = a log x +1 ·a x

1

1

x

+1 ·a Uit de grafiek van een logaritmische functie lezen we de volgende eigenschappen af. (a)

dom g = . . .

en

bld g = . . .

(b)

Nulwaarden: . . .

(c)

De rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van g.

(d)

Voor 0 < a < 1 is lim g(x) = . . . x→ 0

en voor a > 1 is lim g(x) = . . . x→ 0

>

>

4 Lees a log y

als de a-logaritme van y. In de literatuur noteert men naast grondtal ook wel basis.

I-112

a log y

ook loga y, en gebruikt men in plaats van de term


6.3

Rekenregels voor logaritmen

Op pagina 99 hebben we aangetoond dat een exponenti¨ele functie f (x) = ax een som omzet in een product. Dat blijkt ook uit onderstaande tabel van enkele functiewaarden (links). Na het omkeren van die tabel vinden we de tabel van enkele functiewaarden van de logaritmische functie g(y) = a log y (rechts). Hierin zien we dat een logaritmische functie blijkbaar een product omzet in een som. . Functievoorschrift: f (x) = ax

. Functievoorschrift: g(y) = a log y

. Tabel van enkele functiewaarden:

. Tabel van enkele functiewaarden:

x x

a =y

−1 ...

0

1

...

...

2 ...

y

3 a

...

x = log y

In deze paragraaf bewijzen we deze en soortgelijke rekenregels. + 3 Rekenregel 1 (logaritme van een product). Zij a ∈ R+ 0 \ {1} en y1 , y2 ∈ R0 . Dan is a

log(y1 · y2 ) = a log y1 + a log y2

Bewijs.

Voorbeeld.

4 log 32 + 4 log 2 = . . . | {z } | {z } ?

?

+ 3 Rekenregel 2 (logaritme van een quoti¨ ent). Zij a ∈ R+ 0 \ {1} en y1 , y2 ∈ R0 . Dan is Å ã y1 a log = a log y1 − a log y2 y2

Bewijs.

Voorbeeld.

7 log 63 − 7 log 9 = . . . | {z } | {z } ?

?

I-113


+ 3 Rekenregel 3 (logaritme van een macht). Zij a ∈ R+ 0 \ {1} en y ∈ R0 en r ∈ R. Dan is a

log(y r ) = r · a log y

Bewijs.

Voorbeeld.

5 log 40 −3 5 log 2 = . . . | {z } | {z } ?

?

+ 3 Rekenregel 4 (verandering van grondtal).5 Zij a, b ∈ R+ 0 \ {1} en y ∈ R0 . Dan is a log y b log y = a log b

Bewijs.

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Voorbeeld.

4 log 8 = . . . | {z } ?

Bijzonder geval. Uit Rekenregel 4 volgt b log a =

a

log a

a log b

=

1 a log b

, zodat

b

log a =

1 a log b

.

3 Bijzondere logaritmen. De volgende twee logaritmen staan rechtstreeks op de grafische rekenmachine. . De logaritme met grondtal 10 noemen we de Briggse logaritme en noteren we korter door log x.6 Dus 10 log x = log x . Dat is de logaritme die je op de grafische rekenmachine vindt onder de knop log. Zo is want

log(100) = 2

100 = 102

. De logaritme met grondtal e = 2, 7182818 . . . noemen we de natuurlijke logaritme (of Neperiaanse logaritme) en noteren we korter door ln x.7 Dus e log x = ln x . Dat is de logaritme die je op de grafische rekenmachine vindt onder de knop ln. Zo is want

ln(100) = 4.605517...

100 = e4,605517...

3 Opmerking. In §6.1 zagen we hoe je de bijvoorbeeld het getal 2 log 12 kan berekenen met de grafische rekenmachine. Deze werkwijze berust op Rekenregel 4, omdat 2

10

log 12 =

log 12

10 log 2

=

log 12 . log 2

5 De rekenregel verandering van grondtal wordt ook wel Euler’s Golden Rule genoemd. Het verband tussen logaritmen, de afstand van breedtecirkels in een kaartprojectie van Mercator, de exponenti¨ ele functie ex , de natuurlijke logaritme ln x en de oppervlakte onder de grafiek van de functie 1/x is erg geleidelijk ontdekt en werd voor het eerst door Euler in 1748 helder uiteengezet. Om die reden noemt men het getal e = 2, 7182818 . . . ook wel het getal van Euler. De definitie van het getal e wordt behandeld in Deel Rijen. Voor een meetkundige betekenis van het getal e verwijzen we naar Oefening 39, Deel Afgeleiden en Deel Integralen. 6 Ontwikkeld door Henry Briggs in 1617. 7 Genoemd naar John Napier 1614, alhoewel zijn logaritme NapLog x, op een meetkundige manier gedefinieerd als NapLog(107 (1 − 1/107 )L ) = L, gelijk is aan 1/e log (x/107 ).

I-114


3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebra¨ısch met behulp van de rekenregels (exacte waarde noteren en tussenstappen opschrijven): ã Å Ä √ ä 1 3 2 √ + 2 log 5 2 . log 5 8 Oplossing. Toepassen van Rekenregel 1 geeft alvast: Å ã Å ã √ √ 1 1 3 3 2 log √ + 2 log 5 2 = 2 log √ · 5 2 5 8 5 8 Ç√ å 3 2 = log √ 8 2

Door

√ 3

2 en

8 te schrijven als macht van het grondtal 2, kunnen we Rekenregel 3 toepassen: Ç√ å ã Å 3 √ 2 1 3 2 2 2 + log 5 2 = log √ log √ 5 8 8 = ...

3 Modelvoorbeeld 2. Bewijs de volgende logaritmische identiteit:8 a

log d · b log a · c log b · d log c = 1.

Oplossing. Een succesvolle techniek voor het bewijzen van logaritmische identiteiten is om alle logaritmen naar hetzelfde grondtal te brengen en beide leden te herschrijven. Kiezen we hier het grondtal a, dan wordt het linkerlid LL = a log d · b log a · c log b · d log c = . . .

3 Waarschuwing. Bij het manipuleren van logaritmen moet men toch enige voorzichtigheid aan de dag leggen. Ter illustratie staan aan de linkerkant uitdrukkingen die men soms verkeerdelijk als identiteit aanziet en rechts de correcte identiteiten. a

log (x + y) 6= a log x + a log y

a

log (x − y) 6= a log x − a log y a

log (x · y) 6= a log x · a log y Å ã a log x x a log 6= a y log y

a

want

log x + a log y = a log (x · y) Å ã x a a a log x − log y = log y a a log (x · y) = log x + a log y Å ã x a = a log x − a log y log y

Met de uitdrukkingen a log (x + y), a log (x − y) en a log x · a log y valt in het algemeen niets aan te vangen. 8 Een identiteit is een uitdrukking van de vorm  = 4, die waar is voor alle waarden van a, b, . . . of x, y, . . . die in  of 4 voorkomen en waarvoor de opgave zin heeft. In Modelvoorbeeld 2 is dat voor alle a, b, c, d ∈ R+ 0 \ {1}, hoewel men dat meestal niet specifieert.

I-115


Toepassing - Schrijven van grote machten in wetenschappelijke notatie Sommige getallen zijn zo groot of zo klein dat het onhandig wordt hen in decimale vorm te schrijven, bijvoorbeeld9 5 720 467 000 000 000 000 000 000

en

0, 000 000 0061.

Voor zulke getallen hanteert men de wetenschappelijke notatie, waarbij getallen geschreven worden in de vorm a · 10b

met

a ∈ R en b ∈ Z.

Het getal a noemt men de mantisse (of significant) en b de exponent. Een genormaliseerde versie betekent dat 1 ≤ |a| < 10. Bovenstaande getallen in (genormaliseerde) wetenschappelijke notatie zijn 5, 720 467 · 1024

en

6, 1 · 10−9 .

De meeste rekenmachines en computerrekenpakketten geven zeer grote en kleine getallen weer met behulp van de wetenschappelijke notatie. Op het scherm kunnen exponenten in bovenschrift zoals 107 niet handig worden weergegeven. Daarom wordt een alternatieve manier gebruikt: de letter E, die gelezen wordt als maal tien tot de macht.

Het getal van Avogadro in E-notatie

Voor het omzetten van een macht in wetenschappelijke notatie kunnen logaritmen gebruikt worden, waarbij we steunen op Eigenschap 2 pagina 112, symbolisch:  = 10log  Deze methode werkt ook voor machten die buiten het bereik van de grafische rekenmachine liggen. 3 Modelvoorbeeld. Schrijf 5273 in wetenschappelijke notatie. Oplossing.

9 Het

eerste getal spreek je uit als vijf-quadriljoen zevenhonderdtwintig-triljard vierhonderdzevenenzestig-triljoen. Het grootste getal dat uit 1971 (opgenomen in het Guinness Book of Records). ooit in een serieus wiskundig bewijs werd gebruikt, is het getal van Graham Het verscheen als bovengrens van de oplossing van een probleem uit Ramsey-theorie, een tak van de wiskunde.

I-116


Oefeningen 6 Logaritmische functies

Basis ?

??

Verdieping ? ??

1 Inleiding en motivatie

1 2 3

3

3

3 4

2 Definitie logaritmische functie en eigenschappen

5

5 6

5 7

5 8 9 10

5

11

3 Rekenregels voor logaritmen

12 13 14 15

15 16 17 18 19

15 20 21 22 23

15 24 25 26 27

28 29 30 31 32

33 34

Uitbreiding ? ??

35 36

37 38

39

Oefeningen bij §6.1 B

Oefening 1. Schrijf de oplossing van 3x = 7 als een logaritme.

B

Oefening 2. Los algebra¨ısch de volgende vergelijkingen op. 1 21 =4

(a)

2x = 37

(c)

163t =

(b)

2 · 3x − 9 = 14

(d)

5x

2

Oefening 3. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen (exacte waarde noteren en verklaring geven). Controleer je resultaat met je grafische rekenmachine. Å ã 3 4 B (a) 5 log 625 B?? (e) 2 log 9 ã Å Ä ä √ 5 27 3 ?? 9 B (b) log 3 · 3 B (f) log √ 5 5  B? (c) 4 log 128 V (g) 125 log 533

B? (d)

16

log 8

(h)

V

√ 3 3

log 243

Oefening 4. Zij f (x) = b · ax een exponenti¨ele functie waarvan de grafiek door de punten P (3, 14) en Q(27, 686) gaat. Bepaal algebra¨ısch de waarden van a en b.

V

Oefeningen bij §6.2 Oefening 5. Bepaal algebra¨ısch het domein van de volgende functies. B

(a)

f (x) =

1/3

ã 1−x B (d) f (x) = log 1+x Ä ä 6 1/5 V (e) f (x) = log log x ??

log (x − 1)

(b) f (x) = 2 log(7 − 11x) Ä√ ä B? (c) f (x) = 3 · 0,7 log 6x − 8 + 1 B

B??

2

V? (f) f (x) =

Oefening 6. Gegeven is de functie f (x) =

0,5

10

Å

log

10

log ( 10 log x)



log (x + 3) + 2.

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f . (b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) =

0,5

log x om de functie f te verkrijgen?

(c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal bld f . (e) Bepaal alle asymptoten aan de grafiek van f .

I-117


B?

Oefening 7. De volgende grafieken stellen de grafiek van een logaritmische functie f (x) = a log x + b voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

(a)

(b) y

y 3

1

y = f (x)

2 −1

1

−1

V

1

2

3

4

2

3

4

x

−1

−1

−3

−2

−4

−3

−5

y = f (x)

Oefening 8. De volgende grafiek stelt de grafiek van een logaritmische functie f (x) = a log (x + b) + c voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

y 3

y = f (x)

2 1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1 −2 −3

V

Oefening 9. Schrijf 2 als een macht van 5.

V

Oefening 10. Bepaal telkens het grondtal a.

V??

5

−2

x

5

1

(a)

a

(b)

a

log 9 = 2

(c)

log 64 = 3

(d)

1 2 a log 3 = −1

a

log 5 =

Oefening 11. Gegeven zijn de functies f (x) = 3 log (x − 1)

… en

Bepaal algebra¨ısch het domein van de functie g ◦ f .

I-118

g(x) =

x . x−1

5

6

x


Oefeningen bij §6.3 B

Oefening 12. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels (exacte waarde noteren en tussenstappen opschrijven). Å ã 1 (a) 2 log 12 + 2 log (e) 7 log 63 − 7 log 9 3 ã Å  1 √ (f) 2 log 52 + 2 log 12 − 2 log 75 (b) 2 log 6 8 32 9 (c) log 27 (g) 5 log 40 − 3 5 log 2 Ä √ ä log 10 10 √ 3 (d) (h) 0,04 log 5 log 0, 1

B

Oefening 13. Schrijf 20102 in wetenschappelijke notatie.  Oefening 14. Bepaal x waarvoor 2 log 2 log x = 2.

B

Oefening 15. Bewijs de volgende logaritmische identiteiten. Å ã 1 B (a) a log = − a log y y B

(b)

1 a log y

B? (c)

b2

B? (d)

xy

B?? (e)

mn

B?? (f)

a

1

+

log a ·

b log y x2

log b = x

log a =

=

1 ab log y

1x log a 4

log a · y log a + y log a

x log a n

log x =

log x 1 + n log m

log x · b log x + b log x · c log x + c log x · a log x =

V

(g) aln b = bln a

V

(h)

1 1/a log (pq)

+

pq

log (10a) =

B

?

B?

Oefening 16. Schrijf log

a

log x · b log x · c log x abc log x

1 log p + log q

5(x − 3)3 als een som van logaritmen. x+2

Oefening 17. Als gegeven is dat a, b, c, d ∈ R+ 0 , bereken dan

x

log a = 2,

x

log b = 3, … x

log

3

x

log c = 4 en

x

log d = 5 waarbij x ∈ R+ 0 \ {1} en

ab2 . cd4

1 (log 125 + 8 log 6 − 3 log 121) als ´e´en logaritme. 2

B?

Oefening 18. Schrijf

B?

Oefening 19. Bereken algebra¨ısch met behulp van rekenregels (exacte waarde noteren en tussenstappen opschrijven): 4 2 − 4 . log 5 log 5

B??

Oefening 20. Het aantal salmonellabacteri¨en op een stuk vis dat niet koel bewaard wordt neemt exponenti¨eel toe. Na 3 uur vindt men 2500 bacteri¨en, na 8 uur 7000. (a) Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per uur. (b) Hoeveel bacteri¨en bevinden zich op de vis na 20 uur?

B??

Oefening 21. Gegeven is een functie f (x) = a · bcx met a, b, c ∈ R en a > 0, b > 0, b 6= 1 en c 6= 0. Toon aan dat ln f een eerstegraadsfunctie is in x. Salmonella typhimurium

I-119


B??

Oefening 22. Onderzoek heeft uitgewezen dat het risico op het hebben van een auto-ongeval exponentieel stijgt met de hoeveelheid alcohol in het bloed. (a) Schrijf een functie op die het verband aangeeft tussen R (risico, uitgedrukt in een percentage) en b (hoeveelheid alcohol in het bloed, uitgedrukt in promille). (b) Indien bij b = 0 (helemaal geen alcoholische dranken genuttigd) het risico R = 1 en bij b = 1, 4 het risico R = 20 is, bereken dan het risico bij 0, 5 promille en bij 0, 8 promille.

B??

Oefening 23. Toon aan dat de uitdrukking a log 27 + a log (275 ) − 3 · a log 0, 125 a log 3 + a log 6 onafhankelijk is van a ∈ R+ 0 \ {1}.

V

Oefening 24. Gegeven zijn de afschattingen log 2 ≈ 0, 301 en log 3 ≈ 0, 477. Bereken algebra¨ısch (bij benadering) de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels en deze afschattingen. Tussenstappen opschrijven! √ (a) log 1, 5 (d) log 2 (b) (c)

V

log 0, 16 Å ã 10 log 9

(e) (f)

Oefening 25. Gegeven is de functie

log 500 Å ã 1 log 13 + 3

 f (x) = 3 log 3x2 .

Kunnen we de functie f verkrijgen door transformaties uit te voeren op de functie g(x) = 3 log x? Verklaar. V

Oefening 26. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels (exacte waarde noteren en tussenstappen opschrijven). √ (a) e5 ln 3 (c) e3 ln 7 · ln 49 e Ä 1ä √ 7 5 (b) e−2 ln 5 · ln e2 (d) 72 · log 3 · 3 log 3 33

V

Oefening 27. Vereenvoudig

V?

Oefening 28. Bepaal x als je weet dat

V?

Oefening 29. Bewijs algebra¨ısch de volgende uitdrukkingen. Å» Å» » » √ √ ã √ √ ã 1 log 5 = log (a) 6 + 2 5 + 6 − 2 5 − log 6+2 5− 6−2 5 2 Å» Å» » » √ √ √ ã √ √ ã (b) log 5 = log 9 + 3 5 + 9 − 3 5 − log 9+3 5− 9−3 5

V?

Oefening 30. De intensiteit van een aardbeving wordt weergegeven op de schaal van Richter. Het verband tussen deze intensiteit M en de vrijgekomen energie E (in joules) wordt gegeven door log E = 4, 4 + 1, 5 M .10

ab

Ä cä log ab . √ 3

2

log

2 = x.

(a) Bepaal de energie E die vrijgekomen is na de aardbeving in San Francisco op 18 april 1906 die een intensiteit had van 7, 8 op de schaal van Richter. (b) Als de vrijgekomen energie van een eerste aardbeving 10 keer groter is dan die bij een tweede aardbeving, wat is dan het verband tussen de intensiteit van deze twee aardbevingen?

Stockton Street San Francisco, 1906

(c) Onderstel dat de intensiteit van twee aardbevingen met 1 verschilt op de schaal van Richter, wat is dan de verhouding van de vrijgekomen energie van de krachtigere aardbeving ten opzichte van de minder krachtige aardbeving? Aanwijzing bij (b) en (c). Noteer M1 resp. M2 voor de intensiteit en E1 resp. E2 voor de vrijgekomen energie bij de eerste resp. tweede aardbeving.

10 De

schaal van Richter werd in 1935 ontwikkeld door de seismologen Charles Francis Richter

I-120

en Beno Gutenberg

.


V?

Oefening 31. Gegeven is de functie a

f (x) =

log x

b log x

a, b ∈ R+ 0 \ {1}.

waarbij

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f . (b) Toon aan dat f (x) onafhankelijk is van x ∈ dom f . (c) Maak een schets van de grafiek van f . V

?

V??

Oefening 32. Gegeven is een meetkundige rij van strikt positieve re¨ele getallen (un ) = u1 , u2 , u3 , . . .. Bewijs dat voor a a a elke a ∈ R+ 0 \ {1}, de rij (vn ) = log u1 , log u2 , log u3 , . . . een rekenkundige rij is. Oefening 33 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1990 tweede ronde). 10 x+y Als x, y > 0, logy x + logx y = en xy = 144, dan is = 3 2 √ √ (B) 13 3 (C) 24 (D) 30 (A) 12 2 y

log x

x

log y

(E) 36

V??

Oefening 34. Zij x en y positieve re¨ele getallen waarvoor x

U

Oefening 35 (verdubbelingsprincipe van een exponenti¨ ele functie). Zij f (x) = b · ax een exponenti¨ele functie. Bewijs dat de waarde van f (x) verdubbelt over elk interval van lengte L = a log 2.

U

Oefening 36 (toepassing van het getal e). Een fabrikant van zwavelzuur heeft een tank van 500 liter gevuld met een oplossing die bestaat uit 125 liter zuur en 375 liter water. De fabrikant wil de tank spoelen door er zuiver water aan toe te voegen met een snelheid van 120 liter per minuut. Om te vermijden dat de tank overloopt, wordt het mengsel onderaan afgetapt met een snelheid van 120 liter per minuut (zie figuur). Men kan aantonen dat de hoeveelheid zuur (in liter) die overblijft gelijk is aan11

= 2 en y

= 16. Bepaal x.

f (t) = 125 e−120/500 t met t de tijd (in minuten) nadat met het spoelen is begonnen. (a) Bepaal de groeifactor per minuut en de procentuele afname per minuut. (b) Hoeveel liter zuur blijft er over na een half uur spoelen? (c) Hoe lang moet men spoelen opdat de oplossing in de tank voor 99% uit water bestaat? Los algebra¨ısch op. Afronden op 1 seconde nauwkeurig. U?

Oefening 37. Voor n ∈ N0 houdt log n verband met het aantal cijfers in de decimale voorstelling van n, zo blijkt uit de onderstaande tabel (vul aan). n

log n

aantal cijfers van n

1

...

...

9

...

...

10

...

...

99

...

...

100

...

...

999

...

...

1000

...

...

(a) Geef het verband tussen log n en het aantal cijfers van n ∈ N0 . (b) Bepaal het aantal cijfers van het getal 1324 en 5273 . (c) Het grootste priemgetal tot op heden bekend werd in 2016 ontdekt en is gelijk aan12 274 207 281 − 1. Bepaal het aantal cijfers van dit getal. 11 Voor

een verklaring verwijzen we naar Deel Integralen. bewoording tot op heden bekend hoort hier opgevat te worden als tot op het moment dat deze cursus aangepast werd (29 juni 2017). De Electronic Frontier Foundation looft 150 000 dollar uit voor de vinder van een priemgetal met tenminste 100 miljoen cijfers. 12 De

I-121


U?

Oefening 38 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993 tweede ronde). Als log2 (log2 (log2 (x))) = 2, hoeveel cijfers bevat de decimale voorstelling van het getal x dan? Er is gegeven dat log 2 â&#x2030;&#x2C6; 0, 301. (A) 5

U??

(B) 7

(C) 9

(D) 11

(E) 13

Oefening 39 (betekenis van de natuurlijke logaritme). De oppervlakte onder de grafiek van de functie f (x) = 1/x gedraagt zich als een logaritme, zo blijkt uit deze oefening.13 Voor t â&#x2030;Ľ 1 noemen we A(t) de oppervlakte tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = 1 en x = t. (a) Schets de grafiek van f (x) = 1/x en duid A(2) aan.

(b) Voer op de functie f (x) = 1/x de volgende transformaties uit: 3 rek uit volgens x-as met factor 1/3 3 rek uit volgens y-as met factor 3 en schets bij elke transformatie de grafiek van de nieuwe functie, alsook de getransformeerde oppervlakte uit (a). (c) Leid uit (b) af dat A(2 ¡ 3) = A(2) + A(3), waaruit blijkt dat de oppervlaktefunctie A : R â&#x2020;&#x2019; R : t 7â&#x2020;&#x2019; A(t) zich gedraagt zoals een logaritmische functie a log t. Opmerking. Men kan aantonen dat het grondtal a van de logaritmische functie uit (c) gelijk is aan e = 2, 7182818 . . .. Dit betekent dat de oppervlakte onder de hyperbool zich gedraagt zoals de natuurlijke logaritme ln x. Vandaar de benaming natuurlijke logaritme.

Inzicht in mariene biologie Dat exponenti¨ele en logaritmische functies een rol spelen in de oceanografie wordt toegelicht met volgend voorbeeld.14 Een lichtstraal bevat energie per m2 . Door die energie te vermenigvuldigen met de snelheid waarmee de lichtstraal (en dus de energie) beweegt, bekomt men de intensiteit van de lichtstraal. Zo daalt de intensiteit van een lamp wanneer we het licht dimmen. Wanneer een lichtbundel met een zekere intensiteit I0 door een absorberend materiaal valt, zal de bundel bij het verlaten van het materiaal een lagere intensiteit I1 hebben. De wet van Lambert-Beer stelt dat de doorgelaten intensiteit exponenti¨eel afneemt met de dikte d van het materiaal en de concentratie c van de stof.15 Dat de intensiteit exponenti¨eel afneemt met de dikte, is te begrijpen door het materiaal in gedachten op te bouwen uit een aantal lagen van gelijke dikte. Wanneer elke laag p% doorlaat, verkrijgen we na de eerste laag: intensiteit A = (1 â&#x2C6;&#x2019; p/100) ¡ I0

Intensiteit van een lichtstraal neemt exponenti¨eel af. 2

na de tweede laag: intensiteit B = (1 â&#x2C6;&#x2019; p/100) ¡ A = (1 â&#x2C6;&#x2019; p/100) ¡ I0 3

na de tweede laag: intensiteit C = (1 â&#x2C6;&#x2019; p/100) ¡ B = (1 â&#x2C6;&#x2019; p/100) ¡ I0

waarin we duidelijk een exponenti¨eel verband zien. Analoog kan men inzien dat de intensiteit ook afneemt met de concentratie c van de stof. Voor vloeistoffen wordt de wet van Lambert-Beer geschreven als I1 = I0 10â&#x2C6;&#x2019;c d waarbij  staat voor de extinctieco¨effici¨ent, een eigenschap van de absorberende stof zelf. Toegepast op water verkrijgt men het verband

I1 = I0 10â&#x2C6;&#x2019;0,13 d

met d de diepte in meters. Zo kan een waterplant die genoeg heeft aan 10% van het daglicht aan de oppervlakte groeien op een diepte van Ă&#x2026; ĂŁ 1 I1 1 1 d=â&#x2C6;&#x2019; log =â&#x2C6;&#x2019; log 0, 1 = â&#x2030;&#x2C6; 7, 7 m. 0, 13 I0 0, 13 0, 13 13 Ontdekt

door Gr´ egoire de Saint-Vincent 1647. door [47, pagina 28] en gebaseerd op relevante paginaâ&#x20AC;&#x2122;s uit http://en.wikipedia.org/ . Mariene biologie is die tak van de biologie die zich bezighoudt met leven in de zee¨ en en oceanen. Het is een subtak van de oceanografie of zeekunde. 15 Deze wet werd ontdekt door Pierre Bouguer 1729 en ten onrechte toegekend aan Johann Heinrich Lambert die wel het werk van Bouguer citeerde. Later veralgemeende August Beer de wet in 1852. Tegenwoordig wordt deze wet gebruikt in de UV/VISspectroscopie, een chemische analysetechniek waarbij de concentratie van een bepaalde stof in een te analyseren monster bepaald wordt door de absorptie van zichtbaar licht (VIS = visible) of van ultraviolet licht (UV-licht) te meten. 14 Ge¨ Äąnspireerd

I-122


Hoofdstuk 7

Exponenti¨ ele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden Exponenti¨ele en logaritmische vergelijkingen kennen veel praktische toepassingen buiten de wiskunde. Voorbeelden hiervan zijn de berekening van samengestelde rente, radioactief verval en bevolkingsgroei.

7.1

Exponenti¨ ele vergelijkingen en ongelijkheden

In een exponentiele vergelijking of ongelijkheid komen machten van de vorm a voor, met  een functie in bijvoorbeeld x of t. Voorbeelden van exponentiele vergelijkingen zijn 2

100 (0, 99)t = 50

en

3x+1 − 2 = 9x

en

3x−1 =

Å ã3x+1 1 . 4

Voor het oplossen van zo’n exponenti¨ele vergelijking bespreken we drie technieken. 3 Modelvoorbeeld 1. Los algebra¨ısch op:

2

100 (0, 99)t = 50. Oplossing. We herschrijven de vergelijking in de vorm a = b: 2

100 (0, 99)t = 50

2

0, 99t =

1 . 2

We vinden t2 door van beide leden de logaritme te nemen:1 2

100 (0, 99)t = 50

2

1 2

0, 99t =

Å ã Ä ä 2 1 log (0, 99)t = log 2

...

Techniek 1. . Schrijf de vergelijking in de vorm a = b. . Neem de log van beide leden.

Hoe kunnen we onze oplossing(en) controleren?

1 Het grondtal van die logaritme mag vrij gekozen worden, al verdienen de grondtallen 10 en e een lichte voorkeur omdat die logaritmen log en ln als knop op de grafische rekenmachine staan.

I-123


3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden die voldoen aan 3x+1 − 2 = 9x . Oplossing. Techniek 1 is niet van toepassing, omdat de vergelijking niet naar de vorm a = b kan gebracht worden. Waarom is het trouwens niet verstandig om van beide leden de log te nemen?

Om deze vergelijking algebra¨ısch te kunnen oplossen, hebben we een nieuw inzicht nodig. We herkennen in het grondtal 9 een macht van 3, zodat we de vergelijking kunnen herschrijven als x 3x+1 − 2 = 9x ⇔ 3x+1 − 2 = 32 ⇔

3x+1 − 2 = 32x

Het idee is nu dat we beide leden uitdrukken in 3x . Vervangen we nadien 3x door t, dan herleid de exponenti¨ele vergelijking zich tot een tweedegraadsvergelijking. 3x+1 − 2 = 9x

3 · 3x − 2 = (3x )

...

2

noem t = 3x

Techniek 2. . Druk de vergelijking uit in a . . Noem t = a

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden die voldoen aan (resultaat vereenvoudigen en exacte waarde geven): Å ã3x+1 1 x−1 . 3 = 4 Oplossing. Techniek 2 is niet van toepassing, omdat we in het grondtal 1/4 niet meteen een macht van 3 herkennen. Maar we kunnen wel van beide leden de log nemen. Op die manier wordt de exponenti¨ele vergelijking een eerstegraadsvergelijking: x−1

3

Å ã3x+1 1 = 4

Techniek 3. . Schrijf de vergelijking in de vorm a = b4 . . Neem de log van beide leden.

...

3 Opmerking. Voor wat betreft het algebra¨ısch oplossen van exponenti¨ele ongelijkheden, volgen we de technieken uit de vorige hoofdstukken. Bijvoorbeeld, de ongelijkheid Å ã1−x Å ã1−x 2 2 1 1 23x−x > ⇔ 23x−x − >0 8 8 | {z } f (x)

lost men op door een tekentabel te maken van de functie f (x) in het linkerlid. Daartoe zoekt men eerst de nulwaarden, waarbij men een exponenti¨ele vergelijking moet oplossen. Eens de nulwaarden gevonden zijn (hier √ ± 3), plaatst men die in een tabel en vindt men de tekens door tussenliggende x-waarden in te vullen (ga na): √ √ x − 3 3 f (x) − 0 ó √ √ î hetgeen de oplossingsverzameling − 3, 3 oplevert. I-124

+

0


7.2

Logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden

In een logaritmische vergelijking of ongelijkheid komen logaritmen van de vorm bijvoorbeeld x of t. Voorbeelden van logaritmische vergelijkingen zijn 3 · 5 log (x2 + 9) + 2 = 8

3

en

log (x + 2) + 2 ·

1/9

a

log  voor, met  een functie in

log (x2 + 4x) = −1.

Voor het oplossen van zo’n logaritmische vergelijking bespreken we twee technieken. 3 Modelvoorbeeld 1. Los algebra¨ısch op: 3 · 5 log (x2 + 9) + 2 = 8. Oplossing. We herschrijven de vergelijking in de vorm a log  = b: 5

2

3 · log (x + 9) + 2 = 8

5

Techniek 1.

2

log (x + 9) = 2

. Schrijf de vergelijking in de vorm a log  = b.

2

We vinden x + 9 door beide leden te verheffen tot de macht 5: 3 · 5 log (x2 + 9) + 2 = 8

5

5

...

. Verhef beide leden tot de macht a.

log (x2 + 9) = 2 5

log (x2 +9)

= 52

Hoe kunnen we onze oplossing(en) controleren? 3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden die voldoen aan 3

log (x + 2) + 2 ·

1/9

log (x2 + 4x) = −1

Oplossing. Techniek 1 is niet meteen van toepassing, omdat de vergelijking niet meteen naar de vorm a log  = b kan gebracht worden. We kunnen wel alle logaritmen schrijven met hetzelfde grondtal 3: 3

log (x + 2) + 2 ·

1/9

log (x2 + 4x) = −1

Techniek 2. . Schrijf alle logaritmen met grondtal a.

. Gebruik de rekenregels log (x2 + 4x) om de vergelijking in de = −1 3 log (1/9) vorm a log  = b te 3 2 log (x + 4x) schrijven. ⇔ 3 log (x + 2) + 2 · = −1 −2 ⇔ 3 log (x + 2) − 3 log (x2 + 4x) = −1. Door het toepassen van de rekenregels voor logaritmen kunnen we de vergelijking toch naar de vorm a log  = b brengen, zodat we Techniek 1 kunnen toepassen. ⇔

3

log (x + 2) + 2 ·

3

log (x + 2) + 2 ·

3

1/9

log (x2 + 4x) = −1

3

log (x + 2) − 3 log (x2 + 4x) = −1

...

Controleer je oplossing(en). Waarom is ´e´en van de eindresultaten toch geen oplossing? Wil je in het vervolg bij elke overgang een dubbele implicatie ⇔ schrijven, dan moet je in het begin van de oefening de bestaansvoorwaarden noteren en achteraf de oplossingen controleren. In dit voorbeeld is dat BV: x + 2 > 0 BV: x2 + 4x > 0 I-125


Oefeningen 7 Exponenti¨ ele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden

Basis ?

??

Verdieping ? ??

1 Exponenti¨ele vergelijkingen en ongelijkheden

1 2 3

2 3 4

2 3 5

2 6

2 Logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden

7 8 9

8 9

8 9 10

8 11 12

13 14

Uitbreiding ? ??

15

16

Oefeningen bij §7.1 Oefening 1. Los telkens op met behulp van je grafische rekenmachine. x x (a) 32 = 3(2 ) Å ãx−2 1 (b) 2x − 5 < 3 · −1 2

B

Oefening 2. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele √ B (a) 34x+1 = 9 3 1 B (b) = 1252−x 52x B? (c) 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 121 2x + 3 B? (d) = 11 x+1 2 − 15

vergelijkingen op. B?? (e)

8x+1 + 8 · 4x = 5 · 2x−1

B?? (f)

81 · 3 4

x

− 3x−2 = 0

−2x2 +1

= 3x

t

t

V

(g)

5x

V

(h)

327 = 273

4

−2x2 +1

Oefening 3. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele ongelijkheden op. Å ã2x−1 1 >1 3 x−1 1 B? (b) 4 x+4 ≤ 256

B

B?

(a)

Å ã1−x 1 8 2 + 3x+1 < 3x 2

B? (c)

23x−x >

B?? (d)

9−x

Oefening 4. Luchtschepen kunnen gebruikt worden om reclame te maken. Het gas waarmee een luchtschip gevuld is moet regelmatig aangevuld worden. Stel het verband tussen de hoeveelheid gas in een luchtschip en de tijd in dagen wordt gegeven door f (t) = 3000 · (0, 98)0,1 t . (a) Bepaal de procentuele afname per tien dagen. (b) Om te kunnen vliegen moet er minimaal 2400 m3 gas aanwezig zijn. Bepaal algebra¨ısch na hoeveel dagen het gas aangevuld moet worden.

B??

luchtschip

Oefening 5. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de vergelijking 1 = 0, 8. 1 + 15e−0,4 t

V

Oefening 6. Een laboratoriummedewerker heeft op zijn eerste werkdag veel tijd nodig voor het uitvoeren van een kwaliteitscontrole. De tijd v1 (t) (in minuten) die nodig is voor een controle als de medewerker t minuten ervaring heeft, kan worden gemodelleerd als: v1 (t) = 30 + 18−0,04 t . Voor een andere medewerker geldt

v2 (t) = 25 + 27t−0,2 .

(a) Hoeveel tijd heeft elk van de medewerkers nodig voor een controle na ´e´en uur werkervaring? (b) Hoeveel werkervaring hebben beide medewerkers nodig om precies dezelfde tijd nodig te hebben om een controle uit te voeren? Afronden op 1 uur nauwkeurig. (c) Welke van de medewerkers zal op den duur het snelst werken? Verklaar algebra¨ısch. I-126


Oefeningen bij §7.2 Oefening 7. Los telkens op met behulp van je grafische rekenmachine.

B

(a) x = x log 0, 8 (b)

1 2

log (x + 3) + 2 ≥ 3 log (−x + 5)

Oefening 8. Los algebra¨ısch de volgende logaritmische vergelijkingen op. B

(a)

B

(b)

B? (c)

1/2

B?? (d)

log (2x) = 3

2 · 3 log (x + 4) −3 log (4x − 11) = 2 1 1 2 log (x + 2) + 2 log = 2 log (7 − x) 8

B?? (e) (f)

V

4

log x · x log 7 = 3 · 2 log x + 8 log (x3 )

y = ln(2 − ey ) − ln 3 x+1

log 8 = log(500x + 500)

Oefening 9. Los algebra¨ısch de volgende logaritmische ongelijkheden op. (a)

5

B (b)

3

B ?

B? (c)

log (3 − x) ≥ 7 2

??

log (x − 3) < 0

1 3

B (d) x

log (x − 2) ≥ −2

log 2

>8

B??

Oefening 10 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los de volgende vergelijking op 10 log (7x − 9)2 + 2 · 10 log (3x − 4) = 2

V

Oefening 11 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los de volgende logaritmische vergelijking op  2 5 5 5 log x + 5 log 30− log 3 = 5 log x6 + 26

V

Oefening 12 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 tweede ronde). Voor hoeveel gehele getallen is Å ã x(10 − x) log < 0. 16 (A) 1

V?

V?

(B) 2

(C) 5

Oefening 13. Los algebra¨ısch de volgende logaritmische vergelijkingen op: Å ã  1 0,5 log 0,5 log x = 0,5 log 2 − · 0,5 log x + 1 + 3

(E) oneindig veel

0,5

log 2.

Oefening 14. Los algebra¨ısch de volgende logaritmische ongelijkheid op: 1 3

V??

(D) 9

log (4x) <

1 3

log (x − 1) − 2.

Oefening 15 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). ® 10 Los het volgend stelsel op: log x + 3 · 1000 log y = 2 y 2 − 300 = 4x2 .

U?

Oefening 16 (beperkte groei, beperkte afname). Een wiskundig model voor de opwarming of afkoeling van een voorwerp is het beperkte groei- of afnamemodel T (t) = M − (M − c)e−kt met M > c (beperkte groei) of M < c (beperkte afname) en k > 0, en waarbij T (t) staat voor de temperatuur van het voorwerp op tijdstip t en M staat voor de omgevingstemperatuur. Een kopje koffie heeft onmiddellijk na het inschenken een temperatuur van 80◦ C. De temperatuur T (in graden Celsius) in functie van de tijd t (in minuten) van de koffie kan berekend worden met de functie T (t) = 20 + 60 · (0, 881)t . (a) Ga algebra¨ısch na dat de begintemperatuur inderdaad 80◦ C is. (b) Bereken de temperatuur van de koffie na 10 minuten. (c) Eva vindt koffie lekker als de temperatuur tussen 45◦ C en 55◦ C is. Bepaal algebra¨ısch hoe lang Eva de koffie lekker vindt. Afronden op 1 seconde nauwkeurig. (d) Bepaal de kamertemperatuur door middel van een limiet algebra¨ısch te berekenen. I-127


Inzicht in scheikunde Dat sommige zuren en basen gevaarlijk corrosief kunnen zijn, was al bekend in de oudheid. Wordt een zuur met een base gemengd, dan neutraliseren ze elkaar en vormen ze een zout. Zo wordt bijvoorbeeld keukenzout (natriumchloride) gevorm door de base natriumhydroxide met het zuur waterstofchloride (zoutzuur) te mengen: NaOH + HCl → NaCl + H2 O. Bij deze reactie komt er naast energie ook water vrij, molecuulformule H2 O. In de 19e eeuw ontdekte men dat het zuur het waterstofion H+ levert en de base het resterende deel van het watermolecuul in de vorm van een negatief geladen hydroxide-ion OH− geeft. Een zuur kan worden gezien als een stof die waterstofionen doneert en een base als een stof die waterstofionen opneemt. In de loop van de 18e eeuw kwamen wetenschappers tot het besef dat de zuurtegraad een belangrijke rol speelt bij het beschrijven van chemische processen. Men zocht dan ook naar een manier om de zuurtegraad van een oplossing te kunnen meten. In 1904 stelde de chemicus Hans Friedenthal een systeem voor dat gebaseerd was op de concentratie waterstofionen H+ . Daarbij stootte hij op het probleem dat het bereik van die concentratie enorm groot is: sommige zuren hebben een concentratie waterstofionen die ongeveer 100 biljoen keer hoger is dan de concentratie van sommige basen. Daarom bedacht de Deense chemicus Søren Sørensen in 1909 de zogenaamde pH-schaal, een logaritmische schaal die toelaat om de zuurtegraad van oplossingen met kleinere getallen weer te geven. Hieronder beschrijven we zijn redenering. Voor elke waterige oplossing op 25◦ C is het de concentratie aan H3 O+ en de concentratie aan OH−  product  van−14 + − −14 gelijk aan 10 mol/l, in symbolen: H3 O · OH = 10 .2 Nemen we van beide leden de logaritme met grondtal 10 (ook wel Briggse logaritme genoemd), dan leidt de rekenregel voor de logaritme van een product ons tot de relatie:     log H3 O+ + log OH− = −14. (1) We laten nu zien wat deze formule betekent voor zuiver water, sterke zuren en sterke basen.

(a) Zuiver water bevat een gelijke concentratie aan H3 O+ en aan OH− . Omdat het product van die concentraties gelijk is aan 10−14 mol/l, moeten beide concentraties gelijk zijn aan 10−7 mol/l. Vergelijking (1) wordt dan: (−7) + (−7) = −14. (b) Sterke zuren hebben, in vergelijking met zuiver water, veel meer waterstofionen H + . Bij wijze van voorbeeld nemen we een zuur met een concentratie van 10−1 = 0, 1 mol/l aan H3 O+ . Dat is veel meer dan de concentratie van 10−7 = 0, 000 000 1 mol/l aan H3 O+ bij zuiver water. Vergelijking (1) levert nu: (−1) + (−13) = −14. Men heeft ervoor gekozen dat de waarden op de pH-schaal positief zijn, dat zuren een lage positieve waarde op de pH-schaal hebben en basen een hoge positieve waarde. Aan dit zuur hecht men dus de waarde 1 op de pH-schaal. (c) Sterke basen hebben een hoge concentratie aan hydroxide-ionen OH− en dus weinig waterstofionen H+ . Zo wordt voor een base met een concentratie van 10−2 = 0, 01 mol/l aan OH− vergelijking (1) nu: (−12) + (−2) = −14. Deze base neemt dus de waarde 12 aan op de pH-schaal.   def Op deze manier dringt de definitie voor de zuurtegraad van een oplossing zich op: pH = − log H3 O+ waarin   H3 O+ de concentratie (in mol/l) van de H3 O+ -ionen in de oplossing is. De afkorting pH staat voor potentieel van waterstof (Engelse term: potential hydrogen). De pH-schaal varieert van 0 (meest zuur) tot 14 (meest basisch, ook wel alkalisch genoemd). Zuiver water definieert het neutrale punt van de schaal, met als pH-waarde 7 (zie figuur).

Door van een oplossing de pH-waarde te meten, kunnen we de concentratie aan hydroxide-ionen berekenen. Zo heeft bijvoorbeeld citroensap een pH-waarde van ongeveer 3, 5. De concentratie aan hydroxide-ionen volgt uit de oplossing van een logaritmische vergelijking:     −3, 5 + log OH− = −14 ⇒ log OH− = −10, 5   ⇒ OH− = 10−10,5 ≈ 3, 2 · 10−11 mol/l.

2 Net zoals een dozijn 12 eenheden telt, is een mol een aanduiding voor een aantal. Een mol stelt 6, 02214 · 1023 voor, gedefinieerd als het aantal atomen in 12 gram koolstof. Dat getal is vernoemd naar Amadeo Avogadro, een Italiaans natuur- en scheikundige en de grondlegger van de wet van Avogadro. De Franse chemicus Jean Baptiste Perrin stelde in 1909 voor Avogadro te eren met de naam van de constante.

I-128


Antwoorden op geselecteerde oefeningen Hoofdstuk 1 ß ™ 1 1 (1) (a) G = P (1, 1), Q(2, ), R(3, ), . . . 2 3 (3) (b) f (2) = 3 ß ™ 1 7 (c) a ∈ , ,5 2 3 (4) (a) f (2) = 5 (b) t = 5 of t = −5

(c) f (3x + 1) = 18x2 + 12x − 1

(5) t(4) = 11 (6) g(2) = −2 (7) 6 ∈ im f (8) ]−∞, 0[ (9) (a) f (3, −5, −1) = 26 (b) b = 6

(10) f (a, c, b) = 0 (14) (a) dom f = [−5, −1[ ∪ {0} ∪ [1, 3[ (b) bld f = [−4, −2[ ∪ ]−1, 3]

(c) dom h = [−8, −4[ ∪ {−3} ∪ [−2, 0] bld h = [−8, −6[ ∪ ]−5, −1]

(15) (D) ò 7 en ber f = R+ (16) (c) dom f = −∞, 2 p (18) (c) f (x) = |x| ò

(20) (b) dom H = R0

(c) bld H = {0, 1}

(d) f (x) = 3H(x − 1) − 1

Hoofdstuk 2 (1) (c) dom f = R en bld f = ]−∞; 4, 25] (2) (a) even functie (b) noch even noch oneven functie (c) even functie (d) oneven functie (3) (a) a = 1 (b) b = 4 (c) c = −5 I-129


(4) f (x) = −2x3 + 3x2 − 5x + 8 (5) f (x2 − 1) = x4 + x2 − 3 (6) (C) (7) (b) b = −30 en c = 35 (8) OplV = ]−0, 5; 3, 5[ ∪ ]7, 5; +∞[ (9) (a) dom W = R (b) R+ (c) Het bedrijf moet 8, 86100 . . . eenheden per uur produceren, de maximale winst is dan 67, 6035 . . . euro per uur. (d) tussen 6 en 11, 08 . . . eenheden per uur (10) Bij een productie en verkoop van 4000 CD-spelers per week is de winst maximaal, die bedraagt dan 11000 euro per week. (11) (b) ongeveer 45, 85m. (c) ongeveer 0, 13m. (d) ongeveer 2, 30m. (12) 25 euro per stuk (13) 17 artikelen per dag √

√ √ √ 5, − 5) en P2 (2 − 5, 5). √ √ (17) De snijpunten zijn P1 (2, 1), P2 (1 + 2, 2) en P3 (1 − 2, 2). (16) De snijpunten zijn P1 (2 +

(18) x = −2 ó ó√ î √ î (19) x ∈ −∞, − 2 ∪ ]−1, 1[ ∪ 2, +∞ (20) (D) (21) OplV = [−1, 1] ∪ {−3} (22) a = 3 en b = −32 (23) (E) (24) Deze grafiek heeft vier verschillende snijpunten met de x-as. Å ã 1 1 (25) Een mogelijke veeltermfunctie is f (x) = − x+ (x − 6)2 . 6 2 (26) (a) A(19) = 99 en A(99) = 19 (d) R(x) = −x + 118 (28) (a) (A) (d) (B)

Hoofdstuk 3 3x2 + 11 x2 + x − 6 x2 − 2x − 2 (b) x2 (x − 1) x−2 (c) x+2 a+x (d) ax

(1) (a)

1 2 x+ 7 7 (b) 5 − x

(2) (a)

I-130


x2 + 2x + 4 2−x 1 (d) −2x + 1 (c)

(3) (a) x4 − 3 + 0

(b) 2x2 + 3x − 1 + x2 − 3x x3 − 7 2 (d) 5x − 17 + 0

3x − 1 x2 + x − 3

(c) 0 +

(4) (a) vals (b) vals (c) waar (d) vals (5)

1 x2 − 4

(6) (B) (7)

−1/9 x2 + 2x − 1 10/9 2/3 + = + 2 2 (x − 1) (x + 2) x − 1 (x − 1) x+2

(8) (a) OplV = ∅

(b) OplV = {−8, 10}

(9) OplV = [−∞, −5[ ∪ ]−3, 3[ ∪ ]5, +∞[ ñ √ ñ ô √ ô 3 1 3 (10) (a) OplV = − ,0 ∪ , 3 2 3 (b) OplV = R ò ï ò ò 1 (c) OplV = −∞, −2 ∪ −2, 3 ò ï ò ï 1 1 (d) OplV = 0, ∪ ,1 2 2 (11) OplV = {−2} (12) De twee getallen zijn

2 5 en − . 7 14

(13) OplV = ]−∞, −8[ ∪ [1, 5] \ {2} ß ™ 1 3 (14) A ∈ 0, , − 2 4 (15) De stroomsnelheid van de rivier is 1 km/u. (16) De snelheid van de goederentrein is 49 km/u. (17) Karel roeit aan een snelheid van 7 km/u. (19) f (−x − 3) = −

3x + 15 4x + 6

(21) OplV = {−4} (22) (a) even functie (b) oneven functie (23) (a) OplV = {0, 4384 . . . ; 4, 5615 . . .} (b) 2 ∈ bld f

(24) (a) na ongeveer 7 uur, 4 minuten en 33 seconden (b) 6 dagen, 5 uur, 58 minuten en 48 seconden I-131


(25) (E) (26) (a) f (r) − f (r + 1) = (b)

n X r=1

2r + 1 r2 (r + 1)2

2r + 1 n2 + 2n = r2 (r + 1)2 (n + 1)2

(27) De rechthoek heeft als basis 3, 872 . . . cm en als hoogte 7, 745 . . . cm. (28) De materiaalkosten zijn minimaal voor r ≈ 0, 43 dm en h ≈ 1, 72 dm. (29) (a) dom f = R \ {0, 1}, nulwaarde x = −1, polen x = 0 en x = 1 (c) bld f = R \ {1, 2}

(30) (a) dom f = R \ {−4, 2/3}, nulwaarde x = 0, polen x = −4 en x = 2/3 (c) De rechte x = 2/3 is een V.A. aan de grafiek van f . De grafiek bereikt een perforatie in x = −4.

(31) (a) dom f = R \ {1, −2, 3}, nulwaarde x = 7, polen x = 1 en x = −2 en x = 3 (b) De grafiek van f ligt boven de x-as voor x ∈ ]−2, 1[ ∪ ]3, 7[.

(c) De rechten x = −2, x = 1 en x = 3 zijn verticale asymptoten aan de grafiek van f . De rechte y = −1 is een H.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(32) m = 330 (33) f (x) =

(x − 2)(x + 4)2 8(x2 − 1)

(34) (a) homografisch (b) niet homografisch (c) homografisch (d) homografisch (35) (a) V.A. x = −3, H.A. y = 2, dom f = R \ {−3}, bld f = R \ {2} (b) V.A. x = 3, H.A. y = 3, dom f = R \ {3}, bld f = R \ {3}

(c) V.A. x = −3/2, H.A. y = −7/2, dom f = R \ {−3/2}, bld f = R \ {−7/2}

(d) V.A. x = 3, H.A. y = 5, dom f = R \ {3}, bld f = R \ {5} −2x − 3 x+1 4x + 9 (b) f (x) = 2x + 1

(37) (a) f (x) =

(38) (d) dom f = R \ {6/7}, bld f = R \ {−4/7} (39) (a) a = −12 en b = −3 2x − 6 x+4 −2x − 2 (b) f (x) = x−5

(40) (a) f (x) =

(42) De twee symmetrie-rechten zijn s1 : y = x +

a+d a−d en s2 : y = −x + . c c

(43) (D) (44) (a) dom f = R \ {3} 5(x − 2) (b) f (x) = x−3 (c) De rechte x = 3 is een V.A. aan de grafiek van f . (d) De rechte y = 5 is een H.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f . (45) (a) dom f = R \ {1, 3}

(c) De rechte x = 1 is een V.A. aan de grafiek van f en de grafiek van f bereikt een perforatie in x = 3.

(d) De rechte y = x + 1 is een S.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f . I-132


(46) (C) (47) (B) (48) (a) p = −11

(b) De rechte y = x + 2 is een S.A. voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

(49) De parabool y = 3x2 − 2x + 7 is een parabolische asymptoot voor x → ±∞ aan de grafiek van f .

Hoofdstuk 4 (1) (a) ja (b) [−5, 828 . . . ; −0, 171 . . .] ∪ [0, 171 . . . ; 5, 828 . . .] (2) (a) c = 1000 (b) 147, 91 . . . uren (3) (b) geen oplossingen ï ï 1 , +∞ (c) OplV = 3 (4) (a) O(q) = 1, 5 q en W (q) = 0, 9 q −

0, 5 q + 3500

(b) Er is winst vanaf het 67ste brood.

(5) 259 627, 8845 km/s (6) (a) Na vijf uur reikt de olievlek tot 3784, 698 . . . m van het boorplatform. (c) Na 34 uur, 54 minuten en 23, 7 . . . seconden spoelt de eerste olie aan de kust. (7) (a) 1 250 000 euro (b) 1 187 916, 51 . . . euro (c) De kostprijs is minimaal voor x = 15, 219 . . . km. (8) co(P ) = (1, 1) (9) (a) OplV = {−2 +

3}

(b) OplV = ∅ (c) OplV = ∅

(d) OplV = {3} ® √ ´ 5 + 17 (e) OplV = 2 (f) OplV = {9}

(g) OplV = {4}

(h) OplV = ∅

(i) OplV = {11}

√ (j) OplV = {10 + 4 5} (10) OplV = {2} (11) x = 0 (12) OplV = {8} ô ñ √ −5 + 5 (13) OplV = ,0 10 (14) ker f = {2} (15) (a) dom f = ]−∞, −2] ∪ [2, +∞[, nulwaarden x = ±2, snijpunten x-as: P1 (2, 0) en P2 (−2, 0), geen snijpunten met de y-as √ (b) dom f = [−4, +∞[, nulwaarde x = 17/2, snijpunten x-as: P (17/2, 0), snijpunt met de y-as: Q(0, 5 − 8) (c) dom f = ]−∞, −2[ ∪ ]2, +∞[, geen nulwaarden, geen snijpunten met de assen I-133


(d) dom f = ]−6, 6[, nulwaarde x = −1, snijpunt met de x-as: P (−1, 0), snijpunt met de y-as: Q

Ç√

50 − 6 6

å

(e) dom f = [3, +∞[ \ {17}, nulwaarde x = 3, snijpunt met de x-as: P (3, 0), geen snijpunt met de y-as ò ò 1 1 (f) dom f = −∞, − ∪ ]2, +∞[, nulwaarde x = − , snijpunt met de x-as: P (−1/2, 0), geen snijpunt met de 2 2 y-as (16) (a) f 6= g (b) f = g (c) f 6= g ò 2 (17) (a) dom f = −∞, 3 (d) bld f = [−6, +∞[ ò

(18) (C) Ç (19) (b) De snijpunten zijn P1

Ç √ √ å √ å √ −6 + 4 11 12 + 2 11 −6 − 4 11 12 − 2 11 , en P2 , . 5 5 5 5

(20) (a) grafiek 3 (b) grafiek 1 (c) grafiek 2 (d) grafiek 4 (21) (b) x ∈ ]−∞, −2[ ∪ ]0, 1[ (22) (A)

Interludium (2) (a) −1, 15959899 . . . (b) 127 295, 160 . . .

(3) (C) (4) (a) 2 (b) 0, 25 (c) 1/3 (d) 1/100 (e) 2 (f) 3a2 b4 (g) a3 b (h) 9 (i) 5 (j) 4/25 (k) 27 (l) 2 ´ … 580 4 580 ,− OplV = 7 7 ®√ ´ 5 74 − 2 OplV = 3 ® … ´ 3 7 OplV = 0, 3 ß ™ 1 OplV = 80 ®…

(5) (a) (b) (c) (d)

4

I-134


(6) (a) (b) (c) (d) (e) (f)

1 √ 6

a a √ 3 a2 1 a5 a √ 3 b b √ 4 81a a3 √ 256b4 b

(7) (E) √ (8) x2 x (9) (a) 28, 30 miljoen km, 52, 87 miljoen km en 73, 10 miljoen km (b) 5 jaren 185 dagen, 34 jaren 271 dagen en 86 jaren 172 dagen (10) (a) ∈ (b) ∈ (c) ∈ /

(d) ∈ / (e) ∈ / (f) ∈ /

x−1 2 3 1 1 , x − x, , − 1, x x x x−1 x+2 √ 3 1 1 (b) √ , x (x + 2), √ , √ + 2, √ x x x x+2 2x − π/4 π , 3x2 , 2x2 − π/4, (2x − π/4)2 (c) 2x3 − x2 , 4 x2

(11) (a)

(12) 43 046 721 (14) (C) (15) (3, 7) en (−3, −14) (16) (D) (17) (D) (18) | | x | −1| + 1 (19) (a) g(3) = 15 (b) g(x) = x2 + 2x  4 5   − x−  3 3 (21) f (x) = 3    x

als − 5 ≤ x ≤ −2 als − 2 < x ≤ 2 als

3≤x

(22) (a) waar (b) vals

(c) waar (d) vals (e) vals (f) waar 1 2 (24) (a) inverteerbaar met inverse g(x) = − x + 3 3 (b) niet inverteerbaar √ (c) inverteerbaar met inverse g(x) = 3 x I-135


(d) niet inverteerbaar (e) inverteerbaar met inverse g(x) =

√ 3

x+5+1 −2x − 2 (f) inverteerbaar met inverse g(x) = x−1 √ (25) inverteerbaar, met inverse g(x) = 3 + 6 + x waarbij x ≥ −5 (26) Welk bedrag moet je betalen voor een (gegeven) aantal kilogram wortelen. (27) (b) (a, b) = (1, 0) of a = −1 (28) (b) d = −a (32) neen (33) (D) (34) (b) neen (d) f + g = 0

Hoofdstuk 5 (1) (a) f (x) = 700 − 0, 8 x (b) 628 cm (c) 2, 4 cm (d) 0, 033 . . . cm (e) op de 63ste dag 6 x−1 5 5 (b) f (x) = − x + 8 2

(2) (a) f (x) =

(4) (a) 1, 021 (b) 0, 96 (c) groeifactor 2, procentuele toename 100% (d) groeifactor 1, 00269134 . . ., procentuele toename 0, 2691 . . . % (5) (a) f (x) = 20 + x, lineaire groei (b) g(x) = 16 · (1, 1)x , exponenti¨ele groei

(c) Vanaf het vijfde jaar verdient Katrijn meer dan David. Katrijn verdient dan 25, 76 . . . euro per uur, David verdient dan 25 euro per uur.

(6) groeifactor per twee jaar: 9, procentuele toename per twee jaar: 800%, groeifactor per kwartaal: 1, 3160 . . ., procentuele toename per kwartaal 31, 60 . . . %, groeifactor per dag: 1, 00301 . . ., procentuele toename per dag: 0, 30144 . . . % (7) (a) N (t) = 50 000 · (0, 9)t , exponenti¨ele groei (afname)

(c) Het aantal insecten op 1 juli 2003 is 45 000, het aantal insecten op 1 juli 2004 is 40 500.

(d) Het aantal insecten op 1 juli 1995 was ongeveer 104 537. (8) 1, 090268 . . . (9) (a) f (x) = 20 000 · (0, 8)x (c) 2147, 483 . . . euro

(d) na ongeveer 14 jaar (10) (a) f (x) = 2 · 3x Å ãx 2 (b) f (x) = 5 · 3 (11) (a) 0, 8 (b) groeifactor 0, 32768, procentuele toename 67, 232% I-136


(c) groeifactor 0, 92831 . . ., procentuele toename 7, 16822 . . . % (d) 0, 0123794 . . . kg (e) langer dan ongeveer 41 minuten en 17 seconden (12) (a) juist (b) juist (c) juist (d) juist (e) fout (f) juist (13) (a) f (t) = 14 ·

Å

2 √ 7

ã +5

(b) 19◦ (c) 5◦ C (14) (a) R (d) ]−2, +∞[ (e) De rechte y = −2 is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . (15) (a) 107, 65 . . . bacteri¨en per ml (b) 278, 50 . . . bacteri¨en per ml (c) ongeveer 19 dagen bij 4◦ C, ongeveer 7 dagen bij 7◦ C (d) 2,9424. . . (16) Bij f is er sprake van een exponenti¨ele afname, bij h is er sprake van een lineaire afname. … √ 3 1 (17) a = en b = 5 3 25 5 (18) 1, 3959 . . . % Ö è Ö è √ √ √ √ 61 + 3 385 61 − 3 385 15 − 385 15 + 385 2 2 (19) P1 en P2 , 32 , 32 2 2 (20) (D) (21)

100p 100 + p

Å ã 1 (23) co(P ) = 3, 2 (24) (b) f (x) = 3, 00047809 . . . · (0, 991890712 . . .)x

(c) groeifactor 0, 613520974 . . ., procentuele afname 38, 6479025 . . . %

(d) 0, 260817989 . . . cm (26) (a) f (t) =

1 1 + 35 · (1, 32)−t

(c) Na ongeveer 13 dagen is de helft van de vijver dichtgegroeid.

Hoofdstuk 6 (1) x = 3 log 7 (2) (a) x = 2 log 37 Å ã 23 (b) x = 3 log 2 Å ã 1 16 1 (c) t = · log 3 21 I-137


(d) x =

p

5 log 4

p of x = − 5 log 4

(3) (a) 4 3 (b) 2 7 (c) 2 3 (d) 4 (e) −2 3 (f) − 2 (g) 11 10 (h) 3 √ √ 4 12 (4) a = 7 en b = 2 · 73 (5) (a) ]1, +∞[ ò ï 7 (b) −∞, 11 ò ï 4 (c) , +∞ 3 (d) ]−1, 1[ (e) ]0, 1[ (f) ]10, +∞[ (6) (a) ]−3, +∞[ (d) bld f = R

(e) De rechte x = −3 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . (7) (a) f (x) = 3 log x + 2 (b) f (x) =

1/2

log x − 3

(8) f (x) = 2 log (x + 3) − 1 (9) 2 = 5

5

log 2

(10) (a) a = 3 (b) a = 4 (c) a = 25 1 (d) a = 3 (11) ]1, 2] ∪ ]4, +∞[ (12) (a) 2 (b) − (c)

23 6

3 2

(d) −

3 2

(e) 1 (f) 2 (g) 1 (h) −

1 6

(13) 5, 07060240 . . . · 10132 (14) x = 16 I-138


(16) log (17) −

5 + log

16 3 …

(18) log

»

Å ã 1 (x − 3)3 + log √ x+2

125 · 68 1213

(19) 4 (20) (a) groeifactor 1, 2286 . . ., procentuele toename 22, 8659 . . . % (b) 82 847, 1008 . . . bacteri¨en (22) (b) Het risico bij 0, 5 promille is 2, 91 . . . en het risico bij 0, 5 promille is 5, 53 . . .. (24) (a) 0, 176 (b) −0, 796 (c) 0, 046

(d) 0, 1505 (e) 2, 699 (f) 1, 125 (25) ja (26) (a) 243 2 (b) 125 (c) 7 1 (d) 3 (27) bc−1 (28)

3 2

(30) (a) 1, 25892541 . . . · 1016 J 2 (b) M1 = M2 + 3 (c) 31, 622776 . . . (31) (a) ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[ (33) (B) (34) x = 2

√ 3

4

(36) (a) groeifactor 0, 4493 . . ., procentuele afname 55, 0671 . . . % (b) 0, 0933 . . . l (c) ongeveer 19 minuten en 11 seconden (37) (a) Het aantal cijfers van n is blog nc + 1. (b) 27 cijfers en 126 cijfers (c) 22 338 618 cijfers (38) (A)

Hoofdstuk 7 (1) (a) x = 1 of x = 2 (b) x ∈ ]−∞; 2, 584962 . . .[

I-139


3 8 (b) x = 6

(2) (a) x =

(c) x = 4 (d) x = 3 (e) x = −2 (f) x = 9

(g) x = 1 of x = −1

(h) t = 1/2 ï ò 1 (3) (a) x ∈ −∞, 2 (b) x ∈ [−3, +∞[ ó √ √ î (c) x ∈ − 3, 3 (d) x ∈ ]−1, +∞[ (4) (a) 2%

(b) Het gas moet aangevuld worden na 110, 4523 . . . dagen. (5) t =

5 ln 60 2

(6) (a) 30, 0009 . . . minuten en 36, 9051 . . . minuten (b) na ongeveer 31 uur (c) werknemer 2 (7) (a) x = 0, 0946497 . . . of x = 0, 7395336 . . . (b) x ∈ ]−3; −1, 8073 . . .[ ∪ ]4, 6415 . . . ; 5[ (8) (a) x = 1/16 (b) x = 5 of x = 23 (c) x = 6 of x = −1 √ (d) x = 8 7 Å ã 1 (e) y = ln 2 (f) x = 1 of x = −0, 999 (9) (a) x ∈ ]−∞, −78 122] ó √ î ó√ î (b) x ∈ −2, − 3 ∪ 3, 2 (c) x ∈ ]2, 11]

(d) x ∈ ]1000, +∞[ (10) x = 2 (11) x = 390 625 of x = 1/25 (12) (B) (13) x =

2 4

ò ï 9 (14) x ∈ 1, 5 (15) x = 5 en y = 20 (16) (b) 36, 9009 . . .◦ C (c) Eva vindt de koffie lekker tussen ongeveer 4 minuten 16 seconden en 6 minuten 54 seconden. (d) 20◦ C

I-140


Referentielijst, bibliografie en websites [1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998. [2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994. [3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994. [4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994. [5] G.E. Andrews, The theory of partitions, Cambridge Mathematical Library, 1984. [6] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5 Analyse, Wolters, Leuven, 1994. [7] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 6 Analyse Deel A, Wolters, Leuven, 1994. [8] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Complexe getallen, Wolters, Leuven, 1994. [9] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Matrices en stelsels, Wolters, Leuven, 1994. [10] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Ruimtemeetkunde, Wolters, Leuven, 1994. [11] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007. [12] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010. [13] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991. [14] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGrawHill, 1990. [15] J.P. Ballantine, Note on Hero’s formula, The American Mathematical Monthly, Vol. 61, p.337, 1954. [16] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008. [17] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven 42, Utrecht, 2000. [18] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, Uitgeverij De Boeck nv, Antwerpen, 2005. [19] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8 leerboek analyse 1: re¨ele functies, Die Keure. [20] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991. [21] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6a bis, Uitgeverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973. [22] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6b, Uitgeverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973. [23] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6d, Uitgeverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973. [24] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, 2014. [25] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): doi:10.1371/journal.pcbi.0030077, 2007. xix

e77.


[26] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008. [27] A. Buijs, K. De Bont, Statistiek om mee te werken opgaven en uitwerkingen, Wolters-Noodhoff, 2008. [28] J. Buysse en M. Nachtegael, Wiskundig vademecum, Pelckmans, Kapellen, 2005. [29] P. Carette, M. Guerry, P. Theuns, C. Vanderhoeft, Brugcursus wiskunde voor humane wetenschappen, Vrije Universiteit Brussel, 1995. [30] J. Casteels, D. De Vos, L. Goris, R. Rottiers, J. Salaets, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Beknopte analyse veeltermfuncties, Wolters, Leuven, 1994. [31] J. Casteels, L. Goris, R. Rottiers, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Complexe getallen, Wolters, Leuven, 1993. [32] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3, 4-15, 2014. [33] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F. Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006. [34] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekening en differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006. [35] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory, AoPS Incorporated, 2013. [36] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory solutions manual, AoPS Incorporated, 2013. [37] T. Crilly, 50 inzichten wiskunde Onmisbare basiskennis, Veen Magazines, Diemen, 2009. [38] T. Crilly, De grote vragen Wiskunde, Veen Magazines, Diemen, 2011. [39] P.W. Daly, H. Kopka, A guide to LaTeX Document preparation for beginners and advanced users, Addison-Wesley, 1992. [40] D. De Bock, J. Deprez, D. Janssens, G. Kesselaers, R. Op de Beeck, M. Roelens, J. Roels, Wiskunde vanuit toepassingen, Acco, Leuven, 1990. [41] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context afgeleiden, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1989. [42] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context beschrijvende statistiek, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1987. [43] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context exponenti¨ele en logaritmische functies, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1989. [44] C. De Cock en N.J. Schons, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962. [45] C. De Cock en N.J. Schons, Logaritmentafels in vijf decimalen en bijtafels, De Procedure, Namen, 1962. [46] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002. [47] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002. [48] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002. [49] M. de Gee, Wiskunde in werking, van A naar B, Epsilon Uitgaven 70, 2015. [50] H.G. Dehling, J.N. Kalma, Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, Utrecht, 2005. [51] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaanderen nr.9, 2006. [52] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 2/A, Acco Leuven, 1989. [53] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 4/A, Acco Leuven, 1989. [54] K. De Naeghel, Belastingverlaging en transformaties van functies, Uitwiskeling 32/1, 7-8, 2016. [55] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, Wiskunde & Onderwijs 169, 58-64, 2017. [56] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2009. xx


[57] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, Wiskunde & Onderwijs 150, 128-133, 2012. [58] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1, 2-7, 2014. [59] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2013. [60] K. De Naeghel, Logaritmen en de zuurtegraad van een oplossing, Uitwiskeling 32/1, 17-19, 2016. [61] K. De Naeghel, mathcounts Trainer: een applicatie voor probleemoplossend denken in de klas, Uitwiskeling 32/2, 43-44, 2016. [62] K. De Naeghel, Over irrationale getallen en machten van pi, Wiskunde & Onderwijs 168, 328-334, 2016. [63] K. De Naeghel, Steeds betere benadering voor het getal pi, Wiskunde & Onderwijs 149, 18-23, 2012. [64] K. De Naeghel, Uitgewerkte opdrachten en oefeningen bij SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire algebra I, print-ondemand online publishing Lulu.com, 2016. [65] K. De Naeghel, Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen, Wiskunde & Onderwijs 161, 38-48 en 162, 113-123, 2015. [66] K. De Naeghel, L. Gheysens, Pythagoras en lineaire transformaties, Wiskunde & Onderwijs 160, 312-313, 2014. [67] K. De Naeghel, A. Timperman, Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleaf voor beginners, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2014. [68] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014. [69] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014. [70] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analytische kansrekenen (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [71] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, K. Thaels, P. Tytgat, Delta 5/6 Ruimtemeetkunde (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [72] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse deel 1 (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [73] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse (4 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [74] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010. [75] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009. [76] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [77] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [78] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel A, Wolters, Leuven, 1993. [79] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel B, Wolters, Leuven, 1993. [80] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49, 2007. [81] J. Deprez, D. Janssens, Getaltheorie in het secundair onderwijs, Acco, Leuven, 1986. [82] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, DPB Brugge, 3 maart 2010. [83] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek, 1998. [84] D.E. Dobbs, Proving Heron’s formula tangentially, The College Mathematics Journal, Vol. 15, p.252-253, 1984. [85] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek re¨ele functies precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004. [86] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Re¨ele functies - Analyse, Uitgeverij Pelckmans, 1988. xxi


[87] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Matrices - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [88] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Re¨ele vectorruimten - Ruimtemeetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [89] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Analytische meetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1989. [90] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Complexe getallen, Uitgeverij Pelckmans, 1989. [91] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Goniometrie, Uitgeverij Pelckmans, 1989. [92] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Combinatieleer - Kansberekening, Uitgeverij Pelckmans, 1990. [93] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Analyse (minimum leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990. [94] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Analyse (uitgebreid leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990. [95] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde A, Uitgeverij Pelckmans, 1992. [96] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [97] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [98] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Beknopte analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [99] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Matrices - Determinanten - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [100] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde B, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [101] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Analyse B, Uitgeverij Pelckmans, 1994. [102] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008. [103] W. Dunham, Euler: The master of us all, MAA Dolciani Series, No. 22, 1999. [104] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990. [105] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005. [106] W. Dunham, The mathematical universe, John Wiley & Sons Inc., 1994. [107] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011. [108] M. Du Sautoy, The music of the primes Searching to solve the greatest mystery in mathematics, HarperCollins Publishers, 2003. [109] B. Ernst, De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras, Epsilon Uitgaven 53, Utrecht, 2002. [110] B. Ernst, Onmogelijke figuren, Librero, 2006. [111] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen en afgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005. [112] B.C. Gallivan, How to Fold Paper in Half Twelve Times: An Impossible Challenge Solved and Explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002. [113] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume one, American Mathematical Society, 1998. [114] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume two, American Mathematical Society, 1998. xxii


[115] M. Gardner, Sphere packing, Lewis Carroll and reversi, Cambridge University Press, 2009. [116] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009. [117] L. Geysens en D. Tant, Logica op het menu, Wiskunde & Onderwijs 165, 6-14 en 166, 106-115, 2016. [118] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In, 2005. [119] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek statistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [120] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek telproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [121] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeetkunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [122] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, K. Verzele, P. Weyenberg, Pienter leerboek complexe getallen en fractalen voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [123] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998. [124] L.J. Goldstein, D.I. Schneider, M.J. Siegel, Finite mathematics and its applications, Prentice Hall, Englewood Sliffs, New Jersey, 1988. [125] W. Goldstein, W. Lewin, Gek op natuurkunde Van het begin van de regenboog tot het einde van de tijd: Een reis langs de wonderen van de wetenschap, Thomas Rap, Amsterdam, 2012. [126] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994. [127] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994. [128] E. Grigorieva, Methods of Solving Complex Geometry Problems, Birkh¨auser, Springer International Publishing Switzerland, 2013. [129] M. Hazewinkel, Mathematical knowledge management is needed, Proceedings of Computing Research Repository (2004). Online beschikbaar op http://arxiv.org/ftp/cs/papers/0410/0410055.pdf [130] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000. [131] P. Hammond, K. Sydsæter, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006. [132] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011. [133] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003. [134] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012. [135] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005. [136] N.J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1998. [137] P. Hoffman, De man die van getallen hield Het verhaal van Paul Erds en de zoektocht naar de waarheid van de wiskunde, Bert Bakker, Amsterdam, 1999. [138] L. Horsten, Einig, oneindig, meer dan oneindig, Epsilon Uitgaven 56, Utrecht, 2004. [139] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997. [140] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990. [141] K. J¨ anich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994. [142] S.L. Jones, Mathematical nuts, Norwood Press, 1932. [143] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002. [144] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007. [145] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006. [146] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008. xxiii


[147] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994. [148] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993. [149] E. Kreyszig, E.J. Norminton, Maple computer guide a self-contained introduction for advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2001. [150] T. Kuijpers, C. Lybaert, SOHO Wiskunde Plantyn Groepentheorie, Plantyn, 2013. [151] W. Ledermann en A.J. Weir, Introduction to group theory, Addison Wesley Longman, 1996. [152] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008. [153] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics solutions manual, AoPS Incorporated, 2008. [154] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond, AoPS Incorporated, 2008. [155] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond solutions manual, AoPS Incorporated, 2008. [156] J. Levy, Scheikunde van zuren en basen tot chemische polariteit, Librero, 2012. [157] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991. [158] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN 978-90-357-1800-5, 2011. [159] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009. [160] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006. [161] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson Education Benelux, 2011. [162] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012. [163] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015. [164] L. Motmans, Inhaalcursus wiskunde voor het eerste kandidaatsjaar Toegepaste Economische Wetenschappen en Handelsingenieur, Limburgs Universitair Centrum, 2002. [165] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen, Universiteit Gent, 2009. [166] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002. [167] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005. [168] R.B. Nelsen, Heron’s formula via proofs without words, The College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 4, 2001. [169] I. Newton, Method of fluxions, 1736. [170] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86, 161-163, 1993. [171] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 3, No. 1, 33-38, 1972. [172] J.P. Ottoy, Wiskunde algebra analystische meetkunde, Universiteit Gent, [173] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus, AoPS Incorporated, 2010. [174] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2010. [175] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability, AoPS Incorporated, 2007. [176] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability manual, AoPS Incorporated, 2007. [177] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009. [178] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009. [179] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1989.

xxiv


[180] R. Penrose, The emperor’s new mind Concerning computers, minds and the laws of physics, Oxford University Press, 1989. [181] R. Penrose, The road to reality A complete guide to the laws of the universe, Vintage Books, London, 2005. [182] H. Pfaltzgraff, Spijker 1 Rekenen, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [183] H. Pfaltzgraff, Spijker 2 Algebra, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [184] H. Pfaltzgraff, Spijker 3 Functies, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [185] H. Pfaltzgraff, Spijker 4 Differenti¨eren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [186] H. Pfaltzgraff, Spijker 5 Integreren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [187] H. Pfaltzgraff, Spijker 6 Statistiek, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [188] H. Pfaltzgraff, Spijker 7 Goniometrie en vectoren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [189] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010. [190] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945. [191] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010. [192] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007. [193] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009. [194] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009. [195] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2009. [196] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008. [197] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra solutions manual, AoPS Incorporated, 2008. [198] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938. [199] S. Singh, De oerknal De belangrijkste wetenschappelijke ontdekking ooit, De Arbeiderspers, Amsterdam, 2005. [200] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962. [201] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008. [202] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975. [203] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990. [204] K. Stulens, Herhalingslessen wiskunde Voorbereiding tot het eerste kandidaatsjaar wiskunde-natuurkundeinformatica-kennistechnologie, Limburgs Universitair Centrum, 2000. [205] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). [206] J.P. Van Bendegem, Inleiding tot de moderne logica en wetenschapsfilosofie: een terreinverkenning, VUBPRESS, Brussel, 2001. [207] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005. [208] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010. [209] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006. [210] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn, Mechelen, 2014. [211] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011. [212] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 1, Springer-Verlag, 1991. [213] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 2, Springer-Verlag, 1991. [214] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997. [215] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, WoltersNoordhoff, 2006. xxv


[216] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1 uitwerkingen en extra, praktijkgerichte vraagstukken, Wolters-Noordhoff, 2009. [217] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002. [218] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press, New York, 1967. [219] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141, 443-551, 1995. [220] H. Wussing, Geschiedenis van de wiskunde Vanaf de wetenschappelijke revolutie tot de twintigste eeuw, Veen Magazines, Diemen, 2010. [221] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/

.

[222] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League, http://www.amatyc.org/SML/ . [223] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/

.

[224] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/ . [225] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/

.

[226] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/

. .

[227] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/

[228] Website C. Cambr´e, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ [229] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/

.

.

[230] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ [231] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ [232] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/

.

.

.

[233] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/

. .

[234] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen

[235] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019, http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf . [236] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren− en− studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ [237] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ [238] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/

.

.

.

[239] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ [240] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ [241] Website ticalc.org voor het downloaden van http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ . [242] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/

programma’s

op

de

.

[243] Website G. Vernaeve, https://cage.ugent.be/∼ gvernaev/wiskunde.nl.html [244] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ [245] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

.

en http://en.wikipedia.org/

[246] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/

xxvi

.

.

grafische

. .

rekenmachine,

Deel I Precalculus 1 (recto)  

Onderdeel van Wiskunde in zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you