Page 1

Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Voorwoord Wat is wiskunde? Parate kennis bij aanvang van de derde graad

30/06/2017


Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door

Koen De Naeghel Voorwoord Wat is wiskunde? Parate kennis bij aanvang van de derde graad


CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode De gebruiker mag: het werk kopi¨eren, verspreiden en doorgeven Remixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden: Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik van het werk). Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerci¨ele doeleinden gebruiken. Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van: Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden met voorafgaande toestemming van de rechthebbende. Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijke wetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze be¨ınvloed door de licentie. Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht: • Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet. • De morele rechten van de auteur. • De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals het portretrecht of het recht op privacy. Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aan derden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpagina . http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs Tekstzetsysteem: LATEX Royalty percentage: 0% c 2013 Koen De Naeghel Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Druk 30 juni 2017


Inhoudsopgave

Wiskunde In zicht

Voorwoord Wat is wiskunde? Parate kennis bij aanvang van de derde graad I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX G M Po Pr Ps +∞

Precalculus 1 Goniometrie en precalculus 2 Matrices Complexe getallen Logica Rijen Limieten, asymptoten en continu¨ıteit Afgeleiden Telproblemen Kansrekenen 1 Integralen Ruimtemeetkunde Beschrijvende statistiek Kansrekenen 2 en verklarende statistiek Vectorvlak en Euclidisch vlak Getaltheorie Vectorruimten en lineaire afbeeldingen Analytische meetkunde Differentiaalvergelijkingen Reeksen Computermeetkundepakket GeoGebra Computerrekenpakket Maple Portfolio wiskunde Practicum wiskunde Problem Solving wiskunde Topics uit de wiskunde

Referentielijst, bibliografie en websites iii

v vii-xii xiii-xxi

S,1-15 Po,1-4 Pr,1-12 +∞,1-5 xxii-xxix


It is as if information presented to the eye and ear must first pass through the hand in order really to enter the brain. Klaus J¨ anich, Linear Algebra, 1994 [141]

Voorwoord Deze cursus wiskunde is bestemd voor leerlingen van de derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde. Leerlingen uit het middelbaar onderwijs krijgen heel wat wiskundige begrippen te verteren. De inhoud van de leerstofonderdelen ligt in grote mate vast: enerzijds vanuit het leerplan - opgemaakt op basis van de eindtermen van de Vlaamse overheid, anderzijds vanuit de wiskunde zelf (wiskundige correctheid, conventies en traditie). Het begrijpen van deze inhoud hangt in grote mate af van de manier waarop die inhoud aangeboden wordt. In tegenstelling tot de inhoud kent de manier waarop leerkrachten die leerstofonderdelen aanbrengen een grote vrijheid. Hierin moeten dus heel wat keuzes gemaakt worden. Net daar ligt de overtuiging van de auteur: een leerkracht kan maar met overtuiging en enthousiasme lesgeven wanneer die keuzes stroken met de visie die hij/zij heeft op het benaderen van de te geven concepten in de wiskunde. Dit is het denkbeeld waarin deze cursus werd gescheven. Deze cursus is dus niet gebaseerd op een boek of op enkele boeken, maar werd net ontworpen vanuit de behoefte aan een correcte, maar toch haalbare benadering van basisconcepten in de wiskunde, waarvan de opbouw zich op een natuurlijke wijze opdringt. Daarnaast werd bewust gekozen voor een invulcursus, deels gemotiveerd door het bovenstaande citaat. Deze cursus heeft zeker niet de pretentie origineel te zijn, volledig te zijn of erger: zo moet het, maar wil laten zien: misschien kan het zo ook. Om deze cursus optimaal te benutten, volgen nu enkele praktische richtlijnen. 3 Onderlijnde woorden geven aan dat het om een definitie gaat van die woorden. 3 Deze cursus maakt gebruik van de grafische rekenmachine TI-84 Plus of TI-84 Plus CE. Alle noodzakelijke schermafdrukken werden in de cursus opgenomen, zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan. 3 Elk hoofdstuk is voorzien van oefeningen, die worden onderverdeeld in drie categorie¨en. . Basisoefeningen liggen in de lijn van de eerder geziene theorie en modelvoorbeelden uit het bijbehorende hoofdstuk. Leerlingen die deze leerstof goed begrepen hebben, zullen de basisoefeningen doorgaans tot een goed einde brengen. . Verdiepingsoefeningen veronderstellen het creatief omgaan met de leerstof en zijn onder meer bedoeld voor leerlingen die een wetenschappelijke of wiskundige vervolgopleiding ambi¨eren. . Uitbreidingsoefeningen dienen om nieuwe begrippen of eigenschappen te formuleren. Hoewel zij niet noodzakelijk zijn voor het vervolg van de cursus, horen leerlingen die denken aan studies zoals burgerlijk ingenieur of burgerlijk ingenieur-architect zich ook naar zulke oefeningen te richten. Antwoorden op geselecteerde oefeningen zijn terug te vinden op het einde van elk deel. 3 Sommige vragen komen uit de voorgaande edities van de Vlaamse Wiskunde Olympiade of vroegere toelatingsexamens. Deze oefeningen dienen opgelost te worden zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine. 3 Voetnoten verwijzen naar extra informatie en behoren niet tot de reguliere leerstof. geeft aan dat de digitale cursus een link voorziet naar een relevante webpagina. het icoon wijst 3 Het symbool op een link naar een geogebra-applet. Het symbool naast een oefening is de link naar het eindantwoord van de oefening achteraan. Een verwijzing zoals [141] duidt een publicatie aan, opgenomen in de referentielijst. De digitale versie is terug te vinden op de website http://www.koendenaeghel.be . Bij het realiseren van dit werk dank ik op de eerste plaats Jean-Marc Zwaenepoel, oudleraar aan het Onze-LieveVrouwecollege Oostende. Zijn nota’s, alsook de talloze discussies die ik met hem mocht voeren, waren een grote bron van inspiratie bij het schrijven van deze cursus. Daarnaast bedank ik ook Luc Heethem, gewezen leerkracht wiskunde en adjunct-directeur van het Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, voor het ter beschikking stellen van zijn cursus wiskunde, waarvan ik dankbaar gebruik gemaakt heb. Daarnaast dank ik ook iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze cursus, in het bijzonder de leerlingen die sinds 2007 mijn lessen hebben bijgewoond. Hun opmerkingen, vragen en antwoorden waren en zijn nog steeds welkom, bijvoorbeeld via e-mail koendenaeghel@hotmail.com . Brugge, juni 2017

— KDN v


The greatest wonder of the modern world is our understanding. Stephen Hawking, God created the integers, 2005 [135]

Wat is wiskunde? Men kan stellen dat wiskunde de wetenschap is die zich bezighoudt met het zoeken naar patronen en structuren. Het geheel van de wiskunde kan, vanuit historisch perspectief, onderverdeeld1 worden in vijf hoofdcategorie¨en. 1. Meetkunde 2. Algebra 3. Analyse 4. Discrete wiskunde 5. Toegepaste wiskunde Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde gigantisch groot geworden. De volledige kennis hiervan is voor ´e´en enkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen (en in het algemeen wetenschappers) een noodzaak. Men moet er zich ook van bewust zijn dat wiskunde zeker niet af is. Dagelijks worden nog nieuwe wiskundige ontdekkingen gedaan, meestal van die aard dat het voor een persoon met gemiddelde kennis jaren duurt om zo’n eigentijds probleem te begrijpen, laat staan op te lossen. Naar schatting komen er elk jaar zo’n 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij.2 Toch mogen deze feiten niemand afschrikken om wiskunde te leren. Wiskunde is een boeiende wetenschap die heel wat verder reikt dan het rekenen met getallen. Wat we wel onthouden is dat nederigheid tegenover wiskunde (en wetenschap in het algemeen) op zijn plaats is. Ter informatie volgt een korte, onvolledige beschrijving van de vijf bovenvermelde takken van de wiskunde. Uiteraard raakt men tijdens het middelbaar onderwijs slechts enkele van deze onderwerpen aan. 1. Meetkunde of geometrie is het onderdeel van de wiskunde dat zich toespitst op het zoeken van patronen en structuren in vormen. We onderscheiden volgende deeltakken. 3 Euclidische meetkunde behoort tot de oudste onderdelen van de wiskunde. Al in het klassieke Griekenland (±6e eeuw v.Chr.) werden door Thales van Milete en Pythagoras van Samos de eerste stellingen bewezen, gevolgd door de Euclides geschreven Elementen, een van de meest invloedrijke boeken uit de geschiedenis. Hoewel veel van Euclides’ resultaten reeds eerder door Griekse wiskundigen waren geformuleerd, was hij de eerste die wiskunde in een deductief systeem goot. De methode van Euclides bestond erin om uitgaande van een aantal axioma’s vele andere proposities, lemma’s en stellingen te bewijzen. Gedurende lange tijd beperkte meetkunde zich tot de studie van vlakke en ruimtelijke figuren. In het vlak kent men de onder meer driehoeksmeetkunde en de daaruit vloeiende goniometrie (het meten van hoeken en hun onderlinge relaties). De ruimtemeetkunde bestudeert rechten en vlakken in de ruimte, alsook de vijf regelmatige veelvlakken (tetraeder, kubus, octaeder, dodecaeder, icosaeder), piramide, prisma, kegel, cilinder en bol. 3 Niet-euclidische meetkunde werd onafhankelijk ontdekt door de drie wiskundigen Carl Friedrich Gauss, Janos Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky (hyperbolische meetkunde) ± 1830. Later voegde Bernhard Riemann er de elliptische meetkunde aan toe. De aanleiding hiervoor was eigenlijk een heel praktische: de euclidische meetkunde, zijnde de klassieke meetkunde van het platte vlak, is niet op het aardoppervlak van toepassing: op het gekromde vlak geldt het parallellenpostulaat van Euclides niet. Op het einde van de 19e eeuw werd het begrip meetkunde totaal vernieuwd door het Erlanger Program van Felix Klein. Hierbij worden meetkundige structuren begrepen in termen van transformatiegroepen. Niet-euclidische meetkundes blijken zeer goed bruikbaar bij de beschrijving van de ruimte volgens de (algemene) relativiteitstheorie van Albert Einstein 1916.

Op een bol is - in tegenstelling tot een vlak - de som van de hoeken van een driehoek meer dan 180◦ .

1 Voor een offici¨ ele onderverdeling van de wiskunde verwijzen we naar de 2010 Mathematics Subject Classification (MSC2010), terug te vinden op http://www.ams.org/msc/ . 2 Zie [129, 243]. Sinds 1991 is het voor wetenschappers gebruikelijk om zijn of haar vondsten digitaal beschikbaar te maken op de e-print service arXiv, beschikbaar op http://xxx.lanl.gov/ .

vii


3 Differentiaalmeetkunde is een tak van de wiskunde die meetkundige problemen bestudeert aan de hand van methodes uit de calculus en lineaire algebra. Het behelst onder andere meetkundige structuren op differentieerbare vari¨eteiten: vormen die lokaal op een euclidische ruimte lijken. Het fundament voor de differentiaalmeetkunde werd in het begin van de 19e eeuw gelegd door Carl Friedrich Gauss. In zijn tijd was de wiskunde nog sterk verbonden met de praktische toepassingsgebieden in cartografie, navigatie en geodesie. Daaruit ontwikkelde zich de kaartprojectie, waarvan begrippen als geodeet en gaussiaanse kromming stammen. Ook stelde Gauss zich al de vraag of bij het meten van een zeer grote driehoeken (tientallen kilometers) de drie hoeken werkelijk optellen tot 180 graden. Met dit onderzoek legde hij de basis voor de moderne differentiaalmeetkunde. Toepassingen daarvan vindt men in de algemene relativiteitstheorie en de satellietnavigatie. 3 Topologie is de meetkunde van de rekbare oppervlakken (meer formeel: de eigenschappen van de ruimte die invariant zijn onder continue deformaties) en bevat onder andere grafentheorie, ontstaan door de oplossing van Leonhard Euler 1736 voor het zogenaamde zeven bruggen probleem van K¨ onigsbergen. is een brug tussen algebra en meetkunde 3 Analytische meetkunde waarbij een cartesisch asssenstelsel centraal staat. In de 17e eeuw introduceerden Ren´e Descartes en Pierre de Fermat zo’n rechthoekig assenstelsel waarmee meetkundige objecten konden worden beschreven met getallen en vergelijkingen. Gewoonlijk wordt het cartesisch co¨ ordinatenstelsel toegepast om vergelijkingen voor vlakken, lijnen, krommen en cirkels te manipuleren, vaak in twee of drie, maar in principe in willekeurig veel dimensies. Veel stellingen uit de vlakke meetkunde kunnen eenvoudig nagerekend worden met behulp van cartesische

Konigsbergen en het zeven bruggen probleem: bestaat er een rondwandeling in de stad zodat men elke brug precies ´e´en keer aandoet?

co¨ordinaten.

is een brug tussen algebra en meetkunde waarbij men technieken hanteert uit 3 Algebra¨ısche meetkunde de abstracte algebra. Aan de grondslag ligt de analytische meetkunde die via de klassieke projectieve meetkunde leidde tot de moderne algebra¨ısche meetkunde, in de jaren ’50 en ’60 van de vorige eeuw ontwikkeld door Alexander Grothendieck en Jean-Pierre Serre. 3 Eindige meetkunde is een meetkundig systeem dat slechts een eindig aantal punten kent. Eindige meetkundes kunnen gedefinieerd worden aan de hand van vectorruimten over een eindig veld, of op puur combinatorische gronden. E´en onderdeel is de studie van de eindige projectieve vlakken, gebaseerd op drie axioma’s: door elke twee punten gaat precies ´e´en lijn, elke twee lijnen hebben precies ´e´en punt gemeen en er bestaan vier punten waarvan er geen drie op eenzelfde rechte gelegen zijn. Het meest eenvoudig voorbeeld van een eindig projectief vlak is het zogenaamde Fano-vlak, bestaande uit zeven punten en zeven lijnen. De eindige meetkunde kent toepassingen in de cryptografie en codeertheorie. Fano-vlak: door elke twee

3 Beschrijvende meetkunde , ook wel wetenschappelijk tekenen gepunten gaat een lijn en elke noemd, is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met de twee lijnen hebben een punt representatie van driedimensionale objecten in twee dimensies, door gemeen. het gebruik van specifieke procedures. De beschrijvende meetkunde is in de 18e eeuw ontwikkeld door de Franse wiskundige en staatsman Gaspard Monge. In 19e en 20e eeuw werd de beschrijvende meetkunde de grondslag voor het architecturaal en industrieel technisch tekenen. 2. Algebra (van het Arabische woord Al-Djabr dat hereniging, verbinding of vervollediging betekent) is dat deel van de wiskunde dat handelt over het oplossen van vergelijkingen en het zoeken van patronen en structuren in deze oplossingen. We onderscheiden volgende gebieden. 3 Elementaire algebra , de studie van de eigenschappen van re¨ele getallen, waarbij men symbolen (x, y, etc.) gebruikt om constanten en variabelen aan te duiden. Ook de regels die gelden voor uitdrukkingen en vergelijkingen met deze symbolen worden bestudeerd. Het eerste gebruik van letters voor zowel de bekenden (co¨effici¨enten) als de onbekende grootheden (variabelen) gaat terug naar Fran¸cois Vi`ete 1591. De betekenis van zijn bijdrage op het punt van de algebra¨ısche notatie mag niet worden onderschat. Dankzij een effici¨ente manier om wiskundige vergelijkingen op te schrijven, hoeft de wiskundige immers niet veel tijd en energie meer te verspillen om zijn probleem te formuleren en kan hij zich beter concentreren op de oplossing ervan. Indirect heeft Vi`ete daardoor een grote bijdrage geleverd aan de verdere ontwikkeling van de algebra in de eeuwen na hem.

viii


3 Abstracte algebra is het deelgebied van de wiskunde waar men algebra¨ısche structuren bestudeert. Op het einde van de 19e en het begin van de 20e eeuw was men niet langer tevreden met het vaststellen van eigenschappen van concrete objecten. Wiskundigen verlegden hun aandacht naar de algemene theorie. Uit de vroegere notie van symmetrie- en permutatiegroepen ontstond het algemeen begrip van een abstracte groep en vragen over classificatie kwamen aan bod. Formele definities van primitieve operaties en axioma’s werden voorgesteld voor vele algebra¨ısche basisstructuren, zoals groepen, ringen en lichamen of velden. De grondleggers Ernst Steinitz, David Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether, Georg Frobenius en Issai Schur hebben de abstracte algebra als het ware gedefinieerd. Deze ontwikkelingen uit het laatste kwart van de 19e eeuw en het eerste kwart van de 20e eeuw werden systematisch uiteengezet in Bartel Leendert van der Waerden’s’ Moderne algebra, een twee-bandige monografie die werd gepubliceerd rond 1930. Dit werk veranderde de betekenis die de wiskundige wereld aan het woord algebra toekende van een theorie van de vergelijkingen in een theorie van algebra¨ısche structuren.

De symmetriegroep van de Rubiks kubus telt 43 252 003 274 489 856 000 permutaties. In 2010 bewees Tom Rokicki metabstracte algebra dat elke positie kan opgelost worden in 20 of minder draaiingen [230].

houdt zich bezig met de studie van vectoren, vector3 Lineaire algebra ruimten en lineaire transformaties die volgens bepaalde regels input-vectoren tot output-vectoren transformeren. De lineaire algebra omvat onder andere matrices, determinanten en stelsels van lineaire vergelijkingen en staat centraal in de moderne wiskunde en haar toepassingen in onder meer natuurwetenschappen en sociale wetenschappen. 3 Getaltheorie is de tak van de algebra die de eigenschappen van gehele getallen bestudeert, mede door het oplossen van vergelijkingen over de gehele getallen (o.a. Diophantische vergelijkingen). Getaltheorie heeft toepassingen in codeertheorie en cryptografie, met als voorbeeld de zogenaamde RSA-cryptografie (of hoe priemgetallen gebruikt worden om bijvoorbeeld veilig op internet te bankieren). De term elementaire getaltheorie is in gebruik geraakt voor de grotere klasse van problemen Laatste Stelling van Fermat: die gemakkelijk door leken kunnen worden begrepen maar daarentegen voor n = 3, 4, 5, . . . heeft vaak erg moeilijk te kraken zijn, zoals de Laatste Stelling van Pierre de n x + y n = z n geen oplossinFermat 1637 die na een zoektocht van meer dan 350 jaar aangetoond gen x, y, z ∈ Z0 . werd door wiskundige Andrew Wiles 1995 [219]. Befaamde, tot op heden onopgeloste problemen zijn onder andere het priemtweelingvermoeden (bestaan er oneindig veel priemtweelingen?), het vermoeden van Goldbach 1742 (kan elk even getal groter dan 2 geschreven worden als de som van twee priemgetallen?), het vermoeden dat elk perfect getal even is en het vermoeden van Collatz 1937 (ook wel het 3n + 1 probleem genoemd). 3. Analyse is een tak van de wiskunde die ontwikkeld werd uit de rekenkunde en de meetkunde en die zich bezighoudt met het bestuderen van functies van re¨ele en complexe getallen. De wiskundige analyse wordt tegenwoordig onderverdeeld in volgende klassen. 3 Re¨ele analyse heeft betrekking op eigenschappen, afgeleiden en integralen van re¨ele functies. Hieronder valt ook het bestuderen van continu¨ıteit, limieten en machtreeksen van functies. Dat aspect van de analyse noemt men differentiaal- en integraalrekening of ook wel de calculus. E´en van de belangrijkste redenen om de calculus te ontwikkelen was om het zogenaamde raaklijnprobleem op te lossen, gemotiveerd uit de natuurwetenschappen, waar het beschrijven van verandering een terugkerend thema is. De ontwikkeling van afgeleiden en integralen wordt aan Gottfried Wilhelm Leibniz en Isaac Newton toegeschreven (17e eeuw), met als voorlopers Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens en Bernoulli (16e eeuw). 3 Complexe analyse houdt zich bezig met functies van het complex vlak naar zichzelf die complex differentieerbaar zijn. De grondlegger was ontegensprekelijk de Franse wiskundige Cauchy (19e eeuw). Toepassing hiervan zijn zogenaamde fractalen: figuren die er steeds hetzelfde uitzien, ongeacht hoeveel je in-of uitzoomt. 3 Analyse van differentiaalvergelijkingen behelst de studie van de relatie tussen (vergelijkingen met) afgeleiden van functies en de functies zelf. 3 Functionaalanalyse bestudeert vectorruimten van functies waarin gebruik gemaakt wordt van onder andere Banach- en Hilbertruimten.

ix

Mandelbrot fractaal, naar Benoit Mandelbrot


3 Fourieranalyse , genoemd naar Joseph Fourier, heeft betrekking op Fourierreeksen en generalisaties daarvan. Elke periodieke functie kan - mits deze aan bepaalde voorwaarden voldoet - ontwikkeld worden in zijn Fourierreeks, een som van een (eventueel oneindig) aantal standaardfuncties. Voor het bestaan van de Fourierreeks volstaat het dat de periodieke functie begrensd is. Meestal gebruikt men als standaardfuncties de sinus- en cosinusfuncties. De co¨effici¨enten van de Fourierreeks worden bepaald met Fourieranalyse, een techniek ontwikkeld door Jean-Baptiste Joseph Fourier. Fourierreeksen kennen toepassingen in onder meer elektrotechniek, akoestiek, optica, signaalverwerking, analyse van trillingen, digitale beeldverwerking, kwantummechanica en econometrie (economisch modelleren). 3 Maattheorie is met de Lebesgue-integratie de theoretische basis voor de kansrekening en de integraalrekening. Zo kan dankzij de maattheorie de verwachting van een stochastische variabele worden opgevat als de Banach-Tarskiparadox integraal van een meetbare functie. Het uitgangspunt is een rigoureuze afbakening van het studiegebied op basis van de axiomatische verzamelingenleer. In de Banach-Tarskiparadox wordt duidelijk hoe een na¨ıeve opvatting van het begrip maat van een verzameling wordt afgestraft. In die stelling uit de meetkunde toonden Stefan Banach en Alfred Tarski in 1924 aan dat een massieve driedimensionale bal in een eindig aantal verschillende (niet overlappende of disjuncte) deeltjes gesplitst kan worden die dan weer samengevoegd kunnen worden om twee identieke kopie¨en van de oorspronkelijke bal te herassembleren. Het venijn zit in het feit dat de deeltjes zelf bestaan uit verzamelingen van allemaal losse punten, met een zo ingewikkelde structuur dat ze niet meer meetbaar zijn en dat derhalve over het volume van de deeltjes niets te zeggen valt. , die de hyperre¨ele getallen en functies daarvan bestudeert en een formele definitie 3 Niet-standaard analyse geeft van oneindig kleine en oneindig grote getallen. 4. Discrete wiskunde is de studie van wiskundige patronen en structuren die au fond discreet zijn, dat wil zeggen dat er gehele, los van elkaar staande zaken bekeken worden. Hiermee onderscheidt de discrete wiskunde zich van de continue wiskunde zoals analyse. De meeste objecten die bestudeerd worden binnen de discrete wiskunde zijn aftelbare verzamelingen zoals de natuurlijke of rationale getallen. De afgelopen decennia is de discrete wiskunde vooral opgekomen binnen de informatica omdat onderwerpen uit de discrete wiskunde en de daarbijbehorende notaties erg nuttig zijn om zaken en concepten uit te drukken met betrekking tot computeralgoritmes en programmeertalen. We sommen enkele onderwerpen op die onder de discrete wiskunde vallen. 3 Logica of redeneerkunst is de wetenschap die zich bezighoudt met de formele regels van het denken. Traditioneel wordt de logica door de filosofie bestudeerd, maar zij wordt ook tot de wiskunde gerekend. Het eerste substanti¨ele werk over logica dat overgeleverd is, werd geschreven door Aristoteles. De academische formele logica die wij tegenwoordig kennen, stamt af van de Griekse traditie. Sinds halverwege de 19e eeuw wordt de formele logica bestudeerd in de context van de grondslagen van de wiskunde, waar het veelal symbolische logica genoemd wordt. In 1903 hebben Alfred North Whitehead en Bertrand Russell met de publicatie van de Principia Mathematica getracht om de logica formeel tot de hoeksteen van de wiskunde te ontwikkelen. Met uitzondering van het elementaire gedeelte worden deze beginselen niet meer gebruikt en zijn ze grotendeels vervangen door de verzamelingenleer. In de verdere ontwikkeling van de studie van formele logica ging het onderzoek niet alleen meer over fundamentele onderwerpen. De studie van verschillende toepassingen op het gebied van de wiskunde resulteerde in de opkomst van een wiskundige logica. De ontwikkeling van formele logica en haar implicaties voor computers behoort tot de fundamenten van de computerwetenschap. 3 Verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde. De oorsprong van de verzamelingenleer gaat terug naar Georg Cantor 1874, dat het eerste formeel bewijs bevat dat er verschillende vormen van oneindigheid bestaan. Zo bewees hij later ook dat de verzameling van de rationale getalen aftelbaar is (rationale getallen zijn op te sommen in een rij) en dat de verzameling van de re¨ele getallen overaftelCantor toonde aan dat er baar is (re¨ele getallen zijn niet op te sommen in een rij). Hoewel beide evenveel natuurlijke getallen verzamelingen oneindig veel elementen bevatten, zijn er intrinsiek meer zijn als positieve breuken. re¨ele getallen dan rationale getallen. Rond het einde van de 19e eeuw ontstonden er voor het eerst discussies over paradoxen binnen de verzamelingenleer zoals die rond de eeuwwisseling bekend was. De meest befaamde is de zogenaamde Russell-paradox. Dit toonde de noodzaak aan om te kiezen voor een axiomatische aanpak, zoals de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer uit 1930. x


3 Combinatoriek is de studie van eindige verzamelingen van objecten die aan specifieke eigenschappen voldoen. In het bijzonder houdt men zich bezig met het tellen van objecten in deze verzamelingen (oplossen van telproblemen) en het bepalen of er zekere optimale objecten in een verzameling aanwezig zijn (optimalizatietheorie). Combinatoriek kent raakvlakken met topologie, zoals grafentheorie. Diepere afsplitsingen zijn speltheorie, design theorie Het vierkleurenprobleem: en Ramsey theorie. De beroemdste beoefenaar hierin was ongetwijheb je aan vier kleuren feld de excentrieke wiskundige Paul Erd¨os. Een berucht resultaat genoeg om elke vlakke kaart binnen de combinatoriek is het zogenaamde vierkleurenprobleem, gepoin te kleuren? neerd door Francis Guthrie 1853. Pas in 1976 werd hiervan een bewijs gevonden, door Ken Appel en Wolfgang Haken, die het vierkleurenprobleem terug brachten tot een groot doch eindig aantal (vele honderden) speciale gevallen en lieten vervolgens een computer al deze speciale gevallen uitrekenen. Samen met hun trouwe IBM 370-computer hadden ze een belangrijk probleem gekraakt. Maar het applaus was schaars: ze hadden het bewijs met behulp van een computer geleverd en dit paste niet in het klassieke straatje van een wiskundig bewijs. De wiskunde wacht nog steeds op een traditioneel bewijs. houdt zich bezig met de studie en ontwikkeling van algoritmen (programmeren). Een 3 Algoritmiek voorbeeld van een algoritme is het algoritme van Euclides dat de grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen geeft. Een formalisatie van algoritmen ontstond door David Hilbert 1928 en leidde tot Alan Turing’s Turing machines 1937: een mechanisch model van berekening en berekenbaarheid en daarmee een model voor een computer. Het bekendst bij het grote publiek is de Turing-test (om licht te werpen op de vraag of een machine menselijke intelligentie kan vertonen) en zijn betrokkenheid bij het kraken van de Enigma-code (waardoor de geallieerden tijdens de Tweede Wereldoorlog op de hoogte zijn geweest van de locaties van de onderzee¨ers van de Nazi-Duitsers). 3 Operationeel onderzoek is een interdisciplinair vakgebied, gericht op de toepassing van wiskundige technieken en modellen om processen binnen organisaties te verbeteren of te optimaliseren. Een typisch operationeel probleem is het befaamde handelsreizigersprobleem: als er n steden gegeven zijn die een handelsreiziger moet bezoeken, samen met de afstand tussen ieder paar van deze steden, vind dan de kortste weg die kan worden gebruikt, waarbij iedere stad precies eenmaal wordt bezocht. Het vinden van de kortste reisweg is nog altijd onoplosbaar, maar huidige technieken leiden wel tot een zeer goede schatting . Het probleem is zelfs zo moeilijk oplosbaar dat men in het jaar 2000 een prijs van ´e´en miljoen dollar uitschreef voor de oplossing ervan. Het probleem is niet alleen academisch; het heeft talloze directe toepassingen in de praktijk, van het aanleggen van kabelnetten tot het bepalen van de route van de boorkop bij het boren van gaatjes in printplaten. Operationeel onderzoek wordt onder andere ontwikkeld in bedrijfskunde, econometrie en technische wetenschappen. De meeste toepassingsgebieden zijn te vinden in het bedrijfsleven en binnen de non-profitsector.

Het handelsreizigersprobleem: de optimale route route voor de 15 grootste steden van Duitsland, de kortste van 43 589 145 600 mogelijke routes.

3 Rijen en reeksen. Een rij is een geordende lijst van getallen, gescheiden door komma’s. Een reeks is een geordende lijst van getallen gescheiden door somtekens. Deze twee fundamentele concepten werden relatief laat in de geschiedenis ontwikkeld en zorgden voor heel wat verwarring. Rijen en reeksen zijn echter fundamenteel binnen de wiskundige opbouw van analyse en meerbepaald de calculus. 3 Recursievergelijkingen zijn vergelijkingen die rijen recursief defini¨eren. Dit gebied heeft onder andere toepassingen in de economie. 3 Informatietheorie is de wiskundige theorie die zich bezighoudt met het zo effici¨ent en betrouwbaar mogelijk overdragen en opslaan van informatie via onbetrouwbare kanalen (media). Een in 1948 gepubliceerd artikel van Claude Shannon wordt algemeen gezien als de grondslag van dit vakgebied. 3 Complexiteitstheorie is het gebied van wetenschappelijk onderzoek dat zich bezighoudt met de vragen welke wiskundige problemen al dan niet oplosbaar zijn en hoe effici¨ent oplossingen voor een gegeven probleem zijn. De complexiteitstheorie is een overlapgebied van de wiskunde en de informatica. Het is ook ´e´en van de oudste pijlers waarop de informatica als vakgebied en wetenschap gebaseerd is en het is niet onredelijk om te zeggen dat de informatica uit de vraagstukken van de complexiteit ontstaan is. Het grootste openstaande probleem is hier het fameuze P=NP probleem.

xi


5. Toegepaste wiskunde bestudeert het gebruik van abstracte wiskundige middelen voor het oplossen van concrete problemen in de wetenschap en de zakenwereld. We onderscheiden de volgende gebieden. 3 Kansrekening of stochastiek of waarschijnlijkheidsrekening is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met situaties waarin het toeval een rol speelt, met als gevolg dat er geen zekerheid is over allerlei uitkomsten. Kansrekening is ontstaan vanuit de maatschappelijke behoefte om zo effectief mogelijk om te gaan met onzekerheden. Een vraag van de 17e eeuwse fervente gokker Chevalier de M´er´e aan Blaise Pascal leidde tot het ontstaan van de kansrekening, met als voornaamste grondleggers Girolamo Cardano, Blaise Pascal, Pierre de Fermat en Christiaan Huygens. Latere hoofdrolspelers waren Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre, Thomas Bayes en Simon Laplace. Een aanvaardbare definitie van het begrip kans en een axiomatische opbouw van kansrekening liet op zich wachten tot Andrey Kolmogorov 1933. Kansrekening laat een wiskundige analyse toe van problemen waarin het toeval een belangrijke rol speelt en speelt daarom een prominente rol in onder meer data-mining, expert systemen, probabilistische algoritmes, prestaties van netwerken, genetica, herkennen van beelden, voorspellen van de aandeelkoersen en populatie-groei. Kernbegrippen binnen de kansrekening zijn de stochastische variabele en de direct daarmee samenhangende kansverdeling, verwachtingswaarde en variantie.

Probleem van Chevalier de M´er´e: heb je meer kans om in 4 worpen met ´e´en dobbelsteen minstens een keer zes gooien, of om in 24 worpen met twee dobbelstenen minstens een keer dubbel zes te gooien?

is de wetenschap van het verzamelen, ordenen, analyseren, interpreteren of verklaren en 3 Statistiek presenteren van gegevens. Binnen het vakgebied van de statistiek wordt onderscheid gemaakt tussen de volgende twee deelgebieden. Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het verzamelen en het bewerken van gegevens. De bedoeling is om op een (soms grote) hoeveelheid waarden een aantal bewerkingen toe te passen zodat de resultaten overzichtelijk worden. Hierbij denken we onder andere aan het maken van een tabel of grafiek; het berekenen van beschrijvende maten, zoals centrummaten, spreidingsmaten en boxplot. Anderzijds heeft verklarende statistiek (ook wel inductieve, wiskundige of inferenti¨ele statistiek genoemd) als bedoeling om op basis van de resultaten van waarnemingen te komen tot algemene uitspraken over het onderzochte verschijnsel. Enkele bekende methoden zijn: toetsen van hypothesen, schatten van de numerieke karakteristieken en daarmee gelinkt het bepalen van de foutenmarge en betrouwbaarheidsinterval bij een gegeven betrouwbaarheidsniveau. Willen de resultaten van waarnemingen leiden tot waardevolle algemene uitspraken, dan zullen die waarnemingen voldoende willekeurig moeten zijn. De kansrekening stelt ons in staat om het concept van willekeur te begrijpen. Men kan kansrekening dan ook zien als de brug tussen de beschrijvende en de verklarende statistiek. 3 Numerieke wiskunde is het deelgebied waarin algoritmes voor problemen in de continue wiskunde bestudeerd worden (in tegenstelling tot discrete wiskunde). Dit betekent dat het vooral gaat over re¨ele of complexe variabelen, het oplossen van differentiaalvergelijkingen en andere vergelijkbare problemen die optreden in de natuurkunde en techniek. Meestal bedoelt men met de term numerieke wiskunde de studie van de iteraties, waar men een probleem oplost door opeenvolgende benaderingen van de oplossing te bepalen uitgaande van eerste schatting. De meest bekende van deze numerieke procedures zijn de methode van Newton-Raphson (benaderen van een nulwaarde van een functie) en de methode van Euler (oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen met gegeven beginvoorwaarde). Grafische rekenmachines maken gebruik van deze iteraties om bijvoorbeeld extrema, afgeleiden en integralen te berekenen. is het wetenschappelijke vakgebied dat zich bezighoudt met het grensgebied 3 Wiskundige natuurkunde van de wiskunde en de natuurkunde. De ontwikkeling van bepaalde onderwerpen in de natuurkunde waren vaak gelinkt met een wiskundige taal nodig om fenomenen te beschrijven en te begrijpen. Zo’n ontwikkelingen vonden bijvoorbeeld plaats in de tweede helft van de 18e eeuw door Jean Le Rond d’Alembert, Leonhard Euler en Joseph Louis Lagrange, op het gebied van parti¨ele differentiaalvergelijkingen, variatierekening, Fourieranalyse, potentiaaltheorie en vectoranalyse. De studie van de spectraallijnen en later de kwantummechanica liep parallel met de wiskundige ontwikkeling van de lineaire algebra, spectraaltheorie en functionaalanalyse. De speciale en algemene relativiteitstheorie zorgden voor de noodzaak van abstracte wiskunde zoals groepentheorie, differentiaalmeetkunde en topologie. Statistische mechanica werd gelinkt met de wiskundige ergodentheorie en kansrekening. Tot op vandaag neemt het aantal interacties tussen combinatoriek en natuurkunde toe, in het bijzonder in de statistische natuurkunde. legt zich toe op het modelleren van diverse aspecten en fenomenen in de economische 3 Financi¨ele wiskunde en financi¨ele wereld. Het kent toepassingen in het bank- en verzekeringswezen (interesten en annu¨ıteiten) en op de financi¨ele markt. Financi¨ele wiskunde kent zijn oorsprong in 1900 toen Louis Bachelier de Brownse beweging (een natuurkundig verschijnsel waarbij deeltjes een onregelmatige eigen beweging vertonen en volgens een toevallig aandoend patroon in alle richtingen weg kunnen schieten) toepaste op de beurs. xii


The true mathematician is not a juggler of numbers, but a juggler of concepts. Ian Stewart

, Concepts of modern mathematics, 1975 [202]

Parate kennis bij aanvang van de derde graad Bij aanvang van de derde graad veronderstellen we dat je de volgende leerstof paraat kent, zodat je op elk moment beroep kunt doen op deze definities, notaties, afspraken, formules, eigenschappen en werkwijzen.

Verzamelingen 3 Een verzameling is een collectie van objecten, die we de elementen van die verzameling noemen. We kennen twee manieren om een verzameling te beschrijven. . Opsomming. Je somt de elementen van de verzameling op, het geheel wordt tussen accolades geplaatst. Hierbij speelt de volgorde van opsommen geen rol. Voorbeeld 1. De verzameling van klinkers van het alfabet is {a, e, i, o, u}. Merk op dat deze verzameling gelijk is aan de verzameling {e, a, i, o, u}. Voorbeeld 2. De verzameling van alle natuurlijke getallen is N = {0, 1, 2, 3, . . .}

. Expliciet. Je beschrijft de elementen aan de hand van de eigenschap(pen) die deze elementen vastleggen. Voorbeeld 1. De verzameling van klinkers van het alfabet is { |  is een klinker van het alfabet}. Voorbeeld 2. De verzameling van Belgen jonger dan 17 jaar is {B | B is Belg en leeftijd B < 17}.

We stellen een verzameling schematisch voor aan de hand van een Venndiagram.1 Voorbeeld. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt als volgt voorgesteld:

N 0 1 2 ... 3 De verzameling die geen enkel element bevat noemt men de lege verzameling, die we noteren met {} of met ∅. Voorbeeld. {P | P is een vrouw die de president van de Verenigde Staten is geweest} = ∅

3 Is a een element van een verzameling A, dan schrijven we a ∈ A. In het andere geval noteren we a ∈ / A. Is elk element van een verzameling B ook een element van een verzameling A, dan noemen we B een deelverzameling van A en we schrijven B ⊆ A. In het andere geval noteren we B 6⊆ A. In symbolen: B⊆A

B 6⊆ A

∀b ∈ B : b ∈ A (lees als: voor alle elementen b van B geldt b is een element van A)

∃b ∈ B : b ∈ / A (lees als: er bestaat een element b van B waarvoor geldt b is geen element van A).

Voorbeeld. De verzameling van alle natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van alle gehele getallen. In symbolen: N ⊆ Z. Schematisch: Z N 0 −1 1 −2 2 ... ...

1 Genoemd naar John Venn 1880. Gelijkaardige diagrammen werden eerder gebruikt door Leonhard Euler Willhelm Leibniz 17e eeuw en Ramon Llull 13e eeuw.

xiii

18e eeuw, Gottfried


3 Voor twee verzamelingen A en B kennen we de volgende bewerkingen: . De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die zowel tot A als tot B behoren. In symbolen: A ∩ B = {x | x ∈ A en x ∈ B} Schematisch:

A

B A∩B

. De unie van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren. In symbolen: A ∪ B = {x | x ∈ A of x ∈ B} Schematisch:

A

B A∪B

. Het verschil van A met B is de verzameling van alle elementen die wel tot A maar niet tot B behoren. In symbolen: A\B = {x | x ∈ A en x ∈ / B} Schematisch:

A

B

A\B

Algebra¨ısch rekenen 3 We kennen de volgende merkwaardige producten, die we eenvoudig bewijzen door uitwerking:2 voor a, b ∈ R geldt (a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2

zodat

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

zodat

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2

zodat

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Analoog toont men voor a, b ∈ R aan dat: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

3 Een eerstegraadsvergelijking is van de vorm ax + b = 0 met a, b ∈ R en a 6= 0. Een eerstegraadsvergelijking lossen we op door de onbekende x af te zonderen. Voorbeeld. We lossen de eerstegraadsvergelijking −19x + 8 = 0 op. −19x + 8 = 0

−19x = −8 8 ⇔ x= = 0, 4210 . . . 19 ß ™ 8 De oplossingenverzameling noteren we met V of OplV. Hier is OplV = . 19 2 De benaming merkwaardig product wordt gebruikt om een product aan te duiden die het bemerken waard is, omdat ze regelmatig in rekenwerk voorkomt en daarom aangewezen is om ze uit het hoofd te kennen. Het bijvoegelijk naamwoord merkwaardig betekent in deze context dus niet zozeer eigenaardig (aan het uitschrijven van bijvoorbeeld (a − b)(a − b) is niets eigenaardig), maar eerder noemenswaardig. Zo kunnen merkwaardige producten ook hoofdrekenen vergemakkelijken, zoals 98·102 = (100−2)·(100+2) = 1002 −22 = 10 000−4 = 9996.

xiv


3 Een tweedegraadsvergelijking is van de vorm ax2 + bx + c = 0 met a, b, c ∈ R en a 6= 0. De algemene werkwijze om een tweedegraadsvergelijking op te lossen is door √ de discriminant D = b2 − 4ac te berekenen, in het geval −b ± D D ≥ 0 worden de oplossingen gegeven door x = . 2a Voorbeeld. We lossen de tweedegraadsvergelijking −3x2 + 9x + 15 = 0 op. −3x2 + 9x + 15 = 0

® zodat OplV =

3−

√ 2

29 3 + ,

29

D = 32 − 4 · (−1) · 5 = 29 √ −3 ± 29 ⇔ x= −2 √ √ 3 − 29 3 + 29 ⇔ x= of x = 2 2

´

2

− x2 + 3x + 5 = 0

.

Analytische meetkunde op een rechte 3 Een getallenas is een rechte, voorzien van twee verschillende punten waar de getallen 0 en 1 bij geplaatst worden. De afstand tussen 0 en 1 noemen we de lengte-eenheid (of ijk). Het is een afspraak dat er bij elk punt van de getallenas juist ´e´en re¨eel getal hoort. De verzameling van alle re¨ele getallen noteren we met R. 1/2 π

−1

0

1

2

3

R

4

√ 2

3 De absolute waarde van een (re¨eel) getal x is de afstand tussen de punten 0 en x op de getallenas. Die afstand noteren we met |x|. Zo is bijvoorbeeld |3| = 3 terwijl |−2| = 2 = −(−2). We kunnen twee gevallen onderscheiden:

als x ≥ 0

0

als x < 0

1

R

x

0

x

|x| = x

1

R

|x| = −x

In het algemeen geldt dus: |x| =

ß

x −x

als x ≥ 0 als x < 0

Meer algemeen: de afstand tussen twee punten x en y op de getallenas is de absolute waarde van hun verschil.

0

1

x

R

y |x − y|

3 Zij a en b twee getallen met a < b. . Het open interval ]a, b[ is de verzameling van alle getallen tussen a en b. In symbolen: ]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b} Voorstelling op een getallenas:

]a, b[ 0

1

a xv

b

R


. Het halfopen interval [a, b[ is de verzameling van alle getallen tussen a en b, samen met a. Analoog voor halfopen interval ]a, b]. In symbolen: [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} en ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} Voorstelling op een getallenas:

[a, b[ 0 1 a R b . Het gesloten interval [a, b] is de verzameling van alle getallen tussen a en b, samen met a en b. In symbolen: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Voorstelling op een getallenas:

[a, b] 0

1

a

R

b

Voor zo’n open, halfopen en gesloten interval noemen we a en b de randpunten van dat interval. Een bijzonder interval wordt op de volgende manier gevormd: de afstand |x| is kleiner dan een positief getal c als en slechts als x gelegen is tussen −c en c. In symbolen:

|x| < c

Voorstelling op een getallenas:

−c < x < c

0

−c

x ∈ ]−c, c[

1

x

R

c

|x| < c

Analytische meetkunde in een vlak 3 Een orthogonaal assenstelsel (of cartesisch of cartesiaans assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen die loodrecht op elkaar staan, de x-as en de y-as.Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O. De figuur toont hoe elk punt P in het vlak volledig bepaald is door een koppel re¨ele getallen (a, b). Dat koppel noemen we het koppel cartesische co¨ ordinaten van P , kortweg de co¨ordinaten van P . In symbolen: P (a, b)

of

y

P (a, b)

b 1

co(P ) = (a, b)

Hierbij noemen we a de x-co¨ ordinaat (of abscis) en b de y-co¨ordinaat (of ordinaat) van P .

O

a

1

3 De vergelijking van een rechte r is

als r niet evenwijdig is met de y-as:

als r evenwijdig is met de y-as: of

r : y = mx + q

r:x=p

we noemen m de rico van de rechte r

de rico van een verticale rechte is onbepaald

voor de hellingshoek α geldt tan α = m

voor de hellingshoek α geldt α = 90◦

y α q O

y

r

r

+m

+1

α x

O

p

x

We kunnen de vergelijking van een rechte r altijd schrijven in de (standaard)vorm r : ax + by = c . xvi

x


y

3 De rico (voluit richtingsco¨effici¨ent) van de rechte r door de punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) is: y2 − y1 (als x2 = 6 x1 ) m= x2 − x1

y2

Meetkundige betekenis. De rico is de verticale toename gedeeld door de horizontale toename.

y1

r B y2 − y1

A x2 − x1

3 De vergelijking van de rechte r met rico m en door het punt A(x1 , y1 ) is: r : y − y1 = m(x − x1 ) rico r1 = rico r2

en

3 Voor twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) en het midden M (k, l) van het lijnstuk [AB] geldt volgens de stelling van Thales: |AM | k − x1 = x2 − x1 |AB|

⇒ ⇒

1 k − x1 = · (x2 − x1 ) 2 1 k = (x1 + x2 ) 2

en analoog voor de y-co¨ ordinaat van M , zodat de co¨ordinaten van het midden M van het lijnstuk [AB] gegeven worden door:

3 Voor twee punten A(x1 , y1 ) en B(x2 , y2 ) geldt volgens de stelling van Pythagoras: 2 2 2 |AB| = |x2 − x1 | + |y2 − y1 | zodat de afstand tussen die twee punten gelijk is aan: |AB| =

2

2

(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

⇔ ⇔

|P M | = r » (x − a)2 + (y − b)2 = r (x − a)2 + (y − b)2 = r2

B M

l y1

A

x1

x2

k

x

y

B

y2 y1

O

P (x, y) ∈ C(M, r)

rico r1 · rico r2 = −1

y2

In plaats van |AB| noteert men ook wel d(A, B).3

3 De cirkel met middelpunt M (a, b) en straal r noteren we met C(M, r). Uit de formule voor de afstand tussen twee punten volgt:

y

O

x + x y + y  1 2 1 2 , M 2 2

»

r1 ⊥ r2

x

//

x2

//

3 Voor twee rechten r1 en r2 geldt: r1 // r2

x1

O

|y2 − y1 |

A |x2 − x1 | x1

x2

x

y C(M, r) r b

P

M

zodat de vergelijking van de cirkel met middelpunt M (a, b) en straal r gegeven wordt door: C(M, r) : (x − a)2 + (y − b)2 = r2 3 De afstand van een punt P (x1 , y1 ) tot een rechte r : ax + by = c is gelijk aan: |ax1 + by1 − c| √ d(P, r) = a2 + b2

O

a

x

y

r

|

|

d(P, r)

y1

3 De

letter d is afkomstig van het woord distance, de Engelse term voor afstand.

xvii

O

P x1

x


3 De vergelijking van een parabool P is

P : y = ax2 + bx + c

Voor wat de vorm van deze meetkundige figuur betreft zijn er twee mogelijkheden:

a>0

a<0

of

dalparabool

bergparabool

P

P

De ligging van de x-as wordt bepaald door de oplossingen van de tweedegraadsveelterm ax2 + bx + c = 0. Die vinden we door de discriminant D = b2 − 4ac te berekenen. We onderscheiden:

a>0

a<0

of

dalparabool

bergparabool

P

D>0

x1

x2 x

twee nulwaarden x1,2

√ −b ± D = 2a

x1

x2

P

x

of x1 = x2 P

D=0

x

´e´en nulwaarde x1,2

√ b −b ± D =− = 2a 2a

P x

x1 = x2

of

x P

D<0 geen nulwaarden

P x xviii


Driehoeksmeetkunde en goniometrie 3 Voor een driehoek met hoekpunten A, B en C (kortweg ∆ABC) hanteren we de volgende notaties:

a = |BC|

met overstaande hoek

b α=A

b = |CA|

met overstaande hoek

“ β=B

c = |AB|

met overstaande hoek

“ γ=C

C γ a

b α

β

A

c

B

3 Stelling van Pythagoras.4 Gegeven een driehoek ABC. Dan geldt: ∆ABC is rechthoekig in A

a2 = b2 + c2

3 Goniometrische getallen van scherpe hoeken. In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek α zijn de goniometrische getallen van β per definitie: overstaande rechthoekszijde b = schuine zijde a c def aanliggende rechthoekszijde cos β = = schuine zijde a b def overstaande rechthoekszijde tan β = = aanliggende rechthoekszijde c

C

def

sin β =

a

b |

β

|

A

c

B

zodat wegens de stelling van Pythagoras geldt: b2 c2 a2 + = =1 a2 a2 a2

3 Oppervlakte van een driehoek. In een driehoek ABC is de opper1 vlakte gelijk aan basis × hoogte, waaruit we vinden5 2 Opp. ∆ABC =

1 c · b sin α 2

C

b sin α

b α

|

A

|

sin2 β + cos2 β =

c

B

3 Sinusregel. Passen we de vorige formule voor de oppervlakte van een driehoek toe op de andere hoeken β en γ, dan vinden we: 1 1 1 Opp. ∆ABC = c · b sin α = a · c sin β = b · a sin γ 2 2 2 waaruit de zogenaamde sinusregel volgt: a b c = = sin α sin β sin γ

4 Toegeschreven aan Pythagoras van Samos (±570 v.Chr.-±495 v. Chr.), doch al eerder toegepast in Soemeri¨ e, Babyloni¨ e en het Oude Egypte. 5 Deze redenering gaat enkel op voor driehoeken ABC waarvoor α een scherpe hoek is. Indien α een stompe hoek is, bewijst men deze formule aan de hand van een analoge redenering en met behulp van het verband sin(180◦ − α) = sin α.

xix


3 Cosinusregel.6 In een driehoek ABC kan a opgevat worden als de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijden (c − b cos α) en b sin α, waaruit volgt:7 2

a2 = (c − b cos α)2 + (b sin α) 2

2

C

2

2

2

= c − 2bc cos α + b cos α + b sin α

= b2 + c2 − 2bc cos α

Analoog vinden wij soortgelijke formules voor de andere hoeken β en γ, wat leidt tot de zogenaamde cosinusregel:

|

A

b2 = c2 + a2 − 2ca cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

|

α

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

a

b sin α

b

B

c c − b cos α

b cos α

3 Goniometrische getallen van willekeurige hoeken. Elke hoek α is voor te stellen op de zogenaamde goniometrische cirkel: de cirkel C(O, 1) met middelpunt de oorsprong O en straal 1. Bij elke hoek α hoort het zogenaamd beeldpunt: het punt Eα op de cirkel C(O, 1). Per definitie is:

y

def

sin α = de y-co¨ ordinaat van Eα

1

C(O, 1)

def

cos α = de x-co¨ ordinaat van Eα def sin α tan α = cos α

Eα tan α

sin α

α cos α

In het geval dat α een scherpe hoek is, komen deze definities overeen met de goniometrische getallen van scherpe hoeken.

1

x

x=1 3 Goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende scherpe hoeken. We kennen de volgende tabel: α

0◦

sin α

0

cos α

1

tan α

0

30◦ 1 2 √ 3 2 1 √ 3

45◦ √ 2 2 √ 2 2 1

60◦ √ 3 2 1 2 √ 3

90◦ 1 0 |

3 Grondformule van de goniometrie. Voor een hoek α ligt het beeldpunt Eα op de goniometrische cirkel. Bijgevolg voldoen de co¨ ordinaten van Eα aan de vergelijking van die cirkel: Eα ∈ C(O, 1)

⇒ ⇒

co(Eα ) = (cos α, sin α) voldoet aan de vergelijking van de cirkel C(O, 1) : x2 + y 2 = 1

(cos α)2 + (sin α)2 = 1 sin2 α + cos2 α = 1

Deze formule noemt men de grondformule van de goniometrie. Beide leden van de grondformule delen door cos2 α levert: 1 + tan2 α =

1 cos2 α

Beide leden van de grondformule delen door sin2 α geeft: cot2 α + 1 =

1 sin2 α

def

waarbij cot α =

cos α sin α

6 De cosinusregel a2 = b2 + c2 − 2bc cos α wordt opgevat als een uitbreiding van de stelling van Pythagoras a2 = b2 + c2 (in een rechthoekige driehoek) naar een willekeurige driehoek, waarbij de formule a2 = b2 + c2 nu gecorrigeerd wordt met de term −2bc cos α. 7 Deze redenering gaat enkel op voor driehoeken ABC waarvoor α een scherpe hoek is. Indien α een stompe hoek is, bewijst men deze formule aan de hand van een analoge redenering en met behulp van het verband cos(180◦ − α) = − cos α.

xx


Algebra 3 Een (re¨ele) veelterm (of polynoom) in de variabele x is van de vorm A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

waarbij n ∈ N en a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R

Als an 6= 0 noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = gr A(x). 3 Euclidische deling.8 Gegeven twee veeltermen A(x) en B(x) waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat er precies ´e´en veelterm Q(x) en ´e´en veelterm R(x) zodat: A(x) = Q(x) · B(x) + R(x)

en waarvoor gr R(x) < gr B(x) of R(x) = 0

We noemen Q(x) het quoti¨ent en R(x) de rest. Als R(x) = 0 dan zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x). 3 Reststelling. De rest bij deling van een veelterm A(x) door x − a is gelijk aan A(a).

Voorbeeld. Delen we A(x) = x4 − 3x3 + 7x2 − x − 18 door x − 3, dan is de rest gelijk aan A(3) = 34 − 3 · 33 + 7 · 32 − 3 − 18 = 42 Berekenen we A(2), dan vinden we A(2) = 24 − 3 · 23 + 7 · 22 − 2 − 18 = 0 waaruit blijkt dat de rest bij deling van A(x) door x − 2 gelijk is aan 0. Dus A(x) is deelbaar door x − 2. De redenering die we net gemaakt hebben noemen we het

3 Kenmerk van deelbaarheid door x − a. Een veelterm A(x) is deelbaar door x − a als en slechts als A(a) = 0. 3 Staartdeling. Te gebruiken bij deling van twee veeltermen. Voorbeeld. De deling van A(x) = 4x5 − 2x4 − 3x2 − 2x + 2 door B(x) = 2x3 + x − 1 door middel van staartdeling verloopt als volgt: 4x5 ±4x5

−2x4 −2x4 ∓2x4

−3x2 ±2x3 −2x3 −2x3 ∓2x3

+2x +2

∓2x2

−x2 ∓x2

+2x +2 ±x

2x3 + x − 1 2x2 − x − 1

+x +2 ∓x ±1

+2x +1

waaruit 4x5 − 2x4 − 3x2 + 2x + 2 = (2x2 − x − 1) · (2x3 + x − 1) + 2x + 1 | {z } | {z } | {z } | {z } A(x)

Q(x)

B(x)

R(x)

3 Schema van Horner. Te gebruiken bij deling van een veelterm door x − a.

Voorbeeld. De deling van A(x) = x5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31 door B(x) = x − 2 door middel van het schema van Horner verloopt als volgt: 2

1 ↓

1

−2 2

−3 0 −2 31 0 −6 −12 −28

0 −3

−6

−14

3

waaruit x5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31 = (x4 − 3x2 − 6x − 14) · (x − 2) + |{z} 3 | | {z } {z } | {z } A(x)

8 Genoemd

naar Euclides van Alexandri¨ e

Q(x)

±300 v.Chr..

xxi

B(x)

R(x)


Referentielijst, bibliografie en websites [1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998. [2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994. [3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994. [4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994. [5] G.E. Andrews, The theory of partitions, Cambridge Mathematical Library, 1984. [6] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5 Analyse, Wolters, Leuven, 1994. [7] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 6 Analyse Deel A, Wolters, Leuven, 1994. [8] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Complexe getallen, Wolters, Leuven, 1994. [9] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Matrices en stelsels, Wolters, Leuven, 1994. [10] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Ruimtemeetkunde, Wolters, Leuven, 1994. [11] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007. [12] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010. [13] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991. [14] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGrawHill, 1990. [15] J.P. Ballantine, Note on Hero’s formula, The American Mathematical Monthly, Vol. 61, p.337, 1954. [16] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008. [17] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven 42, Utrecht, 2000. [18] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, Uitgeverij De Boeck nv, Antwerpen, 2005. [19] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8 leerboek analyse 1: re¨ele functies, Die Keure. [20] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991. [21] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6a bis, Uitgeverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973. [22] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6b, Uitgeverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973. [23] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6d, Uitgeverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973. [24] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, 2014. [25] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): doi:10.1371/journal.pcbi.0030077, 2007. xxii

e77.


[26] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008. [27] A. Buijs, K. De Bont, Statistiek om mee te werken opgaven en uitwerkingen, Wolters-Noodhoff, 2008. [28] J. Buysse en M. Nachtegael, Wiskundig vademecum, Pelckmans, Kapellen, 2005. [29] P. Carette, M. Guerry, P. Theuns, C. Vanderhoeft, Brugcursus wiskunde voor humane wetenschappen, Vrije Universiteit Brussel, 1995. [30] J. Casteels, D. De Vos, L. Goris, R. Rottiers, J. Salaets, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Beknopte analyse veeltermfuncties, Wolters, Leuven, 1994. [31] J. Casteels, L. Goris, R. Rottiers, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Complexe getallen, Wolters, Leuven, 1993. [32] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3, 4-15, 2014. [33] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F. Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006. [34] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekening en differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006. [35] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory, AoPS Incorporated, 2013. [36] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory solutions manual, AoPS Incorporated, 2013. [37] T. Crilly, 50 inzichten wiskunde Onmisbare basiskennis, Veen Magazines, Diemen, 2009. [38] T. Crilly, De grote vragen Wiskunde, Veen Magazines, Diemen, 2011. [39] P.W. Daly, H. Kopka, A guide to LaTeX Document preparation for beginners and advanced users, Addison-Wesley, 1992. [40] D. De Bock, J. Deprez, D. Janssens, G. Kesselaers, R. Op de Beeck, M. Roelens, J. Roels, Wiskunde vanuit toepassingen, Acco, Leuven, 1990. [41] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context afgeleiden, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1989. [42] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context beschrijvende statistiek, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1987. [43] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context exponenti¨ele en logaritmische functies, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1989. [44] C. De Cock en N.J. Schons, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962. [45] C. De Cock en N.J. Schons, Logaritmentafels in vijf decimalen en bijtafels, De Procedure, Namen, 1962. [46] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002. [47] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002. [48] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002. [49] M. de Gee, Wiskunde in werking, van A naar B, Epsilon Uitgaven 70, 2015. [50] H.G. Dehling, J.N. Kalma, Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, Utrecht, 2005. [51] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaanderen nr.9, 2006. [52] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 2/A, Acco Leuven, 1989. [53] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 4/A, Acco Leuven, 1989. [54] K. De Naeghel, Belastingverlaging en transformaties van functies, Uitwiskeling 32/1, 7-8, 2016. [55] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, Wiskunde & Onderwijs 169, 58-64, 2017. [56] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2009. xxiii


[57] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, Wiskunde & Onderwijs 150, 128-133, 2012. [58] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1, 2-7, 2014. [59] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2013. [60] K. De Naeghel, Logaritmen en de zuurtegraad van een oplossing, Uitwiskeling 32/1, 17-19, 2016. [61] K. De Naeghel, mathcounts Trainer: een applicatie voor probleemoplossend denken in de klas, Uitwiskeling 32/2, 43-44, 2016. [62] K. De Naeghel, Over irrationale getallen en machten van pi, Wiskunde & Onderwijs 168, 328-334, 2016. [63] K. De Naeghel, Steeds betere benadering voor het getal pi, Wiskunde & Onderwijs 149, 18-23, 2012. [64] K. De Naeghel, Uitgewerkte opdrachten en oefeningen bij SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire algebra I, print-ondemand online publishing Lulu.com, 2016. [65] K. De Naeghel, Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen, Wiskunde & Onderwijs 161, 38-48 en 162, 113-123, 2015. [66] K. De Naeghel, L. Gheysens, Pythagoras en lineaire transformaties, Wiskunde & Onderwijs 160, 312-313, 2014. [67] K. De Naeghel, A. Timperman, Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleaf voor beginners, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2014. [68] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014. [69] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014. [70] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analytische kansrekenen (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [71] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, K. Thaels, P. Tytgat, Delta 5/6 Ruimtemeetkunde (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [72] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse deel 1 (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [73] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse (4 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003. [74] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010. [75] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009. [76] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [77] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [78] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel A, Wolters, Leuven, 1993. [79] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel B, Wolters, Leuven, 1993. [80] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49, 2007. [81] J. Deprez, D. Janssens, Getaltheorie in het secundair onderwijs, Acco, Leuven, 1986. [82] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, DPB Brugge, 3 maart 2010. [83] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek, 1998. [84] D.E. Dobbs, Proving Heron’s formula tangentially, The College Mathematics Journal, Vol. 15, p.252-253, 1984. [85] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek re¨ele functies precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004. [86] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Re¨ele functies - Analyse, Uitgeverij Pelckmans, 1988. xxiv


[87] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Matrices - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [88] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Re¨ele vectorruimten - Ruimtemeetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1988. [89] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Analytische meetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1989. [90] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Complexe getallen, Uitgeverij Pelckmans, 1989. [91] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Goniometrie, Uitgeverij Pelckmans, 1989. [92] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Combinatieleer - Kansberekening, Uitgeverij Pelckmans, 1990. [93] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Analyse (minimum leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990. [94] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R. Vereecke, Richting: Analyse (uitgebreid leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990. [95] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde A, Uitgeverij Pelckmans, 1992. [96] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [97] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [98] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Beknopte analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [99] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Matrices - Determinanten - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [100] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde B, Uitgeverij Pelckmans, 1993. [101] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R. Vereecke, Richting: Analyse B, Uitgeverij Pelckmans, 1994. [102] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008. [103] W. Dunham, Euler: The master of us all, MAA Dolciani Series, No. 22, 1999. [104] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990. [105] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005. [106] W. Dunham, The mathematical universe, John Wiley & Sons Inc., 1994. [107] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011. [108] M. Du Sautoy, The music of the primes Searching to solve the greatest mystery in mathematics, HarperCollins Publishers, 2003. [109] B. Ernst, De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras, Epsilon Uitgaven 53, Utrecht, 2002. [110] B. Ernst, Onmogelijke figuren, Librero, 2006. [111] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen en afgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005. [112] B.C. Gallivan, How to Fold Paper in Half Twelve Times: An Impossible Challenge Solved and Explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002. [113] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume one, American Mathematical Society, 1998. [114] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume two, American Mathematical Society, 1998. xxv


[115] M. Gardner, Sphere packing, Lewis Carroll and reversi, Cambridge University Press, 2009. [116] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009. [117] L. Geysens en D. Tant, Logica op het menu, Wiskunde & Onderwijs 165, 6-14 en 166, 106-115, 2016. [118] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In, 2005. [119] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek statistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [120] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek telproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [121] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeetkunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [122] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, K. Verzele, P. Weyenberg, Pienter leerboek complexe getallen en fractalen voor de derde graad 6/8, Van In, 2005. [123] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998. [124] L.J. Goldstein, D.I. Schneider, M.J. Siegel, Finite mathematics and its applications, Prentice Hall, Englewood Sliffs, New Jersey, 1988. [125] W. Goldstein, W. Lewin, Gek op natuurkunde Van het begin van de regenboog tot het einde van de tijd: Een reis langs de wonderen van de wetenschap, Thomas Rap, Amsterdam, 2012. [126] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994. [127] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994. [128] E. Grigorieva, Methods of Solving Complex Geometry Problems, Birkh¨auser, Springer International Publishing Switzerland, 2013. [129] M. Hazewinkel, Mathematical knowledge management is needed, Proceedings of Computing Research Repository (2004). Online beschikbaar op http://arxiv.org/ftp/cs/papers/0410/0410055.pdf [130] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000. [131] P. Hammond, K. Sydsæter, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006. [132] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011. [133] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003. [134] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012. [135] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005. [136] N.J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1998. [137] P. Hoffman, De man die van getallen hield Het verhaal van Paul Erds en de zoektocht naar de waarheid van de wiskunde, Bert Bakker, Amsterdam, 1999. [138] L. Horsten, Einig, oneindig, meer dan oneindig, Epsilon Uitgaven 56, Utrecht, 2004. [139] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997. [140] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990. [141] K. J¨ anich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994. [142] S.L. Jones, Mathematical nuts, Norwood Press, 1932. [143] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002. [144] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007. [145] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006. [146] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008. xxvi


[147] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994. [148] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993. [149] E. Kreyszig, E.J. Norminton, Maple computer guide a self-contained introduction for advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2001. [150] T. Kuijpers, C. Lybaert, SOHO Wiskunde Plantyn Groepentheorie, Plantyn, 2013. [151] W. Ledermann en A.J. Weir, Introduction to group theory, Addison Wesley Longman, 1996. [152] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008. [153] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics solutions manual, AoPS Incorporated, 2008. [154] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond, AoPS Incorporated, 2008. [155] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond solutions manual, AoPS Incorporated, 2008. [156] J. Levy, Scheikunde van zuren en basen tot chemische polariteit, Librero, 2012. [157] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991. [158] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN 978-90-357-1800-5, 2011. [159] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009. [160] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006. [161] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson Education Benelux, 2011. [162] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012. [163] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015. [164] L. Motmans, Inhaalcursus wiskunde voor het eerste kandidaatsjaar Toegepaste Economische Wetenschappen en Handelsingenieur, Limburgs Universitair Centrum, 2002. [165] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen, Universiteit Gent, 2009. [166] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002. [167] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005. [168] R.B. Nelsen, Heron’s formula via proofs without words, The College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 4, 2001. [169] I. Newton, Method of fluxions, 1736. [170] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86, 161-163, 1993. [171] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 3, No. 1, 33-38, 1972. [172] J.P. Ottoy, Wiskunde algebra analystische meetkunde, Universiteit Gent, [173] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus, AoPS Incorporated, 2010. [174] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2010. [175] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability, AoPS Incorporated, 2007. [176] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability manual, AoPS Incorporated, 2007. [177] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009. [178] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009. [179] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1989.

xxvii


[180] R. Penrose, The emperor’s new mind Concerning computers, minds and the laws of physics, Oxford University Press, 1989. [181] R. Penrose, The road to reality A complete guide to the laws of the universe, Vintage Books, London, 2005. [182] H. Pfaltzgraff, Spijker 1 Rekenen, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [183] H. Pfaltzgraff, Spijker 2 Algebra, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [184] H. Pfaltzgraff, Spijker 3 Functies, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [185] H. Pfaltzgraff, Spijker 4 Differenti¨eren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [186] H. Pfaltzgraff, Spijker 5 Integreren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [187] H. Pfaltzgraff, Spijker 6 Statistiek, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [188] H. Pfaltzgraff, Spijker 7 Goniometrie en vectoren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009. [189] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010. [190] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945. [191] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010. [192] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007. [193] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009. [194] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009. [195] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2009. [196] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008. [197] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra solutions manual, AoPS Incorporated, 2008. [198] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938. [199] S. Singh, De oerknal De belangrijkste wetenschappelijke ontdekking ooit, De Arbeiderspers, Amsterdam, 2005. [200] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962. [201] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008. [202] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975. [203] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990. [204] K. Stulens, Herhalingslessen wiskunde Voorbereiding tot het eerste kandidaatsjaar wiskunde-natuurkundeinformatica-kennistechnologie, Limburgs Universitair Centrum, 2000. [205] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). [206] J.P. Van Bendegem, Inleiding tot de moderne logica en wetenschapsfilosofie: een terreinverkenning, VUBPRESS, Brussel, 2001. [207] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005. [208] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010. [209] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006. [210] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn, Mechelen, 2014. [211] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011. [212] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 1, Springer-Verlag, 1991. [213] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 2, Springer-Verlag, 1991. [214] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997. [215] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, WoltersNoordhoff, 2006. xxviii


[216] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1 uitwerkingen en extra, praktijkgerichte vraagstukken, Wolters-Noordhoff, 2009. [217] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002. [218] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press, New York, 1967. [219] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141, 443-551, 1995. [220] H. Wussing, Geschiedenis van de wiskunde Vanaf de wetenschappelijke revolutie tot de twintigste eeuw, Veen Magazines, Diemen, 2010. [221] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/

.

[222] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League, http://www.amatyc.org/SML/ . [223] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/

.

[224] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/ . [225] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/

.

[226] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/

. .

[227] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/

[228] Website C. Cambr´e, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ [229] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/

.

.

[230] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ [231] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ [232] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/

.

.

.

[233] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/

. .

[234] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen

[235] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019, http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf . [236] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren− en− studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ [237] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ [238] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/

.

.

.

[239] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ [240] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ [241] Website ticalc.org voor het downloaden van http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ . [242] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/

programma’s

op

de

.

[243] Website G. Vernaeve, https://cage.ugent.be/∼ gvernaev/wiskunde.nl.html [244] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ [245] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/

.

en http://en.wikipedia.org/

[246] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/

xxix

.

.

grafische

. .

rekenmachine,


Wiskunde In zicht is een cursus wiskunde bestemd voor leerlingen van de derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde. Het werd ontworpen vanuit de behoefte aan een natuurlijke en correcte, maar toch haalbare benadering van basisconcepten in de wiskunde. Er werd bewust gekozen voor 3 een invulcursus, zodat de leerling ervaart hoe bepaalde oplossingsmethoden opgebouwd worden, terwijl de leerkracht nog voldoende vrijheid heeft die methoden op zijn of haar eigen manier aan te brengen; 3 differentiatie door de oefeningen in verschillende niveaus op te delen, zodat de leerling zelfstandig kan werken, afgestemd op eigen niveau en werktempo (Deel Portfolio wiskunde); 3 ontwikkelen van vaardigheden en attitudes waarbij getracht werd de kwaliteit van de wiskunde te respecteren (Deel Problem Solving wiskunde, Deel Practicum wiskunde, Deel GeoGebra en Deel Maple).

c 2013 Koen De Naeghel royalty percentage: 0%

Voorwoord, Wat is wiskunde, Parate kennis bij aanvang van de derde graad (recto-verso)  

Onderdeel van Wiskunde in zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you