Page 8

3 Enkele bijzondere rijen (vervolg). Vul de volgende tabel aan. Berekeningen maak je op een kladblad. beschrijving in woorden

rij door opsomming

® rij van de driehoeksgetallen

rij van Fibonacci

6

(un ) = 1, 3, 6, 10, 15, . . .

(fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .

expliciet voorschrift

recursief voorschrift

(un )

u1 = 1

un =

un = un−1 + n voor n > 1

   f1 = 1 (fn ) f2 = 1   fn = fn−1 + fn−2 voor n > 2

n(n + 1) 2

zie later 7

3 Opmerking. We hebben de drie voorstellingswijzen geordend van zwak naar sterk.

(1) Opsomming is eerder zwak: als je het patroon niet ziet, dan kun je de volgende termen niet weten. Ken jij de zesde term van de volgende rij? (un ) = 1, 4, 6, 14, 26, . . . (2) Recursief voorschrift is eerder matig: je kan termen berekenen, maar om bijvoorbeeld de honderdste term te kennen moet jij (of je rekenmachine) eerst de negenennegentig vorige termen berekenen. En dat kan wel een tijdje duren! Ken jij de honderdste term van de rij (un )? En de duizendste?    u1 = 1 (un ) u2 = 4   un = un−1 + 2un−2 voor n > 2. Oplossing. We vinden u3 = u2 + 2u1 = 4 + 2 · 1 = 6 en u4 = u3 + 2u2 = 6 + 2 · 4 = 14 enzovoort, zodat (un ) = 1, 4, 6, 14, 26, 54, . . . Nu is u100 = u99 + 2u98 dus om de 100e term te kennen, moet je eerst de 99e en de 98e term kennen. Om die te berekenen, moet je dan weer eerst de 97e en de 96e term kennen enzovoort. Met gebruik van de grafische rekenmachine. Y=

2ND

TABLE

2ND

QUIT

2ND

7

( etc.

(3) Expliciet voorschrift is sterk want je kan meteen elke term berekenen! Als je bijvoorbeeld weet dat een expliciet voorschrift van de rij (un ) gegeven wordt door 8 4 · (−1)n + 5 · 2n 6 dan kun je in een oogwenk de vorige vragen oplossen, en dat zonder je grafische rekenmachine te gebruiken! un =

Oplossing. u6 =

4 · (−1)6 + 5 · 26 4 + 320 = = 54, 6 6

u100 =

4 + 5 · 2100 , 6

u1000 =

4 + 5 · 21000 . 6

6 Genaamd naar Leonardo van Pisa 1202 door de wiskundige François Édouard Anatole Lucas 1877. Leonardo van Pisa is beter bekend onder de naam Fibonacci, afgeleid van filius Bonacci wat zoveel betekent als zoon van Bonaccio. De rij van Fibonacci werd eerder beschreven door de Indische wiskundige Acharya Hemachandra ±1150. 7 Een expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci bestaat, maar ligt niet voor de hand, zie Oefening 12. Ze staat bekend als de formule van Binet, genoemd naar Jacques Binet die ze in 1843 beschreven heeft. Toch had Daniel Bernoulli de formule in 1728 al ontdekt. 8 In Deel Vectorruimten wordt geleerd hoe je uit het recursief voorschrift zelf dit expliciet voorschrift kan vinden.

VI-4

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement