Page 49

V

Oefening 5. Een ouderpaar woont 1 kilometer verderop en wandelt naar huis. Hun kindje loopt dubbel zo snel naar huis. Het komt thuis, loopt terug naar de ouders, loopt terug naar huis enzovoort tot de ouders ook thuis zijn. Je mag ervan uitgaan dat het kindje zich steeds direct omdraait en terugloopt. Noteer de afstand van het huis tot de plaats waar de ouders en het kindje de n-de keer samenkomen als un . (a) Geef een expliciet voorschrift van de rij un (b) Bepaal met behulp van vraag (a) algebraı̈sch de totale afstand die heeft het kindje heeft afgelegd. (c) Kun je het antwoord op vraag (b) ook beredeneren zonder eerst vraag (a) op te lossen?

U

Oefening 6 (Achilles en de schildpad). 5 De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. De schildpad krijgt een voorsprong en start in punt A (zie figuur). Wanneer Achilles het punt A bereikt, waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad intussen bij punt B aangekomen. Arriveert Achilles bij dit punt B, dan is de schildpad intussen aangekomen bij punt C, enzovoort. Zo zou men kunnen stellen dat de achterstand van Achilles steeds kleiner wordt, maar Achilles haalt de schildpad ogenschijnlijk nooit in. Deze redenering druist in tegen de intuı̈tie, en wordt daarom een paradox genoemd: in werkelijkheid zou Achilles de schildpad wel inhalen. Veronderstel dat Achilles tien keer zo snel loopt als de schildpad, en dat hij er 10 seconden over doet om het punt A te bereiken.6 Achilles als de schildpad lopen beiden aan een constante snelheid. Toon aan dat Achilles de schildpad wel degelijk inhaalt, en bepaal algebraı̈sch het tijdstip waarop dit gebeurt.

U?

Oefening 7 (driehoek van Sierpiński). 7 Op een (volle) gelijkzijdige driehoek worden de volgende drie stappen achtereenvolgens en herhaaldelijk toegepast: (1) neem van elke (volle) driehoek het midden van elke zijde; (2) verbind telkens de drie middens tot een nieuwe driehoek; (3) verwijder telkens die nieuwe driehoek. Hieronder zie je zo’n (volle) gelijkzijdige driehoek nadat deze stappen één, twee, drie, vier en vijf keer werden toegepast.

In de limiet verkrijgen we de zogenaamde driehoek van Sierpiński: de figuur die bestaat uit de punten van de oorspronkelijke (volle) driehoek die nooit verwijderd zullen worden. Stel dat de drie zijden van de oorspronkelijke gelijkzijdige driehoek lengte 1 hebben. (a) Duid een punt aan dat tot de driehoek van Sierpiński behoort. (b) Bepaal algebraı̈sch de oppervlakte van de driehoek van Sierpiński.

5 Het filosofisch probleem Achilles en de schildpad is een onderdeel van de zogenaamde paradoxen van Zeno, vernoemd naar de Griekse filosoof Zeno van Elea (ca. 490 - 430 v.chr.). Men neemt aan dat Zeno deze problemen heeft opgesteld om de leer van Parmenides van Elea (ca. 515 v. Chr.) te ondersteunen, dat in tegenstelling tot onze zintuigelijke waarneming stelt dat beweging een illusie is. 6 De snelheid van schildpadden mag niet onderschat worden. Zo haalt de Afrikaanse pannenkoekschildpad Malacochersus tornieri 1km/u, en kunnen over een kortere afstand sprintjes doen met een snelheid van 4 tot 8 kilometer per uur. 7 Waclaw Sierpiński 1915. Op de link https://www.youtube.com/watch?v=TLxQOTJGt8c is een filmpje te zien waarbij je inzoomt op een deel van de driehoek van Sierpiński.

VI-45

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement