Page 47

Vervangen we in de vorige bespreking beide getallen K en i door 1, dan verkrijgen we de meer eenvoudige rij Å ã 1 2 1+ 2

(un ) = 1 + 1 ,

,

Å ã 1 3 1+ 3

,

Å ã 1 4 1+ 4

,

...

waarvan we het gedrag op oneindig met de grafische rekenmachine kunnen onderzoeken.

We vermoeden dat ook deze rij stijgend en naar boven begrensd is, en dus convergeert. Dat werd in 1748 ook formeel aangetoond door Euler, die de waarde van de limiet handmatig berekende tot op 18 cijfers na de komma [6]. 3 Stelling (Euler). De rij (un ) met expliciet voorschrift un = (1 + n1 )n convergeert naar het getal van Euler, in symbolen: ã Å 1 n = e = 2, 718 281 8 . . . 1+ n→+∞ n lim

Door deze limiet te manipuleren, kunnen we het vorige probleem verder oplossen. 3 Probleem (continu samengestelde intrest - vervolg). Als een geldschieter een som geld investeert aan een intrest, zodat op elk moment de intrest op het bedrag aan dat bedrag wordt toegevoegd, hoeveel geld bezit deze persoon dan op het einde van het jaar? Volledige oplossing. We nemen opnieuw aan dat het oorspronkelijke kapitaal gelijk is aan K = 100 000 EUR en dat de rentevoet op jaarbasis 5% is. Noem i = 0, 05. Als de intrest continu aan het kapitaal wordt toegevoegd, dan is het saldo op het einde van het jaar gelijk aan (vul aan):

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Op deze manier hebben we ook aangetoond dat we de uitdrukking 1+∞ niet eenduidig kunnen vastleggen: de uitkomst ervan hangt af van de beschouwde rijen in het grondtal en de exponent van de macht. Deze nieuwe onbepaaldheid behoort tot de volgende (blijkbaar definitieve) lijst van onbepaaldheden die hieronder met limieten van rijen geı̈llustreerd worden. Å ã ∞   0 , , (∞ − ∞) , (0 · ∞) , 00 , ∞0 , (1∞ ) ∞ 0 17n  ∞  = = lim 17 = 17 n→+∞ n n→+∞ ∞ Å ã 17 0 (b) lim n1 = = lim 17 = 17 n→+∞ n→+∞ 0 n (a)

(c) (d)

(e)

lim

(f)

lim ((n + 17) − n) = (∞ − ∞) = lim 17 = 17

n→+∞

n→+∞

1 · (17n) = (0 · ∞) = lim 17 = 17 n→+∞ n n→+∞ lim

(g) VI-43

lim

n→+∞

17−n

(− n1 )

 = 00 = lim 17 = 17 n→+∞

 1 lim (17n ) n = ∞0 = lim 17 = 17

n→+∞

lim

n→+∞

n→+∞

Ä 1 än = (1∞ ) = lim 17 = 17 17 n n→+∞

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement