Page 45

Een fractaal kan omschreven worden als een verzameling van punten in het vlak die voldoet aan zogenaamde schaalinvariantie: ongeacht in welk punt (en hoeveel) je inzoomt ziet de figuur er steeds van hetzelfde type uit.2 Zo is bijvoorbeeld een lijnstuk een fractaal, want ongeacht in welk punt we inzoomen heeft de figuur steeds dezelfde vorm. Niet-triviale fractalen zijn bijvoorbeeld de Mandelbrot verzameling en de Julia verzameling.

Mandelbrot verzameling Benoit Mandelbrot (1924 - 2010)

Mandelbrot verzameling, ingezoomd

Julia verzameling Gaston Julia (1883 - 1978)

3 Modelvoorbeeld 2 (sneeuwvlok van Koch).3 Op een gelijkzijdige driehoek worden de volgende drie stappen herhaaldelijk toegepast: (1) verdeel elke zijde in drie gelijke delen; (2) op elke zijde teken je op het middelste deel een nieuwe gelijkzijdige driehoek dat naar buiten wijst; (3) van elke (oude) zijde laat je het midelste deel weg. Hieronder zie je zo’n gelijkzijdige driehoek nadat deze stappen één, twee, drie en vier keer werden toegepast.

In de limiet verkrijgen we de zogenaamde sneeuwvlok van Koch: de figuur die bestaat uit de punten van de oorspronkelijke driehoek die nooit verwijderd zullen worden. Stel dat de drie zijden van de oorspronkelijke gelijkzijdige driehoek lengte 1 hebben. (a) Duid een punt aan dat tot de sneeuwvlok van Koch behoort. (b) Bepaal algebraı̈sch de omtrek van de sneeuwvlok van Koch. ?

(c) Bepaal algebraı̈sch de oppervlakte van de sneeuwvlok van Koch.

Oplossing.

2 We geven hier slechts een vage omschrijving van het begrip fractaal, dat volstaat voor onze doeleinden. Over deze figuren werd reeds in de 17e eeuw gefilosofeerd, maar het wachten op Karl Weierstrass die in 1872 een eerste voorbeeld van een fractaal gaf. Eens deze figuren gevisualiseerd konden worden dankzij computers, werden ze een echte hype. 3 Helge von Koch 1904. Op de link https://www.youtube.com/watch?v=PKbwrzkupaU is een filmpje te zien waarbij je inzoomt op een deel van de sneeuwvlok van Koch.

VI-41

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement