Page 42

B?

Oefening 10. Hieronder worden limieten van rijen algebraı̈sch berekend met behulp van de rekenregels voor limieten. Vul telkens de berekening verder aan, en verklaar elke overgang. Wees volledig! (a)

U??

−3n2 + 7n −3n + 7 = lim = 1 n→+∞ n→+∞ n+1 1+ n lim

lim (−3n + 7) −3 · lim n + lim 7 n→+∞ n→+∞ Å ã = = ... 1 1 lim 1 + lim lim 1 + n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n

n→+∞

7 −3 + −3n2 + 7n n (b) lim = lim = 1 n→+∞ n→+∞ n2 + 1 1+ 2 n

Å ã 7 −3 + n→+∞ n Å ã = 1 lim 1 + 2 n→+∞ n

Å ã 1 2 lim (−3) + lim n→+∞ n→+∞ n = ... Å ã 1 2 lim 1 + lim n→+∞ n→+∞ n

7 −3 + −3n2 + 7n n = lim = (c) lim 1 n→+∞ n→+∞ n3 + 1 n+ 2 n

ã Å 7 −3 + n→+∞ n Å ã = 1 lim n + 2 n→+∞ n

ã Å 1 2 lim (−3) + lim n→+∞ n→+∞ n ã = ... Å 1 2 lim n + lim n→+∞ n→+∞ n

lim

lim

Oefening 11 (benaderen van vierkantswortels). Zij b > 1 een reëel getal en beschouw de rij   u1 = b Å ã (un ) 1 b  un = un−1 + 2 un−1

voor n > 1.

(a) Toon aan dat elke term van deze rij positief is.

(b) Toon aan dat voor elke n ≥ 1 geldt: un+1 ≤ un ⇔

b ≤ un . √ (c) Bewijs met inductie op n dat voor alle n ≥ 1 geldt: b ≤ un .

(d) Bewijs dat de rij (un ) convergeert.

Oefeningen bij §2.3 B

Oefening 12. Beschouw de rij (un ) = 0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; 0, 9999 ; . . .. (a) Ga na aan dat een expliciet voorschrift van deze rij gegeven wordt door un = 1 − (0, 1)n . (b) Bereken algebraı̈sch de limiet van de rij (un ).

B?

Oefening 13. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten. Alle tussenstappen opschrijven! Å ã ä Ä p 1 n 1 (a) lim 6 + n2 − 12 (e) lim 5 + n→+∞ n→+∞ 7 10 (b)

(c)

(d)

B?

lim

n→+∞

2n + 7 n2 + 2

(f)

(n + 1)4 n→+∞ (3n − 1)2

Å

lim

lim

n→+∞

 1 n 2

n+1

3n2 − 5n n→+∞ 5n2 + 2n − 6 lim

(g)

lim

n→+∞

1 2019

Å (h)

lim

n→+∞

Å ãn ã 1 + 2018 2

2n − 3 3n + 7

ã4

Oefening 14. Bepaal telkens algebraı̈sch de limiet van de gegeven rij. 1 1 1 1 (a) (an ) = 1, , , , , . . . 4 9 25 36 (b) (bn ) =

1 1 1 1 1 , , , , ,... 2 4 8 16 32

5 8 11 14 (c) (cn ) = 2, , , , , . . . 2 3 4 5 (d) (dn ) = 5, 5, VI-38

17 13 37 , , ,... 3 2 5

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement