Page 38

2.4

Toepassingen

Eerder dit hoofdstuk hebben we aangetoond dat bepaalde rijen convergeren zonder dat we daarvoor de waarde van de limiet hoeven te kennen. In deze paragraaf laten we zien hoe de rekenregels voor limieten van rijen kunnen ingezet worden om de waarde van die limiet te achterhalen. Als tweede toepassing van limieten van rijen komen niet-eindigende sommen van reële getallen aan bod.

Toepassing 1 - Limieten van convergente rijen met recursief voorschrift Zoals we reeds eerder hebben vermeld, hangt de convergentie of divergentie van een rij (un ) enkel af van de termen un waarvan het rangnummer groot genoeg is. Bij een convergente rij (un ) wordt de waarde van de limiet dus niet beı̈nvloed door in die rij een eindig aantal termen van die rij te schrappen, en de nummering te laten beginnen vanaf de eerste niet geschrapte term. Dus als de rij (un ) = u1 , u2 , u3 , u4 , . . . convergeert naar a, dan convergeert ook elke verschuiving van die rij naar a, zoals (un+1 ) = u2 , u3 , u4 , u5 , . . .

en

(un−1 ) = u0 , u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , . . .

Anders gezegd: lim un = a

n→+∞

lim un+1 = a en

n→+∞

lim un−1 = a.

n→+∞

Dit inzicht kan nu worden ingezet op een recursief voorschrift van de rij, om zo informatie over de limiet van die rij te verkrijgen. 3 Modelvoorbeeld. Bepaal telkens algebraı̈sch de limiet van de gegeven rij. Je mag daarbij aannemen dat deze rijen convergeren. … q q » » » √ √ √ √ 2 + 2 + 2 , 2 + 2 + 2 + 2 , ... (a) (un ) = 2 , 2 + 2 , (b) (vn ) =

1 2 3 5 8 13 , , , , , , ... 1 1 2 3 5 8

Oplossing.

VI-34

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement