Page 33

We kunnen de rekenregels voor limieten van convergente rijen nu als volgt uitbreiden. 3 Eigenschap (rekenregels voor limieten van rijen). Zij (un ) en (vn ) twee rijen, elk van hen convergent of divergent naar ±∞. Dan geldt, indien het rechterlid geen onbepaaldheid is:5 (a) (b) (c) (d)

lim (un + vn ) = lim un + lim vn

limiet van som is som van limieten

lim (un − vn ) = lim un − lim vn

limiet van verschil is verschil van limieten

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim (r · un ) = r · lim (un · vn ) =

n→+∞

(f)

lim

n→+∞

un vn

ã lim un

limiet van veelvoud is veelvoud van limiet

n→+∞

Å

ã Å ã lim un · lim vn

n→+∞

limiet van product is product van limieten

n→+∞

lim un

ã =

n→+∞

limiet van quotiënt is quotiënt van limieten

lim vn

n→+∞ r

lim (un ) =

n→+∞

n→+∞

Å

n→+∞

Å (e)

n→+∞

ãr

Å lim un

limiet van macht is macht van limiet

n→+∞

Met behulp van deze rekenregels en de drie fundamentele limieten van hierboven, kunnen we de limiet van een rij bepalen waarvan het expliciet voorschrift uitgedrukt is met de algebraı̈sche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking. 3 Modelvoorbeeld 5. Bereken algebraı̈sch de volgende limieten met behulp van de rekenregels voor limieten. (a)

lim (3n3 + 70n + 1)

(b)

n→+∞

lim

n→+∞

n

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 6. Beschouw de rij met als expliciet voorschrift wn = −3n3 + 70n + 1. (a) Mag je uit de rekenregels voor limieten van rijen de onderstaande gelijkheid besluiten? Verklaar. ? lim (−3n3 + 70n + 1) =

n→+∞

lim

n→+∞

 −3n3 + lim (70n + 1) n→+∞

(b) Hieronder wordt de limiet van de rij (wn ) algebraı̈sch berekend. Verklaar elke overgang. lim (−3n3 + 70n + 1)

n→+∞

Å ã 70 1 = lim n −3 + 2 + 3 n→+∞ n n Å ã Å ã 70 1 3 = lim n · lim −3 + 2 + 3 n→+∞ n→+∞ n n Å ã3 Å Å ã Å ã ã 1 3 1 2 lim (−3) + 70 lim + lim = lim n · n→+∞ n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n 3

want . . . want . . . want . . .

=...

want . . .

=...

want . . .

5 Bij de formulering van deze rekenregels wordt stilzwijgend verondersteld dat de betreffende uitdrukkingen in beide leden bestaan in R: niet delen door nul, geen even machtswortel van een strikt negatief getal enzovoort.

VI-29

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement