Page 31

Het is wenselijk om deze rekenregels voor limieten van convergente rijen nu ook uit te breiden tot limieten van rijen die divergeren naar ±∞. Hier moeten we echter voorzichtig te werk gaan, want het rekenen met oneindig is erg subtiel. Dat bleek ook uit het inleidend voorbeeld van dit hoofdstuk. 3 Op ontdekking. Beschouw de volgende rijen (un ) en (vn ). Vul aan (met berekening of grafische rekenmachine): . expliciet voorschrift:

un = n

. expliciet voorschrift:

vn =

limiet:

−2n n+1

limiet:

lim un = . . .

n→+∞

lim vn = . . .

n→+∞

Met deze twee rijen kunnen we nieuwe rijen maken, bijvoorbeeld (vul aan): . expliciet voorschrift:

un + vn = . . .

limiet:

. expliciet voorschrift:

un · vn = . . .

limiet:

. expliciet voorschrift:

u2n = . . .

limiet:

lim (un + vn ) = . . .

n→+∞

lim (un · vn ) = . . .

n→+∞

lim (un )2 = . . .

n→+∞

Opdat de rekenregels van de vorige pagina nu ook zouden gelden voor rijen die divergeren naar ±∞, moeten we geschikte afspraken maken voor het rekenen met de symbolen ±∞. Zo is het bijvoorbeeld wenselijk dat: lim (un + vn ) = lim un + lim vn n→+∞ n→+∞ {z } | {z } | {z }

n→+∞

|

+∞

+∞

−2

Nu kan men aantonen dat voor elke rij (un ) die divergeert naar +∞ en voor elke rij (vn ) die convergeert naar −2 geldt dat de somrij (un ) + (vn ) divergeert naar +∞. Dat is de reden waarom we kunnen afspreken dat: def

+∞ − 2 = +∞. Analoog is het wenselijk dat:

Å ã2 lim (un )2 = lim un n→+∞ n→+∞ | {z } | {z } +∞

+∞

Men kan bewijzen dat voor elke rij (un ) die divergeert naar +∞ geldt dat de kwadraatrij (un )2 divergeert naar +∞. Dat is precies de reden waarom we kunnen afspreken dat: def

(+∞)2 = +∞. Geı̈nspireerd door dit voorbeeld komen we tot de volgende afspraken voor het rekenen met reële getallen en ±∞.

3 Definitie (bewerkingen met reële getallen en de symbolen ±∞). Voor a, b ∈ R stellen we (vul aan):4 −∞

+

a

+∞

×

−∞

−∞

b

b<0

+∞

b=0

a = +∞ ±∞ = ±∞

a = −∞ 0 = 0

−∞

a<0

a=0

a>0

+∞

b>0

+∞

4 Dat de afspraken die hier vastgelegd worden zinvol zijn, volgt precies uit (een bewijs van) de eigenschap rekenregels voor limieten van rijen die we verderop zullen formuleren: voor elke rij (un ) die divergeert naar −∞ en voor elke rij (vn ) die convergeert naar a geldt dat de somrij (un ) + (vn ) divergeert naar −∞, enzovoort. Passen we deze bewerkingen herhaaldelijk toe, dan verkrijgen/motiveren we voor n √ √ √ oneven: (±∞)n = ±∞, n ±∞ = ±∞ en voor n even: (±∞)n = +∞, n +∞ = +∞, n −∞ = /.

VI-27

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement