Page 30

De verbanden die we hierboven opgemerkt hebben, blijken zich ook bij andere convergente rijen voor te doen. Zo kan men aantonen dat voor elke rij (un ) die convergeert naar 2 en voor elke rij (vn ) die convergeert naar 5 geldt dat de somrij (un ) + (vn ) altijd convergeert naar 7. We vatten die rekenregels samen in de volgende eigenschap, die men in de volksmond ook wel omschrijft als limiet is braaf. 3 Eigenschap (rekenregels voor limieten van convergente rijen). Zij (un ) en (vn ) twee rijen die beide convergeren en zij r ∈ R. Dan geldt:3 (a) (b) (c) (d)

lim (un + vn ) = lim un + lim vn

limiet van som is som van limieten

lim (un − vn ) = lim un − lim vn

limiet van verschil is verschil van limieten

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim (r · un ) = r · lim (un · vn ) =

n→+∞

(f)

lim

n→+∞

un vn

ã lim un

limiet van veelvoud is veelvoud van limiet

n→+∞

Å

ã Å ã lim un · lim vn

n→+∞

limiet van product is product van limieten

n→+∞

lim un

ã =

n→+∞

limiet van quotiënt is quotiënt van limieten

lim vn

n→+∞ r

lim (un ) =

n→+∞

n→+∞

Å

n→+∞

Å (e)

n→+∞

ãr

Å lim un

limiet van macht is macht van limiet

n→+∞

Door deze rekenregels te combineren met de drie fundamentele limieten van hierboven, kunnen we limieten van rijen nu ook algebraı̈sch berekenen. Daarbij moet je in staat zijn om elke overgang te verklaren. 3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraı̈sch met behulp van de rekenregels voor limieten van convergente rijen. (a)

lim

n→+∞

5 n2

(b)

lim

n→+∞

1 √ 3 n

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de rij met als expliciet voorschrift wn =

5n2 +7n−3 −2n2 +6 .

(a) Mag je uit de rekenregels voor limieten van convergente rijen de onderstaande gelijkheid besluiten? Verklaar. 5n2 + 7n − 3 ? = lim n→+∞ −2n2 + 6

lim (5n2 + 7n − 3)

n→+∞

lim (−2n2 + 6)

n→+∞

(b) Hieronder wordt de limiet van de convergente rij (wn ) algebraı̈sch berekend. Verklaar elke overgang. 7 3 5+ − 2 5n2 + 7n − 3 n n = lim lim 6 n→+∞ n→+∞ −2n2 + 6 −2 + 2 n Å ã 7 3 lim 5 + − 2 n→+∞ n n Å ã = 6 lim −2 + 2 n→+∞ n

want . . .

want . . .

Å ã 1 1 2 − 3 lim n→+∞ n→+∞ n n→+∞ n = Å ã 1 2 lim (−2) + 6 lim n→+∞ n→+∞ n

want . . .

= ...

want . . .

lim 5 + 7 lim

3 Bij de formulering van deze rekenregels wordt stilzwijgend verondersteld dat de betreffende uitdrukkingen in beide leden bestaan in R: niet delen door nul, geen even machtswortel van een strikt negatief getal enzovoort. Zo is (e) enkel geldig onder de voorwaarde dat vn 6= 0 op eindig veel rangnummers n na, en limn→+∞ vn 6= 0. Bij (f) wordt verondersteld dat (un )r gedefinieerd is op eindig veel rangnummers n na, en dat ook (limn→+∞ un )r gedefinieerd is.

VI-26

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement