Page 29

2.2

Rekenregels voor limieten

Hoewel we van sommige rijen weten dat ze convergeren, kunnen we de exacte waarde van de limiet nog niet met zekerheid bepalen. Dat is bijvoorbeeld het geval met de volgende rij (zie Oefening 5): 1 1 1 , p , » p √ , ... (un ) = 1 , √ √ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 333

Het is dus noodzakelijk om limieten van rijen ook algebraı̈sch te kunnen berekenen. Als het expliciet voorschrift een rij kan uitgedrukt kan worden door de algebraı̈sche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking, dan blijkt de kennis van de volgende limieten voldoende te zijn, in combinatie met de rekenregels voor limieten die in deze paragraaf aan bod komen. 3 Fundamentele limieten. Zij c ∈ R. (a) De constante rij (un ) = c, c, c, . . . convergeert naar c. In symbolen: lim c = c n→+∞

(b) De rij van de strikt positieve natuurlijke getallen (un ) = 1, 2, 3, . . . divergeert naar +∞. In symbolen: lim n = +∞ n→+∞

(c) De harmonische rij (un ) = 1, 21 , 13 , . . . convergeert naar 0. In symbolen: 1 lim =0 n→+∞ n Door zo’n eenvoudige rijen op te tellen, te vermenigvuldigen, te kwadrateren . . . en het gedrag op oneindig bij te houden, kunnen we beredeneren wat de limiet van zo’n nieuwe rij is. 3 Op ontdekking. Beschouw de volgende rijen (un ) en (vn ). Vul aan: . expliciet voorschrift:

un =

2n n+1

opsomming:

(un ) = . . .

. expliciet voorschrift:

vn =

5n n+1

opsomming:

(vn ) = . . .

Gebruik makend van de grafische rekenmachine vinden we (vul aan): . .

lim un = . . .

n→+∞

lim vn = . . .

n→+∞

Met deze twee rijen kunnen we nieuwe rijen maken, bijvoorbeeld (vul aan): . expliciet voorschrift:

un + vn = . . .

opsomming:

(un ) + (vn ) = . . .

. expliciet voorschrift:

un · vn = . . .

opsomming:

(un ) · (vn ) = . . .

. expliciet voorschrift:

u3n = . . .

opsomming:

(un )3 = . . .

Gebruik makend van de grafische rekenmachine vinden we (vul aan): . . .

lim (un + vn ) = . . .

n→+∞

lim (un · vn ) = . . .

n→+∞

lim u3n = . . .

n→+∞

Is er een verband tussen de limiet van zo’n nieuwe rij en de limieten van de oorspronkelijke rijen (un ) en (vn )? VI-25

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement