Page 28

Een van de basisdoelstellingen is om de convergentie of divergentie van een rij met een voorbeeld te illustreren, die aan een of meerdere van deze voorgaande begrippen voldoet. 3 Modelvoorbeeld 3. Geef telkens een voorbeeld van een rij die aan het gevraagde voldoet (expliciet voorschrift). (a) Een niet-constante rij die convergeert naar −37.

(d) Een meetkundige rij die divergeert naar −∞.

(b) Een begrensde rij die divergeert.

(e) Een rekenkundige rij die convergeert.

(c) Een wisselrij die convergeert.

(f) Een strikt dalende rij die convergeert naar

2.

Oplossing.

In dit verband vermelden we een fundamenteel resultaat. Hoewel de stelling inuı̈tief duidelijk is, blijkt het aan de basis te liggen van een formele opbouw van de klassieke analyse. We formuleren de stelling voor een stijgende rij. Voor een dalende rij geldt een analoog resultaat, waarvan de verwoording als oefening voor de lezer wordt gehouden. 3 Stelling. Zij (un ) een stijgende rij. (a) Als (un ) naar boven begrensd is, dan convergeert de rij. (b) Als (un ) niet naar boven begrensd is, dan divergeert de rij naar +∞. Deze stelling kan ingezet worden om te bewijzen dat bepaalde rijen convergeren zonder dat we daarvoor de waarde van de limiet moeten kennen. 3 Modelvoorbeeld 4. Beschouw de rij (un ) met als expliciet voorschrift un =

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) . 2 · 4 · 6 · · · (2n)

Bewijs dat deze rij convergeert. Oplossing.

VI-24

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement