Page 24

On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut approcher de la premiere plus près que d’une grandeur donnée, si petite qu’on la puisse supposer [. . . ] Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1765

Hoofdstuk 2

Limiet van een rij Heel wat wiskundige en fysische problemen zijn te herleiden tot het berekenen van de zogenaamde limiet van een rij: wat gebeurt er met de algemene term un naarmate het rangnummer n steeds groter wordt? Hoewel dit onderwerp kent heel wat variaties kent, blijft het basisidee hetzelfde. Beschouw bijvoorbeeld een cirkel met straal 12 . Enerzijds is de omtrek van deze cirkel gelijk aan π. Anderzijds kunnen we die cirkel benaderen met een (niet-gekruiste) regelmatige n-hoek, ingeschreven in de cirkel. In het vierde jaar heb je de formule opgesteld voor de omtrek van zo’n ingeschreven regelmatige n-hoek (zie figuur voor n = 5): π un = n sin . n Deze getallen vormen de rij (un ) waarvan hieronder enkele termen met de grafische rekenmachine berekend werden. Daar de omtrek van een (niet-gekruiste) regelmatige n-hoek steeds kleiner is dan de omtrek van de bijbehorende omgeschreven cirkel, zal elke term van deze rij (un ) een onderschatting van π zijn.

1 2

α z5

omtrek vijfhoek = 5 · z5 = 5 sin

π  5

Naarmate n groter wordt, zal de regelmatige n-hoek de cirkel steeds beter benaderen. Anders gezegd: de omtrek van de cirkel is gelijk aan de limiet van de omtrek van de regelmatige n-hoek, waarbij het aantal zijden n onbeperkt toeneemt. In symbolen schrijven we dan: un → π

als

n → +∞,

of kortweg:

lim un = π.

n→+∞

Door een grote waarde van n te nemen, kunnen we het getal π met de term un benaderen. Zo vinden we met behulp van de grafische rekenmachine een benadering van π die juist is tot op drie cijfers na de komma: π u96 = 96 sin = 3, 14103195 . . . 96 In dit voorbeeld hebben met behulp van een meetkundig inzicht aangetoond dat: π lim n sin = π. n→+∞ n Het is niet evident om deze limiet rechtstreeks te berekenen: vervangen we in un elke n door +∞ dan verkrijgen we: Å ã π u+∞ = (+∞) · sin = (+∞) · sin 0 = (+∞) · 0 = ? +∞ waarbij het helemaal niet duidelijk is dat de uitkomst gelijk is aan π! Hieruit blijkt dat het rekenen met oneindig erg subtiel is. Nemen we in plaats van de cirkel een andere kromme, dan kan de omtrek onbekend zijn. Door te leren hoe de limiet van een rij algebraı̈sch berekend kan worden, kunnen we de exacte waarde van die omtrek achterhalen. In dit hoofdstuk voeren we het begrip limiet van een rij intuı̈tief in en leren we hoe je limieten van eenvoudige rijen kan bepalen.1 Gaandeweg zien we hoe je toch wiskundig kan redeneren over oneindig. In het volgende hoofdstuk wordt deze kennis toegepast bij zogenaamde discrete veranderingsprocessen waarin het voorbeeld van hierboven thuishoort. 1 Voor

de kwantitatieve definities en formele bewijzen van de resultaten uit dit hoofdstuk verwijzen we naar Bijlage A.

VI-20

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement