U??
Oefening 12 (formule van Binet). De positieve oplossing van de tweedegraadsvergelijking x2 = x + 1 wordt de gulden snede genoemd, en wordt genoteerd met ϕ. Anders gezegd: √ 1+ 5 ϕ= = 1, 618 . . . 2 (a) Bewijs dat een expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci (fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . gegeven wordt door de zogenaamde formule van Binet:17 fn =
ϕn − (1 − ϕ)n √ 5
door aan te tonen dat de vooropgestelde rij voldoet aan het gewenste recursief voorschrift.
Jacques Philippe Marie Binet (1786 - 1856)
(b) Bereken met behulp van het expliciet voorschrift de 20e term in de rij van Fibonacci.
Oefeningen bij §1.2 en §1.3 B
Oefening 13. De volgende rijen worden gegeven door opsomming. Bepaal telkens de vijfde term en een expliciet voorschrift. Geef ook aan of het een rekenkundige of een meetkundige rij is en vermeld in dat geval de reden q of het verschil v. 1 2 3 4 (a) (an ) = − , − , − , − , . . . 2 3 4 5
9 3 3 (c) (cn ) = −3, − , − , − , . . . 4 2 4
1 1 1 (b) (bn ) = −1, , − , ,... 5 25 125
√ √ (d) (dn ) = 4, 8, 2, 2, . . . 1 en sn = 31. Bereken n en un . 2
B
Oefening 14. Van een meetkundige rij (un ) is u1 = 16 en q =
B
Oefening 15. Van een rekenkundige rij (tn ) is t1 + t2 + t3 = 39 en t4 + t6 = −34. Bereken t1 en v.
B?
Oefening 16. Bereken telkens de exacte waarde van de gevraagde som. (a) 1 + 2 + · · · + 101
1 1024
(c) 8 + 4 + 2 + · · · +
1 1024
(d) 2 + 10 + 50 + · · · + 2 · 555
(b) 2 + 4 + 6 + · · · + 100 B?
Oefening 17. Een taart voor een huwelijksfeest bestaat uit zes lagen. De onderste laag is een cilinder met een hoogte van 17 cm en een diameter van 45 cm. De hoogte van een laag is telkens 80% van de hoogte vorige laag, en de diameter 2 van een laag is telkens van de diameter van de vorige laag. De taart moet in een balkvormige doos verpakt worden. 3 Welke afmetingen moet deze doos minstens hebben?
B?
Oefening 18 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 eerste ronde). Twintig zachte kussens zijn op elkaar gestapeld. Elk kussen weegt 500 gram en is 25 cm dik. De dikte van een kussen vermindert met 2 cm per kilogram die op het kussen rust. Hoe hoog is de stapel? (A) 190 cm
B?
(B) 310 cm
(C) 430 cm
(D) 460 cm
(E) 481 cm
Oefening 19. Bertje zet op 1 januari 2020 een bedrag uit van 1000 euro. Hij krijgt elk jaar 3% rente. Hij neemt zich voor om vanaf 1 januari 2021 elk jaar 70 euro op te nemen van zijn rekening. (a) Stel een formule op die jaarlijks op 1 januari de stand van zijn rekening geeft (recursief of expliciet). (b) Hoeveel jaar kan Bertje dit volhouden zonder dat het saldo van zijn rekening onder 500 euro zakt? Verklaar! 17 In
1843 gepubliceerd door Binet [3] doch eerder bekend bij Abraham de Moivre [4] (1718), Daniel Bernoulli [2] (1726) en Leonhard Euler [7] (1730). Zie [11]. Voor een constructief bewijs van deze bewering die daarenboven ook op andere recursief gedefinieerde rijen kan worden toegepast, verwijzen we naar Deel Vectorruimten.
VI-18