Page 21

U?

Oefening 10 (Torens van Hanoi). 15 In een Indiase tempel bevindt zich een grote kamer met drie staven. Op de eerste staaf zijn er 64 gouden schijven gestapeld, gerangschikt van groot naar klein. De priesters van Brahma moeten de schijven verplaatsen volgens de regels van het spel: . men mag slechts één schijf tegelijk van een ene naar een andere staaf verplaatsen, . men mag nooit een grotere schijf op een kleinere plaatsen. Wanneer de volledige toren naar een andere staaf verplaatst is, is de opdracht van de priesters vervuld, waarna - zo gaat de legende verder - de wereld zal vergaan. (a) Noem un het aantal verplaatsingen nodig bij een toren van n schijfjes. Bepaal de eerste drie termen van de rij (un ). (b) Bepaal een recursief voorschrift voor de rij (un ).

simulatie van de Torens van Hanoi met drie schijven

(c) Bepaal een expliciet voorschrift voor de rij (un ). (d) Als de priesters één schijf per seconde verplaatsen, hoe lang duurt het dan voordat het spel beëindigd is? U?

Oefening 11 (de rij van Fibonacci). De rij van Fibonacci (fn ) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . heeft als recursief voorschrift    f1 = 1 (fn ) f2 = 1   fn = fn−1 + fn−2

voor n > 2

en is genoemd naar Leonardo van Pisa die de rij noemt in zijn boek Liber Abaci uit 1202. Deze rij blijkt ook op te duiken bij de studie van een konijnenpopulatie, vandaar de bijnaam konijnenrij. Fibonacci gebruikte hiervoor de volgende regels:16 . in de eerste maand hebben we één jong paar,

Leonardo van Pisa (±1170 - ±1250)

. een paar is volwassen vanaf de tweede maand, . een volwassen paar krijgt elke maand één nieuw paar nakomelingen, . de konijnen sterven niet. (a) Geef de groei van de konijnen weer door de volgende tabel aan te vullen. maand

volwassen paren

jonge paren

totaal

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(b) Noem un het totaal aantal paren konijnen na n maanden. Geef de eerste twaalf termen van de rij (un ). (c) Bewijs dat (un ) de rij van Fibonacci is door aan te tonen dat un = un−1 + un−2 voor n > 2. (d) Bereken met behulp van het recursief voorschrift het totaal aantal paren konijnen na 20 maanden. 15 Deze logische puzzel met bijbehorend fictief verhaal werd in 1883 bedacht door François Édouard Anatole Lucas [9]. De meeste oplossingen beperken zich tot het aantonen van ongelijkheid un ≤ 2un−1 voor n > 0, terwijl men net de gelijkheid wil aantonen. 16 Een nieuwe (historische) analyse van Fibonacci en zijn werk wijst erop dat hij zijn inspiratie niet uit de voorplanting van konijnen haalde, maar wel die van bijen [13].

VI-17

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement