Page 14

3 Modelvoorbeeld 7. Schrijf de volgende som uit, en bereken het resultaat met een formule: 45 X

(3k − 8) = 3 · 20 − 8 + 3 · 21 − 8 + 3 · 22 − 8 + · · · + 3 · 45 − 8

k=20

=

+

52 |{z}

+

55 |{z}

58 |{z} u3

u2

u1

=

n(u1 + un ) 2

=

26(u1 + u26 ) 2

=

26(52 + 127) 2

+ ··· +

127 |{z}

rekenkundig

un

met n = 45 − 20 + 1 = 26

= 2327.

3 Modelvoorbeeld 8 (som van de getallen 1 tot en met n). Bedenk een formule voor de som van de eerste n natuurlijke getallen (met n ∈ N0 ): 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) 2

Bereken daarna zonder rekenmachine de som 1 + 2 + 3 + · · · + 100.10

Oplossing. We hebben n X

k =

k=1

1 |{z}

+

2 |{z}

+

3 |{z} u3

u2

u1

=

n(u1 + un ) 2

=

n(1 + n) 2

=

n(n + 1) . 2

+ ··· +

n |{z}

rekenkundig

un

Hieruit volgt dat 100 X

k=1

k = 1 + 2 + 3 + · · · + 100 =

n(n + 1) 2

=

100(100 + 1) 2

=

10 100 2

met n = 100

= 5050.

10 In 1787 verblufte een tienjarige knaap zijn leraar J.G. Büttner. Die had namelijk de jaarlijke gewoonte om zijn klas een half uur zoet te houden met de opdracht tel eens de getallen van 1 tot en met 100 op. Na enkele seconden gaf de leerling zijn schrijfbord af, met daarop één enkel getal: 5050. In een oogwenk had hij op eigen houtje een algemene formule bedacht. Zijn leraar herkende in de leerling een jong genie. Hij gaf hem een wiskundeboek cadeau, en vroeg aan zijn assistent Martin Bartels om de jonge leerling bijlessen te geven. De tienjarige jongen groeide later uit tot één van de beste wiskundigen die de mensheid ooit gekend heeft: Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

VI-10

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement