Page 12

3 Op ontdekking. Gegeven is de rekenkundige rij (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . . Bereken eens de som van de termen tot en met een bepaald rangnummer (vul aan): s1 = 7 s2 = 7 + 13 = 20 s3 = 7 + 13 + 19 = 39 s4 = 7 + 13 + 19 + 25 = 64 s5 = 7 + 13 + 19 + 25 + 31 = 95. Om bijvoorbeeld s100 (de som van de eerste 100 termen) te berekenen, heb je heel veel werk. Daarom zou het handig zijn om een formule te hebben die ons meteen het antwoord geeft. We zullen die formule ontdekken met een voorbeeld. s5 = 7 + 13 + 19 + 25 + 31 s5 = 31 + 25 + 19 + 13 + 7 + 2s5 = 38 + 38 + 38 + 38 + 38 5 · 38 = 95. Die redenering kunnen we ook voor een ander rangnummer maken. 2 Zo vinden we meteen dat de som van de eerste 100 termen gelijk is aan (vul aan):

Zo vinden we meteen dat s5 =

s100

  100 7 + (7 + 99 · 6) 100(u1 + u100 ) = = 30 400. = 2 2

3 Eigenschap. Zij (un ) een rekenkundige rij en n ∈ N0 willekeurig. Dan is sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un =

n(u1 + un ) 2

Bewijs. De rij (un ) is rekenkundig dus (un ) = |{z} a , a + v , a + 2v , a + 3v , . . . | {z } | {z } | {z } u1

Dan is

u3

u4

···

+

a + (n − 1)v

a + (n − 3)v

+ ···

+

a

2a + (n − 1)v

+

···

+

2a + (n − 1)v

=

a

+

a+v

+

a + 2v

sn

=

a + (n − 1)v

+

a + (n − 2)v

+

2sn

=

2a + (n − 1)v

+

2a + (n − 1)v

+

  2sn = n · 2a + (n − 1) · v =n·



 (a) + a + (n − 1) · v {z } |{z} | u1

un

= n · (u1 + un ) zodat

voor zekere a, v ∈ R.

sn +

dus

u2

sn =

n(u1 + un ) . 2

VI-8

+

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement