Page 10

1.2

Rekenkundige rijen

3 Op ontdekking. Gegeven is de rij (un ) = 7, 13, 19, 25, 31, . . . Elke term is gelijk aan de vorige term plus een vast getal (namelijk 6). Daarom noemen we de rij (un ) een rekenkundige rij.9 Bij elke term is het verschil met z’n voorgaande term gelijk aan 6. Daarom noemen we 6 het verschil van deze rekenkundige rij, en schrijven dan v = 6. De rij (un ) ontstaat door te starten met 7 (de beginterm a) waarbij we telkens 6 optellen (het verschil v). Door de sommen niet helemaal uit te rekenen, wordt het patroon zichtbaar (vul aan). Opsomming (un ) = 7 , 7 + 6 , 7 + 2 · 6 , 7 + 3 · 6 , 7 + 4 · 6 , . . . Elke term is dus gelijk aan de voorgaande term plus 6. Zo vinden we snel een recursief voorschrift (vul aan). ( u1 = 7 Recursief voorschrift (un ) un = un−1 + 6 voor n > 1 In de opsomming van de rekenkundige rij merken we een patroon op (vul aan): u1 = 7 + 0 · 6

u3 = 7 + 2 · 6

u2 = 7 + 1 · 6

u4 = 7 + 3 · 6

Op die manier vinden we een expliciet voorschrift (vul aan). Expliciet voorschrift un = 7 + (n − 1) · 6 3 Definitie. Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de vorige term plus een vast getal v. Bij elke term is het verschil met z’n voorgaande term gelijk aan v. Daarom noemen we v het verschil van de rekenkundige rij. 3 Modelvoorbeeld 1. Ga na of de volgende rijen rekenkundig zijn of niet. Indien wel, geef dan het verschil v van de rekenkundige rij. 21 13 , 2, − , −15, . . . 2 2 (dn ) = 2, −5, 2, −5, 2, . . .

(an ) = 1, 4, 9, 16, 25, . . .

(cn ) = 19,

(bn ) = −10, −3, 4, 11, 18, . . . Oplossing.

21 − 19 = −8, 5 2 13 c3 − c2 = − − 2 = −8, 5 enzovoort 2 rekenkundig met verschil v = −8, 5

rij (an ): a2 − a1 = 4 − 1 = 3

rij (cn ): c2 − c1 =

a3 − a2 = 9 − 4 6= 3 niet rekenkundig rij (bn ): b2 − b1 = −3 − (−10) = 7

rij (dn ): d2 − d1 = −5 − 2 = −7

b3 − b2 = 4 − (−3) = 7 enzovoort

d3 − d2 = 2 − (−5) 6= −7

rekenkundig met verschil v = 7

niet rekenkundig

3 Eigenschap. Zij (un ) een rekenkundige rij. Dan kan ze als volgt worden voorgesteld. (1) Opsomming (un ) = a, a + v, a + 2v, a + 3v, a + 4v, a + 5v, . . . ® u1 = a (2) Recursief voorschrift (un ) un = un−1 + v voor n > 1

waarbij a, v ∈ R

(3) Expliciet voorschrift un = a + (n − 1)v Bewijs van (3). Uit (1) volgt: (un ) = |{z} a , a + v , a + 2v , a + 3v , . . . | {z } | {z } | {z } u1

u2

u3

u4

zodat un = a + (n − 1)v.

9 De benaming rekenkundig is ontleend aan het feit dat elke term het rekenkundig gemiddelde is van zijn linker- en rechterterm. Zo is in dit voorbeeld de tweede term 13, en dat is het rekenkundig gemiddelde van de linkerterm 7 en de rechterterm 19. Inderdaad: 13 = 7+19 . 2

VI-6

Profile for Koen De Naeghel

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Deel VI Rijen (leerweg vier)  

Onderdeel van Wiskunde In zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs g...

Advertisement