Modelvoorbeeld Opgave. Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som van de cijfers 16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan 2 6 10 12 14 Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken. Stap 1. Het probleem begrijpen Het probleem gaat over een getal van vier cijfers: x= a
b
c
met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}.
d
Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a + b + c + d = 16. Gevraagd is c + d. Stap 2. Zoekstrategie¨ en en een plan opstellen 3 Zoekstrategie¨en: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst. 3 Plan: We lijsten veelvouden van 37 op en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook de mogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a + b + c + d = 16 en nagaan welke getallen x deelbaar zijn door 37. Stap 3. Het plan uitvoeren De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden). In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a + b + c + d = 16. 3 Het cijfer 9 kan hoogstens ´e´en keer voorkomen. Want als het meer dan ´e´en keer voorkomt, dan is de som van de cijfers minstens 18 en dat is teveel. 3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens ´e´en 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten de drie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12 en dat is te weinig. 3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad 16. 3 Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1. Onze lijst telt 16 mogelijkheden: a 9 9 9 5 1 1 5 1 1 5 1 1
b 5 1 1 9 9 9 1 5 1 1 5 1
c 1 5 1 1 5 1 9 9 9 1 1 5
d 1 1 5 1 1 5 1 1 5 9 9 9
a 5 5 5 1
b 5 5 1 5
c 5 1 5 5
d 1 5 5 5
Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met de grafische rekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan 1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijk aan 1 + 5 + 9 + 1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9 + 1 = 10. Het juiste antwoord is dus 10.
Pr-6