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2. Oberstufe

Repetition Mathematik Lernen. Anwenden. Verstehen.

Jacqueline Schoch Christian Wenk


Jacqueline Schoch … … hat im Jahr 2004 ihr Lehrerpatent als Primarlehrkraft erworben. Anschliessend hat sie direkt die Unterrichtstätigkeit an der Oberstufe übernommen und im Jahr 2007 die berufsbegleitende Ausbildung zur Oberstufenlehrkraft begonnen, die sie dann im Jahr 2011 erfolgreich abschloss. Seit Beginn unterrichtet sie an der Oberstufe hauptsächlich die Fächer Mathematik und Naturwissenschaften, aber auch Englisch und Bildnerisches Gestalten. Durch die langjährige Unterrichtspraxis besitzt sie ein fundiertes Wissen über die Themeninhalte der Oberstufe und konnte einige Erfahrungen im Umgang mit den Jugendlichen sammeln.

Christian Wenk ... ... hat im Jahr 2009 sein Lehrerpatent als Oberstufenlehrkraft erlangt. Er unterrichtet an der Oberstufe Rorschach vor allem die Fächer Mathematik und Naturwissenschaften, sowie Musik und Sport. Während seiner Tätigkeit als Mathematiklehrperson hat ihm stets etwas gefehlt: Ein Übungsbuch für Schülerinnen und Schüler im Fach Mathematik mit Lösungen, die der/die Schüler/in selbstständig nachvollziehen kann. Dies versuchte er in diesem Repetitorium umzusetzen.

© by KLV Verlag AG Alle Rechte vorbehalten Ohne Genehmigung des Herausgebers ist es nicht gestattet, das Buch oder Teile daraus in irgendeiner Form zu reproduzieren. Trotz intensiver Nachforschungen gelang es uns nicht in allen Fällen, die Rechteinhaber zu ermitteln. Wir bitten diese, sich mit dem Verlag in Verbindung zu setzen. Meldung bitte direkt an den Verlag per E-Mail rechte@klv.ch oder telefonisch +41 71 845 20 10. Layout und Cover KLV Verlag AG, Mörschwil 1. Auflage 2018 ISBN 978-3-85612-506-6 KLV Verlag AG | Quellenstrasse 4e | 9402 Mörschwil Telefon +41 71 845 20 10 | Fax +41 71 845 20 91 info@klv.ch | www.klv.ch

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Inhaltsverzeichnis Vorwort 7

1

Erklärung Icons

7

Grössen und zusammengesetzte Grössen – Theorie

8

1 Zeit

8

2 Geschwindigkeit

8

3 Dichte

10

Aufgaben 12

2

Negative Zahlen – Theorie

44

1

Erweiterter Zahlenstrahl

44

2

Vorzeichen – Operationszeichen

44

3

Addition von negativen Zahlen

44

4

Subtraktion von negativen Zahlen

45

5

Multiplikation von negativen Zahlen

45

6

Rechnen mit Klammern

46

Aufgaben 47

3

Zehnerpotenzen – Theorie

70

1

Rechnen mit Zehnerpotenzen

70

2

Übersicht der geläufigsten Zehnerpotenzen

71

Aufgaben 72

4

Termumformungen – Theorie

84

1

84

Binomische Formeln

2 Faktorisieren

84

Aufgaben 86

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3


5

Bruchterme – Theorie

102

1

Bruchterme erweitern und kürzen

102

2

Bruchterme gleichnamig machen

102

3

Bruchterme addieren und subtrahieren

102

4

Bruchterme multiplizieren

103

5

Bruchterme mit Zahlen auswerten

103

Aufgaben 104

6

Gleichungen – Theorie

120

1 Aussehen

120

2 Äquivalenzumformungen

120

3

Gleichungen mit Bruchtermen

121

4

Allgemeingültige Gleichungen

121

5

Unlösbare Gleichungen

122

6 Ungleichungen

122

Aufgaben 123

7

Quadratwurzeln – Theorie

154

1

Quadratzahl − Quadratwurzel

154

2

Aufbau der Quadratwurzel

154

3

Rechnen mit Wurzeln

154

4

Teilweises Radizieren

155

5

Wurzeln im Nenner vermeiden

155

6

Wurzeln zeichnen

155

Aufgaben 156

4

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8

Prozent und Zinsrechnen – Theorie

170

1

Formeln für Zins – Kapital – Zinssatz

170

2

Rabatt – Brutto – Netto

170

3

Gewinn – Verlust

171

4 Marchzins

171

Aufgaben 172

9

Dreieck und Trapez – Theorie

188

1

Mittelsenkrechte und Umkreis

188

2

Winkelhalbierende und Inkreis

188

3

Seitenhalbierende und Schwerpunkt

189

4 Höhen

189

5 Trapez

190

Aufgaben 191

10

Kreisberechnungen – Theorie

208

1

Formeln für den Kreisumfang

208

2

Formeln für die Kreisfläche

208

3

Formeln für den Kreisbogen

208

4

Formeln für den Kreissektor

209

Aufgaben 210

11

Winkel am Kreis – Theorie

236

1

236

Zentriwinkel – Peripheriewinkel

2 Sehnen-Tangenten-Winkel

237

Aufgaben 238

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5


12

Pythagoras – Theorie

244

Aufgaben 245

13

Zylinder und Prisma – Theorie

262

1

Formeln für den Zylinder

262

2

Formeln für gerade Prismen

262

Aufgaben 263

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6

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Vorwort Das vorliegende Repetitorium schliesst an das Buch «Repetition Mathematik 1. Oberstufe» an und bezieht sich vorwiegend auf das Mathematiklehrmittel Mathbuch 2. Das Thema Gleichungen wurde jedoch um das Thema Bruchgleichungen aus dem Mathbuch 3 erweitert. Wie das erste Buch dieser Reihe dient es dazu, die im Unterricht vermittelten Lerninhalte noch einmal zu vertiefen und zu festigen; dies vor allem hinsichtlich der Schnittstellen Realschule – Sekundarschule und Sekundarschule – Mittelschule. Um diesen Schnittstellen und den verschiedenen Ansprüchen unserer Schülerschaft im Repetitorium gerecht zu werden, sind die Aufgaben in Niveaus unterteilt: Grundanforderungen, erweiterte Anforderungen und weiterführende Aufgaben. Diese Niveaueinteilung korrespondiert mit dem neuen Lehrplan 21! Hierzu soll aber gesagt sein, dass das Repetitorium kein Ersatz für den Regelunterricht und/oder eine Lehrperson darstellt. Es dient lediglich zur Vertiefung des Gelernten. Das Buch beinhaltet zu jedem Themenbereich einen kurzen und prägnanten Theorieinput. Anschliessend an jeden Theorieblock folgen die Aufgaben, in Niveaus unterteilt. Die Aufgaben aus dem Bereich Grundanforderungen sollten von allen Schülerinnen und Schülern gelöst werden können. Die erweiterten Anforderungen beinhalten Aufgaben, die schon etwas herausfordernd sein können. Wer sich noch etwas vertiefter mit dem Stoff auseinandersetzen möchte, sollte sich die weiterführenden Aufgaben vornehmen. Im Anhang befinden sich alle Lösungen. Sie sind schrittweise vorgelöst und können somit gut nachvollzogen werden. Dabei wird meist nur ein Lösungsweg entsprechend dem Thema aufgezeigt. Selbstverständlich können viele Aufgaben auch mit anderen Lösungswegen gelöst werden. Bei den Geometrie-Aufgaben möchten wir darauf hinweisen, dass die Lösungen nicht der Originalgrösse entsprechen, sondern in verkleinerter Form dargestellt sind. Die Autoren

Erklärung Icons

Beispiel Theorie

Aufgaben

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Besondere Aufmerksamkeit

7


1

Grössen und zusammengesetzte Grössen – Theorie Die folgenden Grössen bedürfen besonderer Aufmerksamkeit. Sie zeichnen sich entweder durch einen speziellen Umrechnungsfaktor aus oder setzen sich aus zwei Grössen zusammen.

1

Zeit

Als Grundeinheit der Zeit gilt die Sekunde. Um vereinfacht rechnen zu können, hat ein Monat 30 Tage und ein Jahr 360. Auch geht man bei einem Monat von 4 Wochen aus, was aber in Wirklichkeit und in der mathematischen Annahme von 30 Tagen nicht ganz richtig ist. Die Anzahl der Jahre wird daher nie über die Monate berechnet, sondern über die Tage. 12

4

7

24

60

60

Jahr

Monat

Woche

Tag

Stunde

Minute

Sekunde

a

Mon

Wo

d

h

min

s

30 360

3 600

durch den einheit gilt wie bisher, dass man el in eine ass M re sse grö die in el chs We chs Beim tor teilt. Umgekehrt wird beim We entsprechenden Umrechnungsfak echenden Umrechnungsfaktor multipliziert. spr kleinere Masseinheit mit dem ent

2

Geschwindigkeit

Die Masseinheit für die Geschwindigkeit setzt sich aus zwei Komponenten zusammen. So wird mit der Geschwindigkeit verdeutlicht, welche Strecke in einer gewissen Zeit zurückgelegt wird. Daraus wird ersichtlich, dass Längenmasse und Zeiteinheiten miteinander verbunden sind.

m ​    oder  ​_ _  kmh ​  ​   ​   en: ab ng s tsa kei dig win sch Alltägliche Ge Geschwindigkeiten können mathematisch mit allen möglichen Strecke-Zeit-Kombinationen ausgedrückt werden. Hier einige Beispiele: ___ ​​  mm   ​​  s

8

_ ​ dm  ​​  min

km ​ _    ​ h

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1 Bei der Umrechnung der Geschwindigkeitsmasse müssen die beiden Masseinheiten für Strecke und Zeit beachtet werden. Dabei erfolgt die Umrechnung am besten in zwei Schritten: cm mm Beispiel 1:  ​48  ​ ___  ​       =   ?    ​_  min   ​​  s

1. Streckenumrechnung: mm zu cm umwandeln bedeutet : 10, da die Masseinheit cm die grössere Einheit ist.

cm mm ​48  ​ ___    ​   =  4.8  ​ ___    ​​  s s

2. Zeitenumrechnung: s zu min umwandeln bedeutet · 60; es wird multipliziert, weil man einen grösseren Zeitraum cm cm    ​   =  288  ​_  min   ​​  ​4.8  ​ ___ s betrachtet. → Man schaut also nicht, wie weit man in 1 Sekunde kommt, sondern in 60 Sekunden = 1 min. ​ ​ cm mm    ​    =  288  ​ _   ​ ​ ​48  ​ ____ s min

km dm Beispiel 2: ​18  ​ _    ​    =   ?    ​ ___    ​​  h

s

1. Streckenumrechnung: km zu m zu dm umwandeln bedeutet · 10 000, da dm eine kleinere Masseinheit ist.

dm km ​18  ​ _    ​  =  180 000  ​ _    ​

2. Zeitumrechnung: h zu min zu s umwandeln bedeutet : 3 600; es wird dividiert, weil man einen kleineren Zeitraum betrachtet. → Man schaut nur, wie weit man in 1 Sekunde kommt.

dm    ​   =  50  ​ ___    ​​  ​18 000  ​_  dm h s

h

h

km dm    ​  =  50  ​ ___    ​​  ​18  ​ _ s h

Die alltäglichen Geschwindigkeitsangaben lassen sich direkt umwandeln: · 3.6 km ​ _    ​

__ ​​  m  ​​  s

h

: 3.6 Erklärung des Umwandlungsschrittes: · 60

: 1 000 __ ​​  m  ​​ 

· 60 km ​ _  ​ ​ 

___ ​​  km   ​​ 

s

s

km ​ _    ​

min

· 1 000

: 60

h

: 60

Geschwindigkeitsberechnung Die Berechnung der Geschwindigkeit lässt sich anhand der zusammengesetzten Masseinheit ableiten. Sie setzt sich immer aus einer Strecke pro Zeiteinheit zusammen. Daraus ergibt sich folgende Formel:

​s​​

s

Strecke ​( ) → v  =  _ _  ​ t ​ ​  ​      ​Geschwindigkeit ​(v)​  =   ​  Zeit ​(​t​)​

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1

Aufgaben e) Im Jahr 2017 haben sich 5 Freunde vorgenommen, am Gigathlon in Zürich teilzunehmen. Sie müssen an zwei Tagen jeweils 5 Disziplinen bewältigen. Die Gesamtzeit aller Disziplinen ergibt die Rangierung. Wie viel Zeit braucht die Gruppe an diesen beiden Tagen, um alle Etappen zu bewältigen, wenn sie die Etappen wie folgt aufteilen?

Samstag, 8. Juli 2017

Sonntag, 9. Juli 2017

Etappe

Strecke

Person

Zeitdauer

Etappe

Strecke

Person

Zeitdauer

Trail Run

12.5 km

Manuel

42.8 min

Schwimmen

3 km

Sarah

0.6 h

Rennvelo

78 km

Sarah

3.05 h

Laufen

22 km

Manuel

82.5 min

Schwimmen

3.5 km

Björn

37.5 min

Rennvelo

95 km

Karl

211.1 min

Laufen

23 km

Karl

1.3 h

Biken

54 km

Björn

2.5 h

Biken

53 km

Daniela

144.5 min

Trail Run

11 km

Daniela

44 min

© Quelle: www.gigathlon.com/ switzerland/2017/de/strecken

24

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1 f) Familie Putzer möchte von Zürich nach Berlin reisen. Sie muss sich entscheiden, auf welche Weise sie reisen möchte. Es stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung. Die Fahrt mit dem Auto dauert 477 min, dazu kommen zwei Stopps, um zu tanken bzw. um etwas zu Essen, wofür sie jeweils 35 min einrechnen. Ausserdem müssen sie davon ausgehen, dass sie nicht die ganze Strecke ohne Stau zurücklegen können, weshalb sie weitere 2 400 s dazurechnen. Auch kann es sein, dass sie ihr Hotel nicht auf Anhieb finden, wofür sie nochmals 25 min dazurechnen. Mit dem Zug wäre es bequemer, weil sie hier keine Stopps einlegen müssen – die Fahrt dauert 11 h 33 min. Die Zeit zum Bahnhof beträgt nochmals 20 min, und damit sie Zeit haben, das Ticket zu lösen, müssten sie mindesten 15 min früher da sein. In Berlin müssten sie dann aber noch ein Taxi zum Hotel organisieren, was inklusive Fahrt sicher auch nochmals 25 min dauern wird. Als letzte Option könnte die Familie mit dem Flugzeug reisen. Hier würde der Flug lediglich 1 h 25 min dauern. Allerdings müssten sie mindestens 120 min vorher einchecken; bis zum Flughafen brauchen sie auch noch 33 min. Doch da es zum Flughafen immer so viel Verkehr hat, rechnen sie mit zusätzlichen 30 min. Ausserdem müssen sie in Berlin auf ihr Gepäck warten und durch den Zoll, was sicher mit allen Kindern nochmals 45 min in Anspruch nehmen wird. Zum Schluss brauchen sie auch bei dieser Variante wieder ein Taxi zum Hotel, welches etwas weiter vom Flughafen entfernt liegt als der Bahnhof und in diesem Fall ungefähr eine Stunde dauern wird. Berechne die jeweilige Reisedauer in Stunden und Minuten.

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25


1

Aufgaben Geschwindigkeit 20. Verwandle in die angegebene Masseinheit. dm mm a) ​7  ​ ___    ​   =  ?  ​ ___    ​   ​ s s

cm e) ​42  ​ ___    ​   =  ?  ​_  cm    ​  h s

km km i) ​1  800  ​ _    ​   =  ?  ​ ___    ​   ​ h s

cm m b) ​62  ​_  min   ​  =  ?  ​_  min   ​   ​

m f) ​1  ​_  min   ​  =  ?  ​_  m  ​    ​ h

cm km j) ​68  ​ _    ​   =  ?  ​ _    ​  h h

dm c) ​0.3  ​ _     ​  =  ?  ​_  mm     ​ h h

cm cm g) ​28 800  ​ _    ​   =  ?  ​ ___    ​​  h s

mm k) ​36  ​ _     ​  =  ?  ​_  m  ​ ​  h h

dm km d) ​9.1  ​ ___    ​   =  ?  ​ ___    ​   ​ s s

m h) ​5.5  ​ __   ​   =  ?  ​_  m  ​ ​  h s

dm l) ​8.2  ​ ___    ​   =  ?  ​_  dm     ​  ​ h s

21. Verwandle in die angegebene Masseinheit. Beachte, dass sich beide vorkommenden Masseinheiten verändern.

26

dm mm a) ​25  ​ _  ​   =  ?  ​ _    ​  min h

cm km g) ​47 400  ​_  min    ​  =  ?  ​ ___    ​​  s

dm m) ​7  ​ ___    ​     =  ?  ​_  km    ​   ​ h s

dm mm b) ​51.6  ​_  min   ​  =  ?  ​ ___    ​​  s

m h) ​45  ​ __   ​     =  ?  ​_  km    ​   ​ h s

km m n) ​18  ​ _    ​   =  ?  ​ __   ​​  h s

cm m c) ​108  ​ _  ​    =  ?  ​ ___    ​​  h s

m mm i) ​5.3  ​ _   ​  =  ?  ​ ___    ​​  min s

mm o) ​200 ​ ___    ​   =  ?  ​_  dm    ​  h s

dm    ​   =  ?  ​_  km    ​  d) ​470  ​ ___ h s

dm mm    ​   =  ?  ​ ___    ​​  j) ​468  ​ _ h s

dm  mm     ​ p) ​2.4  ​_  min   ​  =  ?  ​_ h

km m e) ​135  ​ _    ​   =  ?  ​ __   ​​  h s

m k) ​5.75  ​ __   ​   =  ?  ​_  km    ​  h s

cm km f) ​0.036  ​ _   ​  =  ?  ​ ___    ​​  min s

cm m l) ​1 620  ​ _    ​   =  ?  ​ __   ​​  h s

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1

22. Verwandle in die angegebene Masseinheit. Beachte, dass sich die Masseinheiten unterschiedlich verändern. dm mm a) ​36  ​ _  ​   =  ?  ​ _   ​   ​ min min

dm e) ​99  ​ _    ​   =  ?  ​_  mm  ​ ​  h min

m i) ​72 000  ​_  dm    ​   =  ?  ​ __   ​​  h s

cm km b) ​4 700  ​ ___     ​  =  ?  ​_  min   ​​  s

dm km f) ​2.5  ​ ___    ​   =  ?  ​_  min   ​​  s

km j) ​0.28  ​ _   ​  =  ?  ​_  dm    ​   ​ min h

dm dm c) ​31 680  ​ _     ​  =  ?  ​ ___    ​   ​ h s

cm g) ​54  ​_  min   ​  =  ?  ​_  m  ​ ​  h

mm k) ​1 690 ​ ___    ​   =  ?  ​_  dm    ​  h s

dm d) ​78.22 ​_  mm     ​  =  ? ​ ___    ​​  h s

m h) ​0.021  ​ __   ​   =  ?  ​_  cm    ​  h s

cm l) ​3.7  ​ ___    ​   =  ?  ​_  m  ​ ​  h s

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27


10

Aufgaben 25. Welche Fläche hat ein Kreissektor von 72°, dessen zugehöriger Kreis eine Fläche von 630 m2 hat?

26. Ein Weizenfeld hat die Form eines Kreissektors. Wie gross ist diese Feld in m2, wenn der Zentriwinkel 225° und der Radius 28 m betragen?

27. Wie gross ist die Kreissektorfläche, wenn der Durchmesser 64 dm und der Zentriwinkel 84° betragen?

28. Berechne jeweils die Kreissektorfläche As. a)

220

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10 b)

c)

d)

e)

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221


10

Aufgaben Erweiterte Anforderungen 29. Berechne den Umfang der Figur.

30. Die folgende Spirale besteht aus einem Viertelkreis und 4 Halbkreisen. Der Viertelkreis 2 hat einen Radius von 1 ​ 0 ​ _  ​  ​cm. Der Radius der nächstkleineren Halbkreise beträgt 3 3 _ jeweils ​ 4 ​ ​ des vorangegangen Viertel bzw. Halbkreises. Berechne die Länge der Spirale.

222

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10 31. Andy fährt mit seinem Velo täglich zur Schule. Die Distanz für einen Weg beträgt 4.5 km. Wie oft dreht sich ein einzelnes Rad, wenn der Durchmesser eines Rades 28 Zoll beträgt? Runde das Resultat auf Tausender. (1 Zoll  =  25.4 mm)

32. Berechne den Kreisdurchmesser, wenn der Kreisumfang 125 cm beträgt.

33. Um einen Medizinball wird straff eine Schnur gespannt. Die Schnur hat eine Länge von 95 cm. Nun wird die Schnur um 2 m verlängert und gleichmässig um den Medizinball gelegt, so dass der Abstand überall gleich gross ist. Rechne mit allen möglichen Kommastellen. a) Berechne den Abstand x.

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1

Grössen und zusammengesetzte Grössen – Lösungen Grundanforderungen Zeit 1. a) b) c) d)

1 Mon 5 Wo 5 min 3d

e) f) g) h)

56 h 8a 78 min 5.5 d

i) j) k) l)

12 Wo 88 h 54.5 a 24 Wo

2. a) b) c) d)

48 Mon 686 d 33 600 s 133 980 h

e) f) g) h)

1176 h 216 Wo 660 min 574 d

i) j) k) l)

552 h 960 s 180 Mon 292 Wo

3. a) b) c) d)

312 Wo 587 h 91 d 4 284 d

e) f) g) h)

33 min 552 h 55 a 66 Wo

i) j) k) l)

432 Mon 924 h 85 min 4 440 min

4. a) b) c) d) e) f)

105 d : 7 = 15 Wo 9 Mon · 4 = 36 Wo 4 h · 60 = 240 min → 240 min + 41 min = 281 min 22 min · 60 = 1 320 s → 1 320 s + 33 s = 1 353 s 197 h : 24 = 8.21 d → 8 ganze Tage 9 · 39 Wo = 351 Wo → 351 Wo · 7 = 2 457 d

Geschwindigkeit cm 5. a) ​0.5  ​ ___    ​   ​ s

cm e) ​1  500  ​ _   ​​  min

m i) ​4 980  ​_  min   ​​ 

dm b) ​1.4  ​ _   ​   ​ min

m f) ​4 020  ​ _  ​    ​ h

m j) ​68 000  ​ _  ​ ​  h

cm c) ​250  ​ _    ​  h

cm g) ​7  ​_  min   ​​ 

mm k) ​2  160  ​ _  ​ ​  min

m d) ​240  ​ __   ​   ​ s

km h) ​27  ​ ___    ​   ​ s

dm l) ​5  280  ​ _   ​​  min

d) ​1 684.8  ​_  km    ​  h

m g) ​33.33  ​ __   ​​  s

b) ​37 872  ​_  km    ​  h

m e) ​1.5  ​ __   ​​  s

km h) ​80  ​ _    ​​  h

m c) ​74 200  ​ __   ​​  s

f) ​50  ​_  km    ​  h

m 6. a) ​250  ​ __    ​​ s

6

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1 cm cm 7. a) ​65  ​ _   ​  =  3 900  ​ _     ​ min h

dm dm g) ​4 380  ​_  min   ​  =  73  ​ ___    ​​  s

cm cm b) ​2 700  ​_  min   ​  =  45  ​ ___    ​   ​ s

cm cm h) ​300  ​ _    ​   =  5  ​ _   ​  ​ h min

dm dm c) ​840  ​ _    ​   =  14  ​ _   ​    ​ h min

dm i) ​5.7  ​_  dm    ​   =  0.095  ​ _   ​  ​ h min

m m d) ​0.1  ​ __   ​   =  6  ​_  min   ​  ​ s

m m j) ​1 440  ​ _  ​    =  24  ​ _   ​  ​ h min

m m e) ​90  ​ _   ​  =  5 400  ​ _  ​ ​  min h

cm cm k) ​6.2  ​ ___    ​   =  372  ​ _  ​  ​ min s

dm dm f) ​330  ​ _   ​  =  19 800 ​ _     ​ min h

cm cm l) ​960  ​_  min   ​  =  16  ​ ___    ​​  s

mm 8. a) ​120  ​ _    ​   ​ h

km g) ​1 200  ​ _   ​  ​ min

dm dm b) ​360  ​ ___    ​   =  21 600 ​ _   ​  ​ min s

cm mm h) ​300  ​ _    ​   =  3 000  ​ _    ​  h h

dm c) ​57  ​ ___    ​   ​ s

m i) ​98  ​ _  ​ ​  h

cm cm d) ​240  ​ _    ​   =  4 ​ _   ​  ​ h min

m m   ​  =  17  ​ __ j) ​1 020  ​ _   ​   ​ min s

dm e) ​890  ​ _     ​ h

dm dm   ​  =  19  ​ ___ k) ​1 140  ​ _    ​​  min s

dm dm f) ​7.7  ​ ___    ​   =  462  ​ _   ​  ​ min s

mm mm l) ​43  ​ ___    ​   =  2 580  ​ _    ​  ​ min s

dm 9. a) Weinbergschnecke: ​ 30 ​ _    ​ h

dm dm dm gewöhnliche Schnecke: ​0.01  ​ ___    ​   =  0.6  ​ _   ​   =  36  ​ _     ​  →​schneller unterwegs min h s

m km  ​   =  50  ​ _    ​​ b) Puma: 5 ​ 0 000 ​ _ h

h

dm km Zebra: 1 ​ 2 500 ​ _   ​  =  75 ​ _    ​   ​​→​am schnellsten unterwegs min h dm km    ​  =  70  ​ _    ​  ​ Strauss: 7 ​ 00 000 ​ _ h

h

km km c) Airbus Helicopters EC 145: 3 ​ .66  ​ _   ​  =  220  ​ _    ​  min h km Airbus Helicopters H125  = ​220  ​ _    ​ h

m km AgustaWestland Da Vinci: ​235 000 ​ _  ​    =  235 ​ _    ​  h h km km Challenger CL-604: ​14.16 ​_  min   ​  =  850  ​ _    ​  h

m km d) ​v  =   ​_  st ​    =   ​_  302 849 m      ​  =  10 094.96667  ​_  min   ​  =  605 698  ​_  m  ​    =  605.698  ​ _    ​     ​ 30 min h h 159 km s _ e) ​t  =   ​ __  ​   =   ​       ​  =  1.2 h​ km _ v 132.5  ​     ​ h

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7


1

Grössen und zusammengesetzte Grössen – Lösungen km f) ​2 h 40 min  = 2.6  h​ ​s  =  v ∙ t  =  111.75  ​ _    ​   ∙ 2.6  h  =  298 km​ h

1 896 m m m km g) ​v  =   ​ _st ​    =   ​ _  ​      =  89.01  ​ _   ​  =  5 340.85  ​ _  ​   =  5.34  ​ _    ​  min

21.3 min

h

h

km s  =  v  ∙ t  =  5.34  ​ _    ​   ∙ 2.5 h  =  13.35 km​ h

h) 06:35 Uhr bis 07:23 Uhr = 48 min   48 min − 7 min = 41 min ​=  0.68 3 h​ km ​s  =  v  ∙ t  =  15.2  ​ _    ​   ∙ 0.68 3  h  =  10.39 km​ h

Dichte mg ​ m​​  ​ c

10. a) ​56 000 000  ​ _3  ​ ​

kg ​mm​​  ​

i) ​783 400  ​ _3  ​   ​

g ​m​  ​

b) ​32 000  ​ _3  ​ ​

mg k​ m​​  ​

j) ​3 155 000  ​ _ 3 ​ ​

g) ​27 360  ​ _3  ​   ​

kg ​ ​  ​ m

t k) ​0.042  ​ _  3 ​ ​

t h) ​0.083 99  ​ _  3 ​ ​

l) ​0.091  ​ _ 3 ​  ​

kg ​mm​​  ​

t d) ​0.000 000 0075  ​ _  3 ​ ​ ​m​  ​

g ​m​  ​

g ​km​​  ​

t t b) ​1.24  ​ _  3 ​     =  0.001 24  ​ _   3   ​​ ​m​  ​

​dm​​  ​

mg ​ m​​  ​ c

mg ​ m​​  ​ d

c) ​865.5  ​ _3  ​   =  865 500 ​ _3    ​​ kg ​cm​​  ​

kg ​mm​​  ​

d) ​643 300  ​ _3  ​   =  643.3  ​ _ 3   ​​ g ​mm​​  ​

g ​cm​​  ​

e) ​7 400  ​ _  3 ​    =  7 400 000 ​ _ 3  ​​ g ​dm​​  ​

mg ​m​  ​

kg ​ ​  ​ m

kg ​dm​​  ​

h) ​0.254  ​ _3  ​   =  0.000 254  ​ _ 3   ​​ kg ​ ​  ​ m

kg ​km​​  ​

i) ​0.0415  ​ _3  ​   =  41 500 000 ​ _ 3   ​​ kg ​dm​​  ​

kg ​ ​  ​ m

j) ​5 800  ​ _ 3 ​   =  5 800 000 ​ _3  ​ ​ g ​km​​  ​

g ​m​  ​

k) ​2 000 000  ​ _  3 ​    =  0.002 ​ _ 3 ​ ​ g ​mm​​  ​

​m​  ​

h)

​km​​  ​

kg kg ​59  ​ _ 3 ​    =  59 000 ​ _ 3  ​​ ​mm​​  ​ ​cm​​  ​ g ​m​  ​

kg ​dm​​  ​

c) ​4 780 ​ _3  ​   =  4.78  ​ _ 3   ​​

g ​dm​​  ​

i) ​8.2  ​ _3  ​   =  0.0082  ​ _  3   ​  ​

mg ​ m​​  ​ c

d) ​760 ​ _3  ​    =  760 000  ​ _3   ​  ​

kg ​mm​​  ​

kg ​cm​​  ​

j) ​0.052 ​ _ 3 ​    =  52 ​ _ 3  ​   ​ kg ​km​​  ​

g ​m​  ​

e) ​0.0024 ​ _  3 ​   =  2.4 ​ _ 3 ​ ​

kg ​ ​  ​ m

k) ​98 000  ​ _3  ​    =  0.000 098 ​ _3  ​ ​ g ​dm​​  ​

 3   ​   ​ f) ​31 000 ​ _ 3 ​   =  31 000 000 ​ _

8

kg ​mm​​  ​

t t g) ​0.0072 ​ _  3 ​   =  7 200 000  ​ _  3   ​  ​

kg kg ​0.066  ​ _3  ​   =  66  ​ _ 3   ​  ​ ​cm​​  ​ ​dm​​  ​

g ​cm​​  ​

kg ​cm​​  ​

g) ​42  ​ _3  ​   =  0.042  ​ _ 3   ​​

l) ​0.904 ​ _ 3 ​   =  0.000 904 ​ _  3   ​  ​

12. a) ​0.000 000 015  ​ _3 ​ ​

g ​dm​​  ​

kg ​mm​​  ​

g ​cm​​  ​

g ​m​  ​

f) ​0.000 82  ​ _  3 ​   =  0.82  ​ _ 3 ​ ​

mg ​mm​​  ​

​m​  ​

​dm​​  ​

11. a) ​0.397 ​ _3  ​     =  397 000 000  ​ _  3   ​​

kg ​ ​  ​ m

g ​cm​​  ​

f) ​11 000  ​ _3  ​  ​

c) ​0.64  ​ _ 3 ​  ​

b)

mg ​ m​​  ​ d

e) ​94 000  ​ _ 3 ​  ​

g ​dm​​  ​

g ​m​  ​

 3 ​   =  500 000  ​ _ 3 ​ ​ l) ​500 ​ _

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1 kg ​dm​​  ​

g ​dm​​  ​

g ​m​  ​

13. a) Weissgold: ​ 0.000 016 ​ _ 3 ​   =  0.016  ​ _  3 ​   =  16  ​ _ 3 ​   ​ mg ​m​  ​

g ​m​  ​

Rotgold: ​ 15 100  ​ _3 ​   =  15.1 ​ _ 3 ​ ​ g ​dm​​  ​

g ​m​  ​

Gelbgold: ​ 0.0154  ​ _  3 ​   =  15.4  ​ _ 3 ​ ​ → Weissgold hat die grösste Dichte. mg ​ m​​  ​ d

g ​dm​​  ​

g ​cm​​  ​

b) Fettgewebe: ​ 0.94  ​ _3  ​   =  0.000 94 ​ _  3 ​   =  0.94  ​ _ 3  ​​ g ​mm​​  ​

g ​cm​​  ​

Muskelgewebe: ​0.001 05  ​ _  3 ​    =  1.05  ​ _ 3  ​​ kg ​cm​​  ​

g ​cm​​  ​

Knochen: ​ 0.0017 ​ _3  ​   =  1.7  ​ _ 3  ​​ 19.21 kg 850  ​cm​​  ​

kg ​cm​​  ​

g ​cm​ ​ ​

m c) ​ρ  =   ​ _  ​   =   ​ _3 ​    =  0.022 6  ​ _3  ​   =  22.6 ​ _ 3  ​  ​ V

15.7 g 630  ​cm​​  ​

g ​cm​​  ​

g ​m​  ​

m d) ​ρ  =   ​ _  ​   =   ​ _   ​  =  0.024 920  ​ _ 3 ​   =  24 920 ​ _ 3 ​   ​ 3  V

Erweiterte Anforderungen Zeit 14. a) b) c) d) e) f)

28 Wo  =  7 Mon 330 min  =  5.5 h 14 d  =  2 Wo 96 h  =  4 d 1 800 d : 360  =  5 a 343 d  =  49 Wo

15. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

15 · 7d  =  105 d 15 840 min  =  950 400 s 1 848 h  =  110 880 min 238 d  =  5 712 h 20 Wo  =  140 d 1 440 d  =  34 560 h 140 d = 3 360 h = 201 600 min 632 Wo = 4 424 d = 265 440 h 1 560 h = 93 600 min = 5 616 000 s 651 d = 15 624 h = 937 440 min 3 696 h = 221 760 min = 13 305 600 s 31 320d = 751 680 h = 45 100 800 min

16. a) b) c) d)

35 160 min  =  586 h 1 925 d  =  46 200 h 132 Wo  =  33 Mon 8 280 d  =  23 a

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g) h) i) j) k) l)

11 520 min = 192 h = 8 d 5 544 h = 231 d = 33 Wo 252 d = 36 Wo = 9 Mon 347 040 min = 5 784 h = 241 d 8 064 h = 336 d = 48 Wo 9 720 d  =  9 720 d : 360  =  27 a

9


5

Bruchterme – Lösungen Weiterführende Aufgaben ​10​​ 2​s​ 2​ ​t​ 1​(​4​r​ 3​ + 5s − 2​t​ 2​)​

2​s​ 2​(​4​r​ 3​ + 5s − 2​t​ 2​)​

_______________ 17. a) (Ausklammern) ​    ​  ​2     ​  =  ____________    ​  5t​      ​ 5​ 5​ ​t​ ​2​ 1​​(​6​s​ 3​ + ​t​ 5​)​ (​6​s​ 3​ + ​t​ 5​)​ 2)(

2)

3b − ​c​  ​​3b + ​c​  ​​ 3b + ​c​  ​​ ___________ b) (3. Binom) ​​ ​       ​  =  ​ ​_     ​  4a 4a​(​3b − ​c​ 2​)​ (

(

(

4) 2

2)

2u​​  ​​  ​ ​v​  ​ + ​2u​​  ​ c) (1. Binom/Ausklammern) ​_ ​  ​​v​ ( ​ + ​      ​  =  ​ _     ​  2 4) 3b 2

2

4

3b​​v​  ​ + ​2u​​  ​​

d) (Ausklammern & 2.Binom/3. Binom) 2​(​16l​​  ​ − 8l​m​  ​ + ​m​  ​)​ 2​​(4l − ​m​ 2​)​ 2​ _____________    ​  (     ​  =  ___________ ​ (      ​  =  ​4l + ​m​ 2)​(​4l − ​m​ 2)​​ ​4l + ​m​ 2)​(​4l − ​m​ 2)​​ 2

2

4

(

2)

4l − ​m​  ​​ _ ​ 2​  ​    ​ 2) ( ​4l + ​m​  ​​

e) (2x Ausklammern/1. Binom) 2(

)

(

)

)(

)

​e​  ​3e − f ​ + 2f​3e − f ​ ​e​  ​ + 2f ​3e − f ​ ​3e − f ​ _____________ ​      ​   =  ​ ​_       ​  =  ​ (_      ​​ 2 ( 2 )2 ( 2 )2 ) ​​e​  ​ + 2f ​  ​

(

2

​​e​  ​ + 2f ​  ​

(

)

​​e​  ​ + 2f ​

f) (Ausklammern/Ausklammern & 2. Binom) 4m​(​m − 2​n​ 2​)​

​4​ 1​ m​(​m − 2​n​ 2​)​

m ______________ ​       ​   ​  =  ​ _  ​     =  3​ ​ _    ​  ​ 12​(​m​ 2​ − ​2mn​​ 2​ + 4​n​ 4​)​ ​12​ 3​ ​(​m − 2​n​ 2​)​ 2​ (​m − 2​n​ 2​)​

g) (3. Binom/2x Ausklammern) ​(8​x​ 2​ + 11y)​(8​x​ 2​ − 11y)​ ​(8​x​ 2​ + 11y)​(8​x​ 2​ − 11y)​ 8​x​ 2​ + 11y ______________    ​     ​  =  ______________    ​  ​     ​  =  _ ​  x + y    ​  8​x​ 2​(x + y)​ − 11y​(​x + y​)​ (x + y)​(​8​x​ 2​ − 11y​)​

h) (3x Ausklammern/Ausklammern & 2. Binom) ​3​ 1​(b − ​a​ 3​)​(​a​ 2​ + 2b​)​ 3​(​a​ 2​b − ​a​ 5​ + 2​b​ 2​ − 2​a​ 3​b)​​ 3​(​a​ 2​(b − ​a​ 3​)​ + 2b​(b − ​a​ 3​)​)​ ​a​ 2​ + 2b ________________ _______________    ​       ​  =  ​         ​  =  ​ ____________         ​  =  ​ _      ​​ 2 3 6 3 2 3 2 3 15​(​b​  ​ − ​2a​​  ​b + ​a​  ​)​

15​​(​b − ​a​  ​)​  ​

​15​ 3​(​b − ​a​  ​)​  ​

3​(​b − ​a​  ​)​

4​(​4c + d​)​ _ 5​(​c + d​)​ 3d 4c + d 5  ​   + ​ _  ​    =  _ ​ 8​(24d + ​ _  ​     + ​ 8​(​c + d​) ​     18. a) ​ _   ​  + ​ _     ​   c + d 2​(​d + c​)​ 8 ​c + d​)​ 8​(​c + d​)​ ​ 33d + 21c _________________ =  ​ 24d + 16c + 4d + 5c + 5d         ​  =  ​ _    ​  8​(​c + d​)​ 8​(​c + d​)​ 6​(​h − g​)​(​2g + h​)​ _ 6g​(​g + 3h​)​ _ h − g _ g + 3h _ 2g 2​g​ 2​ b) ____ ​​  g ​     + ​ 2g + h ​     + ​ 6​(​h + 2g​   ) ​​   =  _    ​  6g​(​2g + h​) ​ ​   + ​ 6g​(​2g + h​) ​     + ​     ​   ​ 6g​(​2g + h​)​ 6​(2gh + ​h​ 2​ − 2​g​ 2​ − gh)​ + 6​g​ 2​ + 18gh + 2​g​ 2​

12gh + 6​h​ 2​ − 12​g​ 2​ − 6gh + 6​g​ 2​ + 18gh + 2​g​ 2​

=  ___________________________     ​       ​  =  _____________________________      ​       ​  6g​(​2g + h​)​ 6g​(​2g + h​)​ 24gh − 4​g​ 2​ + 6​h​ 2​

​2​ 1​   ∙ ​(​12gh − 2​g​ 2​ + 3​h​ 2​)​

12gh − 2​g​ 2​ + 3​h​ 2​

____________ ________________ ____________ =  ​      ​   = ​         ​= ​        ​ 6g​(​2g + h​)​ ​6​ 3​g​(​2g + h​)​ 3g​(​2g + h​)​

60

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5 3​(m − l)​(​1 + 3m​)​ 3​(​3m + 6l​)​ ( )( ) 1 + 3m 7 _ ___________ c) ​ _  ​   + ​ ( 3m + 6l    ​   + ​ _      ​  =  _ ​ 7​(m − l)​(m + l) ​​     + ​ _    ​   + ​       ​  )( ) ( )( ) ( )( ) 3 l + m ​m − l ​m + l ​

3​m − l ​m + l ​

3​m − l ​m + l ​

7​(​m​  ​ ​− l​  ​​ + 9m + 18l + 3​(​m + 3​m​  ​ − l − 3ml​)​ 3​m − l ​m + l ​ 2)

2

2

3​m − l ​m + l ​

=  ___________________________     ​       ​  =  ___________________________     ​ 7​m​  ​ ​− 7l​​  ​ + 9m + 18l + 3m + 9​      m​  ​ − 3l − 9ml ​  ( )( ) ( )( ) 2

2

2

3​m − l ​m + l ​

16​m​  ​ ​− 7l​​  ​ + 12m + 15l − 9ml =  ​ ___________________         ​ ( )( ) 2

2

3​m − l ​m + l ​

​a​ 4​ ∙ 5​(a − b)​ b ∙ 5​(a + b)​ ​ 2​b(​a + b)(​a − b)​ d) _ ​  ( 25ab  ) ​   + ​ _    ​   − ​ _    ​   + ​___________     ​a     ​  )( ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5​a + b ​a − b ​

5​a + b ​a − b ​

5​a + b ​a − b ​ (

5​a + b ​a − b ​

2)

25ab + 5​a​  ​ − ​5a​​  ​b − 5ab − 5​b​  ​ + ​a​  ​b​​a​  ​ − ​b​  ​​ a​  ​ − ​5a​​  ​b − 5ab − 5​b​  ​ + ​a​  ​b − ​a​  ​b​  ​ ____________________________ =  ​ _____________________________           ​  =  ​ 25ab + 5​          ​  2) ( )( ) ( 2 5

4

2

2

2

5

2

4

5​a + b ​a − b ​

2

4

3

5​​a​  ​ − ​b​  ​​

20ab + 5​a​  ​ − 4​a​  ​b − 5​b​  ​ − ​a​  ​b​  ​ =  ​ _____________________          ​ 2) ( 2 5

4

2

2

3

5​​a​  ​ − ​b​  ​​

3) ( 2f​(2e − ​f​ 3​)​ _ 18​(2e − ​f​ 3​)​ e + ​f​ 3​ 4e 6 f e) ​ _    ​   − ​ _   ​  − ​ _    ​   − ​ _  ​    =  _ ​  2​( e + ​f​  3​​   ​   − ​ _  ​     − ​  ( 24e 3) ​   − ​ _  ​     3) 3) 3) ( ) ( ( 3 2e − ​f​ 3​ 2

3​2e − ​f​  ​​

6​2e − ​f​  ​​

6​2e − ​f​  ​​

6​2e − ​f​  ​​

6​2e − ​f​  ​​

2e + 2​f​  ​ − 4ef + 2​f​  ​ − 24e − 36e + 18​f​  ​ 20​f​  ​ − 4ef + 2​f​  ​ − 58e =  ​ ________________________          ​  =  ​ ______________         ​ 3) 3) ( ( 4

3

3

3

4

6​2e + ​f​  ​​

6​2e + ​f​  ​​

( )​ ( )( ) 8​(k + 1)​ k​(k + 1)(​k − 1)​ _ f) _ ​  (120​k − 1    ​   − ​ _    ​   + ​ _    ​   − ​ 8​(k + 1)​(k + 1)​ ​     )( ) ( )( ) ( )( )

8​k + 1 ​k − 1 ​

8​k + 1 ​k − 1 ​ (

8​k + 1 ​k − 1 ​

)

(

8​k + 1 ​k − 1 ​

)2

(

)

​k​  ​ − 1 ​ − 8​​k + 1 ​  ​ 120k − 120 − 8k − 8 + ​k​  ​ − k − 8​​k​  ​ + 2k + 1 ​ __________________________ =      ​ 120k − 120 − 8k − 8 + k​      ​  =  ​ ___________________________          ​  ( 2 ) ( 2 ) 2

3

8​​k​  ​ − 1 ​

2

8​​k​  ​ − 1 ​

k​  ​ − k − 8​k​  ​ − 16k − 8 95k + 136 + ​k​  ​ − 8​k​  ​ ___________________________ ______________ =       ​ 120k − 120 − 8k − 8 + ​      ​  =  ​         ​ ( 2 ) ( 2 ) 3

2

3

8​​k​  ​ − 1 ​

2

8​​k​  ​ − 1 ​

7y​(x − 1)​(2 − y)​ ___________ 14​(2 + ​x​ 2​)​(2 − y)​ _ 12​(x − 1)​(2 − y)​ 56y​(x − 1)​ g) _ ​       ​   + ​          ​ − ​       ​ − ​ _        ​  ( ) ( ) ( ) ( ) 14​x − 1 ​(2 − y)​

14​x − 1 ​(2 − y)​

14​x − 1 ​(2 − y)​

14​x − 1 ​(2 − y)​

7y​(2x − xy − 2 + y)​ + 14​(4 − 2y + 2​x​  ​ − ​x​  ​y)​ − 56xy + 56y − 12​(2x − xy − 2 + y)​ 14​x − 1 (​2 − y)​ 2

2

=  _______________________________________________        ​         ​  ( ) 14xy − 7x​y​ 2​ − 14y + 7​y​ 2​ + 56 − 28y + 28​x​ 2​ − 14​x​ 2​y − 56xy + 56y − 24x + 12xy + 24 − 12y 14​x − 1 (​2 − y)​

_______________________________________________________ =  ​                ​  ( ) 2y + 80 − 30xy − 7x​y​ 2​ + 7​y​ 2​ + 28​x​ 2​ − 14​x​ 2​y − 24x 14​x − 1 ​(2 − y)​

=  ​ ________________________________            ​ ( ) 4( 3)​​ 7​a​ 2​b(​a + ​b​ 3)​​ _ a​b​ 4(​a + ​b​ 3)​​ _ a​ 2​b​ 4​ h) ​ _  ​     + ​ 63a​b2​ (​a + ​b3​ ) ​      + ​ _    ​   − ​  14​    ​   2( 3) 2( 3) 2( 3)

7a​b​  ​a + ​b​  ​​

7a​b​  ​a + ​b​  ​​

7a​b​  ​a + ​b​  ​​

7a​b​  ​a + ​b​  ​​

7​a​  ​b + 7​a​  ​b​  ​ + 63​a​  ​b​  ​ + 63a​b​  ​ + ​a​  ​b​  ​ + a​b​  ​ − 14​a​  ​b​  ​ a​  ​b​  ​ + 64a​b​  ​ ____________________________________       ​  =  ________________ ​ 7​a​  ​b + 57​      ​  =  ​         2( 3) 2( 3) 3

2

4

2

4

7

2

4

7

2

3

4

7a​b​  ​a + ​b​  ​​

​a​ 1​b​ 1​(​7​a​ 2​ + 57a​b​ 3​ + 64​b​ 6​)​ 7​a ​1​b​  ​a + ​b​  ​​

2

4

7

7a​b​  ​a + ​b​  ​​

b​  ​ + 64​b​  ​ _________________ ______________ =  ​         ​​ = ​    ​ 7​a​  ​ + 57a​      ​ 2( 3) 3) ( 2

3

6

7b​a + ​b​  ​​

3 3 ( )​(3 − w)​ _ ​(3 − w)​ 2​ 3 + w _ 3​w​ 2​ ​w​ 2​ 1 _ i) ​ _  ​     − ​ ( 7​w​  ​   ​   − ​ _  ) 2 ​   + ​ _  ​    =     ​ 3​3 + w     ​ − ​  (21​w​  ​   ​   − ​ _    ​   + ​ _    ​   )2 ( ( )2 )2 ( )2 ( )2 3 − w 3

​3 − w ​  ​

(

2)

​3 − w ​  ​

3 ​​3 − w ​  ​

3 ​​3 − w ​  ​

3 ​​3 − w ​  ​

3​​3 − w ​  ​

​  ​ − 3​w​  ​ + ​9 − 6w + w​​  ​ 27 − 3​w​  ​ − 21​w​  ​ − 3​w​  ​ + 9 − 6w + ​w​  ​ =  ________________________     ​ 3​9 − ​w​  ​​ − 21​w      ​  =  ​ ________________________          ​  ( )2 ( )2 3

2

3 ​​3 − w ​  ​

2

2

3

2

2

3 ​​3 − w ​  ​

36 − 5​w​  ​ − 21​w​  ​ − 6w ______________ =  ​         ​ ( )2 2

3

3 ​​3 − w ​  ​

www.klv.ch

61


5

Bruchterme – Lösungen 2 (s + 2)​ _ ( )2 18s s _ 6s ​6s​​ 2​ 36s j) _ ​ s + 2   ​  + ​ _   ​  + ​ ( ​s​  ​ ) 2 ​   − ​ _  ) 2 ​  =  _ ​ 108s​      ​ + ​ s​​(s + 2 )​ 2​   ​   + ​ _  ) 2 ​   − ​ _    ​   ( ( )2 ( ( )2 6

​s + 2 ​  ​

​s + 2 ​  ​

6​​s + 2 ​  ​

6​​s + 2 ​  ​

​6​s + 2 ​  ​

​6​s + 2 ​  ​

108​s​  ​ + 216s + s​​s​  ​ + 4s + 4 ​ + ​6s​​  ​ − 36s 108​s​  ​ + 216s + ​s​  ​ + 4​s​  ​ + 4s + ​6s​​  ​ − 36s ___________________________ ___________________________ =  ​          ​  =  ​          ​  ( )2 ( )2 (

2

)

2

2

3

2

​6​s + 2 ​  ​

2

2

​6​s + 2 ​  ​

s​  ​ + ​s​  ​ =  _____________    ​ 184s + 118​     ​ ( )2 2

3

​6​s + 2 ​  ​

1 12a − 1 _ ​b​ 4​ k) _ ​ 2a  ​   −  ​ _      ​ + ​ ​a5​​bb5​ ​ 4​ ​     ​​ + ​ _   ​   b b − a a + b 3(

)(

a​b​ 4​(​12a − 1​)​(a + b)​ a​b​  ​a + b ​b − a ​

)

(

)(

)

8(

)

a​  ​b​  ​a + b ​b − a ​ ____________ ___________ 5​a + b ​b − a ​ a​b​  ​a − b ​ ____________ =  ​    2​     ​ − ​         ​ + ​        ​ + ​ ___________       ​  4( 4( 4( 4( )( ) )( ) )( ) )( ) 2

a​b​  ​a + b ​b − a ​ 3(

2)

4(

)

a​b​  ​a + b ​b − a ​ (

2)

a​b​  ​a + b ​b − a ​

=  _________________________________________       ​ 2​a​  ​b ​ ​​b​  ​ − ​a​  ​​ − a​b​  ​12​a​  ​ + 12ab − a − b       ​ + 5​​b​  ​ − ​a​  ​​ + ​a​  ​b​  ​ − ​ab​​  ​​  4( 2 2) 2

2

2

2

2

8

9

a​b​  ​​b​  ​ − ​a​  ​​

​  ​b​  ​ + ​a​  ​b​  ​ + a​b​  ​ + ​5b​​  ​ − ​5a​​  ​ + ​a​  ​b​  ​ − ​ab​​  ​ =  ​______________________________________________        2​a​  ​b​  ​ − 2​a​  ​b​  ​ − 12​a​  ​b​  ​ − 12​a      ​  ​ 4( 2 2) 2

4

5

3

3

4

2

2

5

4

5

2

2

2

8

9

a​b​  ​​b​  ​ − ​a​  ​​

+ ​a​  ​b​  ​ + a​b​  ​ + ​5b​​  ​ − ​5a​​  ​ + ​a​  ​b​  ​ − ​ab​​  ​ = _________________________________________       ​ − 2​a​  ​b​  ​ − 12​a​  ​b​  ​ − 10​a​  ​b​  ​       ​ 4( 2 2) 4

3

3

4

2

5

2

4

5

2

2

2

8

9

a​b​  ​​b​  ​ − ​a​  ​​

2

1 32 1 2 2 2 4 2 ​7​ 1​ ​x​ 5​  ​ ​y​ 1​ _ ​x​ 5​y ​r​ 2​ _ ​t​ 2​ _ ​t​ 2​ _ 19. a) ​1​ _  ​   ∙ ​  ​3​  ​ ​r​  ​  ​     ​ ∙ ​ _    ​   ∙ ​ ​2​  ​ ​t​  ​   ​  =  _ ​   ​  ∙ ​ _   ​  ∙ ​ ​t​  ​  ​  ∙ ​ _   ​  =   12​ ​  ​rs​ ​ 4​t​y​  ​x​ 2​z​  ​   ​​  8​ 6​ ​r​ 1​ ​s​ 4​ ​28​ ​4​  ​ ​​z​ 2​ ​x​ 3​ 1​ ​z​ 2​ ​y​ 3​ 2​ ​z​ 2​ 6​s​ 4​ 2​z​ 2​ ​z​ 2​ ​y​ 2​z​ 2​ ​ 6​ 2

​m​ 9​n​p​ 2​ _ ​8​m​ 2​p​ 4​ _ ep ​m​ 9​n​p​ 2​ _ ​8​ 2​ ​m​ 2​ 1​ p​​ 4​ _ ​e​ 1​ p 3​n​ 3​ _ ​3​ 1​ ​n​ 3​ _ b) _ ​  15e    ​  ∙ ​  ​d​ 7 ​   ​  ∙ ​ ​m   ​  ∙ ​   ​    =  _ ​ ​15​ 5​e​ 1 ​​     ∙ ​  ​d​ 7 ​     ​ ∙ ​ ​m    ​   ∙ ​  ​4​ 1 ​   ​  ​ 2​e 4 ​ 2​ 1​ e ​m​ 9​n​p​ 2​ ​2p​​ 4​

p

​2m​​ 9​n​ 4​p​ 7​

​n​  ​ _ =  _ ​  5    ​  ∙ ​ _  ​   ∙ ​ __  ​   ∙ ​   ​    =  ​ _    ​  ​d​ 7​ e 1 5​d​ 7​e 3

31 2 2 1​ ​b​ 4​ 1​ ​c​ 1​ ​a​ 1​ ​b​ 2​ _ 5​b​ 2​ ​6​ 1​ ​a​ 1​ _ 1 1 _ c) ​ _    ​  ∙ ​ ​2​20​4​​  4​ ​ c​  ​     ∙ ​ _   ​   ∙ ​ 5 ​​a​  ​  ​   ​  =  _ ​ ​bd​  ​​   ∙ ​ _    ​   ∙ ​ _  ​   ∙ ​ 5 ​    =  12​  ​_   ​​  d ​ 5​ 4​ ​d​ 2​ ​30​ 3​ ​a​ 5​ 1​ ​2​ 1​ ​b​ 4​ 1​ ​4c​​ 4​d​ 2​ 3 1 c​ 4​d​ 3​

3 4 3 41 ​4​ 2​ ​y​ 7​ 1​ ​z​ 1​ _ ​y​ 2​ z 4​y​ 7​z _ ​y​ 2​ ​z​ 1​ c​ 5​d _ ​56​​ 8​ ​c​ 5​ 1​ d _ d) _ ​ 56​    ​  ∙ ​ 14​c​ 5​    ​   ∙  ​_    ​     ∙  ​ 13​​zc​ 4​  ​​d​  ​  ​  =  ​ _     ​   ∙ ​ ​14​ 7​ ​c​ 5​ 1   ​   ∙ ​ _   ​   ∙ ​ 13 ​​zc​ 4​ ​ 2​ ​d ​ ​  ​  ​  ​   x ​ x ​7​ 1​ ​d​ 4​ 1​ ​y​ 1​ x​y​ 6​ x ​​y​ 6​ 1​ 7​d​ 4​y

y​ ​ 2​

208​c​ 3​d​y​ 2​

8d _ _ 13​c​  ​ 2 _ =  ​ _ ​   =  _ ​  7​x​ 2​z​ 2 ​ ​    x   ​ ∙ ​ 7x  ​  ∙ ​ 1  ​  ∙ ​  ​z​ 2 ​   3

11 6 3 ​g​ 1​ g ​e​ 11​ __ 3e _ 4 ​f​ ​3​ 1​​ _ ​4​ 1​ e) _ ​ 16​   ​  ∙ ​  ​f​   ​​   ∙ ​ _  ​   ∙ ​    ​   ∙ ​ _   ​   =  _ ​ ​1​e6​​  4​g​  ​ ​     ∙ ​ _   ​  ∙ ​ 3e  ​  ∙ ​ _    ​   ∙ ​ _  ​    7 ​ ​ ​g​ 1​ ​f​ 2​ 1​ 17​​e​ 5​ 1​ ​g​ 5​ g​ 7​ g ​f​ 2​ ​17e​​ 5​ ​g​ 5​

3​e​  ​f f _ 1 _ _  ​  ​ =  _ ​ 4​​eg​ ​ 7​  ​​  ∙ ​ _   ​  ∙ ​ 3e ​   ∙ ​ _   ​  ∙ ​ 4  ​   =  ​ 68​   1 1 17 ​g​ 5​ g​ 12​ 6

7

1 41 ​ 8​b​ 2​ _ ​b​ 4​ _ ​c​ 5​d​ 4​ _ ​d​ 5​ ​ 8​ 4​ ​b​ 2​ _ ​c​ 5​ 3​ ​d​ 4​ _ ​d​ 5​ f) _ ​ ​a8c    ​  ∙ ​ 2c   ​  ∙ ​ 12​    ​  ∙ ​ 3d ​   ∙ ​ _  ​    =  _ ​ ​a8​    ​  ∙ ​ ​b​  ​  ​  ​  ∙ ​ _    ​   ∙ ​ ​3​  ​ d ​   ∙ ​ _   ​   a​ 2​ ​a​ 2​ ​b​ 4​ c​ 1​ 2​c​ 1​ ​12​ 4​ ​a​ 2​ 1​ ​a​ 2​ 1​ ​b​ 4​ 1​

d _ ​a​  ​b​  ​c​  ​d​  ​ 1 _ =  _ ​ ​a​ 8​b ​  ​  ​ ∙ ​ _  ​   ∙ ​ ​c​ 4​d ​  ​  ​ ∙ ​ _  ​   ∙ ​ ​d​  ​​    =  ​ _     ​​   1 1 2 64 4

2

3

4

5

4

2

3

10

1

4 3 41 4 ghr _ 5​g​ 3​ ​h​ 4​ _ 11g ​g​ 1​hr _ 5​​g​ 3​  ​ _ ​11​​ 1​g​ 1​ g) _ ​  ​s​ 7 ​    ∙ ​ 6​s​  ​  ​  ∙ ​ _ ​   ∙ ​ _   ​  ∙ ​     ​   =  ​ _  ​   ∙ ​ ​6​  ​s​  ​  ​   ​   ∙ ​ _   ​  ∙ ​  ​h​  ​   ​   ∙ ​_   ​s​ 2 ​   ​   ​ ​g​ 7​h​ 2​ 7​r​ 2​ 22​t​ 2​ ​s​ 2​ ​s​ 7​ 3​ ​g​ 7​ 2​h​ 2​ 7​r​ 2​ ​22​ ​2​  ​​ ​t​ 2​ 1

53 1

5 _ ​h​  ​  ​r​  ​ h​  ​ hr _ 1 ​ ​7g​15​  =​ ​7_ ​​ g​15​ ​   ​  ∙ ​  3   ​  ∙ ​ _   ​  ∙ ​ ​h​  ​​   ∙ ​ _   ​   =  _   ​     ​  =  ​ _ ​s​ 3​ ​g​ 2​h​ 2​ 7​r​ 2​ ​t​ 2​ ​s​ 2​ ​ 2​r​s​ 5​t​ 2​ ​ 2​h​ 2​ 1​ ​r​ 2​ ​s​ 5​t​ 2​ 4

62

3

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5 1

2 4 21 4 2 2 ​y​ 5​  ​ _ ​y​ 5​ _ e​ 7​f _ ​44​​ 4​e​ 7​ 1​ f _ 1 1 h) _ ​ 44​       ​∙ ​ ​e​y​ ​ 6​f​  ​ ​ ​  ∙ ​ _   ​  ∙ ​  ​f​  ​  ​  ∙ ​ _    ​  =  ​ _     ​  ∙ ​ ​e​y​ ​ 6​ ​ 1​f​  ​ ​  ​  ∙ ​ _   ​  ∙ ​  ​f​  ​   ​  ∙ ​ _    ​   ​x​ 4​ ​x​ 4​ ​e​ 9​ 11x 13​x​ 4​ ​e​ 9​ 1​ ​11​ 1​x 13​x​ 4​

4f __ 1 __ 1 4​f​  ​ =  ​ _   ​  ∙ ​  ​f​   ​​   ∙ ​ _  ​   ∙ ​  ​f​   ​​   ∙ ​ _    ​  =  13​ ​ _   ​  ​ ​x​ 4​ y 1 x 13​x​ 4​ x​ 9​y 4

2

7

1

4 1 42 2 2 ​w​ 2​y ​w​ 2​  ​y 2​u ​3​v _ 2​u​ 3​v _ 14r _ 14​r​ 1​ ___ i) _ ​ 101​   ​   ∙ ​ ​ru​​   ​​   ∙ ​ _  ​   ∙ ​ ​v​  ​  ​  ∙ ​ _ ​    =  ​ _   ​   ∙ ​ ​r​  ​u​  ​  ​​     ∙ ​ _  ​    ∙ ​  ​v​  ​  ​  ∙ ​ _ ​     w​ 3​ ​w​ 2​ ​u​ 2​ rw ​3r​​ 4​ 101​w​ 3​ ​w​ 2​ 1​ ​u​ 2​ 1​ ​r​ 1​w ​3r​​ 4​ 3​

y

28​u​ 5​v​ 3​y

2​u​  ​v _ 14 _ _ ​  =  _ ​ 101​   ​   ∙ ​ ​u​  ​​   ∙ ​ _  ​   ∙ ​ ​vw​   ​​   ∙ ​ _   ​   =  ​ 303​ ​ 1 w​ 3​ 1 ​3r​​ 3​ r​ 3​w​ 4​ 3

2

2

4 3​(a + b)​ cd + d _ c + 1 4a − 4b j) ​ a​ ​ _    ​   ∙ ​ ​5a​​  ​ ​ ∙ ​ _      ​ ∙ ​ _   ​     ∙ ​ _     ​   15a 12a ​ 5​ + ​a​ 2​b 4​d​ 4​ ​a​ 2​ − ​b​ 2​ 1(

)1

1(

)1

​d​  ​c + 1 ​ _ ​  ​ ​a − b ​  ​ _ ​ ​a + b ​  ​ ​ _ =  ​ _    ​   ∙ ​ ​5​  ​ ​a​  ​  ​   ∙ ​  c + 1  )    ​ ∙ ​ ​4_   ​     ∙ ​ ​3​1​  5​    ​   2 ( 3 ) 4 ​​d​ 4​ 3​ ( ) (  ​5​  ​ ​​a​ 1​ ​12​ 3​ ​a​ 1​ 1(

)

1

41

​a​  ​ 1​​a​  ​ + b ​

​a + b ​ 1​ ​a − b ​ 1​

(​c + 1)​ _ ​(c + 1)​ _ 1 =  (​ _  ​     ∙ ​  1  ​  ∙ ​ _   ​     ∙ ​ 31 ​  ∙ ​ _  ​   1 1 ​​a​ 3​ + b)​ 4​d​ 3​

1

​(c + 1)​ 2​ =  ​ _      ​​ ​12d​​ 3​(​a​ 3​ + b)​

( )​ 2​ ( )​ 2​ 2​(a − d)(​a + d)​ _ 1 2 1 20. a) ​ _  ) 2 ​   − ​ _   ) ​   + ​ _  ) 2 ​  =  _ ​ ( ​a + d    ​   − ​ _    ​   + ​ ( ​a − d    ​   ( ( )( ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 )2 ( )2

​a − d ​  ​ (

​a − d ​a + d ​

)2

(

​a + d ​  ​

)(

)

(

​a − d ​  ​ ​a + d ​  ​

)2

​a − d ​  ​ ​a + d ​  ​ (

2)

​a − d ​  ​ ​a + d ​  ​

a − d ​a + d ​ + ​​a − d ​  ​ ​a​  ​ + 2ad + ​d​  ​ − 2​​a​  ​ − ​d​  ​​ + ​a​  ​ − 2ad + ​d​  ​ __________________________ =  _____________________     ​ ​a + d ​  ​ − 2​      ​  =  ​          ​  ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 2

2

​a − d ​  ​ ​a + d ​  ​

2

2

2

​a − d ​  ​ ​a + d ​  ​

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2 6gh 9gh 6gh 9gh ​24​​ 8​ ghp _ 12ghx ___ 9gh ​8​ 4​p 4p _ 2x ___ ___ _ ___ _ b) ​​ ___    ​  ∙ ​(_ ​ ​6​ 3​g ​   + ​_  ​1​86​​ 1​ ​h​x ​    ​   + ​  hx    ​  + ​  x ​     )​ + ​  x   ​   =  ​  x    ​ ∙ ​(​ 3g ​   + ​  h ​  )​ + ​  x   ​   =  ​  ​3​ 1​ gx    x

8g​h​ 2​p

12​g​ 2​hx

9​g​ 2​h​ 2​

8g​h​ 2​p + 12​g​ 2​hx + 9​g​ 2​h​ 2​

_________________ =  _ ​  ghx    ​  + ​ _    ​   + ​ _      ​  =     ​      ​  ​ ghx ghx ghx gh​(​8hp + 12gx + 9gh​)​

8hp + 12gx + 9gh

= ​ _______________        ​​=  ​  _____________     ​   x ghx 2​(36 − y)​ _ 18​(y + 4)​ _ y​(y + 4)​ 36 − y _ y 72 − 2y _ 18y + 72 _ ​y​ 2​ + 4y _ c) ​ _  ​     − ​ 91 ​   + ​ _   ​   =  _ ​  2​y + 4  ​       − ​    ​       + ​      ​     =    ​  ​       − ​           ​ + ​      ​   y + 4 2 ​ 2​y + 4 ​ 2​y + 4 ​ 2​y + 4 ​ 2​y + 4 ​ 2​y + 4 ​

(

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72 − 2y − 18y − 72 + ​y​ 2​ + 4y __________________ ​         ​  2​(y + 4)​

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​ ​ 2​ − 16y y ​ _  ​    ​ 2​(y + 4)​

5a − 2b _ 20ab − 8​b​  ​ + 40ab + 8​b​  ​ d) ( ​_ ​ 5a + 2b  ​     − ​ 25​  ​    ​ ∙  ​_____________     50​a​  ​ 5a + 2b   ​   a​ 2​ − 4 ​b​ 2​) 2

2

2

4b ​​5a − 2b ​  ​ ​ + 20ab + 4​b​  ​​ _______________ =  ( ​_ ​ 5a − 2b  ​     − ​ ____________        ​ ​ ∙  ​    2​25​a​      ​  ( )( ) ) 5a + 2b 5a + 2b (

)1

(

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​5a + 2b ​ ​5a − 2b ​ 1​

2 ​​5a + 2b ​  ​  ​ 4b =  ​(_ ​ 5a − 2b  ​     − ​ _    ​ ​ ∙ ​ _      ​  ( ) 5a + 2b 5a + 2b ) )21

(

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(

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2 ​​5a + 2b ​  ​ =  _ ​ 5a + 2b − 4b      ​ ∙ ​ _     ​  =  ​(5a − 2b)​ ∙ 2  =  10a − 4b​ ( ) 1 ​5a + 2b ​ 1​

f + e _ e ​f​  ​ − 2ef _ ​f​  ​ − 2ef _ _  ​   + ​ f + e    ∙ ​  ​f​  ​ − ​e​  ​   ​ ​  =  _ ​ 2e + f  ​    ∙ ​ _  ​     ∙ ​  ​f​  ​ − ​e​  ​   ​   ​ f + e    ​    e) ​(_ )​ ∙ ​(​ ​f​ 3​ − ​ef​​ 2 ​ ​ ​f​ 2​ − ​4e​​ 2​) f + e ​f​ 3​ − ​ef​​ 2​ ​f​ 2​ − ​4e​​ 2​ 2

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www.klv.ch

1

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Repetition - Mathematik 2. Oberstufe  
Repetition - Mathematik 2. Oberstufe  
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