Issuu on Google+

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 1 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Giới thiệu vectơ 1.1 (a) (5.t20)

+ Hệ phương trình đại số tuyến tính

+ Phương pháp khử Gauss-Jordan

Tính u + v , u + v + w và u + 2v − 3w khi

1   − 3 2     u = 2 , v = 1 , w = − 3 .       3 − 2  − 1 (b) w có phải là tổ hợp tuyến tính của u và v không? Tại sao? 1.2 (11.t46) Tính Ax theo hai cách: lấy tích vô hướng của các hàng với vectơ cột hoặc lấy tổ hợp tuyến tính của các cột  2 1 0 0  1   1 2 4   2 1 2 1 0  1    (b) Bx =  (a) Ax =  − 2 3 1   2     0 1 2 1  1  − 4 1 2 3    0 0 1 0  2 2 x + 3 y + z = 8  1.3 (11.t59) Giải hệ sau bằng phương pháp khử Gauss: 4 x + 7 y + 5 z = 20  −2 y + 2 z = 0  1.4 (18.t60) Số q nào làm cho hệ sau suy biến (tức là số trụ ít hơn số biến)? Với số q đó, tìm giá trị t để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm có z = 1. x + 4 y − 2z = 1   x + 7 y − 6z = 6 3 y + qz = t  1.5 (25.t73) Áp dụng phép khử với ma trận mở rộng 3 × 4 [A b]. Làm thế nào để biết hệ này vô nghiệm? Hãy tìm một số thay vào vị trí số 6 để hệ có nghiệm. 1 2 3  x  1  Ax = 2 3 4  y  = 2 3 5 7   z  6  1.6 (13.t21) (a) Tính tổng của 12 vectơ có gốc là tâm của đồng hồ và các ngọn là các điểm 1:00; 2:00; …; 12:00. (b) Nếu bỏ vectơ có ngọn là 4:00, tính tổng 11 vectơ còn lại. (c) Vectơ đơn vị hướng đến số 1 là vectơ nào?

1  2

3 1

14 8

1.7 (26.t22) Tổ hợp nào của các vectơ   và   sinh ra vectơ   ? Diễn đạt câu hỏi trên dưới dạng hai

phương trình với hai ẩn là c, d. 1.8 (24.t22) Cho u, v, w là ba vectơ không đồng phẳng. Tìm vectơ vừa là tổ hợp của u, v vừa là tổ hợp của v, w. 1.9 (15.t47) Viết phương trình: 2x − 3y + z + 5t = 8 dưới dạng tích của một ma trận A với một vectơ cột x = (x, y, z, t) để sinh ra b = 8. Ma trận A có bao nhiêu hàng? 1.10(14.t60) (a) Tìm số b để khi dùng phép biến đổi Gauss đối với hệ sau thì ta phải dùng phép đổi chỗ hai hàng. (b) Tìm số b để hệ có 2 trụ. Trong trường hợp này hãy tìm một nghiệm khác không x, y, z của hệ.  x + by = 0  x − 2 y − z = 0 y + z = 0  1.11 (24.t73) Áp dụng phép khử cho ma trận mở rộng 2 × 3, [A b] để đưa hệ về dạng hệ tam giác Ux = C . Nghiệm x bằng bao nhiêu?  2 3  x1   1  Ax =    =    4 1  x 2  17  1.12 (27.t74) Chọn các số a, b, c, d trong ma trận mở rộng để hệ


(a) không có nghiệm

(b) có vô số nghiệm 1 2 3 a  [A b] = 0 4 5 b  0 0 d c  Số nào trong số a, b, c, d không ảnh hưởng đến khả năng giải được của hệ. 3 x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 2  1.13 Giải hệ phương trình  7 x1 − 4 x2 + x3 + 3 x4 = 5 5 x + 7 x − 4 x − 6 x = 4 2 3 4  1 2 x − y − z = a  1.14 Tìm điều kiện của tham số thực a,b,c để hệ sau có nghiệm: − x + 2 y − z = b − x − y + 2 z = c   ax1 + x2 + x3 = 1  1.15 Giải và biện luận hệ sau theo tham số a  x1 + ax2 + x3 = a  x + x + ax = a 2 3  1 2

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 2 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Khái niệm ma trận

+ Các phép toán ma trận

+ Ma trận nghịch đảo

1 2 1 0 2.1 (6.t85) Hãy chứng minh ( A + B ) 2 khác với A 2 + 2 AB + B 2 , khi A =  và B =    0 0  3 0  Hãy viết quy tắc đúng cho ( A + B )( A + B) = A 2 + _______ + B 2 . 0 2 0 0  x  0 0 2 0     và v =  y  2.2 (21.t88) Tính A 2 , A 3 , A 4 và Av, A 2 v, A 3 v, A 4 v cho A= z  0 0 0 2      0 0 0 0  t  2.3 (6.t100) (a) Nếu A khả nghịch và AB = AC , CMR B = C . 1 1 (b) Nếu A =   , tìm hai ma trận B, C sao cho B ≠ C và AB = AC . 1 1

2.4 (a) (22.t102) Tìm ma trận nghịch đảo A −1 của A bằng cách thực hiện các phép toán hàng trên các ma trận sau: 1 3 1 0  1 4 1 0  [A I]=  và [A I]=    2 7 0 1 3 9 0 1 0 0 0 2 0 0 3 0   . (b) (10.t101) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận B =  0 4 0 0    5 0 0 0  2.5 (a) (27.t103) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng cách thực hiện biến đổi Gauss – Jordan trên ma trận 1 0 0 [A I] với A = 2 1 3 0 0 1 1 2 3 (b) Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình AX = 1 2 0  1 0 0 

2


0,5 0,5 1 0  Tìm các lũy thừa: A2 , A3 , … và ( AB) , ( AB)2 , … với A =  và B =    0,5 0,5 0 − 1 2.7 (24.t88) Tìm ma trận khác ma trận không A sao cho A 2 = 0 . 1 1 2 2.8 Cho A =   . Chứng tỏ rằng phương trình AX = I 2 có nghiệm nhưng phương trình YA = I 3 vô nghiệm. 0 − 1 0  2.9 Các khẳng định sau đúng hay sai với A, B là các ma trận bất kì (a) ( AB )2 = A2 B 2 (b) AB và BA có nghĩa thì A, B đều là ma trận vuông (c) Nếu cột 1 và cột 3 của B là như nhau thì cột 1 và cột 3 của AB là như nhau. 2.10 (29.t103) Các mệnh đề sau đúng hay sai (giải thích nếu đúng và cho phản ví dụ nếu sai): (a) Một ma trận 4 × 4 có một hàng toàn số 0 thì không khả nghịch. (b) Nếu A khả nghịch thì A−1 cũng khả nghịch. (c) Nếu A khả nghịch thì A2 cũng khả nghịch. 2.11 Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa mãn A2 − 3 A + I = 0 thì ma trận A khả nghịch và A−1 = 3I − A . 2.12 (9.t101) Giả sử A khả nghịch và B là ma trận có được bằng cách hoán vị 2 hàng đầu tiên của A. Ma trận B có khả nghịch không và làm thế nào để xác định B −1 từ A−1 ?  3 2 0 0  4 3 0 0  . 2.13 (10.t101) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận B =  0 0 6 5   0 0 7 6 2.14 (24.t102) Sử dụng phép khử Gauss- Jordan trên [A I] để tìm A −1 . 1 a b   1 0 0 0 1 c   x x x  = 0 1 0. 2 3      1 0 0 1   0 0 1 2.6 (22.t88)

2.15 (a) (27.t103) Tìm 1 1 trận [A I] với A = 1 2 1 2

ma trận nghịch đảo các ma trận A bằng cách thực hiện biến đổi Gauss – Jordan trên ma 1 2. 3

1 2 3 (b) Tìm ma trận Y thỏa mãn phương trình YA =  0 2 3  0 0 3

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 3 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Khái niệm & tính chất của định thức

+ Các cách tính định thức

1 , hãy tìm det(2A), det(−A), det(A2) và det(A−1). 2 Hãy tính các định thức của A, B, C bằng cách tính tổng của sáu phần tử. 1 2 3 1 2 3 1 1 1     A = 3 1 2 B =  4 4 4 C = 1 1 0 . 3 2 1  5 6 7  1 0 0

3.1 (1.t292) Khi một ma trận cỡ 4×4 có detA = 3.2 (1.t307)

+ Ứng dụng của định thức

3.3. Tính định thức theo 2 cách (biến đổi hàng và công thức phần phụ đại số) 0 0 1 1 2 3 a) 0 2 5 b) 2 1 3 4 0 −4 1 3 2

3


3.4 (18.t294) Sử dụng các phép toán hàng để chỉ ra rằng "định thức Vandermonde" bằng: 1 a a 2    det 1 b b 2  = (a − b)(b − c)(c − a ) 1 c c 2    0 1 2  3.5 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A sử dụng công thức phần phụ đại số với A=  2 3 3   4 4 4  3.6 (3.t292) Các khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích nếu đúng và nêu phản ví dụ nếu sai: (b) Định thức của ABC bằng |A||B||C|. (a) Định thức của I + A bằng 1 + detA. (c) Định thức của 4A bằng 4|A|. (d) Định thức của AB − BA bằng không (Thử cho một ví dụ.) 3.7 (14.t294) Bằng cách áp dụng các phép toán hàng để đưa các ma trận về dạng ma trận tam giác trên U, rồi tính  1 2 3 0 − 2 1 0 0   2 6 6 1  −1 2 −1 0    . các định thức sau det và det  − 1 0 0 3  0 − 1 2 − 1     0 −1 2   0 2 0 7 0 1 4 6 a b  −1 2 (b) U =  3.8 (19.t294) Tìm định thức của U, U và U : (a) U = 0 2 5  0 d  0 0 3 3.9 (12.t309)

Hãy tìm tất cả những phần phụ đại số của các phần tử trong hai ma trận sau và đặt chúng vào một 1 2 3 2 1   ma trận phụ hợp C. Hãy tìm detB nhờ các phần phụ đại số của nó với A =   , B =  4 5 6 . 3 6   7 0 0 3.10 (13.t309)

Tìm ma trận phụ hợp C rồi nhân C T với A. So sánh C T với  2 −1 0  3 2 1   −1 A = − 1 2 − 1 A = 2 4 , 4  0 − 1 2  1 2

A−1 : 1 2 . 3

1 2 a 1  0 − 3 0 5   3.11 Tính định thức của ma trận sử dụng công thức phần phụ đại số với A =  3 0 2 6    b 4 0 − 4 1 1 3 5   a −3 x b   3.12 Tính định thức của ma trận (sử dụng các tính chất của định thức) với A =  2 1 3 5    2 7 0 y  3.13 (15.t294) Sử dụng các phép toán hàng để đơn giản hoá và tính những định thức sau: 1 t t2 101 201 301   det 102 202 302 và det  t 1 t  . t 2 t 1  103 203 303   3.14 (a) Cho ma trận A thỏa mãn: A3 = 3 A2 − 3 A + I 3 . Chứng minh ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của A?  2 5 1 (b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận B= 1 0 2    1 3 4  3.15

Tính các định thức:

 a +1 a  D2 (a ) = det  a + 1  1 4


0   a +1 a  D3 (a ) = det  1 a + 1 a   0 1 a + 1 

;

0  a +1 a  1 a +1 a  Dn (a ) = det  0 1 a +1  .... ....  ...  0 .... .... 

... 0  ... 0  ... 0   ... ...  ... a + 1

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 4 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Kiểm tra các tính chất của một không gian véctơ + Kiểm tra một tập hợp với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một không gian con hay không? + Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận: C(A), N(A), C(AT), N(AT). 4.1 (1.t148) Giả sử ( x1 , x 2 ) + ( y1 , y 2 ) được định nghĩa bởi ( x1 + y 2 , x 2 + y1 ) . Với phép nhân thông thường cx = (cx1 , cx2 ) , hỏi những điều kiện nào trong 8 điều kiện trên không được thỏa mãn? 4.2 (10.t149) Tập hợp con nào sau đây của R 3 cùng với các phép toán cộng và nhân thông thường trong R 3 là không gian con của R 3 ? (a) Mặt phẳng chứa các vectơ (b1 , b2 , b3 ) : b1 = b2 (b) Mặt phẳng chứa các vectơ (b1 , b2 , b3 ) : b1 = 0 (c) Mặt phẳng chứa các vectơ (b1 , b2 , b3 ) : b1b2 b3 = 0 (d) Tất cả các tổ hợp tuyến tính của v = (1,4,0) và w = (2,2,2) (e) Tất cả các vectơ thỏa mãn b1 + b2 + b3 = 0 (f) Tất cả các vectơ thỏa mãn b1 ≤ b2 ≤ b3 4.3 Kí hiệu M (2 × 2, R ) là tập các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thực, G là tập các ma trận khả nghịch của M ( 2 × 2, R) ). Chứng minh rằng G không phải là không gian con của M (2 × 2, R) . 4.4 (19.t151) Hãy mô tả các không gian cột (đường thẳng hoặc mặt phẳng ) của các ma trận sau 1 2 1 0 1 0     (a) A = 0 0 (b) B = 0 2 (c) C = 2 0 0 0 0 0 0 0 4.5 (6.t164) Tìm các nghiệm đặc biệt (gán cho 1 biến tự do giá trị 1, các biến tự do còn lại giá trị 0 ta được 1 nghiệm đặc biệt) của phương trình Ax = 0 và Bx = 0 với  −1 3 5   − 1 3 5 A= , B=   − 2 6 10 − 2 6 7  4.6 (7.t149) Quy tắc nào bị phá vỡ nếu ta nhân hàm số f(x) với số c thì được hàm f(cx)? Vẫn giữ nguyên định nghĩa phép cộng hai hàm như thông thường. 4.7 (7.t149) Quy tắc nào bị phá vỡ nếu ta nhân hàm số f(x) với số c thì được hàm f(cx)? Vẫn giữ nguyên định nghĩa phép cộng hai hàm như thông thường. 4.8 (20.t151) Tìm điều kiện của vế phải để các hệ sau có nghiệm? 4 2   x1   b1  4 1 1  b1   x1            (a) 8 4   x 2  = b2  (b) 9    = b2  2 2 x − 1 − 4 − 2  x 3  b3  − 1 − 4  2  b3  4.7 (26.t152) Điền vào chỗ trống để được một mệnh đề đúng: Nếu A là một ma trận vuông cấp 5 và khả nghịch thì không gian cột của A là _______ Giải thích tại sao? 4.8 (1.t163) Hãy rút gọn các ma trận sau về dạng bậc thang U: 1 2 2 4 6 2 4 2   (a) A = 1 2 3 6 9 (b) B = 0 4 4 0 0 1 2 3 0 8 8

Những biến nào là biến tự do? Những biến nào là biến trụ? 4.9 (2.t163) Với các ma trận trong Bài 4.8, hãy tìm các nghiệm đặc biệt ứng với mỗi biến tự do? 4.10 (3.t163) Bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính của các nghiệm đặc biệt của các ma trận trong Bài 4.7, hãy mô tả mọi nghiệm của phương trình Ax = 0 và Bx = 0. Không gian nghiệm chỉ chứa duy nhất vectơ x = 0 khi không có 5


…………..

(Điền vào chỗ trống).  1 2 3 4.11 Cho A =  2 4 6   −1 4 6  Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận A? Từ đó chỉ ra véc tơ (0,0,6) ∈ C ( A) và (-2,2,3) ∈ C ( AT ) 1 0  1 0  4.12 Tìm không gian con của không gian các ma trận 2 × 2 chứa ma trận A =  và B =    0 0  0 −1

 1 a   , a ∈ R  là 1 không gian con của M (2 × 2, R) .   a 1  

4.13 Chứng minh rằng không gian W = 

4.13 (23.t166) Xây dựng 1 ma trận mà không véc tơ (1,1,2) 2 4.15 Mô tả 4 không gian của ma trận B = 0 0

gian cột chứa véc tơ (1,1,5) và (0,3,1) còn không gian nghiệm chứa 4 2 4 4 8 8

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 5 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Hạng và dạng rút gọn theo hàng + Nghiệm đầy đủ (nghiệm tổng quát) của Ax = 0 và Ax = b. 5.1 (a) (b) 5.2

(2.t176) Tìm dạng thu gọn U và hạng của các ma trận sau đây: Ma trận cấp 3 × 4 có tất cả các phần tử đều bằng 1. Ma trận cấp 3 × 4 với aij = i + j − 1 (c) Ma trận cấp 3 × 4 với a ij = (−1) j . (23.t193) Chọn số q sao cho hạng của ma trận A là (a) 1 (b) 2 (c) 3 6 4 2    A = − 3 − 2 − 1  9 6 q 

5.3 (26.t179) Tìm dạng thu gọn U và hạng của ma trận A. Các cột nào là cột trụ của ma trận A? Các biến nào là biến tự do? Tìm các nghiệm đặc biệt và nghiệm tổng quát của phương trình Ax = 0. 1 1 2 2 2  1 − c A =  2 2 4 4  ; A =  2 − c   0 ��� 1 c 2 2 

 x 1 3 1 2   1 y 5.4 (4.t190) Tìm nghiệm tổng quát của hệ 2 6 4 8    = 3 z 0 0 2 4   1 t  5.5 (5.t190) Tìm điều kiện đối với b1, b2, b3 để hệ sau có nghiệm? (Cho thêm cột b vào cột thứ tư trong quá trình khử). Tìm tất cả các nghiệm khi có điều kiện đó.  x + 2 y − 2 z = b1  2 x + 5 y − 4 z = b 2 4 x + 9 y − 8z = b 3  5.6 (1.t175) Các định nghĩa nào sau đây là một định nghĩa đúng về hạng của ma trận A? (a) Số các hàng khác 0 của ma trận U (b) Số các cột trừ đi tổng số các hàng. (c) Số các cột trừ đi số các cột tự do. (d) Số các số 1 ở trong ma trận U

6


 x1 − 2 x2 + ax3 = 3  5.7 Cho hệ phương trình 3 x1 − x2 − ax3 = 2 2 x + x + 3 x = b 2 3  1 (a) Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất. (b) Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm. 5.8 (30.t194) Thu gọn tới dạng Ux = c (dùng phương pháp khử Gauss-Jordan).  x1  1 0 2 3    2  x Ax = 1 3 2 0  2  =  5  = b x  2 0 4 9  3  10  x4  Tìm một nghiệm riêng xp và tất cả các nghiệm thuần nhất xn. Từ đó tìm nghiệm tổng quát của hệ. 5.9 (31.t194) Tìm ma trận A, B (nếu có) thỏa mãn điều kiện sau đây? 1  1  0 0   (a) Nghiệm duy nhất của Ax =  2 là x =   . (b) Nghiệm duy nhất đối với Bx =   là x = 2 1 1  3 3 1 1 0 5.10 (33.t194) Biết nghiệm tổng quát đối với Ax =   là x =   + c   . Hãy tìm ma trận A. 3 0 1 1 4 0 1 0 1    5.11 (18 t192) Tìm hạng của ma trận sau bằng phương pháp khử với A =  2 11 5  , B = 1 1 2   −1 2 10  1 1 q  5.12 (19 t192) Tìm hạng của ma trận A, AT A, AAT 2 0  1 1 5  (a) A =  (b) A = 1 1   1 0 1 1 2 

5.13 (21 t192) Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng x p + xn đối với những hệ sau x + y + z = 4  x − y + z = 4 Tìm 1 nghiệm riêng và tất cả các nghiệm thuần nhất, từ đó tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau:  x1  5 7    1  2 − 3 x2 4 − 6 2 3    =  2   x   2 − 3 − 11 − 15  3  1   x4   3 −2 1  Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với A = 5 −3 0  , biết rằng hệ trên 0 1 −5

(a) x + y + z = 4 5.14

5.15

(b)

có một nghiệm riêng x p = (0,1,1) .

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 6 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Hệ vectơ độc lập tuyến tính 6.1 (1.t207)

+ Hệ vectơ cơ sở

+ Chiều của bốn không gian con cơ bản.

Chỉ ra rằng v1, v2, v3 là hệ độc lập tuyến tính nhưng v1, v2, v3, v4 lại phụ thuộc tuyến tính: 1 1 1  2       v1 = 0 ; v 2 = 1 ; v3 = 1 ; v 4 =  3 . 0 0 1  4

7


(Gợi ý: Giải hệ c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 hay Ax = 0 . Các vi chính là các cột của A). 6.2 (8.t208) Nếu w1, w2, w3 là các vectơ độc lập tuyến tính, chỉ ra rằng các vectơ v1 = w 2 + w3 , v 2 = w1 + w 3 , v 3 = w1 + w 2 cũng độc lập tuyến tính. (Viết c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 dưới dạng tổng của các vectơ wi. Giải phương trình với các biến ci). 6.3 (41.t213) Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3? (a) (1, 2, 0) và (0, 1, −1) (b) (1, 1, −1) và (2, 3, 4 ) và (4, 1, −1) và (0, 1, −1) (c) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 0) (d) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 6) 6.4 (17.t210) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con sau đây của R4: (a) Tất cả các vectơ mà các thành phần của chúng đều bằng nhau (b) Tất cả các vectơ mà tổng các thành phần của chúng bằng 0 (c) Tất cả các vectơ trực giao với hai vectơ (1, 1, 0, 0) và (1, 0, 1, 1) 1 0 1 0 1  (d) Không gian cột (trong R2) và không gian nghiệm (trong R5) cuả ma trận U =   0 1 0 1 0  6.5 (3.t222) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian trong bốn không gian con liên kết với A 0 1 2 3 4  A = 0 1 2 4 6  0 0 0 1 2 

6.6 (5 t208) Kiểm tra tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của (a) (1,3,2); (2,1,3); (3,2,1) (b) (1,-3,2); (2,1,-3); (-3,2,1) 6.7 Chứng minh rằng nếu hệ véc tơ { v1 , v 2 ,..., v n } độc

l ập

tuyến

tính

thì

hệ

véc

{ v1 , v1 + v 2 ,..., v1 + v 2 + ... + v n } cũng độc lập tuyến tính 6.8 Tìm véc tơ w = (1,0,t) là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ a =(1,1,0), b = (0,1,0), c = (1,0,1) 6.9 (37.t213) Tìm một cơ sở cho không gian các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 3. Tìm một cơ sở cho không gian con gồm các đa thức bậc bé hơn hoặc bằng 3 và p(1) = 0. 6.10 (1.t222) (a) Nếu A là một ma trận cấp 7 × 9 có hạng bằng 5 thì chiều của bốn không gian con sẽ bằng bao nhiêu? Tổng của các chiều của bốn không gian này bằng bao nhiêu? (b) Cho A là một ma trận cấp 3 × 4 có hạng bằng 3, hãy tìm không gian cột và không gian nghiệm trái của nó. 6.11 (8.t223) Chiều của bốn không gian con của các ma trận A, B, C bằng bao nhiêu nếu I là ma trận đơn vị cấp 3, O là ma trận không cấp 3 × 2? I   I A = [I O ] B= T C = [O ] T O O  6.12 Cho các vectơ v1 = (2, 1, 3), v2 = (3, -1, 4), v3 = (2, 6, 4). Ký hiệu W là không gian con của R3 gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2, v3. Tính số chiều của W. 6.13 (2 t222) Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận 1 2 4  1 2 4  A= B=   2 4 8  2 5 8  1 3 0 5  6.14 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận A = 2 6 1 16  . 5 15 0 25 6.15 (15 t224) Nếu đổi vị trí 2 hàng đầu của ma trận A thì 4 không gian con có giữ nguyên không? Nếu v = (1,2,3,4) nằm trong không gian cột của A, hãy viết 1 véc tơ nằm trong không gian cột của ma trận mới? .

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 7 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng

+ Chéo hoá ma trận và ứng dụng trong tính lũy thừa ma trận

1 4 7.1 (2.t344) (a) Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận A =   2 3 8


(b) Điền vào chỗ trống (+) A + I có các vectơ riêng _______như A. Các giá trị riêng của nó ______ với 1. (+) A−1 có các vectơ riêng ________ của A . Các giá trị riêng là ________ (+) A2009 − 2 A + I có các vectơ riêng ________ của A . Các giá trị riêng là ________ 7.2 (5.t344) Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B và A + B : 1 0  1 1 2 1 , và A + B =  A= B=   . 1 1  0 1 1 2 Giá trị riêng của A + B (bằng) (không bằng) giá trị riêng của A cộng với giá trị riêng của B. 1 2 3 7.3 (30.t348) Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A = 0 4 5  0 0 6  2 2 2 7.4 Kiểm tra tính chéo hóa của ma trận C =  2 2 2   2 2 2 

7.5 (22.t364). Chéo hoá ma trận A và tính A2009 với

2 1 A=  1 2

2 4 7.6 Cho ma trận A =  Phân tích A thành S −1ΛS  1 5  7.7 (6.t344) Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B, AB và BA: 1 0  1 1 1 1  2 1 , , AB =  và BA =  A= B=    . 1 1  0 1 1 2  1 2 Giá trị riêng của AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng của A nhân với các giá trị riêng của B. Giá trị riêng của AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng của BA. 7.8 (9.t345) Dùng Ax = λ x để chứng minh (a), (b) và (c). (a) λ 2 là giá trị riêng của A2 . (b) λ −1 là giá trị riêng của A−1 . (c) λ + 1 là giá trị riêng của A + I. 0  0 1 7.9 (30.t348) Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của B =  0 2 0   3 0 0 

7.10 (17.346) Biết rằng tổng của các phần tử trên đường chéo của một ma trận (vết) bằng tổng các giá trị riêng của ma trận đó. Hỏi nếu A có hai giá trị riêng là λ1 = 3 và λ2 = 4 thì det(A - λ I ) = …………………..? a b  2 Gợi ý: A =   có det( A − λ I ) = λ − (a + d )λ + ad − bc = 0. c d   7.11 (19.t346) Biết rằng ma trận 3×3 B có các giá trị riêng là 0, 1, 2. Thông tin này là đủ để xác định ba trong bốn thông tin nào dưới đây (a) hạng của B. (b) định thức của B Τ B .

(c) các giá trị riêng của B Τ B .

−1

(d) các giá trị riêng của ( B + I ) .

 0 1 7.12 (20.t346) Hãy xác định hàng thứ hai của A =   sao cho A có các giá trị riêng là 4 và 7.  * *  0 1 0 7.13 (21.t346) Hãy chọn a, b, c trong A =  0 0 1   a b c  sao cho det ( A − λ I ) = 9λ − λ 3 . Khi đó hãy tìm các giá trị riêng của ma trận A.

7.14 (1.t361) Phân tích mỗi ma trận sau thành dạng A = S ΛS −1 : 1 2  1 1  A= và A =   . 0 3  2 2 9


4 0 Hãy mô tả tất cả các ma trận S, mà chéo hoá ma trận A =  . 1 2 Sau đó mô tả tất cả các ma trận mà chéo hoá A-1. 1 1  100 7.16. Cho ma trận A =   . Tìm tất cả các vectơ riêng của ma trận A + A + 2I . 2 2   7.17 Xét xem ma trận nào sau đây chéo hóa được 1 − 1 (a) A =  . 1 − 1 (b) B là ma trận thực cỡ 2×2 có detB = -1. 7.18 (23.t465, p301) Chéo hoá ma trận B và tính S Λ k S −1 để chứng minh công thức tính B k sau đây 3k 3k − 2k  3 1  k = B có B=  .  2k  0 2  0

7.15 (7.t362)

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 8 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Tính trực giao của bốn không gian tuyến tính. + Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn và phương pháp trực giao hoá Gram-Schmidt. 8.1 (3.t234) Hãy xây dựng một ma trận có tính chất mong muốn hoặc cho biết tại sao điều ấy là không thể: 1 2 1     (a) Không gian cột chứa  2  và − 3 , không gian nghiệm chứa 1 − 3  5  1 (b)

(c)

2 1   Không gian hàng chứa  2  và − 3 , không gian nghiệm chứa − 3  5  1 1 0   T  Ax = 1 có một nghiệm và A 1 = 0 1 1 0

1 1  1

(d) Mọi cột là vuông góc với mọi hàng (A không phải là ma trận không) (e) Các cột cộng lại trở thành một cột toàn số không, các hàng cộng lại được một hàng toàn số 1. 8.2 (12.t236) Theo kết quả cùa định lý cơ bản 2, mỗi vectơ x đều tách được thành tổng duy nhất của một vectơ xr thuộc không gian C(AT) và một vectơ xn trong không gian nghiệm N(A). Hãy tìm các thành phần xr và xn của x 1 − 1  2 với A = 0 0  và x =   .   0  0 0  8.3 (17.t236) (a) Cho S là không gian con của R3 chỉ chứa vectơ không, hãy tìm S⊥. (b) Cho S là không gian con được sinh bởi (1, 1, 1), hãy tìm S⊥. (c) Cho S là không gian con được sinh bởi (2, 0, 0) và (0, 0, 3), hãy tìm S⊥. 8.4 (18.t280) Hãy tìm các vectơ trực giao A, B, C bằng phương pháp Gram-Schmidt từ a, b , c: a = (1, −1, 0, 0) b = (0, 1, −1, 0) c = (0, 0, 1, −1). 8.5 (24.t281) (a) Hãy tìm một cơ sở của không gian con S trong R4 sinh bởi tất cả các nghiệm của x1 + x2 + x3 – x4 = 0. (b) Hãy tìm một cơ sở của phần bù trực giao S⊥. (c) Hãy tìm b1 trong S và b2 trong S⊥ sao cho b1 + b2 = (1,1,1,1). 1 − 2 1 0   8.6 (21.t281) Hãy tìm cơ sở trực chuẩn cho không gian cột của A =  1 1    1 3  10


8.7 Giả sử P là không gian nghiệm của phương trình x – 3y – 4z = 0. (a) Tìm một cơ sở của P. (b) Tìm một vectơ u∈P và một vectơ v∈ P⊥ sao cho u + v = (6, 4, 5) 8.8 Cho các vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, −2). Ký hiệu W là không gian con của R4 gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2. (a) Hãy tìm W⊥. (b) Tính số chiều của W⊥. 8.9 Cho các vectơ v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 0, 0), v3 = (3, 2, 1, 0) (a) Chứng minh rằng v1, v2, v3 độc lập tuyến tính. (b) Dùng phương pháp trực giao hóa Gram- Schmidt xây dựng tập trực giao {u1, u2, u3} từ {v1, v2, v3}. 8.10 Cho S là không gian sinh bởi 2 véc tơ (1,2,3) và (0,1,2). Tìm cơ sở và số chiều của không gian S ⊥ 1 2 3  T 8.11 Cho ma trận A =   , với x = (2,0,4), hãy phân tích x = xr + xn , xr ∈ C ( A ), xn ∈ N ( A) 0 1 2   8.12 S là không gian nghiệm của phương trình: x1 + 2 x2 − x3 − x4 = 0 (a) Tìm một cơ sở của S? Dùng phương pháp Gram – Schmidt xây dựng cơ sở trực giao từ cơ sở đó. (b) Tìm một cơ sở của phần bù trực giao S ⊥ ? 1 2 4  8.13 (23 t281) Tìm 1 cơ sở trực chuẩn của không gian cột của ma trận A = 0 0 5 0 3 6 

8.14 (31.t282) Hãy chọn c sao cho Q là một ma trận trực giao với

 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 . Q = c − 1 − 1 1 − 1   − 1 − 1 − 1 1 

8.15 Tìm số chiều và cơ sở của không gian nghiệm S của hệ sau: 2 x1 + 3 x2 − x3 + x4 = 0 2 x1 − 3 x2 + x3 + x4 = 0 ⊥

Từ đó tìm 1 cơ sở của không gian bù trực giao S ? Phân tích véc tơ v = (1, 6, −2,3) thành v1 + v2 với v1 ∈ C ( AT ), v2 ∈ N ( A)

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 9 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Khái niệm biến đổi tuyến tính; ảnh, nhân của biến đổi tuyến tính. + Ma trận của phép biến đổi tuyến tính: cách xây dựng và các tính chất của nó. 9.1 (6.t447) Trong các biến đổi sau, biến đổi nào thoả mãn T(cv) = cT(v), biến đổi nào thoả mãn T(v + w) = T(v) + T(w)

v || v || (c) T (v ) = (v1 ,2v2 ,3v3 ) (a) T (v ) =

(b) T (v ) = v1 + v2 + v3

(d) T(v) = toạ độ lớn nhất của v. 9.2 (3.t447) Những biến đổi nào sau đây không là biến đổi tuyến tính, với v = (x,y) (a) T(v) = (y,x) (b) T(v) = (x,x) (c) T(v) = (0,x) (d) T(v) = (0,1) 9.3 9.9 Cho phép biến đổi T: R2 → R3 xác định như sau T(v) = xu1 + yu2 +(x + y)u3, trong đó v = (x, y), u1 =(1, 0, 0), u2 =(1, 1, 0), u3 =( 1, 1, 1). Chứng minh rằng T là một biến đổi tuyến tính. Tìm ma trận chính tắc của T. 9.4 Cho {e1, e2} là cơ sở chính tắc của R2. Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R2 vào R2 thoả điều kiện T(e1 + e2) = (1, 1), T(2e1 + e2) = (0, 1) (a) Tìm ma trận chính tắc của T. (b) Chứng minh rằng T khả nghịch và tìm ma trận chính tắc của T-1. 2 (c) Tìm vectơ u∈R sao cho T(u) = (2, -1). 11


1 9.5 Cho cơ sở E = {v1, v2, v3} của R với v1 = 1 , v2 = 1 3

1  1  , v =   3 0

1  0 .   0

Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R3 vào R3 xác định bởi T( x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1+ x2 + x3)v1 + (2x1 + x3)v2 – (2x2 + x3)v3 (a) Tìm ma trận chính tắc của T. (b) Với v = (1, 1, -1), tìm T(v). (c) T có khả nghịch không? 9.6 Kiểm tra xem các ánh xạ sau có phải biến đổi tuyến tính không

T : R3 → R3 (v1 , v2 , v3 ) a (v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v1 )

T : R2 → R2 (v1 , v2 ) a (v12 , v1 + v2 )

1 2 9.7 (13.t448) M là ma trận vuông cấp 2 và A =  . 3 4 Biến đổi T được định nghĩa bởi T(M) = AM. Hãy chỉ ra rằng T là biến đổi tuyến tính? 9.8 Cho phép biến đổi tuyến tính

T : R2 → R2 (v1 , v2 ) a (2v1 + 3v2 ,3v1 + 2v2 ) Xác định ma trận chính tắc của T và T −1 9.9 (12 t448) Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính biến (1,1) thành (2,2), biến (2,0) thành (0,0). Tìm T(v) với (a) v = (2,2) (b) v = (3,1) (c) v = (−1,1) (d) v = (a,b) 9.10 (1.t462) Biến đổi S, từ không gian các đa thức có bậc không quá 3 tới chính nó, là phép lấy đạo hàm cấp 2. Biết các cơ sở v1 , v 2 , v3 , v 4 và w1 , w2 , w3 , w4 của không gian nguồn và đích đều là 1, x, x 2 , x 3. Tính Sv1 , Sv 2 , Sv3 , Sv 4 và tìm ma trận cấp 4 × 4 B của S đối với cặp cơ sở trên.

9.11 Cho phép biến đổi T : R 2 → R 3 xác định như sau T (v) = ( x + y )u1 + 2 xu2 − yu3 1 1  1  x      Trong đó u1 = 1 , u2 = 1  , u3 = 0  , v =   .  y 1  0  0  Chứng minh T là phép biến đổi tuyến tính. Tìm ma trận chính tắc của T. 3

3

3

9.12 Cho {e1 , e2 , e3} là cơ sở chính tắc của R , T là phép biến đổi tuyến tính từ R vào R , thoả mãn điều kiện: 3 4 1      T ( e1 + e2 + e3 ) = 3 , T ( e1 + 2e2 ) = 1  , T ( e3 ) =  2  3  4  0  (a) Tìm ma trận chính tắc của T? (b) Với v = (1, 2, 3) thì T (v) = ? −1

(c) T có khả nghịch không? Nếu có tìm ma trận của T ? 9.13 (11-12.t463) Giả sử T (v1 ) = w1 + w2 + w3 và T (v2 ) = w2 + w3 và T (v3 ) = w3 . Tìm ma trận A của T theo các cơ sở v1 , v2 , v3 và w1 , w2 , w3 của không gian nguồn và đích. Tìm v để T (v) = w1 ? Lấy nghịch đảo của ma trận A đồng nghĩa với việc tìm nghịch đảo của T. Tìm T −1 ( w1 ); T −1 ( w2 ); T −1 ( w3 ) và tìm các vectơ v mà T(v) = 0?

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 10 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Thế nào là ma trận chuyển cơ sở? Cách tìm ma trận chuyển cơ sở. + Mối liên hệ tọa độ của một vectơ trong hai cơ sở khác nhau. + Mối liên hệ giữa các ma trận của cùng một phép biến đổi tuyến tính trong hai cơ sở khác nhau + Ma trận đồng dạng. 12


10. 1 (15.t463) (a) Tìm ma trận biến (1,0) thành (2,5) và (0,1) thành (1,3). (b) Tìm ma trận biến (2,5) thành (1,0) và (1,3) thành (0,1). (c) Tại sao không có ma trận biến (2,6) thành (1,0) và (1,3) thành (0,1). 10.2 Cho E = {(1, 2); (2, 3)} và F = {(1, 1); (2, 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang F và từ F sang E. Biết tọa độ của vectơ v theo cơ sở E là (1, -1), tìm tọa độ của v theo cơ sở F. 10.3 Trong không gian R2 cho hai cơ sở :   1   2  2 − 3  B = u1 =  , u 2 =   , B ' = u '1 =  , u 2 =     2  3  1   4    (a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’ (b) Cho w = 3u1 – 5u2. Tính tọa độ của w trong cơ sở B’. 1 1  10.4 Tìm ma trận đường chéo đồng dạng với ma trận A4 + 2I, trong đó A =  . 2 2 10.5 Cho phép biến đổi tuyến tính T : R 2 → R 2  1 1 2  0 T có ma trận trong cơ sở E = u1 =   , u2 =    là A =  . 1 1    −1 0    1  0   Tìm ma trận B của T trong cơ sở F = v1 =   , v2 =    ? 2  −1   10. 6 (18.t464) Nếu ta giữ nguyên cơ sở nhưng sắp chúng theo một trật tự khác thì ma trận chuyển cơ sở M là một ma trận ______ Nếu giữ nguyên thứ tự các vectơ trong cơ sở nhưng thay đổi độ dài của chúng thì M là ma trận ___ 10.7 Cho phép biến đổi tuyến tính T : R2 → R2 ( x1 , x2 ) a ( x1 + 2 x2 ,3 x2 )   −1 0   (b) Tìm ma trận của T trong cơ sở F = v1 =   , v2 =     −1  −1   10.8 Trong không gian P1 cho hai cơ sở B = {p1 = 6 + 3 x, p 2 = 10 + 2 x}; B' = {p'1 = 2, p ' 2 = 3 + 2 x} (a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B’ sang cơ sở B. (b) Cho p = -4 + x. Tính tọa độ của p theo cơ sở B rồi suy ra tọa độ của p theo cơ sở B’. (c) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B’ sang cơ sở B.

(a) Tìm ma trận chính tắc của T

1 4  10.9 Cho biến đổi tuyến tính T : P1 → P1 có ma trận trong cơ sở B1 = {p1 = 1 + x, p 2 = 1 − x} là A1 =   . Tìm 2 5 ma trận A2 của T trong cơ sở B2 = {q1 = 3 + x, q 2 = −2 + 4 x} 10.10 Cho hai phép biến đổi tuyến tính f : R 2 → R 2 , g : R 2 → R 2 .  1   2   3 5 Biết f có ma trận trong cơ sở B1 = v1 =  , v 2 =    là A1 =  . 2  3   4 3   3  4   4 6 Biết g có ma trận trong cơ sở B2 = w1 =  , w2 =    là A2 =  . 1  2  6 9   Tìm ma trận của f+g và f.g trong cơ sở B2.

10.11 Cho phép biến đổi tuyến tính

x   2 x1  T : R 2 → R 2 , v =  1  a T (v ) =    x 2  x1 + x2 

(a) Tìm ma trận chính tắc của T.

(b) Tìm ma trận của T theo cơ sở F = {w1 = (1, 2), w2 = (2, 3)}.

 x1 − x2   x1  (c) Cho phép biến đổi tuyến tính S : R → R , v =   a T (v ) =  x1 − x 2  .    x2   2 x1  2

3

Tìm ma trận của ST trong cơ sở F và cơ sở chính tắc của R3. 13


BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 11 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Phép chiếu

+ Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu

11.1 (1-3.t248) Hãy chiếu vectơ b lên đường thẳng đi qua a. Hãy kiểm tra rằng e vuông góc với a (a)

1  b = 2 2

1 và a = 1 1

(b)

1  − 1    b = 3 và a = − 3 . 1  − 1 

11.2 (11-12.t250) Hãy chiếu b lên không gian cột của A bằng cách giải AT Axˆ = AT b và p = Axˆ . (a)

1 1  A = 0 1  0 0

2 và b = 3  4

(b)

1 1 A = 1 1 0 1

4 và b = 4 . 6 

Hãy tìm e = b – p. Nó có thể vuông góc với các cột của A. Hãy tính những ma trận chiếu P1 và P2 lên các không gian cột. 11.3 (1.t264) Với b = 0, 8, 8, 20 tại t = 0, 1, 3, 4 thiết lập và giải các phương trình chuẩn AT Axˆ = AT b đối với đường tốt nhất b = C + Dt, tìm bốn độ cao pi và bốn sai số ei của nó. Tính giá trị cực tiểu của E = e12 + e22 + e32 + e42 11.4 Cho dữ liệu t 0 1 2 3 b 2 3 5 7 Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm đường thẳng b= C+Dt gần tập hợp điểm này nhất. 11.5 Hãy tìm parabol tốt nhất để căng b = 4, 2, −1, 0, 0 tại thời điểm t = 0, 1, 2, 3, 4 11.6 (5-7.t249) (a) Hãy tính những ma trận chiếu aaT/aTa lên các đường thẳng đi qua a1 = (–1, 2, 2) và a2 = (2,2,–1). (b) Hãy tìm ma trận chiếu P3 lên a3 = (2, –1, 2). 11.7 (13.t250) (Bắt buộc và nhanh) Cho ma trận 4×3 A tạo thành từ ma trận đơn vị 4×4 có cột cuối bị xoá đi. Hãy chiếu b = (1, 2, 3, 4) lên không gian cột của A. Dạng của ma trận chiếu P thế nào và p như thế nào? 11.8 (17.t250) (Quan trọng) Khi P2 = P hãy chỉ ra rằng (I−P)2 = I−P. Khi P chiếu lên không gian cột của A, I − P chiếu lên ____ . 11.9. Cho dữ liệu t 0 1 2 −2 −1 b 4 2 0 0 −1 Dùng phương pháp bình phương tối thiểu: (a) Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = C + Dt (b) Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = C (c) Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = Dt (d) Tìm parabol tốt nhất dạng b = C + Dt + Et2 (e) Tìm parabol tốt nhất dạng b = Dt + Et2 11.10 (2.t264) (Đường C + Dt không đi qua các p) Với b = 0, 8, 8, 20 tại thời điểm t = 0, 1, 3, 4, hãy mô tả bốn phương trình Ax = b (không giải được). Hãy thay đổi các phép đo cho p = 1, 5, 13, 17 và tìm một lời giải chính xác của A xˆ = p. 11.11 (5.t264) Hãy tìm độ cao C của đường thẳng nằm ngang để căng b = (0, 8, 8, 20). Một phép căng đúng sẽ giải được các phương trình không giải được C= 0, C=8, C=8, C=20. Hãy tìm ma trận 4×1 A trong các phương trình đó và hãy giải ATA xˆ = ATb. Hãy vẽ đường nằm ngang tại độ cao xˆ =C và bốn sai số trong e. 11.12 (7.t265) Hãy tìm đường gần nhất b = Dt đến bốn điểm trong bài 11.6. Một phép căng đúng sẽ giải được D⋅0 = 0, D⋅1 = 8, D⋅3 = 8, D⋅4 = 20. Hãy tìm ma trận 4×1 và hãy giải ATA xˆ = ATb. Hãy vẽ lại Hình 4.9a để chỉ ra đường tốt nhất b = Dt và các sai số ei. 11.13 (9.t265) Để tìm parabol gần nhất b = C + Dt + Et2 đến bốn điểm trong bài 11.9, hãy mô tả các phương trình không giải được Ax = b theo ba ẩn x = (C, D, E). Hãy nêu ba phương trình chuẩn ATA xˆ = ATb (không yêu cầu giải). Bây giờ trong Hình 4.9a bạn chọn một parabol theo 4 điểm trên - sự việc xảy ra trong Hình 4.9b thế nào? 11.14 (17.t266) Hãy mô tả ba phương trình đối với đường b = C + Dt đi qua b = 7 tại t = −1, b = 7 tại t = 1, và b=21 tại t = 2. Hãy tìm nghiệm bình phương tối thiểu xˆ =(C, D) và vẽ đường gần nhất. 11.15 (27.t267) Hãy tìm mặt phẳng cho sự phù hợp nhất với 4 giá trị b = (0, 1, 2, 3) tại các đỉnh (1,0), (0, 1), (-1, 0) và (0, -1) của một hình vuông. Các phương trình C + Dx + Ey = b tại 4 điểm này là Ax = b với 3 ẩn x = (C, D, E). Tại tâm (0, 0) của hình vuông, hãy chỉ ra rằng C + Dx + Ey = trung bình của các bi. 14


BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 12 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Quy hoạch tuyến tính LẬP MÔ HÌNH TOÁN HỌC 12.1 Bài toán xác định khẩu phần ăn: Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g. Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1 gam thức ăn A, B, C và giá mua 1 kg thức ăn mỗi loại trong bảng sau: Chất dinh dưỡng Đạm Đường Khoág Giá mua

Loại thức ăn B 0,2 g 0,4 g 0,01 g 4000 đ

A 0,1 g 0,3 g 0,02 g 3000 đ

C 0,3 g 0,2 g 0,03 g 5000 đ

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu câud dinh dưỡng tối thiểu mỗi ngày. ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC  x1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 ≤ 2  12.2 Tìm Z = −3 x1 + x 2 + 3 x 3 − x 4 → min với 2 x1 − 6 x 2 + 3 x3 + 3 x 4 ≥ 9 x − x + x − x = 6 2 3 4  1

và điều kiện tất yếu x i ≥ 0, i = 1,2,3,4

LẬP BẢNG ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QHTT  x2 − 3 x3 + x4 = 5  12.3 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau z = −2 x1 + 3 x 2 + x 4 → min với  x1 + 4 x3 + 3 x4 = 4  x ≥ 0, ( j = 1,.., 4)  j 4 x1 − x3 = 2  12.4 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau z = 2 x1 + 3 x 2 → min với  x1 + x2 − 2 x3 = 6  x ≥ 0, ( j = 1,..,3)  j LẬP MÔ HÌNH TOÁN HỌC 12.5 Bài toán vận tải: Một công ty lương thực cần vận chuyển gọi từ các kho A1, A2 với khối lượng lần lượt là 100 tấn, 150 tấn đến các đại lý B1, B2, B3 với nhu cầu cần nhập hàng là 70 tấn, 110 tấn, 90 tấn. Cho biết chi phí vấn chuyển gạo (nghìn đ/tấn) từ kho đến các đại lý trong bảng sau:

Đại lý

Kho A1 A2

B1

B2

B3

100 50

70 90

30 60

Hãy lập mô hình toán học của bài toán lập kế hoạc vận chuyển gạo từ các kho đến các đại lý sao cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất. ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 12.6 Tìm Z = x1 − 2 x 2 + 8 x 3 + 5 x 4 → max 2 x1 + x 3 + x5 ≤ −5  với hệ ràng buộc  x1 + 3 x 2 − 3x3 + x 4 ≤ 3  x − 2 x + 3 x + x ≥ −4 2 3 4  1

và điều kiện tất yếu x i ≥ 0, i = 1,2,3,4 , x 5 ≤ 0 15


LẬP BẢNG ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 12.7 Tìm Z = x1 + 2 x 2 + x 4 − 5 x 5 → min với

 x1 − x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 − x 5 = 2   x 2 − 7 x3 − 5 x 4 = 5 x + 9x = 0 4  3

và x i ≥ 0, i = 1,2,3,4,5

2 x1 + x 2 − 3x 3 + 2 x 4 = 30  12.8 Tìm Z = x1 + 2 x 2 + x 4 − 5 x 5 → min với  x 2 − x3 + x 4 − x5 = 23 3 x − 2 x + x + x + 4 x ≥ −10 2 3 4 5  1

và x i ≥ 0, i = 1,2,3,4,5

− x1 + x2 − 2 x3 = 3  và x i ≥ 0, i = 1,2,3,4,5 12.9 Tìm Z = −2 x1 − x2 + 3 x3 + x4 → min với  x1 − 3 x3 + x4 = 5 2 x + 3x + x = 4 3 5  1

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) - TUẦN 13 (Kỳ II năm 2008 − 2009) + Các phương pháp lặp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính + Phương pháp lặp đơn. + Phương pháp Seidel. 0,5 0 13.1 Tìm chuẩn của các ma trận sau: A =    0 2

1 2 3  , B = 5 − 6 7   2 2 −1

10 − 1 2 − 3  0   1 − 10 − 1 2   5     13.2 Cho hệ phương trình Ax = b với A = , b= 2  − 10 3 20 − 1     2 1 20  3  15 

Tìm số phép lặp k để tìm được nghiệm với độ chính xác ε = 0.3.Khi đó tìm nghiệm xấp xỉ x(k)

13.3 Cho hệ phương trình

5 x1 − x 2 − 3 x3 = 1   x1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 3 − 2 x + x + 4 x = 3 1 2 3 

(a) Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss. (b) Giải hệ bằng phương pháp lặp Jacobi với độ chính xác ε = 1, 25 . (c) Giải hệ bằng phương pháp lặp Seidel, tính lặp 4 lần. Lấy x(0) = (0, 0, 0) 13.4 Giải hệ sau đây bằng phương pháp lặp Jacobi, tính lặp ba lần và cho biết sai số : 1,02 x1 − 0,05 x 2 − 0,10 x3 = 0,795  − 0,11x1 + 1,03 x 2 − 0,05 x 3 = 0,849 − 0,11x − 0,12 x + 1,04 x = 1,398 1 2 3 

13.5 Giải hệ sau bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel, tính lặp 3 lần = 16  10 x1 − x 2 + 5 x3   x1 − 10 x 2 − 2 x 3 + 6 x 4 = 3  − 2 x1 + 4 x 2 + 20 x3 − 10 x 4 = 24  − x1 + 2 x 2 − 3x 3 + 25 x 4 = −31

với x (0) = (0,9 ; − 0,8 ; 1,1 ; − 1,2) .

16


Eviews