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VECTORES EN EL PLANO VECTOR POSICIĂ“N Es el vector que va desde el origen de un sistema de coordenadas hasta un punto de este, que puede ser en el plano o en el espacio. VECTORES EN EL PLANO Existen 6 formas de expresar un vector posiciĂłn. 1. FORMA POLAR. EstĂĄ compuesta de su modo y ĂĄngulo en posiciĂłn normal đ??´âƒ— = (đ??´, đ?œƒ ) Ă NGULO EN POSICIĂ“N NORMAL: Es el ĂĄngulo que va desde el ĂĄngulo positivo de las abscisas hasta el radio del vector. y

⃗⃗⃗ đ?‘¨

đ?œ˝ X 2. FORMA GEOGRĂ FICA

đ??´âƒ— = (đ??´, đ?‘ đ?œƒđ??¸) N

⃗⃗⃗ đ?‘¨

đ?œ˝ O

E

S


3. FORMA CARTESIANA

đ??´âƒ— = (đ??´đ?‘Ľ, đ??´đ?‘Ś) Y

đ??´đ?‘Œ

⃗đ?‘¨ ⃗⃗

đ?œ˝ đ??´đ?‘‹

X

4. VECTORES BASE

đ??´âƒ— = (đ??´đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ??´đ?‘Śđ?‘—⃗) Y

đ??´đ?‘Ś đ?‘—⃗ ⃗⃗⃗ đ?‘¨

đ?œ˝ đ??´đ?‘Ľ đ?‘–⃗

X

5. VECTOR UNITARIO Todo vector unitario tiene como mĂłdulo una, y sirve para indicar la direcciĂłn y sentido de una recta, es adimensional. MatemĂĄticamente se representa como la relaciĂłn de un vector con su mĂłdulo.


Y ⃗⃗

đ?‘¨ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘źđ?‘¨ = đ?‘¨

⃗⃗⃗⃗ đ?‘¨

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘źđ?‘¨ = đ?‘¨đ?’™đ?’Šâƒ— + đ?‘¨đ?’šđ?’‹âƒ— ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘źđ?‘¨ = đ??œđ??¨đ??Ź đ?œ˝ đ?’Šâƒ— + đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ đ?’‹âƒ— X ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘źđ?‘¨

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN SISTEMA DE COORDENAS Se definen a partir del ångulo en posición normal. Definiciones:

Y đ?’€

I N V E R S A S

đ??Źđ??˘đ??§ đ?œ˝ = đ?’“ đ?‘ż

đ??œđ??¨đ??Ź đ?œ˝ = đ?’“

đ?’€đ?&#x;?

đ?’€

đ??­đ??šđ??§ đ?œ˝ = đ?‘ż đ?‘ż

đ??œđ??Źđ??œ đ?œ˝ = đ?’€

đ?›„

đ?’“

đ??Źđ??žđ??œ đ?œ˝ = đ?‘ż đ?’“

đ??œđ??¨đ??­ đ?œ˝ = đ?’€

đ?œ˝ 0

đ?‘żđ?&#x;?

X

6. FORMA DE MĂ“DULOS Y Ă NGULOS DIRECTORES Ă ngulos directores: Son ĂĄngulos referenciales que van desde 0°, hasta 180° âˆ? es el ĂĄngulo director que se forma con el eje positivo de las abscisas X y đ?›˝ es el ĂĄngulo director que se forma con el ĂĄngulo director que se forma con el eje positivo de las ordenadas Y.


đ??œđ??¨đ??Ź âˆ? =

Y

đ??œđ??¨đ??Ź đ?œˇ =

�� � �� �

đ?‘¨đ?’€ đ?&#x;?

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘źđ?‘¨ = đ??œđ??¨đ??Ź âˆ? đ?’Šâƒ— + đ??Źđ??˘đ??§ đ?œˇ đ?’‹âƒ— ⃗⃗⃗ đ?‘¨ đ?›˝ âˆ?

đ?‘¨đ?‘ż đ?&#x;?

X

EJERCICIO. Desde el siguiente vector expresado en coordenadas polares, represĂŠntelo en sus otras formas. 1) đ??´âƒ— = (23đ?œ‡, 301°)

C. Polares

a) C. GeogrĂĄficas đ?œ™ = 301° − 270° đ?œ™ = 31° ⃗⃗⃗⃗ đ??´ = (23đ?œ‡; đ?‘†31°đ??¸)

đ?œƒ

đ??´âƒ— A= đ?&#x;?đ?&#x;“đ??


b). C. Cartesianas

c). V. Base

đ??´đ?‘‹ = 23 A cos đ?œƒ

đ??´âƒ— = (11,85 đ?‘–⃗ − 19,71đ?‘—⃗)

đ??´đ?‘‹ = 23 cos 301°

d). V. Unitario

đ??´đ?‘‹ = 11,85 đ?œ‡

⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ˆđ??´ = (cos đ?œƒđ?‘–⃗ + sin đ?œƒđ?‘—⃗)

đ??´đ?‘Ś = đ??´ sin đ?œƒ

⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ˆđ??´ = (cos 301°đ?‘–⃗ + sin 301°đ?‘—⃗)

đ??´đ?‘Ś = 23 sin 301°

⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ˆđ??´ = (0,515 đ?‘–⃗ − 0,8572đ?‘—⃗)

đ??´đ?‘Ś = −19,71đ?œ‡

đ??´âƒ— = 23đ?œ‡ (0,515 đ?‘–⃗ − 0,8572đ?‘—⃗)

đ??´âƒ— = (11,85 đ?‘–⃗ − 19,71đ?‘—⃗) e). MĂłdulos y ĂĄngulos directores đ??´âƒ— = 23đ?œ‡ ; âˆ?= 59° ; đ?›˝ = 149°

OPERACIONES CON VECTORES SUMA O ADICIĂ“N: ⃗⃗ : Existen cinco mĂŠtodos para sumar đ?‘‰ 1. MĂŠtodo del paralelogramo 2. MĂŠtodo del polĂ­gono 3. MĂŠtodo algebraico 1. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Es un mĂŠtodo grĂĄfico que consiste en hacer coincidir los dos vectores en el origen comĂşn. Desde los extremos de cada vector se trazan paralelas al otro, obteniendo un paralelogramo. El vector resultante serĂĄ el que va desde el origen hasta el punto donde se cruzan las paralelas. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + đ??ľ ⃗⃗ đ?‘…1 = đ??´

đ??´âƒ—

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + đ??ľ ⃗⃗ + đ??śâƒ— đ?‘…2 = đ??´

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ đ??´ +đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + đ??ľ ⃗⃗ đ?‘…1 = đ??´

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + đ??ľ ⃗⃗ + đ??śâƒ— đ?‘…2 = đ??´

đ??śâƒ— ⃗⃗ đ??ľ


2. MÉTODO DEL POLĂ?GONO Consiste en graficar los vectores uno a continuaciĂłn de otro, es decir, que el final de un vector serĂĄ el comienzo del otro. El vector resultante irĂĄ desde el primer origen hasta el extremo del Ăşltimo vector. Este mĂŠtodo es prĂĄctico porque podemos sumar de forma directa dos o mĂĄs vectores. ⃗⃗ + đ??śâƒ— đ?‘…⃗⃗ = đ??´âƒ— + đ??ľ

⃗⃗ đ??ľ đ??´âƒ—

đ??śâƒ— ⃗⃗ + đ??śâƒ— đ?‘…⃗⃗ = đ??´âƒ— + đ??ľ

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES 1. Conmutativa 2. Asociativa

⃗đ?‘¨âƒ— + ⃗⃗⃗ đ?‘Š = ⃗⃗⃗ đ?‘Š + ⃗đ?‘Şâƒ— ⃗⃗ + đ?‘Š ⃗⃗⃗ + ⃗đ?‘Şâƒ— = (đ?‘¨ ⃗⃗ + đ?‘Š ⃗⃗⃗) + ⃗đ?‘Şâƒ— = đ?‘¨ ⃗⃗ + (đ?‘Š ⃗⃗⃗ + ⃗đ?‘Şâƒ—) đ?‘¨

3. Distributiva Vectorial

⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗ đ?’?(đ?‘¨ đ?‘Š) = đ?’?đ?‘¨ đ?‘Š

4. Distributiva Escalar

⃗⃗ = đ?’Žđ?‘¨ ⃗⃗ + đ?’?đ?‘¨ ⃗⃗ (đ?’Ž + đ?’?)đ?‘¨

5. IdĂŠntico Aditivo

⃗đ?‘¨âƒ— + đ?&#x;Ž = ⃗đ?‘¨âƒ— ⃗⃗ + (−đ?‘¨ ⃗⃗) = đ?&#x;Ž đ?‘¨

6. Inversa Aditivo

EJERCICIOS: Representa los siguientes vectores mediante ecuaciones vectoriales. ⃗⃗ ⃗⃗ đ??ľ đ??ľ đ??´âƒ— đ??´âƒ— đ??śâƒ—

đ??¸âƒ—⃗

⃗⃗ đ??ˇ

⃗⃗ đ??ˇ

đ??śâƒ—

đ??¸âƒ—⃗ ⃗⃗ + đ??śâƒ— = đ??ˇ ⃗⃗ + đ??¸âƒ—⃗ đ??´âƒ— + đ??ľ

⃗⃗ + đ??śâƒ— = đ??¸âƒ—⃗ + đ??ˇ ⃗⃗ đ??´âƒ— + đ??ľ


3. MÉTODO ALGEBRAICO El primer vector consiste en expresar cada vector en función de sus vectores base; el resultado serå la suma de las componentes de cada vector. El segundo mÊtodo consiste en resolver un triångulo rectångulo u oblicuando aplicando la ley de senos y cosenos. B

Ley de senos đ?‘Ž sin đ??´

c

a

đ?‘?

đ?‘?

= sin đ??ľ = sin đ??ś Ley de cosenos

đ?‘Ž=

√đ?‘?2

+ đ?‘? 2 − 2đ?‘?đ?‘?. cos đ??´

đ?‘? = √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘Žđ?‘?. cos đ??ľ A

b

đ?‘? = √đ?‘?2 + đ?‘Ž2 − 2đ?‘?đ?‘Ž. cos đ??ś

C

cos đ??´ =

đ?‘? 2 +đ?‘? 2 −đ?‘Ž2 2đ?‘?đ?‘?

Ejercicios: EfectĂşa las siguientes operaciones de vectores aplicando: a) Paralelogramo b) PolĂ­gono c) Algebraico đ??´âƒ— = 27đ?œ‡; 128° ⃗⃗ = 40đ?œ‡ ; đ?‘† 75° đ??¸ , đ?œƒđ??ľ = 345° đ??ľ

a) N

đ??´âƒ— ⃗⃗⃗ đ?‘š O

E

⃗⃗ đ??ľ

S


b) 𝒀𝟏 Y

⃗⃗⃗ 𝑩

52°

𝑿1

37°

𝐴⃗

⃗⃗⃗ 𝑹 52°

𝟏𝟐𝟖° X

C) 𝐴𝑋 = 27𝜇 𝑐𝑜𝑠128° 𝐴𝑋 = −16,62

𝐴𝑌 = 27𝜇 𝑐𝑜𝑠128° 𝐴𝑦 = 21,28

𝐴⃗ = (-16,62𝑖⃗ +21,28 𝑗⃗)

𝐵𝑥 = 40 cos 345°

𝐵𝑦 = 40 𝑠𝑒𝑛345

𝐵𝑥 = 38,64

𝐵𝑦 = −10,35

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (38,64𝑖⃗ − 10,35𝑗) 𝐵

𝐴⃗ = (-16,62𝑖⃗ +21,28 𝑗⃗) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (38,64𝑖⃗ − 10,35𝑗) +𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅⃗⃗ = (22,02𝑖⃗ − 10,93𝑗)𝜇


RESTA O DIFERENCIA DE VECTORES Es un caso particular de la suma vectorial, donde el signo negativo lo Ăşnico que hace es invertir el sentido del vector al cual afecta. Es posible aplicar todas las propiedades vistas anteriormente excepto la conmutativa. PRODUCTO PUNTO O PUNTO ESCALAR ⃗⃗ es n escalar y matemĂĄticamente se define: El producto punto de dos đ?‘‰ ⃗⃗⃗⃗. đ??ľ ⃗⃗ = đ??´. đ??ľ cos đ?œƒ đ??´ PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL ⃗⃗ es otro vector cuyo mĂłdulo se obtiene de la siguiente fĂłrmula: El producto cruz de dos đ?‘‰ ⃗⃗| = đ??´đ??ľ sin đ?œƒ |đ??´âƒ— Ă— đ??ľ Su direcciĂłn es perpendicular al plano que forman los vectores A y B y su sentido se obtiene aplicando la ley de la mano derecha. Dado los vectores, encuentra el producto punto y el producto cruz. đ??´âƒ— = (8đ?œ‡ ; 310°) ⃗⃗ = (12đ?œ‡, đ?‘ 24°đ?‘‚) đ??ľ Y

24° ⃗⃗⃗ đ?‘Š

114° 310°

164° X

50°

⃗đ?‘¨âƒ—


⃗⃗ = 𝐴. 𝐵 cos 𝜃° 𝐴⃗ . 𝐵 ⃗⃗ = 8(12) cos 164° 𝐴⃗ . 𝐵 ⃗⃗ = −92,28 𝐴⃗ . 𝐵 ⃗⃗| = 𝐴𝐵 sin 𝜃 |𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗| = 26,46 |𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ = 26,46 𝑘⃗⃗ 𝐴⃗ × 𝐵 𝐴𝑋 = 8 cos 310° = 5,14

𝐴𝑦 = 8 sin 310° = −6,13

𝐴⃗ = (5,14𝑖⃗ − 6,13𝑗⃗) 𝐵𝑋 = 12 cos 164° = −4,88

𝐵𝑦 = 12 sin 164° = 10,96

⃗⃗ = (−4,88 𝑖⃗ + 10,96𝑗⃗) 𝐵 

⃗⃗ = (5,14𝑖⃗ − 6,13𝑗⃗) . (−4,88 𝑖⃗ + 10,96𝑗⃗) 𝐴⃗ . 𝐵 ⃗⃗ = −25,08 − 67,18 𝐴⃗ . 𝐵 ⃗⃗ = −92,26 𝜇2 𝐴⃗ . 𝐵

⃗⃗ = (5,14𝑖⃗ − 6,13𝑗⃗) × (−4,88 𝑖⃗ + 10,96𝑗⃗) 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ = 56,33𝑘⃗⃗ − 29,91𝑘⃗⃗ 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ 𝜇2 ⃗⃗ = 26,42𝑘 𝐴⃗ × 𝐵 𝑖

− 6,13 10,96 ⃗ ⃗⃗ 𝐴 × 𝐵 = (56,33 − 29,91)𝑘⃗⃗ ⃗⃗ = 26,42𝑘⃗⃗ 𝜇2 𝐴⃗ × 𝐵 ⃗⃗ = | 𝐴⃗ × 𝐵

5,14 −4,88

𝑗

|

Vectores en el plano  
Vectores en el plano  
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