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Visi贸n Vectorial Vectores

Rectas y Planos

Aritm茅tica Modular

Entretenimiento

Universidad del Valle de Guatemala


Universidad del Valle de Guatemala Visión Vectorial Algebra Lineal 1

Catedrática: Susanne Íngrid Zúñiga Kaufmann

Integrantes del Grupo: Otto Rolando Ruano Rocha; Carné: 13016 Juan Miguel Torres Barrios; Carné: 13633 Jorge Andrés Del Cid Baquiax; Carné: 13704 Kenneth Giovanni González Guerra; Carné: 13063 José Giovani Tzoc Velázquez; Cané: 13322


V EC T ORES

Los vectores son segmentos de una recta dirigida, que representa el desplazamiento de un punto A a un punto B. Las características de los vectores es que tienen magnitud y dirección. Los vectores se representan con una letra minúsculas y una flecha encima ( ).

Vectores Iguales: Son los vectores de misma magnitud y dirección. -

Ejemplo: = [1, 5]

= [1, 5]

Muchas personas suelen confundir los vectores con puntos, pero los vectores son escritos entre corchetes y los puntos entre paréntesis. -

Ejemplo: p = (3, 2)

Punto

= [3, 2]

Vector

Vectores paralelos: Son dos vectores de misma magnitud pero diferente dirección. -

Ejemplo:


PRODUCTO PUNTO Sea

y

en R2.

-

MAGNITUD Y DIRECCION DE UN VECTOR

Vectores paralelos: Los vectores son paralelos si son múltiplos escalares mutuos.

Vectores ortogonales: y son ortogonales cuan el angulo entre ellos es de 90°.

Magnitud Dirección

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES


PROYECCION

VECTOR UNITARIO

EJERCICIOS: Sean

= [5, 8] y

= [7, 2]

1. Encuentre la magnitud de .

2. Encuentre la direcci贸n de .

3. Encuentre la proyecci贸n de

4. Encuentre

sobre .

.

5. Encuentre la distancia entre

6. Encuentre el 谩ngulo entre

y

y

.

.


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22964601/ 02


R E C T A S

P L A N O S Y

RECTAS La recta tiene varias formas de representarse en forma de ecuaciones, en R2 se observa la recta de un punto de vista vectorial, de igual forma en R2 la recta consta de varias formas para representarse, la principal es la general: Ax + By + c = 0 De esta forma despejando para “y” nos dára la forma punto pendiente, que como el nombre lo indica nos da un punto (la intersección en “y” o bien la coordenada al origen. y = mx + k -

Donde:

m = pendiente. k = Coordenada al origen.

Ahora bien se encuentra utilizando los componentes de las variables en la ecuacion general, y una vez encontrado se construye en forma del vector normal: n.x=n.p -

Donde: n = vector normal (Vector perpendicular a la recta). x = Variables de la recta (x, y). p = Cualquier punto sobre la recta.


Con la normal y un punto de la recta podemos escribirla tamb铆en en la forma vectorial: x = p + td -

Donde: x = [x, y] p = Cualquier punto en la recta. t = Escalar (Parametro). d = Vector direcci贸n.

Cabe recalcar que para encontrar el vector direcci贸n en R2 es con el vector normal, d谩ndole la vuelta a sus componentes y se invierte el signo a uno de ellos. -

Ejemplo: = [2, -5]

= [5, 2]

Una cuarta forma de representar las rectas en R2 son las ecuaciones parametricas, que en si consiste en desarrollar la forma vectorial.


cxbvcxvcxvxcvcxvcxxxxxxxxxxxxxxxxxvxcvcxvcxvcxvcxsdffffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

PLANOS Producto Cruz:


Distancia desde un punto F hasta una recta L Distancia =

Distancia desde un punto F hasta un plano P Distancia =


ARITMÉTICA MODULAR Es un sistema aritmético que se basa en equivalencias. Solo se utilizan números enteros de 0 hasta , donde es llamado módulo. Los números enteros mayores a no existen para el módulo. Cuando se llega a , se escribe 0 y se empieza a sumar otra vez hasta . El módulo se denota como:

En aritmética modular solo se aceptan dos operaciones: suma y multiplicación. Para realizar la operación equivalente a la resta, se adiciona un número que convierta al primer número en el deseado. Si se quiere obtener 0 como resultado, se debe sumar al número el inverso aditivo. El inverso aditivo de un número en es el cual al sumársele, se obtendrá como resultado , es decir 0. Esto es un recurso útil para resolver ecuaciones en aritmética modular. Si se desea hacer algo equivalente a la división, solo se puede multiplicar por un número que luego resulte un número equivalente al número deseado. Así mismo, existe el concepto de inverso multiplicativo, que es aquel número que al multiplicarlo por otro, dará como resultado 1. Ejemplo: Realice la operación

en

.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN ARITMÉTICA MODULAR Para resolver ecuaciones en algún módulo , se debe dejar “sola” a la variable mediante adiciones del inverso aditivo y del inverso multiplicativo. Es importante recordar que no se puede restar ni dividir. Cuando se llega a una ecuación con la variable con un coeficiente distinto a 1 y 0 igualada a un número cualquiera dentro del módulo, se debe encontrar las primeras equivalencias a este número. Se deben buscar los números que multiplicados con el coeficiente den como resultado cualquiera de esas equivalencias. Una vez encontrados estos números, se deben expresar con su equivalencia dentro del módulo. Ejemplo: Resuelva la ecuación

en

.


En , , con lo que , pero todos estos n煤meros son equivalentes a 4 en . Por lo tanto, la soluci贸n es


ENTRETE CRUCIGRAMA DE LA SEMANA

HORIZONTALES 2. Segmento de recta dirigido, representa el desplazamiento desde un punto A a otro punto B. 5. Los vectores ______ son aquellos componentes correspondientes son iguales. 6. Se consideran que son vectores ______, si son múltiplos escalares mutuos. 8. _______ un vector es el proceso mediante el cual se encuentra un vector unitario en la misma dirección que otro vector. 9. La _______ se obtiene al realizar la raíz de la suma de dos componentes de un vector elevados al cuadrado.


NIMIENTO VERTICALES 1. El resultado al realizar el producto escalar entre dos vectores es un _________. 3. En ___________ solo se aceptan 2 operaciones (suma y multiplicación). 4. Es un vector con magnitud igual a 1. 7. Se considera que son vectores ___________ cuando forman un ángulo de 90 grados entre ellos. 10. Una recta que pasa por el _______ tiene intercepto con el eje e igual a cero.

El MóDuLo De lOs ChIsTeS -

¿Por qúe Gauss fue al traumatólogo quejándose de un dolor de espalda? - De PLANO que no tenía la espalda RECTA -

-

Amor, tú eres como un vector para mí. - ¿Por qué, mi cielo? Por que le das sentido y dirección a mi vida. #PiropoUVG #OttoEl14DeFebrero

Estaba un ingeniero civil desarrollando el proyecto más importante de su vida: Un rascacielos de 724 pisos. Cuando iban por la mitad de la construcción, el ingeniero le pidió a la secretaria los planos de los pisos 357 y 358, pues estos pisos habían sido un pedido con diseño especial del presidente O. Pérez. Para su sorpresa la secretaria había confundido estos planos y los metió en el mueble donde guardaban el resto de planos de la construcción. Los planos se mezclaron y, pues nada, formaron una recta.


Proyecto 1 Álgebra Lineal 1  

Sección 30, UVG

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