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POTENCIACIÓN Y RACIONALIZACIÓN EN

¿Qué aprenderemos hoy: 

¿Qué materiales utilizaremos?

A resolver ejercicios que involucran la potenciación y radicación en números reales.

-

Libro de Matemática – 2do Grado de Secundaria – Editorial El Nocedal Lima – Perú 2008.

Lee con atención la siguiente lectura: ORIGEN DE LA RAÍZ CUADRADA El Papiro de Ajmeed datado en 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Fuente: www.aulafacil.com Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos. David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice, acerca de la situación existente: "En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada". El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operaciónque aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando. Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos, para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada

Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Cómo representas la raíz cuadrada en función de la potenciación? ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López


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Potenciación Recordando:

Exponente

an

Base

b

Potencia

Propiedades: Potencia de un Producto

(4 x2)

Potencia de un cociente

1 2

2

42 x 22

a

(22 )3

42.4 42

1 16

Potencia de exponente 0 0

1

43

26

64

64

Potencia de exponente negativo

1

11 2

0

1 2

Potencia de una potencia

4

14 24

64

Potencia de potencias de igual base

1

1 112

1 121

Actividades 1. Aplica las propiedades y determina el valor de cada enunciado: a)

2

1 3

b)

x

1 9

2 1 3 3

4

c)

1 4 d)

4

2 3

( 3) 2 ( 6) 2

{[(4) 2 ]3 }0 ]

2

32.34.36.39 210.22.16

2. Halla el valor de “X” en los siguientes ejercicios : a)

2x

b)

(43 ) x

2

16

(16) x

1

c)

32 x

d)

21

1

0

9

81

3x

2 Prof. Beatriz Toledo López


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Radicación en Recordando:

Raíz Índice

n

a

b

b

a

1 n

Cantidad Subradical

Propiedades: Raíz de un producto

4.16

Raíz de un cociente

4. 16

3

2.4 8

8 27

3

8 3 27

Raíz de una potencia 9

2 3

3

99

93

93

729

Raíz de raíz 3

3

2 x3

3

6

3

Actividades 1.

En tu cuaderno, halla el valor de las siguientes expresiones utilizando las propiedades aprendidas: a)

c) 8

b)

d) 400

2.

64 1000 1000 . 2 8

3

1

4.10

4 4

64 4

Halla el resultado de cada una de las raíces: a) b)

16 5

c) d)

32 225

3

1000

3 Prof. Beatriz Toledo López


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Racionalización El proceso de transformar un denominador o numerador irracional de una expresión en un denominador o numerador racional se denomina Racionalización. Ejemplo: Racionalizar

3 : 5

Factor racionalizante

1

Multiplicamos el factor racionalizante al numerador y denominador

2

Aplicamos la propiedad de raíz enésima de un producto

3

Operamos

3 5 . 5 5 3. 5 5.5 3 5 3 5 5 25

Actividades 1.

Racionalizar los denominador de las siguientes expresiones: a)

16 3 3

c)

b)

3 16 5

d)

15 6 7

e)

4

f)

3

3 9

9 2 13 3 3 7 21

Radicación exacta – inexacta Raíz cuadrada exacta: Es cuando la raíz cuadrada de un número no tiene residuo.

4

2

30

Empleando:

radicando

(raíz ) 2

Raíz cuadrada Inexacta: Es cuando la raíz cuadrada de un número si tiene residuo.

residuo

?

Empleando: radicando (raíz ) 2 residuo

4 22 0

30 52 5

Siendo 0 el residuo

Siendo 5 el residuo Nota: Elegimos el 5 por ser aquel que elevado al cuadrado se aproxima más al 30

4 Prof. Beatriz Toledo López


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Raíz cuadrada de decimales: Para encontrar la raíz de un número decimal, se procede como si se tratara de un número natural y luego se señalan las cifras decimales obteniendo el cociente entre el número de cifras decimales de la cantidad subradical y el índice. Ejemplo: Halle

0, 0004

0, 0004 = 0,02 2 decimales 4 decimales

Actividades 1. Hallar el residuo de las siguientes raíces inexactas: a)

c)

47

b)

d)

7

10 27

11

2. Halla las siguientes raíces decimales: 0,36 a) b)

3

0, 008

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) b) c) d)

0, 7

(

)

0, 001 0,1

(

)

(

)

(

)

0, 049 3

1 2

3

1 8

3

4

3

5 Prof. Beatriz Toledo López


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2.

Resuelve los siguientes problemas: a) Determinar el área de un terreno cuadrangular que tiene de lado 34,56 m. Hallar el resultado en décimas.

b) Juan sembró un jardín de 144 000m2 y quiere hallar la medida del lado de dicho jardín para poder cercarlo. ¿Cuánto equivale el lado del jardín?

Reforzando lo aprendido Reforzando lo aprendido Refuerza tus conocimientos con el Libro MATEMÁTICA 2do Grado – Editorial el Nocedal.*: 

Actividad 4, 5, 6 y 7: Potenciación y Radicación

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

de los Números Reales (Pág. 33-42)

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre potenciación http://www.genmagic.net/mates4/ser7c.swf Radicación http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica /Operaciones/Radicacion.htm

6 Prof. Beatriz Toledo López


POTENCIACION Y RACIONALIZACIÓN EN NUMEROS NATURALES