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geometrĂ­a euclidiana


GeometrĂ­a 2


La geometría (del griego geo: tierra y metria: medir), es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban por problemas como la medida del tamaño de las tierras o del trazado de edificaciones. Para llegar a la geometría fractal hay que hacer un recorrido de miles de años pasando por el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, Grecia, Europa y los Estados Unidos de Norteamérica.

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La geometría euclidiana se basa en las definiciones y axiomas descritos por Euclides (c.325 - c.265 a.C.) en su tratado Elementos, que es un compendio de todo el conocimiento sobre geometría de su tiempo.

Podríamos establecer una primera clasificación determinando dos tipos principales de geometría: euclidiana y no-euclidiana. En el primer grupo se encuentran la geometría plana, la geometría sólida, la trigonometría, la geometría descriptiva, la geometría de proyección, la geometría analítica y la geometría diferencial; en el segundo, la geometría hiperbólica, la geometría elíptica y la geometría fractal.

Principalmente comprende puntos, líneas, círculos, polígonos, poliedros y secciones cónicas, que en secundaria se estudian en Matemáticas y en Educación Plástica y Visual. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del universo.

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(330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.

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Euclides enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno). Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito. De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo. Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.

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Aplicaciones de la geometría Es la base teórica de la geometría descriptiva del dibujo técnico.

Da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global.

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Euclides planteó cinco postulados en su sistema: 1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son congruentes.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos .

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Método de estudio de la Geometría Euclidiana La Geometría se puede comprobar mediantes los siguientes métodos: MÉTODO INDUCTIVO: consiste en observar una propiedad común particular en un número limitado de casos, se puede concluir entonces que esta propiedad en cualquier caso es válida. METODO DEDUCTIVO: este es el método más conveniente y poderoso para obtener conclusiones. Razonando deductivamente se procede de lo general a lo particular. METODO AXIOMATICO: Método por excelencia para la generación de conocimiento matemático; utiliza como método de descubrimiento, la substitución de axiomas actuales por axiomas diferentes para generar nuevos contenidos matemáticos. El fundamento de una ciencia sobre axiomas, o método axiomático, aparece ya en los elementos de Geometría de Euclides (300 años a.C.), se funda sobre los siguientes principios: 1. Los conceptos fundamentales de una ciencia no se definen; simplemente se enuncian. 2. Utilizando estos conceptos se establece una serie de proposiciones fundamentales, llamados AXIOMAS o PUSTULADOS, que constituyen indirectamente definiciones de los conceptos fundamentales. 3. Todas las restantes proposiciones de la ciencia se deducen lógicamente de los AXIOMAS.

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CONCEPTOS GENERALES

AXIOMA: Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración. Ejemplo: El todo es igual a la suma de sus partes. POSTULADO: Es una proposición no tan evidente como un axioma pero que también se admite sin demostración Ejemplo: Dos cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí.

TEOREMA: Es una proposición cuya verdad es demostrable. Ejemplo: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. COROLARIO: Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. Ejemplo: Del teorema: “La suma de los triángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos”, se deduce el siguiente corolario: “La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un recto”. LEMA: Es una proposición previa a un teorema que simplifica la demostración de éste. Ejemplo: Para demostrar el volumen de una pirámide se tiene que demostrar antes el lema que dice: “Un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros equivalentes.

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Instituto Politécnico Nacional CECyT 10 “Carlos Vallejo Márquez” Revista de Geometría Euclidiana Trigonometría y geometría analítica Márquez Ramírez Karen Keyline Tapia Sánchez Arleth Viviana Meléndez García Gilberto Angel Cabrera Martínez Rodrigo Torres Barajas Bryan Oswaldo Rodríguez Galván Gustavo Aldair

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Geometria euclidiana  

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