Page 1

Kapitel 9

Lineære differentialligninger og systemer af lineære differentialligninger I dette kapitel skal vi se p˚ a flere forskellige typer af differentialligninger og deres løsningsformer, som varierer meget. Differentialligninger bruges ofte til løsning af fysiske problemer, som for eksempel at bestemme farten som funktion af tiden, hvis man kender kræfterne, der indtræder i systemet. At indskrænke emnet til differentialligninger, der kun er lineære, gør det væsentlig nemmere. Man kan her opstille en eksakt analytisk løsning. Ulineære differentialigninger volder til stadighed stor besvær i den matematiske verden, og man bliver nogle gange nødt til at lave approximative løsninger.

9.0.1

Læsevejledning

I alle de differentialligningstyper, der bliver opstillet i dette kapitel, er funktionen x den fuldstændige løsning. Funktionerne har alle variablen t med mindre andet er opgivet, og derfor er alle de afledede (fx x0 ) funktionernes differentialkoefficient i forhold til t. Nogle gange udelades ’(t)’ fx i funktionsudtrykket x(t), s˚ a der bare st˚ ar x. Dette gøres udelukkende af pladshensyn eller for at give overskuelighed. Det samme er gældende for alle andre funktioner. I anden litteratur kan notationen fx være f (t) eller f (x), hvor x i det sidste tilfælde er variablen. Vær opmærksom p˚ a det. Bruges vektorer i regning med matricer bruges uden videre forklaring den til vektoren hørende søjlematrix, fx vektoren x = (x1 , x2 , x3 ), som giver x = [x1 x2 x3 ]> . Findes der flere af samme symbol i en sætning eller et eksempel bruges løbende indeks, fx xinhom1 , xinhom2 , xinhom3 osv. Indeks bruges ogs˚ a til at angive pladsen 1


Kap. 9

2

i en matrix eller vektor. Herunder er en liste med kapitlets gennemg˚ aende symboler. x Den ukendte funktion og den fuldstændige løsning til en differentialligning. Andre notationer er f (t) eller f (x). x0 Funktionens afledede med hensyn til t. Andre notationer er

dx dt ,

x, ˙ f 0 (t).

xhom Den fuldstændige løsning til differentialligningens tilsvarende homogene ligning. Det er underforst˚ aet, at det er funktioner af t. xinhom En partikulær løsning til differentialligningen forudsat at ligningen er inhomogen. Det er underforst˚ aet, at det er funktioner af t. xbet En entydig og betinget løsning til differentialligningen. Alts˚ a en løsningen, der opfylder en bestemt randværdibetingelse. Det er en funktion af t. x Den fuldstændige løsning til et differentialligningssystem. Det er en funktion af t. Her gennemg˚ as kun homogene differentialligningssystemer, hvorfor det er den fuldstændige (homogene) løsning. Det er en vektor: x = (x1 , x2 , . . . , xn ). x1 , x2 , x3 osv. er løsninger til differentialligningssystemet, men de er ikke den fuldstændige løsning. x0 Den afledede af x med hensyn til t. xbet En entydig og betinget løsning til differentialligningssystemet. Det er en funktion af t. f En funktion af x: f (x(t)). Udtrykker venstresiden af en lineær differentialligning. λ En egenværdi eller løsning til karakterligningen. v En egenvektor. E Enhedsmatricen. c En arbitrær konstant. 9.A Hvad er en differentialligning? En differentialligning er, som navnet angiver, en ligning. Ligninger indeholder kendte og ikke kendte størrelser. Det er selvfølgelig form˚ alet at bestemme disse ukendte størrelser. Dette kan (i normale tilfælde) gøres ved at flytte rundt p˚ a led og gange og dividere hensigtsmæssigt, som man allerede lærte i folkeskolen med ”´en ligning med ´en ubekendt”. I differentialligninger indg˚ ar differentialer - alts˚ a funktionens afledede af flere ordner, men funktionen indg˚ ar ogs˚ a selv. Her er et eksempel p˚ a en 1. ordens differentialligning (der desuden er lineær): x0 (t) + 2x(t) = 30 + 8t


Kap. 9

3

I en første ordens differentialligning, som denne, kender vi ikke funktionen x(t) og derfor heller ikke den afledede x0 (t), s˚ a p˚ a sin vis er der to ubekendte. Normalt er det ikke muligt at bestemme en entydig løsning til ´en ligning, hvis der er to ubekendte. Men her er det faktisk muligt at opstille ”den anden” ligning. Ligningen er p˚ a sin vis triviel om end vigtig for forst˚ aelsen: d x0 (t) = x(t) dt Fordi vi kender denne sammenhæng, er det muligt at bestemme en løsning, nemlig funktionen x og dens afledede x0 . N˚ ar man løser en ”normal” ligning med ´en ubekendt, flytter man normalt rundt p˚ a led, ganger og dividerer som nævnt. Men ved en andengradsligning, som stadig er ´en ligning med ´en ubekendt, flytter man normalt ikke rundt p˚ a noget. Der har man en løsningsformel. P˚ a samme m˚ ade løser man mange differentialligninger med en løsningsformel, fx den s˚ akaldte ”Panserformel”, andre gange bruges en ”løsningsfremgangsm˚ ade”, hvor man gør nogle faste operationer med ligningen. N˚ ar ligningen er løst med løsningsformel, og man har fundet x, glemmer man tit sammenhængen. I det nævnte tilfælde er løsningen x(t) = 13 + 4t + ce−2t , og derfor er x0 (t) = 4 − 2ce−2t . Men hvor kommer det fra? Det kommer fra den oprindelige differentialligning, ligemeget om man har brugt en løsningsformel, eller man har byttet rundt p˚ a led. Man kan alts˚ a ”gøre prøve” ved indsættelse i ligningen: ` ´ 4 − 2ce−2t + 2 13 + 4t + ce−2t = 30 + 8t Passer det? Hvad er det c, som indg˚ ar i ligningen? Vi har faktisk stadig ikke bestemt en entydig løsning. Det handler om ”eksistens og entydighed”, mere om det senere.

Inden vi skal igang med at se p˚ a nogle typer af lineære differentialligninger, er vi nødt til at gennemg˚ a en definition og en sætning. Definitionen, der matematisk viser, hvad en lineær differentialligning er, kan være behjælpelig allerede nu. I definitionen indg˚ ar funktionen f af x(t). f udtrykker venstresiden af en differentialligning. Da denne venstreside kan have uendelig mange udseender, p kaldes den f . To eksempler p˚ a funktionsudtryk kan være f (x(t)) = (x0 (t))2 − x(t) eller f (x(t)) = x00 (t) + 3x0 (t) − x(t). f inderholder kun led hvor x(t) indg˚ ar. Alle andre led vil nemlig st˚ a p˚ a højresiden af differentialligningen. Definition s9.1 (Lineær differentialligning) En differentialligning f (x(t)) = q(t) er lineær, hvis ligningens venstreside f (x(t)) opfylder begge linearitetsbetingelser: 1. f (x1 (t) + x2 (t)) = f (x1 (t)) + f (x2 (t))

(9.1)

2. f (k · x(t)) = k · f (x(t))

(9.2)

hvor x(t), x1 (t), x2 (t) er løsninger til differentialligningen og k er en konstant. Sætningen er analog med den tilsvarende sætning for lineære afbildinger.


Kap. 9

4

Eksempel 9.i (Lineær differentialligning?) Givet følgende to differentialligninger: 1. x0 + x2 = 0

(9.3)

2. (t − 1)x0 − t2 x + 3 = 0

(9.4)

Det kontrolleres, hvorvidt de to differentialligninger er lineære vha. sætning (s9.1). Matematisk set undersøges først om f (x1 + x2 ) − (f (x1 ) + f (x2 )) er lig nul, og derefter om f (k · x) − k · f (x) er lig nul. Først betragtes ligning (9.3), og q(t) = 0, s˚ a f (x) = x0 + x2 . (x1 + x2 )0 + (x1 + x2 )2 − (x01 + x21 + x02 + x22 ) = 2x1 x2 6= 0

(9.5)

x0 + x2 = −4t er alts˚ a en ikke-lineær differentialligning. Ligning (9.4) (g(x(t)) = r(t)) har r(t) = −3, s˚ a g(x) = (t − 1)x0 − t2 x. g afprøves nu med det første kriterium: (t − 1)(x1 + x2 )0 − t2 (x1 + x2 ) − ((t − 1)x01 − t2 x01 + (t − 1)x2 − t2 x2 ) = 0

(9.6)

Første kriterium er opfyldt. Hvad med det andet? (t − 1)(kx)0 − t2 (kx) − k((t − 1)x0 − t2 x) = 0

(9.7)

Andet kriterium er liges˚ a opfyldt og differentialligningen (t − 1)x0 − t2 x + 3 = 0 er derfor lineær. Som det ses af dette eksempel er det normalt forholdsvist nemt at se, om en differentialligning er lineær eller ej: Hvis der optræder potenser, logaritmer eller opløftninger af x er differentialligningerne ikke lineære.

i

Sætningen herunder fortæller, hvordan strukturen af løsningen til en lineær differentialligning ser ud. Den har ikke s˚ a stor interesse endnu, hvor vi ikke har løst en eneste differentialligning. Det er dog vigtigt at forst˚ a, at strukturen ser ens ud for løsninger til alle typer lineære differentialligninger. Derfor er løsningsmetoderne opbygget p˚ a samme m˚ ade i de fleste tilfælde. Desuden defineres to vigtige termer: homogen og inhomogen, som vi er stødt p˚ a i arbejdet med lineære afbildinger.


Kap. 9

5

Sætning s9.2 (Struktur af en lineær differentialligning) Den lineære differentialligning f (x(t)) = q(t),

t ∈ I,

(9.8)

hvor q : I → R, kaldes inhomogen, n˚ ar q(t) 6= 0. Den tilsvarende differentialligning f (x(t)) = 0, t ∈ I, (9.9) kaldes homogen. Den fuldstændige løsning x(t) til den inhomogene differentialligning har formen x(t) = xinhom (t) + xhom (t), (9.10) hvorom der gælder følgende: • xinhom (t) er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning. • xhom (t) er den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning.

Beviset udelades.


Kap. 9

9.1

9.1. Lineære differentialligninger af 1. orden

6

Lineære differentialligninger af 1. orden

Vi betragter nu den lineære differentialligning af 1. orden, der matematisk kan udtrykkes som følger: x0 (t) + p(t)x(t) = q(t),

t ∈ R,

(9.11)

hvor p : I → R, q : I → R. Læg mærke til, at koefficienten til x(t), kaldet p(t), er en funktion af t og alts˚ a nødvendigvis ikke er en konstant. Det samme er gældende for q(t). Er der i et praktisk tilfælde en koefficient til x0 (t), divideres ligningen igennem med denne, og man f˚ ar da et udtryk, der er ækvivalent til det ovenst˚ aende. Vi ønsker at bestemme x(t), hvilket vi gør med nedenst˚ aende løsningsformel, som ogs˚ a er kaldet Panserformlen. Sætning s9.3 (Panserformlen) Den fuldstændige løsning x(t) til den lineære differentialligning af 1. orden, som har formen x0 (t) + p(t)x(t) = q(t), t ∈ I, (9.12) hvor p : I → R, q : I → R, er givet ved følgende: Z  −P (t) P (t) x(t) = e e q(t)dt + c ,

t ∈ I, c ∈ R,

(9.13)

R hvor P (t) = p(t)dt og c er en arbitrær konstant. Bemærk specielt løsningen til den tilsvarende homogene differentialligning, hvor q(t) = 0, s˚ a x0 (t) + p(t)x(t) = 0: x(t) = c · e−P (t) ,

t ∈ I, c ∈ R

(9.14)

Bevis I den inhomogene differentialligning (9.12) indg˚ R ar funktionen p(t), og vi indfører en vilk˚ arlig stamfunktion til denne, s˚ a P (t) = p(t)dt. Man f˚ ar den id´e at gange ligningen igennem med eP (t) og betragter derefter venstresiden: eP (t) x0 (t) + eP (t) p(t)x(t) = eP (t) q(t)

(9.15)

Med et v˚ agent øje lægger man mærke til, at venstresiden er en differentialkoefficient til en bestemt sammensat funktion, nemlig eP (t) x(t), fordi: (eP (t) x(t))0 = eP (t) x0 (t) + (eP (t) )0 x(t) = eP (t) x0 (t) + eP (t) p(t)x(t)

(9.16)

Man kan alts˚ a erstatte venstresiden af (9.15) med (eP (t) x(t))0 , hvilket giver: (eP (t) x(t))0 = eP (t) q(t)

(9.17)


Integreres begge sider med hensyn til t f˚ as: Z eP (t) x(t) = eP (t) q(t)dt + c,

(9.18)

hvor c ∈ R er en arbitrær konstant. Ganges p˚ a begge sider med e−P (t) f˚ as løsningsformlen, nemlig Panserformlen: Z  x(t) = e−P (t) eP (t) q(t)dt + c (9.19)



Eksempel 9.ii (Panserformlen) Givet differentialligningen x0 (t) +

2 10 x(t) = 8t − , t t

t ∈ R+

(9.20)

Denne differentialligning er Panserformlens spidskompetence (s9.3). Vi har p(t) = 2t og . Først bestemmes P (t): q(t) = 8t − 10 t Z Z 2 P (t) = p(t)dt = dt = 2 ln t (9.21) t Man har da −2

e−P (t) = e−2 ln t = eln(t

)

= t−2 =

1 t2

Tilsvarende haves eP (t) = t2 . Nu bruges Panserformlen: „Z « x(t) = e−P (t) eP (t) q(t)dt + c „Z « « „ 1 10 2 t 8t − dt + c = 2 t t „Z « 1 = 2 (8t3 − 10t)dt + c t ´ 1 ` = 2 2t4 − 5t2 + c t c x(t) = 2t2 − 5 + 2 , t > 0 t

(9.22)

(9.23)

Man har nu fundet den fuldstændige løsning til differentialligningen.

Maple Eksempel 9.iii (Løsning af differentialligninger) Maple kan løse mange typer af differentialligninger med en bestemt kommando, nemlig dsolve. Her er et eksempel:


Kap. 9 >

9.1. Lineære differentialligninger af 1. orden

8

diff(x(t),t)+2/t*x(t)=8*t-10/t; x (t) d x (t) + 2 = 8 t − 10 t−1 dt t

>

dsolve(%,x(t)); x (t) = 2 t2 − 5 +

C1 t2

Læg mærke til, at man skal specificere, at x er en funktion af t, ved at skrive x(t). C1 er Maples m˚ ade at skrive en arbitrær konstant p˚ a. Hvis der er flere arbitrære konstanter hedder de efterfølgende C2, C3 osv.

9.1.1

Eksistens og entydighed

I Panserformlen (s9.3) indg˚ ar den arbitrære konstant c, der giver udtryk for, at der er uendelig mange løsninger til differentialligningen. Ofte er man kun interesseret i netop ´en løsning, der opfylder ens betingelser. En s˚ adan betingelse kaldes en randværdibetingelse eller en startbetingelse. En viden om løsningen skal alts˚ a lede til en s˚ adan betingelse, man kan for eksempel kende funktionsværdien i t = 0. 9.B Hvad er eksistens og entydighed? Eksistens og entydighed er et todelt begreb, som navnet leder op til. Samlet handler det om eksisterende og entydige bestemmelser af løsninger til differentialligninger. Første del, om eksistens, er ikke s˚ a svær at forst˚ a: Findes der en løsning til ligningen? Hvis ja, eksisterer løsningen. Det er nogle gange matematisk muligt at finde ud af, at der eksisterer en løsning til en differentialligning uden faktisk at kunne bestemme den. I andre tilfælde, som i dette afsnit med ligningen x0 + p(t)x = q(t), finder vi ud af, at løsningen eksisterer ved rent faktisk at bestemme løsningen. Det er en lidt bagvendt metode, men den m˚ a siges at fungere. Anden del, omhandlende entydighed, kan derimod volde mere besvær. N˚ ar vi har brugt Panserformlen f˚ as en løsning, men der indg˚ ar en arbitrær konstant, der gør at udtrykket indeholder uendelig mange løsninger til differentialligningen - faktisk alle dem, der er. I bund og grund tages udgangspunkt“i den fundne (og ”eksisterende) løsning til differentiR P (t) alligningen, som her er x(t) = e−P (t) e q(t)dt + c . Tages en værdi t0 og indsættes i funktionsforskriften f˚ as x(t0 ). Men er denne værdi entydig? P (t) og q(t) er veldefinerede funktioner og derfor er P (t0 ) og q(t0 ) entydige tal. Men den arbitrære konstant c kan være hvad som helst. Vælges c = 4 f˚ as ´en værdi af x(t0 ), vælges c = −10.000 f˚ as en anden. Der er alts˚ a ikke entydighed! Man er derfor nødt til at kende b˚ ade et t0 og tilhørende x0 før man kan bestemme c og derved f˚ a en entydig løsning x for alle andre t. Man kan alts˚ a kort sige, man ikke har opn˚ aet entydig, før de arbitrære konstanter er bestemt. En god pendant er forskellen p˚ a bestemte og ubestemte integraler. Et integral er ikke bestemt, s˚ a længe det indeholder en arbitrær konstant. Entydighed er noget vi vil opn˚ a, for at f˚ a en brugbar løsning og funktion. For at opn˚ a entydighed er vi nødt til at kende nogle s˚ akaldte randværdibetingelser eller startbetingelser. I dette tilfælde er der ´en randværdibetingelse, nemlig x(t0 ) = x0 , dette kan ogs˚ a


Kap. 9

9.1. Lineære differentialligninger af 1. orden

9

skrives som (t0 , x0 ). I andre tilfælde er man nødt til at kende flere randværdibetingelser, før der opst˚ ar entydighed. For eksempel skal man i nogle tilfælde ogs˚ a kende den første afledede v i punktet, alts˚ a ligningen x0 (t0 ) = v0 eller (t0 , v0 ). Samlet kan dette skrives som (t0 , x0 , v0 ) og kaldes her en dobbelt randværdibetingelse.

Sætning s9.4 (Eksistens og entydighed) Til ethvert talsæt (t0 , x0 ) (enkelt randværdibetingelse) findes der netop ´en løsning xbet (t) til differentialligningen x0 (t) + p(t)x(t) = q(t),

t ∈ I,

(9.24)

hvor p : I → R og q : I → R, s˚ aledes at xbet (t0 ) = x0

(9.25)

Bevis Man har, fra sætning (s9.3), at løsningen til differentialligningen (9.24) er af formen: Z  x(t) = e−P (t) eP (t) q(t)dt + c , (9.26) hvor integralet er vilk˚ arligt. Derfor m˚ a følgende ogs˚ a være en løsning til differentialligningen: Z t  −P (t) P (u) x(t) = e e q(u)du + c , (9.27) t0

Integrationsvariablen m˚ a ikke være den samme som variablen i grænserne, hvorfor integrationsvariablen er skiftet til u. Randværdibetingelsen xbet (t0 ) = x0 kendes, og denne indsættes i ligningen. Z t0  −P (t0 ) P (u) x0 = e e q(u)du + c = e−P (t0 ) (0 + c) (9.28) t0

Med en hurtig omskrivning, finder man ud af, der er kun er ´en løsning for c. c = eP (t0 ) x0

(9.29)

Derfor er der netop kun ´en løsning xbet , der opfylder kravene, og sætningen er vist. Læg mærke til at udtrykket for den arbitrære konstant c, kun er gældende for netop dette valg af integral. Derfor skal du selv opstille en ligning for c, hvis du ønsker at bestemme den, og kan ikke bruge udtrykket c = eP (t0 ) x0 !

!




Kap. 9

9.1. Lineære differentialligninger af 1. orden

10

Eksempel 9.iv (Panserformlen med entydighed) I eksempel (9.ii) fandt vi den fuldstændige løsning til differentialligningen x0 (t) +

10 2 x(t) = 8t − , t t

t ∈ R+ ,

(9.30)

nemlig x(t) = 2t2 − 5 + c/t2 . Med randværdibetingelsen (t0 , x0 ) = (1, 2) kan man bestemme en entydig løsning, her kaldet xbet (t), med xbet (1) = 2. Dette indsættes i den fuldstændige løsning for at bestemme c. c c (9.31) x0 = 2t20 − 5 + 2 ⇔ 2 = 2 · 12 − 5 + 2 ⇔ c = 5 t0 1 Derfor er den entydige og betingede løsning til differentialligningen givet ved xbet (t) = 2t2 − 5 +

9.1.2

5 , t2

t>0

(9.32)

Strukturen af den 1. ordens differentialligning

I nogle tilfældeR kan det være svært at bruge Panserformlen (s9.3), fordi den indeholder integralet eP (t) q(t)dt, der kan være ”grimt” og svært at bestemme. Hvis differentialligningen derimod har et ”pænt” udseende, kan man gætte sig til en løsning til differentialligningen og samtidig bestemme samtlige løsninger til den tilsvarende homogene ligning vha. (9.14) i Panserformlen. Det bygger p˚ a den grundlæggende struktursætning for lineære differentialligninger (s9.2) og munder ud i følgende metode. Metode s9.5 (Struktur af 1. ordens differentialligning) Den fuldstændige løsning x(t) til den lineære 1. ordens differentialligning x0 (t) + p(t)x(t) = q(t),

t ∈ I,

(9.33)

kan vha. sætning (s9.2) opdeles to: 1. Den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning, fx. bestemt vha. sætning (s9.3). 2. En partikulær løsning til den inhomogene ligning, fx. bestemt med et gæt. Strukturen af løsningen er da x(t) = xinhom (t) + xhom (t) = xinhom (t) + ce−P (t) , hvor P (t) =

R

p(t)dt.

(9.34)


Kap. 9

9.1. Lineære differentialligninger af 1. orden

11

Eksempel 9.v (Homogen + inhomogen løsning) Givet differentialligningen x0 (t) +

12t − 1 1 x(t) = , 2 + 2t 1+t

t > −1

(9.35)

Denne differentialligning har samme form som ligningen omtalt i (s9.5), hvorfor vi bruger denne løsningsmetode. Man kunne lige vel have prøvet at bruge Panserformlen (s9.3), men der er en id´e i at bruge en anden metode, og det gøres der rede for her. N˚ ar Panserformlen bruges bestemmes P (t) og eP (t) . p(t) aflæset af differentialligningen, og man har følgende: Z Z 1 1 1 1 dt = dt = ln(1 + t), (9.36) P (t) = 2 + 2t 2 1+t 2 og

√ 1 eP (t) = e 2 ln(1+t) = 1 + t (9.37) R P (t) I Panserformlen indg˚ ar integralet e q(t)dt, som i dette tilfælde ser s˚ aledes ud: Z Z √ 12t − 1 12t − 1 √ dt (9.38) 1+t· dt = 1+t 1+t Det er ikke nemt at bestemme dette integral. Derfor tyer vi til helt andre midler og bruger metoden (s9.5). 1) Først bestemmes samtlige løsninger til den homogene ligning: x0 (t) +

1 x(t) = 0 2 + 2t

(9.39)

Dette kan gøres ved brug af ligning (9.14) fra Panserformlen. Vi skal bruge e−P (t) , men da vi allerede kender eP (t) , har vi nemt, at 1 e−P (t) = √ 1+t

(9.40)

Den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning xhom (t) er xhom (t) = ce−P (t) = √

c 1+t

(9.41)

2) For at bestemme en partikulær løsning til den inhomogene ligning ganges differentialligningen (9.35) igennem med 1 + t: (1 + t)x0 (t) +

1 x(t) = 12t − 1 2

(9.42)

Pga. strukturen p˚ a ligningen kan man se, at et førstegradspolynomium er en løsning til ligningen. Vi gætter alts˚ a p˚ a løsningen xinhom (t) = at + b, og vi skal nu bestemme de to konstanter a og b, hvilket gøres ved indsættelse. Vi har desuden x0inhom (t) = a. „ « „ « 1 3 1 (1 + t)a + (at + b) = 12t − 1 ⇔ a − 12 t + a + b + 1 = 0 (9.43) 2 2 2


Kap. 9

9.1. Lineære differentialligninger af 1. orden

12

For at denne ligning kan være opfyldt for ethvert t ∈ R, m˚ a der gælde at 23 a − 12 = 0 og a + 12 b + 1 = 0, hvilket giver a = 8 og b = −18. En løsning til den inhomogene differentialligning er derfor xinhom (t) = 8t − 18. Den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning (9.35) er s˚ a givet ved x(t) = xinhom (t) + xhom (t) = 8t − 18 + √

c , 1+t

t > −1, c ∈ R

(9.44)

Eksempel 9.vi (Struktur ved brug af Panserformlen) I eksempel (9.ii) fandt vi løsningen til differentialligningen x0 (t) +

2 10 x(t) = 8t − , t t

t ∈ R+

(9.45)

vha. af Panserformlen (s9.3), og vi fik løsningen x(t) = 2t2 − 5 +

c t2

(9.46)

Ifølge strukturmetoden (s9.5) (og s˚ adan set ogs˚ a sætning (s9.2)) kan løsningen deles op i den fuldstændige løsning til den homogene ligning og en partikulær løsning til inhomogene ligning. Dette er vel at mærke ogs˚ a gældende selvom vi har fundet løsningen vha. Panserformlen. Man kan umiddelbart finde de to udtryk ud fra funktionsudtrykket ovenfor: c og xinhom (t) = 2t2 − 5 (9.47) t2 Grunden til, at xhom (t) ikke skrives p˚ a formen xhom (t) = ce−P (t) , er, at P (t) indeholder den naturlige logaritme ln, s˚ a grundtallet e bliver ophævet, da de er hinandens inverse. xhom (t) =

I eksempel (??) finder vi ud af, at ligemeget om vi bruger strukturen (s9.5) eller Panserformlen (s9.3) kan man altid dele løsningen op i en homogen og en inhomogen del. Kobler man det sammen med, hvad vi har lært om entydighed, kan vi komme frem til en generel fremgangsm˚ ade for løsning af lineære differentialligninger: N˚ ar man løser en lineær differentialligning (ikke nødvendigvis en af 1. orden), er det meget ofte s˚ aledes, at man er interesseret i en entydig og betinget løsning, alts˚ a en løsning, der opfylder ens randværdibetingelser. Man kan dog ikke g˚ a den direkte vej til denne løsning, men er nødt til at g˚ a over tre trin inden: 1) den fuldstændige løsning til den homogene ligning, 2) en partikulær løsning til den inhomogene ligning (hvis q(t) 6= 0), hvilket giver 3) den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning. Med denne løsning og en ”tilpas mængde” af randværdibetingelser kan man endelig bestemme ens betingede løsning. Læg mærke til at den partikulære løsning ikke nødvendigvis er den ønskede betingede løsning, ogs˚ a selvom den er entydig. Løsningsfremgangsm˚ aden er illustreret nedenfor.

i


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer xhom (t) %

&

f (x(t)) = q(t) &

13

Randværdibetingelser ↓ x(t) → xbet (t)

% xinhom (t)

Figur 9.1: Forløbet ved løsning af en lineær differentialligning

9.2

Lineære differentialligningssystemer

Vi vil her kigge p˚ a koblede homogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter, og i første omgang af første orden. En s˚ adan samling af koblede differentialligninger kaldes et differentialligningssystem. Et differentialligningssystem af første orden med n ligninger ser principielt s˚ aledes ud: x01 (t) x02 (t) .. .

= =

x0n (t)

= an1 x1 (t)

a11 x1 (t) a21 x1 (t) .. .

+ +

a12 x2 (t) a22 x2 (t) .. .

+ ... + ...

+ an2 x2 (t)

+ ...

+ +

a1n xn (t) a2n xn (t) .. .

(9.48)

+ ann xn (t)

Der er n led i hver ligning p˚ a højresiden. Dertil er de n ukendte funktioner x1 (t), x2 (t), . . ., xn (t) og deres tilhørende afledede, der st˚ ar p˚ a venstresiden. De n2 aii elementer er kendte. I matrix-format kan systemet skrives s˚ aledes:  0     x1 (t) a11 a12 . . . a1n x1 (t)  x02 (t)   a21 a22 . . . a2n   x2 (t)       (9.49)  ..  =  .. .. ..   ..  ..  .   . . . .  .  x0n (t)

an1

an2

...

ann

xn (t)

Endnu mere kompakt skrives det x0 (t) = Ax(t)

(9.50)

De tre udtryk ækvivalente, men det er mere bekvemt at skrive det p˚ a den sidste form. Det er nu m˚ alet at løse et s˚ adant differentialligningssystem, alts˚ a bestemme x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)). 9.C Hvad er et differentialligningssystem? Differentialligningssystemer er systemer af differentialligninger. Ordet ’system’ betyder en samling (af ligninger). Grunden til, at man ikke beskuer ligningerne hver for sig, er, at hver ligning i systemet ikke kun afhænger af ´en funktion og dens afledede, men af flere funktioner og deres afledede. Alts˚ a er ligningerne koblede. En ligning kan for eksempel se s˚ aledes ud: x01 (t) = 4x1 (t) − x2 (t)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

14

Det er ikke muligt at bestemme hverken x1 (t) eller x2 (t), da der er 2 ukendte funktioner, men kun ´en ligning. For at kunne løse et s˚ adant system, skal man have lige s˚ a mange ligninger, som man har funktioner (med deres tilhørende afledede). Den anden ligning i systemet kunne derfor være: x02 (t) = −6x1 (t) + 2x2 (t) Vi har nu lige s˚ a mange ligninger (2), som vi har ukendte funktioner (2), og det er nu muligt at bestemme b˚ ade x1 (t) og x2 (t). Vi beskuer et differentialligningssystem, der ser s˚ aledes ud: x0 (t) = Ax(t) Ser man bort fra, at det er vektorer og matricer, der opereres med, ligner ligningssystemet noget, vi har set før: x0 (t) = A · x(t), som man allerede kunne løse i gymnasiet. Løsningen til denne differentialligning er triviel: x(t) = ceAt , hvor c er en arbitrær konstant. Vi finder ud af, at løsningen til det tilsvarende system af differentialligninger er sammenlignelig med x = ceAt , s˚ a længe forholdene er ”gode”.

Vi løser nu differentialligningssystemet i følgende sætning. Der er dog visse forudsætninger, der ikke altid er gældende. Nogle af disse specialtilfælde bliver gennemg˚ aet senere. Beviset til sætningen indeholder en meget kendt og brugt matematisk metode, kaldet diagonaliseringsmetoden, som kan være brugbar i enkelte tilfælde. Sætning s9.6 (1. ordens lineært differentialligningssystem) Det lineære differentialligningssystem best˚ aende af n ligninger x0 (t) = Ax(t),

t∈R

(9.51)

har løsningen x(t) = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2 + . . . + cn eλn t vn ,

(9.52)

hvis og kun hvis matricen A har n forskellige egenværdier λ1 , λ2 , . . . , λn og de tilsvarende lineært uafhængige egenvektorer v1 , v2 , . . . , vn . c1 , c2 , . . . , cn ∈ C er arbitrære konstanter.

!

Læg mærke til, at det ikke altid er muligt, at finde n forskellige egenværdier og n lineært uafhængige egenvektorer. Derfor kan man ikke altid bruge sætning (s9.7) til løsning af differentialligningssystemer af 1. orden.

Bevis Man gætter p˚ a, at en løsning til differentialligningssystemet x0 (t) = Ax(t) er en vektor v ganget p˚ a eλt , hvor λ er en konstant, s˚ a x(t) = eλt v. Man har da den differentierede: x0 (t) = λeλt v (9.53)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

15

Sættes dette udtryk for x0 (t) ind i (9.55) sammen med udtrykket x(t) f˚ as: λeλt v = Aeλt v ⇔ Av − λv = 0 ⇔ (A − λE)v = 0

(9.54)

λt

e er forskellig for nul for ethvert t ∈ R, hvorfor det kan divideres ud. Denne ligning er et egenværdiproblem (se Lineær Algebra, s. 197). λ er en egenværdi til A og v er den tilhørende egenvektor. De kan begge bestemmes. Det er nu lykkedes os at finde ud af, at eλt v er ´en løsning til differentialligningssystemet, n˚ ar λ er en egenværdi og v den tilhørende egenvektor til A. Til at bestemme den fuldstændige løsning bruges en bestemt metode, nemlig diagonaliseringsmetoden: Vi antager, at A, der er en n × n-matrix, har n lineært uafhængige (reelle eller komplekse) egenvektorer v1 , v2 , . . . , vn hørende til egenværdierne λ1 , λ2 , . . . , λn . Vi indfører nu den regulære matrix V, som indeholder alle egenvektorerne:   .. .. .. . . .    V= (9.55) v1 v2 . . . vn  .. .. .. . . . Endvidere indføres funktionen y, s˚ a y(t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), s˚ aledes at x(t) = Vy(t)

(9.56)

x0 (t) = Vy0 (t)

(9.57)

Man har da, at Indsættes disse udtryk for x(t) og x0 (t) i (9.55), f˚ as Vy0 (t) = AVy(t) ⇔ y0 (t) = V−1 AVy(t) = Λy(t),

(9.58)

−1

hvor Λ = V AV = diag(λ1 , λ2 , . . . λn ) er en diagonalmatrix med egenværdierne tilhørende A (se Lineær Algebra, sætning 7.12, side 205). Vi har nu ligningen y0 (t) = Λy(t), der kan skrives p˚ a følgende m˚ ade: y10 (t) = λ1 y1 (t) y20 (t) = λ2 y2 (t) .. .. . . yn0 (t) = λn yn (t)

(9.59)

da Λ kun har elementer forskellig fra nul i diagonalen. Dette ligningssystem er ikke koblet: I hver ligning optræder kun ´en funktion og dens afledede. Derfor kan man løse dem enkeltvis, og den fuldstændige løsning til hver ligning er y(t) = ceλt . For dem alle giver det alts˚ a:    λ t c1 e 1 y1 (t)  y2 (t)   c2 eλ2 t      y(t) =  .  =  .  (9.60)  ..   ..  yn (t) cn eλn t


Da vi nu har løsningen til y(t) kan vi ogs˚ a finde løsningen til x(t) = Vy(t):    c eλ1 t  .. .. .. 1 . .   c2 eλ2 t  .    x(t) =  (9.61) ..  v1 v2 . . . vn    .  .. .. .. . . . cn eλn t = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2 + . . . + cn eλn t vn ,

(9.62)

hvor c1 , c2 , . . . , cn ∈ C. Vi har nu fundet den fuldstændige løsning til ligningen (9.55). Man kommer nogle gange ud for at kunne bruge diagonaliseringsmetoden i praksis, i stedet for at g˚ a direkte til løsningen i sætning (s9.7). Fx hvis der er problemer med antallet af egenvektorer. Man vil her kunne lave en tilsvarende matrix V, der har en lidt anden form, og derefter kunne diagonalisere.

i



Eksempel 9.vii (1. ordens lineært differentialligningssystem) Givet ligningssystemet x01 (t) = x1 (t) + 2x2 (t) x02 (t) = 3x1 (t)

(9.63)

som p˚ a matrixform skrives som x0 (t) =

» 1 3

– 2 x(t) = Ax(t) 0

(9.64)

A har egenværdierne λ1 = 3 og λ2 = −2 med de tilhørende egenvektorer v1 = (1, 1) og v2 = (2, −3), som fx kan bestemmes vha. Maplekommandoen Eigenvectors (prøv selv!). Derfor er løsningen til differentialligningssystemet: » – » – » – x1 (t) 1 2 x(t) = = c1 e3t + c2 e−2t (9.65) x2 (t) 1 −3 Løsningen er fundet vha. sætning (s9.7). Man kan evt. skille ligningssystemet ad, s˚ a x1 (t) = c1 e3t + 2c2 e−2t x2 (t) = c1 e3t − 3c2 e−2t

(9.66)

Maple Eksempel 9.viii (1. ordens lineært differentialligningssystem) Ønsker man at løse differentialligningssystemet x01 (t) = x1 (t) + 2x2 (t) x02 (t) = 3x1 (t) med Maple gøres det med kommandoen dsolve:

(9.67)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

>

difflign1:= diff(x[1](t),t) = x[1](t) + 2*x[2](t);

>

d x1 (t) = x1 (t) + 2 x2 (t) dt difflign2:= diff(x[2](t),t) = 3*x[1](t);

17

difflign1 :=

d x2 (t) = 3 x1 (t) dt dsolve([difflign1,difflign2],[x[1](t),x[2](t)]); ˘ ¯ x1 (t) = C1 e3 t − 2/3 C2 e−2 t , x2 (t) = C1 e3 t + C2 e−2 t difflign2 :=

>

Løsningen ser ikke ud til at være ens med den fundet i eksempel (9.vii), men sættes c1 = C1 og c2 = 3 · C2 er de identiske. Det er ikke muligt at løse differentialligningssystemer p˚ a matrixform i Maple! Sørg for at lave firkantede parenteser i dsolve og ikke krøllede, s˚ a kommer funktionerne ud i samme rækkefølge, som du har skrevet dem.

9.2.1

Løsning ved hjælp af struktursætningen

Til det homogene 1. ordens lineære differentialligningssystem med konstante koefficienter med n ligninger x0 (t) = Ax(t), t ∈ R (9.68) sker det, at der ikke findes n forskellige egenværdier til systemmatricen A eller at nogen af egenværdierne er komplekse. N˚ ar det er gældende, er der ogs˚ a et problem med antallet af egenvektorer, hvilket bevirker, at vi ikke kan løse systemet vha. sætning (s9.7). Derfor indskydes nu følgende struktursætning for homogene 1. ordens differentialligningssystemer. Sætning s9.7 (Struktur af 1. ordens differentialligningssystemer) Givet det homogene 1. ordens differentialligningssystem med konstante koefficienter x0 (t) = Ax(t), t ∈ R (9.69) best˚ aende af n ligninger. Den fuldstændige (homogene) løsning til dette system har da formen x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + . . . + cn xn (t),

(9.70)

hvor x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) er lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet og c1 , c2 , . . . , cn ∈ C er arbitrære konstanter. Beviset udelades. Ifølge struktursætningen skal vi alts˚ a finde n lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet. Det gøres i praksis ved i første omgang at bestemme alle egenværdierne, og fra deres udseende at bestemme s˚ a mange


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

18

løsninger, som det er nødvendigt. I dette kursus beskæftiger vi os kun med to specialtilfælde, men de er til gengæld meget bredt dækkende. Metode s9.8 (Løsning vha. struktursætningen) Ønsker man at bestemme den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet x0 (t) = Ax(t), t ∈ R (9.71) best˚ aende af n ligninger, kan man bruge følge metode: Bestem først alle egenværdierne til A. Betragt hver egenværdi λi for sig. Oftest forekommer et af følgende tre udfald: • Har egenværdien λi algebraisk multiplicitet 1 og geometrisk multiplicitet 1, er xi (t) = eλi t vi , (9.72) en løsning, hvor vi er egenvektoren tilhørende λi . ¯ i ogs˚ • Er egenværdien λi kompleks, er den kompleks konjugerede λ a en egenværdi. Til disse to egenværdier bestemmes to lineært uafhængige reelle løsninger vha. metode (??). • Har egenværdien λi algebraisk multiplicitet 2 og geometrisk multiplicitet 1, bestemmes to lineært uafhængige løsninger vha. metode (??). N˚ ar alle egenværdierne er gennemg˚ aet, haves n lineært uafhængige løsninger. Disse sættes sammen til den fuldstændige løsning vha. struktursætningen (??). Herefter kommer de to metoder, der tager sig af de to specialtilfælde. Metode s9.9 (Reel løsning ved komplekse egenværdier) To lineært uafhængige reelle løsninger til ligningssystemet x0 (t) = Ax(t),

t∈R

(9.73)

¯ = α−βi med tilhørende hvor A har det komplekse egenværdipar λ = α+βi og λ ¯ , er egenvektorer v og v  x1 (t) = Re eλt v = eαt (cos(βt)Re(v) − sin(βt)Im(v)) (9.74)  λt αt x2 (t) = Im e v = e (sin(βt)Re(v) + cos(βt)Im(v)) (9.75)

Bevis ¯ er x(t) = eλt v Det vides allerede, at de to løsninger tilhørende egenværdierne λ og λ ¯ λt ¯ og e v, som er komplekse, da b˚ ade λ og v er forudsat komplekse. Vi er imidlertid


kun interesserede i reelle løsninger. Derfor gættes p˚ a at x1 (t) = Re(eλt v) og x2 (t) = λt Im(e v) ogs˚ a er løsninger og desuden er lineært uafhængige. Det indses først at følgende m˚ a gælde: x = Re(x) + iIm(x) = x1 + ix2 (9.76) Dette indsættes i differentialligningssystemet x0 = Ax, som er gældende, fordi x er en løsning. x1 0 + ix2 0 = A(x1 + ix2 ) ⇔ (x1 0 − Ax1 ) + i(x2 0 − Ax2 ) = 0

(9.77)

Alts˚ a m˚ a det gælde at x0 1 − Ax1 = 0 ⇔ x0 1 = Ax1 , og derfor er det en løsning til differentialligningssystemet. Det præcis samme gælder for x2 . Derfor er det to løsninger til differentialligningssystemet. Det skal ogs˚ a vises, at de er lineært uafhængige. Først udregnes funktionsudtrykkene for de to: x1 (t) = Re(eλt v) = Re(eαt [cos(βt) + i sin(βt)] · [Re(v) + iIm(v)]) = eαt (cos(βt)Re(v) − sin(βt)Im(v))

(9.78)

x2 (t) = Im(eλt v) = Im(eαt [cos(βt) + i sin(βt)] · [Re(v) + iIm(v)]) = eαt (cos(βt)Im(v) + sin(βt)Re(v))

(9.79)

De to funktioner er lineært uafhængige, hvis ligningen k1 x1 + k2 x2 = 0 kun har løsningen k1 = k2 = 0. Dette afprøves: DET ER MEGET BESVÆRLIGT OG LANGT. NØDVENDIGT? EN SMARTERE M˚ ADE? Re OG Im ALTID ORTOGONALE OG DERFOR LINEÆRT UAFHÆNGIGE? 

Eksempel 9.ix (Reel løsning ved komplekse rødder) Givet differentialligningssystemet x0 (t) =

»

1 −1

– 1 x(t) = Ax(t) 1

Med Maple kan man bestemme egenværdierne og egenvektorerne til A: > with(LinearAlgebra): > A:=< <1,-1>|<1,1> >; " # 1 1 A := −1 1 > Eigenvectors(A,output=list); "" (" #)# " (" #)## −i i 1 + i, 1, , 1 − i, 1, 1 1

(9.80)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

20

Det ses, at der er to komplekse egenværdier og dertil to komplekse egenvektorer. Vi ønsker at bestemme den fuldstændige reelle løsning, og for λ = 1 + i er » – » – » – −i 0 −1 v= = +i = Re(v) + iIm(v) (9.81) 1 1 0 Vha. metode (??) har vi da de to løsninger: „ » – » –« » – 0 −1 sin(t) x1 (t) = et cos(t) − sin(t) = et 1 0 cos(t) „ » – » –« » – 0 −1 − cos(t) x2 (t) = et sin(t) + cos(t) = et 1 0 sin(t) Den fuldstændige reelle løsning til differentialligningssystemet (??) er da „ » – » –« sin(t) − cos(t) x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) = et c1 + c2 , t∈R cos(t) sin(t)

(9.82)

(9.83)

(9.84)

da der er n = 2 ligninger, jf. metode (??).

Metode s9.10 (Egenværdi med algebraisk multiplicitet 2) Hvis matricen A til differentialligningssystemet x0 (t) = Ax(t),

t∈R

(9.85)

har en egenværdi λ med algebraisk multiplicitet 2, men det tilhørende egenvektorrum kun har geometrisk multiplicitet 1, findes to lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet af formen: x1 (t) = eλt v λt

(9.86) λt

x2 (t) = te v + e b,

(9.87)

hvor v er egenvektoren tilhørende egenværdien λ, og b er løsning til nedenst˚ aende lineære ligningssystem: (A − λE)b = v

(9.88)

Bevis Det er ˚ abenlyst, at den ene løsning til differentialligningssystemet er x1 (t) = eλt v. Det svære er, at finde endnu en løsning. Vi gætter p˚ a en løsning af formen x2 (t) = teλt v + eλt b = eλt (tv + b),

(9.89)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

21

hvor v er egenvektoren tilhørende λ. Man har da x2 0 (t) = (eλt + λteλt )v + λeλt b = eλt ((1 + λt)v + λb)

(9.90)

Vi kontrollerer, om x2 (t) er en løsning ved at indsætte det i x0 (t) = Ax(t): x2 0 (t) = Ax2 (t) ⇔ (1 + λt)v + λb = A(tv + b) ⇔ t(λv − Av) + (v + λb − Ab) = 0 ⇔ λv − Av = 0 ∧ v + λb − Ab = 0

(9.91)

Den første ligning, kan nemt omformes til Av = λv, og ses at være sand, da v er egenvektoren tilhørende λ. Den anden ligning omformes: v + λb − Ab = 0 ⇔ Ab − λb = v ⇔ (A − λE)b = v

(9.92)

Hvis b opfylder det foreskrevne ligningssystem, vil x2 (t) ogs˚ a være en løsning til differentialligningssystemet. Vi har nu fundet to løsninger, og skal finde ud af, om de er lineært uafhængige. Dette gøres ved et normalt linearitetskriterium: Hvis ligningen k1 x1 + k2 x2 = 0 kun har løsningen k1 = k2 = 0 er x1 og x2 lineært uafhængige. k1 x1 + k2 x2 = 0 ⇒ λt

k1 e v + k2 (teλt v + beλt ) = 0 ⇔ t(k2 v) + (k1 v + k2 b) = 0 ⇔ k2 v = 0 ∧ k1 v + k2 b = 0

(9.93)

Da v er en egenvektor er den forskellig fra nulvektoren, og derfor er k2 = 0 ifølge den første ligning. Den anden ligning er derved blevet reduceret til k1 v = 0, og med samme argument haves k1 = 0. Derfor er de løsninger lineært uafhængige og metoden er nu bevist. 

Eksempel 9.x (Dobbeltrod) Givet differentialligningssystemet x0 (t) =

»

16 4

– −1 x(t) = Ax(t) 12

(9.94)

Egenværdierne bestemmes for A: ˛ ˛ ˛16 − λ −1 ˛˛ ˛ det(A) = ˛ = (16−λ)(12−λ)+4 = λ2 −28λ+192 = (λ−14)2 = 0 (9.95) 4 12 − λ˛


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

22

Der er alts˚ a kun ´en egenværdi, nemlig λ = 14, selvom det er et 2 × 2-system. Egenvektorerne bestemmes: » – » – » – 16 − 14 −1 2 −1 1 − 12 = ∼ (9.96) 4 12 − 14 4 −2 0 0 Man har da egenvektoren ( 21 , 1), eller v = (1, 2). Vi m˚ a alts˚ a konstatere, at egenværdien λ har algebraisk multiplicitet 2, men at det tilhørende vektorrum har geometrisk multiplicitet 1. For at bestemme en løsning til differentialligningsystemet, skal man alts˚ a bruge metode (??). Først løses følgende ligningssystem: » – » – 2 −1 1 (A − λE)b = v ⇒ b= (9.97) 4 −2 2 » 2 4

−1 −2

– » 1 1 ∼ 2 0

− 12 0

1 2

0

Dette giver b = (1, 1), hvis den frie variabel sættes til 1. De to løsninger er da: » – 1 x1 (t) = e14t 2 » – » – 1 1 x2 (t) = te14t + e14t , 2 1

(9.98)

(9.99) (9.100)

og den fuldstændige løsning er x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) = c1 e14t

» – „ » – » –« 1 1 1 + c2 e14t t + 2 2 1

(9.101)

jf. metoden omhandlende strukturen (??).

Eksempel 9.xi (Komplekse rødder og enkeltrod) Givet differentialligningssystemet 2

1 x (t) = 4−17 8 0

2 −14 6

3 2 −245 x(t) = Ax(t) 11

(9.102)

Vi ønsker at bestemme den fuldstændige reelle løsning til differentialligningssystemet. Med Maple kan man bestemme egenværdierne og egenvektorene (kommandoen Eigenvectors) til at være λ1 = 0

:

v1 = (2, 1, −2)

λ2 = −1 + 2i

:

v2 = (i, −2 − i, 1)

λ3 = −1 − 2i

:

v3 = (−i, −2 + i, 1)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

23

Det ses, at der er et komplekst rodpar blandet med en enkeltrod, s˚ a metode (??) er vejen frem. Egenværdierne betragtes hver for sig: 1) Den første egenværdi g˚ ar under metodens første kategori, og en løsning er derfor 2 3 2 3 2 2 λ1 t 04 1 5=4 1 5 (9.103) x1 (t) = e v1 = e −2 −2 2) Den anden egenværdi er kompleks og har egenværdi nummer 3 som dens kompleks konjugerede. Derfor betragtes de under ´et. Metode (??) kan da hjælpe os. Først en lille omskrivning: 2 3 2 3 2 3 i 0 1 4−2 − i5 = 4−25 + i 4−15 = Re(v) + iIm(v) (9.104) 1 1 0 De to tilhørende indbyrdes lineært uafhængige løsninger er da: 0 2 3 2 31 2 3 0 1 − sin(2t) −t @ −t x2 (t) = e cos(2t) 4−25 − sin(2t) 4−15A = e 4−2 cos(2t) + sin(2t)5 (9.105) 1 0 cos(2t) 2 3 0 2 3 2 31 cos(2t) 0 1 −t −t @ sin(2t) 4−25 + cos(2t) 4−15A = e 4−2 sin(2t) − cos(2t)5 (9.106) x3 (t) = e sin(2t) 1 0 Ifølge metode (??) kan man nu lægge de tre løsninger sammen (inkl. arbitrære konstanter) og f˚ a den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet, da vi nu har 3 løsninger, og de ifølge metoden er lineært uafhængige. x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + c3 x3 (t)

(9.107)

Dette giver alts˚ a 2 3 2 3 2 3 2 − sin(2t) cos(2t) −t −t x(t) = c1 4 1 5 + c2 e 4−2 cos(2t) + sin(2t)5 + c3 e 4−2 sin(2t) − cos(2t)5 (9.108) −2 cos(2t) sin(2t) hvor t ∈ R og c1 , c2 , c3 ∈ R.

Eksempel 9.xii (Dobbeltrod og enkeltrod) Givet differentialligningssystemet 2

−9 x (t) = 4−3 1 0

10 1 −4

3 0 55 x(t) = Ax(t) 6

(9.109)

Vi ønsker at bestemme den fuldstændige reelle løsning til differentialligningssystemet. Med Maple kan man bestemme egenværdierne og egenvektorene (kommandoen Eigenvectors) til at være λ1 = −4

:

v1 = (10, 5, 1)

λ2 = 1

:

v2 = (5, 5, 3)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

24

Desuden fortæller Maple, at egenværdien λ2 har algebraisk multiplicitet 2, men det tilhørende egenvektorrum har geometrisk multiplicitet 1. Derfor bruges (??). Egenværdierne betragtes hver for sig: 1) Den første egenværdi g˚ ar under metodens første kategori, og en løsning er derfor 2 3 10 λ1 t −4t 4 55 x1 (t) = e v1 = e (9.110) 1 2) Til den anden egenværdi g˚ ar under metodens tredje kategori og metode (??) kan bruges. Først bestemmes b: 2 3 2 3 −10 10 0 5 0 55 = 455 (A − λ2 E)b = v2 ⇒ 4 −3 (9.111) 1 −4 5 3 ´ Med Maples LinearSolve kan man finde en løsning til forest˚ aende ligningssystem. En løsning er b = (0, 12 , 1). Med denne viden har vi endnu to lineært uafhængige løsninger til differentialligningssystemet: 2 3 5 λ2 t t4 5 (9.112) x2 (t) = e v2 = e 5 3 2 3 2 3 0 5 λ2 t λ2 t t4 5 t 415 x3 (t) = te v2 + e b = te 5 + e 2 (9.113) 3 1 Ifølge metode (??) er den fuldstændige løsning s˚ aledes: x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + c3 x3 (t)

(9.114)

2 3 2 3 0 2 3 2 31 10 5 5 0 x(t) = c1 e−4t 4 5 5 + c2 et 455 + c3 @tet 455 + et 4 21 5A 1 1 3 3

(9.115)

Dette giver alts˚ a

hvor t ∈ R og c1 , c2 , c3 ∈ R.

9.2.2

Eksistens og entydighed

P˚ a samme m˚ ade som man kan bestemme en entydig løsning for differentialligninger, kan man ogs˚ a gøre det med differentialligningssystemer. I struktursætningen (??) st˚ ar, at den fuldstændige løsning til et differentialligningssystem med n ligninger indeholder n arbitrære konstanter. Derfor skal man have n randværdibetingelser, s˚ a konstanterne kan bestemmes. Da har vi en entydig løsning. Dette formuleres i følgende sætning.


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

25

Sætning s9.11 (Eksistens- og entydighed) Til ethvert talsæt (t0 , x0 ) = (t0 , x1 , x2 , . . . , xn ) (n-dobbelt randværdibetingelse) findes netop ´en løsning xbet (t) til det homogene 1. ordens differentialligningssystem med konstante koefficienter x0 (t) = Ax(t),

t∈R

(9.116)

med n ligninger, s˚ aledes at xbet (t0 ) = x0 = (x1 , x2 , . . . , xn )

(9.117)

xbet1 (t0 ) = x1 , xbet2 (t0 ) = x2 , . . . , xbetn (t0 ) = xn

(9.118)

Dette betyder at

i

For at opfylde kravene i eksistens og entydighedssætningen skal man kende alle funktionsværdierne i en bestemt værdi t0 . Det er dog ikke altid tilfældet, at man har det. I virkeligheden er det ogs˚ a tilstrækkeligt, hvis man har n forskellige randværdibetingelser, og de kan s˚ a se ud p˚ a forskellig vis. Her er to eksempler p˚ a tilstrækkelige alternative randværdibetingelser, hvor n = 2: 1) (t0 , x1 ) og (t1 , x2 ), alts˚ a xbet1 (t0 ) = x0 og xbet2 (t1 ) = x2 , 2) (t0 , x1 ) og (t0 , x01 ), alts˚ a xbet1 (t0 ) = x1 og x0bet1 (t0 ) = x01 .

Bevis Vi antager at den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet x0 (t) = Ax(t) er givet ved x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + . . . + cn xn (t), (9.119) hvor x1 , x2 , . . . , xn er lineært uafhængige løsninger og c1 , c2 , . . . , cn er arbitrære konstanter. Dette f˚ as fra struktursætningen (??). Vi opstiller nu randværdibetingelserne (t0 , x0 ) = (t0 , x1 , x2 , . . . , xn ), hvilket giver følgende ligningssystem: xbet (t0 ) = x0 = c1 x1 (t0 ) + c2 x2 (t0 ) + . . . + cn xn (t0 )

(9.120)

Vi omskriver systemet for at bestemme de arbitrære konstanter.   c  .. .. .. 1 . .   c2   .  .  x0 =  ⇔ x1 (t0 ) x2 (t0 ) . . . xn (t0 )   ..  .. .. .. . . . cn X(t0 )c = x0

(9.121)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

26

Da x1 , x2 , . . . , xn er lineært uafhængige er matricen X(t0 ) regulær. Derfor findes der netop ´en løsning c = (c1 , c2 , . . . , cn ) til dette ligningssystem, og derved er xbet entydig. Da det er lykkedes os at finde en løsning, m˚ a den ogs˚ a siges at eksisterer. 

Eksempel 9.xiii (Entydig løsning) I eksempel (9.vii) fandt vi løsningen til differentialligningssystemet » – 1 2 x0 (t) = x(t), t ∈ R 3 0

(9.122)

nemlig x(t) = c1 e3t

» – » – 1 2 + c2 e−2t 1 −3

(9.123)

Vi ønsker nu at bestemme den entydige løsning xbet med randværdibetingelsen (t0 , x1 , x2 ) = (0, 6, 6). Dette giver ligningssystemet » – » – » – » –» – 6 1 2 1 2 c1 = c1 e0 + c2 e0 = (9.124) 6 1 −3 1 −3 c2 Med Gauss-elimination f˚ as » 1 2 1 −3

– » 6 1 ∼ 6 0

2 −5

– » 6 1 ∼ 0 0

0 1

6 0

Man f˚ ar alts˚ a løsningen (c1 , c2 ) = (6, 0), og den entydige løsning er derfor » – 1 xbet (t) = 6e3t , t∈R 1

9.2.3

(9.125)

(9.126)

Omformning af n-te ordens homogene lineære differentialligninger til et 1. ordens differentialligningssystem

I dette kapitel begrænses vi af kun at betragte differentialligninger med konstante koefficienter af 1. orden. Der er imidlertid ingen grund til at udvide teorien for en vilk˚ arlig n-te ordens differentialligning med konstante koefficienter, da alle disse kan omformes til et system af 1. ordens differentialligninger. Vi viser her hvordan. Lad givet være en n-te ordens differentialligning: x(n) (t) + an−1 x(n−1) (t) + an−2 x(n−2) (t) + . . . + a1 x0 (t) + a0 x(t) = 0

(9.127)

Hvis der i et praktisk tilfælde optræder en konstant foran x(n) (t) kan ligningen divideres igennem med denne konstant, og udtrykket vil da være ækvivalent med


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

27

det ovenst˚ aende. Man indfører nu n funktioner: x1 (t) = x(t) x2 (t) = x01 (t) = x0 (t) x3 (t) = x02 (t) = x00 (t) .. .. .. . . . xn−1 (t) = x0n−2 (t) = x(n−2) (t) xn (t) = x0n−1 (t) = x(n−1) (t)

(9.128)

Disse nye udtryk indsættes i den differentialligningen (9.129): x0n (t) + an−1 xn (t) + an−2 xn−1 (t) + . . . + a1 x2 (t) + a0 x1 (t) = 0

(9.129)

Denne ligning kan sammen med ligningerne (9.130) skrives op p˚ a matrixform.  0     x1 (t) 0 1 0 ... 0 x1 (t)  x02 (t)   0   0 1 ... 0       x2 (t)     .. .. . . ..  =  .. . .. ..   ..  (9.130)    . . .     .   x0n−1 (t)  0    0 0 ... 1 xn−1 (t) −a0 −a1 −a2 . . . −an−1 xn (t) x0n (t) Eksempel 9.xiv (3. ordens ligning → 1. ordens system) Givet den lineære differentialligning af 3. ordens med konstante koefficienter x(3) (t) − 4x00 (t) − 7x0 (t) + 10x(t) = 0,

t∈R

(9.131)

Vi ønsker at bestemme den fuldstændige løsning. Derfor indføres funktionerne x1 (t) = x(t) x2 (t) = x01 (t) = x0 (t) x3 (t) = x02 (t) = x00 (t)

(9.132)

P˚ a denne m˚ ade kan man omskrive differentialligningen til x03 (t) − 4x3 (t) − 7x2 (t) + 10x1 (t) = 0

(9.133)

Man kan da samle de 3 sidste ligninger i et ligningssystem. x01 (t) = x2 (t) x02 (t) = x3 (t) x03 (t) = −10x1 (t) + 7x2 (t) + 4x3 (t) Det skrives p˚ a matrixform p˚ a denne m˚ ade: 2 0 0 x (t) = 4 0 −10

1 0 7

3 0 15 x(t) 4

(9.134)

(9.135)


Kap. 9

9.2. Lineære differentialligningssystemer

28

Med Maple kan man finde egenværdierne (kommandoen Eigenvalues), der er λ1 = −2, λ2 = 1, λ3 = 5. Den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet er x(t) = c1 e−2t v1 + c2 et v2 + c3 e5t v3 ,

(9.136)

hvor c1 , c2 , c3 ∈ R er arbitrære konstanter og v1 , v2 , v3 er de respektive egenvektorer. Vi skal imidlertid kun bruge løsningen til x1 (t) = x(t), hvorfor den tages ud af systemet. Desuden indfører vi nu tre nye arbitrære konstanter k1 , k2 , k3 ∈ R, der skal gøre det ud for produkterne mellem c’erne og egenvektorernes førstekoordinat. Resultatet bliver derfor dette: x(t) = x1 (t) = k1 e−2t + k2 et + k3 e5t , t ∈ R (9.137) Dette er den fuldstændige løsning til differentialligningen (9.133). Læg mærke til, at man ikke behøver at kende egenvektorerene, s˚ a længe man kun skal bruge den ene ligning. Men det er kun i netop det tilfælde, at man m˚ a springe over, hvor gærdet er lavest.


Kap. 9

9.3

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

29

Lineære differentialligninger af 2. orden med konstante koefficienter

Her behandles en type af differentialligninger, hvor den allerede gennemg˚ aede teori kan være behjælpelig med dele af løsningsmetoderne i dette emne. Vi har nemlig betragtet n-te ordens lineære differentialligninger i delkapitel (9.2.4), men kun de homogene ligninger. Vi skal nu betragte en inhomogen differentialligning af 2. orden, og den ser principielt s˚ aledes ud: x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t ∈ R, q : I → R

(9.138)

Løsningen af en s˚ adan differentialligning foreg˚ ar i to trin, som vi har set med andre inhomogene ligninger. Metode s9.12 (Struktur af den 2. ordens lineær differentialligning) Den fuldstændige løsning x(t) til den lineære differentialligning af 2. orden x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t ∈ R, q : I → R

(9.139)

kan vha. sætning (s9.2) opdeles to: 1. Den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning xhom (t), fx. bestemt vha. sætning (s9.13). 2. En partikulær løsning til den inhomogene ligning xinhom (t), fx. bestemt med et gæt. Strukturen af løsningen er da x(t) = xinhom (t) + xhom (t)

(9.140)

Eksempler p˚ a den fuldstændige løsning til den 2. ordens differentialligning er at finde sidst i kapitlet, efter at løsningerne til den homogene og inhomogene ligning er gennemg˚ aet.

9.3.1

Den homogene ligning

Vi betragter nu den homogene differentialligning af 2. orden med konstante koefficienter x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = 0, t ∈ R (9.141) Vi ønsker at bestemme den fuldstændige løsning til denne, primært fordi den er en del af den inhomogene ligning, som ses i sætning (s9.12). Her kommer nogle helt klare løsningsformer alt efter ligningens udseende.


Kap. 9

i

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

30

I delkapitel (9.2.4) gennemg˚ as teorien for, at omforme netop denne type differentialligning til et system af 1. ordens differentialligninger. Det er en absolut brugbar løsning. Systemet ville da se s˚ aledes ud:  0     x1 (t) 0 1 x1 (t) = (9.142) x02 (t) −a0 −a1 x2 (t) hvor x1 (t) = x(t) og x2 (t) = x01 (t) = x0 (t). Man kan da bruge den gennemg˚ aede teori til at løse problemet. Vi vil i dette delkapitel vise, hvordan man kan omg˚ a at skulle lave differentialligningen om til et system.

Sætning s9.13 (Homogen løsning) Den homogene differentialligning x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = 0,

t∈R

(9.143)

har den s˚ akaldte karakterligning λ2 + a1 λ + a0 = 0

(9.144)

Typen af rødder til denne ligning afgør udseendet af den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning. 1. To forskellige reelle rødder λ1 og λ2 giver løsningen xhom (t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t

(9.145)

2. To komplekse rødder λ = α ± βi giver den reelle løsning xhom (t) = c1 eαt cos(βt) + c2 eαt sin(βt)

(9.146)

3. Dobbeltroden λ giver løsningen xhom (t) = c1 eλt + c2 teλt

(9.147)

For alle tre tilfælde gælder at t ∈ R og c1 , c2 ∈ R. Bevis Den homogene 2. ordens lineære differentialligning (9.145) omformes et 1. ordens differentialligningsystem:  0       x1 (t) 0 1 x1 (t) x1 (t) = =A (9.148) x02 (t) −a0 −a1 x2 (t) x2 (t)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

31

hvor x1 (t) = x(t) er den søgte løsning. Bevisførelsen tager udgangspunkt i sætningerne og metoderne i delkapitlet om løsning af 1. ordens lineære differentialligningssystemer med struktursætningen (9.1.2). Til det skal man bruge egenværdierne til systemmatricen:

−λ 1

= λ2 + a1 λ + a0 = 0 (9.149) det(A − λE) =

−a0 −a1 − λ

Denne ligning kaldes karakterligningen tilhørende differentialligningen, og λ er egenværdier til differentialligningssystemet. Røddernes udseende i denne ligning er afgørende for løsningen x(t) = x1 (t), hvilket giver følgende tre delbeviser: Første delbevis Karakterligningen har to forskellige reelle rødder: λ1 og λ2 . Vha. metode (??) findes derved to lineært uafhængige løsninger x1 (t) = v1 eλ1 t og x2 (t) = v2 eλ2 t , hvor v1 og v2 er egenvektorerne tilhørende de to egenværdier respektivt. Den fuldstændige løsning er da (vha. sætning (??)) givet: x(t) = k1 x1 (t) + k2 x2 (t) = k1 eλ1 t v1 + k2 eλ2 t v2 ,

(9.150)

hvor k1 , k2 er arbitrære konstanter. Førstekoordinaten x1 (t) = x(t) er den søgte løsning: x1 (t) = x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t , (9.151) hvor c1 , c2 ∈ R er to nye indførte arbitrære konstanter og er produktet mellem k-konstanterne og egenvektorernes førstekoordinat: c1 = k1 v11 og c2 = k2 v21 . 

Andet delbevis ¯ = α−βi. Med metode Karakterligningen har det komplekse rodpar λ = α+βi og λ (??) og sætning (??) er den fuldstændige løsning x(t) = k1 x1 (t) + k2 x2 (t) = k1 eαt (cos(βt)Re(v) − sin(βt)Im(v)) + k2 eαt (sin(βt)Re(v) + cos(βt)Im(v)) = eαt cos(βt)(k1 Re(v) + k2 Im(v)) + eαt sin(βt)(−k1 Im(v) + k2 Re(v))

(9.152)

v er egenvektoren tilhørende λ og k1 , k2 er arbitrære konstanter. Førstekoordinaten x1 (t) = x(t) er den søgte løsning, og er med overst˚ aende givet ved x1 (t) = x(t) = c1 eαt cos(βt) + c2 eαt sin(βt),

(9.153)

hvor c1 , c2 ∈ R er to nye indførte arbitrære konstanter og er givet ved c1 = k1 Re(v1 ) + k2 Im(v1 ) og c2 = −k1 Im(v1 ) + k2 Re(v1 ). v1 er førstekoordinaten til v. 


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

32

Tredje delbevis Karakterligningen har dobbeltroden λ. Da det er et 2×2-system, er den geometriske multiplicitet af det tilhørende egenvektorrum 1, og man kan da bruge metode (??) og sætning (??) til at finde den fuldstændige løsning. x(t) = k1 x1 (t) + k2 x2 (t) = k1 eλt v + k2 (teλt v + eλt b) = eλt (k1 v + k2 b) + k2 teλt v

(9.154)

hvor v er egenvektoren tilhørende λ, b er løsning til ligningssystemet (A−λE)b = v og k1 , k2 er to arbitrære konstanter. Udtages førstekoordinaten, som er den søgte løsning, f˚ as x(t) = c1 eλt + c2 teλt , (9.155) hvor c1 , c2 ∈ R er to nye indførte arbitrære konstanter, givet ved c1 = k1 v1 + k2 b1 og c2 = k2 v1 , hvor v1 er førstekoordinaten i v, ligesom b1 er førstekoordinaten i b. 

Alle de tre forskellige tilfælde af rødder i karakterligningen er nu gennemg˚ aet og hele metoden er derfor bevist. Som det ses er de tre beviser enslydende som følger af, at det er den samme løsningsmetode, der er brugt. Læg mærke til, at det ogs˚ a er muligt at n˚ a frem til karakterligningen ved at gætte en løsning til differentialligningen med formen x(t) = eλt . Man f˚ ar da følgende:

i

x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = 0 ⇒ λ2 eλt + a1 λeλt + a0 eλt = 0

(9.156)

Divideres denne ligningen igennem med eλt , der er forskelligt fra nul for ethvert t, fremkommer karakterligningen. Det er i virkeligheden den konventionelle metode til at finde karakterligningen. 

Eksempel 9.xv (To reelle rødder) Givet er den homogene differentialligning x00 (t) + x0 (t) − 20x(t) = 0,

t∈R

(9.157)

med karakterligningen λ2 + λ − 20 = 0

(9.158)

Man ønsker at bestemme en funktion xhom (t), der er den fuldstændige løsning til differentialligningen. Karakterligningen har rødderne λ1 = −5 og λ = 4, da −5 · 4 = −20 og −(−5 + 4) = 1 er karakterligningens koefficienter. Derfor er den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning xhom (t) = c1 e−5t + c2 e4t ,

t∈R

(9.159)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

33

som er fundet vha. sætning (s9.13).

Maple Eksempel 9.xvi (Et komplekst rodpar) Givet er differentialligningen x00 (t) − 4x0 (t) + 53x(t) = 0,

t∈R

(9.160)

og vi ønsker at finde den fuldstændige løsning til denne homogene differentialligning vha. delvist simuleret h˚ andregning i Maple og sætning (s9.13). > difflig:=diff(x(t),t,t) - 4*diff(x(t),t) + 53*x(t) = 0; difflig := >

d d2 x (t) − 4 x (t) + 53 x (t) = 0 dt2 dt

x:=t->exp(lambda*t); x := t 7→ eλ t

>

difflig;

>

λ2 eλ t − 4 λ eλ t + 53 eλ t = 0 karaklign:=simplify(difflig/exp(lambda*t));

>

karaklign := λ2 − 4 λ + 53 = 0 solve(karaklign,lambda);

>

2 + 7 i, 2 − 7 i xh1:=t->exp(2*t)*cos(7*t);

>

xh1 := t 7→ e2 t cos (7 t) xh2:=t->exp(2*t)*sin(7*t);

> >

xh2 := t 7→ e2 t sin (7 t) xh:=t->c1*xh1(t)+c2*xh2(t): xh(t); c1 e2 t cos (7 t) + c2 e2 t sin (7 t)

Kontrol: >

diff(xh(t),t,t) - 4*diff(xh(t),t) + 53*xh(t); 0

Eksempel 9.xvii (En dobbeltrod) Givet er den homogene differentialligning af 2. orden med konstante koefficienter x00 (t) − 8x0 (t) + 16x(t) = 0,

t∈R

(9.161)

Vi ønsker at bestemme xhom , der er løsning til denne homogene differentialligning. Karakterligningen er λ2 − 8λ + 16 = 0 ⇔ (λ − 4)2 = 0 (9.162)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

34

Man har alts˚ a dobbeltroden λ = 4 og den fuldstændige løsning er xhom (t) = c1 e4t + c2 te4t ,

(9.163)

som er bestemt vha. sætning (s9.13).

9.3.2

Den inhomogene ligning

I dette afsnit ønsker vi at bestemme en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t ∈ R, q : I → R

(9.164)

Der er imidlertid ikke nogen konkret løsningsformel. Man er nødsaget til at bruge forskellige metoder, alt efter udseendet af q(t). Generelt kan man sige, at den partikulære løsning xinhom (t) har det samme udseende som q(t), hvilket det fremg˚ ar af følgende metoder. Metode s9.14 (q er et polynomium) En partikulær løsning xinhom (t) til den inhomogene differentialligning x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t∈R

(9.165)

hvor q er et n-te grads polynomium, er ogs˚ a et polynomium af højst grad n: xinhom (t) = bn tn + bn−1 tn−1 + . . . + b1 t + b0

(9.166)

hvor b0 , b1 , . . . , bn bestemmes ved indsættelse af udtrykket for xinhom (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Eksempel 9.xviii (q er et polynomium) Givet den inhomogene anden ordens differentialligning med konstante koefficienter x00 (t) − 3x0 (t) + x(t) = 2t2 − 16t + 25,

t∈R

(9.167)

Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning xinhom (t) til den inhomogene differentialligning. Da højresiden er et andengradspolynomium, er denne løsning ogs˚ a et polynomium af højst grad 2 (??), alts˚ a er xinhom (t) = b2 t2 + b1 t + b0

(9.168)

Koefficienterne bestemmes ved at indsætte udtrykket i differentialligningen og x0inhom (t) = 2b2 t + b1 og x00inhom (t) = 2b2 . 2b2 − 3(2b2 t + b1 ) + b2 t2 + b1 t + b0 = 2t2 − 16t + 25 ⇔

(9.169)

(b2 − 2)t2 + (−6b2 + b1 + 16)t + (2b2 − 3b1 + b0 − 25) = 0 ⇔

(9.170)

b2 − 2 = 0 ∧ −6b2 + b1 + 16 = 0 ∧ 2b2 − 3b1 + b0 − 25 = 0

(9.171)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

35

Den første ligning giver nemt b2 = 2, hvilket indsat i den anden ligning giver b1 = −4. Slutteligt giver dette i den sidste ligning, at b0 = 9. Derfor er en partikulær løsning til (??) xinhom (t) = 2t2 − 4t + 9, t ∈ R (9.172)

Metode s9.15 (q er en eksponentialfunktion) En partikulær løsning xinhom (t) til den inhomogene differentialligning x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t∈R

(9.173)

hvor q(t) = βeαt , α, β ∈ R, er ogs˚ a en eksponentialfunktion: xinhom (t) = γeαt ,

(9.174)

hvor γ bestemmes ved indsættelse af udtrykket for xinhom (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Bemærk at α ikke m˚ a være rod i differentialligningens karakterligning! Eksempel 9.xix (q er en eksponentialfunktion) Givet differentialligningen x00 (t) + 11x0 (t) + 5x(t) = −20e−t ,

t∈R

(9.175)

Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning xinhom (t) til differentialligningen. Ifølge metode (??) er en partikulær løsning givet ved xinhom (t) = γeαt = γe−t . Vi ved endnu ikke om α = −1 er rod i karakterligningen, men hvis det g˚ ar godt med at finde γ, er den ikke. Vi har x0inhom (t) = −γe−t og x00inhom (t) = γe−t , og dette indsættes i differentialligningen: γe−t + 11(−γe−t ) + 5γe−t = −20e−t ⇔ − 5γ = −20 ⇔ γ = 4 Det er alts˚ a lykkedes at bestemme γ, og derfor haves en partikulær løsning til differentialligningen: xinhom (t) = 4e−t , t ∈ R (9.176)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

36

Metode s9.16 (q er en sinus- eller cosinusfunktion) En partikulær løsning xinhom (t) til den inhomogene differentialligning x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t∈R

(9.177)

hvor q(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), har samme form: xinhom (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt),

(9.178)

hvor A og B bestemmes ved at indsætte af udtrykket for xinhom (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Eksempel 9.xx (q er en trigonometrisk funktion) Givet differentialligningen x00 (t) + x0 (t) − x(t) = −20 sin(3t) + 6 cos(3t),

t∈R

(9.179)

En partikulær løsning til differentialligningen ønskes bestemt. Vha. metode (??) er en partikulær løsning xinhom (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) = A sin(3t) + B cos(3t)

(9.180)

Vi har desuden x0inhom (t) = 3A cos(3t) − 3B sin(3t)

(9.181)

x00inhom (t) = −9A sin(3t) − 9B cos(3t)

(9.182)

Dette indsættes i differentialligningen. (−9A sin(3t) − 9B cos(3t)) + (3A cos(3t) − 3B sin(3t)) − (A sin(3t) + B cos(3t)) = −20 sin(3t) + 6 cos(3t) ⇔ (−9A − 3B − A + 20) sin(3t) + (−9B + 3A − B − 6) cos(3t) = 0 ⇔ −9A − 3B − A + 20 = 0 ∧ −9B + 3A − B − 6 = 0(9.183) 3 B + 2 fra den første ligning i Dette er to ligninger med to ubekendte. Indsættes A = − 10 den anden f˚ as „ « 3 9 −9B + 3 − B + 2 − B − 6 = 0 ⇔ −10B − B=0⇔B=0 (9.184) 10 10

Af dette f˚ as A = 2, og en partikulær løsning til differentialligningen er da xinhom (t) = 2 sin(3t),

t∈R

(9.185)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

37

Metode s9.17 (q er en eksponentialfunktion og eksponenten er rod i karakterligningen) En partikulær løsning xinhom (t) til den inhomogene differentialligning x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t∈R

(9.186)

hvor q(t) = βeλt , β ∈ R og λ er rod i differentialligningens karakterligning, har følgende form: xinhom (t) = γteλt , (9.187) hvor γ bestemmes ved indsættelse af udtrykket for xinhom (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Eksempel 9.xxi (q er en ”uheldig” eksponentialfunkion) Givet differentialligningen x00 (t) − 7x0 (t) + 10x(t) = −3e2t ,

t∈R

(9.188)

Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning til differentialligningen. Vi prøver først at bruge metode (??) og gætter p˚ a en løsning af formen xinhom (t) = γeαt = γe2t . Man har 0 2t 00 da xinhom (t) = 2γe og xinhom (t) = 4γe2t , hvilket ved indsættelse i differentialligningen giver 4γe2t − 7 · 2γe2t + 10γe2t = −3e2t ⇔ 0 = −3 (9.189) Det ses at γ ikke optræder i den sidste ligning, og at ligningen for det andet er helt forkert. Derfor m˚ a α = λ være rod i det karakterligningen. Karakterligningen ser s˚ aledes ud: λ2 − 7λ + 10 = 0

(9.190)

Denne andengradsligning har rødderne 2 og 5, da 2 · 5 = 10 og −(2 + 5) = −7. Det passer alts˚ a at α = 2 er rod. Pga. overst˚ aende bruges nu metode (??), og vi gætter p˚ a en løsning af formen xinhom (t) = γteλt = γte2t . Man har da x0inhom (t) = γe2t + 2γte2t x00inhom (t)

2t

= 2γe

+ 2γe

2t

(9.191) + 4γte

2t

2t

= 4γe

2t

+ 4γte

(9.192)

Dette indsættes i differentialligningen for at bestemme γ. 4γe2t + 4γte2t − 7(γe2t + 2γte2t ) + 10γte2t = −3e2t ⇔ (4γ − 14γ + 10γ)t + (4γ − 7γ + 3) = 0 ⇔ γ=1

(9.193)

Det er alts˚ a nu lykkedes at finde γ, og derfor er en partikulær løsning til differentialligningen xinhom (t) = te2t , t ∈ R (9.194)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

38

Superpositionsprincippet Inden for alle typer af lineære differentialligninger findes konceptet superpositionsprincippet. Vi gennemg˚ ar det her for anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Superpositionsprincippet bruges her til at bestemme en partikulær løsning til differentialligningen, n˚ ar højresiden (q(t)) er en kombination af flere typer af funktioner, fx. en sinusfunktion lagt sammen med et polynomium. Vi formulerer herunder en sætning og et eksempel følger. Sætning s9.18 (Superpositionsprincippet) Hvis xinhomi (t) er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = qi (t)

(9.195)

for ethvert i = 1, . . . , n, er xinhom (t) = xinhom1 (t) + xinhom2 (t) + . . . + xinhomn (t)

(9.196)

en partikulær løsning til x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t) = q1 (t) + q2 (t) + . . . + qn (t)

(9.197)

Alle funktioner er kontinuerte i et interval I. Dette kaldes superpositionsprincippet og er gældende indenfor alle typer lineære differentialligninger. Bevis xinhomi er løsning til differentialligningen x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = qi (t)

(9.198)

for i = 1 . . . n. Vi indfører funktionen xinhom = xinhom1 + xinhom2 + . . . + xinhomn

(9.199)

Denne har de to første afledede x0inhom = x0inhom1 + x0inhom2 + . . . + x0inhomn x00inhom

=

x00inhom1

+

x00inhom2

+ ... +

x00inhomn

(9.200) (9.201)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

39

Dette indsættes i venstresiden af differentialligningen. x00inhom + a1 x0inhom + a0 xinhom = x00inhom1 + x00inhom2 + . . . + x00inhomn + a1 (x0inhom1 + x0inhom2 + . . . + x0inhomn ) + a0 (xinhom1 + xinhom2 + . . . + xinhomn ) = (x00inhom1 + a1 x0inhom1 + a0 xinhom1 ) + (x00inhom2 + a1 x0inhom2 + a0 xinhom2 ) + . . . + (x00inhomn + a1 x0inhomn + a0 xinhomn ) = q1 + q2 + . . . + qn = q

(9.202)

Man f˚ ar p˚ a højresiden en sum af funktionerne q1 , q2 , . . . , qn , som kaldes for q. Sætningen er da bevist. 

Eksempel 9.xxii (Brugen af superpositionsprincippet) Givet differentialligningen x00 (t) − x0 (t) − 3x(t) = 9e4t + 3t − 14,

t∈R

(9.203)

Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning til differentialligningen. Det ses, at højresiden er en kombination af en eksponentialfunktion (q1 (t) = 9e4t ) og et polynomium (q2 (t) = 3t − 14). Derfor bruges superpositionsprincippet (s9.18) og differentialligningen opsplittes i to mindre. x00 (t) − x0 (t) − 3x(t) = 9e4t = q1 (t)

(9.204)

x00 (t) − x0 (t) − 3x(t) = 3t − 14 = q2 (t)

(9.205)

Først behandles (??), og dertil skal vi bruge metode (??). En partikulær løsning er da af formen xinhom1 (t) = γeαt = γe4t . Man har x0inhom1 (t) = 4γe4t og x00inhom1 (t) = 16γe4t . Dette indsættes i ligningen. 16γe4t − 4γe4t − 3γe4t = 9e4t ⇔ γ = 1

(9.206)

Derfor er xinhom1 (t) = e4t . Nu behandles (??), og en partikulær løsning er et polynomium af højst grad 1 jf. metode (??), alts˚ a er xinhom2 (t) = b1 t + b0 . Derfor er x0inhom2 (t) = b1 og x00inhom2 (t) = 0. Dette indsættes i differentialligningen. 0 − b1 − 3(b1 t + b0 ) = 3t − 14 ⇔ (−3b1 − 3)t + (−b1 − 3b0 + 14) = 0

(9.207)

Dette er to ligninger med to ubekendte, og man har, at b1 = −1, og derfor er b0 = 5. Alts˚ a er en partikulær løsning xinhom2 (t) = −t + 5. Den samlede partikulære løsning til (??) er da givet som summen af de to allerede fundne partikulære løsninger til de to opslittede ligninger. xinhom (t) = xinhom1 (t) + xinhom2 (t) = e4t − t + 5, t ∈ R (9.208)


Kap. 9

9.3.3

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

40

Eksistens og entydighed

Der formuleres her en sætning om eksistens og entydighed uden et bevis for differentialligninger af 2. orden med konstante koefficienter. Da man har behov for to randværdibetingelser, men der kun optræder en funktion, bruges funktionens afledede ofte til at lave den anden randværdibetingelse. Sætning s9.19 (Eksistens og entydighed) Til enhver vektor (t0 , x0 , v0 ) (dobbelt randværdibetingelse), findes netop ´en løsning xbet (t) til differentialligningen x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = q(t),

t ∈ R, q : I → R

(9.209)

s˚ a xbet (t0 ) = x0

og

x0bet (t0 ) = v0 ,

(9.210)

og hvor t0 ∈ I, x0 ∈ R og v0 ∈ R. Eksempel 9.xxiii (To reelle rødder og entydighed) Givet differentialligningen x00 (t) − 5x0 (t) − 36x(t) = 0,

t∈R

(9.211)

der er homogen. Den har karakterligningen λ2 − 5λ − 36 = 0

(9.212)

Man ønsker at bestemme en funktion xbet (t), der er løsning til differentialligningen og har randværdibetingelsen (t0 , x0 , v0 ) = (0, 5, 6). Denne ligning har rødderne λ1 = −4 og λ = 9, da −4 · 9 = −36 og −(9 + (−4)) = 5 er ligningens koefficienter. Derfor er den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning (vha. sætning (s9.13)) xhom (t) = c1 e−4t + c2 e9t

(9.213)

x0hom (t) = −4c1 e−4t + 9c2 e9t

(9.214)

Derfor haves x0bet (0)

Indsættes randværdibetingelsen (xbet (0) = 5 og løse for (c1 , c2 ). 5 = c1 + c2 6 = −4c1 + 9c2

= 6) i de to ligninger, kan man (9.215)

da e0 = 1. Indsættes c2 = 5 − c1 i den anden ligning f˚ as 6 = −4c1 + 9(5 − c1 ) = −13c1 + 45 ⇔ c1 =

6 − 45 =3 −13

(9.216)

Derfor er c2 = 5 − 3 = 2 og løsningen er: xbet (t) = 3e−4t + 2e9t ,

t∈R

(9.217)


Kap. 9

i

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

41

Læg mærke til, at man godt kan bestemme en entydig og betinget løsning til en homogen differentialligning, som i dette tilfælde. Den fuldstændige løsning til differentialligningen er nemlig xhom (t), da xinhom (t) = 0.

Eksempel 9.xxiv (Inhomogen ligning og entydighed) Givet differentialligningen x00 (t) + 6x0 (t) + 5x(t) = 20t2 + 48t + 13,

t∈R

(9.218)

Den fuldstændige løsning x(t) ønskes i første omgang bestemt. Derefter skal den betingede løsning xbet (t) med randværdibetingelserne (t0 , x0 , v0 ) = (0, 5, −8) bestemmes. Først løses den homogene differentialligning, og karakterligningen ser s˚ aledes ud: λ2 + 6λ + 5 = 0

(9.219) 2

Denne har rødderne λ1 = −5 og λ2 = −1, da (λ + 5)(λ + 1) = λ + 6λ + 5. Da disse rødder er reelle og forskellige (s9.13) er den fuldstændige homogene løsning givet ved xhom (t) = c1 e−5t + c2 e−t

(9.220)

Nu bestemmes en partikulær løsning til den inhomogene ligning. Da højresiden er et andengradspolynomium gættes p˚ a, at xinhom (t) = b2 t2 + b1 t + b0 , vha. (??). Man har da, 0 00 at xinhom (t) = 2b2 t + b1 og xinhom (t) = 2b2 . Dette indsættes i differentialligningen. 2b2 + 6(2b2 t + b1 ) + 5(b2 t2 + b1 t + b0 ) = 20t2 + 48t + 13 ⇔ (5b2 − 20)t2 + (12b2 + 5b1 − 48)t + (2b2 + 6b1 + 5b0 − 13) = 0 ⇔ 5b2 − 20 = 0 ∧ 12b2 + 5b1 − 48 = 0 ∧ 2b2 + 6b1 + 5b0 − 13 = 0

(9.221)

Den første ligning giver nemt b2 = 4. Indsættes det i den anden ligning f˚ as ved lidt hovedregning b1 = 0. Til sidst i den tredje ligning f˚ ar man b0 = 1. En partikulær løsning til den inhomogene differentialligning er derfor xinhom (t) = 4t2 + 1

(9.222)

Ifølge struktursætningen, fx (s9.12), er den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning givet ved x(t) = xhom (t) + xinhom (t) = c1 e−5t + c2 e−t + 4t2 + 1

(9.223)

For at bestemme den betingede løsning (vha. (??)) findes den afledede til x først. x0 (t) = −5c1 e−5t − c2 e−t + 8t,

t∈R

(9.224)

Indsættes xbet (0) = 5 og x0bet (0) = −8 f˚ as de to ligninger 5 = c1 + c2 + 1 −8 = −5c1 − c2

(9.225)

Indsættes c1 = 4 − c2 fra den første ligning i den anden f˚ as −8 = −5(4 − c2 ) − c2 ⇔ −8 + 20 = 4c2 ⇔ c2 = 3

(9.226)


Kap. 9

9.3. Lineære differentialligninger af 2. orden

42

Det giver c1 = 1, og den betingede løsning er xbet (t) = e−5t + 3e−t + 4t2 + 1,

i

t∈R

(9.227)

I dette kursus beskæftiger vi os ikke med systemer af 2. ordens homogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Det skal dog tilføjes at vi allerede med den gennemg˚ aede teori og lidt snilde kan løse s˚ adanne problemer. Haves et system af 2. ordens homogene differentialligninger kan man betragte hver differentialligning for sig. Vha. delkapitlet (9.2.4) kan man omforme en s˚ adan ligning til 2 ligninger af 1. orden. Gøres det med alle differentialligningerne i systemet, ender man op med dobbelt s˚ a mange differentialligninger, nu af 1. orden. Dette nye system kan vi nemt løse med den gennemg˚ aede teori i (9.2). Systemer af 2. ordens homogene lineære differentialligninger findes mange steder i mekanisk fysik.

MatBog test  

test af dokumentet

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you