Page 1

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI

P RZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE M ATURA 2010 POZIOM ROZSZERZONY I NFORMATOR CKE

1. Wykorzystanie i tworzenie informacji Z ADANIE 1 p p √ √ 2 Oblicz 2− 3− 2+ 3 . Z ADANIE 2 Miary dwóch katów ˛ trójkata ˛ wynosza˛ π6 i π5 . Oblicz miar˛e trzeciego kata. ˛ Odpowied´z podaj w stopniach. Z ADANIE 3 Dane jest równanie sin x = a2 + 1, z niewiadoma˛ x . Wyznacz wszystkie warto´sci parametru a, dla których dane równanie nie ma rozwiaza ˛ n. ´ Z ADANIE 4   dla x < −5 x + 5 Wyznacz miejsca zerowe funkcji f ( x ) = − x + 2 dla −5 6 x < 5   x−6 dla x > 5.

2. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Z ADANIE 5 Rozwia˛z˙ równanie log5 (log4 (log2 x )) = 0. Z ADANIE 6 Funkcja f jest okre´slona wzorem f ( x ) = Rozwia˛z˙ nierówno´sc´ f ( x ) > f (2 − x ).

1 x +1

− 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x 6= −1.

Z ADANIE 7 Narysuj wykres funkcji f okre´slonej w przedziale h−2, 2i wzorem a) f ( x ) = 2x − 1, b) f ( x ) = 2x−1 . Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 1


www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 8 Pole wycinka koła o promieniu 3 cm jest równe 2 cm2 . Oblicz miar˛e łukowa˛ kata ˛ s´ rodkowego tego wycinka. Z ADANIE 9 Punkty A = (1, 1), B = (5, 5), C = (3, 5) sa˛ wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD nieb˛edacego ˛ równoległobokiem, w którym AB k CD. a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu. b) Oblicz pole tego trapezu. Z ADANIE 10 ˙ ˙ Na okr˛egu zaznaczono sze´sc´ róznych punktów. Ile róznych wielokatów ˛ wypukłych o wszyst˙ kich wierzchołkach w tych punktach mozna narysowa´c? Z ADANIE 11 Dla jakich warto´sci parametru m reszta z dzielenia wielomianu x17 − mx15 + (m − 2) x10 + 2x + m2 − 2 przez dwumian x − 1 jest równa 3? Z ADANIE 12 Wyznacz równanie okr˛egu o s´ rodku A = (2, 3), stycznego do prostej o równaniu x − 2y + 1 = 0.

3. Modelowanie matematyczne Z ADANIE 13 Niech A b˛edzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniaja˛ równo´sc´ | x − 1| + | x − 3| = 2. Niech B b˛edzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległo´sci od punktów 4 i 6 jest niewi˛eksza niz˙ 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które nalez˙ a˛ jednocze´snie do A i do B. Z ADANIE 14 ˙ przedział (− 32 ; 0) jest zbiorem wszystkich rozwiaza Wiedzac, ˛ ze ˛ n´ nierówno´sci wiadoma˛ x, oblicz m.

2 x

< m z nie-

Z ADANIE 15 Rozpatrujemy wszystkie prostokaty ˛ o polu równym 6, których dwa sasiednie ˛ boki zawarte sa˛ w osiach Ox i Oy układu współrz˛ednych. Wyznacz równanie krzywej b˛edacej ˛ zbio˙ rem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokatów, ˛ które nie lez˙ a˛ na zadnej z osi układu współrz˛ednych. Narysuj t˛e krzywa.˛ Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 2


www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 16 Miary pi˛eciu katów ˛ tworza˛ ciag ˛ arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciagu ˛ jest 150◦ , a ◦ czwartym 270 . Oblicz sum˛e sinusów tych pi˛eciu katów. ˛ Z ADANIE 17 Dane jest równanie x2 + (3m − 2) x = −m − 2 z niewiadoma˛ x. Sformułuj warunki, jakie ˙ pierwiastki, których suma powinien spełnia´c parametr m, by to równanie miało dwa rózne odwrotno´sci jest dodatnia. Z ADANIE 18 ˙ sa˛ one dodatnie, ich suWyznacz pierwsze trzy wyrazy ciagu ˛ geometrycznego wiedzac, ˛ ze 7 ma jest równa 21 oraz suma ich odwrotno´sci jest równa 12 . Z ADANIE 19 ˙ Z szuflady, w której znajduje si˛e 10 róznych par r˛ekawiczek wybieramy losowo cztery r˛ekawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzen´ elementarnych, a nast˛epnie oblicz prawdopodobienstwa ´ zdarzen: ´ A – w´sród wylosowanych r˛ekawiczek nie b˛edzie pary, B – w´sród wylosowanych r˛ekawiczek b˛edzie dokładnie jedna para.

4. Uz˙ ycie i tworzenie strategii Z ADANIE 20 Wyznacz wszystkie warto´sci parametru p, dla których równanie | x − 2| + | x + 3| = p ma dokładnie dwa rozwiazania. ˛ Z ADANIE 21

˙ ze ˙ dla a ∈ (2, 3) zachodzi równo´sc´ Wykaz,

a2 −6a+9 3− a

+

a2 −4a+4 a −2

= 2.

Z ADANIE 22 Dane jest równanie x2 + bx + c = 0 z niewiadoma˛ x. Wyznacz warto´sci b oraz c tak, by były one rozwiazaniami ˛ danego równania. Z ADANIE 23 Dane sa˛ funkcje liniowe g i h okre´slone wzorami: g( x ) = ax + b i h( x ) = bx + a. Wiadomo, ˙ funkcja g jest rosnaca, ze ˛ a h malejaca. ˛ a) Wyznacz pierwsza˛ współrz˛edna punktu przeci˛ecia wykresów tych funkcji. ˙ wykresy funkcji g i h sa˛ prostymi prostopadłymi, a punkt b) Oblicz liczby a i b wiedzac, ˛ ze ˙ na osi Ox. ich przeci˛ecia lezy

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 3


www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 24 ˙ dla kazdej ˙ Dany jest ciag ˛ ( an ) majacy ˛ t˛e własno´sc´ , ze liczby naturalnej n suma n poczat˛ 1 2 kowych wyrazów tego ciagu ˛ jest równa 2 (7n − n). Oblicz dwudziesty wyraz tego ciagu. ˛ ˙ ˙ Wykaz, ze ( an ) jest ciagiem ˛ arytmetycznym. Z ADANIE 25 Proste zawierajace ˛ ramiona BC i DA trapezu ABCD √ przecinaja˛ si˛e w punkcie S. Dane sa:˛ AB = 6, CD = 2 oraz obwód trójkata ˛ SCD równy 18. Oblicz obwód trójkata ˛ SAB. Z ADANIE 26 W pewnym trapezie katy ˛ przy dwóch przeciwległych wierzchołkach maja˛ miary α oraz ˙ e długo´sci podstaw tego 90◦ + α. Jedno z ramion tego trapezu ma długo´sc´ t. Wyznacz róznic˛ trapezu. Z ADANIE 27 Czworokat ˛ ABCD jest wpisany w okrag. ˛ Dane sa˛ | BC | = a, |CD | = b, |] DAB| = α. Wyznacz długo´sc´ przekatnej ˛ BD. Z ADANIE 28 Podstawa˛ ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długo´sci 4. Odcinek DS jest wysoko´scia˛ ostrosłupa i ma długo´sc´ 6. Punkt M jest s´ rodkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzna˛ BCM. Z ADANIE 29 Ze zbioru liczb {1, 2, . . . , 2n + 5} wybieramy jednocze´snie dwie liczby. Na ile sposobów mo˙ ˙ zemy to zrobi´c, tak aby otrzyma´c dwie liczby takie, ze: ˙ a) ich róznica b˛edzie liczba˛ parzysta,˛ b) suma ich kwadratów b˛edzie liczba˛ podzielna˛ przez cztery? Z ADANIE 30 Narysuj przekrój równoległo´scianu płaszczyzna˛ PQR.

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 4


www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 31 ˙ dla sum cz˛es´ ciowych pewnego ciagu Wiedzac, ˛ ze ˛ geometrycznego o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równo´sc´ S14 = 5 · S7 , oblicz iloraz tego ciagu. ˛

5. Rozumowanie i argumentacja Z ADANIE 32 Wielomian f jest okre´slony wzorem f ( x ) = ax4 − 9x3 + 3x2 + 7x + b dla pewnych liczb pierwszych a oraz b. Wiadomo, ze liczba 23 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz a i b. Z ADANIE 33 ˙ dla dowolnej liczby całkowitej m rozwiazania Uzasadnij, ze ˛ równania x2 + mx + m − 1 = 0 z niewiadoma˛ x sa˛ liczbami całkowitymi. Z ADANIE 34 Funkcja g jest okre´slona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w nast˛epujacy ˛ sposób: je´sli x ∈ hk, k + 1) dla pewnej liczby całkowitej k, to g( x ) = kx − k − 1. a) Narysuj wykres funkcji g w przedziale h−2, 0). ˙ funkcja g nie ma miejsc zerowych. b) Uzasadnij, ze c) Rozwia˛z˙ równanie g( x ) = 2010. Z ADANIE 35 ˙ ze ˙ jezeli ˙ liczby b, c, 2b − a sa˛ kolejnymi wyrazami ciagu Wykaz, ˛ geometrycznego to liczby ab, b2 , c2 sa˛ kolejnymi wyrazami ciagu ˛ arytmetycznego. Z ADANIE 36 ˙ ze ˙ wyrazenie ˙ Wykaz,

− cos 2x sin x cos x

˙ = tg x + tg1x nie jest tozsamo´ scia.˛

Z ADANIE 37 ˙ okr˛egi wpisane w trójkaty Dany jest taki czworokat ˛ wypukły ABCD, ze ˛ ABC i ADC sa˛ ˙ ˙ ˙ styczne. Wykaz, ze w czworokat ˛ ABCD mozna wpisa´c okrag. ˛ Z ADANIE 38 Dane sa˛ punkty A = (2, 3) i B = (5, 4). Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejsza˛ długo´sc´ . Odpowied´z uzasadnij. Z ADANIE 39 Trójkat ˛ ABC jest podstawa˛ ostrosłupa ABCS. Punkt M jest s´ rodkiem boku AB i | AM | = ˙ ze ˙ kat | MC |. Odcinek AS jest wysoko´scia˛ tego ostrosłupa. Wykaz, ˛ SCB jest prosty. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 5


www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 40

√ Podstawa˛ ostrosłupa ABCDS jest prostokat ˛ ABCD, w którym AB = 1, BC = 2. Wszystkie kraw˛edzie boczne tego ostrosłupa maja˛ długo´sc´ 1. Wyznacz warto´sc´ dowolnej funkcji trygonometrycznej kata ˛ mi˛edzy dwiema sasiednimi ˛ s´ cianami bocznymi tego ostrosłupa. Z ADANIE 41 Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej (ocenionego w sze´sciostopniowej skali ocen).

liczba osób s´ rednia ocen odchylenie standardowe

Dziewcz˛eta 11 4,0 1,1

Chłopcy 14 3,8 1,8

Oblicz s´ rednia˛ ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla całej klasy. Wyniki podaj z zaokragleniem ˛ do dwóch miejsc po przecinku.

Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 6

Zbior cke poziom rozszerzony  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you