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INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P. CALCULO SEMESTRE A ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT

INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.

ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT GRADO: 3° GRUPO: C

PROFESORA: OFELIA MERCEDES VALLADARES IZQUIERDO

CÁLCULO SEMESTRE A


INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P. CALCULO SEMESTRE A ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT

CICLO ESCOLAR: 2013-014

CÁLCULO S e m e s t r e

A

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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT GRADO: 3° GRUPO: C

PROFESORA: Ofelia Mercedes Valladares Izquierdo

CÁLCULO


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Portafol i o D i g i t a l RELACIONES Y FUNCIONES SEMESTRE P RA

P

A R

I

M E R C I A L

CICLO ESCOLAR: 2013-014


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ÍNDICE · Relaciones y Funciones · Evaluación de Funciones · Tipos de Función · Operaciones con Funciones · Guía de examen


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LÍMITES S

E

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G U R C

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ÍNDICE · Función por partes · Casos de limites · Aplicación de la definían de limite de una función y sus propiedades · Limites en el infinito · Guía de examen


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Introducción al Cálculo Diferencial

Tercer Parcial


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ÍNDICE · Limites de funciones exponenciales · Razón de cambio promedio · Razón de Cambio Instantáneo · Derivada de funciones


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CALCULO INTEGRAL Cuarto Parcial


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ÍNDICE · Trabajo Especial


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Institución de Enseñanza Iberoamericano

Marquez Jorge Monserrat 3° C Profesora: Ofelia Mercedes Izquierdo Valladares

Cálculo

TRABAJO ESPECIAL Ciclo Escolar: 2013-2014

Semestre A


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Introducción Posteriormente en base a este trabajo se podrá observar temas precisos que van acorde a todo lo que hemos estado viendo en el transcurso del semestre, donde al ser investigados se podrán analizar funciones expresadas en infinidad de maneras. Máximos y Mínimos un tema importante dentro de esta área, considero en su totalidad, pues se aplican las derivadas, podremos entender que dentro de nuestra área de salud no abordaremos este tema a diferencia de otras carreras, sin embargo el dominar un poco el tema y ser conocedor del formara parte de nuestra vida, teniendo en cuenta que podremos ayudar a alguien en caso de una duda, entendemos que no tanto como un ingeniero sin embargo sabremos defendernos. En base al tema como ya sabemos, la utilización de ecuaciones y variables serán como nuestros amigos, pues no habrá momento en el que no aparezcan en estos casos, por lo tanto es fundamental que se preste total atención, al leer los datos y analizar la función a maximizar o minimizar, así mismo de entender los diferentes conceptos, y si es necesario buscar diferentes graficas para que el dominio de este sea más práctico, como se mostrara más adelante. Por otra parte, encontraremos una sección con el nombre de puntos de inflexión y concavidad, para lo cual no hay ciencia alguna ni complejidad, podrá ser que en la resolución de los problemas si, sin embargo la relación de un tema con otro van de la mano pues te explicara a detalle el cómo sacar los puntos de dichas curvas formadas en las graficas.


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Índice Pág. 6 - 7

Máximo Y Mínimo De Una Función

Pág. 7 - 9

Ejemplos

Pág. 10

Puntos de Inflexión Y Concavidad De La Curva

Pág. 10 - 12

Ejemplos

Pág. 13

Conclusión y Bibliografías


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Máximo Y Mínimo De Una Función Máximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo


INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P. CALCULO SEMESTRE A ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f (b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Cálculo de los máximos y mínimos relativos f (x) = x3 − 3x + 2 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = −1 x = 1. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. f''(x) < 0 Tenemos un máximo. f''(x) = 6x f’’ (−1) = −6 Máximo f'' (1) = 6 Mínimo 3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f (1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

EJEMPLOS 1. f (x ) = x 3 − 3x + 2 2

f'(x) = 3x − 3 = 0 x=−1 x=1 Candidatos a extremos: − 1 y 1.


INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P. CALCULO SEMESTRE A ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT f''(x) = 6x f’’ (−1) = −6 < 0 Máximo f’’ (1) = 6 > 0 Mínimo 3 f ( − 1 ) = (−1) − 3(−1) + 2 = 4 f ( 1 ) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 M á x i m o (− 1 , 4 ) Mí n i m o ( 1 , 0 )

2 . f (x ) = 3x − x 3 f'(x) = 3 − x2 f'(x) = 0 x= -1 x= 1 Candidatos a extremos: − 1 y 1. f"(8x) = -6x f"(− 1) = 6 > 0 Mí n i m o f"(1) = − 6 < 0 M á x i mo f ( − 1 ) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f ( 1 ) = 3 · 1 − 1³ = 2 M á x i m o (− 1 , − 2 ) M í n i mo ( 1, 2 )

3. f(x)= x4 – 8x2+ 3 f'(x) = 4x3 – 16x x= -2 x= 0

4x3 – 16x = 0 x=2

Candidatos a extremos: − 2 , 0 y 2 . f''(x) = 12x2 – 16

f ( − 2 ) = (−2)4 − 8 · (− 2)² + 3 = − 1 3 f ( 0 ) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3 4 f ( 2 ) = 2 − 8 · 2² + 3 = − 1 3 M á x i m o s : (− 1 , − 1 3 ), ( 2 , − 1 3 ) Mí n i m o ( 0 , 3 ) 4. f(x)=x4-2x2-1 su derivada f'(x)=4x3-4x y la derivada segunda f''(x)=12x2-4 Para calcular los extremos relativos hemos de:


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Resolver la ecuación: f'(x)=4x -4x=0 Soluciones: x=-1, x=0, x=-1 Calcular el signo de la segunda derivada en estos valores x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0 mínimo en (-1,-2) x=0, f'(x)=0, f''(x) <0 máximo en (0,-1) x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0 mínimo en (1,-2) 5. Nuevamente conviene graficar para visualizar el enunciado del problema. La figura 11.3 lo muestra. La recta tangente T está formando un ángulo α = 50 grados con la horizontal, se desea saber cuáles son las coordenadas del punto P en donde pega dicha recta con la parábola. Derivando y = x2 − 4x + 6: dy 2x 4 dx =− y como la derivada es la tangente (trigonométrica) del ángulo que forma la recta tangente P(x, y) a la curva, entonces dy 2x 4 tan 50 α = 50 dx =−= Esto es 2x - 4 = tan 50 2x - 4 = 1.19175 2x = 1.19175 + 4 2x = 5.19175 5 19175 2 x =. x = 2.59 Como se dijo que las variables x e y que aparezcan en la derivada son las coordenadas del punto de tangencia, significa que este valor de x pertenece a la parábola; por lo tanto, sustituyendo en su ecuación se obtiene el valor de la ordenada (y) del punto de tangencia P. Así que sustituyendo en y = x2 − 4x + 6 el valor de x = 2.59 se obtiene: ( )2 ( ) y = 2.59 − 4 2.59 + 6 y = 6.7081 −10.36 + 6 y = 2.34 Las coordenadas del punto pedido son: P(2.59 ; 2.34)


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Puntos de Inflexión Y Concavidad De La Curva · Una función f(x) no lineal se dice que es convexa en un intervalo si f'' (x) ³ 0 en todo punto de dicho intervalo. Por la primera propiedad de las funciones derivables, esto significa que f'(x) es una función creciente en ese intervalo. Basta recordar el significado de la derivada para concluir que las pendientes de las tangentes a la curva en los puntos de abscisa del citado intervalo aumentan según se avanza de izquierda a derecha, por el eje de abscisas. Es claro que en una función convexa las tangentes a la curva quedan por debajo de ésta. · Una función f(x) se dice que es cóncava en un intervalo si f'' (x) £ 0 en todo punto de él. Por la segunda propiedad de las funciones derivables, es tanto como decir que la función f'(x) es decreciente, o lo que es equivalente, las pendientes de las tangentes a la curva disminuyen al recorrer de izquierda a derecha los puntos de abscisa del intervalo considerado. En una tal función las tangentes a la curva quedan por encima de ésta. · La gráfica de una función f(x) tiene un punto de inflexión en un punto de abscisa a, si en el punto (a,f(a)) la curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.

¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión? Puesto que una función es convexa cuando f'' (x) ³ 0 y cóncava si f'' (x) £ 0, y el punto de inflexión separa una concavidad de una convexidad, en él la segunda derivada, si existe, necesariamente ha de ser nula. Por tanto, si en a hay un punto de inflexión, f''(a) = 0. Sin embargo, hay puntos en los que la derivada segunda es cero sin que existan puntos de inflexión en ellos. EJEMPLOS

1. Resolución:


INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P. CALCULO SEMESTRE A ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT · Igualando a cero la segunda derivada y teniendo en cuenta que una fracción es cero cuando su numerador es cero,

· Puesto que el denominador es positivo, f''(x) es positivo cuando el numerador sea positivo, y negativo si el numerador es negativo.

pues para h < 1, 3h < 3 y 2

3,46, por lo que 3h - 2

2. Hallar los puntos de inflexión de: f(x) = x3 − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión. 3 f (0) = (0) − 3(0) + 2 = 2

<0


INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P. CALCULO SEMESTRE A ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Punto de inflexión: (0, 2)

3.

4.

.

5. Pu n to s d e i n fl e x i ó n en los puntos en que ésta pasa d e c ó n c a v a a c o n v e x a o viceversa.


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Hay un p u n to d e i n fl e x i ó n en x = 0, ya que la función pasa de convexa a cóncava.

Conclusión La aplicación de estos diversos temas podrán parecer complejos y difíciles de entender, en cambio el graficar y expresar las diversas curvas para saber si es mínimo tan solo se debe guiar en base a un punto de referencia, refiriéndose en base al dominio de dicho ejemplo, en cambio al resolver un ejemplo mediante ecuaciones podrá no parecer sencillo sin embargo, si se hace paso a paso lo que se pide o te basas en algún ejemplo su resolución será mucho más fácil pues te estás apoyando y basándote de algo que ya es correcto, en si podemos decir con seguridad que estos temas no son complejos si uno se dedica a analizarlos e irlos enlazando con otros pues para entenderle a todo esto se puede partir desde una simple grafica que nos enseñaron a realizar en primaria, ya tan solo lo que podremos complicarnos en general, es en base a las formulas y su despeje de estas, pero concluyendo en si son temas que nos dejan con miedo, pero en su totalidad como grupo terminamos comprendiéndolo todo gracias a una buena clase, que llevamos parcial con parcial.


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Bibliografía · · · · · ·

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html http://www.vitutor.com/fun/5/x_e.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/ max_min_2.htm http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf

· · · · ·

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/concavyc.htm http://www.vitutor.com/fun/5/c_11.html http://www.vitutor.net/1/inflexion.html http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf http://www.matematicaparatodos.com/SEXTO/6_10modelos.pdf


Monse