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MATHEMATICS Learner’s Study and Revision Guide for Grade 12 TRANSFORMATIONS 

  

 

 

 

 

Revision Notes, Exercises and Solution Hints  by 

Roseinnes Phahle    Examination Questions by the Department of Basic Education 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

Contents  Unit 15 Revision notes    

 

 

 

Examination questions with solution hints and answers   

 

 

More questions from past examination papers   

 

 

 

Answers 

 

 

 

18 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

How to use this revision and study guide 1. Study the revision notes given at the beginning. The notes are interactive in that in some parts you  are required to make a response based on your prior learning of the topic in class or from a textbook.  2. “Warm‐up” exercises follow the notes. Some exercises carry solution HINTS in the answer section. Do  not read the answer or hints until you have tried to work out a question  and are having difficulty.  3. The notes and exercises are followed by questions from past examination papers.  4. The examination questions are followed by blank spaces or boxes inside a table. Do the working out  of the question inside these spaces or boxes.  5. Alongside the blank boxes are HINTS in case you have difficulty solving a part of the question. Do not  read the hints until you have tried to work out the question and are having difficulty.  6. What follows next are more questions taken from past examination papers.  7. Answers to the extra past examination questions appear at the end. Some answers carry HINTS and  notes to enrich your knowledge.  8. Finally, don’t be a loner. Work through this guide in a team with your classmates. 

 

 


Transformation Geometry 

REVISION UNIT 15: TRANSFORMATION GEOMETRY  The transformation rules below do not appear on the information sheet given to you in the examination. The best way to get to know them is by practicing them on a point, say, (5; -3) or any point you like. There are four types of transformations that must understand. These are • • • •

Translation (which means a shift) Reflection (as in a mirror) Rotations (turning around the origin in a clockwise or anti-clockwise direction) Enlargement (through the origin by a constant factor k )

Notation: A( x; y ) → A ' ( x ' ; y ' ) where A is the image of A under the transformation. '

Translations p units horizontally: (x; y) → (x+p; y)  q units vertically: (x; y) → (x; y+q)  p units horizontally and q units vertically: (x; y) → (x+p; y+q)    Reflection About the x‐axis: (x; y)  → (x; ‐y)  About the y‐axis: (x; y)  → (‐x; y)  About the line y = x: (x; y)  → (y; x)    Rotation about the origin through  90 o   •

When a point is rotated clockwise about the origin through  90 o its coordinates change 

When a point is rotated anti‐clockwise about the origin through  90 o its coordinates change 

according to the rule  ( x; y ) → ( y;− x )  

according to the rule  (x; y ) → (− y; x )  

Rotation about the origin through 180 o   This is the same as two successive rotations about the origin through  90 o  

Enlargement through the origin by a factor k Each point is multiplied by k A( x; y ) → A' ( kx; ky )  

area after transformation 2 = (k ) area before transformation

and  

3   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

ROTATION OF A POINT ABOUT THE ORIGIN THROUGH AN ANGLE OF  θ o   Sketch  x and  y ‐ axes in the space opposite. 

Mark a point A with coordinates  ( x; y )  in the first  quadrant (but the point could be in any quadrant). Let  the distance of A from the origin be  r units. That is OA= r .  Let OA make an angle of  β o with the positive direction  of the  x ‐axis.  From A drop a perpendicular line to the  x ‐axis.    Looking at your diagram you have that:           cos β =

 

x y       and       sin β =   r r

  so that           x = rcos β      and        y = rsin β       Now A is rotated  through an angle  θ o  to a point   A′(x′; y ′)  or the line  OA to  OA′ . The direction of the  rotation could be clockwise or anti‐clockwise. It does  not matter which direction nor does the size of angle  θ o but make it anti‐clockwise and into the second  quadrant.    In the space opposite, sketch both  OA and  OA′ on the  same set of axes showing the angles  β o and  θ o .    From  A ′ drop a perpendicular to the  x ‐axis.    So you now will have                x′ = rcos(β + θ )    and     y ′ = rsin(β + θ )      

Formula for rotation of a point about the origin   Apply compound angle formulae to these last equations aboveto show that                        A′( x ′; y ′) ≡ A' ( x cos θ − y sin θ ; y cos θ + x sin θ )   which gives the coordinates of A after rotation about the origin through an angle of  θ o . 


Transformation Geometry 

PAPER 2  QUESTION 3    

 

 

 

 

        DoE/ADDITIONAL EXEMPLAR 2008 

 

 

 

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Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

PAPER 2  QUESTION 3    

 

Number  Hints and answers  3.1.1  Read the revision notes on    transformation on page 98    3.1.2  Read the revision notes on    transformation on page 98    3.1.3  Read the revision notes on    transformation on page 98    3.2.1  Read the revision notes on  transformation on page 98    3.2.2    Read the revision notes on  &  3.2.6  transformation on page 98    Use the opposite grid to  answer Questions 3.2.2 and  3.2.6. 

 

3.2.3   

Read the revision notes on  transformation on page 98 

3.2.4         

Read the revision notes on  transformation on page 98 

3.2.5     

Read the revision notes on  transformation on page 98 

 

 

 

        DoE/ADDITIONAL EXEMPLAR 2008 

Write down the answers in the boxes below   

 

 

Answer: 

(x; y ) →  

DIAGRAM SHEET 1 

    A’C’=    Area of  Δ A’B’C’  =                                                                    =                                    =      A’’(                ;         ) = 

 


Transformation Geometry 

PAPER 2  QUESTION 3    

 

 

 

 

 

               DoE/NOVEMBER 2008 

 

 

 

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Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

PAPER 2  QUESTION 3    

 

 

 

Number  Hints and answers    3.1.1  Read the revision notes on  transformation on page 98      3.1.2  Read the revision notes on  transformation on page 98      3.2.1  Read the revision notes on  transformation on page 98    3.2.2  Sketch the polygon A’B’C’D’E’ here:    DIAGRAM SHEET 1 

3.2.3 

3.2.4 

3.2.5 

 

Read the revision notes on  transformation on page 2    Read the revision notes on  transformation on page 2    Read the revision notes on  transformation on page 2   

 

 

 

 

 

                DoE/NOVEMBER 2008 

Write down the answers in the boxes below 


Transformation Geometry 

MORE QUESTIONS FROM PAST EXAMINATION PAPERS Exemplar 2008

9   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 


Transformation Geometry 

Preparatory Examination 2008 QUESTION 3 

11   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

November 2008

Feb – March 2009


Transformation Geometry 

13   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

November 2009 (Unused paper)


Transformation Geometry 

November 2009 (1)

15   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

Feb – March 2010


Transformation Geometry 

17   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

ANSWERS   Preparatory Examination 2008  3.1.1     C’(‐2;  ‐4) 

Exemplar 2008 

( ) 3.1.2      P(− 3;2)  

3.1.1     P 2;− 3  

3.1.2     A’B’ =  2 29   3.1.3    Shape and size remain the same under a   translation so the length AB =length A’B’.    3.1.4(a)       ( x; y ) → (0,5 y;0,5x )   3.1.4(b)     Sketch:   

  3.2.1     Sketch:   

  3.2.2      ( x; y ) → (− 2 x;−2 y )   3.2.3Area of ABCD :  Area of PQRS = 1 : 4   

3 1 − y⋅   3.3.1      x' = x ⋅ 2 2 3 1 + x⋅   3.3.2       y ' = y ⋅ 2 2   3.4         K’(1,96;  4,60)   and   L’(‐0,40;  6,70)             

 

   

 

3.2    A’ ⎜⎜ 3 +

1 3⎞ ⎟ or   A’(2,23;  ‐0,13)  ;−1 + 2 2 ⎟⎠


Transformation Geometry 

  November 2009 (Unused paper)  3.1    Enlargement by scale factor 2.  3.2     R(− 1;3) → R' ' (2;7)  

Feb/March 2009 

( 3.1.2      P ' (−

) 3 ;2 )  

3.1.1     P' − 3;−2  

3.3     ( x; y ) → ( y; x) or reflection about the line  y = x . 

  3.2.1      Q' (2;2)   3.2.2     Sketch: 

3.4     θ = 90 o a rotation in an anti‐clockwise  direction; or  o           θ = 270 a rotation in a clockwise direction.    4.1       θ = 36,03 o  

⎛3 3 ⎞ 3 + 2;− + 2 3 ⎟⎟   2 ⎝ 2 ⎠

4.2       P' ' ⎜⎜ 3.2.3     P' ' (4;6)   3.2.4    Shape remains the same but the                size changes. Thus not rigid.  3.2.5     ( x; y ) → (2 y;−2x)   3.2.6     

 

Area PQRS 1 =   P' ' Q' ' R' ' S' ' 4

 

2 2 ⎞ x− y⎟   2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎛ 2 2 ⎞ y ' = ⎜⎜ − y+ x ⎟⎟   2 2 ⎝ ⎠ 4.2           M − 3 2 ;− 2   4.1          x' = ⎜⎜ −

(

   

)

 

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Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

November 2009(1)  6.1.1    20 sq units  6.1.2     ( x; y ) → (2x;2 y )   6.1.3    Sketch: 

Feb/March 2010  7.1.1     P' (5;−2)  

7.1.2     P' (5;2)     7.2.1     Reflection across the line  y = x                 followed by contraction by scale 

              factor of 

1 ; or vice versa.  2

7.2.2      H ' (8;4)    or     H ' (8;16)   7.2.3      Area KUHLE:Area K’’U’’H’’L’’E’’=4:1   

⎛ −3− 2 3 3 3 − 2⎞ ⎟  ; ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

8.1          P' ⎜⎜

(

)

8.2          Q − 2;2 3         6.1.4   Transformation is not rigid because only the shape                remains the same but the size changes.    6.2     Translates 2 units to the left and 3 units down             or  (x; y) → (x − 2;− y − 3)     7.1      T ' ( x cosθ − y sinθ ; y cosθ + x sinθ )  

(

)

7.2    A' p cos135o − q sin 135o ; q cos135o + p sin 135o            if clockwise rotation. 

(

)

7.3     A 2 ;2    


Transformation Geometry