Issuu on Google+

Functions – Part 3 

MATHEMATICS Learner’s Study and Revision Guide for Grade 12 FUNCTIONS ‐ Part 3   TRIGONOMETRIC CURVES    

 

 

 

 

Revision Notes, Exercises and Solution Hints  by 

Roseinnes Phahle    Examination Questions by the Department of Basic Education 

1   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

 

Contents  Unit 7 Revision notes   

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercise 7.1 

 

 

 

 

 

 

 

 

A review of parent functions in trigonometry 

 

 

 

 

 

Answers to Exercise 7.1  

 

 

 

 

 

Examination questions with solution hints and answers   

 

 

 

More questions from past examination papers   

 

 

 

 

12 

Answers 

 

 

 

 

18 

 

 

 

 

 

 

 

 

How to use this revision and study guide 1. Study the revision notes given at the beginning. The notes are interactive in that in some parts you  are required to make a response based on your prior learning of the topic from your teacher in class or  from a textbook. Furthermore, the notes cover all the Mathematics from Grade 10 to Grade 12.  2. “Warm‐up” exercises follow the notes. Some exercises carry solution HINTS in the answer section. Do  not read the answer or hints until you have tried to work out a question  and are having difficulty.  3. The notes and exercises are followed by questions from past examination papers.  4. The examination questions are followed by blank spaces or boxes inside a table. Do the working out  of the question inside these spaces or boxes.  5. Alongside the blank boxes are HINTS in case you have difficulty solving a part of the question. Do not  read the hints until you have tried to work out the question and are having difficulty.  6. What follows next are more questions taken from past examination papers.  7. Answers to the extra past examination questions appear at the end. Some answers carry HINTS and  notes to enrich your knowledge.  8. Finally, don’t be a loner. Work through this guide in a team with your classmates. 

 

 

2   


Functions – Part 3 

REVISION UNIT 7: SKETCHING TRIGONOMETRIC GRAPHS  In the chapter on functions you studied the transformation of  y = f (x ) into  y = af ( x − p ) + q . In  other words, saw the effect that the parameters  a, p and q have on the graph of  f (x ) .  In Chapter 5 you looked at what effect these parameters have on the trigonometric graphs of sin, cos  and tan . You saw there that the effects are the same on the trigonometric graphs  as on graphs for  algebraic functions – so you really have nothing new to learn so long as you can do sketches of the  parent functions sin x , cos x  and tan x .  In one respect, though, the graphs of the trigonometric functions are different from those of algebraic  expressions. They are different in that they are periodic which means that their shapes repeat  themselves over certain intervals.  What helps in determining the  x ‐intercepts is the period of the function. For example, given 

f ( x ) = sin kx , how do you determine the period of  f ( x ) ?  Period =  

The sine and cosine functions also have amplitudes which is given by: 

Parent functions in trigonometry  In order to be able to sketch trigonometric functions you will need to know the basic shapes:   

 

 

y = f ( x ) = sin x  

 

 

 

y = g ( x ) = cos x  

 

 

 

y = h( x ) = tan x  

and their characteristics or special features.   

Sketching graphs of the trigonometric functions  What you must particularly note and mark on your sketches  are the following:  • • • •

The  x ‐intercepts, that is where the graphs cross the  x ‐axis;    The  y ‐ intercepts, that is where the graphs cross the  y ‐axis;    The maximum value of the graph;    The minimum value of the graph.  3 

 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

  Get yourself lots of graph paper on which to practice sketching the following trigonometric functions:  1. Start by making sketches of each of sin x , cos x  and tan x  over different intervals such as 

(0 ; 360 ),  (− 360 ; 360 ),  (− 180 ; 360 ),  (− 90 ; 270 )  or any interval of your choice.  o

o

o

o

o

o

o

o

  2. Over the same intervals as above, now make sketches of   a sin x ,   a cos x  and  a tan x  where  a =

1 , 2, 3 or any value of your choice – but choose a value that does not make it awkward for  2

yourself!    3. Over the same intervals as above, make sketches of  sin ax ,  cos ax and  tan ax .   

4. Also over the same intervals make sketches of sin (x ± p ) , cos (x ± p )  and tan (x ± p )  choosing  values of  p such as  ± 90 0 ,  ± 60 0 ,  ± 45 0 ; or  ± 30 0 .   

5. Repeat the above question for  a sin (x ± p ) ,  a cos (x ± p )  and  a tan (x ± p )  where you choose 

a  and  p again as above 

EXERCISE 7.1  A. Determine the periods of the following functions and sketch them over the interval  (−360 o ; 360 o ) :  1.

y = sin 2 x  

 

2.  

y = 3 cos 4 x    

3. 

y = tan

1 x  2

B. Draw sketches or use compound angle formulae (see Unit 16) to prove the following:    1. sin x + 90 o = cos x     2.  cos x + 90 o = − sin x  

(

)

(

)

A REVIEW OF THE PARENT FUNCTIONS IN TRIGONOMETRY  A full review of the parent functions in trigonometry is given below.  In the review, general formulae are given for the location of the  x ‐intercepts, the turning points and the  asymptotes. In these formulae,  n stands for the integers from  − ∞ to  + ∞ .   That is  n =  .  .  .  .  .  .  ‐4;  ‐3;  ‐2;  ‐1;  0;  1;  2;  3;  .  .  .  .    or simply,  n ∈ Z    You will find these formulae useful for working out the  x ‐coordinates of critical points within intervals  in which you will be required to make sketches of trigonometric functions. You need not memorise the  formulae as you can always draw very rough sketches of the shapes of the functions and from such  sketches very easily derive them .    

4   


Functions – Part 3 

Parent functions and their characteristics for values of  x ∈ (− 360 o ; 360 o )   Function 

Graph and characteristics 

y = sin x  

y

  1

x -360-345-330-315-300-285-270-255-240-225-210-195-180-165-150-135-120-105 -90 -75 -60 -45 -30 -15

15

30

45

60

75

90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360

-1

 

Period = 360 o  that is the shape repeats itself every  360 o .  x − intercepts at  x = 0 o + k .180 o   y − intercept at  y = 0   Maximum value =+1 and occurs at  x = 90 o + k .360 o   Minimum value =‐1 and occurs at   x = −90 o + k .360 o   Domain (all values of  x for which the function is defined):  x ∈ (− ∞; + ∞ )  

Range(all values of  y for which the function is defined):  y ∈ [− 1; + 1]  or  − 1 ≤ y ≤ 1   Amplitude = (maximum value‐minimum value)/2 =1    y = cos x   y

  1

x -360-345-330-315-300-285-270-255-240-225-210-195-180-165-150-135-120-105 -90 -75 -60 -45 -30 -15

15

30

45

60

75

90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360

-1

o

o

Period = 360  that is the shape repeats itself every  360 .  x − intercepts at  x = 0 o + (2k + 1).90 o   y − intercept at  y = +1   Maximum value =+1 and occurs at  x = 0 o + k .360 o   Minimum value =‐1 and occurs at   x = ±90 o + k .360 o   Domain (all values of  x for which the function is defined):  x ∈ (− ∞; + ∞ )  

Range(all values of  y for which the function is defined):  y ∈ [− 1; + 1]  or  − 1 ≤ y ≤ 1   Amplitude = (maximum value‐minimum value)/2 =1    5   

 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

  Function 

y = tan x  

Graph and characteristics  y

 

9 8 7 6 5 4 3 2 1

-360-345-330-315-300-285-270-255-240-225-210-195-180-165-150-135-120-105 -90 -75 -60 -45 -30 -15

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 30

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

  Period =  180 o that is the shape repeats itself every  180 o .  x − intercepts at  x = 0 o + k .180 o   y − intercept at  y = 0   Asymptotes at  x = 0 o + (2k + 1).90 o   No maximum value  No minimum vale  Domain:  x ∈ (− ∞; + ∞ ) − (2k + 1).90 o  or all values of  x between  − ∞  and  + ∞ but                    excluding  x = (2k + 1).90 o   Range:  y ∈ ℜ or all real values of  y between  − ∞  and  + ∞ or  − ∞ < y < +∞         Although working with the formulae of general solutions that appear in the table above is very useful, as  advised earlier, it will be just as good enough to always draw on rough paper a little sketch of the basic  shape in which you mark in the intercepts, turning points and asymptotes and from which you will be  able to deduce the characteristics of whatever function you are required to sketch.   You will find a fuller treatment of the sketching of trigonometric functions in UNIT 17. You would do  well to study this section now because it ties in very well with this unit.    6   


Functions – Part 3 

ANSWERS  EXERCISE 7.1  A . 1. Period = 180 o ; 2. Period = 90 o ; 3. Period = 360 o   B. If you use sketches to prove these identities then the graph of the LHS must coincide with the 

graph of the RHS.  Take question 1: 

(

)

1. Solving graphically: Draw the graphs of  y = sin x + 90 o  and  y = cos x  on the same set of  axes. If the graphs coincide then you have proved the identity.  2. Using compound angle formulae: 

(

)

              LHS =  sin x + 90 o                        =  sin x cos 90 o + sin 90 o cos x                        =  sin x ⋅ 0 + 1 ⋅ cos x                        =  cos x                        = RHS                and so the identity is proved.  3. You could also use your knowledge of angles greater than  90 o  and the property of  complementary angles as follows: 

(

)

(

(

))

              sin x + 90 o = sin 180 o − x + 90 o  

(

)

                                   =  sin 180 o − x − 90 o  

(

)

                                   =  sin 90 o − x                                      =  cos x   Now question 2  Repeat any of the above procedures.   

  7 

 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

  PAPER 1  QUESTIONS  7   

 

 

 

               DoE/ADDITIONAL EXEMPLAR 2008 

 

     

 

8   


Functions – Part 3 

PAPER 1  QUESTION 7     Number  7.1 

7.2 

7.3 

 

 

Hints and answers  Revision question:  How do you work out the period  of the sin or the cosine of  kx ?    And what about tan  kx ?    Now write down the period of  g .   Answer:  180 o   Revision question:  At what values of  x does tan  x have asymptotes?    Now write down the values of  x   at which  f will have asymptotes  in the given interval.    Answer:  x = −45 o   Revision question:  What do you do to reflect a  function in the  x ‐axis?    Now write down the equation of  k .    Answer:  k (x ) = − sin 2 x  

 

 

Work out the solutions in the boxes below  WARNING: all of Question 7 involves very little or no  calculation to be worked out to get an answer. In cases  such as these where you can see the answer make  doubly sure that you understand the answer and that  you can find it without looking at the answer. 

WARNING: see above. 

WARNING: see above. 

     

 

9   

        DoE/ADDITIONAL EXEMPLAR 2008 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

  PAPER 1  QUESTION 6    

 

 

 

 

 

 

DoE/NOVEMBER 2008 

   

 

10   


Functions – Part 3 

PAPER 1  QUESTION 6    

 

 

 

 

Number  Hints and answers  6.1 What are the asymptotes of the parent function tan x ?

)

So what are the asymptotes of tan x − 45 o ?

(

)

The answer you give must lie strictly within the required interval for x ∈ − 90 o ;180 o .

[

6.2

6.3

]

Answer: You write down the answer. Use tan (− θ ) = − tan θ and then describe the transformation in words.

Answer: You write down the answer. What is the period of sin x ? What is the period of sin kx ? So what is the period of sin 2 x ? Write down the equation of the resulting function in the form y = Answer: You write down the answer. 11 

 

 

DoE/NOVEMBER 2008 

Work out the solutions in the boxes below 

How is the graph of tan x transformed when x is replaced by x − 45 o ?

(

 


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

 

MORE QUESTIONS FROM PAST EXAMINATION PAPERS Exemplar 2008

12   


Functions – Part 3 

Preparatory Examination 2008

13   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

 

Feb – March 2009

DIAGRAM SHEET 1

14   


Functions – Part 3 

November 2009 (Unused paper)

15   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

 

November 2009 (1)

16   


Functions – Part 3 

Feb – March 2010

DIAGRAM SHEET 2

        17   


Preparation for the Mathematics examination brought to you by Kagiso Trust 

 

ANSWERS Exemplar 2008  8.1   Period =  360 o   8.2   The shift changes the range of  g  and  will           Become [‐1;  3].  8.3     h( x ) = cos x       Preparatory Examination 2008  8.1     2  8.2      − 180 o < x ≤ 180 o    or    − 180 o ;180 o   8.3      g ( x ) = 2 sin x − 60 o   8.4       0 o ;     90 o ;      180 o       Feb/March 2009  8.1     Sketch: 

(

]

(

)

  8.2     y ∈ [− 4;4]   8.3      720 o   8.4      θ = 90 o    or     θ = 90 o + n360 o    

November 2009 (Unused papers)  6.1     p = 2    and     q = 1   6.2     y ∈ [0;2]   or    0 ≤ y ≤ 2   6.3.1     By finding the  x ‐values of the  points of                 Intersection of the graphs of  f and  g .  6.3.2      180 o    or    − 180 o    or   about   − 112,5 o     November 2009(1)  7.1     y ∈ [− 3;3]    or     − 3 ≤ y ≤ 3   7.2     B 82,63o ;0,38 o   7.3     Period =  120 o   7.4      x = −180 o     Feb/March 2010  8.1   Sketch:   

(

    8.2     x = −60 o   8.3     Reflection about the  x ‐axis.     

   

18   

)


KT Classroom Unit 7: Functions - Part 3