Issuu on Google+

8. razred

GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

Stranica 1

STOŽAC 1.

Polumjer baze stošca je 5 cm, a duljina njegove izvodnice je 7,4 cm. Izračunaj oplošje tog stošca.

2.

Promjer baze stošca je 9 cm, a površina njegova plašta je 45π cm2. Izračunaj duljinu izvodnice i oplošje tog stošca.

3.

Polumjer baze stošca je 3,6 cm, a duljina njegove visine je 5 cm. Izračunaj obujam tog stošca?

4:

Opseg baze stošca je 7,5π cm, a duljina njegove visine je 4 cm. Izračunaj obujam tog stošca.

5.

Uspravni je stožac presječen ravninom koja prolazi vrhom stošca i sadrži promjer baze. Izračunaj površinu tog presjeka ako je polumjer baze 20 cm, a duljina izvodnice stošca 29 cm.

6.

Promjer baze uspravnog stošca je 40 cm, a duljina izvodnice je 29 cm. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.

7.

Polumjer baze stošca je 5 cm, a njegova visina je 12 cm. Izračunaj oplošje, obujam i površinu osnog presjeka tog stošca.

8.

Visina stošca je 84 mm, a duljina izvodnice je 85 mm. Izračunaj oplošje i obujam stošca.

9.

Osni presjek stošca je jednakostraničan trokut čija je površina 9√3 cm2. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.

10.

Izračunaj oplošje i obujam jednakostraničnog stošca čija je površina baze 16π cm2.

11.

Površina osnog presjeka jednakostraničnog stošca je 36√3 cm2. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.

12.

polukrug polumjera 10 cm savijen je u plašt stošca. Koliki je obujam nastalog stošca?

13.

Pravokutni trokut s katetama duljine a = 8 cm i b = 15 cm rotira oko svoje kraće katete. Izračunaj oplošje i obujam dobivenog rotacijskog tijela.

14.

Pravokutni trokut s katetama duljine a = 8 cm i b = 15 cm rotira oko svoje dulje katete. Izračunaj oplošje i obujam dobivenog rotacijskog tijela.

15.

Pravokutni trokut s katetama 6 cm i 8 cm rotira oko svoje hipotenuze. Izračunaj oplošje i obujam nastalog rotacijskog tijela.

16.

Ako se plašt kružnog stošca razvije u ravninu dobiva se kružni isječak iz kružnice polumjera 6 cm sa središnjim kutom od 120°. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.

KUGLA 17.

Izračunaj oplošje i obujam kugle s polumjerom duljine 12 cm.

18.

Izračunaj oplošje i obujam kugle s polumjerom duljine 1,8 dm.

19.

Oplošje kugle je 361π cm2. Izračunaj njezin obujam.

20.

Kugla je presječena ravninom koja prolazi njezinim središtem. Izračunaj površinu tog presjeka, oplošje i obujam kugle ako je njezin polumjer 9 cm.

21.

Kolika je površina kupole na nekoj zgradi ako je kupola oblika polukugle promjera 10 m?

22.

Iz kocke obujma 1 dm3 napravljena je najveća moguća kugla. Izračunaj njezino oplošje i obujam.

23.

Izračunaj oplošje i obujam kugle koja prolazi svim vrhovima kocke kojoj je brid dug 36 mm.

24.

U posudu do vrha napunjenu vodom ubačeno je 12 metalnih kugli promjera 10 cm. Koliko će se vode izliti iz posude?

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


8. razred

GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

Stranica 2

FORMULE STOŽAC OPSEG BAZE

KUGLA   

BAZA

B = 

PLAĹ T

P = rπs

IZVODNICA

      

VISINA

      

OPLOĹ JE

O=B+P O = rπ  

OBUJAM

V=



OSNI PRESJEK

 ¡ 

  ¡ 

 

O = 4 



  

  

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 1.

Stranica 3

r = 5 cm s = 7,4 cm O=?

O = rπ   O = 5π5  7,4 O = 5π ¡ 12,4 O = 62π cm 2.

R = 9 cm P = 45Ď€ cm2 s, O = ?

O = rπ  

2r = R 2r = 9

O = 4,5Ď€4,5  10

r = 4,5 cm

O = 4,5π ¡ 14,5

P = rπs

O = 65,25 cm

45Ď€ = 4,5Ď€s /: 4,5Ď€ s = 10 cm 3.

r = 3,6 cm v = 5 cm V=?

 V V

  ¡

,





¡!

",# ¡! 

V = 21,55Ď€ cm 4.

O%  7,5Ď€ cm v = 4 cm V=?

  

7,5π = 2rπ /: 2π r = 3,75 cm   ¡

  V V

,(! ¡) 

"),*! ¡) 

V = 18,75Ď€ cm

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 5.

Stranica 4

r = 20 cm s = 29 cm P./  ?

      

1   29  20

MoĹžemo na dva naÄ?ina, kvadriranjem ili razlikom kvadrata. Ako upotrijebimo razliku kvadrata nije nam potreban kalkulator. 1   841  400

ili

1   29  2029  20

1   441

1   49 ¡ 9

v = √441

1   441

v = 21 cm

 

P./  20 ¡ 21

P./  420 cm

6.

R = 40 cm s = 29 cm O, V = ? 2r = R 2r = 40 r = 20 cm

       





1  29  20 

1  29  2029  20 1   49 ¡ 9

  ¡

O = rπ  



O = 20Ď€20  29

V

O = 20π ¡49

V = 400π ¡ 7

O = 980Ď€ cm

V = 2800Ď€ cm



* ¡" 

1   441 v = √441 v = 21 cm 7.

r = 5 cm v = 12 cm O, V, P./  ?

  ¡

      

O = rπ  



s  5  12

O = 5Ď€5  13

V

s  25  144

O = 5π ¡18

V = 25π ¡ 4

O = 90Ď€ cm

V = 100Ď€ cm

s  169

!



¡"



  P./  5 ¡ 12 P./  60 cm

s  √169 s = 13 cm Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 8.

Stranica 5

v = 84 mm s = 85 mm O, V = ?

       





r  85  84 

r  85  8485  84 r   169 ¡ 1

  ¡

O = rπ  



O = 13Ď€13  85

V

O = 13π ¡ 98

V = 169π ¡ 28

O = 1.274Ď€ cm

V = 4.732Ď€ cm



" ¡>) 

r   169 r = 13 mm 9.

P./  9√3 cm O, V = ?



8 9 

2r = s

)

9

  

: √

povrĹĄina jednakostraniÄ?nog trokuta

 9√3 /¡



)

√

s  36

  ¡

O = rπ  



2r = 6

O = 3Ď€3  6

V=

r = 3 cm

O = 3π ¡ 9

V = 9√3 ¡ Ď€ cm

s = 6 cm

1

:√

1

√

O = 27Ď€ cm





 ¡√ 



v = 3√3 cm 10.

B = 16Ď€ cm2 O, V = ? B = 

16π = r  π /: = r   16 r = 4 cm

v=

:√

 >√

s = 2r

v=

s=2¡4

v = 4√3 cm

s = 8 cm



O = rπ  



O = 4Ď€4  8

V=

O = 4π ¡ 12

V=

O = 48Ď€ cm

V=

  ¡ 

) ¡)√ 

" ¡)√ 

)√ √¡? 

cm

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 11.

Stranica 6

P./  36√3 cm O, V = ?

8 9 

 2r = s

: √ )

povrĹĄina jednakostraniÄ?nog trokuta

9

  

 36√3 /¡



)

√

s  144

  ¡

O = rπ  



2r = 12

O = 6Ď€6  12

V=

r = 6 cm

O = 6π ¡ 18

V = 36Ď€ ¡ 2√3

O = 108Ď€ cm

V = 72√3 ¡ Ď€ cm

s = 12 cm

1

:√

1

"√





 ¡ √ 



v = 6√3 cm 12.

s = 10 cm V=? 2rπ = sπ Objaťnjenje: opseg cijelog kruga bi bio 2sπ, a poťto je to samo polukrug onda je pola opsega sπ ťto odgovara 2rπ po definiciji plaťta stoťca. 2rπ = 10π /: 2π r = 5 cm 1

:√

1

"*√

iz toga vidimo da je stoĹžac jednakostraniÄ?an jer je s = 2r pa je





v = 5√3 cm

 V= V= V=

  ¡ 

!

¡ !√



! ¡ !√ 

"!√ 

= @A

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


8. razred 13.

GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

Stranica 7

a = 8 cm b = 15 cm O, V = ?

B   8  C

c   8  15

c   64  225

c   289

c = 17 cm r=b s=c v=a

14.

O = rπ  



O = 15Ď€15  17

V=

O = 15π ¡ 32

V= 

O = 480Ď€ cm

  ¡ 

"! ¡ > 

! ¡ > 

V = 600Ď€ @A

a = 8 cm b = 15 cm O, V = ?

B   8  C

c   8  15

c   64  225

c   289 c = 17 cm r=a s=c v=b

O = rπ  

 >

  ¡ 

¡ "!

O = 8Ď€8  17

V=

O = 8π ¡ 25

V = 64π ¡ 5

O = 200Ď€ cm

V = 320Ď€ @A



Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 15.

Stranica 8

a = 6 cm b = 8 cm O, V = ? Prvo moramo izraÄ?unati koliko nam je hipotenuza c, a onda koliki su nam x i y.. To ćemo uÄ?initi pomoću pitagorinog pouÄ?ka.

B   8  C

c   6  8

c   36  64 c   100

c = 10 cm x + y = 10

D x = 10 – y

1   a  y 

1   b  x  b   x   a  y 

8  10  y  6  y 

1   a  y 

64 – 100 + 20y – y  = 36 – y 

1   6  3,6

20y = 36 – 64 + 100

x = 10 – y

20y = 72 /: 20 y = 3,6

x = 10 – 3,6 x = 6,4

1   36  12,96 1   23,04 23 v = 4,8 cm

Rotacijsko tijelo se sastoji ji od dva stoĹĄca sa istom bazo polumjera 4,8 cm. StoĹžac 1 ima visinu 6,4 cm i izvodnicu 8 cm, a stoĹžac 2 ima visinu 3,6 cm i izvodnicu 6 cm. r = 4,8 cm 1"  6,4 cm s"  8 cm 1  3,6 cm s  6 cm

O = J  

V = J  

O = rπJ   



O = rπJ   



O = 4,8Ď€8  6

V

O = 4,8π ¡ 14

V

O = 67,2Ď€ cm

V = 7,68π ¡ 10

  ¡ J







  ¡ 



 J   



6,4  3,6

),>

,*) 



¡ 10

V = 76,8Ď€ cm

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 16.

Stranica 9

s = 6 cm ι = 120° O, V = ?  K l = duŞina luka JLM° : O  2rπ /: 2π ">*° :O r= *° ¡"*° r= *°

r = 2 cm

      

  ¡

O = rπ  



1 6 2

O = 2Ď€2  6

V

1   36  4

O = 2π ¡ 8

V

) ¡)√

1   32

O = 16Ď€ cm

V

"√









 ¡)√ 





Ď€ cm

v = √32 v =4√2 cm 17.

r = 12 cm O, V = ? 

O = 4 O = 4 ¡ 12 π

V V

O = 4 ¡ 144π 

O = 576Ď€ cm

18.



  

)¡"P 

)¡"¡" 

V = 16 ¡ 144π V = 2.304π cm

r = 1,8 dm = 18 cm O, V = ?

O = 4 



  

)¡">P

O = 4 ¡ 18 π

V

O = 4 ¡ 324π

V

O = 1.296Ď€ cm

V = 24 ¡ 324π



)¡">¡"> 

V = 7.776Ď€ cm

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 19.

Stranica 10

O = 361Ď€ cm2 V=?

20.

O = 4 



361π = 4r  π /: 4π

V

  

)¡#,!P 

)¡>!(,(!

r   90,25

V

r = 9,5 cm

V = 1.143,17Ď€ cm



r = 9 cm O, V = ?

21.

 

O = 4 



O = 4 ¡ 9 π

V

O = 4 ¡ 81π

V

O = 324Ď€ cm

V = 12 ¡ 81π

)¡#P



   P./  8 π



)¡#¡# 

P./  81Ď€ cm

V = 972Ď€ cm

R = 10 m 2r = R 2r = 10 r=5m

Q   

PR  2 ¡ 5 π

PR  2 ¡ 25π

PR  50Ď€ cm

22.

VRS  1 dm ORU , VRU  ?

VRS  a a  1

2r = a

P

a = √1

2r = 1 "

a = 1 dm

O = 4  " 

O = 4 ¡ VW π "

r =  dm

 V V

O=4¡ π ) 

ORU =Ď€ dm

  

X P )¡V W 



X )¡ Y



VRU =  dm Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA

8. razred 23.

Stranica 11

a = 36 mm ORU , VRU  ? D = a√3 D = 36√3 2r = D 2r = 36√3 r = 18√3 cm 

O = 4

 

24.

  

P

O = 4 ¡ Z18√3[ Ď€

V

)¡ Z">√[

O = 4 ¡ 324 ¡ 3π

V

)¡!>¡√

ORU =3.888Ď€ mm

VRU = 23.328Ď€âˆš3 mm





R = 10 cm 2r = R 2r = 10 r = 5 cm

 V V

 

)¡!P





)¡"! 

V = 523,3 cm 12 ¡ 523,3 = 6.279,6 cm3 1000 cm3 = 1 L 6.279,6 : 1000 = 6,2796 L Izlit će se 6,2796 litara vode.

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr


geometrijska tijela - stožac i kugla