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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA UNIDAD 4 4.1 NÚMEROS REALES 4.11 NOTACIÓN CIENTÍFICA

FACULTAD DE ARQUITECTURA UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

“Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32

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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017

4.1 NÚMEROS REALES Un número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. 4.1.1 CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES Números naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos). {1, 2, 3, 4…} Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. {…, -2, -1, 0, 1, 2,…} Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde m y n son enteros n≠0 Números Reales (R): todos los racionales e irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas. 4.2 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero (0). Se toma hacia la derecha otro punto al que se le asocia el uno (1). La distancia del 0 al 1 se le denomina unidad y con ella se representan todos los números enteros. Los restantes números reales (racionales e irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas o mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se le denomina recta real.

unidad

-4 -3 -2 -1

0

1

2

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3

4

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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 4.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES (a) La adición es conmutativa: El orden es indiferente cuando se suman dos números. a+b=b+a (b) La adición es asociativa: La agrupación es indiferente cuando se suman tres números. a + (b+c) = (a + b) + c (c) 0 es la identidad aditiva: La suma de 0 con cualquier número da el mismo número. a+0=a (d) –a es el inverso aditivo o negativo de a: La suma de un número y su negativo da 0. a + (-a) = 0 (e) La multiplicación es conmutativa: El orden es indiferente cuando se multiplican dos números. ab = ba (f) La multiplicaciones asociativa: La agrupación es indiferente cuando se multiplican tres números. a(bc) = (ab)c (g) 1 es la identidad multiplicativa: La multiplicación de cualquier número por 1 da el mismo número. a . 1= a (h) Si a ≠ 0, 1/a es el inverso multiplicativo o recíproco de a: La multiplicación de un número diferente de cero por su recíproco da 1. a(1/a) = 1 (i) La multiplicación es distributiva sobre la adición: La multiplicación de un número y una suma de dos números es equivalente a multiplicar cada uno de los dos números por el número y luego sumar los productos. a(b + c) = ab + ac

y

(a + b)c = ac + bc

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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 4.4 PROPIEDAD DE LA IGUALDAD Si a = b y c es cualquier número real, entonces (1) a + c = b + c (2) ac = bc 4.5 PRODUCTOS QUE INVOLUCRAN AL CERO (1) a . 0 = 0 para todo número real a. (2) Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. 4.6 PROPIEDADES DE LOS NEGATIVOS Propiedad

Ilustración

(1) -(-a) = a

-(-3) = 3

(2) (-a)b = -(ab) = a(-b)

(-2)3 = -(2 . 3) = 2(-3)

(3) (-a)(-b) = ab

(-2)(-3) = 2 . 3

(4) (-1)a = -a

(-1)3 = -3

4.7 NOTACIÓN PARA RECÍPROCOS Definición (1) Si a ≠ 0, entonces

Ilustraciones =

Note que si a ≠ 0, entonces

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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 4.8 PROPIEDADES DE LOS COCIENTES Propiedad

Ilustración

si

porque

Ejercicio 1 Resuelva las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los números reales: a) -2(2) =

f)

b) -3(-5) = c)

g)

=

h) d)

= i)

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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 4.9 LEY DE SIGNOS (1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y a/b son positivos. (2) Si a y b tienen signos contrarios, entonces ab y a/b son negativos. Los recíprocos de las leyes de signos también son verdaderos. Por ejemplo, si un cociente es negativo, entonces el numerador y el denominador tiene signos contrarios. La notación a ≥ b se lee a es mayor o igual que b, significa que a ˃ b o que a = b (pero no ambos). Por ejemplo a² ≥ 0 para todo número real a. El símbolo a ≤ b, que se lee a es menor o igual a b, significa que a ˂ b o que a = b. Expresiones de la forma a ≥ b y a ≤ b se denominan desigualdades no estrictas, porque a puede ser igual a b. Al igual que con el símbolo de igualdad, podemos negar cualquier símbolo de desigualdad al poner una raya diagonal sobre ella, es decir, no mayor que. Una expresión de la forma a ˂ b ˂ c se denomina desigualdad continua y significa que a ˂ b y b ˂ c; decimos b está entre a y c. Del mismo modo la expresión c ˃ b ˃ a significa que c ˃ b y b ˃ a. 1) Ordenamiento de tres números reales  1˂5˂  -4 ˂ ˂  3 ˃ -6 ˃ -10

2) Determinación del signo de un número real Si x ˃ 0 y y ˂ 0, determine del signo de Como x es un entero positivo y y es un número negativo, x y y tienen signos contrarios. Entonces, x/y y y/x son negativos. La suma de dos números negativos es un número negativo, de modo que

El signo de

es negativo.

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Ejercicio 2 Resuelva las siguientes expresiones utilizando la ley de signos: a) b) c) d) Ordene los números de mayor a menor utilizando los signos ˂ ó ˃: e) f) g) h)

4.10 DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define como sigue. (1) Si a ≥ 0, entonces |a| = a (2) Si a ˂ 0, entonces |a| = -a La notación de valor absoluto |a|  |3| = 3, porque 3 ˃ 0.  |-3| = -(-3), porque -3 ˂ 0. Entonces, |-3| = 3.  |2  |

|= 2-

, porque 2 -

˃ 0.

- 2| = - (

- 2), porque

- 2 ˂ 0.

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Ejercicio 3 Reescriba el número sin usar el símbolo de valor absoluto, y simplifique el resultado. a) |-3-4| = b) |-5| -|2| = c) |7| + |-4| = d) (-5) |3-6| = e) |-6| / |(-2) = f) |-7| + |4| = g) |4-π| = h) |π-4| =

4.11 NOTACIÓN CIENTÍFICA

La distancia que un rayo de luz recorre en un año es aproximadamente 5,900,000,000,000 millas. Este número se puede escribir en forma científica como 5.9 x 10ᶺ12. El exponente positivo 12 indica que el punto decimal debe moverse 12 lugares a la derecha. La notación funciona igualmente bien para números pequeños. El peso de una molécula de oxígeno se estima que es 0.000 000 000 000 000 000 000 053 gramos, o sea, en forma científica, 5.3 x 10ᶺ-23 gramos. El exponente negativo indica que el punto decimal debe moverse 23 lugares a la izquierda. 1) Notación científica  513 = 5.13 x 10ᶺ2  93,000,000 = 9.3 x 10ᶺ7  0.000 000 000 43 =4.3 x 10ᶺ-10  7.3 = 7.3 x 10ᶺ0

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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017  20700 = 2.07 x 10ᶺ4  0.000 648 = 6.48 x 10ᶺ-4

Ejercicio 4 Exprese el número en notación científica. a) 427,000 = b) 0.000 000 093 = c) 810,000,000 = Exprese el número en forma decimal d) 8.3 x 10ᶺ5 = e) 2.9 x 10ᶺ-12 = f) 5.64 x 10ᶺ8 = g) La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 0.000 000 000 000 000 000 000 001 7 gramos. Exprese este número en notación científica. h) El número de átomo de hidrógeno en un mol es el número de Avogadro, 6.02 x 10ᶺ23. Si un mol de gas tiene una masa de 1.01 gramos, estime la masa de un átomo de hidrógeno. i) Una de las películas más largas jamás hechas es una película inglesa de 1970 que corre durante 48 horas. Suponiendo que la velocidad de la película es de 24 cuadros por segundo, aproxime el número total de cuadros de esta película. Exprese su respuesta en notación científica.

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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2017 Respuestas a los Ejercicios Propuestos Ejercicio 1 a) -4

j)

b) 15 k) c) l) d) 5 m)

Ejercicio 2 a) -32 b) 41 c) 21 d) -7560

e) f)

g) h) Ejercicio 3 a) 7 b) 3 c) 11 d) -15 “Conoceréis la Verdad y La Verdad Os Hará Libres” Juan 8:32

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e) -3 f) 11 g) 4-π h) 4-π Ejercicio 4 a) 4.27 x 10ᶺ5 b) 9.3 x 10ᶺ-8 c) 8.1 x 10ᶺ8 d) 830 000 e) 0.000 000 000 002 9 f) 564 000 000 g) 1.7 x 10ᶺ-24 h) 1.678 x 10ᶺ-24 g i) 4.1472 x 10ᶺ6 marcos

BIBLIOGRAFÍA BALDOR A. (2007) Álgebra. México. Grupo Editorial Patria. SWOKOWSKI E. y COLE J. (2007) Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México: Edamsa impresiones S.A. de C.V.

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Unidad No. 4 Números Reales. Notación Científica  
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