Page 1

Departamento de Estatística e Matemática Aplicada Programa de Educação Tutorial - PET Estatística

Fortaleza/CE, Ano 4 / Número 2 (Abr/Mai/Jun 2012)

Nesta Edição

Nesta Edição Biologia

Estatística nas Ciências

Pág.: 2 Biotecnologia

Pág.: 3 Geografia Pág.: 4

Conhece Novo Edital ConhecePET disponível no site. Venha participar de nossas atividades!

A partir do século XX, os métodos estatísticos foram desenvolvidos como uma mistura de ciência, tecnologia e lógica para a solução e investigação de problemas em várias áreas do conhecimento humano. Ela foi reconhecida como um campo da ciência neste período, mas sua história tem início bem anterior a 1900. A Estatística moderna é uma tecnologia quantitativa para a ciência experimental e observacional que permite avaliar e estudar as incertezas e os seus efeitos no planejamento e interpretação de experiências e de observações de fenômenos da natureza e da sociedade. A Estatística não é um ramo da matemática onde se investigam os processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma determinada população. A Estatística também não se limita a um conjunto de elementos numéricos relativos a um fato social, nem a números, tabelas e gráficos usados para o resumo, a organização e apresentação dos dados de uma pesquisa, embora este seja um aspecto da estatística que pode ser facilmente percebido no cotidiano. Ela é uma ciência multidisciplinar, que pode ser usada por um físico, geografo, químico, geólogo, matemático e biólogo. Texto adaptado de Estatística: poderosa ciência ao alcance de todos do Prof. Dr. Edson Marcos Leal Soares Ramos.

Química Pág.: 5

Geologia

Pág.: 2 Matemática

Pág.: 3 Computação Pág.: 4 Física

Karl Pearson Pág.: 6

Pág.: 5

PET-Estatística visite o site! www.petestatistica.ufc.br Facebook: PETEstatística Ufc Twitter: PETEstatistica


Estatística Aplicada à Biologia Na Biologia é comum encontrarmos expressões como “teste Qui-Quadrado de associação” e “diferença estatisticamente significativa”, tais termos refletem a importância da Estatística nesta ciência, por possibilitar uma avaliação adequada dos processos biológicos. A Estatística é utilizada em diversas áreas da Biologia. Basicamente ela serve para testar e provar a validade de uma hipótese. Pois, a ciência não se faz com meras suposições, ela tem de ser provada, e o método mais utilizado para isso é a Análise Estatística, que pode comprovar a veracidade da hipótese proposta, sem que seja necessário demonstrar repetidamente todos os fenômenos a todos que exigirem algum tipo de comprovação. Um exemplo clássico disso é quando um biólogo pesquisa uma determinada

espécie. A Estatística demonstra que existem diferenças entre os indivíduos e que eles reagem de formas diferentes aos mesmos estímulos; por outro lado, o mesmo indivíduo apresenta variações de um para outro. Em vista disso, o pesquisador se pergunta, por exemplo, se os resultados poderiam ter sido obtidos por acaso, se um novo tratamento seria mais eficiente, se a associação observada entre as variáveis é real e se o método de seleção de indivíduos foi adequado. Contudo, todas essas questões podem ser respondidas com o auxílio da Estatística. Historicamente, muitos marcos na biologia tiveram participações relevantes da Estatística, um deles são os experimentos de Gregor Mendel (vistos no Boletim 8), que posteriormente se

transformaram em leis. Mendel realizou uma série de experimentos com ervilhas, com o objetivo de entender como as características hereditárias eram transmitidas de pai para filho. Em um primeiro momento suas leis não foram aceitas, mas foram redescobertas posteriormente e fixadas como de enorme importância para a Biologia. Todavia, sem a Estatística jamais poderia se concluir algo dos testes realizados por Mendel, pois sua prova se constituía essencialmente de fundamentos estatísticos. Fonte: VIEIRA, Sonia. Introdução à Bioestatística. 4ª edição.Rio de Janeiro: Elsevier, 2008.

Estatística Aplicada à Geologia • Geoestatística No ramo da Geologia o surgimento de dados e eventos diversos é inevitável. Para verificar a veracidade de alguns parâmetros é necessário que tais dados sejam colhidos e organizados de tal forma a esclarecer certas dúvidas. A Estatística possui os instrumentos necessários para que esse tipo de trabalho possa ser feito com maior sutileza. Podemos definir a união dessas duas ciências, como sendo: o estudo de fenômenos que flutuam no espaço, e uma ciência que oferece um conjunto de ferramentas necessárias determinísticas e estatísticas para compreender e modelar a variabilidade espacial. • Geoestatística Aplicada à Avaliação e Caracterização de Reservatórios Petrolíferos As atividades e estudos que tem por finalidade determinar, em termos qualitativos e quantitativos, o potencial de uma jazida de petróleo, isto é, a sua capacidade produtiva e o valor de suas reservas de petróleo e gás, é um fator de grande interesse da indústria petrolífera. Quando uma jazida de petróleo é descoberta, diversos procedimentos são feitos com a finalidade de obter informações, visando um melhor entendimento dessa jazida. Assim, desde a exploração de um campo, até o mesmo ser abandonado, uma grande quantidade de dados são coletados. Das várias técnicas utilizadas na obtenção de dados n o

momento da perfuração de um poço, podemos destacar a Perfilagem, por seu baixo custo em relação às outras técnicas aplicadas. Através dela, são obtidos diversos dados sobre os poços, que são denominados dados de perfis, cuja tradução permite uma avaliação da formação em intervalos maiores e em condições reais do poço. A indústria petrolífera tem sido induzida a utilizar renovadas técnicas para caracterizar os reservatórios, pelos altos investimentos necessários no desenvolvimento de campos heterogêneos e pelo desejo e necessidade de aumentar o rendimento final das jazidas. Dentre essas técnicas, pode-se citar as técnicas Geoestatísticas, subárea da Estatística, com uma crescente aplicação, principalmente quando existe a utilização de dados sísmicos tridimensionais. Muitas são as vantagens da aplicação da Geoestatística. Uma delas é o fato da necessidade de interdisciplinaridade, assegurando uma maior troca de informações entre os geólogos, engenheiros de petróleo e estatísticos e uma melhor interpretação da realidade geológica em estudo. Um outro exemplo bem específico onde a Geoestatística é aplicada, é no Cálculo de Reservas de Jazidas de Carvão. O jazimento é constituído por uma única camada de carvão situada a uma profundidade entre 380 a 700 metros e distribuída por uma área de aproximadamente 25 quilômetros quadrados. Dada a

espessura máxima da camada de carvão de ordem de 2 m e sua espessura média de 1,2 m, a espessura total de carvão aumenta da zona periférica para a central. Por causa disso, cada região da jazida foi estimada a espessura, por Krigagem, que é um método de regressão usado em Geoestatística para aproximar ou intercalar dados, ordinária pontual. Para o cálculo da quantidade de carvão, uma área foi dividida em quadrinhos de dimensões 0,5 Km X 0,5 Km e foram estimados valores médios para cada uma das áreas. Para cada ponto, foi dado um raio de 2,5 quilômetros para supor que em toda aquela área encontraremos certa quantidade de espessura do carvão. De posse dos valores estimados para as diversas espessuras médias e multiplicando-os pela densidade do carvão chegamos a uma estimativa da tonelagem de carvão presente: reserva com aproximadamente 57.476.250 toneladas. Fontes: LANDIM, Paulo Milton Barbosa. Análise estatística de dados geológicos - 2a ed. rev. e ampl - São Paulo: Editora UNESP, 2003. Pág. 205 DA ROCHA, Ana Cristina Brandão. A Geoestatística Aplicada à Avaliação e Caracterização de Reservatórios Petrolíferos. D i s p o n í v e l e m : <http://www.dme.ufcg.edu.br/PPG Mat/DissertacaoPDF/AnaCri stina.pdf>. Acesso em 21 de junho de 2012

Página 2


Estatística Aplicada à Biotecnologia O profissional de Biotecnologia estuda o melhoramento genético, a criação e o gerenciamento de novos produtos, que podem ser medicamentos, ingredientes para alimentos industriais ou até mesmo a modificação de uma planta. Com isso, este profissional tem que conviver frequentemente com os métodos estatísticos, como caracterização das variáveis e suas distribuições; inferência estatística; análise de variância; delineamentos experimentais, associação de variáveis, principalmente testes estatísticos paramétricos e não paramétricos. A Estatística, compreendida

como uma ferramenta de trabalho fundamental para este profissional, será a garantia da utilidade prática contínua na pesquisa, possibilitando a análise e adequada apresentação de resultados experimentais, permitindo ainda a formação do alicerce para o seu desenvolvimento profissional. Fonte: FRANÇA, Pereira de. Métodos estatísticos aplicados à biologia e biotecnologia de microrganismos. Disponível em < www.uesc.br/cursos/pos_graduacao/mestrado/mic robiologia/disciplinas/metodos-estatisticosaplicados.pdf>. Acesso em 5 de junho de 2012.

Estatística Aplicada à Matemática •O número pi no cálculo das discutiremos a seguir. Imagine um círculo probabilidades de raio unitário com um quadrado circunscrito de lado igual a duas vezes o Embora originalmente tenha sido raio. Lançam-se dardos sobre o quadrado, definido na geometria, é interessante seguindo uma distribuição aleatória. notar como ele aparece inesperada e Sempre que o dardo atinge a região frequentemente no cálculo das definida pelo círculo temos um acerto. probabilidades. Um exemplo famoso é Podemos simplificar o procedimento o problema conhecido como a agulha considerando apenas o primeiro de Buffon. O matemático francês quadrante. Quando o número de George Louis Leclerc, conde de Buffon arremessos (n) cresce, o número de (1707-1788), propôs e resolveu esse acertos (t) aproxima-se da área do problema em 1777. Leclerc perguntava: quadrante circular e o número de "Suponha que você tenha uma folha de arremessos tende para a área do papel pautada sobre uma mesa, onde quadrado, podemos então escrever: as linhas das pautas são espaçadas por uma distância fixa. Uma agulha, de comprimento, rigorosamente igual ao espaçamento entre as linhas, é jogada, Ou seja inteiramente ao acaso, sobre a folha de papel. Qual é a probabilidade de que a agulha caia sobre a folha de modo que intercepte uma das linhas?" Veja a figura. Surpreendentemente, a Ou seja: resposta é 2 / . Portanto, em princípio, O resultado é um algoritmo simples para poderíamos calcular o valor de . obter-se aproximações de . Você precisa repetindo o experimento muitas vezes e somente simular o número de arremessos calculando o número de intersecções (o maior possível) e testar em cada dividido pelo número total de jogadas. arremesso se o dardo atinge o setor circular. O teste é muito simples: se x e y são as coordenadas do ponto onde o dardo atinge o quadrado (0 ≤ X , Y ≤ 1) então, teremos um acerto (pontos azuis) quando, isto é, X² + Y² < 1 . Na figura abaixo, mostramos uma simulação (n = 1000) onde obtemos o valor de . = 3,140100. Na figura, mostramos também como o valor medido de varia numa série de simulações com n indo de 500 até 1 0 0 . 0 0 0 a r r e m e s s o s . Uma variante do problema da agulha de Buffon e que é facilmente programável num computador é o do lançamento de dardos, que

Fonte: Seara da ciência. O número pi no cálculo das probabilidades. Disponível em: < http://www.seara.ufc.br/especiais/matematica/pi/p i2.htm > Acesso em: 19 de junho de 2012

Página 3


Estatística Aplicada à Geografia Existem hoje várias técnicas estatísticas que podem auxiliar o geógrafo no trato da vasta gama de informações existentes. Procedimentos estatísticos empregados no tratamento de dados espaciais são de grande valia à análise geográfica. A utilização das técnicas quantitativas na geografia é fruto da necessidade de se organizar, tratar e apresentar, sinteticamente, o grande volume de dados trabalhados pelo geógrafo. Some-se a isso o fato de que geógrafos trabalham com variáveis georeferenciadas, o que possibilita a análise da “relação entre os fenômenos estudados e sua distribuição no espaço” (CARVALHO, BARROSO e ABREU, 2003, p. 10). Essa aplicação da Estatística na Geografia é o que se chama de Geoestatística, que é definida por, um conjunto de ferramentas estatísticas que incorporaram no processamento as coordenadas espaciais. A Geoestatística

incorpora a interpretação da distribuição estatística, assim como a correlação espacial das amostras. Este aspecto da Geoestatística está intimamente associado com a distribuição estatística dos dados no espaço. Diante disso, o trabalho aplicando técnicas de Estatística Espacial, comumente empregadas por geógrafos, no estudo da criminalidade urbana, por exemplo, trata-se das medidas de tendência central (centro médio) e de variabilidade ou dispersão (distância padrão) para distribuições espaciais de pontos. Essas técnicas auxiliam a compreensão da estruturação e do rearranjo espacial e possibilitam o entendimento da dinâmica espacial de um conjunto de dados, neste caso a criminalidade, bem como sua variação no tempo e no espaço. A partir dessas análises é possível identificar as regiões de um Estado que apresentam maiores concentrações de taxas criminais,

resultantes das altas variações em relação às médias estaduais, bem como o rearranjo dessas concentrações em dois. O uso de técnicas elementares de Estatística Espacial no estudo da reestruturação espacial da criminalidade violenta em um Estado, constitui um importante suporte na compreensão da dinâmica desse fenômeno, auxiliando, inclusive, o planejamento da segurança pública. Fontes: BATELLA, Wagner Barbosa; DINIZ, Alexandre Magno Alves. O Uso de Técnicas Elementares de Estatística Espacial no Estudo da Reestruturação Espacial da Criminalidade Violenta no Estado de Minas Gerais: 1996-2003. Disponível em <http://www.criminologiarsm.org/LinkClick.aspx?fileticket=XT%2BDy%2B NyrZM%3D&tabid=484&mid=164> . Acesso em 20 de junho de 2012 WIKIPEDIA. Geoestatística . Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Geoestat%C3%ADsti ca> . Acesso em 20 de junho de 2012

Estatística Aplicada à Computação Durante toda sua história, o ser humano aprendeu coisas novas com o bom uso da observação, detectando padrões, formulando hipóteses e testando-as para descobrir regras. Agora no século XXI com a ascensão do computador e da INTERNET o volume de informação e a forma como ela é transmitida aumentou drasticamente, tornando impossível para uma pessoa conseguir fazer qualquer tipo de análise e muito menos detectar algum tipo de padrão, pelo menos em um prazo razoável de tempo. A solução para lidar com esse empilhamento de informações foi instrumentalizar o próprio computador para detectar relações que sejam novas e uteis. A mineração de dados (ou data mining) surge para essa finalidade, podendo ser aplicada tanto para pesquisa cientifica quanto para impulsionar a lucratividade de uma empresa. A mineração de dados consiste num conjunto de ferramentas e técnicas que através do uso de algoritmos de aprendizagem ou classificação e Estatística, são capazes de explorar um conjunto de dados, seja extraindo ou ajudando a tornar claros os padrões nestes dados e auxiliando na descoberta de conhecimento. Tais conhecimentos podem ser apresentados por

essas ferramentas na forma de agrupamentos, hipóteses, regras, árvores de decisão, grafos, ou dendrogramas. Os passos fundamentais de uma mineração bem sucedida a partir de fontes de dados (bancos de dados, relatórios, etc.) consistem de uma limpeza (consistência, preenchimento de informações, etc.). Nesse processo nascem os repositórios organizados (Data Marts e Data Warehouses). A partir deles, um analista refina e conduz o processo ate que padrões apareçam. Todo esse processo segue uma hierarquia que inicia em instâncias elementares (embora volumosas) e termina em um ponto relativamente concentrado. Encontrar padrões requer que os dados brutos sejam sistematicamente "simplificados" de forma a desconsiderar aquilo que é específico e privilegiar aquilo que é genérico. Faz-se isso porque não há muito conhecimento a extrair de eventos isolados. Como aplicação direta do data mining podemos tomar como exemplo o dia a dia de uma empresa que gera um grande número de informações em seus aplicativos operacionais. São dados brutos que revelam quem comprou o quê, quem vendeu, onde, quando e a quantidade. Informação valiosa para uma empresa que pretende se manter competitiva e

lucrativa no mercado. Se uma estatística for feita ao final do dia para repor estoques e identificar tendências de compras, a empresa estará praticando o business intelligence (BI), mas ainda estará correndo o risco de levar em consideração casos específicos. Se analisarmos os dados com uma estatística mais refinada, à procura de padrões de vinculações entre as variáveis registradas, então estaremos fazendo mineração de dados. Assim o data mining permite conhecer melhor os clientes, seus padrões de consumo e motivações. Através dessa combinação entre Computação e Estatística, esses dados agora podem agregar valor às decisões da empresa, sugerir tendências, desvendar particularidades dela e de seu meio ambiente e permitir ações melhor informadas aos seus gestores. Fonte: Wikipedia. Mineração de Dados. Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Minera%C3%A7%C3 %A3o_de_dados. Acesso em 21 de junho de 2012

Página 4


Estatística Aplicada à Química A Quimiometria é uma área que se refere à aplicação de métodos estatísticos e matemáticos, assim como aqueles baseados em lógica matemática, a problemas de origem química. Com a sofisticação crescente das técnicas instrumentais, impulsionada pela invasão de microprocessadores e microcomputadores no laboratório químico, tornaram-se necessários tratamentos de dados mais complexos do ponto de vista matemático e estatístico, a fim de relacionar os sinais obtidos (intensidades, por exemplo) com os resultados desejados (concentrações). As análises quantitativas que eram realizadas na maioria das vezes por "via úmida" como titulação, precipitação e reações específicas, que são demoradas e muitas vezes pouco precisas, estão cada vez mais sendo substituídas por técnicas instrumentais como: Ressonância Magnética Nuclear, Espectroscopia no Infravermelho, Espectroscopia no visível/ultravioleta, Espectroscopia de Massa, Cromatografia, Polarografia,

Análise por Injeção em Fluxo, etc., que aliam a velocidade de análise com uma boa qualidade de resultados. Nessas técnicas instrumentais não é obtida uma informação direta do resultado, mas sim uma grande quantidade de sinais (curvas, picos) que podem ser tratados para uma possível quantificação das várias espécies presentes. Muita ênfase tem sido dada aos sistemas multivariados, nos quais se pode medir muitas variáveis simultaneamente, ao se analisar uma amostra qualquer. Nesses sistemas, a conversão da resposta instrumental no dado químico de interesse, requer a utilização de técnicas de Estatística Multivariada, álgebra matricial e análise numérica. Essas técnicas se constituem no momento na melhor alternativa para a interpretação de dados e para a aquisição do máximo de informação sobre o sistema. De todos os ramos da química clássica, talvez a química analítica tenha sido a mais afetada pelo

desenvolvimento recente da instrumentação química associada a computadores. De fato, a Chemometrics Society, organização internacional dedicada ao uso e desenvolvimento de métodos em Quimiometria, é composta principalmente por químicos interessados em problemas analíticos. Atualmente é muito raro se encontrar qualquer periódico respeitável sobre pesquisas em química analítica, que não traga artigos reportando dados obtidos com o auxílio de microcomputadores, ou tratados por Matemática Multivariada ou Métodos Estatísticos, sempre com o objetivo de melhorar a qualidade dos resultados ou facilitar a sua interpretação. Fonte: Laboratório de Quimiometria em Química Analítica. A Quimiometria. UNICAMP. Disponível em: <http://laqqa.iqm.unicamp.br/Quimiometria.html> Acesso em: 16 de junho de 2012

Estatística Aplicada à Física Uma das contribuições mais importantes de Maxwell foi o desenvolvimento de uma teoria cinética dos gases baseada na Estatística. Aperfeiçoou o trabalho de 1859 do físico alemão Rudolf Clausius (18221888) que já havia considerado um gás como um conjunto de moléculas que colidiam entre si e que se moviam com velocidades dependentes da temperatura. Como era comum na época, Clausius considerou (por simplicidade) que todas as moléculas do gás se moviam com a mesma velocidade. Maxwell inovou ao mostrar que, devido às colisões entre as moléculas, elas deveriam ter velocidades diferentes. Como o número de moléculas em um gás é enorme, Maxwell utilizou a Estatística para calcular a distribuição de velocidades das partículas. Esses resultados foram publicados em 1860 no artigo Ilustrações da teoria dinâmica dos gases. Os métodos estatísticos já eram usados para analisar resultados experimentais, tanto em Física como também nas Ciências Sociais. Mas a ideia de Maxwell de descrever processos físicos pelo uso de funções estatísticas foi uma grande novidade na

época. Com este novo enfoque, obteve valores médios das velocidades das moléculas do gás e, a partir disso, calculou propriedades do gás, como: temperatura, pressão, coeficiente de viscosidade, entre outros. Posteriormente, o físico austríaco Ludwig Boltzmann modificou o trabalho de Maxwell e, em 1868, publicou uma distribuição de velocidades para explicar a condução de calor em gases, conhecida atualmente como distribuição Maxwell–Boltzmann.

teoria dinâmica dos gases. Mostraram que, ao contrário do senso comum, a viscosidade de um gás é independente de sua densidade. Neste artigo, Maxwell também refinou e corrigiu vários erros de seu artigo de 1867, apontados por Clausius. Em 1870 publicou o livro A teoria do calor no qual expõe suas ideias sobre termodinâmica em sua forma madura. Maxwell pesquisou sobre teoria cinética dos gases até o fim de sua carreira, publicando importantes artigos sobre o assunto. Seus trabalhos sobre termodinâmica exerceram grande influência e abriram caminho para muitas pesquisas sobre o assunto no século XX. Fonte: Física Estatística e Molecular. Disponível em <http://www.ghtc.usp.br/Biografias/Maxwell/M axwellfis.html>. Acesso em 21 de maio de 2012

U m a d e s u a s p r i n c i p a i s Fonte: <http://www.geocities.ws/saladefisica5/leituras contribuições para a Física Experimental /browniano.html>. Acesso em 22 de foi feita em 1865, com sua esposa, maio de 2012. Katherine. Juntos fizeram experimentos para estudar a viscosidade de gases a diferentes pressões e temperaturas. Os resultados foram publicados no artigo Sobre a Página 5


Karl Pearson Karl Pearson (Londres, 27 de Março de 1857 – 27 de Abril de 1936) foi um grande contribuidor para o desenvolvimento da Estatística como uma disciplina científica séria e independente. Ele foi o fundador do Departamento de Estatística Aplicada (Department of Applied Statistics) na University College London em 1911; foi o primeiro departamento universitário dedicado à Estatística em todo o mundo. Contribuições para a Estatística O trabalho de Pearson foi muito abrangente na ampla aplicação e desenvolvimento da Estatística Matemática, e abrangeu os domínios da Biologia, Epidemiologia, Antropometria, Medicina e História Social. Em 1901, junto com Weldon e Galton fundou a revista Biometrika cujo objetivo era o desenvolvimento da Teoria Estatística. Ele editou esta revista até a sua morte. Ele também fundou a revista Annals of Eugenics (agora Annals of Human Genetics), em 1925. O pensamento de Pearson fundamentou muitos dos métodos estatísticos

"clássicos" que são de uso comum atualmente. Algumas de suas principais contribuições são: • Regressão Linear e Correlação Pearson foi fundamental no desenvolvimento desta teoria. Um de seus clássicos conjuntos de dados (inicialmente recolhidos por Galton) envolve a regressão da altura dos filhos em relação à de seus pais. Pearson construiu um modelo tridimensional com este conjunto de dados para ilustrar as ideias. O Coeficiente de Correlação produto-momento de Pearson é nomeado assim como homenagem a ele, foi a primeira medida de força de associação a ser introduzida a Estatística. • Classificação das Distribuições - O trabalho de Pearson sobre classificação das distribuições de probabilidade constitui a base para uma ampla teoria moderna Estatística, em particular, a família exponencial de distribuições é fundamental para a teoria do modelo linear generalizado.

• Teste Chi-quadrado de Pearson - É um valor da dispersão para duas variáveis de escala nominal, usado em alguns testes estatísticos. • Coeficiente de Correlação - Em teoria da probabilidade e estatística, correlação, também chamada de coeficiente de correlação, indica a força e a direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias. • Coeficientes de Assimetria - É uma medida que assume o valor zero quando a distribuição de frequências da amostra é completamente simétrica e assume valores diferentes de zero (positivos ou negativos) quando a distribuição não é simétrica. Fonte: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson> Acesso em 20 de junho de 2012 <http://www2.mat.ua.pt/pessoais/ahall/Bioestat% C3%ADstica/SlidesBioestat%C3%ADstica2.pdf> Acesso em 27 de junho de 2012

Centro

STRIMKO um Sudoku diferente O objetivo é completar a grade com números de forma que: - cada linha não possua números repetidos - cada coluna não possua números repetidos - cada linha que une as bolinhas também não possua números repetidos

<http://www.strimko.com/play.htm>

de Ciên cias/UF C a mp u C s do Pic C EP: 6 0455-7 i, bloco 910 1º 60 Forta andar. Tel: 853 le Fax: 85 366-9840/98 za-CE 49 -3366-9 836

EXPED IENTE Tutor d : o PET – Júlio Fr E s t a tíst ancisco Barros ica Neto Cotuto ra do P Ana Ma E ria Sou T –Estatístic za de A a raujo Coord e Ronald nador de Cur so Targino Nojosa Vice-C o Juvênc ordenador io Santo s Nobre Alunos Alisson PETianos: d Carolin a Costa e Tenó rio Men Cleiton d R Eduard icardo Monte es de Aquino o C ân d Ribeiro id Francis co Juce o de Oliveira Gabrie lino Ma lP to Jislayn acífico Mace s Júnior e Rodrig do Borg João G es ue s C a u v José E ilherme Pereir alcante d a Lucas B uardo Holand de Miranda a a Ellery C r r o so R od n e oelho y Vasco Flores ncelos Talita M F e Túlio de lo Negreiros onseca F reitas O li v e ira Wasley Correia Vasconcelos Martinh o Email: petesta Site: w ti ww.pete stica@ufc.br statistic a.ufc.b r

Boletim Estatística em Foco - 11ª edição - Estatística aplicada às ciências  

Boletim Estatística em Foco Programa de Educação Tutorial do Curso de Estatística da UFC PET-Estatística

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you