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PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

TEMA II: MATRICES

UNIDADES ACREDITABLES I ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,... Definición: Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "m  n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A  (ai j )

Amn

 a11  a   21   a  m1

1 Ejemplo: Sea la matriz A23   6  7 1 7 2 4 . Y sus columnas son:  6 , 7

a12 a 22  am2

a1n    a2n  aij     a m n  mn 

 3 5  1  , donde sus filas son:   3 5 y 2 4 6     3 5   y  .  2   4

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TEMA III: MATRICES Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Amn es m·n. En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices. Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro. OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices A  (ai j )mn y B  (bij )pq de la misma dimensión m  p n  q (equidimensionales): y es otra matriz C  A  B  ci j mn  ai j  bi j mn . Por ejemplo, sean las matrices:

 

Amn

 a11  a  A   21   a  m1

a12 a 22  am2

a1n   b11    a2n  b , Bmn  B   21  aij        a mn  mn  bm1 

b12 b22  bm 2

 b1n    b2 n  . bij     bm n  mn

Definimos la suma mediante:  a11  b11  a b A  B   21 21   a  b m1  m1

a12  b12

a 22  b22

aij  bij

a m 2  bm 2

a1n  b1n   a 2 n  b2 n  ,    a m n  bm n  mn

Es una ley de composición interna con las siguientes propiedades: · Asociativa: A  (B  C)  (A  B)  C · Conmutativa: A  B  B  A · Elemento neutro: (Matriz cero 0 mn ), 0  A  A  0  A · Elemento simétrico: (Matriz opuesta -A ), A  (-A)  (-A)  A  0 Al conjunto de las matrices de dimensión m  n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por M mn y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M,  ) es un grupo abeliano. NOTA: La suma de dos matrices y la diferencia de dos matrices (Suma de una matriz con la opuesta de otra matriz) NO están definidas si sus dimensiones son distintas.

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TEMA III: MATRICES PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

Amn

 a11  a  A  aij    21   a  m1

a12 a 22  am2

a1n   a11    a2n   a ; A   21  aij        a m n  mn  a m1 

a12 a 22

aij

a m 2

a1n   a 2 n 

   a m n 

Es una ley de composición externa con las siguientes propiedades: · Asociativa:  (A)  ( ) A · Distributiva I:  ( A  B)  A  B · Distributiva II: (   ) A  A  A · Elemento Neutro de escalares: 1  A  A Para todo  ,  ,1  R; para toda matriz A  M mn . Por lo tanto la terna [ M mn ,,R] constituye un espacio vectorial. MATRICES IGUALES Dos matrices A  aij mn y B  bij pq son iguales, sí y solo si, tienen en los mismos lugares elementos iguales, es decir: m  p, n  q; aij  bij i, j Ejercicio: Dadas las siguientes matrices

1  2 3  1 0 2  ; B   ;   1 y   2 A   0 1 8  3 5 8     Calcular: A  B, A, A  B, B, A  B. Solución: Calculemos A  B : 1  2 3  1 0 2      A  B    0 1 8    3 5 8 1  1  2  0 3  2   A  B   PROFESOR: JULIO C BARRETO G 0  3 31  5 8  8  2  2 5 

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TEMA  2 MATRICES 3  1 0 2  1 III:     A  B    0 1 8    3 5 8 1  1  2  0 3  2   A  B   0  3 1 5 8  8  2  2 5   A  B     3 6 16 

Calculemos A : 1  2 3   0 1 8 

A   1  

  1  1  1   2   1  3    1  0   1  1  1  8 

A  

  1 2  3   0 1  8

A   Calculemos A  B :

11  22 33 11 00 22    11  AA  BB   0 1 8  3 5 8 0 1 8  3 5 8        11  22 33 11 11    AA  BB   0 1 8 0 1 8    11 33

1100 1122  1155 1188 

11  22 33 11 00  22     AA  BB   0 1 8 3  5  8 0 1 8 3  5  8        1111  22  00 33 22  AA  BB   0  3 1  5 8  8 0  3 1  5 8  8    00  22 11  AA  BB   3  4 0 3  4 0   

NOTA: ¿Qué nos define la operación A  B, de acuerdo a lo estudiado en la diferencia de vectores? Se puede decir que define la resta de vectores cuando   1.

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TEMA III: MATRICES Calculemos B : 1 0 2    3 5 8  

B  2  

2 0 2 2  2 1    2   3 2  5 2  8  

B  

0 4  2   6 10 16  

B   Calculemos A  B :

0 2 1  2 3  1   2    0 1 8  3 5 8    

A  B   1  

  1  1   1  0

A  B  

 1   2  1  3   2  1   1  1  1  8   2   3

  1 2  3  2     0 -1  8    6

2  0 2  2  2  5 2  8 

0 4   10 16 

A  B  

 1 2 2  0  3  4    0  6 - 1  10  8  16 

A  B  

2 1 1    6 9 8

A  B  

Recordar que las matrices al ser elementos de un espacio vectorial, son denominadas vectores, lo cual no concuerda con la idea de vectores de los físicos, es decir, con la idea de un ente con dirección y sentido a parte de una magnitud o módulo. Al igual que las matrices de acuerdo a que M mn ( K )  A( X , K ), donde X  E m  En , tenemos que las funciones son vectores también. En esta parte, veremos cómo puede asociarse una matriz a una transformación lineal. Esta asociación, resulta ser de gran interés, con sorprendentes y excelentes resultados. Usando dicha correspondencia, seremos capaces de describir como son todos los espacios vectoriales de dimensión n. Este resultado será realmente interesante. En toda esta parte, supondremos que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita. Comencemos con algunas definiciones básicas.

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TEMA III: MATRICES PRODUCTO DE MATRICES El producto de dos matrices A  (aij ) de dimensión

m n

y otra matriz

B  (b jk ) de dimensión n  p es la matriz A.B dada por: A.B  (cik ). Con cik   aij .b jk , es decir, cada elemento cik se obtiene multiplicando la fila i ésima de la primera matriz por la columna k -ésima de la segunda matriz.  b11  b1 p   a11  a1n      Si A       y B       entonces tenemos que: b  a   m1  a m n   n1  bnp 

 a11b11    a1n bn1  a11b1 p    a1n bnp    AB       a b  a b  a m1b1 p    a m nbnp  m n n1  m1 11

Por ejemplos: 1. Sean las matices:

 1 0     2 4  7 , B    3 4  A    1 5 0   7 1   Podemos realizar el producto de las matrices A  (aij ) 23 y otra matriz B  (b jk ) 32 dándonos una matriz A  .B dada por: C  A.B  (cik ) 22 .  1 0    2 4  7      3 4  A  B    1 5 0   7 1    2  1  4   3   7   7 2  0  4  4   7    1  Definición de producto A  B     1  1  5   3  0  7  1  0  5  4  0   1  de matrices.  2  12  49 0  16  7   Realizando los productos. A  B     1  15  0 0  20  0 

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6   59 23.   Realizando la suma algebraica . A  B     16 20 

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 2  12  49 0  16  7   Realizando los productos. A  B     1  15  0 0  20  0  TEMA III: MATRICES   59 23.   Realizando la suma algebraica . A  B     16 20 

2. Se puede realizar el producto B  A en las matrices anteriores:

 1 0     2 4  7 , B    3 4  A    1 5 0   7 1   En efecto, podemos realizar el producto de las matrices B  (b jk ) 32

y otra

matriz A  (aki ) 23 dándonos una matriz B  A dada por: D  B  A  (c ji ) 33 .

 1 0     2 4  7  B  A    3 4     1 5 0    7  1   1 4  0  5 1   7   0  0   1  2  0   1   B  A    3  2  4   1  3  4  4  5  3   7   4  0   7  2   1   1 7  4   1  5 7   7    1  0    Definición de producto de matrices. 40 70   20   B  A    6  4  12  20 21  0  Realizando los productos.  14  1 28  5  49  0   4 7   2   B  A    10 8 21  Realizando la suma algebraica .  15 23  49   

¿Siempre se podrá hacer el producto de A B y de B  A ?

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TEMA III: MATRICES

 2  3 , 3. De acuerdo con la pregunta anterior que sucede con las matrices: A   1 0   5  B    . En las cuales podemos realizar el producto de las matrices A  (aij ) 22   3 y otra matriz B  (b jk ) 21 dándonos una matriz A  .B dada por:

C  A.B  (cik ) 21 .  2  3  5  A  BA B   2  3    5   1  10  0  3 3   2  5   3   3 3 A  BA B   2  5   3   Definición de producto de matrices.  Definición de producto de matrices.  1 51 05 03 3  10  9  9  A  BA B  10 Realizando los productos.  Realizando los productos.  5  05   0  19   A  BA B  19 Realizando la suma algebraica . .  Realizando la suma algebraica  5  5  Pero no podemos realizar el producto de las matrices B  (b jk ) 21 y otra matriz

A  (aij ) 22 . Concluyendo que para realizar la multiplicación o producto de dos matrices, el número de filas da la primera matriz deben ser igual al número de columnas de la segunda matriz. 4. Si las matrices son cuadradas del mismo orden siempre se van a poder multiplicar A B y B  A , por ejemplo sean las matrices:

 2  3  0  1 , B    A   1 0  2 7  En las cuales podemos realizar el producto de las matrices A  (aij ) 23 y otra matriz

B  (b jk ) 22 dándonos una matriz A  .B dada por: C  A.B  (cik ) 22 . En efecto:

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TEMA III: MATRICES  2  3   0  1     A  B   1 0  2 7   2  0   3  2 2   1   3  7   Definición de producto de matrices. A  B   1   1  0  7   1 0  0  2  0  6  2  21  Realizando los productos. A  B   0  0 1 0    6  23   Realizando la suma algebraica . A  B   0  1  

Además, podemos realizar el producto de las matrices

B  (b jk ) 22

y

matriz A  (aki ) 22 dándonos una matriz B  A dada por: D  B  A  (c ji ) 22 . En efecto:  0  1  2  3      B  A   2 7  1 0   0  2   1  1 0   3   1  0   Definición de producto de matrices. B  A   2   3  7  0   2  2  7 1  0 1 0  0   Realizando los productos. B  A    4  7  6  0  1 0   Realizando la suma algebraica . B  A    11  6 

Y ahora surge la siguiente pregunta: ¿ A  B  B  A ?

Es decir: ¿El producto de matrices es conmutativo?

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otra


TEMA III: MATRICES GUIA DE EJERCICIOS DE MATRICES MATRIZ DE ORDEN m  n. Sea K un cuerpo, una matriz de orden m  n es una aplicación f cuyo dominio es I m  I n y su codominio es K , siendo I m  1,2,, m, I n  1,2,, n. La matriz f asocia a cada par ordenado (i, j )  I m  I n , un elemento f (i, j )  aij  K. Y la matriz f  (aij ) mn . El primer subíndice i toma valores desde 1 hasta m y el subíndice j toma valores desde 1 hasta n. Ejemplo: Sea la matriz en K  R, f  (aij ) 23 dada por la aplicación f (i, j )  i  j donde 1  i  2, 1  j  3. Es una matriz 2  3 (2 filas y 3 columnas), cuyos elementos son: a11  f (1,1)  1  1  2 a12  f (1,2)  1  2  3 a13  f (1,3)  1  3  4 a 21  f (2,1)  2  1  3 a 22  f (2,2)  2  2  4 a 23  f (2,3)  2  3  5  2 3 4  Luego, la matriz así definida se escribe en la forma: f    3 4 5  23

Ejercicio: Sea A la matriz en K  R definida por la aplicación A(i, j )  i 2  j 2 con 1  i  3, 1  j  5. Escribir la matriz A como un arreglo rectangular.

SUMA DE MATRICES

2  1  1. Sea A una matriz tal que A  A   3  . Hallar A.   0 3,3  22 2. Determine cuáles de las siguientes par de matrices se pueden sumar:  1 0 5   a. A  2 5 6 , B     9 77 2,3  1 2 3 4   1 2 15 24      b. A   5 0 6 7 , B    2 0 6 17   9 8 11 7    7 8 11 7     

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TEMA III: MATRICES 3. Hallar x e y sabiendo que 1  1  2  y 3   1         3 6 1 y 4  5 x       4. Sean A y B matrices de orden n  m tal que A  B. Demuestre que si X es otra matriz de orden n  m, entonces A  X  B  X . [Este resultado nos demuestra que si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces si A  B  C , tenemos que A  B   B   C   B . Luego, A  0  C  B, y por tanto A  B  C  A  C  B, es decir podemos despejar una ecuación donde intervienen matrices]. 5. Hallar una matriz X tal que A  X  B, donde las matrices A y B están definidas como sigue: 2 5      3  2   9 1  5 7  , B   A 1 1 1 ,   8 2  3   2 9  3   3  6. Verifique que la suma de matrices triangulares superiores, triangulares inferiores, y diagonales es una matriz triangular inferior, triangular superior ó diagonal respectivamente. 7. Demuestre que toda matriz cuadrada se escribe como suma de: a) Una matriz triangular superior y una matriz triangular superior. b) Una matriz triangular superior, una matriz triangular superior y una matriz diagonal. c) Una matriz simétrica y una matriz triangular inferior ó triangular superior. T 8. Sean A y B matrices del mismo orden. Demuestre que:  A  B   AT  BT . 9. Verifique que la suma de matrices simétricas es también una matriz simétrica. 10. Compruebe que sí A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces tr  A  B   tr  A  tr B . Donde dada una matriz cuadrada A  aij  de orden n se llama traza de la matriz A al número que se obtiene sumando los elementos de la diagonal principal. A este número lo denotamos tr  A. Calcule además, tr I n y

 

 

tr 0n . PRODUCTO DE MATRICES 1. Dadas las Matrices:

e a b  , B   A   g c d 

f  h 

¿Será cierto que AB  BA ? ¿Se cumple la propiedad conmutativa?

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TEMA III: MATRICES 2. Determinar si es posible hacer el producto AB, donde A y B son las siguientes matrices:

1 A  1 5  3, B   3  1   1 3 5  , B   2 b) A    2 1 3  1  a)

2  4  3   1   2 

3. Consideremos las matrices:

 7 1 4 6    2 0 A   2 0 1  1  , B   2 1   2 3 1 0   ¿Cuál de los productos es posible AB  1 3     1 3  2  , B   2 1 . Calcular AB y 4. Sea A    2 1 3   1  2  

3  5  ó BA ? BA ¿Qué concluyes?

5. Demuestre que si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces AI n  I n A  A. para la matriz identidad de orden “ n ” I n , la cual es el elemento neutro para la multiplicación de matrices de orden “ n ”. 5   5  10  1   , las cuales no son matrices nulas. Calcular 6. Sean A   y B   2   2  4    2 5  AB. [En este ejercicio se puede observar que el producto de matrices no nulas da como resultado la matriz nula, situación que no ocurre con los números reales, pues: a.  b  0  a  0 ó b  0. ] x 3 26 3  1  x 1 0  6       7. Sean A   2  5 y , B   y 0  2 , C   15  2  9 y 10  5 y . Hallar  2z  1 0  z 9  25 5   2z 2      los valores de x, y, z de tal forma que AB  C. 8. Sean A una matriz cuadrada y las siguientes matrices: 1  0 A1   0  0 

0 0 0 0 0   0 0 0 0 1 , A2    0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  

0 0 0 0   0 0 0 0 , A3    0 0 0 0   0 0 0 0  

0 0 0 0   0 0 0 0 , A4    1 0 0 0   0 0 0 0  

0 0  0 0 . 0 0  0 1 

Verificar que A  A1 A  A2 A  A3 A  A4 A.

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ÁLGEBRA


TEMA III: MATRICES

 cos sen  , A     sen cos   cos  sen   cos    sen    . Verifique que AB   . B     sen cos     sen     cos    10. Sean A y B matrices tales que se puedan realizar los productos AB y BA. ¿Qué se pueden decir de los órdenes de A y B ? 11. Sean A y B matrices tales que AB  BA. Verifique que 2 2  A  B  A  2 AB  B2. ¿Cuándo se espera que  A  B2  A2  2 AB  B2 ? Da un 9. Sean

ejemplo

 A  B

2

de

,  R

y

consideremos

matrices

A

y

B

tales

la

que

matriz

 A  B2  A2  2 AB  B2

y

 A2  2 AB  B2 .

[Potencias de Matrices: Sea A una matriz cuadrada. Las potencias de A se definen de la siguiente manera: A0  I n , A1  A, A2  AA, A3  AA2 AAA, Y en general si n  1 es un entero entonces An  AAn 1 ] DETERMINANTES Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”. Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes. Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración del teorema detAB=detA detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su texto de cálculo de 1829 Leçons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de límite. Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo Euler escribió más. Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría de propagación de las ondas y las series infinitas. A Cauchy se le reconoce el haber establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemáticas. Después de Cauchy, fue mucho más difícil publicar escritos basándose en la intuición; se exigió una estricta adhesión a las demostraciones rigurosas. El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador. Cuando la Academis Francesa de Ciencias comenzó a publicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy envió su obra para que se publicara, en poco tiempo los gastos de impresión se hicieron tan grandes, solo por la obra de Cauchy, que la academia impuso un límite de cuatro cuartillas por cada documento a ser publicado. Hay algunos otros matemáticos que merecen ser PROFESOR: JULIO C BARRETO G

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ÁLGEBRA


TEMA III: MATRICES mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocido por la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas. Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (18041851), con quien gano la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de las funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante. Definición: Sea A  aij n n . Si n  1, definimos det  A  a11. Si n  2, definimos n

det A    1

1 j

j 1

a1 j detA1 j . Por ejemplos:

1. Para n  1, la matriz cuadrada será A  a11  y por tanto su determinante será: det  A  a11.

2.

 a11 Para n  2, la matriz cuadrada será A    a 21 será: 2

det A    1

1 j

j 1

a12   y por tanto su determinante a 22 

a1 j det A1 j 

det A   1 a11 det A11    1 11

1 2

a12 det A12 

det A   1 a11 det A11    1 a12 det A12  2

3

det A  a11 det A11    1a12 det A12  det A  a11 det A11   a12 det A12  Y como los menores son: A11  a 22  y A12  a 21 , entonces: det  A  a11a 22  a12 a 21

 a11 a12  3. Para n  3, la matriz cuadrada será A   a 21 a 22 a  31 a32 3

det A    1

1 j

j 1

a13   a 23  y su determinante será: a33 

a1 j detA1 j 

det A   1 a11 det A11    1 a12 det A12    1 a13 det A13  PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 ÁLGEBRA 11

1 2

1 3

det A   1 a11 det A11    1 a12 det A12    1 a13 det A13  2

3

4


3

det A    1

1 j

j 1

a1 j detA1 j  TEMA III: MATRICES

det A   1 a11 det A11    1 a12 det A12    1 a13 det A13  11

1 2

1 3

det A   1 a11 det A11    1 a12 det A12    1 a13 det A13  2

3

4

det A  a11 det A11    1a12 det A12   a13 det A13  det A  a11 det A11   a12 det A12   a13 det A13 

Y como los menores son:

a A11   22  a32

a 23  , a33 

a A12   21  a31

a 23  y a33 

a A13   21  a31

a 22  , a32 

entonces: a det A  a11 det 22  a32

a 23  a   a12 det 21 a33   a31

a 23  a   a13 det 21 a33   a31

a 22   a32 

det A  a11 a 22 a33  a 23a32   a12 a 21a33  a 23a31   a13 a 21a32  a 22 a31  De acuerdo con el ejemplo 2.

Si aplicamos la propiedad distributiva entonces nos queda: det A  a11a 22 a33  a11a 23a32  a12 a 21a33  a12 a 23a31  a13a 21a32  a13a 22 a31 det A  a11a 22 a33  a12 a 23a31  a13a 21a32  a11a 23a32  a12 a 21a33  a13a 22 a31 det A  a11a 22 a33  a12 a 23a31  a13a 21a32  a11a 23a32  a12 a 21a33  a13a 22 a31 

Que es la misma regla de Sarrus. NOTA: Se puede usar también la notación D  A  e inclusive colocar la matriz entre barra

A.

DEFINICIÓN DEL MENOR DE UN DETERMINANTE El menor M ij del elemento aij en el determinante A se obtiene de la matriz A suprimiendo el i  ésimo renglón o fila y la j  ésima columna de la matriz A. Por ejemplo, para la matriz

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TEMA III: MATRICES

 a11  A   a 21 a  31

a13   a 23  a33 

a12 a 22 a32

Tenemos que: M 11 

a 22 a 23 a32 a33

, M 12 

a 21 a 23 a31 a33

, M 13 

a 21 a 22 a31 a32

; M 21 

a12 a13 a32 a33

, M 22 

a11 a13 a31 a33

,

Y así sucesivamente. 4.

 2 1 0   Hallar el determinante de A   1 1 4    3 2 5  

 1 4  1 4  1 1 , A12    y A13   , entonces d acuerdo con la definición Como A11    2 5   3 5   3 2 de determinante se tiene que: det A  2

1 4 2 5

1

1

4

3 5

0

1

1

3 2

det A  21 5  4  2  11 5  4   3  01 2  1  3 det A  25  8  15  12   0 det A  2 3  117  det A  6  17 det A  23

NOTA: De manera general se define el determinante de la siguiente forma: n

det A    1 j 1

i j

aij det Aij . Para lo cual se puede realizar tomando cualquier columna o

fila. Y para una matriz cuadrada A3 , se toma en cuenta los siguientes signos:

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TEMA III: MATRICES

        

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.

 a b  b  a b   a b    det   det  det  c d  d  c d   c d 

2.

 a tb  a b    t det  det  c td  c d 

3.

 a  tb b  a b    det  det  c  td c  c d 

4.

a b  b    det det c d  d

5.

det  AB   det  Adet B 

6.

det AT  det A

7.

det A1  det A

a  c 

 

 

1

EJERCICIO: Demostrar las propiedades. EJERCICIOS SOBRE DETERMINANTES

 1 2 2    1  1, encuentre det  A. 1. Sea A   a a 1 0 a   

1 5   2 0 1  3     2. Sean A   3 1 4 , B    2 1  5 . Encuentre:   3 2 7  1  4 2      a) det  A  B . b) det  A  det B . PROFESOR: JULIO C BARRETO G

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TEMA III: MATRICES c) det 7 A.

d) det  B . e) det  AB . f) det BA .

 sen 3. Sea A    cos

 sen  4 , si    , encuentre det  A. cos  3

0   x 1 x   x x  es cero. 4. Encuentre los valores de x para los cuales det 0  2 0 1  x   5. Sea

A  aij nn . Si

AT

es la matriz transpuesta de la matriz

A, entonces

 

det AT  det A.

6. Sean A, B  M n K . Demuestre que det  AB   det  A det B . 7. Sean c  R y A  M 3 K , demuestre que detcA  c 3 det A. En general, sean

c  R y A  M n K , demuestre que detcA  c n det A. 1 x1  8. Sean x1, x2 , x3  R demuestre que det1 x2  1 x3 Demuestre que en general se cumple que:

1 x1  1 x2 det   1 x n 

2 x1   2 x2    x2  x1  x3  x1  x3  x2 . 2 x3 

  n 1  x2     x j  xi .    i j n 1  xn  n 1

 x1

Este determinante se conoce con el nombre de determinante de Vandermonde.

4   9. Calcule det  1  0 

1

0   4   1 .  1 4    10. Demuestre que si A. y B son matrices semejantes de orden n, entonces det  A  det B .

11. ¿Será cierto que det  A  B   det  A  det B  ?

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TEMA III: MATRICES

 cos 12. ¿Será cierto que si A    sen

sen  , entonces det  A  1 ?  cos 

REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD. Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

O tomemos en cuenta que sea una matriz A  aij n n . 

Si n  1, definimos det  A  a11.

Si n  2, definimos det A    1

n

1 j

j 1

a1 j detA1 j .

n

Y de manera general de la forma det A    1 j 1

i j

aij detAij .

Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE. La regla para resolver un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

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TEMA III: MATRICES

ax  by  cz  j  dx  ey  fz  k  gx  hy  iz  l  Luego,

x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

x

j b

c

a

j

c

a b

k

f

d

k

f

d

l h a b

i g , y c a

l b

i g h l z  c e a b c

d

e

f

d

e

f

d

e

f

g

h

i

g

h

i

g

h

i

e

j

e k

EJEMPLO: Dado el sistema de ecuaciones lineales:

 3x  2 y  z  1  2x  z  2   x  y  2 z  4  Los valores de

x, y

x

e

z serían los que nos den al resolver:

1 2 1

3

1 1

3

2 1

2 0 1

2

2 1

2

0 2

1 4 2 1 4 1 2 , y z 3 2 1 3 2 1 e 3 2 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1

1 4 2 1 0 1 1 2

EJERCICIO: Realizar los cálculos anteriores.

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TEMA III: MATRICES EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :

 5x  3 y  z  1  a)  x  4 y  6 z  1 2 x  3 y  4 z  9 

 2x  y  2z  6  b)  3 x  2 y  z  4 4 x  3 y  3 z  1 

c) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. d) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo. e) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.  Barreto J. (2016). Álgebra Lineal (Aplicaciones a las Ciencias y a la Ingeniería). Autores Editores.  Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN-10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015. https://www.createspace.com/5230822  Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.  Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.  Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F “El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia” Siddhartha

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Tema iii matrices algebra uai uney