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MODELO DE TRANSPORTE

DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.

La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino está representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta


en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:

Minimiza Z= 

i=1

m

j=1

n

C

ij

X

ij

Sujeta a:

j=1

i=1

n

X

ij

m

X

Ij

<= ai , i=1,2,…, m >= bj , j=1,2,…, n

X i j >=0 para todas las i y j

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.

El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: X

ij

= ai, i=1,2,..., m

X i j = bj, j=1,2,..., n En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones


prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas.

Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)

MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y el centro de distribución son:

Los Ángeles

Detroit Nueva Orleans

Denver 1 000 1 250 1 275

Miami 1 690 1 350 850

Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original:

Los Ángeles

Detroit Nueva Orleans

Denver 80 100 102

Miami 215 108 68


Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante está equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

Minimizar Z = 80X 11 + 215X

12

+ 100X 21 + 108X

22

+ 102X 31 + 68X

32

Sujeto a:

X 11

X 11

X

X X

12

X 21 X 21

12 ij

X

22

X 31 X 31

X

32

X 22 X 32 para todas las i y j

= = = = =

1 1 1 2 1

000 500 200 300 400

Un método más resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:


Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)

En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante (=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución.

Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.

La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.

Denver Los Ángeles 80 Detroit 100 Nueva Orleáns 102 Planta ficticia 0

Miami 215 108 68 0

1 000 1 300 1 200 200

De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.


Denver Los Ángeles 80 Detroit 100 Nueva Orleans 102

Miami

Destino

215 108 68

Ficticio 0 0 0

1 000 1 500 1 200

La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.

Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)

Una compañía construye una planta maestra para la producción de un artículo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de:

1. Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo posterior. 2. Producción en el mes actual. 3. Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.

El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. Una unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo


de almacenamiento razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Los cálculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera siguiente:

Sistema de Producción 1. Fuente i 1. Periodo de producción i 2. Destino j 2. Periodo de demanda j 3. Oferta en la fuente i 3. Capacidad de producción del periodo i 4. Demanda en el destino j 4. Demanda del periodo j 5. Costo de transporte de la 5. Costo de producto e inventario del fuente i al destino j periodo i al j Sistema de Transporte

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:

Demanda

Periodo 1 1 4 2 6 3 8 4 10 Demanda: 100

2 4.5 4 6 8 200

3 5 4.5 4 6 180

4 5.5 5 4.5 4 300

Capacidad 50 180 280 270


El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:

Cij =

Costo de producción en i,

i=j

Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j

i<j

Costo de producción en i / costo de penalización en i a j i>j

La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i = j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalización adicional.

PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN (Método Húngaro)

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:

o Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz (la matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.


o Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o verticales ) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.

O Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.

Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE ASIGNACION

1. Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4 individuos y 4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las clasificaciones obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo. Los renglones se refieren a los hombres, mientras que las columnas se refieren a los trabajos; el problema consiste en maximizar las calificaciones para asignar los 4 trabajos. Se supone que las calificaciones de un individuo es directamente proporcional a la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se encargara del trabajo.

2. Otro problema que utiliza la misma estructura del modelo de transporte, es la asignación de camiones para reducir al mínimo los costos de un problema de asignación.

3. Una empresa cubre el territorio nacional con dos camiones especialmente equipados para funcionar en condiciones climatológicas específicas. La empresa ha dividido en cinco


regiones geográficas. Se compra el camión A y se modifica para que funcione eficientemente en las regiones uno y dos, y para que funcione bastante bien en las regiones tres y cuatro. El mismo camión no funciona bien en la región cinco. Los gastos de gasolina, mantenimiento y otros costos directos de operación, serían mínimos en las regiones uno y dos, promedio en las regiones tres y cuatro, y altos en la región cinco. Se tiene esa misma información con respecto a los demás camiones de la compañía, o sea, los tipos B, C y D.

SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.

En esta sección presentamos los detalles para resolver el modelo de transporte.

TECNICA DE TRANSPORTE.

Los pasos básicos de la técnica de transporte son:

Paso 1: determínese una solución factible.

Paso 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.

Paso 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2.

OBTENCIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTES


Podemos obtener una solución básica factible (sbf) para un problema de transporte balanceado mediante el método de la esquina Noroeste, el método de costo mínimo, o el método de Vogel. Para obtener una sbf mediante el método de la esquina noroeste, empiece en la esquina superior izquierda del cuadro del transporte y haga a X11 lo más grande posible.

Naturalmente, X11 no puede ser mayor que el menor valor Si y así X11 S1 tache el primer renglón del cuadro de transporte; Esto indica que si habrá más variables básicas del renglón 1 del cuadro. También d1-S1 . Si X11=d1, tache la primera la columna del cuadro de transporte y cambie S1 – d1.

Si X11= S1 = d1, tache o el renglón 1, o la columna 1 (pero no ambos), del cuadro de transporte. Si tacha el renglón 1, cambie d1 por cero; si tacha columna 1, cambie S 1 por 0.

Continúe aplicando este procedimiento a la celda más noroeste del cuadro que no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.

Finalmente, llegara un momento en el cual solo queda una celda a la cual se puede asignar un valor. Asigne a esta celda un valor igual a la oferta de su renglón o a la demanda de su columna, y tache el renglón y la columna de la celda. Se obtiene de esta manera una solución básica factible.

OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE

 Paso

 Paso

1: Si el problema no está balanceado, balancéelo.

2: Utilice uno de los métodos descritos anteriormente para obtener una solución básica factible.


 Paso

3: Utilice el hecho de que U1=0, y Ui+Vj=Cij en todas las variables básicas para encontrar (U1,U2...Um V1,V2...Vn) para la sbf actual.

 Paso

4: Si Ui + Vj – Cij es menor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces la sbf actual es óptima. Si no es así se introduce la variable con valor más positivo de Ui + Vj –Cij en la base. Para hacer esto, encuentre un circuito cerrado (se puede demostrar que solamente existe un circuito cerrado) que contiene la variable que entra y algunas de las variables básicas. Después, tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito cerrado marque las que se encuentren alejadas en número par (0,2,4,6,...) de celdas de la variable que entra como celdas pares. También marque las celdas en el circuito cerrado, que se encuentra un número impar de celdas de la variable que entra como celdas impares. Ahora encuentre la celda impar cuya variable toma el menor valor. Llame este valor teta. La variable correspondiente a esta celda impar saldrá de la base. Para realizar el pivoteo, disminuye el valor de cada celda impar en teta y aumenta el valor de cada celda par en teta. Los valores de las variables que no se encuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. Ahora se completó el bloqueo.

Sí teta es igual a cero, la variable que entra será igual a cero, y una variable impar que tiene un valor actual de cero, saldrá de la base. En este caso, existía un sbf degenerada antes del pivoteo y resultará después del pivoteo.

Si más de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede escoger arbitrariamente una de estas celdas impares para que salga de la base; se obtendrá una vez más una sbf degenerada. El pivoteo produce una nueva sbf.

Paso 5: Regrese a los pasos 3 y 4, utilizando la nueva sbf. Para un problema de maximización, proceda como se especificó, pero cambie el paso 4 por el paso 4’.

 Paso

6: Si Ui + Vj –Cij es mayor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces, la sbf actual es óptima. De otra manera, coloque la variable con el valor más negativo de Ui + Vj – Cij en la base mediante el procedimiento de pivoteo.


METODO DE ESQUINA NOROESTE

Determinación general del modelo de transporte requiere que:

mn 

ai =  bj

i=1 j = 1

Este requisito da origen a una ecuación dependiente, lo que significa que el modelo de transporte tiene sólo m + n –1 ecuaciones independientes. Por lo tanto, como en el método simplex, una solución factible básica inicial debe incluir m + n – 1 variables básicas.

Normalmente, si el modelo de transporte se formula como una tabla simplex, sería necesario utilizar variables artificiales para asegurar una solución básica inicial. Sin embargo, cuando se utiliza la tabla de transporte, una solución factible básica inicial se puede obtener fácil y directamente. Presentamos un procedimiento llamado regla de la esquina noroeste para este fin.

Destino 1 Fuente

1 2 3

Demanda

2 10

X11 X21 X31 5

12 0

3 0

X12 X22 X32 15

7 14

4 20

X13 X23 X33 15

9 16

X14 X24 X34 10

Oferta

11

15

20

25

18

5


El método de la esquina noroeste comienza con la asignación de la máxima cantidad admisible atrevés de la oferta y la demanda de la variable x11 (la de la esquina noroeste de la tabla). Después se tacha la columna (renglón) satisfecha, lo que indica que las variables restantes de la columna (renglón) tachada son iguales a cero. Si se satisfacen una columna y un renglón al mismo tiempo, sólo una (una u otro) puede ser tachada. (Esta condición garantiza la ubicación automática de variables básicas cero, si las hay). Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda de todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad factible máxima se asigna al primer elemento no tachado de la nueva columna (renglón). El proceso se completa cuando se deja sin tachar exactamente un renglón o una columna.

El procedimiento que se acaba de describir se aplica ahora en el ejemplo:

1. x11 = 5, se tacha la columna 1. Por lo tanto, no se puede hacer otra asignación en la columna 1. La cantidad que falta en el renglón 1 son 10 unidades. 2. x12 = 10, se tacha el renglón 1 y faltan 5 unidades en la columna 2. 3. x22 = 5, se tacha la columna 2 y faltan 20 unidades en el renglón 2. 4. x23 = 15, se tacha la columna 3 y faltan 5 unidades en el renglón 2. 5. x24 = 5, se tacha el renglón 2 y faltan 5 unidades en la columna 4. 6. x34 = 5, se tacha el renglón 3 o la columna 4. Como sólo un renglón o una columna se mantienen sin tachar, el proceso llega a su fin.

La solución básica inicial resultante se presenta a continuación. Las variables básicas son x11 = 5, x22 =10, x23 =15, x24 =5 y x34 = 5. Las variables restantes son no básicas en el nivel cero. El costo de transporte asociado es: 5 x 10 +10 x 0 + 5 x 7+ 15 x 9 + 5 x 20 +5 x 18 = $410.

1

1 5

2 10

3

4 15


2 3 5

5

15

15

15

5 5 10

25 5

Cuando se satisfacen al mismo tiempo una columna y un renglón, la siguiente variable que se agregará a la solución básica estará necesariamente en el nivel cero. La siguiente tabla ilustra este aspecto. La columna 2 y el renglón 2 se satisfacen simultáneamente.

1 2 3

1 5

5

2 5 5 10 5

3 0 8 8

4

7 7

10 5 15 15

5 0

Si se tacha la columna 2, x23 se vuelve básica en el nivel cero en el paso siguiente, ya que la demanda restante del renglón 2 vale ahora cero.(Este caso se presenta en la tabla anterior). Si en cambio se cruza el renglón 2, x32 sería la variable básica cero.

Las soluciones iniciales de las dos últimas tablas incluyen el número adecuado de variables básicas, o sea, m + n-1 = 6. La regla de la esquina noroeste produce siempre el número adecuado de variables básicas.

DETERMINACION DE LA VARIABLE DE ENTRADA

(METODO DE MULTIPLICADORES)

La variable que entra se determina mediante el uso de la condición de optimalidad del método simplex. Los cálculos de los coeficientes de la función objetivo están basados en las relaciones primales-duales. Primero presentamos la mecánica del método y después damos


una explicación con base en la teoría de la dualidad. Otro método, llamado procedimiento Saltando Piedras, también sirve para determinar la variable que entra.

En el método de multiplicadores asociamos los multiplicadores ui y vj con el renglón i y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable básica xij ed la solución actual, los multiplicadores ui y vj deben satisfacer la ecuación que sigue:

ui + vj = cij , para cada variable basica xij

Estas ecuaciones producen m+n-1 ecuaciones con m+n incógnitas. Los valores de los multiplicadores se pueden determinar a partir de estas ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores y resolviendo las m+n-1 multiplicadores desconocidos restantes.

Al hacer esto, la evaluación de cada variable no básica Xpq está dada por:

Cpq = up – vq - cpq

Después se selecciona la variable que entra como la variable no básica con la variable no básica con la variable cpq mas positiva.


Si aplicamos este procedimiento a las variables no básicas están dadas como:

X11:

X12:

X22: X23: X24: X34:

U1 U1 U2 U2 U2 U3

+ + + + + +

V1 V2 V2 V3 V4 V4

= = = = = =

C11 C12 C22 C23 C24 C34

= = = = = =

10 0 7 9 20 18

Haciendo u1= 0 los valores de los multiplicadores se determinan sucesivamente como V1=10, V2=0, U2=7, V3=2, V4=13, y U3=5. Las evaluaciones de las variables no básicas están dadas de la manera siguiente:

X13: c13 = u1 + v3 – c13 = 0+2-20 = -18

X14: c14 = u1+ v4 – c14 = 0+13-11 = 2 X21: c21 = u2 + v1 – c21 = 7+10-12 = 5 X31: c31 = u3+v1 – c3 = 5+10-0 = 15 X32: c32 = u3+v2 – c32 = 5+0-14 = -9

X33: c33 = u3 +v3 – c33 = 5+2-16 = -9

Como x31 tiene la variable cpq mas positiva, esta se selecciona como la variable que entra.


Las ecuaciones ui+vj = cij que utilizamos para determinar los multiplicadores, tienen una estructura tan sencilla que es necesario escribirlos en forma explĂ­cita.


DETERMINACION DE LA VARIABLE QUE SALE

(Construcción de un ciclo)

Este paso es equivalente a aplicar la condición de factibilidad del método simplex.Sin embargo, como todos los coeficientes de restricción del modelo de transportes original son cero o uno, las razones de condición de factibilidad tendrán siempre su denominador igual a uno .Por lo tanto los valores de las variables básicas producirán directamente las razones asociadas.

Para el fin de determinar la razón mínima, construimos un ciclo cerrado para la variable actual que entra. El ciclo empieza y termina en la variable no básica designada. Este consta de los segmentos sucesivos horizontales y verticales cuyos puntos extremos deben de ser variables básicas salvo para los puntos extremos que están asociados con la variable que entra. Esto significa que todo elemento de esquina del ciclo debe ser una celda que contenga una variable básica. La tabla 6-10 ilustra un ciclo para la variable que entra dada en la solución básica de la tabla 6-8.Observese que para la solución básica dada solo se puede construir un ciclo único para cada variable no básica.

La variable que sale se selecciona de entre las variables de esquina del ciclo que disminuirán cuando las variables del ciclo que entra aumenten arriba del nivel cero. Estas situaciones se indican en la tabla siguiente a través de las variables contenidas en el cuadro etiquetado con los signos menos.

1

2 10

5-

3 0

20

11

15

7

9

20

25

18

5

10 + 12 50

X 5

31

4

15 14

16

0 15

5+

15

510

La solución básica de la tabla de abajo es degenerada, ya que las variables básicas x11 y x22 son cero. Ahora se revisa la optimizad de la nueva solución básica de la tabla 6-11 calculando los nuevos multiplicadores como se indica en la tabla 6-12. Los valores de cpq están dados por los números de


la esquina de cada celda no basica La variable no básica x21 con la variable cpq positiva mayor entra en la solución. El ciclo cerrado asociado con x21 muestra que x21 o x22 pueden ser la variable que sale. Seleccionamos arbitrariamente x11 como la que sale de la solución.

1

2

1

10 0

3 0

20

11

15

7

9

20

25

18

5

15

2

12 0

3

0 5 5

V1=10 0-

U3=10

15 14 15

V2=0

V3=2 0

15 +

12 +5 X 21 + 0

0-

5 5

-24 15

10 16

15

10

U1=0

U2=7

4

10

V4=13 20

-18 7 15

20

25

18

5

10 16

-24 15

15

+2 9

14

11

-15 10

La tabla de arriba muestra la nueva solución básica que sigue de la tabla siguiente. Los nuevos valores de ui, vj y cpq se vuelven a calcular. La tabla muestra la variable que entra y la que sale como x14 y x24, respectivamente. Al efectuar este cambio en la tabla de abajo obtenemos la nueba solución de la tabla final. Como todas las variables cpq de la tabla final son no positivas se ha llegado a la solución óptima.


V1=5

V2=0 10

U1=0

-5 U2=7

0 15 -

12 0

V4=13 20

-18 7

0+ 0

U3=5

V3=2

9 15

14

16

11 +2 X 14 + 20 10 18

5 5

-19 15

-19 15

-10 10

V1=5

V2=0

V3=2

V4=11

10

U1=0

-5 U2=7

0 5

12 0 5 5

-18 7

10 0

U3=5

20

-19 15

9

5

11

15

20

25

18

5

-2 16

-19 15

25

10

15 14

15

-12 10

EXPLICACION DEL METODO DE MULPIPLICADORES CON UN METODO SIMPLEX

La relación que existe entre el método multiplicadores y el método simplex se puede establecer demostrando que cpq según se define, es igual directamente a los coeficientes de la función objetivo de la tabla simplex asociada con la iteración actual.

Para mostrar cómo se obtiene el problema dual para el método de transporte, considérese primero el caso especial de,=2 y n=3 que se indica en la tabla 6-15. Sean las


variables duales u1 y u2 para las restricciones de las fuentes y v1,v2, y v3 para las restricciones de los destinos. El problema dual se convierte en:

Maximizar w = (a1u1+a2u2) + (b1v1+b2v2+b3v3)

Sujeto a:

U1 +v1 <= c11

U1 +v2 <=c12 U1 +v3 <=c13 U2+v1 <=c21 U2+v1 <=c22 U2 +v3 <=c23

Ui, U2, v1, v2, v3, irrestrictas

El problema dual correspondiente esta dado por:

Maximizar w = ď&#x192;Ľm i-1 a1 u1 + ď&#x192;Ľn bi vj

Sujeto a:

ui + vj <=cij para todas las i y j ui y vj irrestrictas


La evaluación de las variables no básicas se determinan mediante la sustitución de los valores actuales de las variables duales en las restricciones duales y después tomando la diferencia entre sus miembros primero y segundo. Los valores de las variables duales se pueden determinar observando que las restricciones duales correspondientes a una variable básica se deben satisfacer como ecuaciones escritas. En realidad en la iteración óptima los multiplicadores producen los valores duales óptimos directamente.

En lo antes expuesto se asigna un valor arbitrario a una de las variables duales que indica que los multiplicadores simplex asociados con una solución básica dada no son únicos. Esto puede parecer inconsistente con los resultados donde los multiplicadores deben ser únicos.

SOLUCION INICIAL MEJORADA En esta sección presentamos dos procedimientos que determinan la solución inicial a través de la selección de las rutas “economicas”del modelo.

A. MODELO DEL COSTO MINIMO

Asígnese el más grande valor posible a la variable con el menor costo unitario de toda la tabla. Táchese el renglón o columna satisfecha. Después de ajustar la oferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachados, repítase el proceso asignando el valor más grande posible a la variable con el costo unitario no tachado más pequeño. El procedimiento esta completo cuando queda exactamente un reglón o bien una columna sin tachar.

1 1

2 10

0 2

3 0

4 20

15 12

7

9 15

3

0

11

15

20

25

18

5

0

14

10 16


5 5

15

15

10

B. METODO DE APROXIMACION DE VOGEL (VAM)

Este método es heurístico y suele producir una mejor solución inicial que los dos métodos antes descritos. De hecho, VAM suele producir una solución inicial óptima, o próxima al nivel óptimo. Los pasos del procedimiento son los siguientes:

Paso1: Evalúese una penalización para cada renglón restando el menor elemento del costo del renglón del elemento de costo menor siguiente en el mismo renglón.

Paso2: Identifíquese el renglón o columna con la mayor penalización, rompiendo empates en forma arbitraria. Asígnese el valor mayor posible a la variable con el costo más bajo del renglón o columna seleccionado. Ajústese la oferta y la demanda y táchese el renglón o columna satisfecha. Si un renglón o columna se satisfacen al mismo tiempo, solo uno de ellos se tacha y al renglón restante se le asigna una oferta cero. Cualquier renglón o columna con oferta o demanda cero no debe utilizarse para calcular penalizaciones futuras.

Paso 3: a.-si solo hay un renglón o columna sin tachar, deténgase. b.-si solo hay un renglón conoferta positiva sin tachar, determínense las variables básicas del renglón a través del método del costo mínimo. c.-si todos los renglones y columnas sin tachar tienen oferta o demanda cero asignadas, determinese las variables básicas cero a través del método del costo mínimo. Deténgase.


d.-de lo contrario, calcúlense las penalizaciones de las renglones y columnas no tachados y después diríjase al paso 2.

1 1 2 3 PC

2 10 12 0

5 5 10

3 0 7 14

15 7

4 20 9 16

15 7

10 7

3

4

11 20 18

PR 15 25 5

11 20

PR 15 25

10

11 2

5

0

-

10 2 14

PR = Penalización de Renglón PC = Penalización de Columna

1 1 2

2 10 12

0 7

20 9 15

3 PC

0 5 5 -

15 7

15 11

10 9

CONCLUSION: Se han presentado varios métodos para obtener una solución al problema de transporte u otro semejante. Una consideración muy importante que hay que tener en cuenta con cualquier método que se utilice, es que el problema de transporte no siempre puede aislarse y resolverse dentro de sus propios límites. El transporte es tan sólo una parte de todo el sistema de distribución de la compañía. Es muy difícil resolver el mejor programa de transporte en términos de servicio y bajo costo. Esa área de la empresa requiere de una constante atención para incorporar los cambios que constituyan y una difícil tarea para cualquier grupo de investigaciones de negocios.


Bibliograf铆a:

Algebra Lineal y Programaci贸n Lineal, con aplicaciones Administrativas, contables y financieras. Francisco Soler Fajardo. ECOE EDICIONES

MODELO DE TRANSPORTE  

MODELO DE TRANSPORTE