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UNIVERSIDAD DE GRANADA

Grado en Ingeniería de Edificación GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Curso: 2012/2013 Clase: Primero - Grupo: F Aviso legal: los archivos están sujetos a derechos de propiedad intelectual y su titularidad corresponde a los usuarios que los han subido a las plataformas docentes. Esto es solo una recopilación de toda la asignatura impartida en la UGR.

C/ Severo Ochoa s/n, 18071 Granada. Teléfono: 958 244257. Fax: 958 246104. Correo electrónico: etsie_grado@ugr.es. Pág. Web: http://etsie.ugr.es.


TEORÍA

Curso: 2012/2013 Clase: Primero - Grupo: F

C/ Severo Ochoa s/n, 18071 Granada. Teléfono: 958 244257. Fax: 958 246104. Correo electrónico: etsie_grado@ugr.es. Pág. Web: http://etsie.ugr.es.


DIEDRICO Jesús M Rodríguez Bulnes 2.012 - 2.013

domingo, 14 de octubre de 12


Está constituido por dos planos perpendiculares entre sí, ubicados en posición horizontal (H) y vertical (V). Estos planos dividen al espacio en cuatro cuadrantes o diedros.

A la recta intersección entre ambos planos se denomina Linea de Tierra (LT).

El observador se supone situado en el infinito, anterior al primer cuadrante.

Para la representación de un objeto proyectaremos ortogonalmente sobre los planos horizontal y vertical. Al tener que trabajar sobre un plano nos vemos en la necesidad de reducir las tres dimensiones del espacio a las dos del plano, para ello abatiremos el planos vertical sobre el horizontal haciéndolo girar sobre la linea de tierra.

domingo, 14 de octubre de 12


domingo, 14 de octubre de 12


domingo, 14 de octubre de 12


Los planos bisectores de los diedros o cuadrantes dividen al espacio en 8 partes, llamados octantes. El plano bisector del primer y tercer cuadrante se denomina Primer Bisector, el plano bisector del segundo y cuarto cuadrante se denomina Segundo Bisector.

domingo, 14 de octubre de 12


Punto: Proyecciones del punto seg煤n su posici贸n en el espacio.

domingo, 14 de octubre de 12


Punto: Coordenadas.

X: (Desviaci贸n) distancia del punto a origen. Y: (Alejamiento) distancia del punto al plano vertical. Z: (Cota) distancia del punto al plano horizontal.

domingo, 14 de octubre de 12


Recta: Definición.

Una recta queda definida conocidos dos puntos de la misma. ✴

Par a hallar sus proyecciones basta con unir las proyecciones homologas de dos puntos que per tenezcan a la misma. ✴

domingo, 14 de octubre de 12


Recta: Puntos Notables. Se denominan trazas de la recta a los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección. ✦

Traza horizontal: (h-h’) Punto de la recta situado en plano horizontal de proyección. Para hallar esta traza se prolonga la proyección vertical de la recta (r’) hasta LT y por este extremo se traza la normal a LT hasta cortar a la proyección horizontal de la recta (r). Traza vertical: (v-v’) Punto de la recta situado en plano vertical de proyección. Para hallar esta traza se prolonga la proyección horizontal de la recta (r) hasta LT y por este extremo se traza la normal a LT hasta cortar a la proyección vertical de la recta (r’). Traza con los bisectores: Las proyecciones de la traza con el primer bisector son las intersecciones de cada proyección con la simétrica de la otra respecto a LT.

domingo, 14 de octubre de 12


domingo, 14 de octubre de 12


domingo, 14 de octubre de 12


Recta: Partes Vistas.

La parte vista de una recta se sitĂşa en el primer cuadrante. La parte vista de un recta se sitĂşa en el primer c u a d r a n t e , representĂĄndose con trazo c o n t i n u o. L a s p a r t e s ocultas se representan con trazo discontinuo.

domingo, 14 de octubre de 12


Recta: Rectas Secantes.

Dos rectas se cortan si tienen un punto en c o m Ăş n , e s d e c i r, l a s proyecciones del punto estĂĄn situadas sobre las correspondientes proyecciones de ambas rectas.

domingo, 14 de octubre de 12


Recta: Rectas Paralelas.

Dos rectas son paralelas si sus proyecciones homologas son paralelas.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Definición. El plano queda definido por:

•Tres punto no alineados. •Un punto y una recta. •Dos rectas que se cortan. •Dos rectas paralelas. El plano se representa por sus trazas, siendo estas la intersección del plano con los planos de proyección horizontal y vertical. Ambas trazas concurren en un punto en la LT.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Definici贸n.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Definici贸n de plano por dos rectas que se cortan.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Definici贸n de plano por dos rectas paralelas.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Puntos y Rectas de un Plano. Una recta est谩 contenida en un plano si las trazas de la recta est谩n contenidas en las trazas hom贸nimas del plano e inversamente si un plano pasa por una recta sus trazas pasan por las trazas hom贸nimas de esta. Un punto A pertenece al plano si pertenece a una recta de este plano. domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Rectas horizontales y frontales de un plano. Las rectas horizontales tendrán su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano y su proyección vertical paralela a la LT.

Las rectas frontales tendrán su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano y su proyección horizontal paralela a la LT.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Rectas de máxima pendiente e inclinación de un plano. Recta de máxima pendiente m de un plano será aquella cuya proyección horizontal sea or togonal a la traza horizontal del plano que la contiene. Recta de máxima inclinación m1 de un plano será aquella cuya proyección vertical sea or togonal a la traza vertical del plano que la contiene.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Intersecci贸n de planos

La intersecci贸n entre dos planos es una recta d e fi n i d a p o r l a intersecci贸n de sus trazas hom贸nimas.

domingo, 14 de octubre de 12


Plano: Intersección de recta y plano

Para hallar el punto de inter sección entre la recta r y un plano ∝, hacemos pasar por la recta r un plano cualquiera β. Hallamos la recta intersección de ambos planos ∝ y β, a continuación el punto de intersección de ambas rectas es el resultado buscado.

domingo, 14 de octubre de 12


Perpendicularidad

Teoremas de Perpendicularidad: A. Si una recta r es perpendicular a un plano ∝ es perpendicular a todas las rectas contenidas en él. Recíprocamente para que una recta r sea perpendicular a un plano ∝ basta que lo sea a dos rectas de ∝, no paralelas entre sí.

domingo, 14 de octubre de 12


Perpendicularidad

Teoremas de Perpendicularidad: B. Si dos rectas son perpendiculares y una de ellas es paralela a un plano âˆ?, o per tenece a ĂŠl sus proyecciones or togonales sobre âˆ? son perpendiculares.

domingo, 14 de octubre de 12


Perpendicularidad : Recta perpendicular a un plano.

La condición de perpendicularidad entre una recta r y un plano ∝ es que las proyecciones de la recta r sean perpendiculares a las trazas homonimas del plano ∝.

domingo, 14 de octubre de 12


Perpendicularidad : Plano perpendicular a un plano.

En geometría se demuestra que si una recta r es perpendicular a un plano ∝ todo plano β que pasa por la recta r es perpendicular a ∝. Según esto para trazar por un punto A un plano perpendicular a β, se trazar por A la normal r a β, y cualquier plano ∝ que pase por r es perpendicular al β

domingo, 14 de octubre de 12


Perpendicularidad : Recta perpendicular a otra.

Para hallar la recta perpendicular a una d a d a r, t r a z a m o s u n p l a n o � perpendicular a r, cualquier recta s situada en � es perpendicular a r.

domingo, 14 de octubre de 12


Diedrico Jesus M Rodriguez Bulnes Curso 2.012 - 2.013

martes, 6 de noviembre de 12


Sistema Diedrico Generalidades

En este sistema utilizamos dos planos de proyección, perpendiculares entre sí, colocado en posición horizontal y vertical.

Designamos con H al horizontal y V al vertical.

La intersección de ambos planos es una recta denominada LINEA DE TIERRA. Se designa por sus iniciales LT y se representa con un trazo a cada extremo.

Los planos dividen al espacio en 4 diedros o cuadrantes. El observador se supone colocado en el primer cuadrante.

martes, 6 de noviembre de 12


Diedrico El punto

✤

Para representar un punto proyectaremos ortogonalmente sobre los planos H y V. Obteniendo su proyecciĂłn horizontal y vertical y se designan con sub-Ă­ndice 1 y 2.

martes, 6 de noviembre de 12


2 Cuadrante

martes, 6 de noviembre de 12

3 Cuadrante

4 Cuadrante


Diedrico La recta

Una recta viene definida por sus proyecciones r1 y r2.

Si un punto pertenece a la recta, su proyección horizontal A1 pertenecerá a la proyección r1 de la recta. Igualmente con su proyección vertical.

La parte vista de una recta se sitúa en el 1º cuadrante y esta limitada por los planos H y V.

martes, 6 de noviembre de 12


martes, 6 de noviembre de 12


Las partes vistas se dibujan con trazo continuo y las ocultas con trazo discontinuo.

martes, 6 de noviembre de 12


Posiciones de la Recta

martes, 6 de noviembre de 12


Rectas Secantes y Paralelas

martes, 6 de noviembre de 12


Diedrico El Plano

✤

Todo plano corta a los planos HV segĂşn dos rectas que concurren en un punto en la linea de tierra.

✤

Si una recta esta contenida en un plano sus trazas homologas han de coincidir. Y si un plano pasa por una recta sus trazas pasan por las trazas homologas de esta.

martes, 6 de noviembre de 12


Recta contenida en un Plano

martes, 6 de noviembre de 12


Horizontal de un Plano Si plano corta a H corta a todos los paralelos a ĂŠl.

Vertical de un Plano

martes, 6 de noviembre de 12


Posiciones Particulares de un Plano

martes, 6 de noviembre de 12


Plano Horizontal

Plano Vertical

martes, 6 de noviembre de 12


De Canto

Vertical

De Perfil

Paralelo LT

martes, 6 de noviembre de 12


Intersecci贸n de Planos

martes, 6 de noviembre de 12


Plano por Coordenadas

P(-3;4;7).

martes, 6 de noviembre de 12


DIEDRICO: GIROS Profesor : Jesus M Rodriguez Bulnes

jueves, 25 de octubre de 12


GIRO DE PUNTO •

Si un punto A gira alrededor de una recta e (eje de giro), describe una circunferencia sobre plano ∝, normal al eje. El centro O de dicha circunferencia será la intersección de la recta e y plano ∝ y de radio OA.

Si el punto girase un ángulo β determinaría el arco AA’

jueves, 25 de octubre de 12


Todos los giros se efectúan alrededor de una recta: eje

Para definir un giro a de indicarse: ✴

La figura o forma de giro: punto, plano, cuerpo, etc.

El eje de giro

El ángulo que gira

El sentido de giro

jueves, 25 de octubre de 12


GIRO HORIZONTAL Se realiza sobre una recta vertical: eje Se desplaza la proyecci贸n horizontal y la vertical no cambia de cota.

jueves, 25 de octubre de 12


GIRO VERTICAL Se realiza sobre una recta de punta: eje Se desplaza la proyecci贸n vertical y la horizontal no cambia de alejamiento.

jueves, 25 de octubre de 12


GIRO DE LA RECTA •

Las proyecciones de una recta girada se hallan girando dos de sus puntos y uniendo las proyecciones homónimas.

Se pueden plantear dos casos: 1) la recta corta al eje de giro 2) La recta se cruza con el eje de giro.

jueves, 25 de octubre de 12


GIRO DE RECTA QUE CORTA AL EJE DE GIRO Disponemos de dos puntos característicos: A: intersección de ambas recta, no varia Hr: La traza de la recta que perteneces la plano H y es la que describe el ángulo ∝.

jueves, 25 de octubre de 12


GIRO DE RECTA QUE CRUZA AL EJE DE GIRO Basta con girar dos puntos A y B de la recta. Los más práctico es traza la perpendicular común a e y r. Al girar r se conserva la tangente a la circunferencia eC

jueves, 25 de octubre de 12


•

Trazamos la perpendicular comĂşn a ambas recta y un circulo de radio e-C

jueves, 25 de octubre de 12


Girarmos el punto C el ángulo ∝ deseado. Obteniendo C2

jueves, 25 de octubre de 12


•

Podemos obtener la traza de la recta girada trazando la tangente al circulo por C2.

•

Para hallar la traza vertical podemos girar la traza de la recta o cualquier punto A.

jueves, 25 de octubre de 12


Basta unir a1’ con C2’ y obtenemos la proyección vertical de la recta.

jueves, 25 de octubre de 12


GIRO DEL PLANO

GIRO DE UN PLANO SOBRE UNA RECTA DE PUNTA Basta con girar la Traza Vertical del Plano y la frontal que corta al eje.

jueves, 25 de octubre de 12


•

Trazamos una circunferencia con centro en la traza vertical de la recta de punta y tangente a la traza vertical del plano.

•

Giramos el radio el angulo deseado. La nueva traza vertical del plano girado serĂĄ la tagente por este punto.

jueves, 25 de octubre de 12


•

Trazamos la recta frontal que pasa por la traza vertical de la recta de punta.

jueves, 25 de octubre de 12


•

Trazamos la recta frontal GIRADA que pasa por la traza vertical de la recta de punta.

jueves, 25 de octubre de 12


•

El plano buscado contiene las trazas de la recta y coincide en la LT con la traza vertical del plano.

jueves, 25 de octubre de 12


DIEDRICO: ABATIMIENTOS Profesor : Jesus M Rodriguez Bulnes

jueves, 25 de octubre de 12


Abatir un punto es girarlo hasta situarlo en el plano deseado.

Abatir un plano ∝ sobre un plano H es girar alrededor de trazado h∝ con H, hasta hacerlo coincidir.

El eje de giro h∝ se denomina “Charnela”

En un abatimiento hay que indicar.

Que plano se abate

Alrededor de que traza o charnela se gira

El sentido de giro

La aplicación del abatimiento es medir angulos, distancias y verdaderas magnitudes

jueves, 25 de octubre de 12


ABATIMIENTO HORIZONTAL DE UN PLANO

•

Cuando el punto pertenece a la traza vertical lo podemos hacer directamente.

jueves, 25 de octubre de 12


Abatimiento Vertical de una Recta: Para girar una recta giramos dos de sus puntos.

Abatimiento Horizontal de una Recta: se actúa de igual forma cambiando el eje de giro.

jueves, 25 de octubre de 12


ABATIMIENTO HORIZONTAL DE UNA RECTA

Abatimos el plano que contenga la recta.

jueves, 25 de octubre de 12


DIEDRICO: EJERCICIO DE ABATIMIENTO Y GIROS Profesor : Jesus M Rodriguez Bulnes

jueves, 25 de octubre de 12


โ€ข

Situar un cuadrado de lado 3cm en un plano cuyas trazas forman 60ยบ PV y 45ยบPH. El centro del cuadrado en A(3,4,3)cm. Un lado serรก paralelo al PH.

jueves, 25 de octubre de 12


jueves, 25 de octubre de 12


ABATIMOS EL PUNTO A

jueves, 25 de octubre de 12


DIBUJAMOS EL CUADRADO

•

Que el cuadrado sea paralelo al PH significa que sea paralelo a la traza horizontal del plano que lo contiene

jueves, 25 de octubre de 12


DIBUJAMOS LAS HORIZONTALES

jueves, 25 de octubre de 12


RECONSTRUIMOS LAS PROYECIONES DEL CUADRADO

jueves, 25 de octubre de 12


DIEDRICO: PIRAMIDE Profesor : Jesus M Rodriguez Bulnes

jueves, 25 de octubre de 12


โ€ข

Basรกndonos en el ejercicio anterior tomar el cuadrado dibujado como la base de una pirรกmide regular de 3 cm de alto.

jueves, 25 de octubre de 12


jueves, 25 de octubre de 12


DIBUJAMOS RECTA AUXILIARES •

El eje de la pirámide el ortogonal a su base y por tanto al plano P. Hemos de trazar una recta ortogonal a dicho plano que pase por su centro.

Hemos de abatirla posteriormente para representar su altura. Este abatimiento lo haremos con una recta de punta que pase por A.

jueves, 25 de octubre de 12


ABATIMOS LA RECTA

jueves, 25 de octubre de 12


HALLAMOS LA ALTURA DE LA PIRAMIDE

•

Sobre la recta abatida marcamos la verdadera magnitud de la altura. Realizamos el proceso inverso, hallamos sus proyecciones.

jueves, 25 de octubre de 12


jueves, 25 de octubre de 12


PRISMAS Y PIRAMIDES D. Jesús M Rodríguez Bulnes

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Representación Una pirámide queda definida por su vértice V y por la base.

Las aristas son recta que unen los vértices de la base con el vértice.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana 1. Plano de Canto

Si plano ∝ es un plano de canto los vértices de la intersección son las intersecciones de la traza vertical del plano con las proyecciones verticales de las aristas.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana 2. Plano Vertical

Si plano ∝ es un plano vertical los vértices de la intersección son las intersecciones de la traza horizontal del plano con las proyecciones horizontales de las aristas.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana 3. Plano

Si plano ∝ es un plano cualquiera la sección producida se halla fácilmente: 1. Plano proyector Q: nos auxiliamos de un plano proyector Q que pase por un vértice de la base y el vértice de la pirámide. Hallamos la recta intersección con el plano ∝. Hallamos a continuación la intersección de dicha recta con la arista de la pirámide. 2.Por afinidad: Conocemos B,C, G , 1. Trazamos una recta afín BC. Interseca con plano P y unimos dicho punto con 1. Calculado previamente por el plano proyector.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana 3. Plano

1. Plano proyector Q: nos auxiliamos de un plano proyector Q que pase por un vértice de la base y el vértice de la pirámide. Hallamos la recta intersección con el plano ∝. Hallamos a continuación la intersección de dicha recta con la arista de la pirámide.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana 3. Plano

1.Por afinidad: Conocemos B,C, G , 1. Trazamos una recta afín BC. Interseca con plano P y unimos dicho punto con 1. Calculado previamente por el plano proyector.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

1.Partimos de:

•Pirámide regular de base pentagonal, con la base

situada sobre el plano de referencia horizontal. Con vértice en las coordenadas (0,60,80)

•Plano P (80,150,80) •Hallar de intersección de dicho plano con la pirámide.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

•Trazamos un plano proyecto Q que contenga una arista de la pirámide.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

•Hallamos la recta intersección del plano P con el plano proyector Q.

•Hallamos la intersección de la recta resultante con la arista de la pirámide. Obteniendo el punto 1

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

•Por afinidad hallamos el siguiente punto de intersección.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

•Por afinidad hallamos el siguiente punto de intersección.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

•Por afinidad hallamos el siguiente punto de intersección.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

•Por afinidad hallamos el siguiente punto de intersección.

•En este punto no ayudamos de una recta horizontal para hallar la proyección vertical del punto.

martes, 6 de noviembre de 12


Pirámide:

A. Sección Plana Resolución Ejemplo Plano

•Finalmente uniendo los puntos obtenemos la sección buscada.

martes, 6 de noviembre de 12


CAMBIO DE PLANO D. Jesús M Rodríguez Bulnes

martes, 6 de noviembre de 12


Cambio de Plano A la hora de proyectar podemos escoger el sistema de coordenadas que m谩s nos convenga. Podemos trabajar con varios sistemas de coordenadas conociendo la relaci贸n que existe entre ellos, pues no dejan de ser un sistema de representaci贸n. Los objetos siempre son los mismos en el espacio escojamos el sistema de representaci贸n que escojamos.

martes, 6 de noviembre de 12


Cambio de Plano En determinadas ocasiones es más favorable trabajar con otro sistemas de coordenadas. Cambio de plano vertical: La condición que se ha de cumplir es que el nuevo plano vertical sea ortogonal al plano horizontal existente. La intersección entre ambos será la nueva linea de tierra. En un cambio de plano vertical cambiará el alejamiento pero la cota se mantendrá igual. Cambio de plano horizontal: La condición que se ha de cumplir es que el nuevo plano horizontal sea ortogonal al plano vertical existente. La intersección entre ambos será la nueva linea de tierra.

martes, 6 de noviembre de 12


Cambio de Plano de un Punto En este ejemplo realizamos un cambio de plano vertical.

martes, 6 de noviembre de 12


Cambio de Plano de un Segmento En este ejemplo vemos un cambio de plano vertical. Si ubicamos la nueva linea de tierra paralela al segmento o coincidente con ĂŠl, la nueva proyecciĂłn vertical del segmento me darĂĄ la verdadera magnitud.

martes, 6 de noviembre de 12


Cambio de plano de un Plano En el ejemplo vemos un cambio de plano vertical. La traza horizontal permanece constante, obteniendo la traza vertical mediante un punto de la misma.

martes, 6 de noviembre de 12


SECCION MEDIANTE CAMBIO DE PLANO

martes, 6 de noviembre de 12


Sección Pirámide Cambio Plano Lo más sencillo para realizar una sección es realizar un cambio de plano de tal modo que “convirtamos” el plano P en un plano de canto o vertical. Para ello trazamos la nueva linea de tierra perpendicular a una traza, dependiendo de si necesitamos realizar un cambio de plano horizontal o vertical.

martes, 6 de noviembre de 12


Secci贸n Pir谩mide Cambio Plano Hallamos la nueva traza vertical del plano y la proyecci贸n de la pir谩mide.

martes, 6 de noviembre de 12


Secci贸n Pir谩mide Cambio Plano Al tratarse de un plano de canto la secci贸n es inmediata

martes, 6 de noviembre de 12


1º) DENOMINACION DEL TEMA: SOMBRAS 2º) EPIGRAFES QUE LO INTEGRAN: TEORIA DE SOMBRAS. SOMBRA DE UN PUNTO. SOMBRA DE UN SEGMENTO. SOMBRA DE UN PRISMA. APLICACIÓN DE SOMBRAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION. 3º) OBJETIVOS: • Conocer la teoría fundamental de sombras. • Aprender a distinguir entre sombra propia y sombra aparente. • Conocer el método de obtención de sombras sobre elementos sencillos. • Aprender a obtener las sombras que produce una edificación.

SOMBRAS 2.12.-TEORIA DE SOMBRAS.

La sombra se produce en aquellos lugares a donde no llega la luz. El objeto de la teoría de sombras es reproducir en los dibujos de los cuerpos iluminados los efectos que produce en las superficies de los mismos la luz. La luz proviene siempre de un cuerpo luminoso, sabido es que la luz se propaga siempre en línea recta según rayos, que partiendo del cuerpo luminosos, inciden sobre las superficies de los cuerpos. La superficie de los mismos no alcanzada por los rayos luminosos se encuentra en sombra.

Fig. 51.- Fundamentos de las Sombras. GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Capítulo 2.12: SOMBRAS APLICADAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

4º) CONTENIDOS:

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En la práctica del dibujo se acostumbra a tomar como foco luminoso el sol, con lo cual los rayos luminosos, además de ser siempre rectos, podemos considerarlos sensiblemente paralelos. Con respecto a la dirección de los mismos se suele fijar la diagonal de un cubo, con lo cual todos los rayos luminosos formaran ángulos de 45º respecto a la Línea de Tierra.

La sombra propia se produce en aquella parte del cuerpo opuesta a la iluminación y a la que, por tanto no llegan los rayos luminosos por impedirlo otra parte del mismo. La sombra arrojada se produce sobre una superficie directamente iluminada, al interponer entre la misma y el foco luminosos un cuerpo opaco.

Fig. 53.- Sombra Propia y Sombra Arrojada.

2.13.-SOMBRA DE UN PUNTO.

Es la figura más fácil y su proyección será otro punto. Si la luz es paralela y conocemos su dirección L L´ basta trazar una recta paralela al rayo luminoso que pase por el punto dado a a´ y buscar la intersección de esta recta con los planos de proyección (trazas de la recta). Solo vemos la traza H puesto que la V está en el cuarto diedro.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Capítulo 2.12: SOMBRAS APLICADAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

Fig. 52.- Rayos Luminosos.

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Fig. 54.- Sombra de un Punto.

2.14.-SOMBRA DE UN SEGMENTO.

Conociendo la sombra del punto, esta se reduce a unir la de dos puntos y en caso de luz paralela como en luz focal, el conjunto de rayos luminosos que pasan por los puntos que forman la recta, generan un plano de luz, cuya intersecci贸n con los de proyecci贸n es la sombra buscada.

Fig. 55.- Sombra de un Segmento.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Cap铆tulo 2.12: SOMBRAS APLICADAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

En la figura de la derecha se emite la luz desde el foco, uniendo desde f el punto, buscamos las trazas, siendo 煤til solo la V, por estar H en el segundo diedro.

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En la figura de la izquierda en el segmento A-B, se pasan los rayos paralelos a la dirección, hallando las trazas de las rectas que pasan por los extremos del segmento, siendo vista la parte que se encuentra en el primer diedro, (B)- z . Hallando la traza vertical de A, esta se une desde z completando la sombra, no siendo necesario hallar la traza vertical de la recta que pasa por b, por cortarse y coincidir en z.

2.15.-SOMBRA DE UN PRISMA.

Fig. 56.- Sombra del Prisma. 2.16.-APLICACIÓN DE SOMBRAS EN LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

Se da la planta y alzado de los volúmenes en diédrico, considerando luz paralela formando 45º con la LT. Se observa en los siguientes ejemplos, que las caras del sólido funcionan como plano verticales y horizontal único, sobre los cuales hay que hallar las intersecciones o trazas de las rectas (rayos) que hacemos pasar por los puntos o vértices principales que nos van a definir las sombras. Cuando tenemos superficies cilíndricas, tomaremos varios puntos para definir mejor la curvatura de la sombra.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Capítulo 2.12: SOMBRAS APLICADAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

Sea el prisma de la figura 56, teniendo en cuenta que según la dirección de los rayos luminosos, las caras ab y ad del prisma se encuentran iluminadas y las cd y cb en sombra, la línea de separatriz se confunde con las aristas del prisma en los puntos b y d de su base. Según esta circunstancia, podemos indicar sobre el prisma la sombra propia. Para determinar la sombra arrojada del prisma sobre los planos de proyección hemos de obtener solamente las sombras arrojadas por los vértices de su base superior. Teniendo presente que las aristas laterales del prisma son perpendiculares al plano horizontal, sus sombras se representaran perpendiculares a la línea de tierra en proyección vertical y formando ángulos de 45º en proyección horizontal.

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Fig. 58.-Sombras en Edificaci贸n Primera.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Cap铆tulo 2.12: SOMBRAS APLICADAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

Fig. 57.- Edificaci贸n Primera.

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Fig. 60.- Sombras en Edificaci贸n Segunda.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Cap铆tulo 2.12: SOMBRAS APLICADAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

Fig. 59.- Edificaci贸n Segunda.

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5º) ACTIVIDADES DE CLASE: Las establecidas en la Asignatura de Procedimientos Directos.

6º) ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Las establecidas en la Asignatura de Procedimientos Directos.

• • •

• • •

BERTRAN GUASP, J.: Geometría descriptiva – San Sebastián: Ed. Donostiarra, 2005. BONET MINGUET, E.: Sistemas de Representación Espacial. El autor. 1986. FERNÁNDEZ PALACIOS, M.V.; GENTIL BALDRICH, J.M.; JIMÉNEZ PRIETO, A: RUIZ DE LA ROSA, J.A.: Apuntes de Geometría Descriptiva. Romos. 1974. E.T.S.A. de Sevilla. GONZÁLEZ MONSALVE, M. / PALENCIA CORTÉS, J., Dibujo Técnico. Tomo II. Geometría Descriptiva. IZQUIERDO ASENSI, F.: Geometría Descriptiva. Dossat. 1986. SÁNCHEZ GALLEGO, J.A., Geometría descriptiva. Sistemas de proyección cilíndrica.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Capítulo 2.12: SOMBRAS APLICADAS A LA INGENIERIA DE LA EDIFICACION.

7º) BIBLIOGRAFIA:

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1. Construcciones  de  Dibujo  Tecnico   http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/mem2001/dibujo tecnico/Construcciones%20de%20dibujo%20tecnico/entrd.htm   2. Diedrico   http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/mem2002/geom etria_vistas/   3. Diedrico   http://recursostic.educacion.es/bachillerato/dibutec/web/   4. Laboratorio  Virtual   http://palmera.pntic.mec.es/%7Ejcuadr2/laboratoriosd/index.html   5. Dibujo  Tecnico  (Muy  Completa)   http://dibujotecnico09.blogspot.com.es    


PROBLEMAS

Curso: 2012/2013 Clase: Primero - Grupo: F

C/ Severo Ochoa s/n, 18071 Granada. Teléfono: 958 244257. Fax: 958 246104. Correo electrónico: etsie_grado@ugr.es. Pág. Web: http://etsie.ugr.es.


PUNTOS, RECTAS Y PLANOS I.

Determinar las proyecciones diédricas de los puntos A. (-60 ; -19 ; 10) B. (-36 ; -19 ; -11) C. (Primer bisector)(-12 ; 19 ; Z) D. (12 ; 0 ; -19) E. (36 ; 14 ; 19) F. (60 ; -19 ; 0)

II.

Determinar las proyecciones diédricas de los siguientes puntos según sus coordenadas. x y z A

0

13

20

B

20

6

-20

Hallar las trazas de la recta que definen. III. Determinar las proyecciones diédricas de las rectas: r: H(-12 ; 19 ; Z) V(-60 ; Y ; 25) s: Contenida en el 2º bisector y definida por la traza H(32 ; Y ; Z) y el punto P (53 ; -Y ; 20) IV. Hacer un plano con una recta cualquiera y un punto exterior a ella. Hallar un plano paralelo al plano resultante. V.

Determinar las proyecciones diédricas de la recta s intersección entre los siguientes planos: Plano Alfa tiene su referencia en -70 y Beta en 70 Ambos compar te el punto M (0 , 60 , 20) El plano Alfa contiene

A(45 , 10 , -40 )

El plano Beta contiene

B(45 , 20 , 40 ) -1-


EJERCICIO DIEDRICO GENERALIDADES A. EJERCICIO 1 Dados los puntos M(30,-35,-15) y N(50,-15, 10), dibujar las proyecciones de la recta R que pasa por dichos puntos, indicando par tes vistas y ocultas de la recta, trazas y puntos de intersección con los planos bisectores. Formato A4 ver tical. Línea de tierra centrada y origen a 50 mm. del borde izquierdo del papel. Medidas en milímetros.

B. EJERCICIO 2 Dados los puntos A(00,-90,-10) y B(00,40,60), hallar las trazas de la recta que dichos puntos definen, puntos de cor te de la misma con los bisectores, zonas de cuadrantes y par tes vistas y ocultas. Formato A4 ver tical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros.

C. EJERCICIO 3 Dado el punto A(-60,-20,-60), se pide: a) Dibujar la recta R perpendicular al 2º Bisector que pasa por el punto A. b) b) Determinar las trazas de R indicando par tes vistas y ocultas, y su intersección con el 2º Bisector. Formato A4 ver tical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros.

D. EJERCICIO 4 Dadas las rectas A(00,30,20); B(50,30,20) y C(20,50,50); D(70,50,50). Se pide definir las trazas del plano P que contiene a ambas rectas. Formato A4 ver tical. Línea de tierra y origen centrados Medidas en milímetros.

E. EJERCICIO 5 Dado el plano P(-50,60,40), representar las proyecciones de una recta del mismo que per tenezca también al primer bisector. Formato A4 ver tical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros.

F. EJERCICIO 6 Dada la recta A(20;-40,10); B(60,-20,50), se pide: hallar los planos P y Q que contienen a dicha recta como de máxima pendiente y máxima inclinación, respectivamente. Formato A4 ver tical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros.

-1-


G. EJERCICIO 7 Dibujar los vistos y ocultos, las proyecciones diédricas de una recta R definida por los puntos M(70;7,5;87) y N(-55;-34;-21) Determinar sus trazas con los planos coordenados y los puntos de intersección con lo planos bisectores del sistema. Origen de coordenadas centrado sobre la LT Medidas en milímetros.

D I E D R I C O : PA R A L E L I S M O Y P E R P E N D I C U L A R I DA D A. EJERCICIO 1 Dado el plano P, cuyas trazas ver tical y horizontal forman, respectivamente, 45º y 60º con la línea de tierra, vér tice a la izquierda, y cuyo punto de intersección con la línea de tierra es (-40,0,0); y el punto M(20,40,30). Se pide trazar por M un plano Q perpendicular al P, que sea paralelo al mismo tiempo a la recta A(20,10,50) B(60,40,40). Formato A4 ver tical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros.

B. EJERCICIO 2 A (50;34;25)

B(-10,85,60)

C(0;45;15)

Dado el plano definido por la recta AB y el punto C. Dibujar por este punto una perpendicular a dicho plano. Formato A4 ver tical. Origen centrado. Medidas en milímetros.

C. EJERCICIO 3 Trazar el plano paralelo a la recta R: A (10,0,10) B (14,3,0) y que contenga a la recta S: C (1,4,0) D (8,0,7). Formato A4 ver tical. Origen centrado. Medidas en milímetros.

D. EJERCICIO 4 Por una recta dada r: A (-6,-1,-3) y B (-2,-3,-1), hacer pasar un plano perpendicular a otro dado alfa (4,2,4) Formato A4 ver tical. Origen centrado. Medidas en milímetros.

E. EJERCICIO 5 Determinar las proyecciones diédricas de una recta definida por su traza horizontal H (30;-27;0) y por el punto de intersección B 1 (10;-Y;20) con el segundo plano bisector. Situar en la recta su traza ver tical V e indicar sus coordenadas aproximadas en milímetros.

-2-


F. EJERCICIO 6 Se tiene un plano alfa, perpendicular al primer plano bisector y otro plano beta, perpendicular al segundo plano bisector del sistema. El plano alfa esta definido por un de sus rectas R de máxima pendiente. la cual pasa por los puntos A (16,38,33) y B(36,19,Z). Por su par te beta esta definido por una de sus rectas S de máxima inclinación, de la que se conocen sus trazas H (-54,60,Z) y V (a la derecha de H, -28,Y,-15) Se determinarán las trazas de los planos definidos, así como las proyecciones diédricas de las rectas R y S. Así como de la recta I de intersección de los mismos. Origen de coordenadas centrado sobre la L.T. Medidas en milímetros.

G. EJERCICIO 7 Dado el punto M(0,20,30) y la recta R determinada por los puntos A(30,60,40) y B(-20,-30,-40). Se pide: 1º). Trazar por M el plano P perpendicular a la recta R. 2º). Hallar el punto de intersección N de la recta R con el plano P. 3º). Señalar las par tes vistas y ocultas de la recta R, considerando el plano P opaco. Formato A4 ver tical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros.

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PA R A L E L I S M O , P E R P E N D I C U L A R I D A D Y D I S TA N C I A S 1.

Determinar la distancia entre dos rectas paralelas sea r [A (-32, 67, 65) B (20, 27,20)] y s pasa por el punto M (-65,70,60). El origen de coordenadas se encuentra centrado en la línea de tierra.

2.

Sea el plano P (-40,50,70) y Q paralelo a P por el origen de coordenadas halla la distancia entre ambos. El origen de coordenadas se encuentra centrado en la línea de tierra.

3.

Determina la distancia entre el punto A (52,44,107) y el plano P (-20,-75,-19). El origen de coordenadas se encuentra centrado en la línea de tierra.

4.

Determina la distancia entre dos puntos sean A (35,24,50) y B (-29,41,26) El origen de coordenadas se encuentra centrado en la línea de tierra.

5.

Determinar la distancia que viene dada por la recta delimitada por los puntos A (-29,26,20) y B (-6,53,40) y el punto P (34,30,40).

6.

Tenemos las trazas horizontales de los planos P (-40,30,?) y Q (-74,56,?), y la recta r perpendicular a estos dos planos definidas por A (34,12,18) y B (-9,73,49)

7.

Hallar las trazas verticales de los planos P y Q. ๏ Hallar las distancia entre ambos. ๏ El eje de coordenadas se encuentra centrado en la línea de tierra. Determinar la interseccion entre los triangulos ABC y DEF representando la visibilidad entre ambos.

8.

A(-67,11,77) D(-56,106,62) B(0,14,75) E(0,21,99) C(35,130,37) F(31,49,7) Formato A4 vertical, linea de tierra centrada, origen a 130 mm del borde izquierdo del mismo. Medidas en mm. Determinar la intersección entre los triángulos ABC y DEF

A(-74, 46, 8) D(15,75,44) B(-31,10,53) E(55,15,70) C(-6,92,26) F(77,35,5)

-1-


9.

La recta R, definida por los puntos A (30,-40,20) y B(50,-60,10) es la linea de máxima inclinación de un plano P. Hallar la intersección de la recta S definida por C(0,30,16) D(60,50,-27) con P. Formato A4 ver tical, linea de tierra y origen centrados. Medidas en mm.

10.

Dados los puntos A(-42,6,40) B(20,28,70) C(47,82,10) que definen un triángulo, se pide: ๏ ๏

11.

Hallar la intersección que el plano P con vértice a la derecha en el puntos O(85,0,0) formando sus trazas con la línea de tierra un ángulo de 45º produce sobre la superficie del triángulo. Determinar la verdadera magnitud del triángulo y de la intersección con el plano P.

Formato A4 vertical, linea de tierra y origen centrados. Medidas en mm. Determinar la proyección ver tical del triángulo DEF sabiendo que está situado en un plano paralelo al determinado por el triángulo ABC .

12.

A(5,44,36) B(41,16,63) C(82,83,7) D(84,58,Z) E(134,104,39) F(182,85,Z) Formato A4 vertical, linea de tierra y origen centrados. Medidas en mm. Trazar un plano Q que contenga a la recta R y paralelo a la recta S.

R A(53,12,20) B(67,6,33) S C(130,7,28) D(164,40,18) Línea de tierra centrada y origen a la izquierda.

13.

Por un punto A(82,27,31) dado trazar un plano T perpendicular a los planos P(56,30º,35º) vér tice a la izquierda y Q(139,60º,35º) vér tice a la derecha. Línea de tierra centrada , origen a la izquierda.

14.

Hallar la trazas del plano Q que contenga al punto A(121,31,-13) sea paralelo a la recta R definida por B(18,16,44) C(71,23,18) y perpendicular al plano P(136,45º, 45º)vér tice a la izquierda. Línea de tierra centrada , origen a la izquierda.

15.

Dadas 3 rectas R S T que se cruzan en el espacio, trazar por R y S dos planos que se cor ten según la recta T.

16.

T A(0,12,36) B(-30,0,36) R C(12,41,0) D(26,0,41) S E(70,48,0) F(22,0,120) Línea de tierra centrada , origen en el centro. Dados el punto A(140,13,23), la recta R definida por los puntos C(110,20,0) B(78,0,68) y el plano P(40,55º,45º) con el vér tice a la izquierda, dibujar las proyecciones de la recta S paralela a R que contenga a A, determinar el plano Q que contenga a S y sea perpendicular a P y hallar la intersección de ambos planos. Línea de tierra centrada , origen a la izquierda.

-2-


17.

Por el punto A(0,30,20), trazar una recta que cor te a r y sea paralela a α(Plano paralelo a la línea de tierra). Datos: ๏ ๏

Plano α- V tiene una cota de 30 y H tiene un alejamiento de 25 Recta r se define por los siguientes puntos: 1(-20,0,20) 2(-50,50,70)

18.

Dado el plano P(-20,10,40), y una recta r definida por los puntos 1(10,0,25) y 2(45,75,35). Se pide traza la recta s contenida en P que sea perpendicular a r.

19.

Dado el punto M(0,20,30) y la recta R determinada por los puntos A(30,60,40) y B(-20,-30,-40) se pide: ๏ ๏ ๏

20.

Trazar por M el plano P perpendicular a la recta R. Hallar el punto de intersección N de la recta R con el plano P. Señalar las partes vistas y ocultas de la recta R, considerando el plano P opaco.

Dado el plano P, cuyas trazas ver tical y horizontal forman, respectivamente, 45º y 60º con la línea de tierra, vér tice a la izquierda, y cuyo punto de intersección con la línea de tierra es (-40,0,0); y el punto M(20,40,30). Se pide trazar por M un plano Q perpendicular a P, que sea paralelo al mismo tiempo a la recta A(20,10,50), B(60,40,40).

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A. EJERCICIO 01 Se define la recta r de perfil por: A(0,20,40) B(0,25,30) Hallar las trazas de r con los planos de proyección H y V. Hallar la intersección con el plano P(-30,80,60) Realizar por dos métodos diferentes. B. EJERCICIO 02 Trazar por P una recta que cor te a la linea de tierra y a la recta de perfil definida por A y B. P(30,12,30) A(0,40,20) B(0,15,50) C. EJERCICIO 03 Por el punto A trazar una recta que cor te a r y sea paralela a ∝ (Plano paralela a la LT) Punto A (0,30,20) Plano ∝ V tiene una cota 30 H tiene un alejamiento 25 Recta r se define por lo siguiente puntos 1(-20,0,20) 2(-50,50,70) D. EJERCICIO 04 Dado un plano P (-20,10,40) y una recta r definida por los puntos 1(10,0,25) y 2(45,75,35). Se pide traza la recta s contenida en P que sea perpendicular a r. E. EJERCICIO 05 1. Hallar un punto P de la LT que equidiste de las trazas de una recta r 2. Hallar la distancia de P a r. La recta queda definida por los puntos 1(-20,70,0) 2(20,0,30) Los extremos de un segmento AB de longitud 50 están situados sobre las trazas de un plano P : A ≃hp B≃ vp La proyección a’b’del segmento AB es de longitud mínima Dibuja las proyecciones del segmento.

-1-


F. EJERCICIO 06 Dibujar las proyecciones de una pirรกmide regular de base pentagonal (lado 30 y h=70). Apoyada en el plano horizontal por una de caras y tangente la Plano Ver tical.

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1. Dado el plano definido por el triángulo ABC y el punto D. Siendo: A(-67,65,11); B(0,14,75); C(45,130,37) y D(-56,84,110). Se pide: a) determinar la distancia del punto al plano y b) la verdadera magnitud del triángulo y de la proyección de D sobre él. Formato A4 vertical. Línea de tierra y origen a 130 del borde izquierdo del papel. Medidas en milímetros. 2. Se define el plano P, cuyas trazas horizontal y vertical forman 45º con la línea de tierra, vértice a la izquierda y cuyas trazas se cortan en el punto X(-75,0,0). Contenido en dicho plano se define un pentágono regular de 50 mm de lado, situado en el primer cuadrante, con un lado apoyado en el plano vertical de proyección y un vértice apoyado en el plano horizontal de proyección. Se pide: a) Dibujar las trazas del plano P. b) Dibujar las proyecciones diédricas del pentágono. 3. La traza horizontal de un plano P forma 45º con la L.T., su punto de intersección con la misma es X(-20,0,0), vértice a la izquierda. Se pide: a)

Dibujar las proyecciones diédricas de un hexágono regular, de lado 45 mm, contenido en P, con un lado AB situado sobre el plano horizontal de proyección, sabiendo que el alejamiento de A es 25 mm y que un vértice contiguo a A está situado sobre el plano vertical de proyección, de tal manera que todo el hexágono esté en el primer cuadrante.

b) Dibujar la pirámide regular de 70 mm de altura, cuya base es el hexágono situado sobre P. Formato A4 vertical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros. 4. Dado el punto V (40,70,70), vértice de un cono oblicuo de base circular de 50 mm de diámetro y centro A (-20,35,0), apoyado sobre el plano horizontal de proyección, se pide: a) Dibujar las proyecciones diédricas del cono. b) Determinar la intersección de este cono con el plano P cuyas trazas vertical y horizontal forman 45º respecto a la línea de tierra y cuyo punto de intersección con la misma es (65,0,0), vértice a la derecha. NOTA: Dibujar partes vistas y ocultas del cono, considerando el cono y el plano P opacos. Hallar como mínimo 8 puntos de la intersección. Formato A4 vertical. Línea de tierra y origen centrados. Medidas en milímetros.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA


Geometría Descriptiva